Funciones Vectoriales y Funciones de Varias Variables

UNIDAD III

FUNCIONES VECTORIALES

3.1 Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficaciòn

Definición:

Sea un conjunto de números reales una función vectorial con dominio es

una correspondencia que asocia a cada número en un vector en .El

contra dominio de consta de todos los vectores para en .

Ejemplo

Para en

Calcular y traza sus vectores de posición

a)

b)

Para los valores de en el vector de posición de esta en uso de los

planos coordenados

Los conceptos de punto final curva cerrada, curva cerrada simple y longitud de una curva se definen exactamente igual que para las curvas planas

Curvas planas Curvas en el espacio

Calcule la longitud de la curva parametrizada

Sea

Para

a) Trazar la grafica de la curva

b) Calcular

LIMITES,DERIVADAS E INTEGRALES

DEFINICIÒN:

Sea .El limite de cuando tiende a : es

.

Siempre y cuando y tengan límite cuando tiende a

DEFINICIÒN:

Una función vectorial es continua si:

TEOREMA

Si , donde son derivables, entonces:

Sea

Determinar

a) b)

=

Ejercicios Dominio [1-2]

DOMINIO [0-2π]

DEFINICIÒN:

Sea . La integral definida desde hasta de es:

Siempre y cuando y sean integrables en [ ]

Evalué la integral de 0 a 1

( )

TEOREMA

Si una curva plana esta dada paramétricamente , donde y existen

entonces la curva en es:

CALCULAR LA CURVATURA EN EL PUNTO

=

Determina la curvatura

Teorema

Sea una curva en el espacio dada por y y donde :

.La curvatura k en el punto de

Calcular la curvatura de la curva dada por las ecuaciones paramétricas en

(MATRIZ)

T 1 2 3 4X 1 2 3 4

y 1 2 9 16 z 1 2 27 64

CALCULE DE LA CURVATURA EN

a) P(1,3)

b)

=

I j k2t 3 02 0 0

=i-j+k(6)=0i-0j-6k

I j k3 6

0 6t 6

I j K-4sent -9cost 1-4cost -9sent 0

Definición

Sea

El vector de posición de una partícula en el plano donde es el tiempo y y

son funciones escalares con primera y segunda derivada .La velocidad,

rapidez y aceleración de la partícula al tiempo se define como:

Velocidad:

Rapidez=

Aceleración :

Ejemplo: el vector de posición de una partícula que se mueve en un plano

coordenado es:

Para

****grafica****

Demostrar que si un punto P se mueve sobre una ecuación circunferencial de

radio k con rapidez constante, entonces en vector aceleración tiene una

magnitud constante =

rapidez angular

UNIDAD IV

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Curvas de nivel

Ejemplo sea la función con dominio tal que

Trazar la grafica de f e indicar las trazas en los planos z=0, 2, 4, 6, 8

Trace algunas curvas de nivel

x y z-2 4 0 -1 1 00 0 01 1 02 4 0

x y z-2 2 2-1 -1 20 -2 21 -1 22 2 2

x y Z-2 0 4 -1 -3 40 -4 41 -3 42 0 4

x y Z-2 -2 6-1 -5 60 -6 61 -5 62 -2 6

x y Z-2 -4 8-1 -7 80 -8 81 -7 82 -4 8

Sea la función por dominio tal que

x y Z-2 2.2 0-1 2.8 00 3 01 2.8 02 2.2 0

x y Z1.7 22.2 2

0 2.6 22.2 21.7 2

x y Z1.4 42 4

0 -2.23 42 4

1.4 4

x y Z1 6

1.41 60 0 6

1.41 61 6

x y Z0.54 80.83 8

0 1 80.83 80.54 8

****grafica****

Trace algunas curvas de nivel de

x y z-2 4 0 -1 1 00 0 01 1 02 4 0

x y z-2 2 2-1 -1 20 -2 2

1 -1 22 2 2

x y Z-2 0 4 -1 -3 40 -4 41 -3 42 0 4

x y Z-2 -2 6-1 -5 60 -6 61 -5 62 -2 6

x y Z-2 -4 8-1 -7 80 -8 81 -7 82 -4 8

4.1 Definición de una función de dos variables

Sea un conjunto de pares ordenados de números reales. Una función de dos

variables, es una correspondencia que asocia a cada par en en un único

numero real que se denota por .

El conjunto es el dominio de . El contradominio de consta de todos los

números reales en

4.2 Grafica de una función de 2 variables

La grafica de una función es una superficie en el espacio

tridimencianal.

Ejemplo:

Una ecuación de un plano en donde describe una función

expresando

o bien

EL dominio de esta función es todo el conjunto en parejas ordenadas de

números reales

El dominio de esta función es todo en el conjunto de parejas ordenadas de

números reales

Continuidad

Una función es una continua en una región del plano si es

continua en todo punto . La suma y el producto de 2 funciones continuas son continuo exepto en algunos puntos en donde el dominador es cero, si es una

función de dos variables continua en por ultimo la grafica de una función

continua es una superficie si quiebres

Limites

Ejemplo

Evaluar el

Regla de las 2 trayectorias

Si 2 trayectorias que llevan a un punto producen 2 valores limites

diferenciales para entonces el limite no existe

Ejemplo

Demostrar que el limite de demostrar que no existe

Calcular el limite si existe de

Derivadas parciales

Definición sea una función de 2 variables. Las primeras derivadas parciales de

con respecto a y a son las funciones definidas por

Notaciones para las derivadas parciales

Si

Ejemplo

Sea encontrar y

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Segundas derivadas parciales:

Ejemplo:

Obtener la segunda derivada parcial de f.

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

Sea y sean y y los incrementos de x y y respectivamente. El

incremento de es.

Sea

a) Si los incrementos de y son y , determinar

b) Aplicar para calcular el cambio de y cuando varia de

a) =?

y

TEOREMA

Sea , donde f es una función definida en una región rectangular,

, para la cual fx y fy existen en R y son continuos en el punto

de R. Si , esta en R y

donde Σ1 y Σ2 son funciones de

Δx y Δy que tienen limite 0 cuando (Δx,Δy)=(0,0)

Encontrar los valores de para

DIFERENCIALES

Definición.- Sea y sean Δx y Δy incrementos de x y y,

respectivamente.

i) Los diferenciales de dx y dy de las variables independientes x y y son y

ii) La diferencia dw de la variable dependiente w es

El radio y la altura de un cilindro circular recto mide 3’’ y 8’’ respectivamente, con un error posible en la medición de +- 0.05 pulgadas. Usar diferenciales para estimar el error máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro. error±0.05

Error en la medición de 1% (±0.01)

Determinar el error al calcular la resistencia total

)ˉ²

REGLA DE LA CADENA

Si y donde y son diferenciables, entonces:

Ejemplo

Derivadas direccionales

Definición:

Sea y sea un vector unitario. La derivada direccional de en

en la dirección de se denota por y se define por:

Teorema:

Si es una función diferenciable de dos variables y es un vector unitario, entonces:

Gradiente

Definición sea una función de dos variables. El gradiente de de es la funcion

vectorial dada por:

Rotacional

Definición

Sea una función vectorial en tres dimensiones dada por:

Donde tienen derivadas parciales en alguna región. El rotacional de esta dada por

i j K

i j K

Encontrar la rotacional de:

a) F(x ,y ,z)=x2zi+y2xj+(y+2z)kb) F(x ,y ,z)=(3x+y)i+xy2zj+xz2k

Rot = xF=?

xF=

I j K

X2z Y2x Y+2z

=i+jx2-ky2= i+x2j-y2k

xF=

i j K

(3x+y) Xy2z Xz2

= xy2i-z2j+(y2z-1)k

Divergencia

Suponga que F(x, y, z)= M(x, y, z)i+ N(x, y, z)j+ P(x, y, z)k, tal que M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La divergencia de F se deriva por DIv F o por V, y esta dada por:

Div F= F = + +

F=

= + +

a) Div F= F=

= 2xz +2yx + 2

b) Div F= F=

= 3 + 2xyz +2 xz

Derivación parcial implícita

Y= x2+2 Explicita

Y2+2xy+y=0 Implícita

X2+y(2x+1)=0

Y(2x+1)=-x2

X2-2y3+4y=2

X2-2y3+4y-2=0

X6+2x3y-y7x=10

X6+2x3y-y7x-10=0

6x5+6x2y-y7

=2x3-7y6x

Coordenadas cilíndricas y Esféricas

Teorema

Las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadas cilíndricas (r, , z)de un punto están

relacionadas como sigue:

x=r cos y=r sen tan =

r2=x2+y2 z=z

Coordenadas Esféricas

Teorema

Las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadas esféricas (P, Φ , ) de un punto p están relacionadas como sigue:

Cambie las coordenadas cilíndricas u coordenadas rectangulares

Cambie las coordenadas esféricas dadas a coordenadas rectangulares

Cambie las coordenadas rectangulares dadas a coordenadas esféricas

Calcular las coordenadas rectangulares a cilíndricas

Convierta sus coordenadas esféricas a cilíndricas