03 funciones vectoriales

MATEMÁTICA III. CÁLCULO VECTORIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: FUNCIONES

VECTORIALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 3. Funciones vectoriales.

Matemática III. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática III (Cálculo Vectorial) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática III en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.1.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.

Sea r una función vectorial definida por kthjtgitftr )()()()( . Entonces su dominio

está dado por )( Dom)( Dom)( Dom)( Dom thtgtftr .

Restricciones en el dominio para cada tipo de funciones.

Nombre Función Dominio de la función

Polinomial ...2

210 tataa R

Racional )(

)(

tQ

tP }0)(/{ tQRtR

Radical n tf )( n es un número par: }0)(/{ tfRt

Radical n tf )( n es un número impar: )(Dom tf

Valor absoluto )(tf )(Dom tf

Logarítmica )]([ln tf }0)(/{ tfRt

Exponencial )(tfe )(Dom tf

Seno )]([sen tf )(Dom tf

Coseno )]([cos tf )(Dom tf

Tangente )]([tan tf })12()(/{21 ntfRtR

Arcoseno )]([sen 1 tf }1)(1/{ tfRt

Arcocoseno )]([cos 1 tf }1)(1/{ tfRt

Arcotangente )]([tan 1 tf )(Dom tf

Ejercicios propuestos.

1. En los ejercicios siguientes, determine el dominio de la función vectorial.

a) jt

ittr1

1)3()( 2

b) k

tj

t

ti

t

ttr

1

5

1

214)(

2

c) jtit

tr

3

1)( d) jti

ttr 4

1)(

e) ktjt

it

ttr

4

21)( f) ktj

t

ti

ttr

9

1

1)(

g) jeittr t/1)1(ln)( h) kt

tj

ti

t

ttr

1

7

9

4

4

2)(

222



i) jtittr )1(ln)sen()( 1 j) jtittr )(sec)(cos)( 11

k) ktjtittr cot42)( l) kejtit

tr t 22161

)(

m) kt

jtittr1

342)(

2 n) k

tjtittr

9

516ln)(

2

2

ñ) kjtittr t 4

1

2 2

21ln)( o) kjt

tittr t 1

2

2 29

)4(ln)(

p) kt

jtittr

2

14tan)( 2 q) k

tjtittr

1

1tan4)( 2

r) ktjtittr 4ln16sen ln)( 2 s) ktjtittr 22 414 cosln)(

t) ktjt

ti

e

etr

t

t2

2

2

csc1

)1(ln

2

1)(

u) kej

t

ti

t

ttr t

1ln

6

)4(ln)(

2

v) kttjtittr )82(3ln9)( 22

Respuesta: a) ),1()1,( ; b) ),1()1,0()0,1()1,( ; c)

),3()3,0[ ; d) ]4,0()0,( ; e) ]4,0()0,( ; f) )9,1()1,0()0,( ; g)

),0()0,1( ; h) )2,1( ; i) ]1,1( ; j) }1,1{ ; k) ]4,(),0()0,2[ ; l)

]4,0()0,4[ ; m) ]4,1()1,1()1,2[ ; n) ]4,3()3,0( ; ñ) ]1,0( ; o)

]3,2()2,3[ ; p) ]2,(),(),2(2222 ; q)

]2,(),1()1,(),2[2222 ; r) ]4,(),0()0,(),4( ; s)

]2,(),[],(),2[222

121

22 ; t) )1,2ln()2ln,0()0,1( ; u) ; v)

),3()3,( .

2.2.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.

Sea r una función vectorial definida por kthjtgitftr )()()()( . Entonces

kthjtgitfttttttttt

r

)()()()( limlimlimlim0000

siempre que existan )(lim0

tftt

, )(lim0

tgtt

y )(lim0

thtt

.




2. En los ejercicios siguientes, evaluar el límite.

a) )sen cos(lim ktjtitt

b)

kt

jt

itt

1

1

23

2lim2

c) )4(lim4

kjtitt

d)

kt

tjtit

t

cos132

lim0

e)

kejt

tie tt

t

sen lim

0

f)

kejeit

t tt

t

2sen lim

0

g)

kt

jt

tit

t 1

1

1

ln2lim

1

h)

kt

jt

tit

t 1

1

1

ln2lim

1

i)

kt

ttj

t

ti

t

t

t2

22

4

24

2

32lim

2

j)

kt

tj

tt

tti

t

tt

t 33

77

43

23

1

382

2

2

2

lim1

k)

jt

tti

t

t

t 32

3

222

32

9

21lim

3

l)

kt

ti

t

tt

t 34

13

422

5123

3 3

lim2

m)

ktt

ttj

t

ti

t

tt

t

43

2

2 34

1

1

2525

54lim

1

n)

kt

tj

ttt

ti

tt

t

t 324

2

3 2

3

1

1

22

1

11

52lim

1

ñ)

kt

tj

t

ei

t

t t

t2

23 cos11

)1ln(lim

0

o)

ktt

teej

t

ti

t

tt tt

t sen

211

cos1

sen 2

2

lim0

p)

kt

etj

tt

ti

t

ee ttt

t21

23 )(tan

sen 1

2sen

3sen

sen lim

0

q)

kt

tj

tie t

t 1

12lim r)

ktt

tj

t

ti

tt

t

t 2212ln 2

2

23lim



s)

kttt

tttj

ttt

tti

tt

tt

t 935

9157

1542

722

152

3223

23

32

3 2

2lim3

Respuesta: a) ji ; b) kji21

326 ; c) ki 4 ; d) kji 000 ; e) kji ; f)

kji 2 ; g) kji21

21 ; h) No existe; i) No existe; j) kji

37

51

34 ; k) ji 4

181 ; l)

ki13522 ; m) kji 26

32

509 ; n) kji

23

92

49 ; ñ) kji 3 ; o) kji 22

21 ; p)

kji21

232 ; q) kji 000 ; r) k ; s) kji

21

256

332 .

2.3.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.

Definición de la derivada de una función vectorial.

La derivada de una función vectorial r se define como

t

trttrtr

t

)()()( lim

0

Para todo t para el cual existe el límite. Si )(cr existe para todo c en un intervalo abierto I,

entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede

extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.

Derivación de funciones vectoriales.

Si kthjtgitftr )()()()( , donde f, g, y h son funciones derivables de t, entonces

kthjtgitftr )()()()( .

Propiedades de la derivada de una función vectorial.

Sean U y V vectores y f una función escalar de t; se tiene entonces:

1.- )]([)]([ tUtd

dctUc

td

d

2.- )]([)]([)]()([ tVtd

dtU

td

dtVtU

td

d

3.- )]([)()]([)()]()([ tftd

dtUtU

td

dtftUtf

td

d

4.-

)]([).()]([).()]().([ tUtd

dtVtV

td

dtUtVtU

td

d



5.-

)]([)()]([)()]()([ tUtd

dtVtV

td

dtUtVtU

td

d

6.- td

sdsU

sd

dsU

td

d)]([)]([ Regla de la cadena.

7.- Si ctU )( , entonces 0)().( tUtU .


3. En los ejercicios siguientes hállese la derivada de la función vectorial dada.

a) jetietr tt 2)( b) jtittr 211ln)(

c) jtit

ttr )41(ln

12

12)( 2

d) k

tjtittr

1)3(tan)2(sen)( 1

e) ktjtittr )4(tanh)2(cosh)3(sec)( 1

Respuesta: a) jeteie ttt )(2 2 ; b) jt

ti

t 21)1(2

1

; c) j

t

ti

t 22 41

8

)12(

4

; d)

kt

jtit

2

2

2

1)3(sec3

41

2

; e) ktjti

tt)4(sech4)2(senh 2

19

1 2

2

.

4. Sea

1,

1

1,

1

2)(

2

2

2 t

t

t

ttr . Demuestre que el coseno del ángulo entre )(tr y )(tr es

constante y determínelo. Respuesta: 0cos .

5. Sean A , B vectores no nulos. Sea BeAetr tt 22)( . Demuestre que )(tr tiene la

misma dirección de )(tr .

6. Sea )(tr una curva diferenciable y suponga que 0)( tr para todo t fuera de su

intervalo de definición I. a) ¿Qué se puede decir acerca de la curva?. b) Suponga que

0)( tr pero 0)( tr para todo t en el intervalo. ¿Qué se puede decir acerca de la

curva? Respuesta: a) Se trata de un punto; b) La curva es una recta.

7. Hallar la derivada, con respecto al parámetro t, del volumen del paralelepípedo

construido sobre los tres vectores:

ktjtita 2)( ktjittb 32)( kjtittc 32)(



Respuesta: )1(4 2 ttV .

8. Si )(tr es una función no nula y derivable en t, demostrar que

)()()(

1))(( . trtr

trtr

td

d . [Sugerencia: )().()(

2trtrtr ].

9. Sea )()()( tRtRtU . Demuestre que )()()( tRtRtU .

10. Sea )]()([)()( . tRtRtRtU . Demuestre que )]()([)()( . tRtRtRtU .

[Sugerencia: Utilice el resultado obtenido en el problema 9.]

11. Sea B un vector no nulo, y sea )(tr tal que tBtr .)( para todo t . Asuma también

que el ángulo entre )(tr y B es constante. Demuestre que )(tr es perpendicular a )(tr .

12. Usando la definición del producto vectorial por coordenada dado en el Capítulo 1,

pruebe que si )(tR y )(tU son dos curvas diferenciables (definidas para los mismos

valores de t ), entonces )()()()]()([

tUtd

tRd

td

tUd(t)R

td

tUtRd

.

2.4.- INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.

Integración de funciones vectoriales.

Si kthjtgitftr )()()()( donde )(tf , )(tg y )(th son funciones integrables de t,

entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es

Cktdthjtdtgitdtftdtr ])([])([])([)( , siendo kcjcicC 321 un

vector constante.

y su integral definida en el intervalo bta es

ktdthjtdtgitdtftdtrb

a

b

a

b

a

b

a])([])([])([)(


13. [LL] Calcular el vector de posición teniendo en cuenta las condiciones dadas:

a) jtittr )52()9()( 2 b) jt

ittr1

tan)(



c) kt

jtittr1

sectan)( d) kejitr ttt 23)(

e) jtittr 2ln)( f) ketjeietr ttt 333)(

g) jt

it

tr22 4

1

4

1)(

h) j

ti

ttr

1

1

2

1)(

2

, jr )0(

i) jt

ittr2

1)( 2

, jir 52)3( j) j

t

ti

ttr

ln21)( , jir 23)1(

k) kt

jtit

tr1

1tan

1

1)(

2

, kjir 534)0(

l) kejtitetr tt cossen )( , kjir )0(

m) jtittr 22 cos2sen)( , 0)( r

n) ktjtittr 2sen 22coscos)( 2 , ir )0(

ñ) ktjeietr tt

212/2/ cosh222)( , kjeier 122)2(

Respuesta: a) Cjttitttr )5()9()( 23

31 ; b) Cjtittr lnsecln)( ;

c) Ctjttittr lntanseclnsecln)( ; d) kejitr ttt

2ln

2

3ln

3)( ;

e) Cjtittttr 3

31)ln()( ; f) Cketejeietr tttt )()( 3

313

913

313

31 ;

g) jt

tittr

2

2lntan)(

411

21 ; h) jtittr )1(tan)2ln2(ln)( 1 ;

i) jtittr )52(ln)7()( 3

31 ; j) jtittr )2(ln)3(ln)( 2 ;

k) kt

tjtittr

5

1

1ln]3)(sec[ln]4)1([ln)(

21 ;

l) kejtittetr tt )2()1sen (])cossen([)(23

21 ;

m) jttitttr ]2)(2sen 2[])(2sen [)(21

21

21 ;

n) ktjtitttr ]1)2([cos)(2sen ]1)(2sen [)(21

41

21 ;

ñ) ktjeeieetr tt )11senh 4senh 4()64()24()(2112/2/ .



2.5.- MOVIMIENTO CURVILÍNEO.

Vector velocidad y vector aceleración.

Si )(tf , )(tg y )(th son funciones reales de t diferenciables dos veces, y r el vector de

posición de un objeto móvil para un valor t del tiempo definido por

kthjtgitftr )()()()( , entonces:

Vector velocidad: kthjtgitftV )()()()(

Vector aceleración: kthjtgitftA )()()()(

Rapidez: 222 )]([)]([)]([)()( thtgtftrtV


14. Si kt

jtit

tr1

11ln)(

. Hallar )2(A .

Respuesta: kjiA 216

2

4

1)2(

15. En los ejercicios a) tttr sen,cos)( , b) tttr 3sen,3cos)( , i) Encuentre el

vector velocidad, ii) demuestre que el vector velocidad es perpendicular al vector posición,

iii) demuestre que el vector aceleración está en la dirección opuesta del vector posición.

16. [GT] En los ejercicios siguientes, determinar los vectores velocidad y aceleración para

cualquier valor de t. Calcúlese también la rapidez, y hállense dichos vectores para el

instante particular dado.

a) jtittr )1()1()( 2 , 2t b) jeietr tt 2)( , 3lnt

c) jtittr 2)]1([ln)( , 1t d) jtittr )sen 3()cos2()( , 4t

e) jtittr )sen 2()2(cos)( , 0t f) tttr sen,cos)(

g) tttr 3sen,3cos)( h) jtittr )(tan)(sec)( , 6t

i) jtittr )senh 2()3(cosh)( , 0t

j) jtaitatr )sen ()cos()( , siendo a y constantes positivas,

3t .

k) ttetr t sen,cos,)( l) ttttr ,)1(ln,2sen)(

m) ttt etetetr ,sen ,cos)(



Respuesta: a) jtitv 2)( , jta 2)( , jiv 4)2( , ja 2)2( , 17)2( v ; b)

jeietv tt 22)( , jeieta tt 24)( , jiv923)3(ln , jia

943)3(ln ,

733)3(ln91v ; c) jti

ttv 2

1

1)(

, ji

tta 2

)1(

1)(

2

, jiv 2)1(

21 ,

jia 2)1(41 , 17)1(

21v ; d) jtittv cos3sen 2)( , jtitta sen 3cos2)( ,

jiv 22)(21

4 , jia 22)(

23

2 ,

213

2)( v e) jtittv cos22sen 2)( ,

jtitta sen 22cos4)( , jv 2)0( , ia 4)0( , 2)0( v ; f) tttv cos,sen)( ; g)

tttv 3cos3,3sen3)( ; h) jtitttv 2sectansec)( ,

jttitttta tansec2)tansec(sec)( 223 , jiv34

32

6)( , jia

33

8

33

106)( ,

20)(31

6v ; i) jtittv cosh23senh 2)( , jtitta senh 23cos9)( , jv 2)0( ,

ia 9)0( , 2)0( v ; j) jtaitatv cos sen )( ,

jtaitata sen )cos)( 22 , )()(21

23

3jiav

, )()(23

212

3jiaa

,

avw

)(3

; k) ttetv t cos,sen,)( ; l)

1,1

1,2cos2)(

tttv .

17. La ecuación de un movimiento es jtittr sen 4cos3)( , donde t es el tiempo.

Determinar la trayectoria de este movimiento, la velocidad y aceleración del mismo.

Construir la trayectoria del movimiento y los vectores de la velocidad y de la aceleración

para los instantes 0t , 4t y

2t .

Respuesta: tx cos3 , ty sen 4 , 1169

22

yx

, jtittv cos4sen 3)( .

18. Demostrar, que si un punto se mueve por la parábola a

xy

2

, 0z de tal forma, que la

proyección de la velocidad sobre el eje OX se mantiene constante ( consttd

xd), la

aceleración también se mantendrá constante.



19. [GT] Hállense la velocidad V y la aceleración A de los movimientos definidos en los

ejercicios siguientes. Calcúlese también el ángulo que forman V y A en el instante 0t .

a) ktejteietr ttt cossen )( b) ktjtittr 3sech2senh tan)(

c) ktjtittr 1tan)1(ln)( 212

Respuesta: a) ])sen (cos)sen (cos[)( kttjttietv t ,

)sen 2cos2()( ktjtieta t , )(cos5151 ; b)

ttjtittv 3tanh3sech32cosh2sec)( 2 ,

ktttjtittta )3sech3(tanh3sech92senh4tansec2)( 222 , 2 ; c)

kt

tj

ti

t

ttv

11

1

1

2)(

222

, kt

jt

ti

t

tta

322222

2

)1(

1

)1(

2

)1(

)1(2)(

,

2 .

20. El radio vector de un punto móvil, en cualquier instante de tiempo se da por la ecuación

ktjtitr 22 34)( . Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del

movimiento.

Respuesta: La recta 1x , 34

zy

, ktjttv 68)( , kjta 68)( .

21. La ecuación de un movimiento es ktjtittr 3sen 2cos2)( . Determinar la

velocidad y aceleración de este movimiento. ¿A qué son iguales la magnitud de la

velocidad y de la aceleración y cuáles son sus direcciones en los instantes 0t y 4t ?

Respuesta: tx cos2 , ty sen 2 , tz 3 (Hélice circular). kjtittv 3cos2sen2)( ,

jtitta sen 2cos2)( , 13)( tv , 2)( ta .

22. [BD] Un punto situado en la rosca de un tornillo, que se enrosca en una viga, describe

una hélice circular cosax , sen ay , hz , donde es el ángulo de giro del

tornillo, a es el radio del tornillo y h la elevación correspondiente al giro de un radiante.

Determinar la velocidad del movimiento del punto.



Respuesta: td

dkhjaiatv

)cossen()( , 22)( hatv , donde

td

d es

la velocidad angular de rotación del tornillo.

23. [BD] La ecuación de un movimiento es

ktjtittr )(sen )(cossen )(coscos)( , donde y son constantes y t es el

tiempo. Determinar la magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración del

movimiento.

Respuesta: ktjtittv )(cos)(sen sen )(sen cos)( , )(tv ,

ktjtitta )(sen )(cossen )(coscos)( 222 , 2)( ta .

24. La ecuación del movimiento de un proyectil (prescindiendo de la resistencia del aire) en

el espacio es ktgtvtr o

2

21)( , donde zyx vvvv 0000 ,, es la velocidad inicial. Hallar la

velocidad y aceleración en cualquier instante.

Respuesta: ktgvtv o )( , 2

0

2

0

2

0 )()( tgvvvtv zyx , kgta )( , gta )( .

25. [GT] La posición de un punto en el instante t está dada por las fórmulas tex t cos ,

tey tsen .

a) Pruébese que rVA 22 .

b) Demuéstrese que el ángulo formado por el radio vector r y el vector aceleración A es

constante, y calcúlese ese ángulo. Respuesta: b) 2/ .

26. Sean A y B dos vectores constantes. ¿Cuál es el vector velocidad de la curva

tBAtr )( ? Respuesta: B .

27. Sea B un vector unitario fijo, y sea )(tr una curva tal que teBtr 2.)( para todo t .

Asuma también que el vector velocidad de la curva tiene un ángulo constante con el

vector B , con 2

10 .

a) Demuestre que la velocidad es cos/2 2 te .

b) Determine el producto escalar )()( . trtr en términos de t y .



28. Asuma que la curva diferenciable )(tr se encuentra sobre la esfera de radio 1.

Demuestre que el vector velocidad es perpendicular al vector posición. [Sugerencia:

Comience con la condición 1)( 2 tr ].

29. Pruebe que si la aceleración de una curva es siempre perpendicular a su velocidad,

entonces su velocidad es constante.

30. [DZ] Suponga que kttjttittr )5()2()( 232 es el vector de posición de una

partícula en movimiento.

a) ¿En qué puntos la partícula pasa por el plano x y?

b) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración en los puntos del inciso a?

Respuesta: a) )0,0,0( , )0,115,25( ; b) kiv 52)0( , kia 22)0( ,

kjiv 57310)5( , kjia 2302)5(

31. [DZ] Encuentre la velocidad y aceleración de una partícula cuyo vector de posición es

kttjittr 26)( cuando ésta pasa por el plano 4 zyx .

Respuesta: kjiv 26)1( , kjiv 86)4( , ka 2)1( , ka 2)4(

32. [EP] Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una hélice dada por

kttjtittr )23(cossen )( 2 , donde la componente k mide la altura en metros por

encima del suelo y 0t . Si la partícula sale de la hélice y se mueve a lo largo de la recta

tangente a la hélice, cuando está 12 m por encima del suelo, proporcione el vector dirección

para la recta. Respuesta: kji 7 5sen 5cos .

33. [MT] Considerar una partícula moviéndose sobre la trayectoria

ktjtittr sen cos)( , donde t es el tiempo. En el tiempo t la partícula deja la

trayectoria y se va por una tangente (como se despega el lodo de una rueda de bicicleta).

Hallar la ubicación de la partícula en el tiempo 2t . Suponer que ninguna fuerza actúa

sobre ella después de dejar la hélice. Respuesta: )2,,1( .

34. [MT] Suponer que una partícula que va siguiendo la trayectoria 0,4,)( 32 ttttr

sale por una tangente en 2t . Calcular la posición de la partícula en 3t .

Respuesta: )0,8,8( .



35. [MT] Suponer que una partícula sigue la trayectoria teetr tt cos,,)( hasta que sale

por una tangente en 1t . ¿Dónde está en 2t ? Respuesta: )1sen 1cos,0,2( e .

36. [MT] Hallar la trayectoria )(tr tal que 1,5,0)0(r y 2,,)( tettr t .

Respuesta: 1,6,)( 3

312

21 tettr t .

37. [DZ] La velocidad de una partícula en movimiento es kjttittV )43(10)( 2 . Si

la partícula empieza en 0t en )3,2,1( , ¿cuál es su posición en 2t ?

Respuesta: kjir 5219)2(

38. [EP] Considere la curva kttjtittr 247972)( , 210 t . ¿Dónde corta la

recta tangente en 41t al plano x z?

Respuesta: ),0,(74

3721

39. [EP] Considere la curva ktjtitttr cossencossen )( 2 , 20 t . Para 6t , ¿en

donde la recta tangente intersecta al plano x y?

40. Si ktjt

tittV 5

1)1()( 2

, hallar )(tr y )(tA .

Respuesta: Cktjttittr 2

253

32 )ln()1()( , kj

tittA 5

12)(

2 .

41. Si kt

tj

t

ti

tt

ttV

2

2

211

1

65

1)(

, hallar )5(r sabiendo que 4,1,2)8(r

2.7.- LONGITUD DE ARCO.

Longitud de arco.

Si una curva se expresa por medio de kthjtgitftr )()()()( , siendo )(tf , )(tg y

)(th continuas en el intervalo ],[ ba , entonces la longitud del arco de la curva

correspondiente a dicho intervalo del parámetro t viene dada por b

atdtrL )( .

Otra fórmula para L.

b

atdthtgtfL 222 )]([)]([)]([




42. Encuentre la longitud de la curva definida por la función indicada en el intervalo dado.

a) tttr ln,)( entre 2

1t y 2t .

b) tttr cosln,)( entre 0t y 4

1t .

c) tttttr cos1,,sen)( entre 0t y 2t .

d) ttttr ,sen,cos)( (espiral) entre 0t y 1t .

e) tx cos2 , ty sen2 , tz 3 (espiral) desde 0t hasta t .

f) ttttr 3,2sen,2cos)( (espiral) entre 1t y 3t .

g) ktjtittr 2

3

22cos 2sen )( entre 0t y 1t .

h) ktjtittr cos3sen 34)( 2

3

entre 0t y 2t .

i) tex t cos , tey tsen , tez desde 0t hasta un valor arbitrario de t.

j) ktjtittr )21()1()( 2 entre 1t y 2t .

k) kttjttittr )()()1()( 3

313

312 entre 0t y 1t .

l) 2

21 xy , 3

61 xz desde 0x hasta 6x .

m) yx 32 , zyx 92 desde el punto )0,0,0(O hasta el punto )2,3,3(M .

n)

a

xay 1sin ,

xa

xaaz ln

4 desde el punto )0,0,0(O hasta el punto

),,( 000 zyxM .

Respuesta (En unidades de longitud): d) 2 ; e) 249 ; f) 132 ; i) )1(3 te ; k)

234 ; l) 42; m) 5; n) 00 zx .

43. Encuentre la longitud de la curva dada en los siguientes intervalos.

i) 0t a 81t . ii) 0t a 3t . iii) 0t a

31t .

a) ttt ,4sen,4cos b) 2,2, ttt

c) tee tt 23,, 33 d) 43 ,, ttt



Respuesta: a) 8

17; b) ])416([log)141(

51

45

23 ; c) 62

2

32

2

3 ee

44. [GT] Pruébese que la longitud del arco descrito por el extremo de

ktjtittr 2sen 3cos3)( cuando t varía desde 0 hasta 2, es 3ln549 .

45. [WM] Un insecto vuela describiendo la curva ktjeietR tt 2)( desde el punto

)0,1,1( hasta el punto )2ln2,,2(21 . ¿Qué distancia recorre el insecto en su movimiento?

Respuesta: 23 Unidades de longitud.

46. Encuentre la integral para la longitud de la curva ttetR t ,sen,)( entre 1t y

t . Respuesta: tdte t

1

22 1cos

47. [BD] La posición de un punto en cualquier instante t ( 0T ) se determina por las

ecuaciones tx 2 , ty ln , 2tz . Hallar la velocidad media del movimiento entre los

instantes 1t y 10t . Respuesta: 10ln1191 .

2.6.- VECTOR TANGENTE UNITARIO (T), NORMAL UNITARIO (N) Y

BINORMAL UNITARIO (B).

Definición de vectores unitarios tangente y normal y binormal, T, N y B.

Sea )(tr el vector de posición de un objeto móvil para un valor t del tiempo, y sea

)()( trtV el vector velocidad en dicho instante t.

El vector tangente unitario T se define por )(

)()(

tV

tVtTT siempre que 0V .

El vector normal principal unitario N se define como )(

)()(

tT

tTtNN

siempre que

0T .

El vector binormal unitario B se define como )()()( tNtTtBB .

Relación entre T, N y B: )()()( tNtTtB , )()()( tBtNtT , )()()( tTtBtN .

Otras fórmulas para T, N y B.



)(

)()(

tr

trtT

)()]()([

)()]()([)(

trtrtr

trtrtrtN

)()(

)()()(

trtr

trtrtB


48. Hallar los vectores unitarios principales T, N, B de la curva dada en el punto indicado:

a) tx , 2ty , 3tz en el punto 1t .

b) tx cos1 , ty sen , tz en el punto 2t .

c) 2xy , xz 2 en el punto 2x .

Respuesta: a) 14

32)1(

kjiT

,

19

33)1(

kjiB

,

266

9811)1(

kjiN

; b)

2)(

2

kiT

, jN )(

2 ,

2)(

2

kiB

; c)

21

24)2(

kjiT

,

5

2)2(

kiB

,

105

854)2(

kjiN

49. Hallar los vectores unitarios de la tangente y normal principal de la espiral cónica

)sen (cos)( kjtitetr t en un punto arbitrario. Determinar los ángulos que forman

estas rectas con el eje 0Z.

Respuesta: ])cossen ()sen [(cos3

1)( kjttitttT ,

3

1),(cos zT ,

])cossen ()cossen [(2

1)( jttitttN , 0),(cos zN .

Recta tangente, recta normal y recta binormal a una curva.

Sea krjrirtr zyx )( 0 el vector de posición de un objeto móvil para un valor 0t del

tiempo.

- Si kvjvivtRtV zyx )()( 00 es el vector velocidad del objeto móvil en dicho instante

0t , se define para la curva:

Recta tangente: z

z

y

y

x

x

v

rx

v

ry

v

rx

.



- Si knjnintN zyx )( 0 es el vector normal a la trayectoria en dicho instante 0t , se

define para la curva:

Recta normal: z

z

y

y

x

x

n

rx

n

ry

n

rx

.

- Si kbjbibtB zyx )( 0 es el vector binormal a la trayectoria en dicho instante 0t , se


Recta binormal: z

z

y

y

x

x

b

rx

b

ry

b

rx

.


50. [JM] Determine la ecuación de la a) recta tangente, b) recta normal principal y c) recta

binormal a la curva 12 2 tx , ty 1 , 2tz en el punto )1,0,1( .

Respuesta: a) 2

1

14

1

zyx; b)

2

1

204

1

zyx y c)

4

1

2

1

zx, 0y .

51. [BD] Hallar un punto en la curva tx , 2ty , 3tz , de modo que la recta tangente

en éste sea paralela al plano 42 zyx .

52. [BD] Hallar las ecuaciones de la tangente, de la normal principal y de la binormal en un

punto arbitrario de la curva 4

41 tx , 3

31 ty , 2

21 tz . Hallar los puntos en que la tangente

a esta curva es paralela al plano 01023 zyx .

Respuesta: Tangente: 1

2

213

31

2

4

41 tz

t

ty

t

tx

, Binormal:

2

2

213

314

41

21 t

tz

t

tytx

,

Normal principal: tt

tz

t

ty

tt

tx

3

2

21

4

3

31

3

4

41

212. ),,(

21

31

41

1 M , )2,,4(58

2 M

53. Dada la hélice circular tax cos , tay sen , tbz . Escribir las ecuaciones de las

rectas que forman las aristas del tetraedro intrínseco en un punto arbitrario de dicha línea.

Determinar los cosenos directores de la tangente y de la normal principal.



Respuesta: Tangente: b

tbz

ta

tay

ta

tax

cos

sen

sen

cos, Binormal:

a

tbz

tb

tay

tb

tax

cos

sen

sen

cos, Normal principal:

t

tay

t

tax

sen

sen

cos

cos

, tbz .

54. Escriba la ecuación paramétrica para la línea tangente a la curva dada en el punto dado

en cada uno de los siguientes casos.

a) tttr cos,sen)( en 3

1t

b) ttttr ,4sen,4cos)( en el punto 81t .

c) 2,2,)( ttttr en el punto )1,2,1( .

d) teetr tt 23,,)( 33 en 1t .

e) 43 ,,)( ttttr en el punto )1,1,1( .

Respuesta: a) tx2

1

2

3 , ty

2

3

2

1 ; b) )1,0,4(),1,0(81 t ; c) )2,2,1()1,2,1( t ;

d) )23,3,3()23,,( 3333 eetee ; e) )4,3,1()1,1,1( t .

55. Sea tbtatatr ,sen,cos)( , donde a y b son constantes. Sea )(t el ángulo que la

línea tangente en un punto dado de la curva hace con el eje z. Demuestre que cos )(t es la

constante22 ba

b

.

56. Demuestre que los vectores velocidad y aceleración de la curva en el problema 49

tienen longitud constante.

57. Sea )(tr una curva diferenciable. Un plano o una línea que es perpendicular al vector

velocidad )(tr en el punto )(tr se dice que es normal a la curva en el punto t o también

en el punto )(tr . Encuentre la ecuación de la línea normal a las curvas a)

tttr sen,cos)( y b) tttr 3sen,3cos)( en el punto 3

1 .

Respuesta: xy 3 e 0y .



58. Dada la curva tax , 2tby , 3tz , en donde ab 32 2 , demostrar que las tangentes

forman un ángulo constante con la recta que pasa por el origen y por el punto )1,0,1( , y

hallarlo. Respuesta: 4/ radianes.

59. [JM] Dada la curva 13 tx , tty 2 , 134 3 ttz . Hallar la distancia desde el

origen de coordenadas a la tangente a la curva en el punto 1t .

Respuesta: 1162 Unidades de longitud.

60. [JM] Determinar el ángulo de la tangente en un punto cualquiera a la curva representada

por las ecuaciones 2xy , 3

32 xz con la bisectriz de los ejes x y z.

Respuesta: 4 radianes.

Plano normal, plano rectificante y plano osculador a una curva.

Sea krjrirtr zyx )( 0 el vector de posición de un objeto móvil para un valor 0t del

tiempo.

- Si kvjvivtRtV zyx )()( 00 es el vector velocidad del objeto móvil en dicho

instante 0t , se define para la curva:

Plano normal: 0)()()( zzyyxx rzvryvrxv .

- Si knjnintN zyx )( 0 es el vector normal a la trayectoria en dicho instante 0t , se


Plano rectificante: 0)()()( zzyyxx rznrynrxn

- Si kbjbibtB zyx )( 0 es el vector binormal a la trayectoria en dicho instante 0t , se


Plano osculador: 0)()()( zzyyxx rzbrybrxb .

Como resumen de las dos secciones anteriores, se tiene que:

1- El vector tangente unitario define a la recta tangente y al plano normal.

2. El vector normal unitario define a la recta normal y al plano rectificante.

3- El vector binormal unitario define a la recta binormal y al plano osculador.




61. Encuentre la ecuación del plano normal a la curva 2,,)( ttetr t en el punto a)

1t ; b) 0t . Respuesta: a) 32 2 ezyxe ; b) 1 yx

62. [BD] Escribir las ecuaciones de la tangente y del plano normal a las curvas siguientes:

a) tRx 2cos , ttRy cossen , tRz sen cuando 41t .

b) 22 yxz , yx en el punto )2,1,1( .

c) 25222 zyx , 25 zx en el punto )3,32,2( .

d) 22 yxz , xy en el origen de coordenadas.

Respuesta: a) Tangente: 22

2

2

21

RzRx, Ry

21 , Plano normal: 02 zx ; b)

Tangente: 4

2

1

1

1

1

zyx, Plano normal: 0104 zyx ; c) Tangente:

32

3

1

32

32

2

zyx, Plano normal: 03232 zyx ; d) Tangente: yx ,

0z , Plano normal: 0 yx

63. Hallar las ecuaciones de la recta tangente, del plano normal y del plano osculador de la

curva tx , 2ty , 3tz en el punto )8,4,2(M .

Respuesta: Tangente: 12

8

4

4

1

2

zyx, Plano normal: 0114124 zyx , Plano

osculador: 08612 zyx .

64. [JM] Dada la curva, cuyas ecuaciones son yz 22 , 2xz . Hallar la ecuación del

plano osculador y del plano rectificante en el punto )1,2,1( .

Respuesta: Plano osculador: 061216 zyx , Plano rectificante:

01371274498 zyx .

65. Encuentre la ecuación del plano osculador para cada una de las curvas en el punto dado.

a) ttttr ,cos,sen)( en 2

1t



b) ttt ,4sen,4cos en el punto 81t Respuesta:

2

14 zx

c) 2,2, ttt en el punto )1,2,1( Respuesta: xy 2

d) tee tt 23,, 33 en 1t Respuesta: 336 62 ezeyex

e) 43 ,, ttt en el punto )1,1,1( Respuesta: 122 zyx

f) tex , tey , tz 2 en el punto 0t Respuesta: 02 zyx

g) yx 42 , zx 243 en el punto )9,9,6( Respuesta: 018269 zyx .

66. [BD] Hallar las ecuaciones de la tangente, del plano osculador, de la normal principal y

de la binormal de la curva dada en el punto indicado. Calcular los cosenos directores de la

binormal en este punto.

a) tx , ty , 2

21 tz en el punto 2t .

b) xy 2 , zx 2 en el punto )1,1,1( .

Respuesta: a) Tangente: 2

2

1

2

1

2

zyx, Plano osculador: 0 yx , Normal

principal: 1

2

1

2

1

2

zyx, Binormal:

1

2

1

2

yx, 2z ,

2

1cos , 2

1cos ,

0cos ; b) Plano osculador: 0386 zyx ; Normal principal: 22

1

26

1

31

1

zyx;

Binormal: 1

1

8

1

6

1

zyx

67. [BD] Hallar las ecuaciones del plano osculador, de la normal principal y de la binormal

a la hélice cónica ttx cos , tty sen , tbz en el origen de coordenadas. Hallar los

vectores unitarios de la tangente, de la normal principal y de la binormal en el origen de

coordenadas.

Respuesta: Plano osculador: 0 zxb . Normal principal: 0x , 0z , Binormal:

0 zbx , 0y , )(1

1)0(

2kbi

bT

, )(

1

1)0(

2kib

bB

, jN )0(



Intersección de curvas y planos en el espacio.

68. En qué puntos la curva 22 3,1,2 ttt intersecta al plano 010143 zyx ?

Respuesta: )4,0,2( y )12,4,18( .

69. [JB] Demostrar que la curva 2tx , ty 3 , 21

2 tz perfora la superficie

1522 22 zyx en el punto )2,3,1( .

70. [JB] Demostrar que la curva ttx 22 , tty 63 , 2tz perfora la esfera

32222 zyx en un punto de la curva donde 2t .

71. Demuestre que las dos curvas )1,,( 2 ttt eee y )sen,cos,1( se intersectan en el

punto )0,1,1( . ¿Cuál es el ángulo entre sus tangentes en ese punto?

Respuesta: 2

1 .

72. Hallar el valor que hay que dar al parámetro m, para que la curva 1

1

t

tx , 12 ty ,

1

2

t

tz se corte con la curva: sx 61 , )1790(315 msmy , smz .

Respuesta: 12m , 0m y 6m .

Curvas planas.

Si )(tB es constante para todo t, entonces la curva es plana y el plano osculador coincide

con el plano de la curva.


73. [EP] Considere la curva ktjtittr )1(2)( 22 .

a) Demuestre que la curva se encuentra en un plano y determine la ecuación de este plano.

b) Para 2t , ¿en donde la recta tangente intersecta al plano x y?

74. Demostrar que la curva dada es plana y hallar el plano en que se encuentra:

a) 2231 ttx , 2522 tty , 21 tz Respuesta: 0271932 zyx .

b) 1

12

tt

x , 1

12

tt

ty ,

12

2

tt

tz Respuesta: 012 zyx .

c) )1sen (3cos ttx , )1sen (3cos tty , )1(cos2 tz



Respuesta: 2 zyx .

75. Una partícula se mueve en el plano, de manera que en el instante t se encuentra ubicada

en el punto

4

4,

4

42

2

2 t

t

t

t. Demostrar que la partícula se mueve en una circunferencia con

centro en el origen.

2.8.- CURVATURA Y TORSIÓN.

Curvatura.

La curvatura k en un punto de la curva descrita mediante el vector de posición

kthjtgitftr )()()()( está dada por )(

)()(

tr

tTtk

, siendo T el vector tangente

unitario.

Si C es la gráfica de una función dos veces derivable )(xfy , entonces la curvatura k en

el punto ),( yx está dada por 2

3

])(1[ 2y

yk

.

Radio de curvatura.

Si )( 0tk es la curvatura de la curva plana C en el punto 0P , donde 0tt , y 0)( 0 tk ,

entonces el radio de curvatura de C en 0P , denotado por , se define como )(

1

0tk .

Torsión.

La torsión en un punto de la curva descrita mediante el vector de posición

kthjtgitftr )()()()( está dada por )().()( tBtNt , siendo N el vector normal

unitario y B el vector binormal unitario.

Radio de torsión.

Si )( 0t es la curvatura de la curva plana C en el punto 0P , donde 0tt , y 0)( 0 t ,

entonces el radio de torsión de C en 0P , denotado por 1 , se define como )(

1

0

1

t .

Otras fórmulas para k y .



3)(

)()(

tr

trtrk

2)()(

)]()().[(

trtr

trtrtr

2

)().(

r

tNtAk

Circunferencia osculatriz.

Sea jrirtr yx )( 0 el vector de posición de un objeto móvil para un valor 0t del tiempo,

y sea )( 0t el radio de curvatura. La circunferencia osculatriz (o circunferencia de

curvatura) define por )()()( 0

222 tryrx yx .


76. Demuestre que la curvatura de una recta es cero en cada uno de sus puntos.

77. Encuentre la curvatura como una función de t de las curvas:

a) tttr sen ,)( b) tttr 3cos,3sen)( c) ttttr ,sen,cos)(

d) ttttr ,3cos,3sen)( e) tctatatr ,sen,cos)( , a > 0 y c > 0

f) teetr tt 2,,)(

Respuesta: e) 22 ca

a

; f) 2)/(2 tt ee

78. Calcular las curvaturas de flexión y de torsión de las siguientes curvas en cualquier

punto:

a) tex t cos , tey tsen , tez (Hélice circular)

b) ktbjtaitatr sen cos)( , 0a (Hélice circular)

c) tax cosh , tay senh , taz , 0a (Hélice hiperbólica)

Respuesta: a) te3

2 , te

3

11

; b)

22 ba

a

,

22

1

ba

b

; c)

ta 2cosh2

11

.

79. Calcular la curvatura de la línea tx cos , ty sen , tz cosh cuando 0t .

Respuesta: 2 .

80. Encuentre la curvatura de la curva 32 ,,)( ttttr en a) 1t , b) 0t , c) 1t .



Respuesta: a) 98

266.

81. Sea la curva plano definida por )(,)()( tytxtr . Demuestre que la curvatura está

dada por 2

3

])()([

)()()()()(

22 tytx

|tytxtytx|t

.

82. Si una curva está parametrizada por tx , )(tfy (la parametrización natural de una

función )(xfy , encuentre una simplificación de la fórmula de la curvatura.

83. [GT] Hállese el punto de la curva dada en el cual es mínimo el radio de curvatura

a) xey b) xy sen

84. Encuentre el radio de curvatura de la curva tttr ln,)( . Para qué t es el radio de

curvatura un mínimo?

85. Encuentre el radio de curvatura de la parábola 2xy .

Respuesta: 2

3

)41( 2

21 x

86. Encuentre el radio de curvatura de la elipse dada por tbtatr sen,cos)( , donde a y

b son constantes. Respuesta: ba

tbta 2

3

)cossen( 2222 .

87. La espiral de Cornu está dada por duu

tx

t

0

2

2cos)(

, du

uty

t

0

2

2sen)(

.

a) Hallar la longitud de arco de esta curva desde 0t hasta at .

b) Hallar la curvatura de la gráfica cuando at .

c) La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli encontró que la espiral tiene

una relación interesante entre curvatura y longitud de arco. ¿Cuál es esta relación?

Respuesta: a) aL , b) aK , c) LK .

88. Encuentre la curvatura de la curva definida por duu

utx

t

0

cos)( , du

u

uty

t

0

sen)( en

términos de la longitud de arco s . Respuesta: s .



89. Durante el partido efectuado en el Estadio Monumental de Maturín, el día domingo 08

de Julio de 2007, en el primer gol anotado por la selección de México contra la selección de

Paraguay, el balón describió una curva cuya ecuación es ktjtittR )23(3)( 22 .

Cuando pasó a través de la arquería en s 0.1t , calcular:

a) Vector velocidad, rapidez, vector aceleración, curvatura, torsión, radio de curvatura y

radio de torsión del balón.

b) Los vectores del triedro móvil de Frenet.

90. Sea T la recta tangente en el punto ),( yxP a la gráfica de la curva 3

2

3

2

3

2

ayx ,

0a . Mostrar que el radio de curvatura en P es el triple de la distancia del origen a la

recta tangente T. [Sugerencia: La parametrización de esta curva es tax 3cos e

tay 3sen ]

Componentes normal y tangencial de la aceleración.

Definición de las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Si A es la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una curva plana C en un

instante t entonces tendremos NNATTAA ).().( y denominaremos TA. y NA.

componentes tangencial y normal de la aceleración respectivamente. A la componente

normal de la aceleración también se le llama componente centrípeta de la aceleración.

Otra expresión para la aceleración en función de las componentes tangencial y

normal.

La aceleración de un objeto cuya función de posición es kthjtgitftr )()()()( viene

dada por NATAA NT .

NtVkTtVtd

dA ])([)(

2

. k es la curvatura de la trayectoria en el instante t.

De la ecuación anterior: )(tVtd

dAT

2)(tVkAN

Otras fórmulas para TA y NA .



)(

)().(

tr

trtrAT

3)(

)()(

tr

trtrAT

)(

)()(

tr

trtrAN


91. La ecuación de un movimiento es ktjtittr 32)( . Determinar en los instantes

0t y 1t : a) la curvatura de flexión de la trayectoria y b) las componentes tangencial y

normal del vector aceleración del movimiento.

Respuesta: a) 2K , 0Ta , 2Na ; a) 1419

71K ,

14

22Ta , 14192Na .

92. [RL] Una partícula se mueve según la fórmula dada. Hallar i) la velocidad, su módulo y

la aceleración de la partícula; ii) las componentes tangencial y normal de la aceleración; iii)

la curvatura de la trayectoria.

a) ktjtittr 244)( b) ktjtittr sen 3cos34)(

c) kejteitetr ttt sen cos)(

Respuesta: a) i) kjitv 244)( , 6)( tv , 0)( tA ; b) i)

ktjtitv cos3sen 34)( , 5)( tv , ktjttA sen 3cos3)( , ii) 0. TA , 3. NA ,

iii) 253 ; c) i) kejteteitetetv ttttt )sen cos()cossen ()( , tetv 3)( ,

kejteitetA ttt cos2sen 2)( , ii) teTA 3. , teNA 2. , iii) te3

2 .

2.9.- REPASO Y DISCUSIÓN.

Verdadero/falso.

En los planteamientos a) – j), indique si el enunciado dado es verdadero (V) o falso (F).

a) Si f, g y h son funciones polinómicas de primer grado, entonces la curva dada por

)(tfx , )(tgy , )(thz es una recta _____.

b) Si la curva dada por )(tfx , )(tgy , )(thz es una recta, entonces las funciones f,

g, h son polinomios de primer grado en t _____.

c) Una partícula cuyo vector de posición es ktjtittr sen 2coscos)( se mueve con

rapidez constante _____.

d) Un círculo tiene curvatura constante _____.



e) El vector binormal es perpendicular al plano osculante _____.

f) Si )(tr es el vector de posición de una partícula en movimiento, entonces el vector

velocidad )()( trtv y el vector aceleración )()( trta son ortogonales _____.

g) Si la binormal está definida por NTB , entonces la normal principal es TBN

_____.

h) )()( trtrtd

d _____.

i) Si )(tr es diferenciable, entonces td

rdtrtr

td

d).(2)( _____.

j) La curva dada por )(tfx , )(tgy , tz está contenida en un plano _____.

Llene los espacios en blanco.

a) La trayectoria de una partícula en movimiento cuyo vector de posición es

ktjittr 42 4)1()( yace en el plano __________.

b) La curvatura de una línea recta es __________.

Para la función vectorial 3

312 ,,)( ttttr ,

c) )1(r __________ d) )1(r __________ e) )1( __________

f) )1(T __________ g) )1(N __________ h) )1(B __________

y en el punto correspondiente a )1(r __________ una ecuación del

i) plano normal es ____________________ y una ecuación del j) plano osculante es

____________________.



BIBLIOGRAFÍA.

APOSTOL, T, Calculus., REVERTÉ Ediciones, S.A de C.V. México, 2009.

BEER, F., E. R. JOHNSTON Jr. y P. J. CORNWELL, Dinámica., McGraw-

Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2012.

DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,

Moscú, 1977.

DEMIDOVICH, B. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, 1988.

LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,

Inc., California, 1969.

LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial

Interamericana de Venezuela, C.A., división de Mc Graw – Hill Internacional, Caracas,

1986.

LARSON, R, HOSTETLER, R y EDWARDS, B, Cálculo con Geometría Analítica, 8 ed.,

Mc Graw – Hill Interamericana Editores S.A de C.V, México, 2006.

LARSON, R y EDWARDS, B, Cálculo, 9 ed., Mc Graw – Hill Interamericana Editores

S.A de C.V, México, 2010.

LEHMAN, C. Geometría Analítica. Editorial LIMUSA, México, 1989.

LEITHOLD, L, El Cálculo, 7 ed., Oxford University Press México, S.A de C.V. México,

1998.

MARSDEN, J y TROMBA, A. Cálculo Vectorial, Quinta Edición., Perason Educación

S.A., Madrid, 2004.

MATAIX, J. Problemas de Geometría Analítica. Editorial Dossat, S.A. Madrid, 1960.

PURCELL, E, VARBERG, D y RIGDON, S, Cálculo, 9 ed., Pearson Educación de

México, S.A de C.V, México, 2007.

SILVA, L, Ejercicios propuestos de Funciones Vectoriales. Universidad de Oriente,

Maturín, 2012.

SPIEGEL, M. Cálculo Superior., Mc Graw – Hill Interamericana de México, S.A de C.V.

México, 1991.



THOMAS, G, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica., Aguilar S. A de Ediciones.

Madrid, 1979.

ZILL, D, y WRIHGT, W. Cálculo de varias variables. Cuarta edición. Mc Graw – Hill /

Interamericana Editores S.A. de C.V. México, 2011.

Education

03 funciones vectoriales