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La cornea: una superficie diferenciable
Plano del cristalino
Plano del apex
sagital
plana
Sobre la hipótesis de la diferenciabilidad
• Un tejido continuo• Sin cambios bruscos de
pendiente para que se forme una imagen coherente (dos veces diferenciable)
Sobre las representaciones
• Mapa de alturas, fijado el plano del apex o el del cristalino
• Mapa de distancias al apex (convexidad)
La cornea: una superficie diferenciable
• (1) Mecánica: estructura + dinámica de fluidos
• (2) Óptica: lente convexa
(1) Mecánica: un esquema
fluido
Material elástico
Sustrato Sólido
Entrada y salida
(1) Navier Stokesy condiciones de contorno
densidadCampo de velocidades
Gradiente de presión
Fuerzas externas
Tensor deesfuerzos
(2) Una lente convexa:videokeratografía
• Idea 1: Cada círculo del disco de Plácido se refleja en una curva cerrada
• Idea 2: La imagen de cada punto está en la recta que lo une con el nodo de la cámara
Idea 1
El uso de círculos ayuda a la valoración cualitativa
Nodo de la Cámara
fuente
a
imagen
Idea 2
¿Dónde está este punto?
Primera respuesta: en la recta que une la imagen y el nodo.
Para el desarrollo de un algoritmo hay que imponer alguna hipótesis adicional que permita
seleccionar el punto de la recta adecuado
Algoritmos comerciales:
• implementados en instrumentos comerciales
• no accesibles
Algoritmos teóricos:
1. Van Sarloos-Constable
2. Klein
3. Klein et al
1.Van Sarloos-Constable
• Hipótesis 1: La fuente, el nodo de la cámara y la imagen están en el mismo meridiano (de alguna manera simetría rotacional)
• Hipótesis 2: En cada meridiano dos puntos consecutivos están unidos por arcos de circunferencia cuyas rectas tangentes son las mismas (diferenciable) y siguen las leyes ópticas
Hipótesis 2
nodo
Mi
ai
Imagen de Mi
Imagen de Mi+1
Mi+1
mi mi+1
Funciona
• El punto mi se construye a partir del anterior
• Se aporta un algoritmo para construir m1
• La circunferencia que debemos construir pasa por mi, la tangente en mi está fijada y la tangente en el correspondiente punto de intersección con la recta (Mi, nodo) está fijada: Pencils de cónicas
Valoración
Deficiencias• Tratamiento
meridiano a meridiano asume simetría rotacional
• El resultado no es dos veces diferenciable
Ventajas• Rápido y simple (sólo
involucra ecuaciones cuadráticas)
¿Valoración cuantitativa?
2. Klein
• Hipótesis 1: La fuente, el nodo de la cámara y la imagen están en el mismo meridiano
• Hipótesis 2: m(i), m(i+1) y m(i+2) yacen en un polinomio cúbico dos veces diferenciable
Funciona
• El punto mi se construye a partir de los dos anteriores
• Se aporta un algoritmo para calcular m1• Para calcular m2 se utiliza un polinomio
cuadrático (en vez de cúbico) (la zona paracentral de la cornea puede considerase esférica)
• Curvas de Bezier y polinomios de Bernstein
Valoración
Deficiencias• Tratamiento
meridiano a meridiano asume simetría rotacional
• Involucra ecuaciones cúbicas
Ventajas• Las cúbicas en
geometría computacional
• El resultado es dos veces diferenciable
¿Valoración cuantitativa?
2. Klein et al
• Hipótesis 1: La superficie es polinomial a trozos (parches de grado 5)
• Hipótesis 2: es dos veces diferenciable
Funciona dinámicamente
• Se parte de una superficie de referencia
• Se computa la imagen por esta superficie y se estima un error con la imagen real
• Se modifican los vectores normales a la superficie para minimizar este error
• Se itera
Valoración
Deficiencias• No hay resultados de
convergencia• Involucra ecuaciones
quínticas
Ventajas• No se asume simetría
rotacional• El resultado es dos
veces diferenciable
¿Valoración cuantitativa?
Líneas de trabajo
• Paso 1: Diseñar un experimento para medir la cornea (ni asuma las hipótesis de los aparatos comerciales y no tenga limitaciones temporales tan estrictas)
• Paso 2: Tomar estas medidas en pacientes con comportamientos evolutivos en la cornea (por ejemplo sometidos a cirugía)
• Paso 3: Diseñar modelos evolutivos
Dos Ideas
Estereografía
• Instrumentos adecuados
• Tratamiento estadístico
• Implementaciones
Secciones planas
• Ajustar la lámpara de hendidura
• Tratamiento estadístico
• Implementaciones
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