02 Fisica de Fluidos

Modulo Formativo 1, Unidad Formativa 1 Unidad de Aprendizaje 1: Funcionamiento de Redes de Abastecimiento de Agua.

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2.- Física de fluidos aplicada a redes de abastecimiento y distribución de agua. Hidráulica.

La hidráulica es una rama de la Física y la ingeniería que se encarga del estudio de las propiedades mecánicas de los fluidos.

Aunque los gases son estudiados por la neumática, muchos de los fenómenos y propiedades que presentan los líquidos, se presentan también aplicables a los gases.

En virtud de que los fluidos pueden estar en reposo o en movimiento, la hidráulica puede dividirse en Hidrostática y en Hidrodinámica. Características de los fluidos.

Gran parte de los fenómenos que ocurren a nuestro alrededor tienen estrecha relación con un líquido o con un gas.

Cuando centramos nuestra atención en el recipiente que se utiliza para almacenar gas, pensamos que éste está almacenado a presión dentro de él. De la misma forma, a un día lluvioso siempre lo precede una baja en la presión atmosférica. Por otro lado, es también común observar cómo en la cortina de las presas se utiliza un diseño especial para soportar la gran fuerza ejercida por el agua.

Estos fenómenos ocurren en base a ciertas características específicas que tienen los líquidos y los gases y que dan lugar a las condiciones antes citadas.

En el transcurso del estudio de la Física nos hemos familiarizado con la existencia de tres estados fundamentales de la materia con características y propiedades específicas: sólido, líquido y gaseoso.

Básicamente lo que distingue a estas tres fases de la materia es la fuerza con que interactúan sus átomos y moléculas (lo cual determina la forma en la que estarán distribuidos) y el movimiento que presentan dichos átomos.

En los sólidos, sus átomos y moléculas experimentan intensas fuerzas de

atracción, que provocan que se encuentren agrupadas a poca distancia entre sí y con un movimiento vibratorio de poca amplitud. Esto hace que los sólidos tengan forma y


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volumen bien definidos y que opongan gran resistencia a las fuerzas que tienden a cambiar su forma y volumen.

En los líquidos las moléculas experimentan menor fuerza de atracción que en los sólidos, por lo que la separación entre ellas y su movilidad es poco mayor que en los sólidos. Los líquidos se resisten poco a las fuerzas que tienden a cambiarlos de forma. Esto provoca que las capas superiores puedan fluir sobre las capas inferiores. En consecuencia, los líquidos tienen un volumen definido, pero adoptan la forma del recipiente que los contiene.

En los gases las moléculas experimentan muy poca fuerza de atracción, provocando que sus moléculas estén muy apartadas y que se muevan y fluyan con entera libertad alejándose todo lo que el recipiente le permita. Por eso los gases no tienen forma ni volumen definidos.

Otra clasificación agrupa a gases y líquidos en la categoría de fluidos, precisamente porque tienen la importante característica de poder conducirse mediante tuberías. Esto les confiere características mecánicas especiales entre las cuales están tensión superficial, capilaridad y densidad.

Estas propiedades se definen en base a las interacciones que tienen lugar entre las moléculas de un elemento y se manifiestan en forma de fuerzas de cohesión y fuerzas de adhesión.

Una propiedad fundamental en todos los objetos y que se refiere a la cantidad de materia existente en él es la masa; de esta forma, para poder hacer análisis comparativos entre masas de sustancias diferentes respecto a su ligereza, necesitamos auxiliarnos de un parámetro adicional que se refiere al espacio que ocupa un cuerpo: el volumen.

La densidad se refiere a la relación que existe entre la masa que tiene un cuerpo y el volumen que ocupa. Se representa con la letra griega ρ (“rho”).

Las unidades con las que se mide la densidad resultan al dividir unidades fundamentales de masa entre unidades de volumen; si la masa se mide en kilogramos y el volumen en metros cúbicos, las unidades correspondientes en el sistema internacional serán el kilogramo sobre metro cúbico (kg/m3). En el sistema CGS las unidades son g/cm3.

Otras unidades podrían ser: kg/litro, g/ml, lb/gal, etc.


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Un ejemplo que nos permite entender el concepto de densidad sería el siguiente: Si disponemos de un recipiente cuyo volumen corresponde a un metro cúbico (puede ser un cubo de un metro por cada lado) y lo llenamos con gasolina, podemos medir su masa y encontraremos que corresponde a 680 kilogramos. Sin embargo, si ese mismo recipiente lo llenamos con alcohol, observaremos que su masa es de 790 kilogramos. Lo anterior nos hace suponer que a iguales volúmenes de sustancias distintas, les corresponde distinta masa. La densidad en el alcohol es mayor que en la gasolina como lo indica la tabla de densidades.

PROBLEMA: ¿Qué volumen deberá tener un recipiente para introducir en él 150 Kg de mercurio? Datos: Densidad del mercurio: 13,6 g/cm3 Si un tanque de 250 litros se llena totalmente de gasolina, ¿cuántos kilogramos de gasolina caben en él? Datos: Densidad de la gasolina: 0,68 g/cm3 El osmio es el metal más pesado en la Tierra, ¿cuántos kilogramos de este metal caben en un recipiente cúbico de 30 cm de lado? Datos: Densidad del Osmio: 22,5 g/cm3

La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso. Esto es debido a la relación P = mg existente entre masa y peso.

No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la física ha introducido el concepto de peso específico “Pe”.

Se calcula dividiendo el peso de un cuerpo o porción de materia entre el volumen que éste ocupa. En el Sistema Internacional de Unidades, se mide en newton por metro cúbico (N/m³).


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Donde Pe = peso específico, W = peso, V =volumen, m = masa, g = aceleración de la gravedad.

El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unitario de la misma sustancia considerada. PROBLEMA: ¿Cuál es el peso específico del aluminio? Datos: Densidad del aluminio: 2700 Kg/m3 ¿Cuántos kilogramos de gasolina hay en un tanque de 46 m3, si la densidad de la gasolina es de 0,68 g/cm3? Encuentra cuánto volumen de agua se necesita para igualar la masa de un cubo de plomo de 1 m de arista. Datos: Densidad del plomo: 11,3 g/cm3 Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de 2x1030 Kg. ¿Cuánto pesaría un volumen de 1 cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la atracción gravitacional en la superficie de la tierra? Presión.

Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto.

La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante.


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Matemáticamente, la presión está dada por la siguiente ecuación:

En donde A representa el área sobre la que se aplica una fuerza perpendicular F. Las unidades que se utilizan para medir la presión, resultan al dividir cualquier

unidad de fuerza entre cualquier unidad de área.

En el Sistema Internacional se tiene al N/m2 que recibe el nombre de pascal (Pa), siendo una medida más adecuada el kilopascal el cual tiene las siguientes equivalencias:

La presión puede ser aplicada por un sólido sobre un sólido, por ejemplo, si empujas con una fuerza de 100 Newtons, y el área de contacto es de ½ m2, entonces la presión será:

La presión también puede ser causada por la fuerza de gravedad, por ejemplo cuando un objeto reposa sobre el piso, la presión será el peso del objeto, dividido sobre el área de contacto, P = W/A


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Considera los siguientes tres casos,

Para un objeto que reposa sobre una superficie, la fuerza que presiona la superficie es el peso del objeto, pero en diferentes orientaciones, podría tener una diferente área de contacto con la superficie y por lo tanto ejercería una presión diferente.

PROBLEMA: Calcula la presión que ejerce un ladrillo de 4 Kg y cuyos lados miden 30 cm, 15 cm y 6 cm, en los siguientes casos: a) Cuando está apoyado por su cara de mayor área. b) Cuando está apoyado por su cara de menor área. Dar los resultados en N/cm2 y en Pa

Si un recipiente contiene un líquido, el peso de dicho líquido ejerce presión sobre el fondo del recipiente y se calcularía de la misma manera que para los sólidos: P = W/A.


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La única diferencia es que en los líquidos, la presión se ejerce en todas

direcciones, es decir, la presión en el fondo y a los lados del fondo sería la misma.

Podemos tener un fluido (líquido o gas) confinado en un recipiente o cilindro y se puede incrementar o disminuir la presión, mediante el movimiento de un émbolo o pistón (como en las bombas manuales para inflar llantas).

En este caso, la presión se calcula dividiendo la fuerza ejercida entre el área del émbolo.

La presión se transmite por igual en todas direcciones.

La Ley de Pascal, enunciada sencillamente, dice: la presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente en todas las direcciones y ejerce fuerzas iguales sobre áreas iguales, actuando estas fuerzas normalmente en las paredes del recipiente.

Esto explica por qué una botella llena de agua se rompe si introducimos un tapón en el interior ya completamente lleno. El líquido es prácticamente incompresible y transmite la fuerza aplicada al tapón a todo el recipiente.

La compresibilidad es una propiedad de la materia a la cual se debe que todos los cuerpos disminuyan de volumen al someterlos a una presión o compresión determinada manteniendo constantes otros parámetros.

Los sólidos a nivel molecular son muy difíciles de comprimir, ya que las moléculas que tienen los sólidos están muy cercanas entre sí y existe poco espacio libre entre ellas como para acercarlas sin que aparezcan fuerzas de repulsión fuertes.

Esta situación contrasta con la de los gases los cuales tienen sus moléculas

separadas y que en general son altamente compresibles bajo condiciones de presión y temperatura normales.


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Los líquidos bajo condiciones de temperatura y presión normales son también bastante difíciles de comprimir aunque presentan una pequeña compresibilidad mayor que la de los sólidos. PROBLEMA: Una pieza de metal se golpea con un martillo para moldearla. Si el martillo se proyecta sobre la pieza con una fuerza de 70 N y el diámetro sobre el cual se impacta es de 2 pulgadas, ¿cuánta presión se ejercerá con cada golpe? Se tienen los siguientes datos: Fuerza aplicada = 70 N Diámetro sobre el cual se aplica la fuerza = 2 pulgadas = 5,08 cm PROBLEMA: 1. Cuando a un cuerpo sólido se le aplica una fuerza de 50.000 N, experimenta una presión de 5N/cm2. Calculen el área en m2 sobre la cual se aplica dicha fuerza. 2. ¿Qué masa tiene un cuerpo que ejerce una presión de 400 Pa sobre una superficie de 7,35 m2? 3. Dos personas que pesan igual caminan sobre la nieve. Si una lleva zapatos del número 7 y la otra del 8, ¿Cuál de ellas dejará huellas más profundas en la nieve? Razonen la respuesta. 4. Calculen la presión que ejerce sobre el piso una mujer de 60 Kg en los siguientes casos: a) Cuando está de pie en zapatos planos que abarcan un área de 400 cm2 b) Cuando está de pie en zapatillas donde el área de apoyo es de100 cm2 c) Al sentarse, en el que por un instante todo su peso se apoya en las puntillas de las zapatillas cuya área es de 2 cm2 5. ¿Cuál será la presión que ejercerá una vaca sobre el suelo si la superficie de cada una de sus patas es aproximadamente de 50 cm2 y su masa es de 600 kg? 6. Las cuatro llantas de un automóvil se inflan a una presión de 2 x 105 Pa. Cada llanta tiene un área de 0.024 m2 en contacto con el piso. Determina la masa del automóvil. 7. Un chico de 65 kg de masa usa unos zapatos que tienen una superficie de 250 cm2 cada uno. Una chica de 50 kg los usa de una superficie de 175 cm2. ¿Cuál de los dos hace más presión sobre el suelo? El que hace más presión pretende disminuirla y para eso se pone de puntillas. Razona si hace bien o mal. 8. ¿Qué presión se ejerce sobre cada una de las cuatro patas de una mesa si su masa es de 20 kg y tiene encima 10 kg de cosas? (Dato: la superficie de apoyo de cada pata es de 20 cm2)


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9. Un cubo de metal de 20 metros de arista y densidad 8000 Kg/m3, ¿qué presión ejerce sobre una de sus caras? 10. Un hombre de peso 700 N está de pie sobre una superficie cuadrada de 2 metros de lado. Si se carga al hombro un saco de 50kg, ¿cuánto debe medir la superficie de apoyo para que la presión sea la misma? 11. Las dimensiones de un ladrillo son 15x10x3 cm y su densidad 2040 Kg/m3. Halla la presión ejercida por cada cara. Presión hidrostática.

Los sólidos son cuerpos rígidos que pueden soportar fuerzas de gran magnitud, de tal forma que es poco probable que en ellos se aprecien cambios significativos en su estructura. Por su parte, líquidos y gases sólo soportarán la aplicación de una fuerza cuando están confinados en un recipiente cerrado, lo cual tiene como consecuencia que se deformen elásticamente; de lo contrario, fluirán.

En los líquidos podemos aplicar fuerzas perpendiculares a su superficie, puesto que son prácticamente incompresibles, pero cualquier fuerza paralela a su superficie hará que el líquido fluya si no está confinado a un recipiente. Esta es la razón por la cual, si tenemos un líquido en un recipiente, la superficie libre es siempre horizontal y por eso adopta la forma del recipiente que lo contiene.

Los gases no soportan ni fuerzas perpendiculares, ni fuerzas paralelas a su superficie. Las primeras hacen que los gases se compriman y las segundas hacen que fluyan, como en el caso de los líquidos.

Toda fuerza ejercida por un fluido en reposo, o sobre él, debe ser perpendicular a la superficie sobre la que actúa, de lo contrario el líquido fluirá, de ahí la importancia del concepto de presión en los fluidos.

El concepto de presión en los fluidos da lugar a la siguiente característica:


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La presión que ejercen los fluidos cuando están contenidos en un recipiente es mayor en un punto que se encuentre a mayor profundidad que otro; así, un punto en el fondo del recipiente estará sometido a una mayor presión que un punto en la superficie del mismo debido al peso del fluido que hay encima.

Esta presión, llamada presión hidrostática, puede obtenerse así:

Supongamos un recipiente de base rectangular, relleno con cualquier líquido. El fondo del recipiente recibirá una presión debida al peso del líquido.

El volumen del líquido es el área de la base por la altura, V = ah. De la densidad del líquido ρ = m/V, despejamos la masa: m = ρV. Con estos datos podemos calcular la presión:

La presión que ejerce un fluido en cualquier punto es directamente proporcional a

la densidad del fluido y a la profundidad a que se encuentre dicho punto en relación a la superficie.


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Donde: P = presión hidrostática, ρ = densidad del líquido, g = aceleración de la

gravedad y h = la profundidad.

Debido a que la presión hidrostática es mayor, a mayor profundidad, la velocidad con la que sale un líquido es mayor entre más profundo sea el orificio de salida, como se puede observar en la figura de la izquierda. Si el orificio está cerca del fondo del recipiente, el chorro no puede llegar muy lejos.

Se puede generalizar esta expresión para dos puntos cualesquiera en el interior de un fluido, separados entre sí por una altura h. La presión hidrostática en un punto 2 de la cara inferior de un prisma imaginario se obtiene sumando la presión en un punto 1 de la cara superior en A y la presión hidrostática debida al peso del agua que está entre dichos puntos (ρgh), es decir:


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A esta expresión se le conoce como la Ecuación Fundamental de la

Hidrostática. PROBLEMA: Un nadador se encuentra en una alberca a una profundidad de 3 metros. ¿Cuánto vale la presión hidrostática que experimenta? DATOS: h = 3 m, ρ = 1000 kg/m3, g = 9.8 m/s2

En la planta baja de un edificio departamental la presión del agua es de 30.2 N/cm2. El edificio consta de 10 pisos y cada uno tiene una altura de 3 metros. ¿Hasta qué piso subirá el agua? DATOS: P= 30.2 N/cm2 = 302,000 N/m2, ρ = 1000 Kg/m3, g = 9.8 m/s2

Para un líquido determinado, la presión sólo depende de la altura o profundidad. Esto significa que si tenemos recipientes de forma diferente, con diferentes cantidades de un líquido, pero la altura a la que se encuentra el líquido es la misma, entonces la presión que ejercen sobre el fondo tiene el mismo valor.


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Lo anterior es el principio de los vasos comunicantes: si unimos varios recipientes

y vertemos agua en uno de ellos, debido a que la presión en el fondo debe ser la misma, el nivel al que suba el agua será el mismo en todos los recipientes, independientemente de su forma y tamaño.

Los albañiles utilizan este principio, cuando utilizan una manguera para nivelar dos puntos en una habitación que deben quedar a la misma altura. La red distribución de agua en una ciudad sigue también este principio.


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PROBLEMA: 1. Calcula la diferencia de presión que hay entre dos puntos de una piscina, situados en la misma vertical, a una distancia de 1 metro. Dato: densidad del agua = 1000 Kg/m3

2. Calculen la diferencia de presión que hay entre dos puntos que están en el aire, situados en la misma vertical, a una distancia de 1 metro. Dato: densidad del aire = 1.293 Kg/m3

3. La escotilla de un submarino tiene una superficie de 100 dm2. ¿Qué presión ejercerá el agua del mar, cuya densidad es 1.03 g/cm3, sobre la escotilla cuando el submarino se encuentre a una profundidad de 25 m? ¿Qué fuerza soportará la escotilla en estas condiciones? Presión atmosférica.

La atmósfera es la capa de aire que rodea a la Tierra y es indispensable para la vida de plantas y animales. Esta masa de aire es atraída por la gravedad terrestre, es decir, la atmósfera tiene peso y por lo tanto, ejerce una presión sobre todos los cuerpos en contacto con ella, incluyéndonos a nosotros. A esta presión se le llama presión atmosférica.

Como la densidad del aire disminuye cuando nos elevamos, no podemos calcular ese peso a menos que seamos capaces de expresar la densidad del aire ρ en función de la altitud z o de la presión p. La densidad de la atmósfera es mayor en los lugares más cercanos a la superficie terrestre. El 50% del aire se encuentra en los primeros 5.5 kilómetros de altitud y el 99% del aire se encuentra aproximadamente en los primeros 30 kilómetros de altitud. Por ello, no resulta fácil hacer un cálculo exacto de la presión atmosférica sobre la superficie terrestre; por el contrario, es muy fácil medirla.

El primero en medir la presión atmosférica fue el físico italiano Evangelista Torricelli, contemporáneo de Galileo, en 1644. Para hacerlo tomó un tubo de vidrio de un metro de largo, cerrado por uno de sus extremos. Dicho tubo lo llenó de mercurio. Con el extremo libre tapado, invirtió el tubo y lo sumergió en un recipiente que también contenía mercurio. Al destapar el extremo inferior, la columna de mercurio del tubo descendió hasta detenerse a una altura de 76 centímetros, medido desde la superficie del mercurio del recipiente; se detuvo debido a que la presión atmosférica sobre la superficie del mercurio que está en el recipiente, equilibra a la presión que ejerce la columna de mercurio del tubo.

Torricelli concluyó que la presión atmosférica equivale a la presión hidrostática

ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de altura.

Esta presión se dice que es 1 atmósfera (1 atm).


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1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg

Como la presión atmosférica es igual a la presión hidrostática que ejerce una columna de mercurio de 76 cm de altura, entonces su valor es el siguiente: Pat = ρg h = (13600 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.76 m) =1,013 x 105

Pa

El experimento de Torricelli se realizó al nivel del mar. Pero, así como la presión hidrostática depende de la altura, igualmente la presión atmosférica no tiene el mismo valor en lugares de la Tierra cuya elevación respecto al nivel del mar es diferente (ver tabla).

Por ejemplo, en la ciudad de Guadalajara, la presión es menor que la de Alicante, ya que la primera se encuentra a casi 645 metros sobre el nivel del mar, mientras Alicante se encuentra a 0 metros del nivel del mar.

Variación de la presión atmosférica con la altitud:

Esto significa que los aparatos que se utilizan para medir la presión atmosférica, llamados barómetros y manómetros, también pueden ser utilizados para medir la altitud del lugar.


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Las unidades utilizadas para medir la presión atmosférica son las mismas utilizadas para medir presión hidrostática; en honor a Torricelli se ha convenido en llamar Torr a un milímetro de mercurio. En meteorología se emplea una unidad diferente para medir la presión atmosférica denominada bar.

Por ser el aire un fluido, pudiéramos pensar que la magnitud de la presión atmosférica puede calcularse con la expresión para la presión hidrostática P =ρg h

¿Qué dificultades tendríamos para usar esta expresión para el cálculo de la presión atmosférica? Presión absoluta.

Como la presión atmosférica actúa sobre todo los objetos y sustancias que están en contacto con ella, si un líquido se encuentra en un recipiente al descubierto, (una alberca o el mar es un buen ejemplo), la presión total en un punto situado a una altura o profundidad “h” se obtiene sumando la presión atmosférica del lugar y la presión hidrostática. A esta presión total se le conoce como presión absoluta, es decir:

Esto está en concordancia con la Ecuación Fundamental de la Hidrostática que vimos en la sección anterior. PROBLEMA: 1. Calcula la presión absoluta de un buzo que se encuentra a 10 metros de profundidad en agua de mar. DATOS: Pat=1,013 x 105 Pa, ρ = 1024 kg/m3, g = 9.8 m/seg2, h = 10 m SOLUCION:

La presión absoluta se obtiene sumando la presión atmosférica a la presión

hidrostática, es decir: Pab = Pat + ρg h

La presión atmosférica hace que aumente al doble la presión total sobre el buzo. Principio de Pascal


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Debido a que los líquidos son prácticamente incompresibles, cualquier presión que

se ejerce sobre ellos se transmite de manera íntegra e inmediata a todos los puntos del líquido. Blaise Pascal, científico francés del siglo XVII estudió cómo se transmite la presión que se ejerce sobre un fluido y el efecto que se observa lleva su nombre:

El principio de Pascal quizá no tendría tantas aplicaciones si sólo nos ayudara a la transmisión de fuerzas y presiones, su principal aplicación radica en que también nos ayuda a multiplicar dichas fuerzas, como se demuestra a continuación:


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La presión inicial (Pi) a un gato hidráulico, aplica una fuerza inicial Fi a un pistón de área muy pequeña Ai. Según el principio de Pascal, esta presión se transmite íntegramente al pistón de salida cuya área es As. Como:

Lo cual nos indica que la fuerza inicial Fi se multiplica tantas veces como el área de salida, As es mayor que el área de entrada Ai. Así, si aplicamos una fuerza inicial de 10 Newton en un área de 1 cm2, y si el pistón de salida tiene un área de 100 cm2, la fuerza de salida será de 1000 Newton, es decir, la fuerza inicial se multiplicó por 100.

Una aplicación muy común de este principio lo encontramos en el sistema de frenado hidráulico de los autos, en donde una pequeña fuerza aplicada al pedal de los frenos, se transmite a través de tubos muy delgados llenos de un líquido hasta llegar a los cilindros de frenado, convertida en una fuerza lo suficientemente grande para detener la marcha del vehículo.


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PROBLEMA: 1. Un elevador de taller mecánico tiene pistones de entrada y salida (el de levantamiento) de 5 centímetros y de 60 centímetros de radio respectivamente. Con este dispositivo se mantiene levantado un auto de 2000 Kg. ¿Cuál es la fuerza aplicada al pistón de entrada? DATOS: Fs = P = mg =19600N ri = 5 cm rs = 60 cm


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Principio de Arquímedes.

Seguramente habrás notado que cuando te encuentras en una alberca o en un río los objetos aparentan ser más livianos. Puedes levantar con facilidad una pesada piedra mientras se encuentre dentro del agua, pero una vez fuera de ella se requiere de más esfuerzo para levantarla. Dentro de un líquido los cuerpos tienen un peso aparente menor que en el aire.

Este fenómeno fue estudiado por el sabio griego Arquímedes, de quien se relata una de las anécdotas científicas más pintorescas de la historia de la ciencia. Se dice que el rey Herón le encargó a Arquímedes que investigara si el orfebre a quien le había encargado la elaboración de su corona, había utilizado en su totalidad el oro que le había asignado para dicho trabajo, o bien, si había usado sólo una parte y había completado la corona con otro metal más barato. Se cuenta que estaba en la tina de su baño y al observar cómo se hundía y flotaba su cuerpo al aspirar y exhalar aire, se le ocurrió la idea de cómo resolver el misterio de la corona. Salió emocionado, corriendo por las calles del pueblo y gritando: ¡eureka!, ¡eureka! que significa: ¡lo encontré!, ¡lo encontré!

La solución a este problema se explica por el principio que lleva su nombre:

Matemáticamente, podemos encontrarlo de la siguiente manera: Empuje = peso del líquido desalojado = mL g Pero Ml = ρLVL entonces:

Donde mL es la masa del líquido desalojado, ρL es la densidad de ese líquido y VL el volumen del mismo líquido. Aquí es importante observar que el volumen del líquido desalojado es igual al volumen del cuerpo (Vc) que se introduce en él.


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En realidad, el Principio de Arquímedes es consecuencia de la presión hidrostática

que experimenta cualquier objeto sumergido en un fluido.

Sobre la cara inferior actúa más presión que en la superior, por estar a mayor profundidad y, por tanto, la fuerza F2 es mayor que la F1. Las dos fuerzas laterales son iguales y se anulan una con la otra. Así pues, sobre el cuerpo sumergido actúa una fuerza hidrostática resultante hacia arriba: el empuje (E).

Sobre un cuerpo sumergido tenemos actuando dos fuerzas: una es el empuje y la

otra es el peso del propio cuerpo.


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Si se introduce un cuerpo en el interior de un fluido, puede ocurrir que el peso sea mayor que el empuje y entonces el cuerpo se irá al fondo (la resta de peso menos empuje se denomina "peso aparente"), o bien el empuje será mayor que el peso y entonces flotará y emergerá en parte hasta que el empuje disminuya hasta igualar el peso y se quede en equilibrio a flote.

Si el peso y el empuje son iguales, la resultante de las dos fuerzas es cero y el objeto se conservará en equilibrio en el lugar en que se coloque dentro del líquido.

Un cuerpo se hunde porque su densidad es mayor que la del líquido y flota cuando su densidad es menor.

Si colgamos un objeto de un dinamómetro leeremos su peso (P). Cuando lo introducimos a un líquido leeremos un peso menor, esto es su peso aparente (Pap). Pap = P – E O bien: E = P – Pap


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PROBLEMA: 1. Una roca tiene una masa de 0,5 Kg y un volumen de 100 cm3. Calcula el empuje que recibe si se sumerge totalmente en gasolina. DATOS: Vc =VL =100 cm3

ρ = 680 kg/m3

g = 9,8 m/s2

SOLUCION:


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PROBLEMA: 2. Un cuerpo cuyo peso es de 400 N, al sumergirse en un recipiente que contiene glicerina tiene un peso aparente de 250 N. ¿Cuál es el volumen del cuerpo? DATOS: P =400 N Pap = 250 N ρL=126 kg/m3

SOLUCION: De la expresión del peso aparente Pap = P – E, despejamos E: E = P – Pap=150 N Ahora de la ecuación E = ρL VL g, despejamos el volumen:

Recordemos que el volumen del líquido desalojado (VL) es igual al volumen del cuerpo (Vc) que se introduce en dicho líquido. PROBLEMA: 3. Se tiene un trozo de material de forma irregular cuya masa es de 2,5 kilogramos. Se sumerge en un recipiente y se encuentra que desaloja un volumen de 3,8 litros. Encontrar la densidad del material. DATOS: Masa = 2,5 kilogramos Volumen = 3,8 litros SOLUCION:

Para obtener unidades conocidas de densidad se tendrá que expresar el volumen en metros cúbicos:


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Calculando la densidad, tendríamos:

Se pueden utilizar unidades más pequeñas para expresar la densidad y poder

manejarlas fácilmente, por ejemplo, gramos sobre centímetros cúbicos.

PROBLEMAS: 1. En una prensa hidráulica el área del émbolo menor es de 6 cm2 y la del émbolo mayor es de 48 cm2. Cuando en el émbolo menor se aplica una fuerza “F”, en el mayor se obtiene una fuerza: a) 8 veces mayor. b) 12 veces mayor. c) 48 veces mayor. d) Igual a F. 2. Se tienen dos recipientes iguales, uno de los cuales contiene agua y el otro alcohol. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) La presión es mayor en el fondo del recipiente que contiene alcohol. b) La presión es mayor en el fondo del recipiente que contiene agua. c) La presión es igual en el fondo de ambos recipientes. d) No hay presión en el fondo de los recipientes. 3. La presión atmosférica al nivel del mar equivale a la presión que ejerce una columna de mercurio de 76 cm de altura. En la Ciudad de México la atmósfera ejerce una presión igual a una columna de mercurio de solo 58 cm de altura. Esta diferencia se debe a: a) La columna de aire desde el nivel del mar hasta las últimas capas de la atmósfera contiene menos aire. b) La columna de aire desde la ciudad de México hasta las últimas capas de la atmósfera contiene más aire. c) La columna de aire desde el nivel del mar hasta las últimas capas de la atmósfera, contiene mucho aire. d) La columna de aire desde la ciudad de México hasta las últimas capas de la atmósfera contiene menos aire.


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4. El viaje de un globo aerostático, con sus ascensos, descensos y su estabilidad a cierta altura, está basado en un principio físico llamado: a) Principio de Pascal. b) Principio de Arquímedes. c) Principio de Bernoulli. d) Principio de Torricelli. 5. Un recipiente de un litro se llena totalmente de mercurio y contiene una masa de 13.6 kg. Al sumergirse en agua el empuje que recibe es de: a) 128.3 N b) 13.6 N c) 9.8 N d) 6.8 N 6. Un cuerpo sólido cuyo peso es de 98 N se sumerge en un recipiente con agua y desplaza dos litros de dicho líquido. El empuje que recibe el sólido es de: a) No recibe ningún empuje. b) 2 Newton. c) 19.6 Newton. d) 96 Newton. 7. Un nadador se encuentra en una alberca a dos metros de profundidad. Una canica se encuentra en el fondo de un tubo cilíndrico de 5 cm de diámetro y dos metros de alto, el cual también contiene agua. La presión hidrostática será: a) Mayor para la canica. b) Mayor para el nadador. c) Muy poca para la canica. d) Igual para el nadador y la canica.


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HIDRODINÁMICA

Una vez estudiadas en la hidrostática las características y los fenómenos causados por los líquidos en reposo, ahora analizaremos, en la hidrodinámica, lo que ocurre cuando hay movimiento o flujo de un líquido.

El estudio de los sólidos en movimiento es muy complicado matemáticamente, si se toma en cuenta todas las fuerzas que intervienen, entre ellas la fricción, y lo que hacemos para facilitar dichos cálculos es despreciar la influencia de la fricción, igualmente, el estudio de los líquidos reales es muy complicado porque intervienen también fuerzas de fricción representadas por la viscosidad de los mismos.

La viscosidad es la resistencia que presenta un líquido al fluir.

En un líquido en movimiento, la viscosidad depende de la velocidad relativa entre las diferentes capas del líquido y su principal efecto es la creación de remolinos y turbulencias cuando el líquido tiene que sortear un obstáculo sólido.

Si queremos facilitar el estudio de los líquidos en movimiento, con el fin de obtener resultados que permitan explicar las aplicaciones prácticas en el diseño de canales, presas y tuberías en general, se hacen ciertas suposiciones que nos acercan al comportamiento de un líquido real y que a la vez nos permiten hacer cálculos más sencillos. A los fluidos que cumplen estas suposiciones se les llama fluidos ideales.

Algunas características generales del flujo de un fluido ideal son las siguientes:

1. Flujo laminar o estacionario. El flujo o movimiento de un fluido se describe en función de variables como la presión, la densidad y la velocidad. Si estas cantidades se mantienen constantes al transcurrir el tiempo, entonces el flujo es estacionario. Estas cantidades pueden variar de un punto a otro, pero no en un punto determinado. Esto se cumple para velocidades de flujo pequeñas. En el caso de velocidades grandes como en los rápidos de un río o en cascadas, el flujo es turbulento y dichas cantidades varían de forma notoria no sólo de un punto a otro, sino en un punto determinado.


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Flujo estacionario: La velocidad, la densidad y la presión no cambian en un punto determinado, al transcurrir el tiempo, como en el punto D.

2. Flujo incompresible. Cuando la densidad del fluido no cambia en ningún punto

y con el tiempo, el flujo es incompresible. Como sabemos los líquidos son incompresibles, pero cuando la velocidad de flujo de un gas es pequeña su compresión es insignificante de modo que puede considerarse incompresible.

3. Flujo ideal o no viscoso. La viscosidad de un fluido se debe al rozamiento entre las moléculas que se encuentran en movimiento relativo. La viscosidad equivale a la fricción en el movimiento relativo de dos superficies sólidas. A mayor viscosidad es necesaria mayor fuerza o presión para mantener al fluido en movimiento. En la realidad no hay fluidos ideales, todos tienen cierto grado de viscosidad. Pero al igual que en la mecánica en algunas ocasiones se puede despreciar la fricción ya que en estos casos sus efectos son insignificantes, aquí también podemos no considerar la viscosidad en aquellos casos que sus efectos no sean significativos.

4. Flujo irrotacional: Si al colocar un objeto en el interior de un fluido en movimiento, el objeto no rota o gira sobre su propio eje, el flujo es irrotacional. Un ejemplo de giro rotacional se presenta al quitar el tapón a la tina de baño.

Cualquier objeto colocado ahí, acompaña al fluido en su movimiento, pero no gira sobre su propio eje.


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A un flujo que no tenga estas características, es decir, a un flujo que sea no estacionario, compresible, viscoso y rotacional se llama flujo turbulento. LÍNEAS DE FLUJO

El movimiento de un fluido se puede representar por medio de líneas de corriente o líneas de flujo. Cuando el flujo es estacionario, estas líneas no cambian de forma.

Las líneas de flujo nos dan una idea de cómo es el movimiento del fluido (estacionario o turbulento) y también de cómo es la velocidad. Mientras más juntas están las líneas de flujo, indican un fluido de mayor rapidez. Las líneas de flujo tienen la propiedad de que nunca se cruzan, ya que si esto sucediera, indicaría que una partícula que llegue a dicho punto tendría dos direcciones distintas y cambios bruscos de velocidad y el flujo no sería constante. Una vez hecha las consideraciones iniciales definiremos algunos conceptos útiles para el estudio de la hidrodinámica.


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En la sección más angosta la velocidad del líquido es mayor, esto lo indica el

hecho de que sus líneas de flujo están más juntas. GASTO.

Al referirnos al flujo de un líquido a través de una tubería, es muy común hablar de su Gasto.

El gasto de un fluido también puede conocerse si se conoce el área (A) de la sección transversal del conducto o tubo por el cual fluye y su velocidad (v).

La distancia recorrida por el líquido al pasar de 1 a 2 es “vt”

Si consideramos la figura de arriba, el volumen V del líquido contenido en el tubo

desde el punto 1 al 2, se obtiene multiplicando el área A de la sección transversal, por la distancia “d” recorrida por el líquido entre esos puntos, en el tiempo “t” que tardó en fluir el líquido del punto 1 al 2. Pero como la velocidad del fluido es constante, dicha distancia se obtiene multiplicando la velocidad “v” por el tiempo “t”, por lo tanto el volumen se obtiene así:


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Al calcular el gasto dividiendo este volumen entre el tiempo tenemos que:

G = A*v FLUJO DE MASA.

De la definición de densidad:

Despejando m tenemos:

Si sustituimos en la definición de flujo tenemos:

Como

Entonces:

PROBLEMA: 1.- Una tubería que conduce gasolina tiene un diámetro de 12 cm. La velocidad del flujo es de 0,6 m/s. ¿Cuál es el gasto y el flujo de masa? Datos: D = 0,12 m A = π R2 =0,01131 m2 v = 0,6 m/s ρ = 680 kg/m3


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PROBLEMA: 2.- Determina el área que debe tener una tubería si el agua debe fluir a razón de 0,052 m3/s, con una velocidad de 1,3 m/s. Datos: G = 0,052 m3/s v=1,3 m/s

PROBLEMA: 3.- ¿Cuál es la masa de agua que pasa por la tubería (del problema anterior) en un segundo? Datos: G = 0,052 m3/s ρ =1000 kg/m3


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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

Consideremos el flujo de un líquido a través de una tubería, que reduce de manera considerable el área de su sección transversal entre dos puntos: 1 y 2, como se muestra en la figura:

El área de la sección transversal del tubo se reduce, pero la cantidad de fluido que entra es igual a la que sale.

Como el líquido es incompresible, el flujo de masa que entra al tubo en un intervalo de tiempo “t”, tendrá que salir en el mismo tiempo. Es decir, el flujo en el punto 1 debe ser igual al flujo en el punto 2, y en general en cualquier punto.

Esto es solo consecuencia de la ley de conservación de la masa, y se expresa en la ecuación de continuidad: Masa que entra / tiempo = masa que sale / tiempo

La masa puede expresarse en función del volumen que ocupa, así: m = ρV = ρ A d, donde “d” es la distancia recorrida por el líquido en el tiempo “t”, por lo que:

o bien:

Debido a la incompresibilidad del líquido, ρ 1= ρ 2, por lo que:


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A esta ecuación se le conoce como la de ecuación de continuidad. Es decir, A*v constante.

De la ecuación anterior se deduce que el producto “Av” es constante, independientemente del grosor del tubo por el que fluye el líquido.

Esto significa que si se reduce el área de la sección transversal de un tubo, debe aumentar la velocidad, para que el producto “A*v” se mantenga constante, y viceversa, al aumentar el área debe disminuir la velocidad del fluido.

Al reducirse el área de la tubería, aumenta la velocidad. Las líneas de flujo están

más juntas en la sección más angosta. Lo anterior se hace evidente cuando regamos el patio o el jardín con una manguera, al disminuir el área por donde pasará el agua apretando la manguera o colocándole una boquilla, el agua sale con mayor velocidad. Igualmente, la velocidad de las aguas de un río, es menor en la parte ancha del mismo, pero aumenta en los lugares donde el río se hace más angosto.

PROBLEMA: Cuando el agua fluye por una manguera de 2,5 cm de diámetro lo hace con una rapidez de 1,5 m/s. Calcula:


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a) El diámetro que debe tener una boquilla o reducción de la manguera para que el agua salga con velocidad de 8,0 m/s. b) El gasto a través de esa manguera. Datos: D1= 2,5cm v1= 1,5 m/s Solución: a) De la ecuación de continuidad: A1*v1 = A2*v2

PROBLEMAS: 1.- Calcula el gasto y el flujo de masa en una tubería que conduce agua y que tiene un diámetro de 20 cm. La velocidad del flujo es de 0,4 m/s. 2.- Determina el área que debe tener una tubería si el agua debe fluir a razón de 0,065 m3/s, con una velocidad de 2.0 m/s. 3.- ¿Cuál es la masa de agua que pasa por la tubería del problema anterior en un segundo? 4.- Una tubería de 0.4 m de diámetro conduce un líquido a velocidad de 1.2 m/s. ¿Cuál es su gasto y el flujo de masa? 5.- Una corriente de agua entra con una velocidad de 0,1 m/s por un tubo cuya sección transversal tiene un área de 4 cm2. ¿Cuál será la velocidad del agua, en una sección más angosta del tubo cuya área es 1,5 cm2? 6.- Una corriente de agua que cae de forma vertical a través de un chorro que abarca un


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área de 6 cm2. ¿A cuánto debe disminuir el área del chorro de agua para que su velocidad se triplique? Ecuación de Bernoulli.

Las leyes de la dinámica para cuerpos sólidos son aplicables también a los fluidos. Debido a que no tienen forma propia, se hacen las consideraciones citadas al principio de esta sección, respecto a los fluidos ideales.

Daniel Bernoulli (1700-1782), físico suizo, estudió el comportamiento de los líquidos y aplicó precisamente una de estas leyes: la ley de conservación de la energía, al comportamiento de un líquido en movimiento.

Si consideramos el flujo de un líquido por la tubería que se muestra en la figura, podemos asegurar que dicho líquido tiene tres tipos de energía:

1) Energía cinética, puesto que representa una masa en movimiento. Dicha energía se obtiene así:

2) Energía potencial gravitacional, debido a que el líquido se encuentra en el campo gravitacional terrestre. Esta energía se obtiene así:

Donde “h” es la altura a la que se encuentra el líquido de un cierto nivel que se toma como referencia. 3) Energía de presión, producida por la presión mutua que ejercen las moléculas del líquido entre sí, por lo que el trabajo realizado para un desplazamiento de las moléculas es igual a esta energía de presión. Como la energía de presión es igual al trabajo realizado W, entonces:


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Pero como P = F/A, entonces F = PA, por lo que la energía de presión puede

expresarse así:

El producto del área de la sección transversal del tubo o conducto, al multiplicarse

por la distancia (d) recorrida por el líquido, es precisamente el volumen (V) del líquido que pasa del punto 1 al 2, esto es:

V = A*d

Entonces la energía de presión se expresa: Epresion = P*V

Por otro lado el volumen (V) del líquido se puede expresar en términos de su densidad, así:

Por lo que:

Y por lo tanto:

Aplicando la ley de conservación de la energía, la suma de la energía cinética,

más potencial, más la energía de presión en el punto 1, es igual a la suma de estas mismas energías en el punto 2:

Sustituyendo estas energías por sus expresiones, obtenemos:

Multiplicando cada término de la expresión anterior por ρ/m, nos queda:

Esta es la forma más común de expresar la ecuación fundamental de la hidrodinámica, conocida como Ecuación de Bernoulli.


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Esta ecuación, obtenida por Bernoulli, supone el flujo de un líquido ideal incompresible, por lo que la densidad del líquido no cambia al pasar del punto 1 al punto 2. También se considera insignificante la viscosidad del líquido, por lo que se supone que no hay pérdida de energía por fricción.

A pesar de lo anterior, la ecuación de Bernoulli nos permite resolver situaciones de líquidos reales sin incurrir en errores considerables, ya que la pérdida real de energía es insignificante comparada con la magnitud de las otras energías que intervienen. Veamos un par de características de la Ecuación de Bernoulli: Veamos un par de características de la Ecuación de Bernoulli:

- Aunque la ecuación de Bernoulli se dedujo a partir de un líquido en movimiento, también es aplicable a un líquido en reposo.

En este caso v1 = v2 =0 y dicha ecuación se transforma en la conocida

ecuación fundamental de la hidrostática: P2 = P1+ ρgh

, Donde se ha sustituido la diferencia de alturas (h1- h2) por “h”.

- Si el líquido fluye por una tubería que no tiene desniveles, entonces h1= h2, y la

Ecuación de Bernoulli se reduce a:

Para que se dé esta igualdad, debe ocurrir lo siguiente: si la velocidad del fluido en

el punto 1 es grande, la presión debe ser pequeña y viceversa, confirmando lo visto anteriormente en la ecuación de continuidad.

Al término

Se le llama presión dinámica.

Los resultados de los estudios de Bernoulli se pueden resumir así:

“La presión que ejerce un líquido que fluye por un conducto es mayor cuando el

líquido fluye a bajas velocidades, menor cuando aumenta la velocidad de flujo”.

Es decir, cuando las líneas de flujo se aproximen entre sí, la presión en dicha región será menor.

“En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energías cinética, potencial y de presión que ejerce un líquido se mantiene constante, es decir, la suma de estas energías en un punto determinado, es igual a la suma de dichas energías en cualquier otro punto”.


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EJEMPLO: Un tubo horizontal que transporta agua, tiene en la sección 1 un área de 0,012 m2, y en la sección 2 tiene un estrechamiento y el área de esta sección es de 0,003 m2. La velocidad del agua en la primera sección es de 6 m/s a una presión de 3 X 105 Pa. Calcula la velocidad y la presión del agua en la sección estrecha.

SOLUCION: Datos: A1 =0,012 m2, A2 =0,003 m2, v1 = 6 m/s, P1 = 3 X 105 Pa, ρ = 1000 kg/m3

La velocidad la podemos obtener con la ecuación de continuidad:

Despejando y sustituyendo:

Para obtener la presión, ya que h1= h2, aplicamos la Ecuación de Bernoulli así:

Despejando P2:

P2 = 30,000 Pa Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.


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Al hecho de que la presión que ejerce un fluido depende de la velocidad con que fluye, se le han encontrado varias aplicaciones. Algunas de ellas se detallan a continuación: Teorema de Torricelli

La ecuación de Bernoulli puede ser aplicada para obtener la velocidad de salida de un líquido contenido en un recipiente, al cual se le hace un orificio en algún punto por debajo del nivel al que se encuentra la superficie libre del fluido.

La velocidad de salida de un líquido depende de su densidad y de la altura o profundidad

a la que se encuentra el orificio de salida

Si tomamos como punto inicial 1, un punto ubicado en la superficie libre y como punto 2, el punto en el cual se encuentra el orificio y aplicamos la ecuación de Bernoulli, tenemos:

En este caso se pueden hacer las siguientes consideraciones:

A) La velocidad del líquido en el punto superior podemos considerarla insignificante comparada con la velocidad de salida en el punto inferior. Por lo tanto, el término V1

2/2 podemos despreciarlo. B) Debido a que el punto 2 se encuentra en el fondo del recipiente, prácticamente

la altura h2 es igual a cero, por lo que también el término “gh2” podemos eliminarlo. C) La energía de presión es provocada por la presión atmosférica y dicha presión

es la misma tanto en el punto que está en la superficie, como el punto que está en el fondo del recipiente. En consecuencia, los términos:


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Son iguales y pueden también eliminarse.

Por tanto, de la ecuación de Bernoulli sólo nos quedan los siguientes términos:

De donde despejando la velocidad de salida del fluido en el punto inferior nos queda:

Esta ecuación fue deducida por nuestro ya citado físico italiano Evangelista Torricelli, quien resume su resultado en el teorema que lleva su nombre:

Tubo de Pitot:

El tubo tiene una forma de L y al introducirse en el líquido en movimiento (como las

aguas de un río), debido a la presión, el agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli:


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Las aeronaves utilizan tubos de pitot para medir la velocidad del aire.

Tubo de Venturi

El efecto Venturi (también conocido tubo de Venturi) consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presión al aumentar la velocidad después de pasar por una zona de sección menor, llamada “garganta”. Si en esta parte estrecha se introduce el extremo de otro conducto o tubo, se produce una aspiración del fluido contenido en él. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano: Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

Se puede deducir una expresión para la rapidez de flujo v1 en función de las áreas transversales A1 y A2 y la diferencia de altura h en los tubos verticales, quedando:

De esta fórmula, podemos concluir que cuanto mayor sea la diferencia de alturas entre los dos tubos, mayor debe ser la velocidad del fluido en el estrechamiento. También podemos ver (un poco más difícilmente) que a mayor diferencia entre las áreas 1 y 2, es mayor la velocidad en la parte estrecha.

Se pueden medir directamente las presiones en la parte normal y en la parte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas partes.


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Se puede demostrar que aplicando la ecuación de Bernoulli, la velocidad del

líquido se obtiene con la siguiente expresión:

Además de determinar la velocidad de los fluidos en un conducto, el efecto Venturi

tiene otras aplicaciones: - el suministro de gasolina de un motor con carburador se consigue utilizando un

tubo de Venturi. - Los rociadores o atomizadores, como los utilizados para pintar, también aplican

este efecto.

Sustentación de los aviones


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Las alas de un avión son curvas en la parte superior y planas en la parte inferior. Esto hace que al moverse en el aire, la velocidad del mismo sea mayor en la parte superior que en la inferior, como lo muestran las líneas de corriente de la figura.

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la presión en la parte inferior del ala será mayor que en la parte superior, dando como resultante una fuerza de empuje ascendente o de sustentación. Mientras mayor es la diferencia de presiones, mayor será el empuje ascendente La sustentación depende de la velocidad relativa entre el aire y el avión, así como del ángulo formado entre el ala y la horizontal, ya que al aumentar este ángulo la turbulencia que se produce en la parte superior del ala disminuye la sustentación que predice la ecuación de Bernoulli. El empuje que recibe un sólido en virtud de que se mueve a través de un fluido se le llama empuje dinámico, y no debe confundirse con el empuje estático del que habla el Principio de Arquímedes.

Otras aplicaciones La ecuación de Bernoulli explica asimismo otros efectos muy curiosos y sorprendentes como los siguientes:

A) La presión atmosférica no se incrementa durante un tornado, ventarrón o huracán, sino por el contrario, disminuye, esto debido a que la velocidad del aire es mayor que en condiciones normales.


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B) Las “curvas” lanzadas por los lanzadores en el béisbol también son

consecuencia del Principio de Bernoulli. La rotación que se le imprime a la pelota en el momento de lanzamiento da como resultado que parte del aire sea arrastrado por la pelota, debido a la aspereza de su superficie (costuras pronunciadas aumentan el efecto).

Durante su rotación, la velocidad del aire es mayor por un lado de la pelota que por

el otro (el lado donde el aire se mueve en la misma dirección de giro) y por lo tanto, la presión es menor en ese lado que en el lado opuesto, dando como resultado una fuerza neta, que obliga a la pelota a seguir un movimiento curvo.

C) GOLPE DE ARIETE. Si hay un cambio brusco en la velocidad, también habrá un cambio brusco en la presión, que puede ocasionar serios problemas.

Por esta razón, las llaves del agua son de rosca y asientan lentamente, ya que con esto se disminuye de manera gradual la velocidad del flujo del agua. Como la velocidad final será cero, la ecuación de Bernoulli predice que:

Como v2 = 0, entonces:

Es decir, el cambio de presión es proporcional a la densidad del agua y al

cuadrado de su velocidad. Un cambio brusco en la velocidad de flujo del agua provoca un cambio de presión muy grande y puede causar la rotura de la llave; pero si el cambio de velocidad es gradual, el cambio de presión no es tan brusco ni peligroso.


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PROBLEMAS: 1. Una corriente de agua se mueve en una tubería cuya sección transversal tiene área de 4 cm2, con velocidad de 5 m/s. La tubería desciende gradualmente 10 metros, aumentando el área de su sección transversal a 8 cm2. Calcula: a) La velocidad del agua en el nivel más bajo. b) La presión en la sección inferior del tubo, si la presión en la sección de arriba es de 1,5x105 Pa. 2. Si la velocidad del flujo de aire en la parte inferior del ala de un avión, es de 110 m/s, ¿cuál será la velocidad sobre la parte superior para que provoque una presión de sustentación de 900 Pa? La densidad del aire la consideraremos 1,3x10–3 g/cm3. 3. Una tubería tiene un diámetro de 6 cm en una sección. En otra sección del mismo tubo el diámetro se reduce a 4 cm. Si por dicho tubo fluye un líquido cuya densidad es de 0,95 g/cm3 y la presión en la primera sección es mayor en 160 Pa que la presión en la segunda sección, ¿cuál es la velocidad del líquido en cada sección? 4. El diámetro de un gasoducto en una sección es de 10 cm, pero se reduce a 6 cm en otra sección. Si por ese tubo fluye gasolina cuya densidad es de 680 kg/m3 y en la sección más angosta la presión es 180 Pa menor que en la sección más ancha, obtener la velocidad de flujo en cada sección. 5. Por una manguera fluye agua a razón de 125 litros/min, mientras que por un tubo el agua fluye a razón de 0.002 m3/s. Por lo tanto: a) El gasto es mayor por la manguera que por el tubo. b) El gasto es mayor por el tubo que por la manguera. c) El gasto es igual por el tubo y por la manguera. d) No se puede conocer cuál gasto es mayor. 6. ¿Cuál es la velocidad de un líquido que se mueve por una tubería cuya sección transversal tiene un área de 5 cm2, si el gasto que se presenta es de 0,065 m3/s? 7. En un recipiente cilíndrico que contiene petróleo hay una llave 5 metros por debajo de la superficie libre de dicho líquido. ¿Cuál será la velocidad del chorro? 8. Una manguera por la que fluye agua sufre una reducción del área de su sección transversal mediante una boquilla. Según la Ecuación de Bernoulli: a) En la parte más angosta es mayor la velocidad del agua y la presión que ejerce. b) En la parte más angosta es menor la velocidad del agua, pero mayor la presión. c) En la parte más gruesa es menor la velocidad del agua y la presión que ejerce. d) En la parte más gruesa es menor la velocidad del agua, pero mayor la presión. 9. Calcula la diferencia de presiones entre dos puntos situados a 4 cm y 6 cm de profundidad en un recipiente que contiene mercurio.


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10. El diámetro de un gasoducto en una sección es de 10 cm, pero se reduce a 6 cm en otra sección. Si por ese tubo fluye gasolina cuya densidad es de 680 kg/m3 y en la sección más angosta la presión es 180 Pa menor que en la sección más ancha, obtener la velocidad de flujo en cada sección.


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Concepto de pérdida de carga.

La Ecuación de Bernouilli puede considerarse válida sólo para líquidos no viscosos o para dos puntos muy próximos, ya que en la realidad, aunque las transformaciones se realizan de la forma indicada, las expresiones no son del todo exactas. En efecto, un principio elemental de la física establece que en toda transformación energética existe una degradación, es decir, los rozamientos convierten en calor parte de la energía transformada, por lo que el miembro de la derecha (si la transformación se efectúa de izquierda a derecha) se verá disminuido. Para que la igualdad se mantenga, la ecuación deberá quedar:

El término h1-2 representa las pérdidas de energía que se producen en la

transformación, se expresa también en mca y se conoce como pérdida de carga.

Las pérdidas de carga pueden ser de dos tipos:

1. Pérdidas de carga continuas o por rozamiento (hC): Se deben a la viscosidad del líquido y se producen a lo largo de toda la conducción. Suelen expresarse como producto de la pérdida de carga unitaria (J) y la longitud del tramo considerado (L). La representación gráfica de hC en función de la longitud L sería una recta de pendiente J.

La pérdida de carga por unidad de longitud depende de la rugosidad de la tubería,

de su diámetro, del caudal que circula por ella y de su velocidad.

2. Pérdidas de carga locales, accidentales o singulares (hS): Están producidas por perturbaciones de la corriente líquida en puntos concretos, como derivaciones, válvulas, cambios de sección, etc.

La pérdida de carga total en una conducción será la suma de las dos:

La representación gráfica de la situación energética planteada en la ecuación de

Bernouilli sería la indicada en la figura.


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La trayectoria de la tubería define la línea de alturas geométricas, que corresponde

en cada punto a la cota z del eje longitudinal de la tubería referido a un plano de referencia.

La línea piezométrica (LP) es la suma de las alturas de presión y de posición, y se determina uniendo los puntos que alcanzaría el fluido circulante en distintos piezómetros conectados a lo largo de la tubería.

La línea de alturas totales se obtiene sumando para cada punto de la tubería las cotas piezométricas y las alturas de velocidad, y representa la energía total del fluido.

La línea de alturas totales se emplea en raras ocasiones por la poca importancia del término

Frente a los demás. Normalmente, en la práctica, suele despreciarse, y se supone que el montante energético en un punto de la conducción viene dado por la línea de alturas piezométricas. Esto se justifica por ser las velocidades normales en una conducción las comprendidas entre 0.5 y 2.5 m/s, que elevadas al cuadrado y divididas por 2*g supone entre 0.01 y 0.3 mca, frente a la presión de decenas de metros que acostumbran a tener las redes. Además, los levantamientos topográficos no suelen tener una precisión superior los ± 0.5 m.

Por todo ello y como regla general, los pocos centímetros de la energía cinética son del todo despreciables, quedando las líneas de energía como se indica en la siguiente figura. En este caso, el plano de carga coincide con la línea de presiones estáticas, que es la línea que une las presiones a lo largo de la tubería cuando el fluido no está en movimiento.


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Sin embargo, hay situaciones en que la energía cinética no puede despreciarse,

como en los medidores Venturi, que se emplean para determinar el caudal de paso por una conducción y que basan su principio de cálculo en la medida de la diferencia de los términos cinéticos entre dos secciones de distinto diámetro. Tampoco en las toberas, en las que la energía de presión se transforma en cinética, ni en regímenes transitorios, en los que hay que considerar ese término.

A tener en cuenta en la representación gráfica de la LP.

- En el caso de pérdidas localizadas, como las que se producen en válvulas, codos, etc., la línea de alturas piezométricas sufre un descenso puntual igual a la pérdida de carga local.

- Si hay instalada una bomba (que comunica energía al fluido), la LP aumentará

en ese punto en un valor igual a la altura de presión que la bomba esté proporcionando en ese instante.

- Si en algún caso la presión en el interior de la tubería es inferior a la

atmosférica (presión manométrica negativa), la LP irá por debajo de la línea de alturas geométricas, ya que P/γ será negativo. Si P/γ es muy negativo puede haber peligro de cavitación.

- La LP en un depósito abierto es igual a la cota a que se encuentra el nivel del

agua en el mismo, pues la presión en la superficie del agua es la atmosférica P/γ = 0.

- Para determinar la LP o línea de carga hay que aplicar la ecuación de

Bernouilli entre el punto de origen y el final, resolviendo el problema globalmente para después reparar en las pérdidas de carga particulares de cada elemento concreto.

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02 Fisica de Fluidos