08 Filtros Activos

1

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOS

FILTROS ACTIVOSFILTROS ACTIVOS

2


3 - Filtros Activos (4 aulas)

Pólos, Zeros e Funções de Transferência

Parâmetros, aproximações e tipos de filtros

Filtros com Simulador de Indutância

Filtros com integradores

Secção de Sallen & Key

Conteúdo

3


Análise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de TransferênciaAnálise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de Transferência

Exemplo: Determinar a função de transferência T(s)=VO(s) / Vi(s) do seguinte circuito

)1

//()

1//(

2

21sC

R

sCRR

VV i

o

io V

sCR

sCR

R

sCR

sCR

V

1

1

1

1

2

2

1

2

2

2

2 2 2

2 1 2 2 1 2 21

2

2 1

11 2 21

2 12

1 1

1 22 1

1

1 11

1

11 11 1

1 1

11 1 1//

o

i

o

i

o

i

RV sR C R R

RV R sR C R R sR C RRsR C

V R R CRV R sR C R ssR C

R C R CR

V R C R C

V ss C R RC R R

1

2

3

4



Função de transferência T(s) 0

11

01

1

....

....

bsbs

asasasT

nn

n

mm

mm

a e b – números reais

m – ordem do numerador

n – ordem do denominador (ordem do circuito)-------------m≤n

Zeros da função de transferência ----------- zeros do numerador

Pólos da função de transferência ----------- zeros do denominador

Circuito estável as raízes do denominador têm parte real negativa

5



Função de transferência T(s) ))...()((

))...()((

21

21

n

mm pspsps

zszszsasT

Um Zero puramente imaginário (±jZ) causa o anulamento da função de transferência em =Z pois (s+jZ).(s-jZ)= s2+Z

2, o que para frequências com realidade física é -2+Z

2 e a função de transferência é exactamente zero em =Z.

Os zeros reais não produzem anulamento da transmissão.

Para valores de s muito maiores do que todos os zeros e pólos, a função de transferência torna-se aproximadamente igual a am/sn-m pelo a função de transferência tem (n-m) zeros em s=∞.

6



Função de 1ª ordem T(s)

0

1

s

sasT

0

0

s

asT

-0 é a localização do pólo real

0 é a frequência do pólo e é igual ao inverso da constante de tempo

Circuito passabaixo:

0

01

s

asasT

Circuito passaalto:

Ganho em DC: a0/0

Ganho em DC: 0

Ganho de alta frequência = a1

7


Diagramas de Bode para Diagramas de Bode para PÓLOS e ZEROS REAISPÓLOS e ZEROS REAISDiagramas de Bode para Diagramas de Bode para PÓLOS e ZEROS REAISPÓLOS e ZEROS REAIS

))...()((

))...()((

21

21

n

mm pspsps

zszszsasT

))...()((

))...()((log20

21

2110

n

mmdB pspsps

zszszsasT

)(log20...)(log20)(log20

)(log20...)(log20)(log20log20

10210110

1021011010

n

mmdB

pspsps

zszszsasT

MóduloMódulo

FaseFase

Função de TransferênciaFunção de Transferência Função de Transferência em dBsFunção de Transferência em dBs

2

2

101022

1010 1log20log20log20log20m

mm zzzjz

dBm

mm z

jz 1tan)arg(

8


Diagramas de BodeDiagramas de Bode

mm z

jz 1tan)arg(

2

2

10 1log20m

z

mz dB01log20 10

210

01log20

mz

mz

2

2

10 1log20m

m

z

z dB32log20 10

mz 10log20 210log20

MóduloMódulo

9



2

2

10 1log20m

z

mz

dBz

m

2

2

10 1log20

mz

mz

mz

Recta a 0 dBs

3 dBs

Recta a 45º (zero)

Recta a -45º (pólo)

3 dB

20dB/dec

mz

log)(escala

Assímptota de baixa frequência

Assímptota de alta frequência

Frequência de corte

0 dB

MóduloMódulo

10



mz

mz

log)(escala

mz

mz

0º

- 45º

-5,7º

mz

<0,1x Zm

0,1 Zm

FaseFase

mm z

jz 1tan)arg(

-90º > 10x Zm

=0

=-90

0,1x Zm < 10x Zm

10 Zm

-45º

-90º -5,7º

mm z

jz 1tan)arg(

11



O numerador e o denominador de uma função de transferência na forma factorizada, consistem nos produtos de factores na forma (s+a).

A amplitude a função de transferência calculada em dBs pode ser obtida somando termos na forma [20 log10 (a2+2)1/2 ] =

= [20 log10 a+20 log10 (1+2/a2)1/2 ]

A fase da função de transferência pode ser obtida somando termos na forma [tan-1 (/a)]

Em ambos os casos os termos respeitantes aos pólos são somados com sinais negativos

12



11010/1110/11

1101

52xsT

Zeros:

Exemplo:

s=0 e s=∞

Pólos: s=-102 e s=-105

20 dB

40 dB

60 dB

(4) 10

(1) Zero: s=0

(2) Pólo: s=102

(3) Pólo: s=105

10 102 103 104 105 106 107 108 (rad/s) log

20dB/dec

20dB/dec

20dB/dec

T= (1)+(2)+(3)+(4)

1

0 dB

52 10/110/110

ss

ssT

13


Diagramas de BodeDiagramas de Bode 52 10/110/1

10

ss

ssT

Zeros:

Exemplo:

s=0 e s=∞

Pólos: s=-102 e s=-105

20 dB

40 dB

60 dB

(4) 10

(1) Zero: s=0

(2) Pólo: s=-102

(3) Pólo: s=-105

10 102 103 104 105 106 107 108 (rad/s) log

20dB/dec

20dB/dec

20dB/dec

T= (1)+(2)+(3)+(4)

Módulo de T(s)

10,1

14

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSDiagramas de BodeDiagramas de Bode

52 10/110/1

10

ss

ssT

Zeros:

Exemplo:s=0 e s=∞

Pólos: s=-102 e s=-105Fase de T(s)

mz

mz

mz

0º

-45º

<0,1x Zm

mm z

jz 1tan)arg(

-90º > 10x Zm

=0

=-90

0,1x Zm < 10x Zm

Zero (s=0) (1) +90º

pólo (s=102) (2) (102=-45º) -90º

pólo (s=105) (3) (105=-45º) -90º

15


Parâmetros, aproximações e tipos de filtrosParâmetros, aproximações e tipos de filtros

Filtros - Circuitos lineares representados por um quadripolo.

evitar o uso de bobinas

Filtros RC activos Filtros RC activos ampops com condensadores e resistências ampops com condensadores e resistênciasFiltros com condensadores comutados realização de filtros totalmente integrados

T(s) Vo(s)/Vi(s).

T(j) |T(j)| ej()

G() 20 log|T(j)| dB

A() -20 log|T(j)| dB

Transmissão do filtro

Função de Transferência do filtro

Ganho

Atenuação

16

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSParâmetros, aproximações e tipos de filtrosParâmetros, aproximações e tipos de filtros

Características de transmissão ideaisCaracterísticas de transmissão ideaisCaracterísticas de transmissão ideaisCaracterísticas de transmissão ideais

passa-baixo (LP), passa-alto (HP)

passa-banda (BP) rejeita-banda (BS),

17



Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude um filtro passa baixo:

0,05dB < Amax < 3dB

Não é possível transmitir todas as frequências da banda passante com amplitude constante:

20dB < Amin < 100dB

Não é possível atenuar totalmente até zero o sinal de todas as frequências fora da banda passante:

A razão: s/p é uma medida da selectividade do filtro

Banda de transição

Banda de passagem

Banda de rejeição

18



Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude um filtro passa baixo:

Banda de transição

Banda de passagem

Banda de rejeição

Parâmetros:

1 - p limite superior da banda de passagem

2 – Amax máxima variação permitida na transmissão na banda de passagem

3 – s limite inferior na banda de rejeição

4 – Amin atenuação mínima permitida na banda de rejeição

Para cumprir as especificações a curva de amplitude de ganho do filtro tem que se situar dentro da banda de transição

19



Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude de um filtro passa-banda:

20


Função de TransferênciaFunção de Transferência

01

22

33

44

5

2222

4

))((21

bsbsbsbsbs

ssasT ll

dB

Zeros: ± l1, ± l2, infinito

Pólos: ± p, ± x, y

Todos os pólos estão na vizinhança de p que é o que dá origem à alta transmissão na banda de passagem


Diagrama de pólos e zeros Filtro de quinta ordem (N = 5)

21


Parâmetros, aproximações e tipos de filtrosParâmetros, aproximações e tipos de filtrosEspecificação das características de transmissão e resposta de amplitude um filtro passa banda:

01

22

33

44

55

6

22225

4

))((21

bsbsbsbsbsbs

sssaasT ll

dB

Zeros: 0, ± l1, ± l2, infinito (5ºgrau)

Pólos: ± p1, ± p2 ± p3,

(N=6)l1 < p1, p2 , p3,< l2

22


Características de transmissão de um filtro passa baixo de quinta ordem tendo todos os zeros de transmissão no infinito

0

11

0

.... bsbs

asT

NN

NdB

23


Resposta de amplitude de um filtro de Butterworth

N

p

jT2

21

1

2max 1log20 A

p

110 10max/ A

21

1

jT

24



Resposta de filtros de Butterworth de várias ordens com e = 1.

À medida que a ordem aumenta a resposta do filtro aproxima-se da ideal

N

p

jT2

1

1

25


Características de transmissão de filtros de Chebyshev (a) ordem par e (b) ordem impar

))...()(( 21

12N

N

p

pspsps

kjT

26


FILTROS DE 1ª ORDEMFILTROS DE 1ª ORDEM


0

1

s

sasT

0

0

s

asT

-0 é a localização do pólo real

0 é a frequência do pólo e é igual ao inverso da constante de tempo

Circuito passabaixo:

0

01

s

asasT

Circuito passaalto:

Ganho em DC: a0/0

Ganho em DC: 0

Ganho de alta frequência = a1

27


Filtros de primeira ordemFiltros de primeira ordem

FILTRO PASSA BAIXO DE 1ª ORDEMFILTRO PASSA BAIXO DE 1ª ORDEM

28


29


FILTRO DE 1ª ORDEM – Função de Transferência geralFILTRO DE 1ª ORDEM – Função de Transferência geral

30


Filtros de primeira ordemFiltros de primeira ordem

31


Funções de Transferência de Segunda OrdemFunções de Transferência de Segunda Ordem

Função de 2ª ordem T(s)(biquadrática)

Onde 0 e Q determinam os pólos (complexos conjugados) de acordo com

200

201

22

/

sQs

asasasT

QjQpp 4/112/, 0021

0 é frequência do pólo

Q é o factor de qualidade do pólo

Os coeficientes a0 a1 e a2 determinam os zeros do numerador e portanto o tipo de filtro P.Baixo, P.Alto, P.Banda, etc.

32


Funções de Transferência de Segunda OrdemFunções de Transferência de Segunda Ordem


a1 = a2 = 0

PassaBaixo:

200

201

22

/

sQs

asasasT

PassaAlto:

Ganho em DC: a0/02

Ganho em DC: 0

Ganho de alta

frequência = a2

200

20

/

sQs

asT

200

2

22

/

sQs

sasT

PassaBanda: 200

21

/

sQs

sasT

a0 = a1 = 0

a0 = a2 = 0Frequência central= 0

Largura de banda= 2-1

33


Filtros de PASSA BAIXO de segunda ordemFiltros de PASSA BAIXO de segunda ordem

200

20

/

sQs

asT

2 zeros de transmissão no infinito

O pico de amplitude ocorre só para Q>(1/2)1/2

34


Filtros de PASSA ALTO de segunda ordemFiltros de PASSA ALTO de segunda ordem

200

2

22

/

sQs

sasT

2 zeros de transmissão em DC (s=0)

O pico de amplitude ocorre para Q>(1/2)1/2

35


Filtros de PASSA BANDA de segunda ordemFiltros de PASSA BANDA de segunda ordem 200

21

/

sQs

sasT

1 zero de transmissão em DC s=0 e outro no infinito

O pico de amplitude ocorre para =0 (frequência central)

As frequências e 2 (para as quais a amplitude está a -3dB do seu valor máximo em 0) definem a largura de banda Q

QQ 2/4/11, 02

021

36

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSFiltros de segunda ordemFiltros de segunda ordem

37

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSFiltros de segunda ordemFiltros de segunda ordem

38


Duas formas de excitar circuito ressonante sem mudar a sua estrutura natural: os pólos são os pólos das funções de transferência Vo/I e Vo/Vi.

Filtros de segunda ordemFiltros de segunda ordem

Circuito ressonante RLC paralelo de 2ª

LCsCRsRsCsLYI

VO

/1/1

1

/1/1

112

200

201

22

/

sQs

asasasT

200

2 / sQs

LC/120

CRQ /1/0 LC/10

CRQ 0

No dimensionamento de um filtro tem-se o e Q e pretende-se determinar R,L,e C

39


Circuito ressonante RLC paralelo de 2ª

)()(

)(

)(

)()(

21

2

sZsZ

sZ

sV

sVsT

i

O

Os zeros de transmissão são os valores de s para os quais 2 (s)=0 e Z1 (s)≠0 e os valores de s para os quais Z1(s) é infinito e Z2 (s) é diferente de infinito

Desligando x, y ou z da massa e ligando Vi entre o terminal desligado e a massa obtem-se Vo/Vi.

Realização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLCRealização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC

200

201

22

/

sQs

asasasT

A saída será zero quando 2 (s) se comportar como um curto circuito ou quando Z1 (s) se comportar como um circuito aberto

40

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSRealização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLCRealização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC

Passa-baixo

LCCRss

LC

RsCsL

sLsT

sYsY

sY

sZsZ

sZ

sV

sVsT

i

O

/1/1

/1

/1/1

/1)(

)()(

)(

)()(

)(

)(

)()(

2

21

1

21

2

PASSA BAIXO

estrutura geral

Desligar x da massa e ligar a Vi

41


200

2

22

/)(

)()(

Qss

sa

sV

sVsT

i

O

PASSA ALTO

estrutura geral

Desligar y da massa e ligar a Vi

Passa-Alto

42


)/1()/1(

)/1()(

/1/1

/1

)(

)()(

2 LCCRss

CRssT

sCsLR

R

YYY

Y

sV

sVsT

CLR

R

i

O

PASSA BANDA

estrutura geral

Desligar z da massa e ligar a Vi

Passa-Banda

43


estrutura geral Passa-baixo Passa-alto

Passa-banda

44


Realização de uma função de transferência de segunda ordem usando um divisor de tensão e um circuito ressonante RLC

45


Filtros de segunda ordem com Simulador de IndutânciaFiltros de segunda ordem com Simulador de Indutância

Simulador de indutância

46



Simulador de indutância

Critério de dimensionamento:

R1=R2=R3=R4=R5=R e C4=C L=CR2

47



Filtro activo de segunda ordem com simulador de indutância

Circuito ressonante RLC paralelo

L

L

Implementação do amplificador K.

48



Passa-baixo Passa-alto

Passa-banda

49



50


Filtros com Simulador de IndutânciaFiltros com Simulador de Indutância

51

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSFiltros com integradoresFiltros com integradores

Realização do diagrama de blocos de uma secção biquadrática com dois integradores

200

2

2

/

sQs

Ks

V

V

i

hpihphphp KVV

sV

sQV

2

2001

hphpihp V

sV

sQKVV

2

2001

hphpihp V

sV

sQKVV

2

2001

Secção Biquadrática KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb

Função de transferência de um filtro passa alto de segunda ordem

52


As três funções básicas de filtragem são realizadas simultâneamente.Cada integrador é substituído por um integrador de Miller com RC=1/0.O bloco somador é substituído por um ampop somador.

Filtros com integradoresFiltros com integradores

Implementação do circuito:

hp

fhp

fi

fhp V

sR

RV

sR

R

RR

RV

R

R

RR

RV

2

20

1

0

132

2

132

3 11

53



hp

fhp

fi

fhp V

sR

RV

sR

R

RR

RV

R

R

RR

RV

2

20

1

0

132

2

132

3 11

if

hp VR

R

RR

RV

132

3 1

Contribuição de vi:

54



hp

fhp

fi

fhp V

sR

RV

sR

R

RR

RV

R

R

RR

RV

2

20

1

0

132

2

132

3 11

bpf

hp VR

R

RR

RV

132

2 1

Contribuição de Vbp:

55



hp

fhp

fi

fhp V

sR

RV

sR

R

RR

RV

R

R

RR

RV

2

20

1

0

132

2

132

3 11

lpf

hp VR

RV

1

Contribuição de Vlp:

56



Implementação do circuito:

hphpihp V

sV

sQKVV

2

2001

11

R

R f1

1

R

R f

hp

fhp

fi

fhp V

sR

RV

sR

R

RR

RV

R

R

RR

RV

2

20

1

0

132

2

132

3 11

122

3 QR

R12

2

3 QR

R

QK /12 QK /12

57


a) Obtem-se um filtro de segunda ordem com um só amplificador colocando um circuito RC (de dois portos) na malha de realimentação do ampop

Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”

b) definição da função de transferência t(s) da malha RC

A síntese de filtros com um só A.O. baseia-se no uso de realimentação para deslocar os pólos de um circuito RC do eixo real negativo (onde eles normalmente se encontram) para uma localização de complexos conjugados, da seguinte forma:

1 – Sintese da malha de realimentação que realiza um par de pólos complexos conjugados caracterizados por frequência 0 e um factor de qualidade Q.

2 – Injecção do sinal de entrada numa forma que realize os zeros de transmissão desejados

58


Obtem-se um filtro de segunda ordem com um só amplificador colocando um circuito RC (de dois portos) na malha de realimentação do ampop

Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”

Definição da função de transferência t(s) da malha RC

b

a

V

V

sD

sNst

)(

)()(

Estudo da teoria de realimentação mostra que numa rede RC :

- os pólos caiem no eixo real

- os zeros existem em qualquer ponto do plano complexo

N(s)=0 zeros de transmissão;

D(s)=0 pólos

59

ELECTRÓNICA GERALELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOSFiltros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”

Definição da função de transferência t(s) da malha RC

b

a

V

V

sD

sNst

)(

)()(

)(

)()()(

sD

sNAsAtsL p

Os pólos do filtro são idênticos aos zeros da rede RC

0)(1

)(

)(1)(1)(0)(1

sN

sD

sN

AstsAtsL pp

Função de transferência do filtro L(s) = At(s)

Pólos do filtro (zeros da equação característica)

Filtro +Malha de realimentação RC

Malha de realimentação RC

60


Duas malhas RC (redes em ponte-T) que podem ter zeros de transmissão complexos.

As funções de transferência são determinadas de b para a, com a em circuito aberto.

Os pólos do filtro são idênticos aos zeros da rede RC – pelo que devemos selecionar um circuito RC com xzeros de transmissão complexos conjugados

1

2

EXEMPLOS

61


Filtro activo com o circuito RC anterior na malha de realimentação (a).

1

EXEMPLO

O polinómio dos pólos do filtro activo será igual ao polinómio dos zeros de transmissão da ponte em T, isto é ao numerador da função de transferência da malha RC

4321321

2200

2 1111/

RRCCRCCsssQs

4321

04321

20

11

RRCCRRCC

1

213

4321 11

CCR

RRCCQ

62


Para determinar a função de transferência em tensão T(s) seguem-se os passos numerados

Injecção do sinal de entrada sem alteração dos pólos – ligar o sinal de entrada em qualquer ponto que esteja ligado à massa (desligando-o da massa)

EXEMPLO

4321321

2

41

1111

)/(

RRCCRCCss

RCs

V

V

i

o

filtro passa banda de segunda ordem

O ponto onde se injecta o sinal de entrada define os zeros de transmissão do filtro.

Circuito anterior com o sinal de entrada injectado através de parte da resistência R4.

63


Geração de Malhas de Realimentação EquivalentesGeração de Malhas de Realimentação Equivalentes

Trocando a entrada e a massa resulta uma função de transferência complementar da primeira

Transformação complementarTransformação complementar

64


A aplicação da transformação complementar na malha de realimentação em (a) resulta na malha de realimentação equivalente (os mesmos pólos) em (b).

A aplicação da transformação complementar na malha de realimentação para gerar uma malha de realimentação equivalente assenta em dois passos:

1 – Nós da malha de realimentação e qualquer das entradas do AO que estejam ligadas à massa devem ser desligadas da massa e ligadas à saída do AO. Os nós que estejam ligados à saida do AO devem ser ligados à massa.

2 – As duas entradas do AO devem ser trocadas.

65


(a) Malha de realimentação obtida por aplicação da transformação complementar à malha de realimentação do circuito inicial.

transformação complementar

circuito inicial

(b) Injectando o sinal de entrada através de C1 realiza-se uma função passa alto.

Família de circuitos de Sallen & KeyFamília de circuitos de Sallen & Key

66


transformação complementar

circuito inicial

(c) Injectando o sinal de entrada através de R1 realiza-se uma função passa baixo

Família de circuitos de Sallen & KeyFamília de circuitos de Sallen & Key

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08 Filtros Activos