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ingenieria electronica filtros activos
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FILTROS ACTIVOSObjetivos de aprendizaje:Al terminar esta sección sobre filtros activos, el estudiante debe ser capaz de:Mencionar los cuatro tipos de filtro y dibujar la curva de respuesta en frecuencia que
muestre las bandas de frecuencia que pasan y las que se detienen.Diseñar o analizar circuitos para tres tipos de filtros pasa bajas, con pendientes de -20
dB/década, -40 dB/década y -60dB/década.Diseñar o analizar circuitos par tres tipos de filtros pasa altas con pendiente de 20, 40
y 60 dB por década.Colocar en cascada un filtro pasa bajas con un filtro pasa altas para hacer un filtro pasa
banda.Calcular las frecuencias de corte inferior y superior de un filtro pasa banda o uno de
muesca si conoce (1) el ancho de banda y la frecuencia de resonancia , (2) el ancho debanda y el factor de calidad, (3) la frecuencia de resonancia y el factor de calidad.
Calcular el factor de calidad, el ancho de banda y la frecuencia de resonancia de unpasa banda o un filtro de muesca par determinadas frecuencia de corte inferior ysuperior.
Diseñar un filtro de pasa banda que solo utilice un amplificador operacional.Hacer un filtro de muesca al (1) diseñar un circuito de filtro pasa banda con el mismo
ancho de banda y con frecuencia resonante igual a la frecuencia de muesca y (2) alconectar adecuadamente el circuito pasa banda a un sumador inversor.
Explicar como opera un circuito ecualizador en estéreo.
Introducción:Un filtro es un circuito diseñado para dejar pasar una banda de frecuencias especificada, mientras que atenúa todas las señales fuera de esta banda.
Los circuitos de filtro puedes ser pasivos o activos.
Los circuitos de filtros pasivos contienen sólo resistores, inductores y capacitores.
Los filtros activos, que son el tipo que se estudian en esta sección, emplean transistoreso amplificadores operacionales, mas resistores, inductores y capacitores.
Hay cuatro tipos de filtros activos: pasa bajas, pasa altas, pasa banda y elimina banda(también conocidos como filtros rechaza banda o de muesca).
Pasa banda Rechaza banda
Vo
frecuenciafc
Filtro pasa bajas
Pasa bandaRechaza banda
Vo
frecuenciafc
Filtro pasa altas
Pasabanda
Rechaza banda
Vo
frecuenciafr
Rechaza banda
Filtro pasa banda
Vo
Pasa banda Pasa banda
frecuenciafr
Rechazabanda
Filtro rechaza banda
fHfL fHfL
FILTRO BASICO PASA BAJAS
El circuito de un filtro Pasa bajas de uso común está representado en la Figura a).
El filtrado se hace con el circuito RC y el Opam se utiliza como amplificador de ganancia unitaria.
0
Vo= xEi 1 1+jωRC
Rf =10 K
R=10 K
C0.001 uFEi
ωωc
Vo Ei =ACL
0.1ωc
1
0.7071
0.1
0.0110ωc 100ωc
0
-3
-20
-40
Pendiente= -20 dB/década
Gan
anci
a de
Vol
taje
(Rel
ació
n)
Gan
anci
a de
Vol
taje
(dB
)
Vo Ei
dB
Circuito de filtro Pasa Bajas
Gráfica de respuesta en frecuenciacon una pendiente -20 dB/década
La resistencia Rf es igual a la resistencia R y seusa para evitar la deriva en CD.
La reactancia capacitiva en CD es infinita y lastrayectorias para ambas terminales de entradadeben ser iguales.
El voltaje diferencial entre IN+ e IN- es enesencia 0 volts. Por tanto el voltaje en elcapacitor es igual a V0. Debido a que el circuitoes un seguidor de voltaje
V0= x Ei 1/jωC R+1/jωC
con ω=2πf
De donde
ACL= = 1 1+jωRC
V0 Ei
Para frecuencias muy bajas, esto es, si ω se aproxima a 0 entonces ACL =1
Para muy altas frecuencias, conforme ω se aproxima a ∞ entonces ACL = 0
Diseño del filtro
1.- Se escoge la frecuencia de corte ωc o bien fc
2.- Se selecciona el capacitor C, por lo general entre 0.001 y 0.1 µF
3.- Calclular R a partir de:
R= = 1 ωcC
1 2πfcC
La frecuencia angular de corte ωc, define el punto de la frecuencia fc de Ei dondeACL sereduce a 0.7071 veces su valor a baja frecuencia.
ωc= = 2πfc 1 RC
Donde ωc es la frecuencia de corte en radianes por segundo, fc es la frecuencia de corte en Hertz, R está en ohms y C en farads.
Puede reordenarse para encontrar el valor de R
R= = 1 ωcC
1 2πfcC
Procedimiento de Diseño del filtro:
Calcule la frecuencia de corte si R=10kΩ y C=0.001 μF para el filtro pasa bajas.
Ejemplo 1:
Solución:ωc= = 2πfc
1 RCMediante la ecuación
Tenemos
ωc= =100 Krad/s 1 (10x103)(0.001x10-6)
fc= =15.9 KHz 1 (6.28)(10x103)(0.001x10-6)
o bien
Ejemplo 2:Para una frecuencia de 2 KHz y C=0.005 μF para el filtro pasa bajas, calcule R.
R= = =15.9 kΩ 1 ωcC
1 (6.28)(2x103)(5x10-9)
Ejemplo 3:
Para una frecuencia de 30 Krad/s y C=0.01 uF para el filtro pasa bajas, calcule R.
R= = =3.3 kΩ 1 ωcC
1 (30x103)(1x10-8)
Solución:
Solución:
Respuesta del filtro
El valor de se encuentra al hacer ωRC=1 en ACL= = 1 1+jωRC
V0 Ei
Por tanto
ACL= = = 0.7071∠−45° 1 1+j1
1 √2 ∠45°
La magnitud deACLa ωc es
ACL= = 0.7071= −3 dB 1 √2
El ángulo de fase es − 45°
La curva continua muestra como se desvía la magnitud de la respuesta en frecuencia
real con respecto a la aproximación en línea punteada en la proximidad de ωc.
A 0.1ωc, ACL=1 (0dB), y a 10ωc, ACL=0.1 =-20dB
ω ACLÁngulo de
fase (grados)
0.1ωc 1.0 -6
0.25ωc 0.97 -14
0.5ωc 0.89 -27
ωc 0.707 -45
2ωc 0.445 -63
4ωc 0.25 -76
10ωc 0.1 -84
Magnitud y ángulo de fasePara el filtro pasa bajas
Filtro Butterworth
En muchas aplicaciones de filtro pasa bajas, se necesita que la ganancia en lazo cerradoesté tan próxima como sea posible a 1 dB dentro del pasa banda.
El filtro Butterworth es el más adecuado para este tipo de aplicaciones.
Al filtro Butterworth también se denomina filtro de máximo plano o filtro plano-plano.
En la figura siguiente se muestra la respuesta en frecuencia ideal (línea continua) y lapráctica (líneas punteadas) para tres tipos de filtras Butterworth.
Conforme las pendientes se vuelven más pronunciadas, se aproxima más al filtro ideal.
Pasa banda
Punto 0.707
−20 dB/década
−40 dB/década
−60 dB/década
0.1ωc 10ωc
0dB 1.0-3dB 0.707
-20dB 0.1
ω≈≈≈≈ ≈≈≈≈
V0
Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para tres tipos de filtros pasa bajas Butterworth
Filtro Butterworth Pasa Bajas de -40 dB/década
Circuito de filtro pasa bajas de uso más común.
Vo
Rf =2R
R1=R
C2
Ei C1
R2=R
Produce una atenuación de −−−−40 dB/década, después de la frecuencia de corte.
La magnitud de ACL decrece 40 dB/década, cuando ω
aumenta a 10ωc.
El amplificador operacional se conecta para unaganancia unitaria en CD.
Se incluye la resistencia Rf para la desviación de CD.Circuito de filtro pasa bajas de −40 dB/década
El amplificador es básicamente un seguidor de voltaje , entonces el voltaje de salida V0 es igual al voltaje que aparece en el capacitor C1.
Pasa banda
−40 dB/década
0.1ωc 10ωc
1.0 0.707
0.1
ω≈≈≈≈ ≈≈≈≈
V0
Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa bajas de −40 dB/década
0 dB −3dB
−20dB
Gan
anci
a de
Vol
taje
(R
elac
ión)
Gan
anci
ade
Vol
taje
(dB
)
Procedimiento de diseño
1.- Seleccione la frecuencia de corte ωc o bien fc.
2.- Escoja C1, en un valor adecuado entre 100pF y 0.1µF.
3.- Haga C2=2C1.
4.- calcule R
R= = 0.707ωc C
0.707 2πfc C
5.- Seleccione Rf=2R
Ejemplo 4:
Determine R1 y R2 de un circuito pasa bajas de -40 dB/década, para una frecuencia de corte de 1KHz. Sea C1=0.01 μF.
Solución:
Escoja C2= 2C1=2(0.01 μF)=0.02 μF. Seleccione R1=R2=R a partir de:
R= = 11,258 Ω0.707 (6.28)(1x103)(0.01x10-6)
y por tanto
Rf= 2(11,258 Ω)= 22,516 Ω
Para obtener este filtro pasa bajas, se coloca en cascada un filtro de -40dB/década y otrode -20 dB/década para producir una atenuación de -60 dB/década
Filtro Butterworth Pasa Bajas de -60 dB/década
Vo
Rf2 =R
R3=R
C3
+Vo1
−
Rf1=2R
R1=R
C2
Ei C1
R2=R
−40dB/década −20dB/década
Circuito de filtro para una atenuación de -60 dB/década
Pasa banda
−60 dB/década
0.1ωc 10ωc
1.0 0.707
0.1
0.01
0.001 ω
V0
Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa bajas de −40 dB/década
0 dB −3dB
−20dB
-40dB
-60dB
Gan
anci
a de
Vol
taje
(R
elac
ión)
Gan
anci
ade
Vol
taje
(dB
)
La curva de la respuesta en frecuencia del filtro pasa bajas de -40dB/década, tiene una atenuación más profunda que el filtro básico pasa bajas.
Se mantiene a 0 dB casi hasta 0.25 ωC.
Los ángulos de fase varían desde 0 a ω=0 rad/s hasta -180 si ω se acerca a ∞.
COMPARACIÓN DE MAGNITUD Y ÁNGULO DE FASE
ωACL Ángulo de fase (grados)
-20dB/década -40dB/década -20dB/década -40dB/década
0.1ωC 1.0 1.0 -6 -8
0.25ωC 0.97 0.998 -14 -21
0.5ωC 0.89 0.97 -27 -43
ωC 0.707 0.707 -45 -90
2ωC 0.445 0.24 -63 -137
4ωC 0.25 0.053 -76 -143
10ωC 0.1 0.01 -84 -172
La ganancia está dada por:
ACL= =V0
Ei
V01
Ei
V0
V01x
La magnitud de ACL debe ser 0.707 en ωc. Para obtener que la respuesta en frecuencia es plana en la pasa banda, deben seguirse los siguientes pasos de diseño.
Procedimiento de diseño:
1.- Seleccione la frecuencia de corte ωc o bien fc.
2.- Escoja C3, en un valor adecuado entre 100pF y 0.1μF.
4.- calcule R
R= = 1 ωc C3
1 2πfc C3
5.- Seleccione R1=R2=R3=R
3.- Haga C1= C3 y C2=2C3.12
6.- Haga Rf1=2R y Rf2=R
Nota: Para obtener resultados óptimos, el valor de R debe estar comprendido entre10KΩ y 100KΩ. Si en el cálculo, el valor de R se encuentra fuera de este intervalo,hay que regresar y seleccionar un nuevo valor de C3.
Ejemplo 5:
Determine los valores de C1, C2 y R para un circuito pasa bajas de -60 dB/década, para una frecuencia de corte de 1KHz. Sea C3=0.01 μF.
Solución:
R= = 1 ωc C3
1 2πfc C3
A partir de la fórmula
C1= C3 = 12
C2=2C3= 2(0.01 μF) = 0.02 μF
(0.01μF) = 0.005 μF12
y también
Con base en la ecuación
Obtenemos que
R= =15,915 Ω 1 (6.28)(1x103)(0.01x10-6)
En el ejemplo anterior muestra que R es diferente a los valores obtenidos en los ejemplos de -20 dB/década y -40 dB/década , si bien la frecuencia de corte es la misma.
Si bien esto es necesario par que ACL se mantenga en 0 dB en la pasa banda hasta que casi alcance la frecuencia de corte; entonces ACL=0.707 en ωc.
COMPARACIÓN DE MAGNITUD
ωACL
-20dB/década -40dB/década -60dB/década
0.1ωC 1.0 1.0 1
0.25ωC 0.97 0.998 0.999
0.5ωC 0.89 0.97 0.992
ωC 0.707 0.707 0.707
2ωC 0.445 0.24 0.124
4ωC 0.25 0.053 0.022
10ωC 0.1 0.01 0.001
En la tabla siguiente se comparan la magnitud de ACL para los tres tipos de filtro pasa baja.
COMPARACIÓN DE ÁNGULO DE FASE
ωACL
-20dB/década -40dB/década -60dB/década
0.1ωC -6° -6° -12°
0.25ωC -14° -21° -29°
0.5ωC -27° -43° -60°
ωC -45° -90° -135°
2ωC -63° -137° -210°
4ωC -76° -143° -226°
10ωC -84° -172° -256°
En el filtro de -60dB/década ACL permanece cercana a 1 (0dB) hasta la frecuencia decorte ωc; entonces ocurre la atenuación pronunciada.
Los ángulos de fase varían desde 0° en ω =0 hasta -270° conforme ω se aproxima a ∞.
En la tabla siguiente se comparan los ángulos de fase para los tres tipos de filtro pasa baja.
Un filtro pasa altas es un circuito que atenúa todas las señales debajo de una frecuencia de corte ωc especificada y deja pasar todas las señales cuyas frecuencias están arriba de la frecuencia de corte
Filtro Butterworth Pasa Altas
En consecuencia el filtro pasa altas realiza la función opuesta al filtro pasa bajas.
Gráfica de respuesta en frecuencia para tres tipos de filtros pasa altas Butterworth
40 dB/década
0.1ωc 10ωc
0dB 1.0-3dB 0.707
-20dB 0.1
Pasa banda
Punto 0.707
20 dB/década
60 dB/década
ω
≈≈ ≈≈
V0
Ei
ωc
El ángulo de fase para un circuito pasa altas de 20 dB/década es de +45° en ωc. Elángulo de corte aumenta +45° por cada aumento de 20 dB/década.
El diseño de filtros pasa altas es similar al de los pasa bajas. La única diferencia es laposición de los capacitores y resistencias de filtrado, y es que están intercambiadas.
≈≈ ≈≈
Circuito de filtro pasa altas de 20dB/década
Filtro Butterworth Pasa Altas de 20 dB/década
Vo= xEi 1 1−jωRC
Rf =R
R
C
Ei
La resistencia de retroalimentación Rf seincluye para minimizar la desviación de CD
El amplificador operacional está conectadocomo un seguidor de ganancia unitaria.
El voltaje de salida está dad o por:
V0= x Ei 1 R−j(1/ωRC)
Respuesta en frecuencia para el filtro pasa altas de 20 dB/década
1.0 0.707
0.1
≈≈ ≈≈
V0
Ei
Gan
anci
a de
Vol
taje
(R
elac
ión)
Pasa banda
20 dB/década
10ωc0.1ωcω
0 dB −3dB
−20dB
Ganancia
de Voltaje (dB
)
0.01ωc ωc
Cuando ω se aproxima a 0 rads/s,V0 se aproxima a 0 V.
A frecuencias altas, conforme ω seaproxima a infinito, V0 se hace iguala Ei. Dado que el filtro no es unfiltro ideal, la respuesta enfrecuencia tampoco lo es.
La frecuencia de corte está dada por:
ωc= = 2πfc 1 RC
R= = 1 ωcC
1 2πfcC
La resistencia R es
1.- Se escoge la frecuencia de corte ωc o bien fc
2.- Se selecciona el capacitor C, por lo general entre 0.001 y 0.1 µF
3.- Se calcula R a partir de:
R= = 1 ωcC
1 2πfcC
Procedimiento de Diseño del filtro Pasa Altas (20dB/década):
4.- Hacer Rf=R
Ejemplo 6:
Determine R para un circuito pasa altas de 20 dB/década, si C=0.002 μF y fc=10 KHz.
Solución:
R= = = 8 kΩ 1 ωcC
1 (6.28)(10x103)(0.002x10-6)
Ejemplo 7:
Para un circuito pasa altas de 20 dB/década, R=22 KΩ y C=0.01 μF . Calcule a) ωc y b) fc.
ωc= = 4.54 Krad/s 1 (22x103)(0.01x10-6)
a).-
b).-
Solución:
fc= = = 724 Hz ωc
2π 6.284.54 x 103
Filtro Butterworth Pasa Altas de 40 dB/década
Circuito de filtro pasa altas de 40dB/década.
La resistencia de retroalimentación Rf se incluyepara minimizar la desviación de CD.
1.0
0.707
0.1
0.01
≈≈ ≈≈ V0
Ei
Pasa banda
40 dB/década
10ωc0.1ωc ω
0 dB
−3dB
−20dB
-40dB ωc
≈≈ ≈≈
Vo
Rf =R1
C1=C
R2=
Ei R1
C2=C
R12
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa altas de 40 dB/década.
Para satisfacer los criterios de Butterworth, larespuesta en frecuencia debe ser 0.707 en ωc yestar a 0 dB en la pasa banda.
1.- Se escoge la frecuencia de corte ωc o bien fc
2.- Se selecciona el capacitor C1=C2=C, por lo general entre 0.001 y 0.1 µF
3.- Se calcula R1 a partir de:
R1= 1.414 ωc C
Procedimiento de Diseño del filtro Pasa Altas (-40dB/década):
5.- Para minimizar la desviación de CD. Hacer Rf=R1
4.- Hacer R2= R112
Ejemplo 8:
Solución:
Ejemplo 9:En un filtro pasa altas de 40dB/década, ωc =80Krad/s y C1=C2=125pF. Calcule a) R1 y b) R2.
Solución:
Para un circuito pasa altas de 40 dB/década, C1=C2=0.01 μF y fc=1 KHz. Calcule a) R1 y b) R2.
R2= (140kΩ) = 70KΩ12b).-
R1= = 22.5kΩ 1.414 (6.28)(1x103)(0.01x10-6)
a).-
R2= (22.5kΩ) = 11.25KΩ12b).-
R1= = 140 KΩ 1.414 (80x103)(125x10-12)
a).-
Filtro Butterworth Pasa Altas de 60 dB/década
En forma similar al filtro pasa bajas un filtro pasa altas de 60dB/década, puede construirse con un filtro de 40dB/década en cascada con un filtro de 20dB/década.
Vo
Rf2 =R3
R3
C3=C
+Vo1
−
Rf1=R1
R1
R2
Ei
C1=C C2=C
40dB/década 20dB/década
1.0 0.707
0.1
0.01
0.001 ω
V0 Ei
Circuito y Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa altas de 60 dB/década
0 dB −3dB
−20dB
-40dB
-60dB
Pasa banda
−60 dB/década
10ωc0.1ωc
Gan
anci
a de
Vol
taje
(R
elac
ión)
Gan
anci
ade
Vol
taje
(dB
)
1.- Se escoge la frecuencia de corte ωc o bien fc
2.- Se selecciona el capacitor C1=C2=C2=C, por lo general entre 0.001 y 0.1 µF
3.- Se calcula R1 a partir de:
R3= 1 ωc C
Procedimiento de Diseño del filtro Pasa Altas (60dB/década):
6.- Para minimizar la desviación de CD. Hacer Rf1=R1 y Rf2=R3.
5.- Hacer R2= R312
Ejemplo 10:
Solución:
R3= = 10 KΩ 1 (1x103)(0.1x10-6)
a).-
4.- Hacer R1= 2R3
Para un circuito pasa altas de 60 dB/década, C1=C2=C3=0.1 μF y ωc=1 Krad/s (fc=159Hz). Calcule: a) R3, b) R1 y c) R2.
b).- R1= 2R3 =2(10KΩ) =20 KΩ
c).- R2= R3= 0.5(10KΩ)= 5 KΩ12
Ejemplo 11:
Solución:
R3= = 12 KΩ 1 (6.28)(60x103)(220x10-12)
a).-
Para un circuito pasa altas de 60 dB/década, C1=C2=C3=220 pF y para una frecuencia de corte de fc=60KHz). Calcule a) R3, b) R1 y c) R2.
b).- R1= 2R3 =2(12KΩ) =24 KΩ
c).- R2= R3= 0.5(12KΩ)= 6 KΩ12
NOTA:Si se desea, la sección de 20 dB/década puede ponerse antes de la sección de40dB/década, ya que los amplificadores operacionales proporcionan aislamiento yno representan una carga el uno para el otro.
En los filtros pasa altas Butterworth, tenemos que el ángulo de fase para 20 dB/década es de 45° , para 40 dB/década es de 90° y para 60 dB/década es de 135° en ωc.
COMPARACIÓN DE MAGNITUD
ωACL
20dB/década 40dB/década 60dB/década
0.1ωC 0.1 0.01 0.001
0.25ωC 0.25 0.053 0.022
0.5ωC 0.445 0.24 0.124
ωC 0.707 0.707 0.707
2ωC 0.89 0.97 0.992
4ωC 0.97 0.998 0.999
10ωC 1.0 1.0 1.0
En la Tabla siguiente se comparan las magnitudes de ganancia en lazo cerrado para lostres tipos de filtros Butterworth pasa altas. Para cada incremento de 20 dB/década, elcircuito no sólo tiene una atenuación más pronunciada por debajo de ωc, sino quetambién permanece más cercano a 0 dB por arriba ωc.
COMPARACIÓN DEL ÁNGULO DE FASE
ωÁNGULO DE FASE PARA
20dB/década 40dB/década 60dB/década
0.1ωC 84° 172° 256°
0.25ωC 76° 143° 226°
0.5ωC 63° 137° 210°
ωC 45° 90° 135°
2ωC 27° 43° 60°
4ωC 14° 21° 29°
10ωC 6° 8° 12°
En la siguiente tabla se comparan los ángulos de fase para los filtros Butterworth pasa altas de 20, 40 y 60 dB/década.
Un filtro pasa banda es un circuito selector de frecuencia. Permite seleccionar o dejarpasar únicamente una banda de frecuencias de entre otras que pueden estar presentesen una señal.
Filtro pasa banda
Esta es la frecuencia inferior de corte, fL. En la frecuencia de corte superior, fH, laganancia también es igual a 0.7071.
Este tipo de filtro posee una ganancia máxima a una frecuencia resonante fr.
En esta sección de estudio, todos los filtros tendrán una ganancia de 1 ( 0 dB ) en fr.
Hay una frecuencia por debajo de fr en que la ganancia cae a 0.7071 del valor máximo.
1.0
0.707
Frecuencia
V0 Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa banda
Ancho de banda
fr
B = fH − fL
Frecuencia resonante fr
fHfL
Ancho de banda
Al intervalo de frecuencias entre fL y fH se le nombra ancho de banda B:
B=fH – fL
El ancho de banda no se encuentra centrado en la frecuencia de resonancia fr
Si se conocen fL y fH, se puede calcular la frecuencia de resonancia fr a partir de:
fr=√ fL fH
Si se conoce la frecuencia de resonancia fr y el ancho de banda B, se puede obtener las frecuencias de corte fL y fH con:
fH= fL + B
fL= +fr –√B2
4B2
2
Ejemplo 12
Un filtro de voz pasa-banda tiene frecuencias de corte inferior de 300 Hz y superior de 3000 Hz. Calcule:
a) El ancho de banda
b) La frecuencia de resonancia.
Solución
a) A partir de ecuación
B=fH – fL=(3000 – 300) = 2700 Hz
b) Con base en la ecuación
fr=√ fL fH = √ (300)(3000) = 948.7 Hz
Nota: fr siempre está por debajo de la frecuencia central de (3000+300)/2=1650 Hz.
Ejemplo 13
Un filtro pasa banda tiene una frecuencia de resonancia de 950 Hz y un ancho de banda de 2,700 Hz. Calcule las frecuencias de corte inferior y superior.
Solución
De la ecuación
fL= + fr –√B2
4B2
2 = +(950) –√ (2700)4
27002
22
= 1650-1350 = 300 Hz
fH= fL + B
A partir de la ecuación
= 300 + 2700 = 3000 Hz
Factor de calidadEl factor de calidad Q, se define como la relación entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda.
Q= fr
BQ es una medida de la selectividad del filtro pasa banda. Un Q alto significa que el filtro selecciona una banda de frecuencias más angosta (más selectivo).
Filtros de banda angosta y de banda ancha
Un filtro de banda ancha tiene un ancho de banda de dos o más veces la frecuencia deresonancia. Es decir, Q≤0.5 para filtros de banda ancha. Esta clase de filtros seconstruyen poniendo en cascada un circuito de filtro pasa bajas con un circuito de filtropasa altas. Para filtros de banda angosta (Q>0.5) se pueden construir con una solaetapa (se describe más adelante).
Ejemplo 14
Encuentre el factor de calidad de un filtro de voz que tiene un ancho de banda de 2700 Hz y una frecuencia de resonancia de 950 Hz. (Véase el ejemplo 13).
Solución
A partir de ecuación
Q= fr
B = 950 2700
= 0.35
El filtro puede clasificarse como de banda ancha, porque Q ≤ 0.5.
Filtro básico de banda ancha
Un filtro de band ancha (Q ≤ 0.5) se construye poniendo en cascada un filtro pasa bajasy uno pasa altas. Las frecuencias de corte de las secciones pasa altas y pasa bajas nodeben traslaparse y ambas deben tener la misma ganancia en la pasa banda. Más aún,la frecuencia de corte del filtro pasa bajas debe ser 10 o más veces la frecuencia delfiltro pasa altas.
Para filtros pasa altas y pasa bajas en cascada, el filtro pasa banda ancha resultantetiene las siguientes características:
1. La frecuencia de corte inferior, fL queda determinada por el filtro pasa altas.
2. La frecuencia de corte inferior, fH queda determinada por el filtro pasa bajas.
3. La ganancia es máxima a la frecuencia de resonancia, fr, igual a la ganancia de lapasa banda.
Circuito pasa banda ancha de 2º. orden
1.0
0.707
Frecuencia
V0 Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa banda ancha
Ancho de banda
fr
B = fH − fL
Frecuencia resonante fr
fHfL
Pasa altasPasa bajas
Determina fLDetermina FH
En la gráfica la respuesta del filtro pasa bajas está en azul.
En la gráfica la respuesta del filtro pasa altas está en rojo.
Circuito de Filtro de banda angosta
Un circuito de filtro de banda angosta sólo emplea un amplificador operacional, comose muestra
1.0
0.707
Frecuencia
V0 Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro pasa banda angosta
Ancho de banda
fr
B =
Frecuencia resonante fr
fHfL
1Q
0.1fL 10fH
Circuito de filtro pasa banda angosta
a) La resistencia de entrada del filtro queda establecida aproximadamente por laresistencia R.
b) La resistencia de retroalimentación se hace igual a 2R, de modo que la ganancia esigual a 1 ó 0 dB en la frecuencia de resonancia fr.
c) Ajustando Rr es posible cambiar o realizar el ajuste de la frecuencia de resonanciasin modificar el ancho de banda o la ganancia.
Funcionamiento
El filtro de banda angosta con ganancia unitaria se determina con unas cuantasecuaciones simples.
El ancho de banda B en Hz, se determina con la resistencia R y los capacitores iguales aC mediante la ecuación:
B= fr
Q
B = 0.1591 RC
donde
La ganancia tiene un máximo igual a 1 (0 dB) en la frecuencia fr, con la condición deque la resistencia de retroalimentación sea igual a 2R.
La frecuencia de resonancia fr queda determinada por la resistencia Rr con el valor:
Rr = R 2Q2–1
Cuando se conocen los valores de los componentes del circuito, la frecuencia deresonancia puede calcularse mediante:
fr = 0.1125 RC
1+√ R Rr
Filtro de octava para ecualizador
Ejemplo 15
Los filtros de octava tienen frecuencias de resonancia aproximadamente a 32, 64, 128,250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000 y 16000. El Q de cada filtro se escoge de modo quetenga valores comprendidos entre 1.4 y 2. El circuito de banda angosta de gananciaunitaria para la sexta octava se calcula de la siguiente manera.
En concreto, hacemos un filtro con fr =1000 Hz y Q=2.
Solución
Calculamos:
B= fr
Q = 1000 2
= 500 Hz
Para calcular FL y FH, usamos:
fL= + fr –√B2
4B2
2 = +(1000) –√ (500)4
5002
22
≈ 780 Hz
Si escogemos C=0.015 μF. Entonces R es igual a:
fH= fL + B= 780 + 500 = 1280 Hz
R = 0.1591 BC = 0.1591
(500)(0.015x10-6 F)= 21.21 KΩ
La resistencia de retroalimentación será 2R=42.42 KΩ. Calculamos Rr.
Rr = R 2Q2–1 = 21.21KΩ
2(2)2 –1= 21.21KΩ
7 = 3.03 KΩ
Ejemplo 16
Un circuito de filtro pasa banda angosta tiene los siguientes valores R=21.21KΩ,C=0.015 μF, Rr=3.03KΩ. Calcule: a) la frecuencia fr; b) El ancho de banda B .
fr = 0.1125 RC
1+√ R Rr
a) La frecuencia fr está dada por:
b) El ancho de banda B .
21.21KΩ(21.21x103)(0.015x10-6)
= 1+ √0.1125 3.03KΩ
=
=(353.6) 1+ 7 = 353.6 x 2.83 Hz = 1000 Hz√
B = 0.1591 RC = 0.1591
(21.21x103)(0.015x10-6 )= 500 Hz
Filtro de muesca (Rechaza Banda)
El filtro de muesca es llamado así por la forma peculiar de su curva de respuesta enfrecuencia, como se observa en la figura. Las frecuencias indeseables quedanatenuadas en la banda de detección B. Las frecuencias deseadas son transmitidasen la pasa banda que está a ambos lados de la muesca.
Casi siempre los filtros de muesca tiene una ganancia unitaria en la pasa banda o de0 dB. Las ecuaciones para Q, B, fL, fH y fr son idénticas a las del filtro pasa bandaasociado. Los filtros de muesca pueden ser de banda ancha o de banda angosta
A continuación se expone la teoría del os filtro de muesca o rechaza banda.
1.0
0.707
Frecuencia
V0 Ei
Gráfica de respuesta en frecuencia para el filtro de muesca
Banda de detenida B
fr fHfL
Pas Banda Pas Banda
Circuitos para los Filtros de muesca (Rechaza Banda)
El circuito básico para un filtro de muesca se muestra en el diagrama siguiente.
Para construir un filtro de muesca, a la señal original se le resta la salida de un filtropasa banda.
Circuito básico para un filtro de muesca.
– Ei en fr
Para las frecuencias del filtro de muesca en la pasa banda, la salida del filtro pasabanda se aproxima a cero. El valor Ei se introduce por medio de R2 en la entrada delsumador que lleva a Vo al valor de –Ei. Así, Vo= –Ei en los pasa banda inferior ysuperior del filtro de muesca.
Supongamos que Ei se aplica a un filtro pasa banda angosta. Así, Ei saldrá del pasabanda como –Ei, que luego se introduce por R1 al sumador para llevar a Vo a +Ei.También se introduce +Ei al sumador por R2. Así pues, la salida Vo responde a lasdos entradas del sumador y se convierte en Vo=Ei – Ei=0 en la frecuencia fr.
Necesidad de un Filtro de muesca (Rechaza Banda)
Donde es preciso amplificar señales de bajo nivel, puede haber una o más señalesindeseables. Ejemplo son las señales de 50, 60 ó 400 Hz provenientes de líneas depotencia, o provocadas por los rectificadores de onda completa, o frecuencias altasprocedentes de fuentes conmutadas o bien osciladores de reloj.
A manera de ejemplo construiremos un filtro de muesca para eliminar un zumbidode 120 Hz provocadas por los rectificadores de onda completa en línea de 60 Hz.
Planteamiento del problema
El problema consiste en construir un filtro de muesca con una frecuencia deresonancia fr=120 Hz. Se selecciona una banda de detención de 12 Hz. La gananciaen la pasa banda será unitaria (0 dB), de modo que las señales deseadas setransmitan sin atenuación. Calculamos el valor de Q.
Q= fr
B = 120 12
= 10
Este valor alto significa que la muesca y el filtro pasa banda tendrán bandasangostas con curvas de respuesta en frecuencia muy pronunciadas.
El filtro transmitirá todas las frecuencias de 0 a (120-6)=114 Hz y también todas lasfrecuencias mayores que (120+6)=126 Hz.
El filtro detendrá todas las frecuencias comprendidas entre 114 y 126 Hz.
Procedimiento para construir un Filtro de muesca
1.- Se hace un filtro que tenga la misma frecuencia de resonancia, el mismo anchode banda y en consecuencia el mismo Q, que el filtro de muesca.
2.- Se conecta un sumador inversor de ganancia unitaria, usando resistencias R de almenos 10 KΩ.
Circuito del filtro de muesca
Como ejemplo se calculará los parámetros de un filtro de muesca con unafrecuencia de resonancia de 120 Hz y con ancho de banda de rechazo de 12 Hz.
Ejemplo 17
Diseñar un filtro pasa banda con una frecuencia de resonancia de fr=120 Hz y unancho de banda de 12 Hz, con un Q=10. La ganancia de la sección pasa banda será 1(0 dB) en fr y se acercará a cero en la salida de la muesca etiquetada con Vo.
Solución
Escogemos C=0.33 μF., entonces:
R = 0.1591 BC = 0.1591
(12)(0.33x10-6 )= 40.2 KΩ
La resistencia de retroalimentación será 2R=80.4Ω y Rr, se calcula como:
Rr = R 2Q2–1 = 40.2KΩ
2(10)2 –1= 40.2KΩ
199 = 201 Ω
El componente del circuito, es decir, el filtro pasa banda se construye primero y seajusta Rr para darle una sintonización fina a fr.
Montaje final
Para construir el filtro de muesca, al filtro pasa banda se le agrega un circuito sumadorinversor con resistencias iguales de entrada y retroalimentación de 10 KΩ al 1%. Elfiltro de muesca resultante (de Ei a Vo) muestra una solución al problema concomportamiento satisfactorio. La profundidad de la muesca puede incrementarsemediante un ajuste fino de R1 o de R2.
