10_Apunte RCM - Teoría de la Confiabilidad

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

TEORÍA DE LA CONFIABILIDAD DE

COMPONENTES Y SISTEMAS

RAÚL STEGMAIER

ADOLFO ARATA

ANALISIS DE CONFIABILIDAD INTRODUCCION

2

1.- INTRODUCCION

Este último tiempo la empresa nacional se ha visto en la obligación de

flexibilizar su sistema productivo, como una forma de responder a los requerimientos

de mercados cada vez más exigentes. Esto la ha llevado a implementar nuevas técnicas

en la gestión de los sistemas productivos para lograr así, una mayor productividad,

mejor calidad , servicio (mayor velocidad de respuesta) e imagen, en definitiva, lograr

una sólida posición competitiva en el mercado.

La evolución presentada en el párrafo anterior, es válida si además de la

administración eficiente de los sistemas productivos, la tecnología involucrada

presenta un grado de seguridad de servicio de acuerdo con estos requerimientos.

De acuerdo a lo anterior y reconociendo que la teoría de la confiabilidad es una

herramienta que permite cuantificar la seguridad de funcionamiento de sistemas, se

desarrollo este apunte que entrega los fundamentos básicos de esta teoría.

ANALISIS DE CONFIABILIDAD TEORIA DE LA CONFIABILIDAD

3

2.-TEORIA DE LA CONFIABILIDAD

2.1- INTRODUCCION

El conjunto de temas que en el lenguaje corriente se agrupan con el nombre de

confiabilidad comprende una serie de teorías y métodos matemáticos y estadísticos,

procedimientos organizativos y prácticas operativas que, mediante el estudio de fallas,

están dirigidos a la solución de los problemas de previsión, estimación y optimización

de la probabilidad de supervivencia, duración media y porcentaje de tiempo de buen

funcionamiento de un sistema.

La confiabilidad, dada la importancia que conlleva, está adquiriendo una gran

importancia en la actividad productiva del hombre, hecho mucho más relevante en

países técnicamente más desarrollados.

El estudio de la confiabilidad es conveniente, pero está asocido a un costo ya

que: los estudios tienen que ser más precisos, los proyectos más comprometidos, la

experimentación más rigurosa y el empleo de medios técnicamente más avanzados,

todo lo cual trae como consecuencia un aumento de los costos.

Por otra parte, al aumentar el grado de confiabilidad se disminuyen los costos

inherentes a las fallas y a los costos de mantenimiento, que inducen a un incremento

de los costos asociados a los recambios y los costos derivados de la falta de

productividad (costo de ineficiencia).


4

Nivel Optimo de Confiabilidad

Costos Totales

Nivel de Inversión

Costos de Mantención

Costo

ConfiabilidadNivel de ConfiabilidadOptimo

CostoMínimo

Figura Nº2.1

Por lo tanto el costo asociado a la confiabilidad aparece como la suma de los

costos mencionados, esta función de costo posee un mínimo que corresponde al

óptimo de confiabilidad (figura Nº2.1). La relación, dada en forma implícita

anteriormente conduce a un parámetro económico importante para definir el grado de

confiabilidad conveniente.


5

2.2- FUNDAMENTOS

Para visualizar en mejor forma las bondades de esta herramienta es necesario

conocer las bases en las cuales se sustenta, para lo cual es necesario comenzar

definiéndola:

Confiabilidad de un elemento es la probabilidad de que dicho elemento

funcione sin fallas durante un tiempo "t" determinado bajo condiciones ambientales

dadas.

A todo elemento es posible asignarle dos estados, que lo caracterizan en todo

instante de su vida: el de buen funcionamiento, y el de funcionamiento defectuoso; a

dicho elemento puede asociársele la probabilidad de encontrarse en uno u otro estado.

La definición de confiabilidad antes adoptada presupone:

1.- Que sea fijado en forma inequívoca el criterio que determina si el elemento

funciona o no funciona. Es posible que esta suposición parezca excesiva, pero

muchas veces, el estado de falla se puede definir solamente con la concreción

de un límite admisible en las prestaciones del aparato en cuestión, mas allá del

cual se hablará de falla (ejemplos son, el motor de un automóvil, intensidad

luminosa de una fuente de luz, órganos de soporte de una válvula, etc.), casos en

los que es posible la identificación de efectos intermedios entre los de buen

funcionamiento y el de falla, correspondiendo cada uno de ellos a distintos

niveles de prestaciones funcionales.


6

2.- Que sean establecidas exactamente las condiciones ambientales y de

utilización, y que se mantengan constantes en el período de tiempo en cuestión.

3.- Que sea definido el intervalo de tiempo t durante el cual se requiere que el

elemento funcione.

Fijadas las dos primeras condiciones, la confiabilidad de un elemento es

función solamente del tiempo, cuya forma depende de la ley probabilística con la que

el no funcionamiento o falla pueda darse en el tiempo.

2.3.- FUNCIONES DE CONFIABILIDAD

Definamos las funciones de confiabilidad, en una primera etapa a nivel discreto,

para lo cual consideremos la siguiente notación: No : Número de elementos buenos al instante to (instante i nicial) Ni : Número de elementos buenos al instante ti ni : Número de elementos que fallaron entre t i y t(i+1), equivalente a ∆Ni. ∆ti : Intervalo de tiempo observado igual a t(i+1) - ti.

- Función de falla f(t) o función de densidad de probabilidad, es decir la probabilidad

de que el elemento falle en el intervalo de tiempo ∆ti, viene dada como:

f ti tiniNo

( )× =∆ Función de falla sobre el intervalo ∆ti

- La función de fallas acumuladas F(t), es decir la probabilidad de que el elemento

falle en el intervalo ∆ti o antes viene dada por:


7

F ti f ti tini

NoNiNo

i

i

( ) ( )= × = = −∑

∑ ∆ 0

0

1

- La función de confiabilidad R(t), es decir, que el elemento sobreviva hasta el

intervalo ∆ti, de acuerdo a lo anterior viene dada por:

R tiNiNo

F ti( ) ( )= = −1

2.3.1.- TASA DE FALLA

Consideremos ahora otra función de interés fundamental para el análisis de

confiabilidad, su relación con las funciones vistas anteriormente y su comportamiento

a través del tiempo.

De una manera muy general el fenómeno de falla o de degradación de los

elementos y materiales es posible clasificarla en dos categorías principales, las fallas

espontáneas; por ejemplo la ruptura inesperada de una pieza mecánica, el cortocircuito

de un sistema eléctrico o electrónico, para los cuales es casi imposible la puesta en

marcha de un sistema de mantenimiento de tipo condicional. Y por otro lado están las

fallas producto del desgaste: donde es posible visualizar el progreso de la degradación

como son los fenómenos de desgaste en mecánica, el aumento del roce, o el aumento

de la resistencia para los sistemas eléctricos o electrónicos, para los cuales es posible

definir políticas de mantenimiento de tipo preventivo o de tipo condicional.

Al elemento con el cual cuantificaremos la aparición de las fallas lo

denotaremos por tasa de falla (λ(t)), que se define como la probabilidad de tener una

falla del sistema o del elemento entre los instantes t y (t+∆t) a condición de que el

sistema haya sobrevivido hasta el tiempo "t".


8

Por otra parte, esta función probabilística tiene una forma característica a lo

largo de la vida de los elementos (figura Nº2.3.1), comúnmente llamada curva en

bañera, donde son claramente distinguibles tres períodos:

Tasa de fallas de una población

Homogenea en función de su edad

DesgasteVida UtilRodaje

(t)λ

t

Figura Nº2.3.1

- Fallas de juventud (rodaje).

Caracterizadas por una tasa de falla descendente en el tiempo.

- Fallas de madurez (vida útil).

A tasa de falla sensiblemente constante en el tiempo.

- Fallas de vejez (desgaste).

Con tasa de falla creciente (período de desgaste).


9

El examen de esta curva (figura Nº2.3.1), permite sacar las siguientes

conclusiones:

En lo que concierne al período de rodaje, la tasa de falla va disminuyendo, esto

se explica por el hecho que algunos componentes son montados y puestos en

funcionamiento estando defectuosos.

A modo de precaución se practica:

-Poner en funcionamiento durante un cierto período de tiempo los

componentes que se quieren dar a un cliente. Esto tiene por efecto eliminar

aquellos que presenten debilidades, y de esta forma tratar de llevar la tasa de

falla a nivel de vida útil, a modo de ejemplo el rodaje efectuado a un automóvil.

-Controles muy concentrados (controles no destructivos).

El segundo período o período de vida útil, se caracteriza por mantener una tasa

de falla sensiblemente constante, común en componentes electrónicos y ligeramente

creciente para los equipos mecánicos (efecto de desgaste).

El tercer período presenta importantes fenómenos de degradación. La tasa de

falla es creciente (estado donde es necesario vigilar el material). Esto corresponde a

fenómenos de fatiga y de desgaste mecánico, un mantenimiento preventivo puede ser

puesto en marcha.


10

Para determinar de manera experimental las tasas de falla en función del

tiempo, es necesario disponer de una gran cantidad de datos extendiéndose sobre un

período de tiempo que cubra la vida de los elementos. De este modo lo antes

expuesto, limitaría la obtención de esta curva para tecnologías recientes, o para

sistemas que no presentan patrimonio estadístico suficiente, para los cuales sólo una

parte de esta curva podría ser puesta en evidencia. Sin embargo, bajo ciertas

condiciones, se podrían sacar conclusiones de políticas de mantenimiento a seguir con

débiles patrimonios estadísticos.

Una estimación de la tasa de falla para intervalos de tiempo discretos está

determinada por el cálculo siguiente:

λ( )( )( )

tini

Ni tif tiR ti

=×

=∆

Donde: ni : Número de fallas durante el intervalo de tiempo Ni : Número de sobrevivientes al comienzo del intervalo de tiempo ti No : Número de elementos buenos a to ∆ti: t i+1-ti Intervalo de tiempo observado.

2.3.2.- FUNCIONES DE CONFIABILIDAD A NIVEL CONTINUO Y TASA DE

FALLA INSTANTANEA.

El desarrollo presentado en los puntos anteriores, representa una visión a nivel

discreto de las funciones de confiabilidad y sus relaciones, analicemos ahora su

comportamiento a nivel instantáneo debido a la ventaja que esto presenta, a partir de

las herramientas matemáticas factibles de utilizar.

Por hipótesis se dice que:


11

λ( )( ) ( )

( )( )( )

t dtF t dt F t

R tdF t

F t=

+ −=

−1

Donde F(t) y R(t) son respectivamente la función acumulada de fallas y la

función de confiabilidad, que es la que deseamos conocer a partir de la tasa de falla

λ(t), para esto se integran los dos miembros de la expresión anterior, considerando

como restricción de contorno, la condición inicial F(t=0)=0, se obtiene:

l t dtdF t

F t

tt

( )( )( )

=−∫∫ 100

; − =−−∫∫ λ( )

( )( )

t dtdF t

F t

tt

100

; − = −∫λ( ) ln( ( ))t dt F tt

10

Aplicando la exponencial, tenemos:

e F tt dt

t

= - ( )−∫ λ ( )

0 1

Si formalizamos lo anterior, tenemos:

R t et dt

t

( )( )

=− ∫

λ

0 F t et dt

t

( )( )

= −−∫

1 0 λ

f t t et dt

t

( ) ( )( )

=−∫

λλ

0

Es así como se acaban de presentar las expresiones generales que relacionan

las leyes de confiabilidad y la relación de estas con la tasa instantánea de fallas, estaría

dada por:

λ( )( )( )

tf tR t

=


12

Definamos ahora otro indicador de seguridad de funcionamiento, el tiempo

medio hasta la falla MTTF (Mean Time To Failure), que por definición viene dado

por:

MTTF t f t dt R t dt= × =∞ ∞

∫ ∫( ) ( )0 0

En el caso de sistemas reparables (generalmente sistemas mecánicos) es

propio hablar de tiempo medio entre fallas MTBF (Mean Time Between Failures), es

decir, el tiempo comprendido entre el instante en que el elemento entra (o vuelve a

entrar) en servicio (una vez finalizado el mantenimiento), excluyendo el intervalo de

tiempo necesario para el mantenimiento.

Período en el ciclo de vida de sistemas reparables

M.T.B.F M.T.T.R.

2.3.3- MODELACION DE LAS FUNCIONES DE CONFIABILIDAD

Como se vio anteriormente existe una relación entre las funciones f(t), R(t),

F(t), λ(t), es decir, conociendo una de ellas, vienen dadas inmediatamente las otras

tres.

Veamos ahora el modelamiento de la función λ(t), para cada uno de sus tres

estados decreciente (rodaje), constante (vida útil), creciente (desgaste) presentados en

la figura Nº2.


13

2.3.3.1.- Distribución de Weibull

Para algunos elementos, el período de rodaje se caracteriza por ser

decreciente.

El modelo matemático que se adapta a esta situación se representa con la

distribución de Weibull de dos parámetros:

λ βα

β( )t t=

× −1

Donde para valores de α=ß=1/2 se cumple la descripción dada anteriormente

para λ(t) decreciente, además tenemos:

MTBF = +

α β

β1

1 1Γ

donde

Γ 1 10

1

+

= −

∞

∫ββe t dtt β ⟨ 0

2.3.3.2.- Exponencial negativa

Durante el período de vida útil, la tasa de fallas es sensiblemente constante. En

este caso la función de confiabilidad toma la forma:

R t e t( ) = −λ

que es una exponencial negativa, y también tendremos:

f t e t( ) = −λ λ F t e t( ) = − −1 λ


14

En el caso de tasa de fallas constante, tendremos:

MTBF R t dt e dtt= = =−∞∞

∫∫ ( ) λ

λ00

1

En confiabilidad, la distribución exponencial correspondiente a tasas de fallas

constantes tiene una importancia fundamental.

Esta importancia deriva esencialmente de dos hechos: el primero es que los

cálculos, para este caso, son notablemente sencillos, hecho de gran importancia al

tratar sistemas complejos; el segundo es que esta distribución es la ley típica de

ocurrencia de los fenómenos puramente casuales; esto es, de aquellos cuyas causas

son exclusivamente accidentales.

2.3.3.3.- Distribución normal

Es la distribución utilizada normalmente para modelar las fallas producidas por

desgaste.

El modelo matemático que describe el período en el cual entra en juego el

desgaste, parte de la hipótesis que f(t) tiene una distribución normal con media µ y

varianza σ2. Por lo tanto las funciones f(t), R(t), λ(t), vienen dadas por:

f t et

( ) =

−−

12

12

2

σ π

µσ

R t f t dtt

( ) ( )=∞

∫ MTBF = µ


15

λ

µσ

µ

σ

( )te

e dt

t

t

t

=

−−

−−

∞

∫

12

12

2

2

Los modelos matemáticos considerados, las distribuciones Weibull,

exponencial, normal, se adaptan más o menos a los tres períodos de la vida de un

elemento respectivamente (figura Nº2): rodaje, vida útil, desgaste.


16

En la tabla siguiente se presenta un resumen de las funciones de densidad de

probabilidad comúnmente usadas para modelar la confiabilidad de componentes y

sistemas.

DISTRIBUCION MEDIA FORMA GRAFICA TASA DE FALLA

WEIBULL

f tt

et

( ) =−

×

−−

−

β

α

γ

α

β γ

α

β1

R t et

( ) =−

−

γ

α

β

Donde: α:parámetro de escala β:parámetro de forma γ:decálogo de origen con t ≥ γ

E t( ) = + ×+

γ α

ββ

Γ1

f(t)

0

β

ββ= 0,5 = 3

= 1

t

0

(t)λ

t

β β

β

= 0,5 = 3

= 1

λβα

γα

β

( )tt

=−

−1

EXPONENCIAL NEGATIVA f t e t( ) = −λ λ

R t e t( ) = −λ con t ≥ 0

E t( ) = 1

λ

0 t

(t)f

0

(t)λ

t

λ

NORMAL

f t et

( )( )

=− −1

2

2

22

σ π

µσ

R t f t dtt

( ) ( )= − ∫10

E t( ) = µ

µ

f(t)

0 t

0

(t)λ

t

λ

µσ

µ

σ

( )te

e dt

t

t

t

=

−−

−−

∞

∫

12

12

2

2


17

2.4.- CONFIABILIDAD DE SISTEMAS.

Es importante para el estudio de sistemas complejos, establecer la relación que

existe entre el sistema y la confiabilidad de los componentes individuales, en otras

palabras se trata de definir una función tal como:

Rs Ri i n= =f( ) , , ,..,1 2 3

Donde Rs representa la confiabilidad del sistema y Ri la de los n elementos

componentes del sistema. La importancia del análisis de la confiabilidad del conjunto

se pone en evidencia al considerar los siguientes factores:

1. Para la deducción de las características de seguridad de funcionamiento de

un conjunto, partiendo de los datos históricos de falla de los elementos que

componen el sistema.

2. Dar indicaciones útiles para establecer una política de mantenimiento

preventivo a través del conocimiento del efecto producido por la intervención

de un determinado elemento sobre las características del sistema en conjunto.

3. Analizar y disponer las acciones correctivas más eficaces.

4. Proyectar los sistemas con características óptimas mediante la duplicación

de algunas funciones.


18

La confiabilidad de un sistema no es otra cosa que la probabilidad acumulada

del acontecimiento "no hay falla" que, a su vez, es el resultado del comportamiento de

los componentes individuales.

En consecuencia, las reglas aplicables a la combinación de confiabilidad en

sistemas, son las aplicables a la combinación de probabilidades de elementos

cualesquiera.

Es importante para el análisis de sistemas el grado de independencia o de

dependencia entre los distintos elementos que lo componen, para lo cual

consideremos los siguientes casos:

1. El que se produzca una falla de un elemento constituyente de un sistema es

casual y estadísticamente independiente (o no) del hecho de que se produzca

una falla en otro elemento del sistema, es decir, la falla de un elemento no

altera la posibilidad de falla en otro.

2. La definición entre el estado de funcionamiento y el de falla es dependiente

o no del modo en que funcionen las otras partes del sistema.

Lo anterior es una restricción clara para la subdivisión conveniente de un

sistema para su posterior análisis.

El funcionamiento de un sistema desde el punto de vista de confiabilidad se

representa gráficamente mediante esquemas de bloque adecuadamente conectados

entre sí, en los que cada bloque representa un subsistema o un componente (figura

Nº2.4.1).


19

A

B

C

A B C

a

b

Figura Nº2.4.1

Estos esquemas normalmente no corresponden a los esquemas funcionales de

instalación (flow-sheet). De hecho representan gráficamente la dependencia lógica del

acontecimiento "falla del sistema" con el acontecimiento "falla de un determinado

componente" lo que, no necesariamente tiene correspondencia con el despiece físico

y la función desarrollada por los elementos individuales. Para visualizar mejor lo

mencionado sobre las posibles diferencias existentes entre los diagramas lógicos de

análisis de confiabilidad y los correspondientes a la disposición física de los

elementos mencionada anteriormente, consideremos el siguiente ejemplo:

Imaginemos una batería de condensadores conectados en paralelo como la

figura Nº2.4.1-a.


20

Las fallas que pueden producirse en un sistema de este tipo pueden ser de dos

clases: fallas por circuito abierto y fallas por cortocircuito. En el primer caso el

esquema lógico para el cual seria conveniente la evaluación se representa en la figura

Nº2.4.1-a, dado que al fallar uno de los elementos, el sistema continua en operación,

total o parcialmente.

En el segundo caso si se produce la falla de un sólo elemento de los tres

condensadores, no importando cual, se produce la falla del sistema, por lo tanto el

esquema lógico será entonces del tipo indicado en la figura Nº2.4.1-b.

En definitiva, podemos decir que si un elemento de una instalación se

representa en paralelo en el esquema lógico, su falla no conlleva a que el sistema en su

conjunto quede fuera de servicio, lo que si ocurriría si el sistema estuviese conectado

en serie.

Analicemos a continuación tres configuraciones básicas, configuración en

serie, paralelo y stand-by. Los sistemas complejos de cualquier género son posibles

de reducir a combinaciones de los tres casos mencionados.


21

2.4.1.- Sistemas en serie.

Son aquellos en los que la falla de uno de sus elementos (cualquiera), que ha de

considerarse como un acontecimiento independiente, determina la falla del sistema en

su conjunto.

La confiabilidad del sistema en serie corresponde a la probabilidad de que

todos los elementos (o subsistemas) no fallen en un tiempo determinado. Esta

probabilidad viene dada por la multiplicación de las probabilidades de buen

funcionamiento de todos los subsistemas en el período de tiempo dado. Si

consideramos un sistema compuesto por n elementos, tenemos:

Rs t R t R t Rn t Ri ti

n

( ) ( ) ( )........ ( ) ( )= ==

∏1 21

donde Rs(t) y Ri(t) indican la confiabilidad del sistema y de cada elemento o

subsistema respectivamente. Desarrollando la expresión podemos escribir:

Rs t e Ri t e es t dt

i

n i t dt

i

n i t d t

i

n

( ) ( )( ) ( ) ( )

= = = =−

=

−

=

−∫ ∏ ∫∏∑∫

=λ λ λ

1 1

1

donde λs(t) y λi(t) representan respectivamente la tasa de falla del sistema y de cada

elemento o subsistema en particular.


22

De la relación anterior se puede deducir lo siguiente:

λ λs t i ti

n

( ) ( )==∑

1

Si las tasas de falla de los subsistemas o elementos fuesen constantes también

lo seria la del sistema completo, pudiéndose escribir:

Rs t e e donde s t i ts ti t

i

ni

n

( ) ( ) ( )= = =−

=

=∑

∑λλ

λ λ1

1

Además para λi=constante, tenemos:

MTBFi i MTBFs s= =1 1λ λ

Como se pudo apreciar, el hecho de considerar algunas veces la tasa de falla

constante, facilita en gran medida los cálculos.

2.4.2 Sistemas en paralelo.

En estos sistemas llamados también sistemas redundantes, algunas funciones

están duplicadas o triplicadas (en general multiplicadas) con el fin de obtener una

mayor confiabilidad de los sistemas.

A modo de ejemplo se podría considerar para este tipo de configuraciones los

siguientes casos:

1. Las soldaduras eléctricas dobles.


23

2. Las reservas rodantes, como por ejemplo dos bombas funcionando a la vez,

cada una de las cuales puede otorgar la capacidad requerida por sí sola.

3. Dos de los motores de un avión cuadrimotor, en el que bastan dos motores

para evitar la caída del aparato.

A

B

Sistemas en Paralelo

Figura Nº2.4.2

Existen en términos generales dos tipos de redundancia en paralelo:

La redundancia total, es decir, el sistema en el cual un elemento por sí solo es

capaz de soportar la carga del sistema.

La redundancia parcial en la cual un grupo de elementos es capaz de soportar la

carga del sistema.

Para determinar la confiabilidad del sistema con redundancia total, al igual que

los sistemas en serie, se basa en las leyes del cálculo de las probabilidades.


24

El diagrama lógico correspondiente a estos sistemas es el mostrado en la figura

Nº2.4.2.

Consideremos, por ejemplo, un sistema compuesto por dos elementos A y B en

paralelo (figura Nº2.4.2).

La confiabilidad del sistema Rs vendrá dada por:

Rs R R R RA B A B= + −

Esto es debida a que el sistema falla cuando fallan ambos elementos.

Consideremos la siguiente tabla:

A B Probabilidad del sistema

1.- Funciona 2.- Funciona 3.- No funciona

Funciona No funciona Funciona

Funciona RA RB Funciona RA (1-RB) Funciona (1-RA) RB

Debido a que estas situaciones son mutuamente excluyentes, por lo que la

probabilidad de buen funcionamiento del sistema que definida por la suma de los

eventos antes mencionados, es decir las situaciones favorables:

Rs R R R R R R R R R RA B A B B A A B A B= + − + − = + −( ) ( )1 1

Una forma de simplificar estos cálculos y de mucha utilidad cuando existen

más de dos subsistemas, es analizar la probabilidad de falla del sistema.


25

La probabilidad de falla Qs=1-Rs, de un sistema en paralelo de acuerdo a las

definiciones dadas anteriormente (considerando independencia entre los elementos de

un sistema), considera que, para que falle el sistema deben fallar simultáneamente

todos los subsistemas. Por lo tanto tenemos:

Qs t Q t Q t Qn t Qi ti

n

( ) ( ) ( )........ ( ) ( )= ==

∏1 21

de acuerdo a lo anterior la confiabilidad de l sistema se puede escribir como:

Rs t Qs t Qi ti

n

( ) ( ) ( )= − = −=

∏1 11

En el caso particular que se cumpla que:

R R eA Bt= = − λ

Rs t e et t( ) = −− −2 2λ λ

MTBFs Rs t dt= =∞

∫ ( ) 32

0

λ

Por lo tanto, el tiempo medio entre falla del sistema es superior en un 50% al

de sus componentes individuales.

En el caso de los sistemas con redundancia parcial, a diferencia del anterior que

considera que para que el sistema falle debe fallar todos los elementos componentes

del sistema, una cierta combinación mínima de los elementos debe estar en operación

para que el sistema funcione, consideremos la siguiente situación, un aeroplano de

cuatro motores, sólo dos deben operar para mantenerse en vuelo, considerando lo

anterior la confiabilidad del sistema viene dada por:

Rs p p p p p=

− +

− +

42

143

144

2 2 3 4( ) ( )


26

Donde p representa la probabilidad de buen funcionamiento para un

determinado tiempo "t" de operación de los motores, de la relación anterior puede

observarse que representa todas las combinaciones de éxito para el sistema,

generalizando se tiene:

Rs P r j nnj

p pj r

nj n j= ≤ ≤ =

−

=

−∑( ) ( )1

Donde la relación anterior representa la confiabilidad de un sistema compuesto

por n elementos, de los cuales se requiere r en buen funcionamiento para que el

sistema funcione.

2.4.3.- Sistema Stand-by

El otro caso de sistemas redundantes es el stand-by, es decir, en un instante

determinado funciona sólo uno de los elementos o subsistemas, mientras que los

restantes permanecen en reserva en estado de espera (stand-by). En consecuencia, en

este caso la conexión funcional varía en el tiempo en función de la aparición de la

falla. Sistema Stand-by

A

B

Conmutador

Figura Nº2.4.3

La variación de la conexión esta a cargo de un órgano, llamado órgano de

decisión conmutación (representada por el conmutador en la figura Nº2.4.3), que


27

cambia la conexión de un componente a otro, y que podría ser, por ejemplo, la

intervención de un operador.

Entre los ejemplos de sistemas de este tipo se encuentran con abundancia en

las instalaciones industriales, donde frecuentemente las máquinas de vital importancia

para el sistema productivo tienen otra de reserva, mencionemos algunos ejemplos:

1. Los generadores de energía eléctrica de emergencia en hospitales y otras

instalaciones.

2. Los sistemas dobles de alimentación de combustible en los generadores de

vapor.

3. Los frenos manuales de emergencia en los vehículos.

Consideremos ahora un sistema como el mostrado en la figura Nº2.4.3,

compuesto por dos elementos A y B, y evaluemos su confiabilidad Rs(t).

1.-

2.-

A funciona

A funciona

t

τ tB funciona

Figura Nº2.4.4

A se encuentra normalmente bajo carga, mientras que B interviene solamente

cuando A falla. Suponiendo que la confiabilidad del elemento de conmutación es del

100%. Para analizar la confiabilidad del sistema, en el tiempo "t", veamos los casos en

que el sistema se encuentra en buen funcionamiento.


28

1. A funciona en el tiempo "t"

2. A esta en falla durante el tiempo τ comprendido entre t=0 y t=τ, y B, que ha

intervenido en el tiempo τ, este funcionando aún en el tiempo "t".

Ambas situaciones se encuentran esquematizadas en la figura Nº2.4.4.

La probabilidad que corresponde a cada uno de los eventos descritos

anteriormente (mutuamente excluyentes), esta dada por:

1 20

. ( ) . ( ) ( )− − −∫R t f R t dA A

t

Sτ τ τ

En consecuencia se puede establecer la confiabilidad del sistema Rs(t) como:

R t R t f R t dS A A

t

S( ) ( ) ( ) ( )= + −∫0

τ τ τ

Si consideramos además la situación particular λA=λB=λ=constante,

tendremos:

Rs t e tt( ) ( )= +−λ λ1

Como consecuencia lógica de lo anterior el tiempo medio entre fallas, estaría

dado:

MTBFs = 2λ

con lo que se obtiene un MTBF que duplica (para este caso de dos elementos) el

correspondiente a cada uno de los integrantes de este sistema.


29

Consideremos ahora que el elemento conmutador no posee confiabilidad igual

a 1 , el diagrama lógico correspondiente seria el de una configuración en serie del

elemento conmutador con el sistema evaluado anteriormente (stand-by de dos

elementos), esto es debido a que la falla de cualquiera de estos dos subsistemas

provocaría la falla del sistema total, por lo tanto, la confiabilidad del sistema quedaría

expresada como:

Rs t Rc t Rs t′ = ×( ) ( ) ( )

donde Rs'(t): Confiabilidad global del sistema

Rc(t): Confiabilidad del órgano conmutador

Rs(t): Confiabilidad del sistema considerando Rc(t)=1

2.5.- ANALISIS DE SISTEMAS COMPLEJOS.

Las técnicas descritas anteriormente están limitadas en su aplicación a sistemas

y configuraciones que tienen un tipo de estructura, ya sea, en serie o paralelo. Algunos

sistemas no tienen este tipo de estructura simple o tienen una lógica operacional

compleja.

Existen modelos y técnicas de evaluación para determinar los índices de

confiabilidad de tales sistemas. Un sistema típico que no tiene una estructura serie-

paralelo, es el mostrado en la figura Nº 2.5.1.. Esta configuración es utilizada con

frecuencia para demostrar alternativas de solución para sistemas complejos.


30

1 3

2

5

4

Figura Nº 2.5.1.-

Una inspección visual de la malla mostrada en la figura, indica que ninguno de

los componentes está conectado en un arreglo simple serie-paralelo.

Existen un número de técnicas disponibles para resolver este tipo de mallas,

tales como la aproximación por probabilidad condicional, análisis de Cut y Tie sets,

diagramas de árbol, matriz de conexión, etc. Existen otras que no son utilizadas con

frecuencia.

Muchas de estas técnicas son métodos formalizados para transformar la lógica

de operación del sistema, a una estructura que consiste sólo de componentes, ramas o

pasos en serie y paralelo. Como se verá también, varios de los métodos son

conceptualmente muy similares y pueden ser utilizados para los sistemas sencillos

mencionados anteriormente (serie-paralelo).

2.5.1.- Matriz de conexión.

En este método se construye una matriz de conexión a partir de la malla del

sistema, la cual define qué componentes están conectados entre los nodos de la malla.

Reconsiderando la figura Nº2.5.1, y enumerando los nodos como se muestra en la

figura Nº2.5.2 se tiene:


31

A C

E

B D

1

2

3

4

Figura Nº2.5.2

De la figura anterior se puede construir la matriz de conexión, en la cual un

cero indica que no existe conexión entre dos nodos, y la unidad representa la conexión

entre un nodo y sí mismo, este es el valor de los elementos en la diagonal principal. La

figura Nº2.5.3 muestra la matriz de conexión de la figura anterior.

1 2 3 4

1 1 A B 0

2 0 1 E C

3 0 E 1 D

4 0 0 0 1

Figura Nº2.5.3

Donde los nodos de las filas se conectan con los nodos de las columnas por el

elemento correspondiente. La idea de este método es transformar esta matriz de

conexión básica en una que defina la transmisión de flujo entre la entrada y la salida, es

decir, entre los nodos de interés. Esto se puede lograr por dos caminos: eliminación

de nodos o multiplicando la matriz .

a).- Eliminación de nodos:

En este método, todos los nodos que no son de entrada o de salida, son

eliminados por reducción directa de la matriz de conexión básica hasta que es reducida

a una matriz de 2x2, incluyendo los nodos de entrada (en el ejemplo , nodo Nº1) y de


32

salida ( en el ejemplo, nodo Nº4). El resultado de lo anterior en el ejemplo, se muestra

en la matriz siguiente:

1 4

1 1 AC+BD+BEC+AED

4 0 1

Figura Nº2.5.4

De esta matriz final, el elemento a(1,4) da la transmisión desde el nodo 1

(entrada) al nodo 4 (salida), en este caso AC+ BD+BEC+AED.

La deducción y evaluación de las matrices reducidas y su transmisión,

involucran la aplicación de álgebra Booleana.

De las reglas de álgebra Booleana, la transmisión de la expresión anterior

puede ser expresada como (A y C) o (B y D) o (B y E y C) o (A y E y D). Estas

expresiones representan todos los pasos posibles que existen entre la entrada y la

salida del sistema.

b).- Multiplicación de la matriz.

En este método, la matriz de conexión básica es multiplicada por sí misma un

número de veces hasta que la matriz resultante permanece invariable.

En el presente ejemplo, multiplicando la matriz tres veces por sí misma se

logra los resultados previstos anteriormente.

1 2 3 4

1 1 A+BE B+AE AC+BD+BEC+AED


33

2 0 1 E C+DE

3 0 E 1 EC+D

4 0 0 0 1

Figura Nº2.5.5

Es posible observar en la matriz anterior que la transmisión desde el nodo 1 al

nodo 4, es la misma que en el caso de la eliminación de nodos. La ventaja relativa de

método de multiplicación es que este entrega la transmisión o pasos entre todos los

pares de nodos simultáneamente.

2.5.2.- Método Tie set:

El método tie-set no es utilizado frecuentemente en la práctica, ya que no

identifica directamente los modos de falla del sistema. Tiene aplicaciones especiales

por lo que será tratado brevemente.

Un Tie set es un paso mínimo del sistema y es por lo tanto un set de

componentes del sistema conectados en serie. Consecuentemente, un Tie set falla si

cualquiera de los componentes de él falla. La probabilidad puede ser evaluada

utilizando el principio de sistemas en serie. Sin embargo, para que el sistema total

falle, deben fallar todos los tie sets y por lo tanto, éstos están conectados en paralelo.


34

2.5.3.- Método Cut set:

El método cut set es un poderoso método para la evaluación de confiabilidad de

un sistema, por dos razones principales.

i).- Puede ser fácilmente programado en un computador, para una solución rápida y

eficiente de cualquier tipo de configuración.

ii).- Los cut set están directamente relacionados a los modos de falla del sistema, y de

esta manera identifican los distintos y discretos caminos en los cuales un sistema

puede fallar.

Un set de corte puede ser definido como: Un set de componentes del sistema,

los cuales, cuando fallan causan la falla del sistema.

Un subset mínimo de cualquier set de componentes dado, el cual origina la falla

del sistema, es conocido como un set de corte mínimo. Este puede ser definido como:

un set de componentes del sistema, el cual, cuando falla, causa la falla del sistema,

pero cuando cualquier componente del set no ha fallado, no causa la falla del sistema.

Utilizando esta definición, los set de corte mínimos del sistema de la figura

Nº2.5.2, se muestran en la tabla siguiente:


35

Nº Componentes

1 1 2

2 3 4

3 1 5 4

4 2 5 3

Para evaluar la confiabilidad (o inconfiabilidad) del sistema, los cut sets

mínimos identificados de la malla deben ser combinados. De la definición de los sets

de corte mínimos, es evidente que todos los componentes de cada corte deben fallar

para que el sistema total falle. Consecuentemente, los componentes del set de corte

están conectados en paralelo y las probabilidades de falla de los componentes en el set

de corte deben ser combinadas utilizando el principio de sistemas en paralelo. En

adición, el sistema falla si cualquiera de los sets de corte ocurre y consecuentemente,

cada corte está conectado en serie con todos los otros sets de corte.

ANALISIS DE CONFIABILIDAD FUENTES DE INFORMACION

36

3.- FUENTES DE INFORMACION PARA EL ANALISIS DE CONFIABILIDAD Y EL MANTENIMIENTO.

El estudio teórico de la confiabilidad, como se ha podido notar, necesita

información precisa y confiable.

A continuación se detallaran las posibles fuentes para la obtención de dicha

información:

3.1 Bancos de datos internos: Estos son los datos que maneja internamente la

industria, como por ejemplo, el tiempo de buen funcionamiento o las medias de

tiempo de buen funcionamiento MTBF (estos aportan menos información), y es

posible obtenerlos de:

- Las fichas de intervención del servicio de mantención. Es necesario

evidentemente que aparezcan los tiempos de funcionamiento correctos, los tipos de

fallas, el elemento que ha fallado, etc.

- Datos establecidos por el servicio al cliente posterior a la venta.

- Por análisis hechos sobre elementos análogos funcionando en otras unidades,

o de otras empresas.

Partiendo de una cantidad suficiente de datos es posible establecer leyes de

confiabilidad para los diversos órganos, sin embargo es necesario establecer el nivel

de precisión deseado por el mantenimiento, ya que, en muchos casos no es interesante


37

estudiar las leyes de confiabilidad para todos los componentes de un determinado

sistema, siendo suficiente un análisis de confiabilidad global.

Se utilizan estas leyes de confiabilidad para evaluar la periodicidad del

mantenimiento preventivo, el cual puede consistir en el reemplazo sistemático de

diversos elementos o simplemente el examen minucioso de su estado (según

condición).

Esto tiene por interés:

- Establecer un check-list "de intervención".

- Predecir los niveles de stock de repuestos.

- Mejorar la confiabilidad por redundancia.

3.2 Bancos de datos externos: Existen una serie de tablas que contienen

información acerca de componentes electrónicos y mecánicos de uso frecuente, las

más conocidas son:

en Francia

− Tabla editada por el CNET (NPRD1, 2 y 3)

en U.S.A.

− Tabla de "Rome Air Development Center" (RADC).

− Tabla de la NASA, de la NAVY (FARADA).

− Tabla de la Avco Corporation.


38

Estas tablas indican:

- La denominación del material o componente.

- El MTBF (tiempo medio entre falla).

- La tasa de falla media o calculada con la hipótesis de λ(t) constante.

- El patrimonio estadístico.

- Un coeficiente de corrección de la tasa de falla, que depende del ambiente de

funcionamiento en el cual este el elemento bajo análisis.

A modo de conclusión se puede decir que los resultados obtenidos con la

utilización de estas tablas deben ser tratados con prudencia, particularmente en

mecánica. A continuación se presentan algunas tasas de falla medias para algunos componentes y equipos.


39

Tasas de falla [1/hrs] (extracto AVCO CORPORATION)

Nº Listado de Equipos Tasa de falla 1 Absorbedores 0,00000687 2 Acopladores 0,0000004 3 Acopladores magnéticos 0,000006 4 Actuador 0,000051 5 Actuador, Servo asistido 0,000125 6 Acumuladores 0,000072 7 Aislación 0,000005 8 Alternadores 0,000007 9 Antenas 0,00002 10 Antenas dirigidas 0,000057 11 Atenuadores 0,000006 12 Baterías recargables 0,000014 13 Bomba de vacío 0,00009 14 Bomba eléctrica 0,000135 15 Bomba motor hidráulico 0,00014 16 Bomba motor neumático 0,000147 17 Bomba, motor comb. interna 0,000135 18 Bombas 0,000135 19 Calentadores a combustión 0,00004 20 Calentadores, elementos 0,0000002 21 Cepillos rotatorios 0,000001 22 Cilindro neumático 0,00000004 23 Cilindros 0,00000007 24 Cilindros hidráulicos 0,00000008 25 Circuito de freno 0,000001375 26 Circuito de frenos térmico 0,000003 27 Conexión Flexible 0,000006875 28 Conexión rígida 0,00000025 29 Copla direccional 0,000016375 30 Copla rotatoria 0,00000025 31 Correa transportadora 0,00003875 32 Chaveta 0,000000012 33 Diafragmas 0,00006 34 Diferencial 0,0000004 35 Dinamómetro 0,000028 36 Diodos 0,000002 37 Ejes 0,0000035 38 Enfriador 0,000042 39 Estanques 0,0000015 40 Estructura, sección 0,00001 41 Filtros eléctricos 0,00000345 42 Filtros mecánicos 0,000003 43 Fittings, mecánicos 0,000001 44 Flexibles, hidráulicos 0,00002

Nº Listado de Equipos Tasa de falla 45 Flexibles, hid. alta presión 0,000039375 46 Fuelles 0,00002237 47 Generadores 0,000009 48 Intercambiadores de calor 0,00015 49 Juntas hidráulicas 0,0000003 50 Juntas mecánicas 0,0000002 51 Juntas neumáticas 0,0000004 52 Juntas soldadas 0,00000004 53 Leva 0,00000002 54 Lineas y fittings 0,0000002 55 Motor eléctrico 0,000003 56 Motor hidráulico 0,000043 57 Motor ventilado 0,000002 58 Motor, servo 0,0000023 59 Motores 0,00000625 60 Pala, componentes de ensamble 0,00000175 61 Pistón hidráulico 0,000002 62 Regulador 0,0000214 63 Reguladores de flujo y presión 0,0000214 64 Resorte 0,000001125 65 Rodamientos 0,000005 66 Rodamientos de alta velocidad 0,000018 67 Rodamientos de baja velocidad 0,00000875 68 Sello 0,000007 69 Sello deslizante 0,000003 70 Turbinas 0,0001 71 Válvula bypass 0,0000588 72 Válvula check 0,00005 73 Válvula de alivio 0,000057 74 Válvula de bolas 0,000046 75 Válvula de compuerta 0,000046 76 Válvula de cuatro vías 0,000046 77 Válvula de descarga 0,000108 78 Válvula de mariposa 0,000034 79 Válvula de tres vías 0,000046 80 Válvula de venteo y alivio 0,000057 81 Válvula solenoide 0,00011 82 Válvula transfer 0,000005 83 Válvulas 0,000051 84 Válvulas de control 0,000085 85 Ventilador 0,000024 86 Zumbador 0,000006


40

Esta información debe ser corregida de acuerdo a un coeficiente de entorno usando la

siguiente relación:

λe =K λb

donde:

λe Tasa de falla considerando el ambiente de trabajo del elemento

λb Tasa de falla de la base de datos

K Coeficiente

AMBIENTE COEFICIENTE K

Laboratorio 1

A nivel de tierra (detenido) 10

Equipo rodante 20

Equipo sobre rieles 30

Avión 125

ANALISIS DE CONFIABILIDAD DISPONIBILIDAD

41

4.- DISPONIBILIDAD DE COMPONENTES Y SISTEMAS.

Consideremos ahora un factor de gran importancia para sistemas que durante su

vida útil cumplen una serie de ciclos (sistemas reparables), en estos los parámetros de

confiabilidad también son calculables aunque con mayor dificultad matemática. El

factor al cual nos referiremos a continuación considera dos términos, uno es la

frecuencia de falla y el otro el tiempo necesario para la reparación. A este indicador se

le denomina disponibilidad.

La disponibilidad está relacionada directamente con la posibilidad de

utilización de una instalación, vista desde el punto de vista técnico, es decir,

excluyendo las detenciones no originadas por falla del sistema. La disponibilidad

puede definirse como: El porcentaje de tiempo de buen funcionamiento del sistema

productivo, calculada sobre un período de tiempo lo suficientemente largo, es decir,

referido a un valor de régimen.

De acuerdo a lo anterior, el valor de disponibilidad es constante en el tiempo y

viene dado por la relación porcentual entre el tiempo de funcionamiento y el tiempo

total. Lo que se puede expresar de la forma:

AUT

UT DT=

+( )

donde UT (up-time) representa el tiempo en que el sistema está realmente disponible

para el funcionamiento, esto es, puede ponerse en servicio (independientemente del

hecho de hacerlo funcionar o no); DT (down-time) representa el tiempo fuera de

servicio imputable a causas técnicas.


42

El tiempo fuera de servicio de una instalación debido a fallas es el resultado de

numerosos factores, entre los cuales es posible considerar:

- Tiempo de preparación

- Tiempo de localización de la falla

- Tiempo de desmontaje

- Tiempo de obtención de las piezas y materiales necesarios

- Tiempo de reparación propiamente tal

- Tiempo de ajuste y calibración

- Tiempo de montaje

- Tiempo de comprobación del buen funcionamiento del componente reparado

- Tiempo de limpieza

Los factores están asociados específicamente a la intervención en el caso de la

falla. En el caso más general, el tiempo fuera de servicio de una instalación industrial

durante cierto período de tiempo es el resultado de la suma del tiempo debido a las

intervenciones de mantenimiento preventivo y del tiempo debido a las operaciones de

mantenimiento correctivo.

Indiquemos ahora con:

Nc: El número de operaciones de mantenimiento correctivo en el período

analizado

Np: El número de operaciones de mantenimiento preventivo en el mismo

período.

MTTRc: El tiempo medio de reparación correctiva (Mean Time To Repair).


43

MTTRp: El tiempo medio de reparación preventiva.

En consecuencia el tiempo de reparación total viene dado por:

MTTRp Np MTTRc Nc× + ×

4.1 Cálculo de disponibilidad

Veamos a continuación como se puede determinar la disponibilidad de

elementos y sistemas. Consideremos los siguientes parámetros:

Ti : Tiempos de funcionamiento.

τi : Tiempos de reparación.

N : Número de ciclos funcionamiento-reparación, en análisis.

tenemos:

UT Tii

N

==

∑1

DT ii

N

==∑ τ

1

dividiendo el numerador y el denominador por el número de ciclos N y considerando

que este sea lo suficientemente grande, tenemos:

ATi

Ti i

i

N

i

N

i

N=+

=

= =

∑

∑ ∑1

1 1

τ


44

Cuando se tiene un sistema complejo, el tiempo medio de reparación se puede

estimar de la forma siguiente. Sean:

Ni : El número de partes componentes del tipo i-ésimo

Ri : El tiempo medio de reparación de la parte i-ésima

λi : El número medio de fallas por unidad de tiempo, siempre para la parte i-

ésima

Por lo tanto se tiene que el tiempo medio de reparación para el sistema, viene

dado por:

MTTRNi i Ri

Ni i= ∑

∑λ

λ

En el cálculo de la disponibilidad de sistemas complejos, se puede recurrir a

las mismas reglas empleadas en el cálculo de la disponibilidad. En consecuencia para

sistemas en serie, es válida la relación:

As Ai= ∏

que relaciona la disponibilidad del sistema As con la disponibilidad de sus

componentes Ai.

En el caso de sistemas en paralelo se tiene:

As Ai= − −∏1 1( )

donde el segundo término representa la indisponibilidad de cada componente del

sistema.


45

Las relaciones vistas anteriormente no son del todo exactas desde el punto de

vista teórico. El cálculo correcto de la disponibilidad debería llevarse a cabo teniendo

en cuenta la influencia sobre los tiempos de reparación, el número de equipos de

reparación disponibles y la dependencia de la frecuencia de falla del número de

unidades que funcionan simultáneamente. Sin embargo, el proceso de cálculo se

complicaría notablemente, siendo las relaciones antes vistas lo suficientemente

exactas para el análisis de casos prácticos.

ANALISIS DE CONFIABILIDAD BIBLIOGRAFIA

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BIBLIOGRAFIA

A. Baldin, L. Furlanetto, A. Roversi, F. Turco, Manual de mantenimiento de

instalaciones industriales, Gustavo Gilli S.A., Barcelona, 1982.

P. Lyonnet, La Maintenance Mathématiques et Méthodes, Technique et

Documentation (Lavoisier), Paris, 1988.

A. E. Green, A. J. Bourne, Reliability Technology, Wiley & Sons Ltd.,1972.

O. Vinogradov, Mechanical Reliability a Designer´s Approach, Hemisphere Publishing

Corporation, Canada, 1991.

Documents

10_Apunte RCM - Teoría de la Confiabilidad