Universidad Privada Antenor Orrego

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería de Civil

DOCENTE:

Ing. Ms. Sc. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DIAZ

TRUJILLO – PERÚ

2012-20

TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

DEFINICIÓN: es una red de apoyo, generada por una serie de triángulos en las cuales

uno o mas lados de un triangulo, son adyacentes de otro triángulo

TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

Es aquella que no se tiene en cuenta, la curvatura

terrestre, tanto en la medición de lados como en la

medición de los ángulos .

TRIANGULACIÓN

8

8

2020 AE

NM

D

M radiación

ANTECEDENTES

Terreno Pequeño:

PLANTEAMIENTO DE UNA

TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

E3

E2

E1

B)

)2(180 ni

0Px

)2(180 ne 0Py

A) Poligonal cerrado

- T. Mediano:

- T. Gran Extensión:

H

F

D

B

C

A

E

En terrenos de gran extensión

La triangulación resulta ventajosa con respecto a la poligonación

principalmente en las regiones accidentadas y montañosos, ya que de

otro lado de la medición seria lenta y con dificultades.

TIPOS DE

TRIANGULACIÓN

A:400 – 625 Km2 (área) Topográfico

No se considera la C.T. (curvatura de la tierra)

A :+625 km2 Geodésico

Si se considera curvatura de la tierra

CD ,BC ,AB

C B, A, e

2, 1, i

BASE A

A

B

C

61

2

3

45

310

33 32Base de

comprobación

ELEMENTOS DE UNA TRIANGULACIÓN

Vértices A, B, C, D

Lados

De los lados de la triangulación se escoge el lado que ofrece mayores ventajas para medirlo

- Obstrucciones

- Poca pendiente

Ángulos

DE INICIO

D

BASE DE LA TRIANGULACIÓN

Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud

ha sido obtenida directamente en el campo.

Existe dos tipos de base:

La inicio de la triangulación (base de la triangulación)

La base de comprobación (base de cierre)

¿QUÉ FIGURAS GENERAN TRIÁNGULOS?

A B

C D

Cuadrilátero

A

B

C

D

E

F

Polígono de punto central ABCDE(F)

CANAL

Río

C. Triángulos:

A

BC

D

E

F

G

H

I

J

C. De cuadrilátero:

Radiación

Poligonacia

Triangulación

SÍMBOLOS

ELECCIÓN DE LA CADENA PARA

UNA TRIANGULACIÓN

Si bien en la practica no siempre es posible seguir o mantener una cadena de un

solo tipo de figura par elección de la cadena que mejor conviene tomar , tendrá en

cuenta los siguientes aspectos.

La triangulación formada por una cadena de triángulos , es de las mas sencillas ,

por cuanto que no requiere la medida de un elevado numero de ángulos , pero en

cambio requiere la medida e bases de comprobación , muchas veces es muy

cercanas unas a otras si se quiere llegar a una buena precisión

La triangulación por una cadena de cuadriláteros requiere un mayor número de

visuales pero brinda un mejor control de levantamiento principalmente en lo que a

precisión se refiere.

Triangulación formada por una cadena de polígonos con unto central requiere un

gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros son las adecuadas

para levantamientos de gran precisión

TRABAJO DE CAMPO COMPRENDE

Reconocimiento del terreno

Ubicación de vértices y ubicación de la base.

Medición de la base de la triangulación.

Medición de los ángulos de la triangulación.

Medición de azimut de la base.

TRABAJO DE GABINETE, COMPRENDE:

1. Cálculo de longitud

2. Precisión de la triangulación

3. Compensación de figuras

4. Cálculo de la resistencia de la figura y selección del mejor camino de calculo

5. Calculo de azimut y rumbos del mejor camino del cálculo

6. Cálculos de la longitud de los lado de la triangulación

7. Cálculos de proyecciones de los lados

8. Calculo de coordenadas

9. Clasificación general de la triangulación ejecutada

10. Dibujo de la triangulación

El personal necesario para la medición es:

Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones

de mediciones

Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara

las marcas

Un registrador de las temperaturas de medición

Un libretista

1. MEDICIÓN DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN

EL EQUIPO NECESARIO ES :

Teodolito con trípode

Wincha de acero

Termómetro

Tensiómetro

Jalones

Nivel ingeniero con trípode y mira

MODELO DE REGISTRO CAMPO:

DESCRIPCIÓN PRIMERA MEDICIÓN

Tramo Apoyos Desnivel Longitud m T ªC P kg

A-2 A-1

2 - 4

4 - 6

…

CORRECCIONES SISTEMÁTICAS

Los datos de medición deberán estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones vulgares. Los errores sistemáticos en una medición con wincha de acero son: error por dilatación de la wincha, error por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tención y error por calibramiento de la wincha y que se compara con un patrón que generalmente es una wincha o hilo invar. A cada uno de estos tipos de errores sistemáticos, corresponde su corrección, siendo: •C. por Temperatura

•C. por Catenaria

•C. por Horizontalidad

•C. por Tensión

•C. por Calibramiento

Corrección por temperatura:

: Corrección por temperatura. K: Coeficiente de dilatación de la wincha. L: Longitud del terreno medio. T: Temperatura del ambiente en el instante de la medición.

: Temperatura de calibramiento

Corrección por catenaria:

Cc : Corrección por catenaria

L: Longitud del terreno medio

W : Peso lineal de la wincha L : longitud entre apoyos

P : Tensión de medición

Corrección por horizontalidad:

: Corrección por horizontalidad

h : Desnivel entre estacas de apoyo

l : Longitud entre apoyos.

Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles pequeños a partir del segundo término, la serie va tomando valores cada vez más pequeños. El signo de la corrección por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medición, siempre es negativo, sea el desnivel positivo o no.

Corrección por tensión:

: Corrección por tensión

L : Longitud del tramo medio

P : Tensión por medición

: Tensión de calibramiento

S : Sección recta de la wincha

E : Modulo de elasticidad del acero

Corrección por calibramiento:

Luego de haber efectuado las correcciones anteriores, las winchas deben ser calibradas con una wincha patrón invar., y se determinara su verdadera magnitud.

SxE

PoPLxCp

)(

: Coeficiente de dilatación

: Sección recta de la wincha

Se ha realizado la medición de la base de triangulación AB. Las características de la wincha son

Resolver:

1. ¿Se pide calcular la longitud medida en el campo?

2. ¿Calcular la corrección sistemática?

3. ¿Calcular la longitud medida corregida?

SOLUCIÓN: a) Long. Medida en el campo:367.197

b) Corrección sistemática(Cs)

Cs= ∑Ct+∑Ch+∑Cp Cs= -9.7-39.6-29.3+23=-55.6mm= -0.0556m c) Longitud medida corregida.

L mc= 367.197-0.0556=367.1414

Longitud medida: 367.197m.

Corrección sistemática: -9.7-39.6-29.3+23.0 = -55.6mm Longitud corregida: 367.197-0.056 Longitud corregida: 367.141 mt.

La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos.

Los ángulos de cada triángulo deben sumar 180º ; debido a pequeños errores inevitables durante el proceso de medición esto no se logra exactamente y es así que se presenta un pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo).

º180

2. PRECISIÓN DE LA BASE DE TRIANGULACIÓN

La estimación de los errores accidentales, en conjunto y que inciden una medición, se realiza por fórmulas obtenidas por probabilidades, presentándose las que interesan a nuestro estudio.

Sean:n1, n2, n3,………nn, los valores de las longitudes medidas y calibradas de una base de triangulación, entonces:

VALOR MÁS PROBABLE DE LA BASE:

• Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:

• n: número de mediciones

n

nnnnM n

........321

ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONALES:

• Es la diferencia entre los valores de las mediciones y

la medida aritmética, así:

• V1 = n1 – M ; V3 = n3 – M

• V2 = n2 – M ; Vn = nn – M

MEDIA DE LOS ERRORES:

Es la media aritmética de los errores residuales, sin

tener en cuenta su signo:

n

vT

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UNA MEDICIÓN:

Está dado por la expresión:

1

2

n

vem

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

Está dado por la expresión:

1

2

nn

veM

ERROR MÁXIMO ADMISIBLE:

Denominado también error tenible, está dado por la

expresión:

mmáx ee 5.2

ERROR PROBABLE:

Se calculará por:

:Error medio cuadrático probable de una

medición cualquiera

: Error medio cuadrático probable de una

media

aritmética

mpm ee 6745.0

MpM ee 6745.0

ERROR RELATIVO:

• Existen diversos criterios en cuanto a la fórmula específica a utilizar, así:

• A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula

usada.

M

ee

M

ee

M

ee

M

ee

pM

r

pm

rM

rm

r ,,,

Ejemplo:

• La medición de una base de triangulación ha dado

las siguientes mediciones corregidas

calibradas:526.178 m, 526.202 m, 526.163 m, 526.194

m. 526.170 m, 526.199 m, 526.169 m, 526.165 m:

Solución:

Medición Longitud m + V mm - V mm V2 mm2

1 526.178 2 4

2 526.202 22 484

3 526.163 17 289

4 526.194 14 196

5 526.170 10 100

6 526.199 19 631

7 526.169 11 121

8 526.165 15 225

n=8 4 209.440 55 55 2 050

mM 180.5268/440.4209

mmem 177/2050

mmemáx 40165.2

Valor máximo aceptable = 526.180 + 0.040 = 526.220 m

Valor mínimo aceptable = 526.180 - 0.040 = 526.140 m

526.180 526.220 526.140

• Dado que los valores de las mediciones se encuentran

comprendidos entre los valores máximos y mínimo

aceptables, proseguimos con el cálculo, caso contrario

debería procederse a la depuración de los valores que no se encuentran en el rango.

Para los errores relativos tomados:

ERROR REAL

000,30/1:,886,32

1

180.526

016.0tomaráseer

• ERROR PROBABLE:

000,45/1:,834.47

1

180.526

011.0tomaráseepr

011.0016.06745.0 xepm

3. Compensación

de Ángulos

Ecuación de Ángulos y ECUACIÓN DE LADO

Compensación de Ángulos:

• Los ángulos deben ser compensados

por ecuaciones de ángulo

Ecuaciones de Ángulo:

• CA = Nº - L + 1

• Donde:

o CA = Número de ecuaciones de Ángulo.

o Nº = Número de ángulos que conforman la figura o red.

o L = Número de líneas o lados de la figura o red.

FIGURAS MÁS

COMUNES

Triángulo •NOTACIÓN

•CA = 3 – 3 + 1 = 1

•La ecuación es: o (1) + (2) + (3) = 180º

1 2

3

E F

H

Cuadrilátero •NOTACIÓN •CA = 8 – 6 + 1= 3

• Las ecuaciones son:

o (1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)+(7)+(8) =

360º

o (1)+(2)=(5)+(6)

o (3)+(4)=(7)+(8)

2

3 1

4 5

6

7

8

A B

D C

Polígono con Pto. Central •NOTACIÓN •CA = 12 – 8 + 1 = 5

•Las ecuaciones son:

o (41)+(42)+(42)+(44)=360 o (1)+(2)+(41)=180

o (3)+(4)+(42)=180

o (5)+(6)+(43)=180

o (7)+(8)+(44)=180

1 2 3

4 5

6 7

8

41

42 43

44

C D

E F

G

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Ángulos del Cuadrilátero

1 2

3

4 5 6

7

8 1 2

2 1

3

3

4 5 6

7

8 41 42

43 44

H

F E

D C

A B

G

[1] 45º12'10''

[2] 37º51'08''

[3] 51º04'06''

[4] 45º52'50''

[5] 36º19'21''

[6] 46º44'05''

[7] 47º50'20''

[8] 49º06'24''

Ángulos Polígono

1 2

3

4 5 6

7

8 1 2

2 1

3

3

4 5 6

7

8 41 42

43 44

H

F E

D C

A B

G

[1] 33º43'58''

[2] 36º40'10''

[3] 49º23'08''

[4] 41º28'04''

[5] 55º17'38''

[6] 56º00'03''

[7] 42º11'57''

[8] 45º15'26''

[41] 109º35'57''

[42] 89º08'50''

[43] 68º00'00''

[44] 92º32'51''

Ángulos del Triángulo

1 2

3

4 5 6

7

8 1 2

2 1

3

3

4 5 6

7

8 41 42

43 44

H

F E

D C

A B

G

[1] 62º27'15''

[2] 57º31'42''

[3] 60º00'48''

1 2

3

4 5 6

7

8 1 2

2 1

3

3

4 5 6

7

8

41 42

43 44

H

F E

D C

A B

G

Compensación por ecuación de

Angulo: Triangulo EHF

Compensación y análisis:

[1] 62º27'15'' + 00º00'05'' 62º27'20''

[2] 57º31'42'' + 00º00'05'' 57º31'47''

[3] 60º00'48'' + 00º00'05'' 60º00'53''

TOTAL 179º59'45'' 180º00'00''

180º00'00'' - 179º59'45'' 00º00'15''

Compensación por ecuación de Angulo: cuadrilátero ABCD

Procedimiento y Análisis :

Nº VALOR C IÁNGULO

CORREGIDOCII CIII

ÁNGULO

COMPENSADO

[1] 45º12'10'' - 03'' 45º12'07'' + 02'' 45º12'09''

[2] 37º51'08'' - 03'' 37º51'05'' + 02'' 37º51'07''

[3] 51º04'06'' - 03'' 51º04'03'' - 03'' 51º04'00''

[4] 45º52'50'' - 03'' 45º52'47'' - 03'' 45º52'44''

[5] 36º19'21'' - 03'' 36º19'18'' - 02'' 36º19'16''

[6] 46º44'05'' - 03'' 46º44'02'' - 02'' 46º44'00''

[7] 47º50'20'' - 03'' 47º50'17'' + 03'' 47º50'20''

[8] 49º06'24'' - 03'' 49º06'21'' + 03'' 49º06'24''

TOTAL 360º00'24'' - 24'' 360º00'00'' 00'' 00'' 360º00'00''

Procedimiento y Análisis :

[1] 45º12'10'' [5] 36º19'21'' DIFERENCIA 83º03'26'' - 83º03'18''

[2] 37º51'08'' [6] 46º44'05''

TOTAL 83º03'18'' TOTAL 83º03'26'' CII 08'' / 4 = 02''

[3] 51º04'06'' [7] 47º50'20'' DIFERENCIA 96º56'56'' - 96º56'44''

[4] 45º52'50'' [8] 49º06'24''

TOTAL 96º56'56'' TOTAL 96º56'44'' CIII 12'' / 4 = 03''

08''

12''

Compensación por ecuación de Angulo:

Polígono CDEF(G)

[41] 109º35'57'' + 04'' 109º36'01''

[42] 89º08'50'' + 04'' 89º08'54''

[43] 68º42'06'' + 04'' 68º42'10''

[44] 92º32'51'' + 04'' 92º32'55''

TOTAL 359º59'44'' + 16'' 360º00'00''

1º PASO

POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACIÓN

DE ÁNGULOS

2º PASO

[1] 33º43'58'' [3] 49º23'08'' [5] 55º17'38'' [7] 42º11'57''

[2] 36º40'10'' [4] 41º28'04'' [6] 56º00'03'' [8] 45º15'26''

[41] 109º36'01'' [42] 89º08'54'' [43] 68º42'10'' [44] 92º32'55''

TOTAL 180º00'09'' TOTAL 180º00'06'' TOTAL 179º59'51'' TOTAL 180º00'18''

C. TOTAL - 09'' C. TOTAL - 06'' C. TOTAL 09'' C. TOTAL - 18''

Compensación por ecuación de Angulo: Polígono

CON PUNTO CENTRAL: CDEF(G)

C. TOTAL

I - 09'' [41] - 03'' [41] + 02'' [41] - 01'' [1] - 04'' [2] - 04''

II - 06'' [42] - 02'' [42] + 02'' [42] 00'' [3] - 03'' [4] - 03''

III + 09'' [43] + 03'' [43] + 02'' [43] + 05'' [5] + 02'' [6] + 02''

IV - 18'' [44] - 06'' [44] + 02'' [44] - 04'' [7] - 07'' [8] - 07''

TOTAL - 08'' + 08'' 00''

Corr. 1º T1º Tanteo CORRECCIONES POR ECUACIÓN ÁNGULO

3º PASO

ÁNGULOS COMPENSADOS

[1] 33º43'54''

[2] 36º40'06''

[3] 49º23'05''

[4] 41º28'01''

[5] 55º17'40''

[6] 56º00'05''

[7] 42º11'50''

[8] 45º15'19''

[41] 109º36'00''

[42] 89º08'54''

[43] 68º42'15''

[44] 92º32'51''

COMPENSACION POR ECUACIÓN DE LADO

•Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones

de ángulo se calcula los valores de los logaritmos senos de los

ángulos , obteniéndose luego la suma de ellos , de acuerdo a la

condición de lado

• Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente

encontrada

• Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno

1”para los valores de los ángulos.

•La corrección se obtienen por división del valor de la diferencia de

las sumas de logaritmo seno , entre el valor de la suma de las

diferencias tabulares , siendo positiva para los ángulos cuya suman

de logaritmos seno fue menor siendo negativa apara los ángulos

cuya suma de logarítmica fue mayor

ECUACIÓN DE CONDICIÓN DE LADO

CL = Número de Ecuaciones de ángulo.

L = Números de líneas o lados

S = Número de estaciones o vértices

Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-

logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0

En toda figura geométrica cerrada ,e l número de ecuaciones de condición de lado que deben

cumplirse los ángulos de la misma , es:

3

1 2

3 2 1

8

4 5 6

7

41 42

43 44

CASO DEL TRIANGULO:

Cl=3-2(3)+3= 0

CASO DE UN POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL:

CL=8-2(5)+3=1

Siendo la ecuación:

Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-

logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0

CASO DEL CUADRILÁTERO:

Siendo la ecuación:

Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-

logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0

CL=6-2(4)+3=1

3

1 2

6 5

4

43

44

41

42

4 5

3 2

7 6

8 1

H

F E

D C

B A

1

7

8 3 2

G

TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA:

POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL

TRIÁNGULO

CUADRILÁTERO

Para una cadena de triángulos con base de

comprobación

A C

B D F

H

G E

b

A6 A4

A3

A2

A1 A5 B5

B4

B3

B2

B1

B6

C6

C1 C5

C4 C2

C3 GH = b´ base de comprobación

Log b + Log Sen (B1) + Log Sen (B2) + Log Sen (B3) + Log Sen (B4) + Log Sen (B5)

+ Log Sen (B6) - Log b’- Log Sen (A1) - Log Sen (A2) - Log Sen (A3) - Log Sen (A4) -

Log Sen (A5) - Log Sen (A6) = 0

AB =Base de la

triangulación

A

1

C D

2 3

4 5

8

7 6

7

3

2

2 1

1

2 4

3

43

41

44 42

EJEMPLO :

ÁNGULOS COMPENSADOS DEL

CUADRILÁTERO ABCD G

ÁNGULOS COMPENSADOS DEL

POLÍGONO CDEF (G) E

H

F

B

[1] 33º43'54''

[2] 36º40'06''

[3] 49º23'05''

[4] 41º28'01''

[5] 55º17'40''

[6] 56º00'05''

[7] 42º11'50''

[8] 45º15'19''

[41] 109º36'00''

[42] 89º08'54''

[43] 68º42'15''

[44] 92º32'51''

45º12'09''

37º51'07''

51º04'00''

45º52'44''

36º19'16''

46º44'00''

47º50'20''

49º06'24''

ÁNGULOS COMPENSADOS DEL

TRIÁNGULO EFH

62º27'20''

57º31'47''

60º00'53''

Compensación por ecuación de lado

1° Se trabaja con los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulos se calcula los valores de los

Logaritmos Senos de los ángulos, obteniéndose luego la suma de ellos, de acuerdo a la condición de

lado.

2° Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada.

3° Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno l” para los valores de los ángulos.

4° La ecuación se obtiene por división del valor de la diferencia de las sumas Logaritmos Seno, entre el valor

de la suma de las diferencias tabulares; siendo positiva para los ángulos cuya suma de logaritmos seno

fue menor y siendo negativa para los ángulos cuya suma de logaritmos fue mayor.

1° Calculamos los valores de Logaritmos Senos :

Del cuadrilátero ABCD

2° Luego se calcula la diferencia de valores de las sumas de LogSen(-) – LogSen(+) = Ῑ.384663 - Ῑ.384445 = 218 (unidades del 6° orden décimal)

[1] LOGSEN 45º12'09'' + 1

[2] LOGSEN 37º51'07'' + 1

[3] LOGSEN 51º04'00'' + 1

Ῑ. 851015

Ῑ. 787902

Ῑ. 890911

=

=

=

Ejemplo: Del cuadrilátero ABCD

[1] 45º12'09''

[2] 37º51'07''

[3] 51º04'00''

[4] 45º52'44''

[5] 36º19'16''

[6] 46º44'00''

[7] 47º50'20''

[8] 49º06'24''

TOTAL 360º00'00''

Nº

VALOR DE

ÁNGULO

COMPENSADO+ -

Ῑ. 851015

Ῑ. 787902

Ῑ. 890911

Ῑ. 856046

Ῑ. 772549

Ῑ. 862234

Ῑ. 869971

Ῑ. 878481

Ῑ. 384446 Ῑ. 384663

LOGSEN

2.09

2.71

1.70

2.04

2.86

1.98

1.91

1.82

17.12

D''

+ 13''

- 13''

+ 13''

- 13''

+ 13''

- 13''

+ 13''

- 13''

C IV

45º12'22''

37º50'54''

51º04'13''

45º52'31''

36º19'29''

46º43'47''

47º50'33''

49º06'11''

360º00'00''

ÁNGULO

COMPENSADO

1° paso :

1: Log sen (33º43’54”) = -0.255469 = -0.255469+1 = Ῑ.744531

2 :Log sen (36º40’06”) = -0.223893 = -0.223893+1 = Ῑ.776107

2° paso : Tomamos los 4 últimos dígitos:

7080-6913=167

3° paso :diferencia tabular

1: Log sen (33º44’54”)= -0.255280 + 1 = Ῑ.744720

Log sen (33º43’54”)= -0.255469 + 1 = Ῑ.744531

189/60 = 3.15

4° paso : la corrección :

167 / 17.45 = 9.87” =10”

Del Polígono CDEF (G)

Ejemplo: Del Polígono CDEF (G)

[1] 33º43'54''

[2] 36º40'06''

[3] 49º23'05''

[4] 41º28'01''

[5] 55º17'40''

[6] 56º00'05''

[7] 42º11'50''

[8] 45º15'19''

TOTAL 360º00'00''

NºÁNGULOS

COMPENSADOS+ -

Ῑ. 744531

Ῑ. 776107

Ῑ. 880298

Ῑ. 820981

Ῑ. 914919

Ῑ. 918581

Ῑ. 827165

Ῑ. 851411

Ῑ. 366913 Ῑ. 367081

LOGSEN

3.15

2.83

1.81

2.38

1.46

1.42

2.32

2.09

17.46

D''

+ 10''

- 10''

+ 10''

- 10''

+ 10''

- 10''

+ 10''

- 10''

C IV

33º44'04''

36º39'56''

49º23'15''

41º27'51''

55º17'50''

55º59'55''

42º12'00''

45º15'09''

360º00'00''

ÁNGULO

COMPENSADO

4. RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS

EL PARÁMETRO QUE VALORA LA BONDAD DE PRECISIÓN DE LAS FIGURAS DE UNA

TRIANGULACIÓN ES EL COEFICIENTE DENOMINADO RESISTENCIA DE FIGURA, CUANDO MENOR SEA EL

VALOR DE LA RESISTENCIA, LA FIGURA ES DE MEJOR PRECISIÓN.

LA FÓRMULA A CALCULAR LA RESISTENCIA DE FIGURA ES:

R = D – C ∑ ( dA2 + dAdB + dB

2 )

D

EN DONDE:

R: Resistencia de figura.

D: Numero de nuevas direcciones observadas en la figura o red.

C: Número total de ecuaciones de condición ( C= CA + Cl )

dA: Diferencia tabular del logaritmo seno 1’’ del angulo opuesto al

lado conocido, expresada en unidades del 6º orden decimal.

dB: Diferencia tabular del logaritmo seno 1’’ del angulo opuesto al

lado por calcular, expresada en unidades del 6º orden decimal.

D=(L-1) x 2

CA=n+L+1

CL=L+2S+3

CL=L+2S+3

CL=L+2S+3

C=CA+CL n: número de ángulos

L: número de lados

S: número de vértices

El factor (da2 + dadb + db

2 ) realizara la selección del mejor camino de cálculo

de la triangulación, tomándose aquel cuyo valor es el menor.

VALORES MÁXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE

FIGURAS

DESCRIPCIÓN 1º

ORDEN 2º

ORDEN 3º

ORDEN

FIGURA SIMPLE INDEPENDIENTE:

DESEABLE

MÁXIMO

15

25

25

40

25

50

RED ENTRE BASES

DESEABLE

MÁXIMO

80

100

100

130

125

175

A B

C D

E F

G

H

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

8

5

5 6

6

7

7

8

FIGURA 1:

4-1 4-2

4-3 4-4

CUADRILATERO POLIGONO

TRIANGULO

[1] 45º12'22''

[2] 37º50'54''

[3] 51º04'13''

[4] 45º52'31''

[5] 36º19'29''

[6] 46º43'47''

[7] 47º50'33''

[8] 49º06'11''[41] 109º36'00''

[42] 89º08'54''

[43] 68º42'15''

[44] 92º32'51''

[1] 33º44'04''

[2] 36º39'56''

[3] 49º23'15''

[4] 41º27'51''

[5] 55º17'50''

[6] 55º59'55''

[7] 42º12'00''

[8] 45º15'09''

[1] 62º27'20''

[2] 57º31'47''

[3] 60º00'53''

EJEMPLO:

Para la triangulación de la figura 1, llevar a cabo la evaluación de

la resistencia de figuras, así como indicar cual debe ser el camino

de cálculo de lados de proyecciones.

TRIANGULACIÓN

TOTAL23 17 12 9 2 11 28 1.92

1CUADRILÁTERO 8 6 4 3

12 8 5 5 1

1 4 0.75

4 10 0.60

6 14

D FACTOR

POLÍGONO

TRIÁNGULO

n L S CA CL C

0.57

3 3 3 1 0

CÁLCULO DE LOS FACTORES:

D – C

D

CÁLCULO DE FACTORES:

(d2A + dAdB + d2

B)

*CUADRILÁTERO:

EN TODO CUADRILÁTERO CON DOS DIAGONALES,

EXISTE LA POSIBILIDAD DE EJECUTAR EL

CÁLCULO DE LOS LADOS MEDIANTE CUATRO (4)

CAMINOS DE CÁLCULO, SIENDO ESTOS:

-CAMINO I :

d245º53´

+ d45º53´ d88º55´ + d288º55´

d294º34´ + d94º34´ d49º06´ + d2

49º06´

4

3+2

6+7

A B

C D

8

2.03 ^2 + 2.03 x 0.05 + 0.05 ^2 = 4.24

1.82 ^2 + 1.82 x -0.17 + -0.17 ^2 = 3.03

TOTAL

7.26

-CAMINO II :

A B

C D 4+5

3 1+8

7 d2

47º51´ + d47º51´d94º19´ + d294º19´

d282º12´ + d82º12´d51º04´ + d2

51º04´

1.90 ^2 + 1.90 x -0.17 + -0.17 ^2 = 3.32

1.70 ^2

+ 1.70 x 0.28 + 0.28 ^2

= 3.45

SUMA

6.77

-CAMINO III:

A B

C D

1

4 6

3

d245º53´ + d45º53´d45º12´ + d2

45º12´

d246º44´ + d46º44´d51º04´ + d2

51º04´

2.08 ^2 + 2.08 x 2.03 + 2.03 ^2 = 12.71

1.70 ^2 + 1.70 x 1.98 + 1.98 ^2 = 10.20

SUMA

22.91

-CAMINO IV:

En consecuencia el mejor camino de cálculo en el cuadrilátero ABCD será el camino II.

El camino IV es el camino más desfavorable para el cálculo de los lados.

A B

C D

2

5 7

8

d247º51´ + d47º51´d37º51´ + d2

37º51´

d236º19´ + d36º19´d49º06´ + d2

49º06´

2.70 ^2 + 2.70 x 1.90 + 1.90 ^2 = 16.03

2.87 ^2 + 2.87 x 1.82 + 1.82 ^2 = 16.73

SUMA

32.76

*POLÍGONO:

EN TODO POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL EXISTE

LA POSIBILIDAD DE CÁLCULO POR DOS CAMINOS,

EN UNO Y OTRO SENTIDO RESPECTO DEL VÉRTICE

CENTRAL, PARA EL CASO QUE NOS OCUPA SE TIENE:

-CAMINO I:

C D

F

G

6

4

43

3 41

1

E d2

109º36´ + d109º36´d33º44´ + d233º44´

d241º28´ d41º28´d49º23´ + d2

49º23´

d256º00´ + d56º00´d68º42´ + d68º42´

3.15 ^2

+ 3.15 x -0.75 + -0.75 ^2

= 8.12

1.80 ^2

+ 1.80 x 2.38 + 2.38 ^2

= 13.21

0.82 ^2 + 0.82 x 1.42 + 1.42 = 3.83

SUMA

25.16

EN CONCLUSIÓN EL CAMINO II, ES EL MEJOR CAMINO DE CALCULO, AUNQUE EL CAMINO I

PODRIA SER TOMADO TAMBIEN COMO CAMINO DE CALCULO YA QUE LOS VALORES NO

DIFIERON SUSTANCIALMENTE EN NADA.

-CAMINO II:

C

E F

D

G

5

43

41

2 8

7

d2109º36´ + d109º36´d36º40´ + d2

36º40

d242º12´ + d42º12´d45º15´ + d2

45º15´

d255º18´ + d55º18´d68º42´ + d68º42´

2.83 ^2 + 2.83 x -0.75 + -0.75 = 6.47

2.32 ^2 + 2.32 x 2.08 + 2.08 = 14.53

1.47 ^2 + 1.47 x 0.82 + 0.82 = 4.02

SUMA

25.01

*TRIANGULO:

EL MEJOR CAMINO ES EL I.

-CAMINO I:

-CAMINO II:

d262º28´ + d62º28´d60º01´ + d2

60º01´

3

3

E

F

H

E

F

H

1

2

d260º01´ + d60º01´d57º32´ + d2

57º32´

1.10 ^2 + 1.10 x 1.22 + 1.22 = 4.03

1.33 ^2 + 1.33 x 1.22 + 1.22 = 4.88

*TRIANGULACIÓN TOTAL:

CUAD. POL. TRIA. TOTAL

MIN 6.77 25.01 4.03 35.82

MAX 32.88 25.16 4.88 62.92

EN CONCLUSIÓN LOS VALORES MÍNIMOS Y MÁXIMOS

DE LA RESISTENCIA DE FIGURAS

FACTOR MÍN MAX RESISTENCIA MÍN RESISTENCIA MAX

CUADRILÁTERO 0.60 6.77 32.88 4.06 19.73

POLÍGONO 0.57 25.01 25.16 14.29 14.38

TRIÁNGULO 0.75 4.03 4.88 3.02 3.66

TRIANGULACIÓN

TOTAL1.92 35.82 62.92 68.82 120.90

EL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO ES:

BA, AD, DC, DG, GF, FE, EH

5. Azimut y

Rumbo

La dirección de los alineamientos en topografía se dan en función del ángulo que se forma con el meridiano de referencia y puede ser de dos tipos: azimut o rumbos.

Azimut

• Es el ángulo horizontal medido en

el sentido de las manecillas del reloj a

partir del extremo superior de un

meridiano, conocido comúnmente como

NORTE, hasta el alineamiento respectivo.

Su valor puede estar entre 0 y 360° en el

sistema sexagesimal.

Norte

Z°

90°

180°

270°

(0°-360°)

Rumbo

• Es el ángulo horizontal con respecto al meridiano de referencia, medido con la línea de los extremos norte (N), sur (S), este (E) u oeste (W), según la orientación que tenga dicho alineamiento. Se expresa como un ángulo entre 0 a 90°, indicando el cuadrante en el cual se encuentra situado.

N

N R° W

S

EW

Contrazimut de un Alineamiento El contrazimut de un alineamiento es el azimut observado desde el otro extremo del mismo.

En la Figura se ilustran un caso posible que se pueden presentar. Como se puede deducir, el

contrazimut de un lineamiento se puede calcular por la siguiente expresión:

Contrazimut de un alineamiento = Azimut del alineamiento ± 180°.

Se aplica el signo (+) si el azimut del alineamiento es menor a 180° y el signo (-) si el azimut

es igual o mayor de 180°.

N

Z°C

Z°

N

Contrarumbo o rumbo inverso de un alineamiento El contrarumbo de un alineamiento es el rumbo de ese alineamiento medido en sentido contrario.

En la Figura se ilustra un caso posible. Se deduce fácilmente que el contrarumbo de un

lineamiento, tiene el mismo valor numérico que su rumbo, pero cuadrante opuesto. Son

cuadrantes opuestos el NW con el SE.

N

N

E

S

W

W E

S

N 70° WS 7

0° E

Valor del Azimut Valor del Rumbo

Az° = 0° = 360° Norte (N)

0° < Az° <90° N Az° E

Az° = 90° Este (E)

90° < Az° < 180 S (180-Az°) E

Az° = 180° Sur (S)

180°< Az° < 270° S (Az°-180) W

Az° = 270° Oeste (W)

270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

Conversión de Azimut a

rumbos

CALCULO DEL AZIMUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA

TRIANGULACION

• Ejemplo:

• Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de

cálculo para la triangulación de la figura

• Azimut:

• Z AB = 103°20’14’’

Con los valores de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino.

A

D

C

G

F

H

E

1

23

4 5

67

81

2

342

45

6

43

4441

2

3

1

8

7

NM

103°2

0'1

4''

A

B

D

C

G

F

H

E

1+8

2

3

4+5

6

7

2

3

1

81

2

342

45

6

43

44

41

7

RESISTENCIA DE FIGURAS

MEJOR CAMINO DE CALCULO

H

E F

C D

A B

G

2

6’

44

1

6

2’

90° < Az° < 180° S (180°-Az°) E

0° < Az° < 90° N (Az°) E

ZAB 103º20'14''

RAB 180º00'00'' - ZAB

180º00'00'' - 103º20'14'' = S 76º39'46'' E

ZAD = ZAB - 2

103º20'14'' - 37º50'54'' = 65º29'20''

RAD = ZAD = N 65º29'20'' E

A

D

G

C

CZ A

D

(6)

(1)

270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

ZDC = 180º00'00'' + ZAD + 6

180º00'00'' + 65º29'20'' + 46º43'47'' = 292º13'07''

RDC = 360º00'00'' - ZDC

360º00'00'' - 292º13'07'' = N 67º46'53'' O

ZDG = 180º00'00'' + ZAD + 6 + 1

180º00'00'' + 65º29'20'' + 46º43'47'' + 33º44'04'' = 325º57'11''

RDG = 360º00'00'' - ZDG

360º00'00'' - 325º57'11'' = N 34º02'49'' O

CZ

DG

G

F

D

(44)

0° < Az° < 90° N (Az°) E

ZGF = ZDG - 180º00'00'' - 44

325º57'11'' - 180º00'00'' - 92º32'55'' = 53º24'16''

RGF = ZGF = N 53º24'16'' E

G

F

E

(6)

CZ G

F

270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

ZFE = ZGF + 180º00'00'' + 6

53º24'16'' + 180º00'00'' + 55º59'55'' = 289º24'11''

RFE = 360º00'00'' - ZFE

360º00'00'' - 289º24'11'' = N 70º35'49'' W

F

H

E

CZ F

E (2)

0° < Az° < 90° N (Az°) E

ZEH = ZFE - 180º00'00'' - 2

289º24'11'' - 180º00'00'' - 57º31'47'' = 51º52'24''

REH = ZEH = N 51º52'24'' E

A B

C D

E F

G

H

1 2

3

4 5 6

7

8

1 2

3

4 5 6

7

8

41

42

43

44

1 2

3

6. CALCULO DE LAS LONGITUD DE LOS LADOS

MEJOR CAMINO

A B

C

D

G

F E

H

A B

C

Sen

C

Sen

B

Sen

A

LEY DE SENOS

Triangulación

=

BC =

BC =

BC = 496,554.

4Sen

AB

)(Sen

BC

23

4

23

Sen

AB)(Sen

)"'(Sen

).)('"(Sen

315245

503336075588

A B

C

1 23

4

8Sen

CD

)76( Sen

BC

)(Sen

BCSenCD

76

8

)"33'5047"47'4346(

)"11'0649)(554,496(

Sen

SenCD

203494

554496110649

'Sen

),)("'(SenCD

538376,CD

CALCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS.

El cálculo de las longitudes de los lados se realiza aplicando la formula de la ley de

senos para un triangulo.

Ejemplo:

Calcular los lados del mejor camino de calculo en la triangulación en estudio.

LADO AB 356.503

LADO AD 356.503 (SEN 94º18'33'' / SEN 47º50'33'' ) = 479.555

LADO DC 479.555 (SEN 51º04'13'' / SEN 82º12'00'' ) = 376.538

LADO DG 376.538 (SEN 36º39'56'' / SEN 109º36'00'' ) = 238.676

LADO GF 238.676 (SEN 45º15'09'' / SEN 42º12'00'' ) = 252.355

LADO FE 252.355 (SEN 68º42'15'' / SEN 55º17'50'' ) = 285.998

LADO EH 285.998 (SEN 62º27'20'' / SEN 60º00'53'' ) = 292.766

7. CALCULO DE LA PROYECCION DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION

Conocidos los valores de las longitudes de los lados así como los valores de los rumbos de

cada uno de ellos se procede al cálculo de proyecciones empleando la formula conocida.

Proyección en X = Lado * Seno Rumbo.

Proyección en Y = Lado * Coseno Rumbo

Ejemplo:

Lado Longitud Rumbo Lado Proyección X Proyección Y

LADO AB

LADO AD

LADO DC

LADO DG

LADO GF

LADO FE

LADO EH

479.555

376.538

238.676

252.355

285.998

292.766

356.503 S 76º39'46'' E

N 65º29'20'' E

N 67º46'53'' O

N 34º02'49'' O

N 53º24'16'' E

N 70º35'49'' O

N 51º52'24'' E

Px

Py

X

Y

CALCULO DE LAS PROYECCIONES DEL LADO AB

Px = 356.503 Sen 76° 39’ 46”

Px = 346.888

Py = 356.503 Cos 76° 39’ 46”

Py = -82.234

A

B

Py

Px

Py

76°39’46”

N

E O

S

LONGITUD0 RUMBO LADO PROYECCION X PROYECCION Y

DC 238,678 N 34° 02’ 50” - 133,630 197,763

PROYECCION:

PROYEC X=L Sen Rumbo

PROYEC X=238,678 Sen 34°02’50”

PROYEC X= -133,60 (Es negativo por estar en ese cuadrante)

PROYECCION Y=LCosRumbo

PROYEC Y=238,678 Cos 34°02’50”

PROYEC Y=197,763

N

S

DC

E O

LONGITUD RUMBO

252,359 N 53°24’19”

PROY X=L Sen RUMBO

PROY X= 252,359 Sen 53°24’19”

PROY = 202.61 M

LADO CF N

S

O E

F

C

LADO BC

Datos = BC=496.554

Rumbo=N 31° 27’ 24” 0

Px= Lado BC * SeN 31° 27’ 24”

Px= -496.554 *Sen 31° 27’ 24”

Px= -259.128

PY=Lado BC * Cos 31°27’24”

PY= +496.554 * Cos 31°27’24”

PY= +423.578

=(31°27’24”)

O E

N

Px

Y

X

PROYECCIONES DE LOS LADOS EN LA TRIANGULACIÓN

LADO RUMBO

AB S 76º39'46'' E

AD N 65º29'20'' E

DC N 67º46'53'' O

DG N 34º02'49'' O

GF N 53º24'16'' E

FE N 70º35'49'' O

EH N 51º52'24'' E

LONGITUD X Y

356.503 346.888 -82.239

479.555 -436.338 198.953

376.538 348.579 -142.385

238.676 -133.628 197.762

252.355 202.606 150.444

285.998 -269.754 95.012

292.766 230.304 180.754

PROYECCIONES

8. CALCULO DE COORDENADAS

DE UNA TRIANGULACIÓN

COORDENADAS GEOGRÁFICAS

Se llama coordenadas geográficas a las líneas imaginarias que cruzan la

superficie de la tierra en dirección horizontal y vertical.

El Ecuador, Meridianos y Paralelos forman la red de coordenadas

geográficas que se utilizan en planos, mapas, globos terrestres para

determinar los distintos puntos de la tierra y la distancia que miden entre

ellos.

a) LONGITUD: Es la distancia de arco que se mide a partir del meridiano de

GreenwiCh y puede ser Este u Oeste máximo 180°.

b) LATITUD: Es la distancia de arco que mide a partir del plano del Ecuador y

puede ser Norte o Sur máximo 90°.

LATITUD

LONGITUD ECUADOR

MERIDIANO DE

GREENWISH

MERIDIANO

LATITUD

LONGITUD

El mejor camino del calculo será: AB – AD; DC; DG; GF; FE; EH

H

E

C

A

F

D

B

G

CALCULO DE COORDENADAS DE LOS VÉRTICES

VÉRTICE ABSCISAS ORDENADAS

A 8134.601 7267.924

346.888 -82.239

B 8481.489 7185.685

A 8134.601 7267.924

-436.338 198.953

D 7698.263 7466.877

348.579 -142.385

C 8046.842 7324.492

D 8046.842 7324.492

-133.628 197.762

G 7913.214 7522.254

202.606 150.444

F 8115.820 7672.699

-269.754 95.012

E 7846.066 7767.711

230.304 180.754

8076.370 7948.465

DIBUJO DE LA TRIANGULACIÓN

1.- Seleccione la escala adecuada de dibujo para la

triangulación

La selección de la escala de un plano o mapa

depende del propósito, tamaño y de la precisión

exigida del dibujo terminado, las dimensiones

estándares de las hojas, y el tipo y la cantidad de

símbolos topográficos a utilizar.

La escala de expresa de dos maneras :

1. Por una relación o fracción representativa, como por ejemplo: 1: 2000 ó 1/2000.

2. Gráficamente, consiste en dibujar la escala grafica en una línea sobre el plano, subdividida en distancias que correspondan a determinado numero de unidades en el terreno.

las escalas graficas serán sujetas a error pues el papel se alarga o encoge con los cambios de temperatura y humedad, por tanto, es conveniente indicar ambas escalas.

Escala grafica

2.- Trace

correctamente el

sistema de

coordenadas

Para trazar las coordenadas, la hoja del

plano se extiende precisamente sobre una

retícula de cuadrados unitarios de tamaño

apropiados ,dependiendo de la escala pueden

representar 100,200,300,400 , etc. metros el

trazo se realiza con una punta de trazo fino

ejemplo.

Existen dos tipos de coordenadas:

Coordenadas relativas: que son las coordenadas

dadas arbitrariamente y que pueden ser de

distinta denominación tanto para x como para y

Coordenadas geográficas:

que son las coordenadas dadas por un sistema

electrónico o satelital tales como los GPS donde se

puede ubicar las coordenadas con precisión en el

globo terrestre

3.- No es necesario ejecutar el trazado de toda la

cuadricula del sistema de coordenadas, basta que

se señalen las intersecciones de la

cuadricula mediante pequeños cruces

4.- Enumere correctamente los

valores del sistema de

coordenadas, tal numeración

solo debe realizarse en la

parte perimétrica de la lamina

de dibujo

5.- Se ubica las estaciones

con el valor de las

coordenadas y o

proyecciones

6.- empleo de la

simbología especifica

para cada caso

7.-Toda lamina debe llevar

indicado tanto la escala

numérica como la escala

grafica, las mismas que

deben encontrarse juntas