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SEMINARIO DE TITULACIN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

SUPRESION DE RUIDO ACUSTICO EN MOTORES

T E S I N A

Que para obtener el grado de:

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRNICA.

Presentan:

RAUL FLORES MORALES

ASESORES:

M. en C. ORLANDO BELTRN NAVARRO. M. en C. BRAULIO SANCHEZ ZAMORA

Mxico, D. F. Diciembre de 2009.

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA

UNIDAD CULHUACAN INGENIERA EN COMUNICACIONES Y ELECTRNICA

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA

UNIDAD CULHUACAN

TESINA Que para obtener el ttulo de: INGENIERO EN COMUNICACIONES Y

ELECTRONICA Por la opcin de titulacin: SEMINARIO DE TITULACIN

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES Debern desarrollar: C. RAUL FLORES MORALES

INTRODUCCION

ABORDAR EL PROBLEMA DE SUPRESION DE RUIDO EN MOTORES ES AHORA UNA NUEVA REALIDAD CON LOS NUEVOS PROCESADORES DIGITALES TRABAJANDO EN TIEMPO REAL CON ALGORITMOS EFICIENTES PROPORNEN UNA NUEVA PERSPECTIVA.

CAPITULO I ONDAS SONORAS CAPITULO II RUIDO CAPITULO III CANCELACION DE RUIDO ACUSTICO CAPITULO IV FILTROS DIGITALES CAPITULO V TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA CAPITULO VI PROCESADOR DIGITAL DE SEALES CAPITULO VII REDUCCION DE RUIDO ACUSTICO EN MOTORES _______________________________ _____________________________ M. en C. Orlando Beltrn Navarro M. en C. Braulio Snchez Zamora Coordinador del seminario Asesor

________________________________ Ing. Ignacio Monroy Ostria

Jefe de carrera de ICE

AGRADECIMIENTOS

A Dios:

Por el regalo mas grande,.. La vida.

A mis Padres:

Por el apoyo que recib a lo largo de la carrera, la confianza que depositaron en m, por

su esfuerzo para proveerme de lo necesario, por ayudar hacer un sueo realidad, por sus

consejos para llegar a ser un hombre de bien por esto y mucho ms GRACIAS.

A mis maestros:

Por el esfuerzo que hacen constantemente por mejorar la enseanza generacin tras

generacin, por no perder el entusiasmo al transmitir el conocimiento.

Y a todos aquellos Autores de los libros que le que fueron y sern un gran apoyo en m

enseanza y un complemento importante en el aprendizaje, GRACIAS por su esfuerzo e

iniciativa.

INDICE

INTRODUCCION . 2

CAPITULO 1

ONDAS SONORAS

1.1 Ondas sonoras . 4

1.2 Intensidad de ondas sonoras .. 7

1.3 Reflexin del sonido . 9

1.4 Difraccin del sonido . 11

CAPITULO 2

RUIDO

2.1 Tipos de Ruido 16

2.2 Clasificacin de ruido... 17

2.3 Tipos de control de Ruido . 17

CAPITULO 3

CANCELACION DE RUIDO ACUSTICO

3.1 Control retroalimentado .. 21

3.2 Sistema de cancelacin de Ruido Mltiple 24

CAPITULO 4

FILTROS DIGITALES

4.1.1 Clasificacin 26

4.1.2 Diseo filtro FIR .... 28

4.1.3 Ventaneo 31

4.1.4 Mtodo de muestreo de frecuencia 35

4.1.5 Filtro Adaptivo ..... 37

4.1.6 Algoritmo LMS 39

4.1.7 Algoritmo NLMS 41

4.1.8 Algoritmo VSLMS 43

4.1.9 Algoritmo BLMS ... 45

4.2.0 Algoritmo BNLMS 48

4.2.1 Algoritmo RLS 49

4.2.2 Algoritmo RLS FAST 53

CAPITULO 5

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

5 Anlisis de la Transformada Discreta de Fourier ... 58

CAPITULO 6

PROCESADOR DIGITAL DE SEALES

6.1 Desarrollo y caractersticas de los DSP ... 67

6.2 Controladores de Seales Digitales dsPIC .... 75

CAPITULO 7

REDUCCION DE RUIDO ACUSTICO EN MOTORES

7.1.1 Origen Ruido en Motor monofsico .. 80

7.1.2 Motor universal 82

7.1.3 Ruido en motor universal 83

7.1.4 Motor Sncrono de Cd sin escobilla 84

7.1.5 Captura de Ruido en motores 86

7.1.6 Grafica Frecuencia tiempo 89

7.1.7 Eleccin y clculo del filtro 96

7.1.8 Resultado de Simulacin .. 101

7.1.9 Diagrama esquemtico propuesto 105

7.2.0 Diagrama elctrico .. 112

7.2.1 Costo de proyecto .. 113

CONCLUSIONES .................................................................... 114

BIBLIOGRAFIA 116

APENDICE A 117

APENDICE B 120

INTRODUCCION

Supresin de Ruido Acstico en Motores Pgina 1

El ruido es sin lugar a dudas un elemento importante que afecta la conducta de los seres vivos. El ruido se ha definido alrededor de los conceptos de sonido desagradable, sonido no deseado, sonido perjudicial, perturbador o daino para quien lo recibe, en contraste con la de los sonidos no ruidosos es la comunicacin. Una de las causas ms comunes es el malestar, que tiene como consecuencia la inquietud, intranquilidad, desasosiego, depresin, desamparo, ansiedad o rabia. Durante el da se suele experimentar moderado a partir de 50 dB y fuerte a partir de los 55, en el periodo vespertino estas cifras disminuyen en 5 o 10 dB. En una conversacin normal, aun metro del hablante est entre 50 y 55 dB y hablando a gritos pueden llegar a 75 u 80 dB.

Las consecuencias en el ser humano por alto niveles de ruido son: Prdida de atencin, de concentracin y de rendimiento, trastornos del sueo, daos al odo ocasionados por exposiciones prologadas a ruidos mayores a 75 dB o bien de ms de 110 dB que son de corta duracin. Ciertos grupos son especialmente sensibles como los nios, ancianos, los fetos.

A pesar de los adelantos tecnolgicos hoy en da no hemos podido eliminar, del todo, el ruido no deseado en nuestra vida cotidiana. Los electrodomsticos en el hogar son una muestra de ello, desde su creacin en 1922 por Stephen Poplawski un americano de origen Polaco no se han hecho grandes modificaciones por disminuir el ruido actual de estos. Los niveles de ruido que llegan alcanzar estos electrodomsticos son de 89 dB 98 dB y los de alta eficiencia hasta los 105 dB, la exposicin es corta sin embargo muy molesta.

La reduccin de ruido acstico mediante mtodos pasivos se utiliza en conductos de aire donde mediante modificaciones fsicas al sistema se logra una reduccin del ruido. El sistema se considera cerrado y el ruido si es constante puede ser considerado de banda estrecha, esto es que se mantiene con cambios mnimos. En los electrodomsticos tenemos el problema del uso de un motor universal que aunque brinda ventajas como bajo costo, tiene la ventaja de la potencia y un diseo sencillo, sin embargo tienen la desventaja del roce de los carbones con el material conductivo del rotor, esto genera una cantidad de calor excesivo y los fabricantes aprovechan la rotacin para colocar aspas en un extremo y hacer circular el aire, este es uno de los puntos dbiles del porque no se puede sellar al vacio el sistema. Las rejillas de ventilacin y la vibracin de las molculas de la cubierta plstica por el movimiento del rotor es la va de la transmisin del sonido.

Este trabajo se enfoca en la reduccin de ruido del motor aplicando tcnicas activas que permiten ser implementadas por Procesadores de Seales Digitales (DSP) que trabajan en tiempo real y con la ayuda de la implementacin de un filtro digital adaptivo utilizando la tcnica del algoritmo NLMS con estructura FIR se podr atenuar o reducir el nivel de ruido sonoro en un motor universal.

Se comenzar por hacer una Introduccin al comportamiento de las ondas sonoras, clasificacin del ruido, sistemas, cancelacin de ondas, la importancia de los filtros y de la Transformada Rpida de Fourier para clasificar el ruido de los motores, capturando el

INTRODUCCION


sonido de los ms comunes como: la aspiradora, compresora, extractor de jugos ventilador de computadora a 1.1 A, motor monofsico (bomba de agua) y un motor de licuadora. Se utiliza el programa MATLAB para realizar las simulaciones. Se utiliza un micrfono de buena sensibilidad y confiable de la marca SHURE C606 para la captura de las seales.


CAPITULO I

ONDAS SONORAS

ONDAS SONORAS


Caractersticas de las Ondas Sonoras

Las ondas sonoras son ejemplos de ondas mecnicas que viajan a travs de un medio deformable o elstico. Se originan cuando cierta parte del medio se desplaza de su posicin normal y queda liberada. Debido a las propiedades elsticas del medio, la perturbacin se propaga atreves de este. A nivel de microscopio, propiedades mecnicas tales como las fuerzas entre los tomos son las causantes de la propagacin de las ondas mecnicas. En la figura 1.1 se muestran la compresin y la rarefaccin cuando el aire es perturbado.

La onda es perpendicular si el movimiento de las partculas es perpendicular a la direccin de propagacin de la onda misma, la onda es longitudinal si el movimiento de las partculas es paralelo y de vaivn a lo largo de la direccin de la propagacin. Ciertas ondas no son ni puramente longitudinales ni puramente transversales tal es el caso de las ondas sobre la superficie del agua.

Las ondas pueden ser unidimensionales como en una cuerda, bidimensional como las ondas superficiales del agua y tridimensionales como el sonido que viaja radialmente partiendo de la fuente.

La forma de pulsacin cambia al viajar. La pulsacin se esparce o se dispersa, sin embargo, el contenido de la energa puede permanecer constante mientras viaja, aunque la pulsacin se disperse. Si el medio es dispersivo al viajar las ondas, las relaciones de

ONDAS SONORAS


fase de las componentes cambiaran de manera correspondiente, esto es, las ondas componentes viajan a velocidades de fase diferente. En muchos medios reales la velocidad de propagacin es decir, la velocidad de fase, dependen de la frecuencia o de la longitud de onda de la componente en particular. Cada onda componente viaja con su propia velocidad. No existe una relacin sencilla entre las velocidades de fase de las componentes y la velocidad de grupo de la onda, la relacin depende de la dispersin.

Ciertos medios reales son no dispersivos aproximadamente, en cuyo caso la onda mantiene su forma y todas la ondas componentes viajan con la misma velocidad, un ejemplo son las ondas sonoras en el aire. Si el aire fuese fuertemente dispersivo de las ondas sonoras, la conversacin sera imposible porque la forma de onda producida por las cuerdas vocales de quien habla confundira siendo irreconocible al momento en que llegase a nuestros odos. El esmero que ponen los miembros de una orquesta por tocar precisamente al tiempo no tendra ningn valor (porque si el aire fuese dispersivo del sonido) las notas de alta frecuencia viajaran hasta el odo del oyente a una velocidad diferente de la de las notas de baja frecuencia. Por consiguiente, la velocidad de onda, o lo que significa la velocidad de fase o la velocidad de grupo de una pulsacin en un medio no dispersivo, no depende de la frecuencia o de la longitud de onda

Las ondas de la luz en el vacio son perfectamente no dispersivas, la dispersin de las ondas de luz en medios reales es la causa de efectos tales como el espectro de colores del arcoris.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

El sonido cumple con el principio de superposicin el cual postula que cuando varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de cualquier partcula en un tiempo dado es simplemente la suma vectorial de los desplazamientos que producir cada onda individual que actu por s sola.

ONDAS SONORAS


LA VELOCIDAD DEL SONIDO

Las ondas sonoras viajan normalmente en tres dimensiones su velocidad se define por la siguiente formula, que corresponde a ondas longitudinales transmitidas en un fluido

. ec. (1) Donde:

Para calcular la velocidad del sonido en un gas se realiza la siguiente sustitucin:

Donde:

!! ! "1.4 & ' Sustituyendo tenemos

( ( Para un gas ideal )* Sustituyendo en ecu. (1) tenemos

()* . . . . ec. "2& R = Constante universal de los gases. (8.31 1 . 2 ) T = Temperatura absoluta del gas. (2)

ONDAS SONORAS


M= Masa molecular del gas (aire 29610892' ) La siguiente Tabla 1 muestra las diferentes velocidades en diferentes medios.

Intensidad de las Ondas Sonoras

En el estudio de los sonidos se usan trminos de volumen, tono y timbre, la siguiente tabla 2 muestra su correspondencia con las propiedades fsicas

El significado de los trminos de la izquierda pueden variar considerablemente de un individuo a otro, los trminos de la derecha son medibles y objetivos.

El sonido audible correspondiente a las ondas sonoras, se encuentra en el intervalo de 20 a 20000 Hz.

INTENSIDAD SONORA

Las ondas sonoras constituyen un flujo de energa atreves de la materia. La intensidad de una onda sonora especfica es:

Una medida de la razn a la cual la energa se propaga a travs de una cierto volumen espacial.

Un mtodo conveniente para especificar la intensidad sonora es en trminos de la rapidez con que la energa se transfiere a travs de la unidad de rea normal a la

ONDAS SONORAS


direccin de la propagacin de la onda. Puesto que la rapidez a la cual fluye la energa es la potencia de una onda la intensidad puede relacionarse con la potencia por unidad de rea que pasa por un punto dado.

Por esto la intensidad sonora es la potencia transferida por una onda sonora a travs de la unidad de rea normal a la direccin de propagacin. Su formula se representa por la siguiente ecuacin

: ; < = La intensidad del sonido audible apenas perceptible es del orden 108>= < = . Esta intensidad se conoce como umbral de audicin y se ha adoptado como referencia estndar de comparacin con otros sonidos

:? 1@ 108>=

ONDAS SONORAS


Las figuras 1.3 y 1.4 muestran el rango en decibeles del nivel de presin sonora para el habla y la msica.

REFLEXION DEL SONIDO

Si un sonido es activado en un cuarto, el sonido viaja radialmente en todas direcciones, como las ondas de sonido encuentran obstculos o superficies, tal como muros la direccin del viaje es cambiada, ellas son reflectadas.

La siguiente figura muestra la reflexin de ondas desde una fuente de sonido a una rgida, una superficie de muro plano. Estos frentes de ondas esfricos (lneas solidas) golpean la pared y reflejan los frentes de onda son retornadas hacia la fuente.

Como una analoga luz/ espejo los frentes de onda reflejados actan como tal, sin embargo ellas se originaron desde una imagen de sonido. Esta fuente de imagen es localizada a la misma distancia ms all de la pared como la fuente real est enfrente del muro. Este es el caso simple una sola superficie reflejando. En un cuarto rectangular hay seis superficies y la fuente tiene una imagen en las seis enviando energa de regreso hacia el receptor. Sin embargo computando la intensidad del sonido total en un dado punto receptor, las contribuciones de todas las imgenes deben ser tomadas en

ONDAS SONORAS


consideracin. El sonido es reflejado desde objetos que son grandes comparados con la longitud de onda del sonido incidente.

DUPLICADO DE PRESION EN REFLEXION

La presin del sonido sobre una superficie normal a las ondas incidentes es igual a la densidad- energa de la radiacin enfrente de la superficie. Si la superficie es un perfecto absorbente la presin iguala la energa - densidad de la radiacin incidente. Si la superficie es un perfecto reflector la presin iguala la energa densidad de ambas radiaciones incidente y reflejada. As la presin de una superficie perfectamente reflejada es dos veces que el de una superficie perfectamente absorbente. Esto se puede ver en la figura 1.6

REFLEXIONES SOBRE SUPERFICIES CONVEXAS

Los frentes de ondas esfricos desde un punto de la fuente tienden a volverse ondas planas en grandes distancias desde la fuente. La reflexin de frentes de onda planos de sonido desde una superficie convexa solida tiende a esparcirse la energa del sonido en muchas direcciones como se muestra en la figura 1.7.

REFLEXIONES DESDE SUPERFICIES CONVEXAS.

Los frentes de onda planos de sonido golpeando una superficie cncava tienden a ser enfocada a un punto como se ilustra en la figura 1.8. La precisin con la cual el sonido se enfoca a un punto se determina por la forma de la superficie cncava. Superficies cncavas esfricas son comunes porque ellas son fcilmente formadas. Ellas son frecuentemente usadas para hacer un micrfono altamente direccional colocando a este en el punto focal. Tales micrfonos son frecuentemente usados para recoger sonido de campo en eventos deportivos en grabaciones de canto de aves u otros sonidos de animal

ONDAS SONORAS


en la naturaleza. Superficies cncavas en iglesias o auditorios pueden la fuente de serios problemas como ellos producen concentraciones de sonido en oposicin directa al objetivo de una distribucin uniforme de sonido. La efectividad de los reflectores para micrfono depende sobre el tamao del reflector con respecto a la longitud de onda del sonido.

DIFRACCION DEL SONIDO

Es bien conocido que el sonido viajas alrededor de esquinas y obstculos. La msica reproducida en un cuarto de una casa puede ser escuchada abajo en el vestbulo o en otro de los cuartos. La difraccin es uno de los mecanismos que involucra esto. La calidad de la escucha del sonido en distintas partes de la casa es diferente. En distintos cuartos las notas bajas son ms prominentes porque ellas tienen longitudes de ondas ms largas y fcilmente difractadas alrededor de esquinas y obstculos.

PROPAGACION RECTILINEA

Los frentes de onda de sonido viajan en lneas rectas. Las lneas acsticas, un concepto aplicable a frecuencias audibles a media y alta frecuencia se consideran ser lpices de sonido que viajan en lneas rectas perpendiculares a las frentes de onda. Los frentes de onda de sonido y las lneas de sonido viajan en lneas rectas excepto cuando algo se cruza en su camino. Obstculos pueden ser la causa que el sonido cambie en su direccin desde su camino rectilneo original. El proceso mediante el cual este cambio de direccin toma lugar se llama difraccin. Los obstculos capaces de difractar el sonido deben ser grandes comparados a la longitud de onda del sonido involucrado.

Las siguientes figuras muestran el comportamiento de la difraccin cuando la onda de sonido tiene como obstculos diferentes formas.

ONDAS SONORAS


La figura 1.9 el frente de onda choca contra muro de ladrillo haciendo que en el borde se forme una nueva fuente radiando el sonido hacia la zona fantasma. En la figura 1.10 (A) una abertura grande en trminos de la longitud de onda del sonido permite a frentes de onda ir con pequeos disturbios, (B) si la abertura es pequea comparada con la longitud de onda del sonido, los frentes de onda pequeos los cuales penetran la abertura actan casi como fuentes puntos radiando un campo hemisfrico de sonido hacia la zona fantasma. La figura 1.11 muestra la clsica barrera del sonido, en este caso el sonido que golpea el muro se refleja como si el sonido se radiara desde una imagen virtual de la fuente, ese sonido pasa atreves del borde superior del muro actuando como si los frentes de onda son lneas de Lafuente radiando energa de sonido hacia la zona fantasma.

EFECTO TERMINAL ADECUADO

Si el ruido del ventilador en casa o maquinaria son lo suficientemente atenuados, pasado el tiempo el sonido del aire se vuelve sensible en el lugar donde se encuentre dichos objetos, la turbulencia del aire asociados con cerca de 90 de dobles, amortiguadores en ductos, rejillas y difusores pueden ser productores de ruidos graves como se sugiere en la figura. 1.13.

ONDAS SONORAS


El diseador debe tener cuidado para evitar diseos demasiado costoso de un sistema de distribucin aire con atenuacin, al pasar por alto determinados efectos incorporados en el sistema. Cuando una onda plana pasa atreves de un pequeo espacio tal como un ducto hacia un espacio grande, tal como un cuarto algo del sonido se refleja de regreso hacia la fuente. El efecto es ms notorio para frecuencia de sonido bajas. Recientes investigaciones han indicado tambin que el efecto cobra importancia solamente cuando una seccin recta de la tubera, de 3 a 5 pulgadas de dimetro precede la terminacin del ducto. Cualquier dispositivo terminal como un difusor o rejilla tiende a nulificar esta atenuacin afectada. Un ducto controlado de aire de 10 pulgadas puede darnos una elevacin de las prdidas de por reflexin a 15 dB en octavas de 63 Hz. La figura 1.14 muestra varios mtodos de atenuacin.

ONDAS SONORAS


REVISTIENDO EL DUCTO

La aplicacin de materiales absorbentes de sonido al interior de las superficies del ducto es un mtodo estndar de reduccin de niveles de ruido. Como tal recubriendo viene en la forma de juntas rgidas cubriendo las delgadsimas entradas de a 2 pulgadas el recubrimiento acstico tambin sirve como aislador trmico cuando se requiere. La atenuacin aproximada ofrecida en un ducto recubierto de 1 pulgada en un ducto rectangular tpico depende sobre el tamao del ducto como se muestra en la figura 1.15.

RUIDO


CAPITULO II

RUIDO

RUIDO


RUIDO

En casa y en el trabajo a menudo omos ruidos procedentes de sistemas de ventilacin, calefaccin, motor de bomba de agua o una lavadora por no hacer de menos el molesto ruido de la licuadora o el extractor de jugos elctrico los cuales nos entregan sonidos que no contiene ningn tipo de informacin sin embargo perturban el medio ambiente en el que vivimos, a este tipo de sonido no deseado se conoce como ruido.

Nuestro odo reconoce informacin en los sonidos que escuchamos, la informacin que no necesitamos o no queremos pasa a ser ruido, las caractersticas del ruido nos hace prestar atencin a tonos o cambios en el nivel sonoro, cuanto ms destacable sea el tono o mas abrupto el cambio de nivel sonoro, ms perceptible es el ruido.

Cuando medimos el ruido, necesitamos saber el tipo de ruido con el fin de que podamos seleccionar los parmetros a medir. A menudo tenemos que utilizar nuestro odo para captar y subrayar las caractersticas molestas del ruido.

TIPOS DE RUIDO

Nosotros podemos distinguir tres tipos de ruido que son los siguientes:

RUIDO CONTINUO. Es aquel que se produce por maquinaria que opera del mismo modo sin interrupcin, por ejemplo ventiladores, bombas y equipos de proceso. Para determinar el nivel de ruido es suficiente medir durante unos pocos minutos con un equipo manual. Si se escuchan tonos o bajas frecuencias puede medirse tambin el espectro de frecuencias para un posterior anlisis RUIDO INTERMITENTE. Cuando la maquinaria opera en ciclos o cuando pasan vehculos aislados o aviones el nivel de ruido aumenta y disminuye rpidamente a lo cual tambin se llama suceso. Para medir el ruido de un suceso se mide el nivel de exposicin sonora que combina en un nico descriptor tanto el nivel como la duracin. El nivel de presin sonora mximo tambin puede utilizarse RUIDO IMPULSIVO. El ruido de impactos o explosiones, por ejemplo de un martinete, troquel adora o pistola es llamado ruido impulsivo. Es breve y abrupto y su efecto sorprendentemente causa mayor molestia que la esperada a partir de una simple medida del nivel de presin sonora. Para cuantificar el impulso del ruido, se puede utilizar la diferencia entre un parmetro con respuesta rpida y uno de respuesta lenta y as mismo se toma nota de la tasa de repeticin de impulsos (numero de impulsos por segundo, minuto, hora o da). RUIDO DE BAJA FRECUENCIA. Este ruido tiene una energa acstica significantemente en el margen de frecuencias de 8 a 100 Hz. Este tipo de ruido es tpico en grandes motores de diesel, barcos y plantas de energa y puesto que este ruido es difcil de amortiguar y se extiende fcilmente en todas direcciones puede ser odo a muchos kilmetros. El ruido de baja frecuencia es ms molesto

RUIDO


que lo que se habra esperar con una medida de nivel de presin sonora ponderado A. la diferencia entre el nivel ponderado A y el ponderado C puede indicar la existencia o no de un problema de ruido de baja frecuencia. Para calcular la audibilidad de componentes de baja frecuencia en el ruido, se mide el espectro y se compara con el umbral auditivo. Los infrasonidos tienen un espectro con componentes significantes por debajo de 20 Hz. Lo percibimos no como un sonido sino ms bien como una presin. La evaluacin de los infrasonidos es aun experimental y en la actualidad no est reflejado en las normas internacionales.

CLASIFICACION DEL RUIDO

En un anlisis ms general podemos clasificar el ruido acstico en dos divisiones que son:

RUIDO DE BANDA ANCHA RUIDO DE BANDA ESTRECHA

Ruido de Banda Ancha

Es causado por la turbulencia y es totalmente aleatorio. El ruido turbulento distribuye su fuerza uniformemente de uno y otro lado de las bandas de frecuencia. Y se define como ruido de banda ancha, ejemplos de este tipo de ruido es el ruido de baja frecuencia de los aviones y el ruido impulso de una explosin.

Ruido de banda estrecha.

Concentra la mayor parte de su fuerza en las frecuencias especficas. Este tipo de ruido est relacionado a las maquinas rotatoria y repetitivas, as que es peridico o casi peridico. Ejemplos de ruido de banda estrecha es el ruido de motores de combustin interna en transporte, compresores como fuentes de energa auxiliares y en refrigeradores as como en bombas de vacio usadas para transferir materiales en grandes cantidades en muchas industrias.

TIPOS DE CONTROL DE RUIDO

Hay dos clases de control de ruido acstico los cuales son:

Pasivo Activo.

Control de Ruido Pasivo.

El enfoque tradicional para control de ruido acstico usa tcnicas pasivas como cercados, barreras y silenciadores para atenuar el ruido no deseado. Los silenciadores pasivos usan o el concepto del cambio menor de impedancia causado por una combinacin de deflectores acsticos y tubos para silenciar el sonido no deseado (silenciadores reactivos) o el concepto de la prdida de energa por causa de la

RUIDO


propagacin del sonido en una lnea de ducto con material absorbente para proporcionar la atenuacin (silenciadores resistivos). Los silenciadores reactivos son comnmente usados como silenciadores sobre motores de combustin interna, mientras que los silenciadores resistivos son usados principalmente para el admirador ruido de ventiladores de conductos.

Estos silenciadores pasivos son valiosos para su alta atenuacin en un rango de frecuencias amplia, sin embargo, son relativamente grandes, costosos, e ineficientes en rangos de baja frecuencia, adems estos silenciadores a menudo crean una presin de retorno o inversa si hay una corriente de aire en el ducto.

Control de Ruido Activo.

Un esfuerzo para superar stos problemas, se ha mostrado un gran inters en el sistema de control de ruido activo. El sistema de control de ruido activo contiene un dispositivo electro-acstico que cancela el sonido no deseado generando un anti-ruido (anti-sonido) de la amplitud igual y la fase opuesta. La original, el sonido no deseado y el anti-ruido acsticamente combinado resulta en la cancelacin de ambos sonidos, la eficacia de la cancelacin del ruido primario depende principalmente de la exactitud de la amplitud y de la fase del anti- ruido generado.

Campo de aplicacin del Control de Ruido Activo

La aplicacin exitosa del control de ruido activo se determina sobre la base de su efectividad comparada con la tcnica de atenuacin de ruido pasivo. Una atenuacin activa es un medio atractivo para lograr una atenuacin de una gran cantidad de ruido en un pequeo programa, particularmente en bajas frecuencias (por debajo de 600 Hz.). El control activo ofrece ventajas reales.

Desde el punto de vista geomtrico, las aplicaciones de control de ruido activo pueden ser clasificadas en las siguientes cuatro categoras:

Ruido de conducto: Ductos de una sola dimensin tales como ductos de ventilacin, ductos de escape, ductos de aire acondicionado, la red de calefaccin o de plomera etc.

Ruido interior: Ruido dentro de un espacio cerrado, cabina telefnica, interior de auto.

Proteccin auditiva personal: Un caso de ruido interior muy comprimido

Ruido de espacio libre. Ruido irradiado hacia el espacio abierto.

Las Aplicaciones especficas para el control de ruido activo ahora bajo desarrollo incluye atenuacin de fuentes de ruido inevitables en los siguientes equipos terminales:

Automotriz (carros, furgoneta, maquinas de movimiento en tierra, vehculos militares) los cuales se clasifican en dos categoras. Sistemas de un solo canal (una dimensin). Silenciador electrnico para sistemas de escape, sistemas de induccin etc.

RUIDO


Sistemas de mltiple canal (tres dimensiones). Atenuacin de ruido dentro del compartimiento de pasajeros y cabina de operador de equipo pesado, manos libres de telfono celular, etc. Electrodomsticos Sistemas de un solo canal: ducto de aire acondicionado, aire acondicionado, refrigerador, lavadora, horno, deshumidificador, licuadoras, etc. Sistemas de canal mltiple: Cortadora de csped, aspiradora etc. Industrial: Ventiladores, ductos de aire, chimenea, transformador, sopladores, compresoras, bombas, sierra elctrica, tnel de viento, planta de ruido, cabina de telfono pblico, divisin de cubculos de oficina, protector de odo, auriculares, etc. Transporte: Aeroplanos, barcos, botes, helicpteros, moto nieve, motocicleta, locomotoras de diesel etc.

Los algoritmos desarrollados para el control de ruido activo pueden ser aplicados para el control de vibracin activa la cual puede aislar vibraciones de una variedad de maquinas y estabilizar varias plataformas en la presencia de disturbio vibracionales. Como el rendimiento y la confiabilidad continua mejorando y los costos iniciales continan bajando, los sistemas activos pueden volverse la solucin preferida de una variedad de problemas de control de vibracin.


CAPITULO III





La cancelacin de ruido de banda ancha requiere el conocimiento de la fuente del ruido llamada tambin ruido primario para generar la seal anti-ruido, la medida del ruido primario se usa como entrada de referencia para cancelar el ruido. El ruido primario relacionado con la seal de entrada se cancela despus del generador de ruido altavoz, cuando la magnitud y la fase estn correctamente modeladas en el controlador digital.

La cancelacin de ruido de banda estrecha en la cual hay reduccin del periodo del ruido causada por maquinaria rotacional aplica tcnicas activas adaptivas que son muy efectivas y que no dependen sobre la causalidad (teniendo conocimiento previo de la seal de ruido). En lugar de usar un micrfono de entrada, una seal tomada de un tacmetro proporciona informacin sobre la frecuencia del primario que se origina del generador de ruido. A causa de que todos los ruidos repetitivos ocurren en armnicos de la frecuencia de rotacin bsica de la maquina, el sistema de control puede modelar estas frecuencia de ruido conocido y generar una seal con un sonido opuesto. Este tipo de sistema de control es deseable en una cabina de vehculo porque no afectara las seales de advertencia del vehculo, el rendimiento del radio o habla la cual no estn normalmente sincronizadas con la rotacin de la maquina.

CONTROL RETROALIMENTADO

Los sistemas de control de ruido activo se basan sobre uno o dos mtodos:

Control Retroalimentacin Adelantada (feedforward) es donde la entrada de ruido de referencia coherente es sensado antes de que este se propague pasando el altavoz cancelador. El Control de Retroalimentacin Atrasado (feedback) es cuando el controlador de ruido activo intenta cancelar el ruido sin los beneficios de una referencia de entrada anterior.

Los sistemas de retroalimentacin adelantada de Cancelacin de Ruido Acstico son las principales tcnicas usadas hoy, y est clasificada dentro de dos categoras:

Control de Retroalimentacin Adelantada de banda ancha adaptiva con un sensor de entrada acstico

Una cantidad considerable de ruido de banda ancha se produce en ductos tales como ductos de escape y sistemas de ventilacin. Un ducto estrecho se muestra en la figura1. Una seal de referencia 6"& es sensado por un micrfono de entrada cercano a la fuente de ruido antes de que este pase al altavoz. El cancelador de ruido usa la esta seal para generar una seal B"& de igual amplitud pero 180 fuera de fase. Esta seal anti-



ruido se usa para controlar el altavoz para producir un sonido cancelador que atena el ruido acstico primario en el ducto.

El principio bsico del enfoque de la retroalimentacin adelantada de banda ancha es que el tiempo de retardo de propagacin del sensor de ruido de fondo (micrfono de entrada) y la fuente de control activa (altavoz) ofrece la oportunidad de reintroducir elctricamente el ruido en una posicin en el campo donde este causara la cancelacin el espaciamiento entre el micrfono y el altavoz debe satisfacer el principio de causalidad

y alta coherencia. Significa que la referencia debe ser medida con suficiente tiempo para que la seal anti-ruido pueda ser generada en tiempo antes de que la seal de ruido alcance el altavoz. Tambin la seal de ruido en el altavoz debe ser muy similar a la del ruido deseado en la entrada del micrfono de entrada. El ruido cancelador usa la seal de entrada para generar una seal B"& que es de igual amplitud y 180 fuera de fase con 6"&. Este ruido es el producto de salida hacia el altavoz y usado para cancelar el ruido no deseado.

Control de Retroalimentacin Adelantada de banda estrecha adaptiva con un sensor de entrada nano-acstico.

En aplicaciones donde el ruido primario es peridico (o muy cercano a ser peridico) y se produce por rotacin, el micrfono de entrada puede ser reemplazado por un sensor nano-acstico como un tacmetro, un acelermetro o un sensor ptico. Este reemplazo elimina el problema de retroalimentacin acstica.

El diagrama de bloques de un sistema de control de ruido acstico activo adaptivo se muestra en la figura 2. La seal del sensor nano-acstico es sincronizada con la fuente de ruido y se usa para simular una seal de entrada que contiene la frecuencia fundamental y todos los armnicos del ruido primario. Este tipo de sistemas controla el



ruido armnico mediante un filtro adaptivo que sintetiza la seal de referencia para producir una seal canceladora. En muchos automviles, autobuses de carga, vehculos mvil de tierra la seal dada por la revoluciones por minuto est disponible y puede ser usado como una seal de referencia. Un micrfono de error es aun requerido para medir el ruido acstico residual, esta seal de error es entonces usada para ajustar los coeficientes del filtro adaptivo.

Entre las ventajas de este sistema con el sensor nano-acstico son las siguientes:

Problemas ambientales y vejez de la entrada del micrfono son automticamente eliminados, esto es especialmente importante desde el punto de vista de ingeniera porque es difcil sensar el ruido de referencia en altas temperaturas y en ductos de gas turbulento como sistemas de escape.

La periodicidad del ruido permite restringir la causalidad y ser eliminada. El contenido de frecuencia de la forma de onda de ruido es constante, solamente ajuste de fase y amplitud son requeridos. Esto resulta en una posicin ms flexible para el altavoz cancelador y permitir tiempos de retardo ms largos para ser introducidos por un microcontrolador.

El uso de una seal de referencia de control generada tiene la ventaja de seleccionar la cancelacin., esto la habilidad para controlar cada armnico independientemente.

Es necesario modelar solamente la parte de la funcin de transferencia acstica relacionada a los tonos harmnicos, un filtro FIR de orden bajo puede ser usado haciendo el sistema control de ruido peridico activo ms eficientemente computacionalmente.

La retroalimentacin acstica no deseada del altavoz cancelador a la entrada del micrfono sensor de ruido es evitado.



SISTEMAS DE CANCELACION DE RUIDO MULTIPLE

Cuando la geometra del campo de sonido es complicada este no es lo suficientemente para ajustarse a una fuente secundaria para cancelar el ruido del primaria usando un solo micrfono de error. El control de campos acsticos complicados requiere tanto la exploracin como el desarrollo de estrategias ptimas y la construccin de un adecuado control multicanal. Esta tarea requiere del uso de algoritmo adaptivo de entrada mltiple y mltiple salida. Estos sistemas involucran un arreglo de sensores y actuadores mltiples. La figura 3.3 muestra el diagrama de este sistema


CAPITULO IV

FILTROS DIGITALES

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Los filtros digitales son los sistemas ms importantes utilizados en el procesamiento digital de seales, es una de las herramientas tecnolgicas ms poderosas y su campo de aplicacin es amplio ya que encuentra aplicaciones en la industria de comunicaciones, rea industrial, militar, cientfica, mdica, espacial y acstica.

Su objetivo es la construccin virtual en un sistema digital sin necesidad de la utilizacin de componentes externos tales como amplificadores, capacitores o inductores. Son muy utilizados en el anlisis para supresin de ruido en seales digitales, en un reproductor mp4 son utilizados para ecualizar la msica simulando prioridad sobre una banda en particular ya sea realzando las bajos, altos o medios o pasa-banda.

Estos filtros digitales tienen como ventajas:

Alta inmunidad al ruido Alta precisin (limitada por lo errores de redondeo) Fcil modificacin de las caractersticas del filtro Muy bajo coste (y constantemente bajando)

Existen dos clases de filtros los cuales son:

Respuesta al impulso de duracin infinita (IIR) Respuesta al impulso de duracin finita (RIF)

Los filtros IIR tienen dos variantes que son: AR y ARMA

Los filtros AR (auto-regresivos) son caracterizados por la siguiente funcin de transferencia:

BCD E ;>BC 1D E ;=BC 2DE. . E;FBC GD 6CD Lo que da lugar a la funcin de transferencia

H"I& 11 E ;>J8> E ;=J8=E. . E;FJ8F

Esta funcin de transferencia contiene solo polos.

El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino adems de valores pasados de la salida.

El trmino auto-regresivo tiene un sentido estadstico en que la salida BCD tiene una regresin hacia sus valores pasados.

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La respuesta al impulso es normalmente de duracin infinita.

La figura 3.1 muestra El diagrama a bloques de la funcin de transferencia de un filtro AR

Los filtros ARMA.

Es un filtro Auto-Regresivo y Media en Movimiento es el filtro ms general y es una combinacin de MA y ARMA

La ecuacin de diferencia que describe a un filtro ARMA de orden N es:

BCD E ;>BC 1D E ;=BC 2DE. . E;FBC GD ?6CD E >6C 1DE. . EK6C D Su funcin de transferencia est dada por:

H"I& ?6CD E >6C 1DE. . EK6C D1 E ;>J8> E ;=J8=E. . E;FJ8F Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N, M), es decir es auto-regresivo de orden N y Media en Movimiento M

Su respuesta a impulso es tambin de duracin infinita y por tanto es un filtro tipo IIR.

Su diagrama a bloques es representado en la Fig. 3.2:

FILTROS FIR

Los filtros FIR siempre son estables y es posible disearlos con fase lineal y por consiguiente sin distorsin de fase, este tipo de filtros elimina la recursin que es caracterstico en los IIR, aunque la elaboracin de los filtros FIR con ciertas

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especificaciones se requiere de muchos ms elementos que para los filtros IIR, sin embargo al no ser recursivos brindan mejor estabilidad y su uso es ms generalizado.

Es comn en estos filtros que su diseo se base en la seleccin de una secuencia de Respuesta al Impulso Simtrica cuya longitud se selecciona para satisfacer las especificaciones de diseo.

DISEO DE FILTROS FIR

El diseo de los filtros FIR implica la seleccin de una secuencia finita que represente de manera adecuada la Respuesta al Impulso Ideal. Los filtros FIR siempre son estables y aun mas importante son capaces de tener una fase lineal (un retraso puramente en el tiempo), lo que conlleva a una ausencia total de distorsin de fase. Sin embargo, para especificaciones dadas, es normal que estos filtros requieran de un orden o una longitud de filtro mucho ms alto que los filtros que los filtros IIR. En ocasiones es necesario alcanzar grandes longitudes para garantizar una fase lineal. Los tres mtodos ms comunes para disear para disear filtros FIR son:

El diseo basado en ventanas. El muestreo de frecuencias El diseo iterativo basado en restricciones optimas.

Diseo basado en Ventanas.

El diseo de ventanas comienza con la seleccin de la Respuesta al Impulso LMCND como una versin simtricamente truncada de la respuesta al impulso LMCND de un filtro ideal con una respuesta de frecuencia H (F). La respuesta al impulso de un filtro ideal pasa-bajas con una frecuencia de corte OP es: QFCD 2OP "2OP&, || T 0.5"G 1& Aun cuando el filtro diseado es una aproximacin al filtro ideal, es la mejor aproximacin (en el sentido del cuadrado medio) comparado con cualquier otro filtro de la misma longitud, el problema es que muestra ciertas caractersticas indeseables

La figura 4.1 muestra el truncamiento para una respuesta causal del filtro FIR.

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El truncamiento de la respuesta ideal al impulso QCD equivale a la multiplicacin de QCD por una ventana rectangular VCD de longitud G. El espectro de la respuesta al impulso con ventana QWCD QCDVCD es la convolucin peridica. Esto es, una multiplicacin en el tiempo equivale a una convolucin en frecuencia H"O& X

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lateral. En la tabla 1 se encuentran las ventanas comnmente usadas en el diseo de filtros FIR y sus caractersticas espectrales

Tabla 1.

Nota: `a"b& es la funcin de Bessel modificada de orden cero Ventana Expresin cCND,-0.5(N-1)T N T a. d"M e&

Boxcar 1 Coseno cos " hG 1& Riemann i j 2G 1k , l m 0 Bartlett 1 " 2||G 1& Von Hann (Hanning) 0.5 E 0.5cos " 2hG 1& Hamming 0.54 E 0.46cos " 2hG 1& Blackman 0.42 E 0.5 cos j 2hG 1k E 0.08cos " 4hG 1& Kaiser :?"hop1 4C "G 1& D=&:?"ho&

Caractersticas espectrales de las funciones ventana Ventana qr qs qr ;si"&

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VENTANEO

Al ventanear es necesario tener presente la simetra de la ventana a usar con la respuesta al impulso de un filtro ideal, esto es si vamos a trabajar con intervalos pares o impares como se muestra en la figura 4.4

En general en una ventana FIR de N puntos usa N-1 intervalos para generar N muestras (incluidas las de los extremos). Una vez seleccionada debe colocarse de manera simtrica con respecto a la secuencia de la respuesta al impulso simtrica.

La respuesta al impulso simtrica con aplicacin de ventanas en un filtro ideal pasa-bajas puede escribirse como:

QWCD 2OP "2OP&VCD , 0.5"G 1& T T 0.5"G 1& Para N par, el ndice n no es un entero, no obstante se incremente cada unidad, y se requiere de un atraso no entero para producir una secuencia causal. Si las muestras del extremo VCD son cero, tambin lo sern las de QvCD y la longitud del filtro ser menor que 2.

El espectro de un filtro comn usando diseo por ventanas se ilustra en la figura 4.6

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Con frecuencia las especificaciones de ganancia de un filtro FIR se basan en la ondulacin wx de la banda de paso y en la ondulacin wy de la banda de supresin. Como la ganancia de decibeles es normalmente normalizada con respecto a la ganancia mxima, la atenuacin de la banda de paso y de la banda de supresin, zx { zy (en decibeles) se relacionan con esos parmetros de ondulacin por medio de:

;r"& 20 log j1 ~r1 ~sk ;s"& 20' j ~s1 E ~rk 20'~Y ~r 1

Para convertir las especificaciones de atenuacin (en decibeles) a valores para los parmetros de ondulacin, se utiliza:

wx 10zx/a 110zx/a E 1 wy "1 E wx&108z ya 108z ya , wx e En el diseo basado en ventanas se requiere la normalizacin de las frecuencias de diseo por medio de la frecuencia de muestreo.

El desarrollo de un filtro pasa-bajas mediante la aplicacin de ventanas a la respuesta al impulso de un filtro ideal y la conversin al tipo de filtro requerido son usadas transformaciones especiales

Este mtodo puede parecer simple (y lo es) pero algunas partes solo puede pueden tratarse cualitativamente, por ejemplo la seleccin de frecuencia de corte se ve afectada por la longitud N de la ventana, la longitud N ms pequea que cumple las especificaciones depende de la seleccin de la ventana y esta seleccin depende a su vez de las especificaciones de atenuacin (banda de supresin).

De la figura 4.5 se resume lo siguiente:

La convolucin del filtro ideal (rectangular) con la respuesta al impulso ideal (funcin sinc) tiene una discontinuidad en F=O por lo cual el espectro al que se le aplico la ventana tiene sobre elongacin y ondulaciones, un ancho de transicin finito pero ningn salto abrupto y su magnitud en F=O es igual a 0.5 correspondiente a una atenuacin de 6 dB.

Como la funcin ventana y la respuesta al impulso son secuencias simtricas, el espectro del filtro al que se aplican las ventanas tambin es simtrico

Aun cuando la ondulacin de pasa- banda mxima es igual a la ondulacin mxima de la banda de supresin no son de igual magnitud.

El nivel mximo de la banda de supresin del espectro con ventanas suele ser algo menor que el nivel mximo del lbulo lateral de la misma ventana

El ancho entre las cimas de la banda de transicin es aproximadamente igual al ancho del lbulo principal de la ventana. El ancho real de transicin dado como OW en la tabla 2 es inversamente proporcional a la longitud N de la ventana (con OWs G , !! !)

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Los valores de la tabla 20.4 se encontraron usando una respuesta al impulso ideal QCD 0.5 "0.5& OP 0.25 a la que se aplico una ventana de 51 puntos. Las especificaciones de magnitud estn normalizadas con respecto a la magnitud mxima. La atenuacin de pasa-banda y de supresin se calculan de la ondulacin de pasa-banda y de supresin (con ~r ~s ) Tabla 2.

Ventana Ondulacin mxima wx wy

Atenuacin pasa-banda zZx"&

Atenuacin mxima de lbulo lateral zZy"&

Ancho de transicin Zy M

Boxcar 0.0897 1.5618 21.7 C=0.92 Coseno 0.0207 0.36 33.8 C=2.1 Riemann 0.0120 0.2087 38.5 C=2.5 Hanning 0.0063 0.1103 44 C=3.21 Hamming 0.0022 0.0384 53 C=3.47 Blackman "1.71&108 "2.97&1089 75.3 C=5.71 Dolph (R = 40 dB) 0.0036 0.0620 49 C=3.16 Dolph (R = 50 dB) "9.54&108 0.0166 60.4 C=3.88 Dolph (R = 60 dB) "2.50&108 0.0043 72 C=4.6 Harris(0) "8.55&108 0.0148 61.4 C=5.36 Harris(1) "1.41&108 "1.71&1089 77 C=7.45 Harris(2) "1.18&108 "1.71&1089 78.5 C=5.6 Harris(3) "8.97&108 "1.71&1089 81 C=5.6 Harris(4) "9.24&108 "1.71&1089 81 C=5.6 Harris(5) "9.96&108t "1.71&108 100 C=7.75 Harris(6) "1.94&108t "1.71&108 114 C=7.96 Harris(7) "5.26&108t "1.71&108 106 C=7.85

CONSIDERACIONES PARA LA ELECCION DE VENTANA Y LONGITUD DEL FILTRO

La seleccin de una ventana se basa principalmente en la especificacin de diseo de la banda de supresin ;Y, la atenuacin del mximo de lbulo lateral ;vY del espectro al que se le aplica la ventana debe alcanzar o exceder la atenuacin de la banda de supresin ;s especificada. Del mismo modo la pasa-banda ;v no debe exceder la atenuacin especificada ;r. El espectro al que se aplicara la ventana es la convolucin de los espectros de la respuesta al impulso y la funcin ventana y este espectro cambia conforme se modifica la funcin del filtro. Las tres ventanas utilizadas con ms frecuencia son:

Hanning

Haming

Kaiser

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El ancho de transicin del espectro con ventanas disminuye con la longitud N pero no hay manera exacta de establecer la longitud N mnima del filtro que satisfaga las especificaciones de diseo. Las estimaciones empricas se basan en la comparacin del ancho de transicin dado por especificacin con el ancho de transicin OvY G del espectro con ventanas, sus relaciones son las siguientes:

O Os Or OWs G G Os Or Aqu Or B Os son las frecuencias digitales pasa-banda y supresora-banda. La longitud de la ventana depende de la seleccin de la ventana (que dicta la seleccin de C) entre ms cercana sea la operacin de la banda de supresin ;s y la atenuacin de la banda de supresin ;vY del espectro con ventanas menor ser la longitud N de la ventana Transformaciones espectrales.

El diseo de otros filtros FIR fuera del filtro pasa-baja comienza con un prototipo pasa-bajas seguido por las transformaciones espectrales para convertirlo en el tipo de filtro requerido. Esas transformaciones espectrales se desarrollan a partir de las propiedades de desplazamiento y modulacin de la TDFT; a diferencia de los filtros analgicos e IIR esas transformaciones no cambian el orden (o longitud) del filtro.

El punto de inicio es un filtro ideal pasa-bajo con ganancia pasa-banda unitaria y una frecuencia de corte de OPcuya respuesta al impulso con ventana QirCD esta dada por: LxCND _N"N&cCND , a. d"M e& T N T a. d"M e& Donde

cCND: Es una funcin ventana de longitud N si n es par el ndice toma valores no enteros.

En la figura 4.6 podemos observar las transformaciones espectrales para una pasa altas, pasa banda y supresor de banda.

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La tabla 3 muestra las funciones metamatemticas para realizar las transformaciones

Tabla 3

Longitud N impar Rango a. d"M e& T N T a. d"M e& Qir 2OP "2OP&VCD QrCD ~CD QirCD = ~CD 2OP "2OP&VCD

OP 0.5"Or E Os&

QrCD 2 cos"2hO?& QirCD =4OP "2OP& cos"2hO?&VCD OP 0.5"O9 E O& O? O? 0.5"O= E O9& QsCD ~CD QrCD =~CD 4OP "2OP& cos"2hO?&VCD OP 0.5"O9 E O& O? O? 0.5"O= E O9&

Donde:

V ! '! G Para el caso en que el valor || T 0.5"G 1& o por consiguiente para valores positivos de tenemos la tabla 4. Para una longitud impar y rango de || T 0.5"G 1& Qir 2OP "2O& Qr 2QirCDcos "2hO?& Qr ~CD QirCD Qs ~CD QrCD Donde:

OP O ! !! O? O ! " O X O& METODO DE MUESTREO DE FRECUENCIA

En el diseo con base en ventanas, se comienza con la respuesta al impulso QCD de un filtro ideal y se usa el truncamiento y las ventanas para obtener una respuesta al impulso H[F] aceptable. El diseo de filtros FIR por medio de muestreo de frecuencia comienza con la forma necesaria para H[F] usa interpolacin y la DFT para obtener h[n]. En este sentido, el diseo es ms verstil ya que las formas arbitrarias de la respuesta al impulso pueden manejarse con facilidad.

Una seal continua h(t) (pero con banda limitada) puede ser perfectamente reconstruida a partir de sus muestras (tomadas por encima de la razn de Nyquist) usando una funcin senc de interpolacin (que es cero en los instantes de muestreo). Si h (t) no es

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de banda limitada se obtiene una concordancia perfecta solo para los instantes de muestreo.

Por analoga, el espectro continuo (pero peridico) H(F), tambin puede recuperarse a partir de sus muestras de frecuencia, usando una extensin peridica de la funcin senc de interpolacin. El espectro reconstruido M"& mostrara una coincidencia exacta con H(F) deseado en los instantes de muestreo, aun cuando HF"O& puede variar considerablemente en otras frecuencias. Esta es la base para el diseo de filtros FIR mediante el muestreo de frecuencia. Dada la forma deseada para H(F) se muestra en N frecuencias y se encuentra la IDFT de la secuencia de N puntos HCD, 0,1,. N-1. Entre las ventajas que brinda este mtodo es que permite a reducir al mnimo el efecto de Gibbs cerca de las discontinuidades en H[F], puede permitir que los valores varen gradualmente entre los saltos (directriz de diseo) sin embargo equivale a introducir un ancho de transicin ms amplio.

DISEO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL PTIMA

Al igual que con los filtros analgicos, el diseo de filtros FIR de fase lineal optima requiere que se reduzca al mnimo el error mximo de la aproximacin. El diseo ptimo de filtros FIR se basa tambin en una aproximacin Chebyshev. Por tanto, sera de esperar que este diseo genere la longitud mnima del filtro y una respuesta con ondulaciones iguales en pasa banda y supresin de banda.

Hay tres conceptos importantes para el diseo ptimo:

El error entre la aproximacin H(F) y la respuesta deseada D(F) debe ser de igual ondulacin. La respuesta en frecuencia H(F) de u filtro cuya respuesta al impulso h[n] es una secuencia simtrica puede siempre expresarse en la forma.

H"O& "O& cos"2hO& K? "O&"O& El teorema de alternancia proporciona la clave para seleccionar las

Las seales que nos permiten transmitir algn tipo de informacin, son de naturaleza aleatoria

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Filtros adaptativos

Las seales que nos permiten transmitir algn tipo de informacin, son de naturaleza aleatoria. Debido a esto no podremos disear filtros FIR o IIR tradicionales de coeficientes fijos, que permitan que se adapten a cualquier variacin de la seal con la que se trabaja. De esta problemtica, surge la necesidad de desarrollar nuevas tcnicas de filtrado que adapten sus coeficientes a la variacin de la seal de entrada, de manera que la banda de paso se adapta a la regin donde existe seal que se desea conservar. Estos sistemas son los llamados Filtros adaptativos. Estos sistemas adaptativos operan en lazo cerrado, de manera que las seales de entrada ponderada por los coeficientes del filtro, es comparada con otra seal, denominada deseada d(n), a fin actualizar los coeficientes del filtro, para que se adapten a la variacin de la seal de entrada. Como resulta evidente, esto se podr conseguir a travs de mtodos de programacin de algoritmos que actualicen de la forma ms ptima posible los coeficientes del filtro. En la figura 4.7 se muestra un esquema de una topologa de filtro adaptativo.

La teora de filtros adaptativos se empez a desarrollar a principios de los aos 60. Estos estudios se basaban en el desarrollo de mtodos para ajustar los coeficientes de filtros no lineales. La idea a desarrollar era que estos sistemas fueran capaces de aprender por si mismos entendiendo este trmino como que fueran capaces de adaptarse a las variaciones de las seales de trabajo. El mtodo que se desarroll fue el basado en la obtencin de la solucin ptima a partir de la minimizacin de la esperanza de error cuadrtico medio (MSE).

Un filtro adaptativo opera estimando estadsticamente la seal de entrada, ajustndose acorde a esto. Un filtro adaptativo no tiene porque tener una nica salida, como se muestra en la figura 4.7. Puede tener dos, de manera que se escoger la que convenga segn la aplicacin a realizar. Esto depender tambin del modo de trabajo del sistema que se elija. Esto quiere decir si se har que el sistema adaptativo se comporte como el sistema que gener la seal interferente o si se desea que se comporte como el sistema que gener la seal til.

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Tcnicas de estimacin

Como se ha mencionado antes, el concepto de estimacin lineal ptima, es en lo que se fundamenta el tratamiento de seales en filtros adaptativos. Ahora se van a presentar los diferentes tipos de estimacin. .

La estimacin de la salida del filtro La estimacin de los coeficientes del filtro.

Las topologas FIR son las ms utilizadas en filtros adaptativos, la convergencia de estos a la solucin ptima viene dada por la ecuacin. Los filtros adaptativos con topologas IIR siguen metodologas de estimacin diferentes basados en la solucin de Kalman.

Estimacin optima no recursiva

Habitualmente el estimador utilizado en algoritmos adaptivos es la funcin de Error Cuadrtico Medio que viene dada por la ecuacin

="& ""& B"&&= Donde B"& es la salida del filtro que se puede expresar como B"& "&. 6"& donde 6"& es la entrada y "& es el vector de coeficientes del filtro T es la transpuesta. El diagrama de bloques se representa en la fig. 4.7.

Recordando la funcin de correlacin y auto correlacin tenemos que:

"& 6"& "& B )"& 6"&6"& Donde T es la transposicin. Una vez que se tiene esto se puede proceder a calcular el Error Cuadrtico Medio:

"& C="&D C""& B"&&=D

Si B"& "&. 6"&, entonces C="& 2"&"&6"& E "&6"&6"&"&D

C="& 2"&"& E "&)"&"&D El objetivo es minimizar esta funcin de error, con lo cual se aplicara el procedimiento que se presenta a continuacin.

"& 0

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C ? , > , , F8>D 2)? 2 0 Donde ?= )8> La solucin a la que se ha llegado se denomina solucin de wiener-Hopf para la estimacin optima de los coeficientes de filtro y sienta las bases del algoritmo adaptivo LMS.

Algoritmos Adaptativos

Los sistemas adaptativos se conforman en 2 bloques diferenciados. Un encargado de realizar el filtrado de la seal y otro encargado de actualizar los coeficientes del filtro segn las seales que lo controlan. Este modulo se denomina algoritmo adaptativo, este bloque incluye el software que implementa el algoritmo adaptativo. Estos algoritmos son dos bsicamente, ya que el resto, sern modificaciones de estos. Los dos algoritmos adaptativos bsicos son:

El LMS (Least Mean Square) RLS (Recursive Least Square).

Least Mean Square Este algoritmo pertenece a la familia de los algoritmos de gradiente estocstico. Con el trmino estocstico se pretende distinguir este algoritmo de otros que utilizan gradiente determinista para el clculo de los coeficientes del filtro. Una caracterstica importante del LMS es su simplicidad. No requiere medidas de las funciones de correlacin, ni tampoco inversin de la matriz de auto correlacin. El LMS comprende dos procesos bsicos:

1. Un proceso de filtrado, que implica el clculo de la salida generada por un

filtro transversal, y la generacin de una estimacin del error comparando esta salida con la respuesta deseada.

2. Un proceso adaptativo, que realiza el ajuste automtico de los coeficientes

del filtro de acuerdo con la estimacin del error.

Si fuera posible obtener medidas exactas del vector gradiente de (n) en cada iteracin n, y dispusiramos del parmetro adecuadamente elegido, el vector de pesos del filtro convergera a la solucin ptima de Wiener. Pero en la realidad no se dispone de estas medidas exactas del vector gradiente, ya que no se conoce la matriz de auto correlacin de la seal de entrada al filtro ni el vector de correlacin cruzada entre esta seal de entrada

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al filtro y la respuesta deseada. Por tanto, el vector gradiente ha de ser estimado a partir de los datos.

La manera de estimar su vector de coeficientes de filtro es:

" E 1& "& E 2"&6"& .. "4.1& En la que se muestra la dependencia de los coeficientes frente a los valores pasados y a la expresin del error y de la seal de entrada.

x(n) es la seal de entrada al filtro y depende de las N-1 muestras de entrada anteriores 6"& C6"&, 6" E 1&, , 6" G E 1&D y el vector w(n) es el vector de los coeficientes del filtro adaptivo. El parmetro es una constante de pequeo valor que se conoce como paso de filtro y ha de ser elegido convenientemente para garantizar la convergencia de la salida a la solucin deseada.

Toda la teora de filtros adaptativos basados en LMS se sustenta a partir de la solucin de Wiener para el coeficiente ptimo ?. " E 1& "& "& (4.2) Como se observa en la ecuacin anterior la actualizacin de los coeficientes del filtro depende del gradiente negativo del error cuadrtico medio. En el algoritmo LMS trabajamos con procesos aleatorios, por consiguiente, este gradiente no podr ser conocido en un determinado instante, de manera que el valor usado ser uno estimado. Debido a esto, no trabajaremos con la esperanza del error, sino que se har con el valor de error directamente de manera que tendremos:

"& ""&& ="&

2"& "& 2"& "& B"& 2"& "&6"& 2"&6"&

De este desarrollo se llega a la expresin (4.2), que es la forma recursiva de actualizacin de los coeficientes del filtro.

Un parmetro importante para el estudio de los algoritmos adaptivos, es la rapidez con la que convergen a la solucin deseada. Esto viene determinado por los auto valores de

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la matriz de auto correlacin R y de su dispersin. As el valor de que garantiza la convergencia en media es:

0 2 Donde es el mayor de los autovalores de la matriz de autocorrelacion que cumple

T F8>? !")& Como se ha mencionado anteriormente el parmetro se ha de escoger de forma que garantice la convergencia a la solucin, ya que de dependiendo su valor, la solucin puede tardar demasiado en converger haciendo que no converja a la solucin antes de que se procese la siguiente muestra, o por otro lado haciendo que el sistema intente converger tan rpido que este se vuelva inestable. Debido a esto se fija un criterio para elegir este parmetro en cual es:

0 =9. A medida que el vector w(n) adopta valores prximos a los que garantizan la convergencia a la solucin ptima, estos coeficientes no se mantienen estticos, sino que fluctan en torno a la solucin. Esto es debido a que el vector gradiente utilizado para realizar las correcciones tiene derivas asociadas a su valor, esto provoca que el error cuadrtico medio tenga un exceso que impide que converja a cero, este exceso se puede expresar matemticamente de la forma

. . 2 F8>?1 . 2 F8>? . "4.3& En la expresin 4.3 queda remarcada la influencia del paso en la convergencia del error, marcando el exceso de error que se tendr. representa el error cuadrtico medio.

LMS Normalizado (NLMS)

En aplicaciones reales se trabaja con procesos estocsticos, lo que indica que no podremos definir su estado futuro, solo estimarlo, de manera que fijar cualquier tipo de parmetro constante ser complicado. En el LMS hemos visto que la actualizacin de la seal de error dependa de una constante denominada paso del filtro. En la eleccin de este parmetro constante radica la complejidad y limitacin del sistema, ya que no se podr elegir un paso ptimo para todo el rango de posibles valores de seal de entrada. Debido a esto aparece la necesidad de definir un paso que se adapte (al igual que los coeficientes del filtro) a las variaciones de la seal de entrada. Debido a esto aparece el algoritmo NLMS que es simplemente una extensin del LMS.

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El proceso se basa en calcular valores diferentes de para cada iteracin del algoritmo de manera que se obtiene un (n) que depender de la variacin de las seales de entrada. Una caracterstica importante de (n) es que su inverso es proporcional a la suma de la energa de entrada al cuadrado o lo que es lo mismo a la potencia.

bebb\ . Cbe b . .bM8eD "b&M8ea

Para la demostracin de este algoritmo partiremos de la expresin de actualizacin de los coeficientes de filtro para el algoritmo LMS donde ha sido sustituido por una funcin discreta (n).

" E 1& "& E 2"N&. "&. 6"& " E 1& "& " E 1&. 6"& "1 2. "&. 6"&. 6"&&. "&

De manera que si minimizamos la funcin error futuro cuadrtico "" E 1&&= respecto al valor de (n) y la igualamos a cero.

" E 1&="& 0 "& 26"&. 6"& . .4.4 Si sustituimos la expresin anterior en la ecuacin 4.1 que nos da la actualizacin del filtro obtenemos

" E 1& "& E 6"&. 6"& E "&6"& .. "4.5&

La expresin 4.5 es con la que el algoritmo NLMS actualiza los coeficientes del vector del filtro. Este algoritmo es el que habitualmente se utiliza en aplicaciones reales, debido a su simplicidad de clculo. Si bien es cierto que presenta algunas modificaciones a la expresin 1.4 como la inclusin de un parmetro (constante de pequeo valor) que evita la divisin por cero y de una variable que est comprendida como:

0

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Como se puede apreciar, se ha introducido ms clculo en el algoritmo, de manera se incrementa el nmero de iteraciones a realizar, en este caso sern 3N+1 siendo N la longitud del filtro. Por otro lado, el mayor coste computacional que conlleva este incremento es aceptable si lo comparamos con la mejora en la convergencia a la solucin deseada. Si bien el algoritmo LMS ya tena un coste de 2N+1 iteraciones, vemos que la propuesta del NLMS es aceptable de cara a aplicaciones reales. Si bien es cierto que deberemos hacer un estudio de las simulaciones para poder valorar ms objetivamente esto. La siguiente figura 4.7 a muestra las curvas de aprendizaje del algoritmo LMS

La convergencia inicial o comportamiento transitorio del algoritmo LMS ha sido investigado por varios investigadores. Sus resultados indican claramente que el tamao de paso debe reducirse en proporcin directa a la longitud del filtro.

LMS de paso variable (VSLMS)

Una vez se ha visto el LMS y el NLMS en los que el paso era fijo para una iteracin como mnimo, a continuacin se va a estudiar un algoritmo basado en el LMS, pero en el que el valor del paso es variable para cada valor del vector de coeficientes de filtro w(n). Dicho vector se expresara de la siguiente forma.

" E 1& "& E 2"& E '"& '"& "&. 6"& Donde g(n) es un vector que contiene los trminos del gradiente, x(n) es el vector de muestras de entrada y "& se puede calcular segn las expresiones (4.6) o (4.7) alternativamente segn la aplicacin y los recursos computacionales disponibles. es

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una constante positiva de valor reducido que tiene la finalidad de controlar los efectos que tiene provoca el gradiente (definido como ruidoso) en el proceso de actualizacin de los coeficientes.

"& " 1& E . '"'"&&. '"'" 1&&4.6 "& " 1& E . '"&. '" 1&4.7 Como en los casos anteriores el clculo del paso ser crtico, ya que si es demasiado grande, puede provocar que el sistema se vuelva inestable, por otro lado si es demasiado pequeo puede llegar a ocasionar que el sistema no llegue a converger a la solucin deseada antes de que entre la siguiente muestra a procesar. El mayor inconveniente de este mtodo es el mismo que se presentaba en el caso del LMS estndar, que era que se deba conocer la seal de antemano a fin de calcular el paso ptimo y como se ha visto para aplicaciones reales esto no ser posible, por lo tanto ser interesante obtener una solucin a esta problemtica.

A continuacin se presenta el algoritmo que se debera seguir para implementar este algoritmo sobre un soporte programable digital. En la figura 3.4. Se presenta el diagrama de bloques del algoritmo, en el cual se puede apreciar como este se basa en el algoritmo LMS con la diferencia que se ejecuta un proceso condicional en el que se evala el parmetro , a fin de fijar el valor del paso para una iteracin determinada.

Como se puede apreciar, este algoritmo tiene un coste computacional superior al NLMS, realizando 4N+1 iteraciones en calcular una muestra de salida, esto junto con el problema de tener que conocer la seal de antemano, hacen que no sea un algoritmo viable para aplicaciones reales. Debido a esto se desarrollara a continuacin un ltimo

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algoritmo basado el LMS y que soluciona el problema de tener que conocer la seal de entrada previamente.

LMS de paso variable normalizado (VSNLMS)

Como se menciono anteriormente el principal problema de de algoritmo VSLMS radica en la necesidad de conocer la seal de entrada para poder realizar un ajuste ptimo del paso, debido a esto aparece la necesidad de supeditar el valor del paso a la seal de entrada, de manera que este se adapte a esta de forma automtica en el momento que se recibe la muestra de entrada.

Se podra ver el VSNLMS como una extensin NLMS, ya que incorpora los mismos pasos bsicos con la salvedad de que el paso se actualiza en cada iteracin para cada uno de los coeficientes, mientras que en el caso del LMS el paso si bien si se actualizaba con cada iteracin, era el mismo para todos los coeficientes del vector de coeficientes del filtro. Otra similitud que se tiene con el NLMS es que el paso calculado, es inversamente proporcional al cuadrado de las muestras de entrada o lo que es lo mismo es proporcional a la potencia de la seal (o energa instantnea).

"& 12. "6"&. 6"& E &

Algoritmo BLMS (BLOCK LMS):

El algoritmo BLMS (block least mean-square) es una generalizacin del LMS. El trabajar as har una idea de cmo ser el futuro trabajo en la frecuencia; se puede considerar, por lo tanto, que es un puente entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia.

Entender este algoritmo resulta un poco ms complicado que los anteriores, ya que ahora se actualiza cada S muestras y no cada una como ocurra en anteriores algoritmos. Por lo tanto, para cada actualizacin se obtendrn S salidas y S errores. En algoritmos anteriores se introduca una muestra y se realizaban todas las operaciones necesarias para lograr el objetivo final (la cancelacin), pero ahora no se coge una nica muestra, sino un bloque de ellas. La dificultad radica en que ahora se tiene que trabajar con bloques, no solo hay un vector sino que hay varios con coeficientes diferentes.

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Para clarificar la comprensin de este algoritmo, srvale siguiente ejemplo, escenificado en la figura 2.3.1.1, donde la seal de entrada est representada en gris oscuro y los vectores con los que se va a trabajar en gris claro (estos vectores estn compuestos por muestras de la seal de entrada). El nmero de coeficientes que posee cada uno de estos vectores es de N+S-1=8+4-1=11. En la figura nombrada aparecen vector viejo y vector nuevo. Estos dos vectores estn relacionados entre s en que el nuevo posee N-S coeficientes iguales que el viejo (los N-S ms nuevos del viejo, que pasarn ahora a formar parte de los coeficientes ms antiguos del vector nuevo). Lo primero que hay que hacer es definir un vector que tenga tantos coeficientes como el filtro al que se le sumarn un nmero (aconsejable mltiplo de dos para su posterior adaptacin a la realizacin de FFT en base 2). Este vector se lo rellenar con muestras provenientes de la seal de entrada. Una vez obtenido este vector, el modo de operacin ser el mismo que hasta ahora, pero con algunas pequeas diferencias.

Cada vector con el que se va a trabajar tiene un nmero de muestras igual al nmero de coeficientes que tiene el filtro por el que tiene que pasar, ms cuatro muestras (en este caso hemos cogido este nmero, al que llamaremos S). Para poder convolucionar un vector de este tamao con un filtro que posee un tamao menor, se deben ir cogiendo subvectores que posean el tamao de este ltimo (como se muestra en la figura 4.9 donde los vectores grises estn compuestos por ocho muestras, el mismo nmero de coeficientes que nuestro filtro).

As pues, se podra decir que en realidad es como si se tuvieran cuatro vectores diferentes para cada intervalo de tiempo, compuesto cada uno por ocho muestras de la seal de entrada, conformando al final un total de 11 muestras. Una vez aclarado que se est trabajando con varios vectores a la vez (aunque algunos coeficientes de estos coincidan, se vern diferentes para una mayor claridad), al llegar en el algoritmo a la ecuacin del LMS, surge el problema de cmo utilizar el vector de entrada de N+S-1 coeficientes. El procedimiento para solucionar esto es el siguiente:

El error (e) obtenido para el primer vector de entrada (que ser un escalar), se multiplica por este vector. Esto dar otro vector de N coeficientes. La figura 4.9 muestra por bloques el proceso.

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Esto se hace para cada uno de los vectores de entrada, en nuestro caso 4, con lo cual se tendrn cuatro vectores de N coeficientes.

El siguiente paso consiste en sumar coeficiente a coeficiente de los vectores resultantes y cada uno de ellos multiplicarlos por el factor de convergencia . Despus de todo esto y por ltimo, se dividir cada uno de los coeficientes por cuatro, y ya se habr obtenido el vector que se deseaba.

?"&>"& .s8>"&

?"&>"&s8>"&

B?"&B>"&Bs8>"& Una vez que se dispone de los vectores de error, se puede proceder a calcular los coeficientes del filtro.

?"&>"& .s8>"& ?"&>"&s8>"&

?"&. 6?"&>"&. 6>"&Y8>"&. 6Y8>"&

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De este modo se obtienen S vectores de actualizacin, pero a la prctica, solo se desea uno por cada salida, por lo tanto se realizara el promediado de todos, de manera que se obtendr un solo vector de actualizacin del filtro.

" E 1& "&s8> Y8> E Cs8>"&. 6Y8>"& E .E?"&. 6?"&D La ventaja que incorpora este sistema es que se trabaja con muestras pasadas para generar la salida, al igual que se emplean muchas ms muestras de las que se utilizaran en el LMS normal. Esto implica que la seal reconstruida se adapte de forma muy fidedigna a la original, dando una alta convergencia y una buena estabilidad

En aplicaciones reales este ser idneo para trabajar, ya que permitir evitar efectos adversos debidos a los retardos introducidos por los sistemas de digitalizacin que le pasara los valores discretos al procesador digital de la seal, ya que se tardara menos tiempo en introducir en el DSP un vector largo que muchos vectores cortos que sumados nos dan el mismo tamao que el largo.

Algoritmo BNLMS (BLOCK LMS NORMALIZADO):

Al igual que los anteriores algoritmos, sencillamente, lo nico que hay que hacer es introducir el algoritmo para normalizar el factor de convergencia. Al igual que en los apartados anteriores la manera de normalizar este factor depende de la potencia de la seal de entrada. Ahora se tiene el problema aadido de trabajar en bloques (con varios vectores de la seal de entrada), como ya se ha sealado.

Se puede ver como los nicos bloques u operaciones que se introducen adicionalmente, son aquellos que realizan la potencia de la seal. Pero conseguir esta potencia, no influye para nada la dificultad de estar trabajando con varios bloques a la vez, ya que esta potencia, la calculando va calculando cada vez que se utiliza un vector, sin importar si se est en una iteracin o en otra, ya que la inversa de esta potencia (aunque no se le puede denominar exactamente potencia, ya que tiene otra serie de componentes, que, eso s, no influyen tanto como sta) es multiplicada por un factor muy pequeo (constante) y luego por la seal propiamente dicha, convirtindose en otro vector, con otras caractersticas, pero con el mismo nmero de coeficientes

Si se toman esta serie de molestias a la hora de hacer clculos, est claro que ser para conseguir algn beneficio en el objetivo final. Como se ver ms adelante, la diferencia estar muy clara cuando se comparen la msica y la voz, dos seales no peridicas, decantndose la balanza hacia el lado del algoritmo BNLMS, pues la ventaja de este algoritmo estriba en que calcula la potencia de la seal de entrada, y con ello se amortigua ms rpido cualquier cambio en la seal. Si a esto se le aade la estadstica que nos proporciona de por si el algoritmo BLMS (que mejora sensiblemente respecto del LMS), se podr concluir que este algoritmo, el BNLMS, es el ms indicado para este tipo de seales.

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Recursive Least Square (RLS)

Una vez visto el ltimo algoritmo adaptativo se puede pasar a estudiar el otro tipo de algoritmos adaptativos. Se trata del RLS, este algoritmo se basa en la estimacin de la solucin de Kalman (LMS lo haca en la de Wiener) y se fundamente en la minimizacin de la funcin de error (4.8) donde k hace referencia al instante inicial del sistema y lambda es una constante menor que 1que pondera la seal de error, al ser menor que uno da ms peso a las muestras ms recientes que a las ms antiguas.

"& 8="&> . .4.8

Este algoritmo destaca frente al LMS por sus buenas caractersticas de convergencia y de atenuacin, pero debido a su complejidad de clculo, se incrementa enormemente el coste computacional del sistema, lo que lo hace poco adecuado para aplicaciones de procesado en tiempo real. Otro inconveniente es que, un diseo errneo puede ocasionar que el sistema se vuelva inestable.

A continuacin se va a realizar la demostracin matemtica del algoritmo RLS. Para ello se van a definir un seguido de vectores con los que se trabajara posteriormente y a los cuales se les cambia la notacin utilizada hasta el momento para hacer ms comprensible el razonamiento seguido

En primer lugar se define y(n) como la salida del filtro FIR, donde n se corresponde al nmero de coeficiente de filtro con el que se trabaja.

B"& "&. 6"&

"& "& B"&

"& C"1&, "2&, . , "&D

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B"& CB"1&, B"2&, . , B"&D

"& C"1&, "2&, . , "&D "& "& B"&

6"& C6"1&, 6"2&, . , 6"&D

Partiendo de 4.8 podemos llegar fcilmente a 4.9

"& 8="&>

"&. "&. "&4.9

Donde se ha definido (n) como la matriz diagonal

"& 8> 0 0 00 8= 0 00 0 89 0 0 0 0 1

Sustituyendo los vectores de entrada definido anteriormente en la expresin 4.9 se puede expresar la funcin de error como:

"& "&. "&. "& . . . . B B . . E B . . B

. . . . "6 . & "6 . & . . E "6 . & . . "6 . &

. . 2. .< E

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Donde

"& 6"&. . 6"& "& 6"&. "&. "&

Si una vez obtenido esto, se aplica a la funcin de error (n) gradiente respecto al vector de coeficientes de filtro y forzando que esta sea cero, se puede encontrar el valor de coeficientes de filtro que hacen esta funcin mnima.

"& 8>"&. "&

La matriz 8> se podr encontrar aplicando el lema de la matriz inversa. Este paso es necesario para poder encontrar una expresin para la actualizacin del vector de coeficientes de filtro. A continuacin se muestra este desarrollo.

8>"& C6"&. "&. 6"&D8> 8> .8>" 1& E 6"&. 6"&

8>" 1& 8=8>" 1&6"&6"&8>" 1&1 E 8>. 6"&8>" 1&. 6"& 8>. 8>" 1& "&. 6"&8>" 1& . .4.10

Donde

"& 8>8>" 1&. 6"&1 E 8>6 . 8>" 1&. 6"&

8>"&. 6"&

El vector (n) de la ecuacin se puede expresar en funcin de los estados anteriores, de manera que aplicndolo en la ecuacin 4.10, se puede obtener la expresin de actualizacin de los coeficientes de filtro para el algoritmo RLS.

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"& . " 1& E 6"&. "&

"& 8>"&. "& 8>" 1&. " E 1& "&6"&. 8>" 1&. " 1& E "&. "&

" 1& "&. 6"&. " 1& E "&. "& " 1& E "&. ""& " 1&. 6"&&

"& " 1& E "&. "&

Donde

"& "& " 1&. 6"& Como se ha podido observar en la deduccin de la expresin de actualizacin del vector de coeficientes de filtro, la complejidad de clculo asociada a este algoritmo es muy superior a la de la familia de algoritmos adaptativos LMS. Debido a esto la implementacin software de este ser mucho ms complicada que la de su homologo LMS. A continuacin se va a presentar de la forma ms simplificada el proceso que se debera seguir para su programacin, mostrando primero el diagrama de bloques del algoritmo y posteriormente las expresiones matemticas que incluira cada bloque.

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Como ya se haba adelantado la complejidad del algoritmo RLS es bastante ms elevada que la del LMS, debido a esto el nmero de iteraciones a realizar por cada ejecucin hace que sea mucho ms lento que el LMS, ya que este algoritmo requerir multiplicaciones y sumas, de manera que el nmero de iteraciones totales del algoritmo por cada ejecucin. Esto hace que no sea una buena opcin para aplicaciones en tiempo real, ya que el tiempo de ejecucin para procesar una muestra podra superar tranquilamente el tiempo que separan a dos muestras, esto tambin podra ser provocado por una longitud excesiva de tamao del filtro. El tener un tiempo de ejecucin superior al tiempo que separan dos muestras provoca, que el sistema no pueda capturar la muestra, de manera que esta se perdera, de manera que si el procesado se realiza en tiempo real, dependiendo de la frecuencia de muestreo marcada por el teorema de Nyquist, se podra provocar un efecto de diezmado que redujera la frecuencia de muestreo por un ndice t y pudiendo ocasionar que est quedara por debajo de la mnima marcada por Nyquist, provocando un Aliasing que distorsionara la seal de entrada, haciendo imposible tratar la seal.

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El algoritmo anterior RLS se conoce como de Raz Cuadrada y presenta una complejidad de clculo de =. Por otro lado los algoritmos RLS en celosa presentan una complejidad de clculo de M. Bsicamente los algoritmos en celosa evitan las multiplicaciones de las matrices implicadas en el clculo del vector de ganancia Kalman 2K"&. Por consiguiente, los algoritmos resultantes tienen una complejidad que es proporcional a M (multiplicaciones y divisiones) y por tanto se denominan algoritmos RLS rpidos para los filtros FIR de forma directa.

Existen varias versiones de los algoritmos rpidos, que difieren en cuestiones menores, en las siguientes figuras se proporcionan dos versiones para seales complejas. La complejidad de clculo para la versin A es de 10M -4 multiplicaciones y divisiones complejas, mientras que la versin B tiene una complejidad de 9M+1 multiplicaciones y divisiones. Es posible conseguir una reduccin adicional en la complejidad del clculo a 7M el cual es denominado algoritmo FAEST (fast a posteteriori error sequential technique, tcnica rpida secuencial del error a posteriori) con una complejidad de clculo de 7M. se han propuesto otras versiones de estos algoritmos con una complejidad de 7M pero mucho de estos algoritmos son extremadamente sensibles al ruido de redondeo y presentan problemas de estabilidad, sin embargo otros autores han demostrado como estabilizar estos algoritmos rpidos (7M) con un incremento relativamente pequeo del numero de clculos.

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Una ventaja importante del algoritmo RLS en la forma directa sobre el algoritmo LMS es su rpida velocidad de convergencia este comportamiento caracterismo se muestra en la figura 4.1 y en la figura 4.2 se compara la convergencia RLS, LMS Y RLS rpida

La superioridad del algoritmo RLS en alcanzar ms rpidamente la convergencia es evidente. El algoritmo converge en menos de 70 iteraciones (70 muestras de seal), mientras que el algoritmo LMS no converge hasta las 600 iteraciones. Esta rpida velocidad de convergencia del algoritmo RLS es extremadamente importante en aplicaciones en las que los paramentaros estadsticos de la seal varan con el tiempo rpidamente.

A pesar de la velocidad de convergencia, los algoritmos RLS para el filtrado adaptativo FIR presenta dos importantes desventajas:

Complejidad de clculo. Los algoritmos de raz cuadrada tiene una complejidad de = los algoritmos RLS rapidos tienen una comlejidad de calculo

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Supresin de Ru

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