Matrices Elementales y Rango

Csar Barraza

Universidad Nacional de Ingeniera

Setiembre del 2013

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 1 / 12

Operaciones Elementales

Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuacin enunciamos

1 Intercambiar las filas (columnas) i y j

fi f j

2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0fi ! k fi

3 Aadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j

f j ! f j + k fi

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 2 / 12

Operaciones Elementales

Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuacin enunciamos

1 Intercambiar las filas (columnas) i y j

fi f j2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0

fi ! k fi

3 Aadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j

f j ! f j + k fi

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 2 / 12

Operaciones Elementales

Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuacin enunciamos

1 Intercambiar las filas (columnas) i y j

fi f j2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0

fi ! k fi3 Aadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j

f j ! f j + k fi

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 2 / 12

Matrices Elementales

DefinicinUna matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental por fila es llamada una matriz elemental.

EjemploLas siguientes matrices son matrices elementales0@ 0 0 10 1 0

1 0 0

1A : se obtiene intercambiando las filas 1 y 3 de I31 00 8

: se obtiene multiplicando por (8) la fila 2 de I2

1 03 1

: se obtiene sumando tres veces la fila 1 a la fila 2 de I2

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 3 / 12

Matrices Elementales

DefinicinUna matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental por fila es llamada una matriz elemental.

EjemploLas siguientes matrices son matrices elementales0@ 0 0 10 1 0

1 0 0

1A : se obtiene intercambiando las filas 1 y 3 de I31 00 8

: se obtiene multiplicando por (8) la fila 2 de I2

1 03 1

: se obtiene sumando tres veces la fila 1 a la fila 2 de I2

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 3 / 12

Matrices Elementales

NotaDebemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por filasobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m n, elproducto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la mismaoperacin elemental por fila sobre A

EjemploApliquemos la operacin elemental f2 ! f2 + 5 f3 a la matriz A definida por

A =

0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3

1A f2 ! f2 + 5 f3!

0@ 1 2 3 51 10 4 160 1 0 3

1ASea E la matriz elemental asociada a la operacin elemental, entonces

EA =

0@ 1 0 00 1 50 0 1

1A0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3

1A =0@ 1 2 3 51 10 4 16

0 1 0 3

1A

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 4 / 12

Matrices Elementales

NotaDebemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por filasobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m n, elproducto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la mismaoperacin elemental por fila sobre A

EjemploApliquemos la operacin elemental f2 ! f2 + 5 f3 a la matriz A definida por

A =

0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3

1A f2 ! f2 + 5 f3!

0@ 1 2 3 51 10 4 160 1 0 3

1ASea E la matriz elemental asociada a la operacin elemental, entonces

EA =

0@ 1 0 00 1 50 0 1

1A0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3

1A =0@ 1 2 3 51 10 4 16

0 1 0 3

1ACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 4 / 12

Inversa de una Matriz Elemental

TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas

1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E1 multiplica a la misma fila por1c

2 Si E intercambia dos filas, entonces, E1 los intercambia tambien3 Si E aade un multiplo de una fila a otra, entonces E1 resta el mismo multiplo

desde la misma fila a la otra

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 5 / 12

Inversa de una Matriz Elemental

TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas

1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E1 multiplica a la misma fila por1c

2 Si E intercambia dos filas, entonces, E1 los intercambia tambien

3 Si E aade un multiplo de una fila a otra, entonces E1 resta el mismo multiplodesde la misma fila a la otra

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 5 / 12

Inversa de una Matriz Elemental

TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas

1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E1 multiplica a la misma fila por1c

2 Si E intercambia dos filas, entonces, E1 los intercambia tambien3 Si E aade un multiplo de una fila a otra, entonces E1 resta el mismo multiplo

desde la misma fila a la otra

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 5 / 12

Inversa de una Matriz Elemental

De acuerdo a este teorema tenemos que:

1 Si fi ! c fi define a la matriz elemental E, entonces fi ! 1c fi define a lamatriz elemental E1

2 Si fi f j define a la matriz elemental E, entonces f j fi define a lamatriz elemental E1

3 Si fi ! fi + c f j define a la matriz elemental E, entonces fi ! fi c f jdefine a la matriz elemental E1

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 6 / 12

Inversa de una Matriz Elemental

De acuerdo a este teorema tenemos que:

1 Si fi ! c fi define a la matriz elemental E, entonces fi ! 1c fi define a lamatriz elemental E1

2 Si fi f j define a la matriz elemental E, entonces f j fi define a lamatriz elemental E1

3 Si fi ! fi + c f j define a la matriz elemental E, entonces fi ! fi c f jdefine a la matriz elemental E1

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 6 / 12

Inversa de una Matriz Elemental

De acuerdo a este teorema tenemos que:

1 Si fi ! c fi define a la matriz elemental E, entonces fi ! 1c fi define a lamatriz elemental E1

2 Si fi f j define a la matriz elemental E, entonces f j fi define a lamatriz elemental E1

3 Si fi ! fi + c f j define a la matriz elemental E, entonces fi ! fi c f jdefine a la matriz elemental E1

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 6 / 12

Foma escalonada por filas

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades

1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado a vaces el1 principal o pivote

2 Una fila cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero

3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha

EjemploLas siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por filas

0@ 1 0 20 1 10 0 1

1A 0@ 1 0 0 00 0 1 20 0 0 1

1A0BB@

1 0 2 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

1CCACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 7 / 12

Foma escalonada por filas

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades

1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado a vaces el1 principal o pivote

2 Una fila cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero

3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha

EjemploLas siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por filas

0@ 1 0 20 1 10 0 1

1A 0@ 1 0 0 00 0 1 20 0 0 1

1A0BB@

1 0 2 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

1CCACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 7 / 12

Foma escalonada por filas

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades

1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado a vaces el1 principal o pivote

2 Una fila cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero

3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha

EjemploLas siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por filas

0@ 1 0 20 1 10 0 1

1A 0@ 1 0 0 00 0 1 20 0 0 1

1A0BB@

1 0 2 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

1CCACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 7 / 12

Forma escalonada reducida por filas

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si1 Esta en su forma escalonada por filas

2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales acero.

EjemploLas siguientes matrices estan en su forma escalonada reducida por filas

A =

0@ 1 3 0 00 0 1 00 0 0 1

1A B =0BB@

1 0 0 00 0 1 20 0 0 00 0 0 0

1CCA

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 8 / 12

Forma escalonada reducida por filas

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a

cero.

EjemploLas siguientes matrices estan en su forma escalonada reducida por filas

A =

0@ 1 3 0 00 0 1 00 0 0 1

1A B =0BB@

1 0 0 00 0 1 20 0 0 00 0 0 0

1CCA

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 8 / 12

Inversa de una Matriz

TeoremaSea A una matriz de orden n n, entonces A es invertible si y solo si A es el productode matrices elementales.

Aplicacin: Sea A definido por

A =

2 11 2

Expresar A como un producto de matrices elementales

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 9 / 12

Inversa por el mtodo de Gauss-Jordan

Paso 1 Concatenar la matriz A y la matriz identidad del mismo ordenhA

... Ii

Paso 2 Mediante operaciones elementales llevamos la matriz A a laforma escalonda reducida, realizando las mismas operacionessobre la matriz identidadh

A... I

ioper. elem

hERA

... Bi

Paso 3 Si la forma escalonda reducida de A (ERA) es la matrizidentidad, entonces B es la matriz inversa de A. De lo contrarioA no posee inversa

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 10 / 12

Rango de una matriz

DefinicinEl rango de una matriz A de orden m n es definido como el orden (tamao)de la submatriz no-singular de A de mas alto orden

El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A)

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 11 / 12

Calculo del Rango mediante Operaciones Elementales

TeoremaEl rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operacioneselementales definidas previamente.

ProposicinEl rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas de su forma escalonadapor filas.

Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 12 / 12

Matrices ElementalesInversa de una matriz por matrices elementalesInversa por el mtodo de Gauss-Jordan

Rango de una Matriz