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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
La simetría como piedra angular
En una entrada prev ia titulada “Teoría del campo cristalino”, y a v imos cómo basta el efecto
del campo cristalino dentro de un cristal para romper, sin necesidad de tener que aplicarle
un campo magnético externo al cristal, la degeneración que hay en los niv eles de energía de
los orbitales atómicos 3d, dando lugar a dos niv eles energéticos nuev os designados como
t2 g y eg con los cuales, al ser absorbido un fotón ocasionando un salto energético entre
dichos niv eles, se dá origen a muchas de las propiedades cromáticas de los metales de
transición dependiendo de la separación energética que hay a entre estos dos niv eles
(distinguiéndose claramente entre un campo cristalino débil y un campo cristalino fuerte).
Pero el asunto de la ruptura de la simetría v a mucho más profundo aún que esto, y a que v a
al corazón mismo de la clasificación de las partículas elementales atómicas y sub-atómicas.
Lo que Eugene Wigner empezó en los años v eintes con la aplicación de la Teoría de Grupos y
los principios de la simetría a la recién formulada Mecánica Cuántica no fue más que el
principio de algo que terminó culminando en una nuev a rev olución en esta rama del
conocimiento humano, reforzada con la aparición de la Electrodinámica Cuántica llev ada a
cabo por Richard Fey nman. Pero de hecho, la elev ación de la importancia del concepto de
la simetría dentro de la física a un puesto de importancia preponderante y a había sido
realizado de una manera insospechada antes del adv enimiento de la Mecánica Cuántica
moderna por Emmy Noether, calificada por muchos como una de las más grandes mujeres
matemáticas de todos los tiempos, descubridora del famoso teorema que llev a su nombre,
el teorem a de Noether, un teorema que expresado informalmente nos dice que a cada
simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y v icev ersa. El teorema,
publicado en 1918 bajo el título Invariante Variationsprobleme, precedió por siete años al
descubrimiento de la Mecánica Matricial por Werner Heisenberg en 1925.
Es muy posible que Emmy Noether hay a sido influída en las inv estigaciones que la
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)
▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de ray os-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
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La Mecánica Cuántica
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condujeron al descubrimiento de su famoso teorema por la publicación de los trabajos de
Albert Einstein dando a conocer 13 años atrás (en 1905) la Teoría Especial de la Relativ idad
en la cual también se manejan rotaciones rígidas (ella estuv o presente en persona en una
conferencia dictada por Einstein exponiendo su Teoría de la Relativ idad, quedando
impresionada de cómo la dinámica de la física podía ser deriv ada de unos cuantos principios
bajo los cuales suby ace la simetría), pero llev ándose a cabo las rotaciones rígidas en un
espacio de cuatro dimensiones, el espacio relativ ista representado geométricamente
mediante los diagramas espacio-tiempo de Hermann Minkowski.
Si limitamos nuestro modo de pensar al punto de v ista de la física clásica, en donde el
espacio y el tiempo son conceptos absolutos, podemos imaginar a dos indiv iduos en reposo
el uno con respecto al otro, ambos observ ando un tercer objeto. Supongamos que ambos
hacen mediciones sobre este objeto relativ as a sus propias posiciones, decidiendo
comunicarse el uno al otro sus resultados. Puesto que cada uno de ellos hizo las mediciones
usando su propio sistema de coordenadas de medición, para que puedan comunicarse sus
resultados necesitan transformar o traducir las mediciones que hicieron en sus propios
sistemas de coordenadas al sistema de coordenadas usadas por el otro. La más general de
todas las transformaciones de coordenadas para dos indiv iduos que están en reposo
absoluto el uno con respecto al otro es un desplazamiento en línea recta a trav és del espacio
y una rotación de las coordenadas. Es fácil conv encerse a uno mismo que tales
desplazamientos y rotaciones cuando son descritos en forma algebraica obedecen los
axiomas de la Teoría de Grupos. La Teoría de Grupos y la simetría entran en el panorama
desde el mismo momento en que nos preguntamos cómo v arias mediciones efectuadas en
distintos sistemas de coordenadas se transforman de un sistema a otro, las ley es generales
de transformaciones espaciales y temporales.
Aunque en la discusión precedente hemos utilizado traslaciones y rotaciones en el espacio
tridimensional ordinario, con algo de reflex ión es posible “v er” cómo las mismas ideas
pueden ser generalizadas y aplicadas en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el
espacio-tiempo de Hermann Minkowski. Desde el punto de v ista puramente simétrico, el
contenido más profundo de la Teoría Especial de la Relativ idad de Einstein es que las ley es
de la física son inv ariantes únicam ente para operaciones de sim etría que
corresponden a traslaciones y rotaciones en un espacio-tiem po de cuatro
dim ensiones. Si imponemos rigurosamente este requerimiento de simetría (que equiv ale
a tomar la Teoría Especial de la Relativ idad como v álida), entonces descubriremos algo
sorprendente, que es lo mismo que lo que descubrió Eugene Wigner. Tras explorar este
aspecto de “grupo de simetría” de las transformaciones de Einstein aplicándolo a las
Vectores y matrices I
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observ ables compatibles e
incompatibles
Oscilador armónico simple: solución
matricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricial
I
Momento angular: tratamiento matricial
II
Momento angular: tratamiento matricial
III
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo de
hidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánica
matricial
La matriz momentum como generadora
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la Mecánica
Matricial
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partículas cuánticas, Wigner escribió un papel trascendental en 1939 demostrando cómo
las consideraciones puram ente m atem áticas de la T eoría de Grupos im plican
que las partículas cuánticas pueden ser clasificadas. En cierto modo, este logro de
Wigner tiene un parecido con el triunfo de una generación prev ia de científicos que lograron
clasificar todos los cristales posibles mediante el uso de grupos de simetría, los llamados
“grupos cristalinos” de retículas espaciales periódicas. Mientras que los cristales pueden ser
representados sobre retículas espaciales (este es un tema de estudio que compete a la Física
del Estado Sólido), objetos tales como las partículas cuánticas (o, para tal caso, cualquier
objeto, puesto que el objeto ex iste en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones) deben ser
representaciones de las simetrías correspondientes del espacio-tiempo de las
transformaciones de Einstein (mejor conocidas como las transformaciones de Lorentz).
Wigner demostró que esto conduce directamente a la clasificación de las partículas
cuánticas.
Dada la importancia del concepto de la simetría dentro de la Teoría Especial de la
Relativ idad y sus implicaciones profundas para la Mecánica Cuántica, antes de continuar
hablando sobre el trabajo llev ado a cabo por Wigner y sus sucesores v ale la pena hablar un
poco acerca de la esencia de la inv ariancia dentro de la Teoría Especial de la Relativ idad.
En la Teoría Especial de la Relativ idad, y como consecuencia directa de los dos postulados
fundamentales de la misma (el mov imiento absoluto no es detectable, la v elocidad de la luz
es la misma para todos los observ adores independientemente del mov imiento relativ o que
hay a entre ellos), se pierden irremisiblemente los conceptos del espacio absoluto y el
tiempo absoluto, de modo tal que las dimensiones espaciales de un v ector en un sistema de
tres coordenadas rectangulares Cartesianas no serán las mismas para observ adores
distintos que se muev en el uno con respecto al otro. La longitud del v ector tridimensional
clásico deja de ser inv ariante, el v ector deja de ser “rígido”. Sin embargo, si construímos un
v ector en cuatro dimensiones (un 4-v ector) de la siguiente manera (siendo la constante
que multiplica a la v ariable del tiempo igual a la v elocidad de la luz, la cual es elev ada en la
Teoría Especial de la Relativ idad a una cantidad inv ariante y absoluta):
ev entualmente encontraremos que es posible construír una matriz L (a la cual llamaremos
matriz de Lorentz) que cuando es aplicada a este 4-v ector puede cambiar sus componentes
Ev olución temporal de los sistemas
físicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación de
onda
Solución numérica de la ecuacion de
Schrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: solución
ondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflex ión de partículas I
Transmisión y reflex ión de partículas II
Transmisión y reflex ión de partículas III
Transmisión y reflex ión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre, rev isitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisisGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
indiv iduales pero dejando la longitud del 4-vector intacta. En este caso, definimos la
longitud de este 4-v ector -que permanecerá inv ariante- como una extensión del concepto
usual de longitud para un v ector tridimensional ordinario de la física clásica basado en el
Teorema de Pitágoras: la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes
(sin embargo, para el espacio relativ ista se requiere de una modificación que será discutida
más abajo). Aplicando la matriz L a un 4-v ector se obtienen las coordenadas para un
observ ador distinto:
Podemos dar a esta ecuación matricial una forma un poco más explícita haciendo resaltar el
hecho de que cualquiera de los componentes de la matriz L puede ser una función directa de
la v elocidad que hay a entre dos observ adores distintos:
¿Y cuál es la forma que tiene esta matriz L(v) cuando sus componentes son mostrados en
forma explícita? Ello depende del sentido del mov imiento sobre un sistema de coordenadas
espaciales que hay a entre los dos observ adores cuy as mediciones están siendo
correlacionadas de esta manera. Si ambos observ adores se están mov iendo el uno con
respecto al otro en relación al eje-x que supondremos común a ambos, la matriz de Lorentz
aparecerá de la manera siguiente en la ecuación matricial:
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio I
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio II
Momento angular orbital: funciones de
onda I
Momento angular orbital: funciones de
onda II
Polinomios de Legendre: aspectos
matemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angular
del spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
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siendo:
Naturalmente, si el mov imiento entre ambos observ adores se llev a a cabo (a la misma
v elocidad de arriba) con el v ector v elocidad definido no sólo a lo largo el eje-x sino a lo
largo de los tres ejes espaciales, la operación de transformación matricial será algo más
elaborada, tal y como se muestra a continuación:
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-
momentum I
El espacio-posición y el espacio-
momentum II
El espacio-posición y el espacio-
momentum III
El espacio-posición y el espacio-
momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de mov imiento de
Heisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:
equiv alencia
Ev olución temporal de las ondas de
materia I
Ev olución temporal de las ondas de
materia II
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Por simplicidad, mantendremos el mov imiento relativ o entre los dos observ adores sobre el
eje-x . Con esto en mente, no presenta dificultad alguna el v er cómo se contruy e la matriz de
Lorentz. Se contruy e en forma directa a partir de las transform aciones de Lorentz:
En el uso de la matriz L , hay algo que nos interesa sobremanera: el hecho de que la m atriz
de Lorentz L es ortogonal. Si al llev ar a cabo una rotación del 4-v ector con la matriz de
El operador de traslación
El operador de ev olución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg y
Schrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
El teorema v irial
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Lorentz la longitud del 4-v ector sigue siendo la misma, entonces no se puede concluír otra
cosa más que el hecho de que la matriz como operador de rotación es una matriz ortogonal
4x4. Obsérv ese que, para esto, hemos estirado el concepto matemático de ortogonalidad
del espacio tri-dimensional de la física clásica al espacio 4-dimensional relativ ista.
Si restringimos la v elocidad del mov imiento relativ o entre los dos sistemas de coordenadas
(entre dos observ adores distintos) a un eje-x común a ambos observ adores, de modo tal
que v .=.(vx ), entonces toda la acción que realmente nos interesa está restringida a una
matriz de Lorentz L 2x2. Si esta matriz produce una rotación en un 2-v ector espacio-
tiempo, se dá por hecho la ex istencia de una matriz de Lorentz inv ersa L-1 . que produzca el
efecto contrario. Podemos determinar esta matriz inv ersa de la manera usual que se
aprende en un curso elemental de Álgebra Lineal, asignándole a la matriz L-1 entradas p, q, r
y s a ser determinadas, y pre-multiplicando o post-multiplicando esta matriz L-1 por la
matriz L a sabiendas de que una operación de rotación seguida de la operación de rotación
inv ersa debe dejar las cosas como estaban originalmente sin cambio alguno:
Esta ecuación matricial nos produce un sistema de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas a
ser resuelto por el método de ecuaciones simultáneas, la regla de Cramer (determinantes) o
cualquier otro método de nuestra elección. Sin embargo, podemos recurrir a un truco para
determinar de una manera mucho más rápida y mucho más segura y efectiv a la matriz
inv ersa de Lorentz L-1 . Podemos recurrir a los criterios de simetría. Para la interpretación
apropiada de la matriz de Lorentz en la Teoría Especial de la Relativ idad, suponemos dos
observ adores distintos O y O’ mov iéndose a una v elocidad relativ a vx el uno con respecto al
otro. En las transformaciones del sistema de coordenadas de O al sistema de coordenadas de
O’ podemos suponer que la v elocidad vx es la v elocidad a la cual el observ ador O que se
supone a sí mismo en reposo v e que se está mov iendo el marco de referencia (sistema de
coordenadas) en donde v iaja O’. Sin embargo, la Teoría Especial de la Relativ idad no
establece un observ ador priv ilegiado, de modo tal que desde el punto de v ista del
Espectroscopías de resonancia
magnética I
Espectroscopías de resonancia
magnética II
Espectroscopías de resonancia
magnética III
Espectroscopías de resonancia
magnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondas
esféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativ ista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores de
conv ersión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A RMA NDO MA RTÍ NEZ
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observ ador O’ él es el que se puede suponer a sí mismo en reposo, imaginando que el
observ ador O es el que está en mov imiento en su marco de referencia. Las ecuaciones de
transformación de su marco de referencia al marco de referencia de O deben ser casi las
mismas, y a que son completamente simétricas, excepto por un detalle: el observ ador O’ v e
al observ ador O mov iéndose a una v elocidad vx que apunta en sentido contrario al sentido
(positiv o) de la v elocidad usado por O en sus ecuaciones de transformación. Esto implica
que el observ ador O’ debe utilizar no una v elocidad positiv a vx sino una v elocidad negativ a,
o sea -vx , lo cual a su v ez implica que:
Obsérv ese que, con un cambio ligero de notación, este enunciado es exactamente el mismo
que el que usamos en los operadores de rotación de la Mecánica Cuántica cuando afirmamos
que un operador de rotación inverso produce un efecto de giro en un ángulo de signo
opuesto al giro usual con el que se especifica el operador de rotación ordinario.
Si las ecuaciones de transformación para O’ son las mismas que las de O excepto por el signo
de la v elocidad, entonces la configuración de la matriz inv ersa prácticamente nos salta a la
v ista, y a que si la matriz de Lorentz L 2x2 es:
entonces la matriz de Lorentz inversa L-1 que especifica la operación de rotación inv ersa
(en el espacio relativ ista) debe ser:
TÉLLEZ
V E R TODO MI P E R FIL
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De este modo, con el simple expediente de recurrir a los criterios esenciales de la simetría,
nos hemos ahorrado el trabajo de tener que resolv er un sistema de ecuaciones simultáneas
en cuatro incógnitas para determinar la matriz inv ersa L-1 . Naturalmente, puede quedar la
duda de que el resultado obtenido realmente sea la respuesta correcta, lo cual podemos
v erificar de modo directo:
Puesto que los productos de las matrices son asociativ os, las matrices de Lorentz 4x4 queGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
Puesto que los productos de las matrices son asociativ os, las matrices de Lorentz 4x4 que
definen a las rotaciones de los 4-v ectores en la Teoría Especial de la Relativ idad cumplen
automáticamente con la propiedad de asociativ idad. Y y a v imos que a toda matriz de
Lorentz le corresponde una matriz inv ersa con la cual se produce la matriz identidad. Esto
resulta suficiente para afirmar que las m atrices de Lorentz form an un grupo
m ultiplicativ o, reflejando las relaciones de simetría inherentes dentro de la Teoría
Especial de la Relativ idad. Y por tratarse de matrices continuas que dependen del
parámetro continuo v elocidad, esto es, son L(v), lo que estamos manejando a fin de cuentas
en la Teoría Especial de la Relativ idad v ienen siendo grupos de Lie. El concepto de la
inv ariancia, y por lo tanto, la esencia de la misma simetría, están en el corazón de la Teoría
Especial de la Relativ idad.
Dejando atrás la matriz de Lorentz 2x2 y regresando a la matriz de Lorentz 4x4, las
rotaciones que llev ará a cabo sobre un 4-v ector dejarán la longitud del v ector intacta, del
mismo modo en que las rotaciones que produce una matriz ortogonal 3x3 en un espacio de
tres dimensiones dejan intacta la longitud del v ector. Sin embargo, tenemos que tener aquí
mucho cuidado, porque ello dependerá de la forma en la cual se defina la “longitud de un 4-
v ector en el espacio relativ ista. En la física clásica, la longitud de un v ector r(x ,y ,z) en el
espacio de tres dimensiones se define, recurriendo a la aplicación del Teorema de Pitágoras,
como igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes de dicho
v ector sobre los tres ejes coordenados rectangulares Cartesianos. Sin embargo, si tratamos
de aplicar esta receta sin cambio alguno, no v eremos la inv ariancia por ninguna parte. Para
que la longitud de un 4-v ector permanezca inv ariante tras llev arse a cabo un cambio en el
sistema de coordenadas, es necesario redefinir el cuadrado de la longitud de dicho v ector de
una manera como la siguiente (obsérv ese el signo negativ o que precede a la parte que
corresponde a la v ariable del tiempo):
Esta es la misma conclusión a la cual llegó Hermann Minkowski para poder darle una
interpretación geométrica a la Teoría de la Relativ idad. Este sería el cuadrado de la longitud
de un 4-v ector “medida” por un observ ador O dentro de su marco de referencia. Si otro
observ ador O’ en su marco de referencia concuerda en utilizar también esta misma
definición, en cuy o caso:
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entonces, con un poco de álgebra, y usando las transformaciones de Lorentz que se han
definido arriba, no cuesta mucho trabajo demostrar que:
En palabras, esto implica que las rotaciones llevadas a cabo con una matriz de Lorentz
dejarán intacta la longitud de un 4-vector siempre y cuando la longitud de ese 4-vector se
defina de la manera en que se ha estipulado arriba.
Puesto que otra manera de obtener el cuadrado de la longitud de un v ector en la física
clásica es tomando el producto punto del v ector consigo mismo, para que esto se pueda
lograr también dentro de la Teoría de la Relativ idad se v uelv e necesario modificar un poco
la definición que se le ha dado al 4-v ector:
agregándole el símbolo del número imaginario i al primer componente del v ector:
Esto fue precisamente lo que hizo Minkowski. De este modo, si se toma el producto punto
del 4-v ector renglón con el 4-v ector columna se obtiene el cuadrado de la longitud del 4-
v ector relativ ista en la forma en la cual permanece inv ariante:
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La inclusión de números imaginarios puede parecer poco satisfactoria para quienes han
estado acostumbrados a trabajar con la mecánica clásica. Y de hecho, al estudiar más a
fondo el tema de la Teoría de la Relativ idad, se llega a la conclusión de que el número
imaginario i que Minkowski le metió al componente temporal del 4-v ector sale sobrando si
el signo negativ o es proporcionado por algo conocido como el tensor métrico , que v iene
siendo el paso necesario para poder ev olucionar de la Teoría Especial de la Relativ idad a la
Teoría General de la Relativ idad. Representando al tensor métrico como εij, el cuadrado de
la longitud del 4-v ector relativ ista mejor conocido como el intervalo relativista, en la
métrica Lorentziana que corresponde a un espacio-tiempo plano (en contraste con otras
métricas utilizadas para representar espacios-tiempo curvos), se escribe de la siguiente
manera que nos libera de la poco apetecible opción de tener que estar contemplando
números imaginarios:
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Volv amos ahora al asunto sobre cómo Wigner, suponiendo a las partículas cuánticas como
objetos que por ex istir en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones deben ser
representaciones de las simetrías correspondientes del espacio-tiempo de las
transformaciones de Einstein, demostró que esto conduce directamente a la clasificación de
las partículas cuánticas. Primero, Wigner demostró que toda partícula cuántica puede ser
clasificada de acuerdo a su masa en reposo. En la Teoría Especial de la Relativ idad, la masa
no es una cantidad que permanezca inv ariante. Pero podemos imaginar que si la partícula
está en mov imiento entonces nos mov emos hacia ella hasta alcanzarla de modo tal que la
partícula estará en reposo frente a nosotros. Por otro lado, si la masa en reposo de la
partícula es exactamente igual a cero, como ocurre en el caso del fotón, el cuanto de la luz,
siempre se estará mov iendo a la v elocidad de la luz y nunca podremos alcanzarla porque la
v elocidad de la luz es la misma siempre. De este modo, todas las partículas pueden ser
clasificadas de acuerdo a su masa en reposo, sea no no igual a cero.
El trabajo de Wigner permite la ex istencia de taquiones, partículas hipotéticas que
siempre se están mov iendo a una v elocidad superior a la v elocidad de la luz. Los taquiones
jamás han sido observ ados, y hasta la fecha nadie ha tenido éx ito en formular una teoría
matemática consistente de taquiones interactuantes. Gerald Feinberg, el físico que bautizó a
los taquiones como tales, alguna v ez le comentó al físico escritor Heinz Pagels que el único
lugar en donde los “taquiones” podían ser encontrados era en el diccionario.
El segundo principio importante de clasificación de Wigner es que toda partícula cuántica
tiene que tener un spin bien definido. Imaginando a las partículas cuánticas como pequeños
trompos en mov imiento continuo, este spin, en unidades especiales, podría tener
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únicamente los v alores 0, 1/2, 1 , 3/2, 2, 5/2, 3, etc., y a sea un v alor entero o medio-entero,
pero tenía que estar cuantizado. Si alguna vez se llegara a descubrir una partícula con un
spin, digamos, de 1/6 ó de 2/5 (por ejemplo), ello implicaría una violación directa de la
Teoría Especial de la Relatividad y un colapso bastante serio de las leyes de la física. Las
partículas con spin entero -0, 1 , 2, 3, etc.- son lo que llamamos bosones, mientras que las
partículas cuy o spin es un medio entero, 1/2, 3/2, 5/2, etc., son lo que llamamos
ferm iones, lo cual es una distinción importante porque cada conjunto de partículas con
spin reacciona con partículas del otro conjunto de manera diferente. A modo de ejemplo, el
número de fermiones que entra a tomar parte en una reacción tiene que ser igual al número
de fermiones que deja la reacción, lo cual podríamos considerar como un principio de
conservación de fermiones. Pero no ex iste una ley de conserv ación semejante que se
aplique al caso de los bosones.
Desde el punto de v ista de la Mecánica Cuántica, el significado del sistema de clasificación
concebido por Wigner en 1939 radica en el hecho de que las div ersas propiedades que
utilizó para la clasificación de las partículas cuánticas (su masa, su spin, etc.) no están
sujetas al principio de incertidumbre de Heisenberg. Uno puede medir simultáneamente la
masa y el spin de una partícula con absoluta precisión. Se trata de observables compatibles.
Por lo tanto tales propiedades (mas no así otras) tienen v alores para cada partícula en los
cuales no hay ambigüedad alguna, los podemos v er como los atributos de las partículas.
Wigner fundamentó su trabajo en la idea de que las transformaciones de Einstein eran un
grupo de simetría del espacio-tiempo cuatridimensional de Minkowski, una de las
aplicaciones más fructíferas de los principios de simetría a la física moderna de las
partículas. Fue una idea particularmente útil al ser aplicada a sistemas multi-partículas (por
ejemplo, el núcleo atómico, compuesto de muchos protones y neutrones). La importancia
de la idea de Wigner radica en que una v ez que se ha impuesto el requerimiento algebraico
de un grupo de simetría en una descripción matemática del mundo real, automáticamente
se implicaba con ello que no sólo los principios esenciales de la Teoría Especial de la
Relativ idad tenían que ser obedecidos, sino que todas las partículas en un mundo tal podían
ser clasificadas de una manera sencilla.
El mismo Eugene Wigner identificó la aplicación de la Teoría de Grupos al estudio de las
partículas elementales como la tercera etapa de la Teoría de Grupos y la física. La primera
etapa consistió en la esencia de la cristalografía, la búsqueda de los 32 grupos puntuales
distintos y los 230 grupos espaciales con que se clasifican las simetrías de los cristales. La
segunda etapa fué la búsqueda de representaciones de grupo tales como SU(2). En la tercera
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etapa, expandiendo la Teoría del Campo Cuántico, los físicos regresaron a la búsqueda de
grupos.
¿Puede entonces considerarse el tema de la simetría en su explicación de los fenómenos que
ocurren en el mundo sub-microscópico como algo más fundamental aún que inclusiv e las
mismas relaciones de conmutación de Born para el momento angular? Una cantidad
considerable de físicos parece haber adoptado este punto de v ista filosófico que es lo que
está guiando los pasos más recientes de la inv estigación científica. Gracias a la Mecánica
Cuántica como el lenguaje del mundo sub-microscópico, la simetría y la Teoría de Grupos
han estado jugando un papel cada v ez más importante en la interpretación de los fenómenos
físicos, y en su libro Perfect Symmetry el Profesor Heinz Pagels adopta precisamente este
punto de v ista bajo el cual todo deriv a de relaciones de simetría, partiendo de una simetría
perfecta (el punto de origen del Univ erso, un v acío total y absoluto considerado como la
simetría más perfecta que pueda ser concebida en todos sentidos) que sería altamente
inestable. Lo que está ocurriendo ahora desde la “Gran Explosión” (Big Bang) sería la
consecuencia de una ruptura de la simetría inicial, av anzando del may or orden posible
hacia el desorden. Este punto de v ista filosófico concuerda con las conclusiones de la
Termodinámica que basadas en consideraciones de carácter estadístico indican que todos
los sistemas av anzan naturalmente e irreversiblemente del orden hacia el desorden.
Si el concepto de la simetría es fundamental para poder explicar muchas cosas, el concepto
de la ruptura de la sim etría también lo es. Un ejemplo introductorio frecuentemente
citado para la ruptura espontánea de la simetría que ocurre cuando el estado basal de un
sistema no comparte la simetría completa de la teoría suby acente es el ferromagneto
isotrópico mejor conocido como ferromagneto de Heisenberg. Podemos imaginar a un
imán como algo que consiste de muchos dominios magnéticos pequeños que para nuestros
propósitos podemos imaginar como pequeñas agujas de un compás, pequeñas barritas de
imán piv otando libremente en todas direcciones. Supóngase que dejamos caer al azar sobre
la superficie de una mesa miles de esas pequeñas agujas, cada una de ellas libre para
mov erse en cualquier dirección. Imaginemos también que la mesa está completamente
aislada del campo magnético de la Tierra, de modo tal que no hay campo magnético exterior
alguno cubriendo la mesa, así que el único campo magnético al cual responderá una aguja
de compás será al campo magnético neto producido en donde se le ponga por sus v ecinos
cercanos que están sobre la mesa. Al principio, todas las agujas apuntan en direcciones al
azar. El campo magnético neto producido por todos los pequeños imanes orientados al azar
será en promedio igual a cero porque todos sus campos se substraen (v ectorialmente) tan
frecuentemente como se suma. Puesto que no hay ningún campo magnético neto, si leGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
diéramos una rotación al plano de la mesa encontraríamos que no hay una dirección
preferida Norte-Sur. La situación física es por lo tanto rotacionalmente invariante, o
simétrica, sobre el plano de la mesa. Supóngase ahora que nos las arreglamos para orientar
un montón de los pequeños imanes en una región de la mesa de modo tal que apunten hacia
una misma dirección, produciendo su propio campo magnético neto . Podemos lograr esto
introduciendo un campo magnético fuerte B momentáneamente en esa región, y tras esto
remov iéndolo. El campo magnético aplicado sobre una región pequeña hará que todas las
agujas en esa región pequeña queden orientadas en una misma dirección, la del campo
magnético B que se aplicó. Pero este campo magnético sobre la mesa producido por las
agujas de compas alineadas hará también que las demás agujas circundantes se v ay an
orientando en la misma dirección, hasta que todas las agujas de compás que hay sobre la
mesa estarán apuntando en una misma dirección, todo lo cual se puede describir con el
siguiente gráfico animado:
De este modo, la sim etría rotacional original se ha roto porque y a hay una dirección
norte-sur preferida sobre todas las demás direcciones posibles, la dirección del campo
magnético neto. Más aún, y esto es lo sorprendente, la nuev a configuración de todas las
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agujas pequeñas (la simetría rotacional rota) es claramente la configuración estable, la
anterior configuración no lo era. Si cambiamos manualmente la orientación de una o dos de
las agujas, una v ez soltadas giraran de nuev o hacia su orientación original (la del campo
magnético neto local). El ferromagneto de Heisenberg ilustra las ideas básicas de la ruptura
espontánea de la simetría: aunque la situación física original es sim étrica, es
inestable; m ientras que la situación de la sim etría rota es estable.
Podemos v er al ferromagneto de Heisenberg de una manera un poco más técnica y formal
considerándolo compuesto de un arreglo de spins anexados a los sitios de una retícula bi-
dimensional, descrito por el operador Hamiltoniano de Heisenberg (en la literatura v ieja es
conocido como el Hamiltoniano Heisenberg-Dirac) que está definido sobre un plano en dos
dimensiones (el plano sobre la mesa en el gráfico animado de arriba) de la siguiente manera:
en donde Si y Sj representan los spins atómicos en el sitio (i,j) de la retícula, siendo rij el
radio v ector que une a los sitios i y j, y en donde J(rij) es la integral de intercambio
(también identificada como la constante de acomplamiento) para los átomos ubicados en i
y en j, representando la fuerza de la interacción (la suma es multiplicada por 1/2 para ev itar
una doble sumación, habiendo algunos autores que omiten este factor de 1/2, lo cual está
bien siempre y cuando se tenga en mente que la sumación es sobre i y j de modo tal que i es
menor que j). Este Hamiltoniano es deriv ado del Hamiltoniano de intercambio para la
molécula de hidrógeno, esto es, para Si.=.1/2 únicamente, pero en v irtud de que predice
correctamente el estado basal de cualquier ferromagneto y proporciona una buena
descripción del espectro de energía cerca del estado basal, el Hamiltoniano de Heisenberg
es considerado como conducente a resultados físicamente razonables a temperaturas
suficientemente bajas también en el caso de un v alor de S arbitrario (por temperaturas
suficientemente bajas queremos decir una temperatura mucho menor que la temperatura
crítica, arriba de la cual el orden magnético del ferromagneto se desv anece.) La fuerza de
interacción J cae rápídamente conforme la distancia se v uelv e grande. Si J es positiv a,
entonces el estado de energía más baja será aquél en el cual todos los spins estarán
alineados, lo cual está representado en la figura (a) que corresponde a un estado basal del
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ferromagneto:
Llev ando a cabo una rotación simultánea de todos los estados producirá otro estado basal,
con la misma energía que el estado anterior, lo cual está representado en la figura (b). Pero
en el caso en el cual hay ondas de spin en donde una rotación periódica espacialmente
dependiente de baja energía es aplicada a todos los spins, se tiene la situación indicada en la
figura (c). Una consecuencia importante de la ruptura espontánea de la simetría de una
simetría continua como esta es que hay excitaciones cuy a energía tiende a cero en el límite
de una longitud de onda de spin grande. Puesto que no se requiere de gasto alguno en
energía para girar todos los spins de (a) a (b), se requiere de muy poca energía para efectuar
un cambio periódico con una longitud de onda larga. Este es precisamente el contenido de
un teorema de la Teoría del Campo Cuántico conocido como el teorem a de Goldstone, el
cual dá origen a las partículas conocidas como bosones Goldstone o bosones Nambu-
Goldstone. En el estudio de este tema, ev entualmente sale a relucir como paradigma un
potencial conocido como el potencial sombrero mexicano:
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Obsérv ese que las coordenadas en función de las cuales está dado el potencial V(φ) son la
parte real Re(φ) y la parte imaginaria Im(φ) de φ. En la Teoría del Campo Cuántico , la
relación que describe a este potencial es la siguiente:
El mínimo del potencial del sombrero mexicano se ubica en:
No resulta difícil v er (intuitiv amente) cómo es que se rompe la simetría. Imaginemos a una
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partícula puesta en la parte central del potencial. Esta es la ubicación más simétrica de todas
las ubicaciones posibles, para la cual:
Sin embargo, es la más inestable. Ninguna partícula puesta en la punta del sombrero durará
allí una cantidad de tiempo indefinido, y a que bastará la menor perturbación para
desplazarla de su posición original el infinitésimo que se requiere para romper la simetría,
haciéndola caer a otra posición menos simétrica pero ciertamente más estable:
La posición a la cual ha caído la partícula es la siguiente:
Pero igualmente podría haber caído a la posición:
De hecho, podría haber caído a una cantidad infinitamente grande de posiciones posibles.
El uso más profundo de la simetría fue descubierto alrededor de 1954, y su aplicación a la
física no fue logrado sino hasta 1968. Este descubrimiento fue la teoría de campos-gauge
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no-Abeliana (no conmutativ a) llev ado a cabo por los teóricos Chen Ning Y ang y Robert
Mills. La idea básica propuesta por ellos consiste en generalizar la noción de una simetría
interna. Supóngase que se tiene un campo de tres componentes, de modo tal que a los dos
componentes que llamamos rojo y azul agregamos un tercer componente llamado
“amarillo”. Podemos imaginar que rojo, azul y amarillo corresponden a los tres ejes en un
“espacio interno” tridimensional. La operación interna de simetría correspondería a llev ar a
cabo una rotación arbitraria en este espacio tridimensional de los componentes. Si giramos
los ejes matemáticamente en este espacio interno, entonces los componentes rojo, azul y
amarillo son girados en el mismo grado. Si cuando hacemos esto la energía total del campo
permanece inalterada, entonces hay una simetría presente. En este caso hablamos de una
“simetría interna global”, porque los mismos componentes distintos del campo han sido
girados al mismo grado sobre todo el espacio físico.
Ahora imaginemos, como lo hicieron Y ang y Mills, que en v ez de girar los componentes del
campo al mismo grado, permitimos que la rotación de los componentes del campo v aríen de
un punto a otro en el espacio físico. Esto es conocido como una operación de “simetría
interna local.” porque difiere localmente, de punto a punto, y no es igual sobre todo el
espacio. Pero al hacer esto encontramos que la energía total del campo ha cambiado de
modo tal que la simetría inicial se ha perdido.
Y ang y Mills descubrieron que la simetría perdida podía ser sorprendentemente restaurada
si se introduce otro campo multicomponente, llamado el campo gauge no-Abeliano , en el
espacio real. Perimtiéndole a este campo multicomponente también girar sus v arios
componentes del uno hacia el otro de un punto a otro en el espacio real, se logra restaurar la
simetría perdida. El papel que desempeña el campo gauge es que compensa la pérdida de
simetría cuando se hace una rotación local de la rotación global interna. Vemos entonces
que la ex istencia de una simetría interna local (una rotación entre los componentes del
campo a la cual se le permite v ariar de un punto a otro en el espacio físico) tiene como
consecuencia un campo nuev o, el campo gauge. La existencia de los cam pos gauge
(pronúnciese “geish”) puede por lo tanto ser deducida exclusiv am ente de los
requerim ientos de sim etría. De esta conclusión dramática, anteponiendo el concepto
de simetría inclusiv e al concepto del campo, deriv a la may or parte del esfuezo inv estigativ o
contemporáneo en la Teoría del Campo Cuántico Relativista.
Cuando Y ang y Mills escribieron su papel en 1954, no recibió mucha atención por parte de
la comunidad científica. Los físicos admiraban el hermoso papel desempeñado por los
principios de simetría que utilizaba, pero no v eían la manera en la cual estas ideas podían
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ser aplicadas a los problemas con los cuales estaban batallando, los problemas de formular
teorías realistas de la interacción nuclear fuerte y la interacción débil. Había dos
dificultades de carácter teórico que se interponían en la aplicación del concepto del campo
gauge a la física de las partículas cuánticas. La primera era era el problema de
renormalización (una técnica para reacomodar cantidades infinitas v olv iéndolas finitas). La
teoría del campo gauge no-Abeliano no se prestaba no se prestaba fácilmente a las técnicas
de renormalización que trabajaban tan bien en el caso de la electrodinámica cuántica. Esta
dificultad fue solv entada hasta principios de los años setenta cuando los físicos teóricos,
recurriendo a v arios trucos nuev os, demostraron que la teoría del campo gauge Y ang-Mills
también era renormalizable. La otra dificultad era que en ninguna parte de la Naturaleza era
aparente el tipo de simetría Y ang-Mills. Los teóricos creían que si la teoría Y ang-Mills era
exacta, entonces los cuantos del campo correspondiente (las partículas) tenían que carecer
de masa. Ninguna de las partículas observ adas experimentalmente parecían poseer las
propiedades requeridas de los cuantos Y ang-Mills (los gluones). Hoy sabemos el por qué de
esto. Las simetrías del campo Y ang-Mills no aparecen directamente en la Naturaleza.
Aparecen, en cambio e indirectamente, de dos maneras: pueden ser simetrías
completamente exactas pero ocultas, o pueden ser simetrías rotas. Se ha comprobado
mediante cálculos llev ados a cabo con la ay uda de super-computadoras (hay problemas que
sólo pueden ser resueltos numéricamente y de esta manera) que si la simetría Y ang-Mills es
exacta, entonces la simetría permanecerá totalmente oculta, no podrá ser observ ada; todos
los componentes del campo que son transformados bajo la operación de simetría (como los
componentes rojo, azul y amarillo) tendrán a las partículas cuánticas con las cuales están
asociados confinadas a una región pequeña del espacio, sin aparecer en experimentos de
laboratorio como partículas v erdaderas. Permanecen ligadas formando una bolsa o pelotita,
una partícula con masa. Estos últimos objetos sí ex isten y son observ ados, corresponden a
los hadrones, partículas que interactúan fuertemente como el protón y el neutrón. Lo
importante en todo caso es que una simetría exacta Y ang-Mills implica un confinamiento
de los cuantos asociados con el campo, y esta es la razón por la cual estos cuantos no son
observados en la Naturaleza.
La otra posibilidad para el campo Y ang-Mills es que la simetría se rompa espontáneamente,
lo cual requiere que las ecuaciones de campo posean la simetría más no asi las soluciones a
las ecuaciones de campo. Puesto que son las soluciones a las ecuaciones de campo las que
describen el campo real de las partículas cuánticas, se concluy e que en el mundo real la
simetría original se rompe, y esta es la razón por la cual no podemos v er esta simetría
original. La primera sugerencia de que las simetrías de campo pueden romperse de manera
espontánea prov ino del trabajo de Peter Higgs, un físico escosés, cuy a idea fue laGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
introducción de un nuev o campo al campo gauge que hoy en día es conocido como el
campo Higgs, el cual posee masa pero carece de spin. La v irtud del campo Higgs es que los
físicos lo pueden utilizar matemáticamente para estudiar en gran detalle los procesos de
ruptura de la simetría. En cierto sentido, el campo Higgs es el “ruptor de la simetría”.
Mediante la introducción adecuada del campo Higgs uno puede demostrar
matemáticamente que la solución a las ecuaciones de campo que preserv a la simetría se
v uelv e inestable. La solución inestable es como un lápiz balanceándose sobre su punta, es
cilíndricamente simétrica con respecto al eje en el que se balancea, pero inestable. El más
pequeño empuje lo env iará a una configuración más estable pero más asimétrica. El campo
Higgs, al igual que el lápiz, escoge la solución de la simetría estable pero rota. La ruptura de
la simetría en el campo Higgs afecta también a los campos gauge Y ang-Mills, rompiendo la
simetría de los mismos. Los campos Y ang-Mills en una situación exactamente simétrica
carecen de masa, pero cuando la simetria gauge se rompe, algunos de estos campos gauge
que prev iamente carecían de masa adquieren una masa. En el caso del modelo electro-débil,
tales cuantos de campos gauge con masa corresponden a las partículas W y Z descubiertas
experimentalmente en 1983 en CERN. Y tienen grandes masas, más de 90 v eces la masa del
protón, una consecuencia directa de la simetría rota. Sorprendentemente, las masas
observ adas de las partículas W y Z correspondieron a los cálculos predichos por la teoría,
dándole a los teóricos un aumento considerable en autoestima y confianza. Son raras las
v eces en los tiempos modernos en las que los teóricos tienen tal placer de v er a las ideas
matemáticas abstractas realizarse con tal perfección.
El concepto de la simetría en la Mecánica Cuántica es tan esencial, tan fundamental, que ha
sido llev ado al extremo por un grupo creciente de teóricos que han estado trabajando con
algo que se conoce como la supersim etría (abrev iada en la literatura como SUSY , del
inglés SUper-SY mmetry). Este concepto tomó relev ancia precisamente a partir del trabajo
de Peter Higgs que ha sido mencionado arriba. Para tomar una mejor idea sobre cómo
funciona el concepto de la supersimetría, resulta conv eniente repasar algunos ejemplos y
casos particulares sobre cómo se rompe la simetría dando origen a grupos de partículas
elementales div ersas.
Al hablar acerca de las partículas fuertemente interactuantes de la física de alta energía y de
los grupos especiales unitarios SU(2) y SU(3), debemos v oltear nuestros ojos hacia el
momento angular y al grupo de rotación ortogonal real O3+ (con determinante +1) para
encontrar analogías. Supóngase que tenemos un electrón sujeto a un potencial atractiv o
simétricamente esférico de algún núcleo atómico. En tal caso, la ecuación de onda de
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Schrödinger puede ser caracterizada por los tres números cuánticos n, l y m. La energía, sin
embargo es 2l+1 v eces degenerada, dependiendo únicamente de n y de l (si el potencial es
de naturaleza puramente Coulómbica, la energía dependerá únicamente de n). La
explicación de esta degeneración puede ser explicada de dos maneras equiv alentes:
(a) El potencial es esféricamente simétrico, independiente de los ángulos θ y enun sistema de coordenadas esféricas.
(b) El Hamiltoniano de Schrödinger permanece inv ariante bajo rotacionesespaciales ordinarias.
Como consecuencia de la simetría esférica del potencial, el momento angular L es
conserv ado. Los componentes del momento angular L , expresados en coordenadas
rectangulares Cartesianas como Lx , Ly y Lz, son a su v ez los generadores del grupo de
rotación O3+. En lugar de utilizar operadores, podemos utilizar matrices como lo hemos
hecho en las entradas anteriores. Las matrices Li son matrices (2l+1)×(2l+1) con una
dimensión igual al número de estados degenerados. Estas matrices Li generan las
(2l+1)×(2l+1) representaciones irreducibles del grupo O3+. La dimensión 2l+1 es
identificada con los 2l+1 estados degenerados.
El operador Hamiltoniano de energía H para un potencial esféricamente simétrico en el
átomo de hidrógeno, ignorando el efecto de la interacción entre el spin S del electrón y el
momento angular orbital L del electrón (o sea, L ·S), es el siguiente:
Si esto fuera todo, aún estaríamos trabajando con el modelo atómico planetario de Bohr. Sin
embargo, un potencial más realista es el siguiente (seguiremos ignorando el efecto del
acoplamiento entre el spin S y el momento angular orbital L del electrón):
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El término destacado en color azul es precisamente el término que dá origen al efecto
Zeeman anómalo . Es precisamente el término azul lo que origina los desdoblamientos de las
líneas en los espectros de emisión y absorción que nos rev elan la ex istencia del momento
angular en el átomo de hidrógeno al ser aplicado un campo magnético a la muestra bajo
análisis. En ausencia de un campo magnético, la cantidad |B| será igual a cero, y el tercer
término deja de tener relev ancia. Esto no significa que dicha cantidad deje de ex istir dentro
del operador Hamiltoniano H; lo que sucede es que al no haber campo magnético el término
no muestra sus efectos. Y es precisamente el término en azul el que se encarga de romper la
simetría esféricamente perfecta. Por lo tanto, la manera más común de romper la simetría
es mediante la aplicación de un campo magnético. Al romperse la simetría con la aplicación
de un campo magnético B, se rompe también la degeneración de estados, lo cual conduce al
efecto Zeeman del desdoblamiento de líneas en los espectros de emisión y absorción. El
campo magnético añade un término adicional al Hamiltoniano de Schrödinger que no estaba
allí presente antes de la adición del campo magnético, un término que no es invariante bajo
O3+. Este es un térm ino que rom pe la sim etría.
Al operador Hamiltoniano H de arriba le podemos agregar el efecto del acoplamiento entre
el spin del electrón S y el momento angular orbital del electrón L de la siguiente manera
obteniendo con ello un modelo más realista capaz de explicar la presencia de las líneas
adicionales que son observ adas en los espectros de emisión y absorción con
espectrómetros con un elev ado poder de resolución (término en color magenta):
Cada térm ino adicional que se le añada a un Ham iltoniano H representa una
nuev a m anera en la que se puede rom per la sim etría.
Este último ejemplo sencillo demuestra que la dificultad de la aplicación de la Teoría de
Grupos a la Mecánica Cuántica radica en que los elementos del grupo no son figuras que
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podamos v isualizar geométricamente o elementos que podamos manipular mediante las
tablas usuales de multiplicación que se usan en la Teoría de Grupos. Los elementos deben
encontrarse en las ecuaciones que se formulan tentativ amente para un sistema, partiendo
de un Lagrangiano que toma en forma refinada el concepto de la conserv ación de energía y
lo extiende al concepto de una energía que puede ser descrita en función de campos.
Habiendo muchas posibilidades de formulaciones, así como algunos escollos de carácter
matemático, la búsqueda de grupos adecuados para explicar la ex istencia de las partículas
elementales que se han ido descubriendo son el equiv alente de un gambusino explorador
que emprende la búsqueda de v etas de oro sin tener asegurado de antemano el
descubrimiento de algo que v alga la pena el esfuerzo que está inv irtiendo en ello. Un
elev ado grado de intuición así como una inteligencia superior a la norma pueden ser cosas
que ay uden en la búsqueda, pero también la buena fortuna puede dar pie a que algún teórico
con tiempo de sobra encuentre algo que había sido pasado por alto. Como se ha v isto en las
entradas prev ias, el desarrollo de la Mecánica Cuántica no ha sido el fruto de un solo
hombre, ha sido a fin de cuentas un esfuerzo colaborativ o mundial a trav és de los años.
En los años treinta del siglo pasado, Werner Heisenberg propuso que las fuerzas nucleares
que ligan a las partículas dentro del núcleo de los átomos eran independientes de las cargas,
y que las únicas partículas nucleares con masa que se conocían en aquél entonces, el protón
y el neutrón (los cuales tienen casi la misma masa), eran dos estados diferentes de la misma
partícula. La diferencia fraccionaria en masa entre el protón y el neutrón (mn - mp)/mp es
aproximadamente igual a 0.0014, bastante pequeña, sugiriendo que la diferencia en las
masas es producida por una pequeña perturbación que depende de las cargas. Se crey ó
conv eniente describir esta “casi” degeneración introduciendo la cantidad I con
proy ecciones sobre el eje-z iguales a I3 .=.1/2 para el protón e I3 .=.-1/2 para el neutrón,
dándosele el nombre de isospin . El isospin no tiene absolutamente nada que ver con el
spin, el momento angular intrínseco de la partícula, pero el v ector de estado de dos
componentes obedecía las mismas relaciones matemáticas que el v ector de estado J.=.1/2,
pudiendo tomarse como un eigenv ector de la matriz de Pauli σ 3 . En la ausencia total de
fuerzas dependientes de las cargas, hay una conserv ación del isospin (teniendo en tal caso el
protón y el neutrón masas idénticas), teniéndose entonces una degeneración en dos
estados. Equiv alentemente, el Hamiltoniano H nuclear, el cual nos es desconocido, debe ser
invariante bajo el grupo generado por las matrices del isospin, siendo las matrices del
isospin las tres matrices de Pauli.
Y a para 1961 , se habían descubierto (o creado) v arias partículas elementales adicionales,
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recibiendo especial atención las partículas: Ξ (habiendo dos, Ξ− y Ξ0) , Σ (habiendo tres, Σ−,
Σ0 y Σ+.), Λ (una sola partícula), y N (habiendo dos, n y p, el neutrón y el protón). Estas
ocho partículas son lo que hoy se conoce como bariones. Se juzgó conv eniente
describirlas mediante dos números cuánticos característicos, I (isospin) y Y (hipercarga),
las cuales a su v ez se pueden agrupar como multipletes de isospin o de carga en donde la
hipercarga puede ser tomada como la mitad de la carga promedio del multiplete. De
experimentos de esparcimiento y creación de partículas, se concluy ó que tanto la
hipercarga (Y ) como el isospin (I) eran cantidades que se conserv aban bajo la interacción
nuclear fuerte. Las ocho partículas aparecían entonces como una degeneración de 8 tantos,
pero ahora con dos cantidades a ser conserv adas. La clasificación de los ocho bariones,
puestos en orden descendente (de arriba hacia abajo) en una tabla de acuerdo a la cantidad
de masa de las partículas (expresada en unidades de energía MeV), queda de la siguiente
manera:
En 1961 , Murray Gell-Mann e independientemente Y uv al Ne’eman sugirieron en lo que se
conoce como “el camino óctuple” (The eightfold way, una alusión a una creencia budista de
iluminación) que la interacción nuclear fuerte debería ser invariante bajo el grupo
tridimensional especial unitario SU(3), esto es, debería tener una simetría SU(3). La
selección del grupo SU(3) estaba basada primero que nada en la ex istencia de dos
cantidades que se conserv an, la hipercarga y el isospin, lo cual dictaba un grupo de orden 2,
dos de cuy os generadores del grupo (y solo dos) conmutaban. En segundo lugar, el grupo
tenía que tener una representación 8×8 para poder explicar la ex istencia de ocho bariones
degenerados. En cierto sentido, SU(3) es la generalización más sencilla del grupo SU(2).
Gell-Mann acomodó ocho generadores grupales, tres para los componentes del isospin, uno
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para la hipercarga, y cuatro adicionales. Todos son matrices 3x3 sin traza. Al igual que con
O3+ y con SU(2), hay una infinidad de representaciones irreducibles. Una en ocho
dimensiones que corresponde a las ocho partículas es la siguiente:
Podemos imaginarnos al Hamiltoniano H para los ocho bariones compuesto de tres partes
(términos) distintas:
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El primer término (Hfu er te) posee simetría SU(3) y es el que conduce a la degeneración en
ocho tantos (que v ienen siendo los ocho bariones). La introducción del segundo término
(Hm edia n o) es precisamente un término de interacción que rompe la simetría de H, dando
pie a una subdiv isión en cuatro partes. Hm edia n o remuev e la degeneración parcialmente
dando como resultado los cuatro multipletes de spin Ξ, Σ, Λ y N. Estos siguen siendo
multipletes porque Hm edia n o sigue posey endo simetría SU(2) que aún no ha sido rota. Y
finalmente, con un tercer término (Helectr om a g n ét ico) que rompe aún más la simetría y a
rota, la presencia de fuerzas dependientes de la carga electromagnética en el núcleo atómico
desdobla a los multipletes remov iendo la última degeneración, no habiendo y a estados
degenerados al haberse roto por completo la simetría que impedía distinguir a las partículas
indiv iduales. Aplicando la teoría de perturbación de primer orden de la Mecánica Cuántica,
se pueden calcular relaciones sencillas entre las masas de los bariones, y también se pueden
obtener reglas de intensidad para los procesos de decaimientos y esparcimientos.
Sin duda alguna, el éx ito más resonante del modelo SU(3) ha sido la predicción de la
existencia de partículas nuev as que aún no habían sido descubiertas (o creadas) cuando
dicho modelo fue propuesto. En 1961 , el conocimiento que y a se tenía de cuatro mesones K
y tres mesones π (todos pseudo-escalares, con spin igual a cero, y paridad impar) sugirió la
existencia de otro octeto, similar al octeto de bariones. La teoría SU(3) predecía un octav o
mesón, η0 , con una masa igual a 563 MeV. El mesón η0 , con una masa determinada
experimentalmente como 548 MeV, fue descubierto poco tiempo después. Agrupamientos
hechos con nuev e de los diez bariones más pesados, todos ellos con un spin de 3/2 y
paridad par, sugirieron un grupo de diez elementos o decuplete. Se predecía que el barión
faltante debería de tener una masa de alrededor de 1680 MeV y una carga eléctrica
negativ a. En 1964 se descubrió la partícula Ω con carga eléctrica negativ a y con una masa
experimental igual a 167 5 MeV habiendo una incertidumbre de ±12 MeV en la medición de
la masa. Tras haberse completado este decuplete de (3/2)−, siguió el descubrimiento de un
multiplete (5/2)+ (paridad impar) para bariones, y el establecimiento de multipletes 1 − y 2+
para mesones. Estos triunfos llev aron a que la aplicación de la Teoría de Grupos para
partículas fuertemente interactuantes fuera extendida más allá de SU(3), empezando con
una inv estigación extensa de SU(6) y los grupos más complejos de dimensionalidad may or.
Ev entualmente y tras muchos esfuerzos, se pudo dar con el primer modelo que fue capaz de
implementar una unificación de las tres fuerzas fundamentales de la Naturaleza, el modelo
SU(5) descubierto por Howard Georgi y Sheldon Glashow.
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En el mismo año de 1961 que resultó tan fructífero para la física de las partículas sub-
atómicas, el físico japonés Y oichiro Nambu introdujo a la física de las partículas la idea de la
ruptura espontánea de la simetría para explicar el por qué las partículas sub-atómicas
podrían ser llev adas a fav orecer ciertos v alores particulares de magnetismo o de carga
eléctrica en lugar de fav orecer simétricamente por igual todos los v alores posibles, dándose
cuenta Nambu de la importancia de la ruptura espontánea de la simetría que permite v er
que detrás del aparente caos en la Naturaleza hay una simplicidad oculta. El trabajo de
Nambu que culminó con el m odelo Nam bu-Jona Lasinio contribuy ó a su v ez al
descubrimiento posterior de los quarks, las partículas sub-atómicas ocultas dentro de los
protones y neutrones en el centro de los átomos. Posteriormente, sus colegas Makoto
Kobay ashi y Toshihide Maskawa extendieron en 197 3 el concepto de la ruptura de la
simetría para explicar la predominancia de la materia sobre la anti-materia en el Univ erso
(en un Univ erso perfectamente simétrico, debería de haber tanta materia como anti-
materia, lo cual no ocurre), prediciendo la ex istencia de los quarks top y bottom en una
inv estigación cuy a difusión publicada está catalogada entre los 100 trabajos más citados de
la física de acuerdo al historiador Dav id Pendlebury . Habría que esperar hasta 1995 para la
confirmación experimental de la ex istencia del quark top que junto con el quark bottom
pasó a formar lo que se conoce como la “tercera generación de quarks”.
Lo que hemos v isto arriba acerca de la ruptura de la simetría y su impacto en la clasificación
de las partículas elementales es precisamente de lo que trata la supersimetría SUSY , aunado
a su poder predictiv o para anticipar partículas que parecen estar “ausentes” en algunos
lugares v acantes en las tablas de grupos en donde v an siendo tabuladas y clasificadas las
partículas de acuerdo a sus propiedades. Sin embargo, no fue sino hasta 197 3 que la
supersimetría empezó a atraer la atención de los físicos cuando Julius Wess y Bruno Zumino
inv entaron una teoría, conocida como el modelo Wess-Zumino , la primera teoría
supersimétrica del campo cuántico relativ ista. Aunque hay div ersas v ariantes teóricas, lo
más básico de SUSY es que relaciona dos familias de partículas: bosones y fermiones. En el
Modelo Estándard de la física de partículas, las partículas Higgs (de las cuales hablaremos
en may or detalle más abajo) y los portadores de fuerza (tales como los fotones, los gluones
y las partículas W y Z) son llamadas bosones, mientras que una familia diferente de
partículas (la cual incluy e a los electrones, los neutrinos, y los quarks) son llamadas
ferm iones. SUSY relaciona a los bosones con los fermiones introduciendo una partícula
nuev a para cada una de las partículas y a conocidas en ambas familias. Cada partícula nuev a
es un super-pariente de una de las partículas comunes, teniendo características similares
pero con su spin difiriendo en 1/2. Esto significa que cada fermión tiene una contraparte
bosónica, y v icev ersa. A continuación tenemos en la parte izquierda un agrupamiento de
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partículas del Modelo Estándard, y a la derecha podemos v er reflejadas en el “Gran Espejo”
de la supersimetría las contrapartes SUSY de dichas partículas:
La razón por la cual se introdujo la simetría en la física de las partículas elementales es
puramente teórica, y a que resuelv e el problema de la jerarquía, siendo la jerarquía la
diferencia en los tamaños de los parámetros encontrados entre las interacciones de la
Naturaleza. Hay cuatro tipos de interacciones (comunmente conocidas como fuerzas) en
nuestro Univ erso. Estas fuerzas son la fuerza fuerte, la fuerza electromagnética, la fuerza
débil y la grav edad, siendo la diferencia en escalas entre la fuerza débil y la fuerza de la
grav edad de 1017 tantos. Las primeras tres fuerzas (fuerte,electromagnética, débil) son
descritas por teorías que en conjunto podríamos identificar como una Teoría Cuántica del
Gauge, y la diferencia en escalas entre ellas es mucho menor que la que presentan con
respecto a la fuerza de la grav edad. Sin embargo, la fuerza “fuerte” es más de 100 v eces
may or que la fuerza electromagnética. Hay una teoría, conocida como la Gran T eoría
Unificada (GUT, de sus siglas en Inglés que significan Grand Unified Theory) en donde las
tres fuerzas son unificadas en una escala de energía extremadamente alta. Al inicio del
Univ erso, cuando la temperatura era muy elev ada, se cree que las tres fuerzas (dejando
fuera a la fuerza de la grav edad) estaban unificadas, siendo indistinguibles una de la otra. La
escala GUT, en donde esta unificación ocurre, es sin embargo mucho más grande que la
escala de la fuerza débil; siendo la escala GUT alrededor de 1016 GeV (una energía fuera del
alcance inclusiv e del Gran Colisionador de Hadrones de CERN), punto en el cual todas las
fuerzas parecen ser igualmente intensas (la intensidad de las fuerzas v aría dependiendo en la
escala de energía). Es aquí en donde se manifiesta la posibilidad de que todas las fuerzasGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
puedan ser unificadas como la manifestación de una sola fuerza, a una temperatura
conocida como la temperatura de Planck que ciertamente se habrá dado a los pocos
instantes de la creación del Univ erso. Se cree que conforme la temperatura del Univ erso fué
descendiendo al irse enfriando en su expansión, la ruptura espontánea de la simetría hizo
que se fueran manifestando las partículas que corresponden a una temperatura que
corresponde a la escala GUT, tras lo cual el descenso continuo de la temperatura del
Univ erso hizo que se alcanzara la temperatura que corresponde a la escala de la fuerza
electro-débil, hasta llegar al actual estado de cosas. El siguiente diagrama muestra la
unificación de las fuerzas conforme aumenta la temperatura del Univ erso (de abajo hacia
arriba) hasta llegar a la temperatura de Planck en donde todas las fuerzas quedan unificadas
bajo el escudo de una teoría de supergrav edad, dejando atrás las temperaturas bajas en
donde se rompe la supersimetría dando lugar a las diferencias entre las partículas ordinarias
y sus super-contrapartes (el acrónimo QCD es una abrev iatura de Quantum Chromo-
Dynamics, Cromodinámica Cuántica):
Sin embargo, surge una dificultad debido a la jerarquía entre las escalas. El reto teórico
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consiste en reconciliar la ligereza del bosón de Higgs, el cual se cree que tal v ez pueda ser
ubicado en una región energética del orden de los TeV (dentro del rango explorado por el
Gran Colisionador de Hadrones de CERN). Si la escala fundamental realmente se encuentra
en torno a la escala GUT o la escala Planck, un cálculo “naïv e” (ingenuo, no muy
rigurosamente formal y exacto) de la teoría cuántica indica que la masa del bosón de Higgs
también debería estar localizada en esta escala. Varios cálculos han demostrado que para
poder mantener al bosón de Higgs en la región TeV se requiere llev ar a cabo la “sintonía
fina” de una constante del Modelo Estándard con una precisión numérica de 32 cifras
decimales. La menor desv iación de la constante trae como consecuencia una div ergencia no
deseada en la masa del bosón de Higgs, requiriendo una corrección de masa en la escala de
la escala fundamental. Para solucionar el problema que rodea a la escala de masa de la
partícula Higgs, una solución consiste en introducir la supersimetría SUSY dentro de la
teoría, lo cual requiere meter contrapartes fermiónicas a todos los bosones y contrapartes
bosónicas a todos los fermiones (como si estuv iésemos v iendo todo reflejado en un gran
espejo). La importancia de la simetría es que controla la corrección de masa. Sin SUSY , las
masas de los fermiones están sujetas a una corrección de masa que es proporcional
únicamente al logaritmo de la escala fundamental y no a la escala fundamental misma. SUSY
nos dice que la corrección de masa a una partícula bosónica debe ser la misma que la de su
contraparte fermiónica. De este modo, si hay una contraparte fermiónica al bosón de Higgs,
la corrección de la masa Higgs debe ser la misma que la corrección de masa del fermión
correspondiente, y debe poder reducirse del orden de los 1016 GeV a un niv el más
manejable. Se debe resaltar el hecho de que la alternativ a SUSY no es la única solución
posible, y a que se han propuesto otras soluciones para manejar el problema que representa
la masa del bosón de Higgs.
Las teorías supersimétricas resuelv en de una manera elegante el problema inherente a los
procesos de renormalización en los cuales se recurre a la suma numerosa de muchas
contribuciones grandes de cantidades extremadamente pequeñas que de alguna manera
terminan resultando en v alores finitos (algo así como un proceso de integración en el cual la
suma de una cantidad infinitamente grande de pequeños infinitésimos pueden dar una
cantidad fija como .0001 ó como 100 ó como 1000 en lugar de un número infinitamente
grande o infinitamente pequeño, excepto que en la renormalización no manejamos
infinitésimos sino cantidades discretas). Allí, la masa del bosón de Higgs está protegida de
aquellas contribuciones grandes por la ex istencia de una clase completa de partículas
adicionales, las cuales son copias de los quarks, leptones y bosones gauge del Modelo
Estándar, pero rev estidas con distintos v alores de spin.
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Realmente es una simetría atractiv a la que nos ofrece SUSY , y a que los bosones pueden ser
fermiones y los fermiones pueden ser bosones (al v erse reflejados en un “gran espejo”). Pero
persiste la duda de que tal simetría pueda ser realizada en la Naturaleza, porque jamás se
han observ ado todas las partículas adicionales predichas por SUSY en base a sus
contrapartes en el “espejo”. Esto sugiere que tal v ez sea necesario “romper la simetría”
entre SUSY y el Modelo Estándard, postulando algún otro mecanismo nuev o que pueda
hacer que las masas de las partículas SUSY sean más grandes de lo prev isto situándose más
allá de nuestra posibilidades actuales de detección. De este modo, para poder resolv er el
problema de llev ar a cabo una “sintonía fina” del Modelo Estándard, tenemos que suponer
primero que nada la ex istencia de aquellas partículas elementales que han sido predichas
pero que aún no han sido observ adas, y que estas tienen masas que están más allá de
nuestros límites de detección, pero no tanto que su efecto correctiv o en la “sintonía fina” se
v uelv a más complicado de poder mantenerse intacto. Junto con esas partículas adicionales,
hay que contender por lo menos con 105 parámetros nuev os (y desconocidos) como parte
del paquete teórico SUSY que tenemos que asimilar, los cuales la teoría no explica (no solo
las masas de las partículas, sino sus acoplamientos, sus mezclados, etc.) Aunque para ser
justos, las teorías SUSY no sólo proporcionan una solución al problema de la “sintonía fina”.
A cambio de esos 105 nuev os parámetros libres y una plétora de partículas nuev as con las
cuales se carga al paquete, las teorías SUSY tienen el beneficio de llev ar a cabo una
unificación más directa de las cuatro fuerzas de la Naturaleza a una energía muy alta, algo
que siempre ha despertado el interés de los teóricos.
Para poder desarrollar sus inv estigaciones dentro de la supersimetría, los teóricos recurren
con frecuencia a lo que se ha dado en llamar la super álgebra, dentro de lo cual el tema
central es la super álgebra de Lie, una generalización de un álgebra de Lie. Para dar una
idea de cómo funciona esto, recordemos cómo en la Mecánica Cuántica el álgebra de los
operadores está definida mediante las relaciones de conmutación entre los operadores. La
generalización de este concepto se llev a a cabo mediante el conmutador de Dirac, [A,B].
Pero además de la definición del conmutador, se tiene también la definición del
anticonmutador {A,B} que es igual a AB+BA. Decimos entonces que si los operadores están
relacionados tanto a través de conmutadores como a través de anticonmutadores, forman
parte de una superálgebra. Supóngase que se tienen un operador Hamiltoniano H y un
conjunto de N operadores Qi auto-adjuntos (siendo la condición de auto-adjunto Qi.=.Qi†),
cada uno de los cuales conmuta con el Hamiltoniano H. Llamaremos a este sistema
supersimétrico si el siguiente anti-conmutador:
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para todos los:
es v álido. Si este es el caso, llamaremos a los operadores Qi las supercargas del sistema. H
será llamado el Hamiltoniano SUSY , siendo SUSY una abrev iatura conv eniente para
cualquier v ariante de “supersimetría” que sea gramáticamente apropiada. Una álgebra
SUSY está caracterizada por el número de sus supercargas, que denotamos como N. Puesto
que N.=.2 ejemplifica muchas de las propiedades generales de las teorías SUSY , resulta útil
estudiar este caso en algún detalle. Se requieren dos supercargas, Q1 .=.Q1† y Q2 .=.Q2
†.
En ocasiones resulta más conv eniente trabajar con una supercarga “compleja” que no es
auto-adjunta.
En tal caso, el álgebra SUSY implica {Q,Q†}.=.H. Para hacer esto un poco más concreto,
podemos llev ar a cabo una encarnación específica de esta super-álgebra. Sea H1 un
Hamiltoniano de interés tal que se le pueda factorizar como el producto de un operador A y
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su auto-adjunta A†, o sea H1 .=.A†A. Obsérv ese que esto está casi en la forma del
Hamiltoniano para el operador armónico simple, excepto por la ausencia de un
desplazamiento de energía:
Intercambiando el orden de los factores, se tiene otro operador, H2 .=.AA†. Con el operador
A a la mano, se pueden definir los siguientes dos operadores:
Por simple aritmética matricial, se tiene:
De este modo, se puede afirmar que el anticonmutador de las dos cargas dá un Hamiltoniano
H que es diagonal en bloques:
H1 y H2 pueden ser considerados como dos Hamiltonianos que actúan en sub-espacios del
espacio original del espacio original de Hilbert asociado con el Hamiltoniano H.
¿Y qué exactamente es tan especial acerca de los operadores con las formas A†A y AA†?Guarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
Dado un Hamiltoniano H1 para un sistema, si puede ser factorizado en el producto de dos
operadores A†A, entonces podemos construír otro Hamiltoniano H2 .=.A†A que tenga casi
el mismo espectro de energía. Estos Hamiltonianos “isoespectrales” posiblemente no
describan la misma cuestión física, y sus potenciales respectiv os V 1 (x) y V2 (x) tal v ez
tengan un aspecto radicalmente diferente. Como de costumbre, una degeneración en los
niv eles de energía corresponde a una simetría, en este caso la simetría es la SUSY entre los
dos Hamiltonianos. Veamos primero los eigenestados del Hamiltoniano número 1 . Estos
estados deben satisfacer la relación de Schrödinger:
Aquí ocurre una cosa sorprendente. El operador A “mapea” los eigenestados del
Hamiltoniano 1 hacia los eigenestados del Hamiltoniano 2. Esto podemos v erlo de la manera
siguiente:
Pero por la ecuación anterior, esto significa que:
La misma lógica trabaja en la dirección opuesta, conectando los eigenestados de H2 con
aquellos de H1 . Los eigenestados detrás de la “puerta número 2” satisfacen:
de modo tal que, actuando con el operador A†:
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Se ha demostrado con esto que H1 y H2 son isoespectrales. Para cada eigenestado de uno, se
esconde por allí un eigenestado del otro con la misma energía, habiendo una excepción
para la situación en la cual:
esto es, si H1 tiene un estado basal de cero energía, en cuy o caso la demostración no
funciona, no habiendo necesidad de que H2 tenga también un estado basal de energía cero.
Y de hecho, sólo uno de los dos puede tener una energía igual a cero en el estado basal. En la
discusión que sigue, y por consistencia, arreglaremos que H1 tenga el eigenestado extra.
Para mantener las cosas simples, buena parte del tiempo nos encontramos trabajando
unidimensionalmente con Hamiltonianos de la forma:
en donde el operador diferencial del momentum p está dado por (introduciremos aquí la
notación de sub-índice abrev iada que se acostumbra utilizar en el estudio de los campos
cuantificados):
Con esto, podemos expresar el operador Hamiltoniano del modo siguiente:
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Si queremos factorizar este operador Hamiltoniano H en un operador y su adjunta,
posiblemente debemos empezar con un operador que es lineal en la deriv ada, como el
siguiente:
Aquí W(x) es alguna función real que llamaremos el superpotencial. Tomando la adjunta de
A inv ierte el signo de la deriv ada (lo cual es obv io notando que el momentum p es una
observ able y por lo tanto auto-adjunto):
Podemos conectar el superpotencial al potencial ordinario de H1 de la siguiente manera:
Con un cambio de signo, podemos reconocer esto como la ecuación de Riccati. V 1 (x) y
V2 (x) son conocidos como los potenciales emparentados, relacionados a trav és del
superpotencial W(x). Con un paso adicional, podemos relacionar al superpotencial con la
función de onda en el estado basal. Obsérv ese que el estado basal de H1 es aniquilado por A,
satisfaciendo la relación:
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Mirando hacia atrás hacia la forma de A, podemos v er que es una ecuación diferencial de
primer orden, y podemos escribir su solución como el siguiente exponencial:
Obsérv ese que el estado basal de energía cero de H2 sería aniquilado por A† siendo
proporcional por lo tanto a:
Por la naturaleza exponencial de las mismas, una con signo positiv o y la otra con signo
negativ o, sólo una de estas últimas dos expresiones puede producir un estado normalizable.
Si una de ellas es “bien comportada”, la otra explotará. Esta es la razón del por qué solo uno
de los dos Hamiltonianos emparentados puede tener un estado basal de energía cero. Esta es
pues la manera en la cual se utiliza la superálgebra en el estudio formal de la supersimetría,
de lo cual apenas hemos tocado aquí la superficie.
Pese a los triunfos acumulados, no todo es miel sobre hojuelas. Una predicción que se crey ó
que sería alcanzada en el 2011 , el descubrimiento experimental de la partícula Higgs (el
bosón de Higgs, mal llamada la partícula de Dios a causa de un libro escrito por el físico
Leon Lederman cuy o título original era The goddamn particle que significa “la condenada
partícula”, título considerado demasiado ofensiv o por el editor y cambiado a The God
particle, elev ando inmerecidamente a esta partícula a una importancia situada muy por
encima de su realidad), la única partícula elemental del Modelo Estándard que aún no ha
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sido observ ada experimentalmente, terminó en lo que parece haber sido un fracaso, al no
ser detectada su presencia dentro del rango experimental de energías en el cual se pensó
que sería observ ada, quedando como alternativ as la posibilidad de elev ar aún más la
energía del Gran Colisionador de Hadrones de CERN, una propuesta costosa, o empezar a
echarle un v istazo a otras teorías alternas que explican el por qué no había razones para
esperar que el bosón de Higgs pudiera ser observ ado en el rango de energías disponible en
CERN.
Visto en may or detalle, el bosón de Higgs, la condenada partícula, es una partícula que
resulta de la ruptura espontánea de la simetría electrodébil, y el estudio de esta ruptura de
simetría en el laboratorio requiere utilizar una analogía física que reproduzca los primeros
instantes de la Gran Explosión (Big Bang). Sin embargo, de acuerdo al trabajo titulado
Coherent dynamics of macroscopic electronic order through a symmetry-breaking
transition publicado en arXiv el 9 de junio de 2010, elaborado por v arios inv estigadores, se
ha reportado que por v ez primera se observ ó un fenómeno conocido como Symmetry
Breaking Phase Transitions (SBT) para un potencial similar al potencial de Higgs, en la
escala de los femtosegundos, utilizando no un enorme acelerador de partículas sino un
sistema de estado sólido así como medidas ópticas ultrarrápidas. La ev olución temporal de
una transición de fase por ruptura de la simetría no solo tiene aplicaciones en cosmología,
también en física de la materia condensada, neurociencia y finanzas. Roman Y usupov y sus
colegas reportaron haber observ ado este tipo de transición de fase tanto para bosones
como para fermiones gracias a nuev a técnica de espectroscopia basada en tres pulsos en el
régimen de los femtosegundos. Las observ aciones experimentales concuerdan con los
resultados esperados según las simulaciones numéricas basadas en la teoría de Ginzburg-
Landau. Entre los resultados más interesantes observ ados están las distorsiones
espaciotemporales en el campo (análogo) de Higgs debidas a la aniquilación de defectos
topológicos, similares a las discutidas en los modelos cosmológicos de Kibble-Zurek. Estas
conclusiones han dado pie para que se sospeche que tal v ez no sea absolutamente
indispensable el contar con los serv icios del Gran Colisionador de Hadrones para confirmar
v arias de las predicciones de la Teoría del Campo Cuántico, al poderse recurrir a los
serv icios de un chip para desenmascarar los secretos del Univ erso, según lo comenta el
artículo titulado ¿Se esconden los secretos del univ erso en un chip? publicado en Nature
News el 16 de marzo de 2010. Para este av ance, los inv estigadores utilizaron tritelururo de
terbio (TbTe3 ) y tritelururo de disprosio (Dy Te3 ) que presentan una inestabilidad
electrónica que da lugar a lo que se conoce como una transición de fase de segundo orden. A
baja temperatura, esta transición de fase produce una ruptura espontánea de cierta simetría
para las cuasipartículas del material. Despreciando fluctuaciones en la fase del campo, estasGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
para las cuasipartículas del material. Despreciando fluctuaciones en la fase del campo, estas
partículas cuasipartículas están sometidas a un potencial de energía con dos pozos,
precisamente el tipo sombrero mexicano.
De cualquier modo, y pese a fracasos como el obtenido por CERN en el 2011 al no haberse
detectado el bosón de Higges dentro del rango de energías en el cual se esperaba detectarlo,
el concepto de la simetría y la ruptura de la simetría siguen siendo los ejes fundamentales de
lo que muchos físicos de renombre consideran que terminará siendo la Teoría del Campo
Unificado uniendo a la Mecánica Cuántica con la Teoría de la Relativ idad, el v iejo anhelo de
Einstein que este último no pudo lograr en v ida.
No sólo la supersimetría SUSY intenta llev ar a cabo una unificación de las fuerzas
fundamentales de la Naturaleza. Se ha inv ertido mucho esfuerzo inv estigativ o en otra
alternativ a conocida como la teoría de las supercuerdas (por alguna razón, la palabra
super parece ejercer una fascinación casi irresistible en su uso para describir las teorías del
todo .)
La teoría de las supercuerdas, una teoría de la gravedad cuántica considerada como una
extensión de la teoría de cuerdas, y endo más allá del espacio 4-dimensional relativ ista
concebido por Einstein, requiere de 10 dimensiones para poder ser formulada
matemáticamente, y una extensión de la misma considerada como una teoría de las
supercuerdas de “segunda generación” fue llev ada a cabo por Edward Witten, calificado
como el más brillante físico de esta generación en el artículo “The Man Who Led the Second
Superstring Rev olution” publicado por Discover Magazine el 13 de nov iembre de 2008, y
como “uno de los más grandes físicos v iv ientes, quizás el sucesor de Einstein” en el
programa “The Elegant Univ erse: Welcome to the 11th Dimension” elaborado por NOVA de
Public Broadcasting Sy stem, v a aún más lejos a partir de la sugerencia formulada por Witten
en 1995 sobre la ex istencia de una teoría-M basada no en 10 dimensiones sino en 11 . El
problema con esta teoría es que carece de poder predictivo , o sea la capacidad para
proponer experimentos con los cuales la teoría pueda ser definitiv amente confirmada o
desechada. Esta es la razón principal del por qué hay tanto escepticismo en torno a la teoría
de las supercuerdas, estando incluído entre la lista de escépticos el mismo Sheldon Glashow,
uno de sus más fuertes críticos (su abandono de la Univ ersidad de Harv ard pasándose a la
Univ ersidad de Boston se debió al apoy o del departamento de física de la univ ersidad a la
teoría de cuerdas; pero antes de esto hizo campaña para echar fuera de Harv ard a los
teóricos de cuerdas.) Es desde luego posible que los teóricos de las supercuerdas sean al
final del día quienes terminen riéndose de los demás, eso no lo sabemos. Hay quienes creen
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que los datos recabados en la detección de colisiones de neutrinos de alta energía con
partículas elementales mediante el telescopio detector de neutrinos IceCube reforzado por
el telescopio detector de neutrinos Amanda (Antartic Muon and Neutrino Detector Array ),
ambos enterrados en la Antártida, están empezando a proporcionar ev idencia experimental
sobre la ex istencia de dimensiones adicionales utilizadas en la teoría de las supercuerdas,
aunque esto sigue siendo tema de debate. Más allá de las dificultades técnicas y filosóficas
presentadas por estas teorías de nuev a generación se tiene el dilema de que la complejidad
de las mismas las ubica muy por encima del entendimiento del común denominador de la
gente ordinaria, y a que requieren de conocimientos av anzados en matemáticas que todav ía
hace algunas décadas estaban disponibles únicamente en clases especializadas impartidas a
niv el de post-doctorado. Y esto v a en contrasentido al espíritu inicial de los fundadores de
la Mecánica Cuántica que suponían que detrás del aparato matemático requerido para
explicar los casos de muchos fenómenos particulares debía de haber una simplicidad capaz
de ser representada de una manera sencilla. La ley de la grav itación univ ersal de Newton,
expresada en su forma compacta:
resume en una simple fórmula una explicación para los mov imientos de los astros, los
planetas y los cometas, sintetizando de una manera sencilla un enjambre de conocimientos
que estaban dispersos en muchos tratados de astronomía, pudiendo ser explicada con la
simple frase “la fuerza de atracción grav itatoria entre dos cuerpos v aría en razón directa del
producto de sus masas y en razón inv ersa del cuadrado de la distancia que los separa”;
mientras que la formulación Einsteniana de la Relativ idad General resume en una simple
fórmula de carácter tensorial la explicación de la curv atura del espacio-tiempo ocasionada
por la presencia de masa-energía, pudiendo formular predicciones capaces de ser sometidas
a pruebas experimentales rigurosas, y pudiendo ser explicada tambíen con la simple frase
“la curv atura en el espacio-tiempo v a en función directa de la presencia de masa.energía en
el continuum espacio-tiempo”. Pero ni la supersimetría ni la teoría de las supercuerdas
pueden ser expresadas de una manera tan clara y comprensible. En otras palabras, en v ez de
ir de lo complejo a lo sencillo, se ha estado y endo de lo sencillo a lo complejo.Y si al darse a
conocer la Teoría de la Relativ idad muchos teóricos y legos y a se quejaban de que la mente
humana tiene una dificultad intuitiv a tratando de v isualizar dimensiones may ores al espacio
tridimensional ordinario porque solo es posible mov erse en 3 dimensiones espaciales,
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¿cómo entonces podemos ser capaces de conceptualizar algo que requiere de 10 o más
dimensiones para ser formulado? (Una manera de tratar con esta limitación es no intentar
v isualizar dimensiones may ores del todo sino simplemente pensando, al momento de
realizar ecuaciones que describan un fenómeno, que se deben realizar más ecuaciones de las
acostumbradas. Esto abre las interrogantes de que esos ‘números extra’ puedan ser
inv estigados directamente en cualquier experimento donde en v ez de mostrarse números
propios de la sexta dimensión o de la octav a dimensión se mostruen resultados en 1 , 2, ó 3
dimensiones a científicos humanos. Así aparece la pregunta de si este tipo de modelos que
se inv estigan en este modelado abstracto que requieren aparatos experimentales
potencialmente imposibles de construír realmente puedan ser considerados “científicos”. E
independientemente de las dificultades para poder llev ar a cabo experimentos en la quinta
dimensión o en la dimensión siete, es muy posible que si alguien llega a dar y a sea por
accidente o por proeza intelectual con una Teoría del Todo que logre unificar las cuatro
fuerzas de la Naturaleza y que sea capaz de explicar el origen de todo, tal teoría podrá ser
tan compleja en su mero enunciado que el único que terminará comprendiéndola será su
propio creador.
Posiblemente el objetiv o de poder explicarlo todo a partir de un simple enunciado
matemático capaz de ser formulado en un brev e párrafo o en una línea de texto es un
objetiv o incalcanzable, un objetiv o que se creía posible porque la Naturaleza parece buscar
siempre las soluciones óptimas (en esto último se basa precisamente el cálculo de
variaciones utilizado por Emmy Noether para postular a la simetría como un sinónimo de la
inv ariancia en las ley es físicas). Quizá hay a alguna fórmula casi mágica, compacta y concisa,
que está allí afuera esperando a ser descubierta, aunque muchos teóricos contemporáneos
parecen haber perdido la esperanza en ello. Si la hay , posiblemente esto requerirá de una
rev olución filosófica de carácter tan profundo que será comparable a la misma rev olución
que dió origen a la Mecánica Cuántica en las primeras dos décadas del siglo pasado. Porque
la may or ironía de todas es que algunas v eces las cosas más sencillas posibles son las que
cuestan más trabajo de entender a plenitud.
La carencia de una Teoría de la Grav edad Cuántica nos indica que todav ía falta mucho por
hacer. Posiblemente cuando esto último sea resuelto seremos capaces de descubrir y
predecir fenomenología nuev a que ni siquiera nos pasa por la mente en estos momentos del
mismo modo de que en los tiempos del Rey Arturo en Inglaterra a los Caballeros de la Mesa
Redonda jamás les pasó por la mente que en un futuro no muy distante pudiera haber
telev isiones, teléfonos celulares, computadoras de escritorio de bajo precio, y calculadoras
científicas de bolsillo.
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Entrada más reciente Entrada antigua
Independientemente de las dificultades de carácter teórico y técnico a ser enfrentadas en el
futuro por quienes están haciendo av anzar a la ciencia de las partículas elementales, quedan
pocas dudas de que la simetría seguirá actuando como un eje rector que guiará las
inv estigaciones que se sigan emprendiendo en el futuro, seguirá siendo una piedra angular.
La gran esperanza de la “Gran Unificación” de las cuatro fuerzas fundamentales de la
Naturaleza, desde luego, es que puedan ser unificadas de alguna manera, quizá bajo una gran
super-ecuación o quizá bajo un gran super-grupo del cual deriv e todo a trav és de la ruptura
de la simetría. Ese super-grupo v endría siendo el equiv alente del Santo Grial en la física
atómica y nuclear, y hasta ahora su búsqueda ha resultado ser tan ardua y tan elusiv a como
la del mismo Santo Grial, complicada por el hecho que cada nuev a pregunta generalmente
trae consigo más preguntas que respuestas.
P U B LICA DO P OR A R MA N DO MA R TÍN E Z TÉ LLE Z E N 1 6 :5 4
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