ACELERACINLa aceleracin de una partcula de fluido se determina considerando una partcula especfica como la mostrada en la figura 3.4. Su velocidad cambia de en el instante t a en el instante la aceleracin es, por definicin

Donde se muestra en la figura 3.4. el vector de la velocidad esta dado por sus componetes como

Donde son las componentes de velocidad en las direcciones respectivamente y son vectores unitarios. La cantidad es, segn la regla del clculo con

Esta da la aceleracin como

Como se ha seguido una partcula como la de la figura 3.4, se reconoce que

La aceleracin se expresa entonces como

Las ecuaciones de componentes escalares de la ecuacin vectorial anterior en las coordenadas rectangulares se escriben como

A menudo se regresa a la ecuacin 3.2.3 y la ecuacin 3.2.8 se escribe en forma simplificada como

Con, en coordenadas rectangulares

Esta derivada se conoce como derivada sustancial o derivada material. Se le da un nombre y un smbolo especiales ( en lugar de ) porque se sigui una de fluidos especial, es decir, se sigui la sustancia (o material). Representa la relacin entre una derivacin lagranguiana en la que una cantidad depende del tiempo t y una derivacin euleriana en la que una cantidad depende de la posicin y del tiempo t. La derivada sustancial puede ser utilizada con otras variables dependientes; por ejemplo, representara la velocidad de cambio de la temperatura de una partcula de fluido seguida a los largo de su trayectoria. La tabla 3.1 de la pgina 89 incluye la derivada sustancial y las componentes de aceleracin en coordenadas cilndricas y esfricas.La derivada con respecto al tiempo en el lado derecho de las ecuaciones 3.2.8 y3.2.9 para la aceleracin se llama aceleracin local y los trminos restantes en el lado derecho de cada ecuacin forman la aceleracin convectiva. Por consiguiente la aceleracin convectica. En un tubo, la aceleracin local aparece si, por ejemplo, se abre o cierra una vlvula; y la convectiva ocurre cerca de donde cambia la geometra del tubo, tal como una contraccin del tubo o un codo. En ambos casos las partculas de fluido cambian de velocidad, pero por muy diferentes razones.Se debe observar que las expresiones anteriores para la aceleracin dan esta solo con respecto al marco de referencia del espectador. En ciertas situaciones el marco de referencia del observador se puede ver sometido a una aceleracin; luego es posible que se requiera la aceleracin de una partcula con respecto a un marco de referencia fijo. Esta dada por

Donde a esta dad por la ecuacin 3.2.8 que es la aceleracin del marco de referencia del observador, V y r son la velocidad y los vectores de posicin de la partcula, respectivamente, en el marco de referencia del observador, y es la velocidad angular del marco de referencia del observador (vase la fig.3.5. observe que todos lo vectores estn escritos valindose de los vectores unitarios del marco de referencia XYZ). En la mayora de as aplicaciones de ingeniera, los marcos de referencia fijos en la tierra dan A=a, en vista de que los dems trminos de la ecuacin 3.12.2 con frecuencia son insignificantes con respecto de a. se podra decidir, sin embargo, fijar el marco de referencia en un dispositivo acelerador (un cohete) o en un dispositivo rotatorio (el brazo de un rociador); en tal caso ciertos trminos de la ecuacin 3.2.12 deben ser incluidos junto con a de la ecuacin 3.2.8Si la aceleracin de todas las partculas est dada como A=a en un marco de referencia seleccionado, entonces se trata de un marco de referencia inercial. Si A a, es un marco de referencia no inercial. Un marco de referencia que se desplaza con velocidad constante sin rotacin es un marco de referencia inercial.

Cuando se analiza el flujo alrededor, por ejemplo, de una superficie aerodinmica, se fija el marco de referencia en aquella de modo que se observa un flujo continuo en este

Velocidad angular y vorticidad

Se puede pensar en un fluido como en el movimiento de un conjunto de partculas. Conforme una partcula se desplaza puede girar o deformarse. La rotacin y deformacin de las partculas de fluido son de especial inters en el estudio de la mecnica de fluidos. Existen ciertos flujos, o regiones de un flujo, en los que las partculas de fluido no gira; tales flujos son de especial importancia, sobre todo en flujos alrededor de objeros, y se los conoce como flujos no rotatorios. El flujo fuera de una delgada capa imite en superficies aerodinmicas, fuera de la regin de flujo separada alrededor de automviles y otros vehculos mviles en el flujo alrededor de objetos sumergidos, y muchos otros flujos son ejemplos de flujos no rotatorios. Los flujos no rotatorios son extremadamente importantes.Considere una pequea partcula de fluido que ocupa un volumen infinitesimal cuya cara se muestra en la figura 3.6. la velocidad angular en torno al eje z, , es la velocidad angular promedio de los segmentos de la lnea AB y CD. Las dos velocidades angulares, en sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivas, y se escriben como

Por consiguiente, la velocidad angular de la partcula de fluido es

Y

Si se hubiera considerado la cara , se habra encontrado que la velocidad angular alrededor del eje y es

La cara yz dara la velocidad angular en torno al eje x :

Estas son las tres componentes del vector de velocidad angular. Un corcho colocado en agua que fluye por un canal ancho (el plano xy) girara con la velocidad angular dada por la ecuacin 3.2.15Es comn definir la vorticidad como dos veces la velocidad angular; sus tres componentes son entonces

las componentes de vorticidad en coordenadas cilndricas y esfricas se incluyen en la tabla 3.1.

Un flujo no rotatorio no posee vorticidad; el corcho antes mencionado no girara en un flujo no rotatorio. Este flujo especial se considera en la seccin 8.5. La deformacin de la partcula de la figura 3.6 es la velocidad de cambio del Angulo que el segmento de lnea AB forma con el segmento de lnea CD. Si AB gira a una velocidad angular diferente de la de CD, la partcula se est deformando. La deformacin est representada por el tensor de velocidad de deformacin; sus componente en el plano esta dado por

Para el plano xy y el plano yz se tiene

Observe que y . el tensor de velocidad de deformacin es simtrico.La particula de fluido tambin podra ser deformada si se alarga o comprime en una direccin particular. Por ejemplo, si el punto B de la figura 3.6 se mueve mas rpido que el punto A, la particula se alargara en la direccin x. esta velocidad normal de deformacin se mide como sigue

Asimismo, en las direcciones y y z se tendra que

El tensor de la velocidad de deformacin puede ser mostrado como

Donde los subndices i y j asumen los valores numricos 1,2 o 3. Entonces representa en la fila 1 columna 2.En el captulo 5 se ver que las componentes de esfuerzo cortante y normal en un flujo estn relacionadas con las componentes de velocidad de deformacin anteriores. De hecho, en el flujo unidimensional de la figura 1.6, el esfuerzo cortante se relacionaba con asada mediante la ecuacin .5.5; observe que es dos veces el componente de velocidad de deformacin dad por la ecuacin 3.2.19Con