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Clase 3: Anlisis frecuencial
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Manolakis & Ingle Fig4.1
por la identidad de Euler estudiar las sinusoides contnuas
es
equivalente a estudiar las exponenciales complejas.
Sinusoides y sus propiedades:Sinusoides continuas
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Propiedades de las sinusoides continuas:
Una sinusoide continua es peridica con periodo fundamentalpara
todo valor de
Dos sinusodies continuas con frecuencias distintas son seales
distintas
implica
La tasa de oscilaciones de una sinusoide continua se
incrementaindefinidamente a medida que aumenta la frecuencia
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Sinudoides continuas armnicas
Se denominan exponenciales complejas armnicas con frec.
Fundamentalal conjunto de seales dado por
Donde se denomina a como la armnica fundamental.
Todas las armnicas poseen perodo
Las armnicas son ortogonales
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Manolakis & Ingle Fig4.3
Armnicas
No armnicas
(cuasi-peridicas)
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Manolakis & Ingle Fig4.4
Sinusoides y sus propiedades:Sinusoides discretas
Definiendo la frec normalizada y la frec angular normalizada
Tenemos
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El hecho de que n sea una variable discreta
y que t sea continua trae aparejadas
diferencias fundamentales.
Estas diferencias son centrales
para los temas a estudiar
en este curso
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Propiedades de las sinusoides discretas:
Una sinusoide discreta
es peridica si y solo si
notemos que si es mayor que 1, es posible escribir
por lo que podemos solo considerar que la frec normalizada es
menor a 1
Esto implica que:
la frecuencia angular normalizada de una sinusoide discreta vara
entre
Sinusoides discretas cuyas frec. ang. varen en mltiplos de
son idnticas
La tasa de osc. de una sinusoide discreta aumenta cuando
se incrementa de a
PERO decrece cuando la frec. angular crece de a
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Sinudoides discretas armnicas
Consideremos las exponenciales peridicas (tales que )
Vemos que existe solo un nro finito de valores de k para los que
las
exponenciales son distintas
Las seales
son peridicas tanto en tiempo (n) como en frecuencia (k) con
perodo N
Las exponenciales complejas armnicamente relacionadas son
tambin
ortogonales
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Fig4.7
Variables frecuenciales y sus unidades
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Representacin en serie de Fourier de seales contnuas
Las seales contnuas peridicas pueden descomponerse
en un conjunto de sinusoides armnicas de igual perodo.
El espectro de la seal es discreto. Puede analizarse en trminos
de
la frecuencia
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Relacin de Parseval
La potencia promedio en un perodo puede obtenerse en ambos
dominios
El valor corresponde a la potencia promedio de x(t)
correspondiente al
K-esimo armnico.
Se denomina espectro de potencia de x(t) a la grfica de como
funcin de
Propiedades del espectro
Es un espectro de lineas, con separacin uniforme Si x(t) es
real
luego
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Manolakis & Ingle Fig4.8
Ej: tren de pulsos
muestreo de cada
La separacin entre cruces por cero depende de
La separacin entre lineas espectrales depende de
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Manolakis & Ingle Fig4.9
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Manolakis & Ingle Fig4.14
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Transformada de Fourier de tiempo contnuo
Considerando que una seal de tiempo continuo puede obtenerse
al llevar al lmite el perodo de una seal peridica se llega a
que el espectro de una seal aperidica es continuo
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Relacin de Parseval
Para seales aperidicas de energa finita tenemos
La energa en una banda de frecuencias est dada por
Lo que motiva que a se lo denomine
densidad espectral de energa
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Ej: Producto de seal aperidica con seal peridica
Dado que el producto es aperidico calculamos su TFTD
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Notemos que si
y
tendremos para
Lo que implica que en tal caso podemos recuperar
Realizando la transformada inversa de Fourier de en
Ej: consideremos que s(t) es un tren de impulsos con
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Manolakis & Ingle Fig4.1
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Representacin de Fourier de seales discretas
Se puede realizar un anlisis equivalente al visto para seales
contnuas
Consideremos una seal formada por N exponenciales complejas
harmnicas
esta seal es peridica con perodo N.
Los coeficientes pueden obtenerse a partir de la ortogonalidad
delas seales armnicas. Multiplicando a ambos lados de la ecuacin
por
y sumando sobre n tenemos
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Operando
Sabemos que es igual a si
y cero en cualquier otro caso
Luego
Al igual que es una seal peridica de perodo
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En vistas de este resultado tenemos una forma de representar
Secuencias peridicas, lo que es equivalente a la
Serie de Fourier de Seales Discretas
Tambin es vlida la relacin de Parseval
Y con ella la interpretacin de que corresponde al espectro
de
potencia de la seal para las frecuencias
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Ej. Tren de impulsos
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Ej. Tren de pulsos
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En el ejemplo anterior podemos ver una funcin similar a la
sinc(x)
pero peridica, que se denomina funcin de Dirichlet
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Cambridge University Press 2011
Debido a que el clculo de la SFTD requiere de un nmero
finito
de trminos, es posible calcularla exactamente en un tiempo
finito.
En MATLAB la funcin que hace esto es fft(.)
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Transformada de Fourier de tiempo discreto (TFTD)
Al igual que antes, se puede llegar a la transformada de Fourier
partiendo de
La serie de Fourier y llevando el perodo a infinito.
Si consideramos el caso del tren de pulsos tendremos
Manteniendo el largo del pulso en y aumentandoel perodo de la
seal tendremos
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Manolakis & Ingle Fig4.22a
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Manolakis & Ingle Fig4.22b
M l ki & I l Fi 22
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Cambridge University Press 2011
Manolakis & Ingle Fig4.22c
Manolakis & Ingle Fig4.22c
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Manolakis & Ingle Fig4.22d
En el lmite tendremos que las muestras se acercan como
y el resultado ser continuo
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Cambridge University Press 2011Manolakis & Ingle Fig4.23
Consideremos una seal aperidica y su extensin peridica
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Como se cumple que tenemos
Si en funcin de esto definimos una funcin continua
envolvente
Vemos que podemos calcular a los coeficientes como muestras
de
esta envolvente
Donde es el espaciado entre sucesivas muestras espectrales
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Reconstruyendo a partir de los coeficientes, y teniendo en
cuenta
que si podemos escribir
luego
A medida que tendremos que para finitoy tambin por lo que en el
lmite la expresin anterior
resulta:
Dado que es peridica de perodo podemos seleccionar
cualquier intervalo de esa duracin para realizar la
integracin.
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Asi la transformada de Fourier de tiempo discreto esta dada
por
Y de la derivacin de esta tenemos el hecho que la serie y
transformada
De Fourier de tiempo discreto estn relacionadas en ambos
dominios
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Relacin de Parseval
Si la secuencia es de energa finita tenemos
Y por idntico razonamiento al hecho anteriormente denominamos
a
como densidad espectral de energa
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Propiedades de la TFTD
Relacin con la transformada Z
Si la RDC de contiene al circulo unidad,
podemos evaluarla en este
Podemos apreciar que esto se corresponde con la TFTD de
Asi la TFTD puede obtenerse intersectando un cilindro de radio
1
centrado en el origen con la grfica de
Manolakis & Ingle Fig4 26
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Manolakis & Ingle Fig4.26
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Simetras
Sean tanto como su TFTD funciones complejas
Separemos la parte real e imaginaria de . Reemplazando
obtenemos
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Analicemos el caso de una seal real
Reemplazando tenemos
Por simetra del seno y el coseno
y
tenemos
La parte real posee simetra par
La parte imaginaria posee simetra impar
Es decir, posee simetra Hermtica
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El mdulo y fase de la TFTD estn dados por
Teniendo en cuenta la simetra de las partes reales e
imaginarias
obtenemos
Mdulo par
Fase impar
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Consideremos ahora una seal real y par
Debido a que es par y es impar tendremos
Par
Par
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Si por el contrario tenemos una seal real e impar
Debido a que es impar y es par tendremos
Impar
Impar
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Seal TFTDReal y par Real y par
Real e impar Imaginaria e impar
Imaginaria y par Imaginaria y par
Imaginaria e impar Real e impar
Seal RP + RI + j ( II + IP )
TFTD RP + RI + j ( II + IP )
Si es (im)par su transformada se mantiene (im)par
Resumen de propiedades de simetra
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Ej: consideremos una secuencia cuya TFTD est dada por
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De la ecuacin de sntesis obtenemos
En usamos LHospital para resolver
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Propiedades operativas de la TFTD
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Desplazamiento en frecuencia
Modulacin
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Propiedades operativas de la TFTD
Diferenciacin en frecuencia
Reflexin temporal
Conjugacin
Convolucin
Multiplicacin de secuencias (ventaneo)
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Teorema de Parseval (Plancherel)
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Correlacin
La correlacin entre dos secuencias se define como
Y existe si al menos una de las secuencias posee energa
finita.
Podemos analizar su utilidad definiendo una nueva secuencia
y calculando su energa
Que es una ecuacin cuadrtica en donde la desigualdad
se cumple cuando el discriminante es no-positivo
o seaCoeficiente de correlacin
normalizado
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Consideremos el caso
obtenemos correlacin mxima
En cambio si
Tenemos correlacin mnima
El caso define la no-correlacin de las secuencias
Por inspeccin podemos verificar que la diferencia entre la
convolucin
y la correlacin se encuentran en el espejado de la secuencia
previo a su desplazamiento. En el caso de la correlacin
tenemos
lo que implica que la correlacin no es conmutativa
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En base a esto podemos obtener la correlacin de dos seales
basados en su convolucin
Luego su TFTD est dada por
En el caso particular de correlacionar una secuencia consigo
misma
tenemos
Resultado que se conoce como teorema de Wiener-Khinchine
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Manolakis & Ingle Fig4.33
Representacin de Fourier para distintos tipos de seales
