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FÍSICA II

TEMA 2. ONDAS

CURSO 2013/14

2 T2. Ondas

» 2.1. Ondas unidimensionales

» 2.2. Ondas tridimensionales

» 2.3. Ecuación de ondas

» 2.4. Ondas planas y esféricas

» 2.5. Ondas armónicas. Frentes de ondas y velocidad de fase

» 2.6. Superposición de ondas

» 2.7. Ondas estacionarias

» 2.8. Ondas no armónicas. Paquetes de onda. Velocidad de grupo

» 2.9. Reflexión y refracción

» 2.10. Ley de Snell y reflexión total

» 2.11. Fenómenos de interferencia y difracción

ÍNDICE

3 T2. Ondas

» BIBLIOGRAFÍA: » Alonso y Finn; Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. » Sears et al.; Física Universitaria, Vol.1, 2004. » Tipler; Física, Vol.1, Ed Reverté. 1988. » A.P. French; Vibraciones y Ondas, Ed Reverté, 1993. » Berkeley Physics Course, Vol. 3, Ondas, 1977.

4 T2. Ondas

― Introducción » Fenómenos físicos que pueden ser descritos por la

matemática del movimiento ondulatorio: • Un pulso que viaja a lo largo de la cuerda de una guitarra

• La onda que se propaga por la superficie de un estanque

• La luz que llega del universo

• Las señales de radio

• El sonido percibido al golpear una campana

• Los terremotos

5 T2. Ondas

» En estos sistemas una porción del mismo se ha perturbado de su posición de equilibrio y esta perturbación se ha propagado de una región a otra.

» Una onda es cualquier perturbación de la condición de equilibrio que se mueve o propaga en el tiempo de una región a otra del espacio.

» Tipos de ondas • Mecánicas (elásticas)

• Electromagnéticas

6 T2. Ondas

» Ondas mecánicas: • Causa: Al desplazarse una partícula de la posición de equilibrio aparecen fuerzas internas de tipo elástico que unido a la inercia originan la propagación de la perturbación

• Necesitan un medio para su propagación

• Ejemplos: cuerda tensa, muelle, ondas en una columna de gas, ondas sonoras

7 T2. Ondas

8 T2. Ondas

» Electromagnéticas: • Fuente:

― Cargas eléctricas que se aceleran

― Electrones ligados a los átomos al realizar transiciones a estados energéticos inferiores

• No precisan medio material

•Ejemplos: Ondas de radio (AM 1 MHz , FM 100 MHz); ondas luminosas; rayos X, rayos γ.

9 T2. Ondas

» Según la geometría del medio donde se propagan tendremos ondas 1D, 2D, 3D. » Según la magnitud física asociada las ondas tienen un carácter escalar o vectorial. » En el tratamiento realizado se supone que la onda tiene un carácter escalar. Si la magnitud es un vector se supone que trabajamos con una componente.

10 2.1. Ondas unidimensionales

― Función viajera » Estudio de la función de onda que nos da el valor de

la perturbación en todo punto del medio en cualquier instante.

» Estudio para una onda sin distorsión.

» Sea Ψ una perturbación que se propaga según +ox con velocidad v.

» En t=0: Ψ(x,0)=f(x)


» En t, el pulso se ha desplazado a lo largo del eje x una distancia x0=vt, pero en todos los otros aspectos permanece inalterado. La función que representa la perturbación en este instante será f(x-x0). Se obtienen los mismos valores de f para valores de x aumentados x0.

» Ψ(x,t)=f(x-vt) representa una función viajera que se desplaza según +ox con velocidad v. Al aumentar el tiempo en ∆t, la función toma el mismo valor para un incremento correspondiente en x de v∆t:


» Del mismo modo, f(x+vt) representa una perturbación que se mueve según –ox con velocidad v.

» La expresión anterior es adecuada para describir una situación física asociada a un movimiento ondulatorio que viaja sin distorsión según +ox. Representa la forma general de la función de onda unidimensional y determina el valor de la perturbación para toda posición en cualquier instante.


» La ecuación diferencial que gobierna la propagación de una onda sin distorsión viene determinada por:

― Ecuación de onda

» Ψ(x,t) es la magnitud física que sufre la perturbación que se propaga en la dirección del eje ox con una velocidad v

» v es la velocidad de propagación


» Comprobación que Ψ(x,t)=f(x±vt) es solución de la ecuación de onda:

» La solución general será del tipo:


» La forma del perfil de onda Ψ(x,t) es del tipo sen o cos • Sea en t=0:

– Ψ0 es la amplitud

– k una cte denominada número de onda o cte de propagación

― Ondas armónicas

• Una onda progresiva que viaja con velocidad v en la dirección +ox será:


» El argumento completo de la función se conoce como la fase:

» De una forma general se puede escribir:

» Siendo ϕ0 la fase inicial


» Si comparamos “dos fotos” obtenidas en dos instantes de tiempo:


•Periodo espacial λ: – El periodo espacial se conoce como longitud de onda λ

– Un aumento o disminución en x de la cantidad λ debe dejar Ψ inalterado

» Manteniendo fijos x o t resulta una perturbación armónica de forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo.


» En t=0

» Ejemplo:


– Frecuencia espacial α:

•Periodo temporal T:

– Es el tiempo T que tarda una onda completa pasar un observador estacionario

– En un x=cte debe verificarse:

– Número de onda:


– En x=0:


– Frecuencia angular: :

– Frecuencia temporal f: :

» Relaciones que determinar la velocidad de propagación o velocidad de fase para una onda armónica :


tiem

po c

reci

ente

Periodicidad espacial (λ) + propagación a v implica periodicidad temporal ( T )


v

» En la posición x constante:


» Fase y velocidad de fase • Sea una función de onda armónica:

– Con fase:

• Si nos movemos con un punto del perfil, por ejemplo, la cresta de la onda, el desplazamiento del punto permanece constante. Igualmente le ocurre a la fase, ya que es la única variable en la función de onda armónica. Por tanto:

–Se obtiene que rapidez con la cual el perfil se mueve o velocidad de propagación de la onda coincide con la velocidad de fase.


» Expresiones equivalentes:

» Hemos realizado el estudio previo siguiendo la notación seno. Igualmente se puede utilizar la notación coseno. Recordamos que simplemente hay un desfase entre dichas funciones de π/2:

27 2.2. Ondas tridimensionales

» Un movimiento ondulatorio en dos dimensiones está definido por una función del tipo Ψ=f(x,y,t). Las ondas producidas, por ejemplo, en la superficie de los líquidos golpeando la superficie en un punto periódicamente son de este tipo. Las ondas son “circulares” ya que la perturbación llega a la vez a círculos concéntricos.


» Si la perturbación física se extiende a todo el espacio, el movimiento ondulatorio está descrito por una función del tipo Ψ=f (x,y,z,t). Según la forma geométrica de la superficie perturbada las ondas son “planas”, “esféricas”, cuando la superficie de onda son esferas concéntricas y, en general, ondas cilíndricas, elipsoidales…etc.


» Una función del tipo Ψ(r,t) representa ondas esféricas ya que el valor de la función es el mismo sobre los puntos de una superficie esférica de radio r en un tiempo dado t. Por ejemplo, al contraerse y expandirse una pequeña esfera rodeada por un fluido, genera variaciones de presión que se propagan hacia fuera como ondas esféricas. La radiación que emana de una fuente puntual de luz llega a la vez a esferas concéntricas, resultando una onda esférica.

30 2.3. Ecuación de ondas

» La ED asociada a un proceso ondulatorio en un espacio 3D es:

es la magnitud física asociada a la perturbación que se propaga con velocidad v

» En general, para que una función represente un movimiento ondulatorio debe ser una solución de la ecuación de onda.

31 2.3. Ecuación de ondas

» Dichas superficies representan el lugar geométrico de los puntos a los que la perturbación llega a la vez.

»La dirección perpendicular al plano tangente a la superficie perturbada es la dirección de propagación.

» Ejemplos de soluciones: ondas planas, cilíndricas, esféricas.

» En las superficies planas, cilíndricas, esféricas, en cualquier instante el argumento de la función toma el mismo valor.

32 2.4. Ondas planas y esféricas

― Ondas planas

(dirección de propagación)

describe una onda plana que se propaga

paralelamente al eje +ox.

representa un movimiento ondulatorio

que se propaga según ox. Si la perturbación descrita por Ψ se extiende a todo el espacio, para un t, la función toma el mismo valor en planos x=cte.

33

Onda plana

v

2.4. Ondas planas y esféricas

»animación


»En general determina un plano perpendicular a

» Distancia del plano al origen de coordenadas


» Función de onda asociada a una onda plana:

» En cada instante de tiempo t, la función es constante sobre el plano:

» Al ir variando el valor del parámetro cte se obtiene una familia de planos, todos perpendiculares a , y en cada uno de ellos el valor de la función es constante.

dirección de propagación, perpendicular al plano.


― Ondas planas armónicas

» Vector de propagación:


» Velocidad de propagación o de fase:

»animación


― Ondas esféricas » Solución de la ecuación de onda que representen ondas esféricas son del tipo:

»El valor de Ψ es el mismo sobre puntos de una superficie esférica de radio r en un tiempo dado t.

» Debido a la simetría interesa utilizar el operador Laplaciano en coordenadas esféricas:

» Las derivadas angulares respecto θ a ϕ y son nulas y se verifica:


»En este caso, la ecuación de onda toma la forma:

» Cuya solución general será:

» La primera función emerge desde el origen y su amplitud decrece como 1/r al alejarse.

» La segunda converge hacia el origen y su amplitud aumenta como 1/r al acercarse.


― Ondas esféricas armónicas

» Amplitud:

» La fase es cte en las superficies:

» Velocidad de propagación o de fase:

41 2.5. Ondas armónicas. Frentes de onda y velocidad de fase

» Una onda armónica en general puede representarse por:

» Donde las funciones y varían con la posición y deben ser tales que verifique la ecuación de onda.

― Expresión general para una onda armónica

» En cada punto la perturbación descrita corresponde a oscilaciones armónicas en el tiempo siendo la amplitud y la parte espacial de la fase dependientes de


» Si ambas superficies coinciden se dice que las ondas son homogéneas, llamándose inhomogéneas en caso contrario.

» Las superficies de amplitud constante están definidas por:

» Para un tiempo t, las superficies de igual fase se denominan frentes de onda o superficies de onda y están determinados por la condición:


• Onda armónica esférica:

• Onda armónica plana:

» Ejemplos de ondas armónicas:


» Frentes de onda:

• Onda armónica plana:

– Frente de onda:

* Frente plano:

–Las superficies de amplitud son iguales a Ψ0. Por tanto, la amplitud es cte.


– Para la onda armónica plana estudiada, se obtiene que, para un tiempo t, en cada uno de los planos perpendiculares a la fase es constante. Si tomamos como variable la distancia del plano al origen de coordenadas


• Onda armónica esférica:

– Frente de onda:

* Frente esférico:

–Además las superficies de amplitud son también esferas r=cte. Por tanto, la onda es homogénea.


― Notación compleja • Podemos asociar a la función de onda un complejo de forma que si utilizamos la notación “sen” su parte imaginaria corresponde a la onda:

• Se denomina amplitud compleja:


• La “onda verdadera” correspondiente a la onda será:

– Si utilizamos la notación “cos”:

• “Onda compleja” asociada a la onda:


» Ejemplos notación compleja:

– Onda armónica unidimensional:

* Amplitud compleja: * Onda compleja:

– Onda armónica plana:



– Onda armónica esférica:


51 2.6. Superposición de ondas

» Sean dos ondas con la misma frecuencia angular ω y con la misma amplitud, propagándose a lo largo de la dirección positiva del eje x con igual velocidad:

» Se pretende determinar qué sucede cuando varias ondas se superponen en la misma región del espacio.

» Como la ecuación de onda es lineal, si Ψ1, Ψ2… son soluciones de la ecuación de onda, cualquier combinación lineal será una solución.

― Superposición de ondas de la misma frecuencia propagándose en la misma dirección y sentido


– Teniendo en cuenta la relación:

– Perturbación resultante: Amplitud

*Como resultado de la superposición se obtiene una onda armónica de la misma frecuencia que la de las componentes pero de diferente amplitud y fase.


– Utilizando la notación compleja y considerando amplitudes diferentes:

* Conclusión: Como resultado de la superposición de ondas armónicas de la misma frecuencia que viajan en la misma dirección se obtiene una onda armónica de la mima frecuencia.

x

54 2.7. Ondas estacionarias

» Se pretende determinar el resultado de la superposición de dos ondas de la misma amplitud y frecuencia que se propagan con igual velocidad, en la misma dirección pero en sentido contrario.

» La perturbación compuesta será:

» Aplicando la relación trigonométrica:


» Como resultado de la superposición se obtiene para el caso estudiado:

– Representa un movimiento armónico simple cuya amplitud varía con la posición y viene dada por:

X


» La amplitud es cero en las posiciones que se denominan nodos y que en este caso son:

» Los nodos sucesivos están separados λ/2. A medio camino entre cada par adyacente de nodos, la amplitud tiene el valor máximo, 2Ψ0; estos puntos se denominan antinodos.

» La expresión kx±ωt, característica de una onda progresiva no aparece en el resultado final. La ecuación obtenida corresponde a una onda estacionaria, es el producto de dos funciones, una del tiempo y otra de la posición. Las variables x y t están separadas. La energía de la onda incidente es igual al de la reflejada dando una transferencia media de energía nula en todos los puntos.


» Un ejemplo de onda estacionaria se observa en una cuerda tensa al reflejarse una onda incidente en un extremo fijo de forma que la onda resultante es cero en dicho extremo. Otros ejemplos se observan cuando una onda sonora llega a una pared rígida, o una onda electromagnética a una lámina conductora.

58 2.8. Ondas no armónicas. Paquetes de onda. Velocidad de grupo

» Para una onda armónica plana de frecuencia ω y longitud de onda λ=2π/k, la velocidad de propagación, denominada velocidad de fase, es:

» Para transmitir una señal interesa utilizar ondas que empiezan un determinado instante y terminan un cierto tiempo más tarde. Una onda de estas características se denomina pulso, paquete o tren de ondas.


» La velocidad con la que la pulso viaja, velocidad de grupo, es la misma que llevará la señal que se transmite con el paquete de ondas.

» Un pulso no es una onda armónica pero se puede descomponer en la suma de muchas ondas armónicas (armónicos) de diferente amplitud y frecuencia (Teoría de Fourier).

» Como ejemplo básico para obtener un paquete de ondas vamos a sumar dos ondas sinusoidales de longitudes de onda (o frecuencias) ligeramente diferentes, moviéndose en el mismo sentido y con la misma amplitud:


» El resultado de la superposición se puede escribir como:

» Perturbación resultante:

» Nota:


• Se definen las cantidades medias:

• Las cantidades ωm y km corresponden a la frecuencia angular de modulación y al número de onda de modulación:

• Para el caso estudiado de frecuencias ligeramente diferentes :


» La perturbación total se puede expresar como:

» Representa un movimiento ondulatorio de amplitud modulada, que consiste:

• Una onda portadora de longitud de onda corta (alta frecuencia )

• Una modulación en amplitud mediante una envolvente de longitud de onda larga (onda moduladora). La envolvente de la modulación es:

*Moduladora *Portadora


grupo portadora

moduladora

64

xportadora

moduladora (envolvente)

velocidad de fase

velocidad de grupo

x

en faseen oposición de fase

en oposición de fase

2.8. Ondas no armónicas. Paquetes de onda. Velocidad de grupo


» Fase de la portadora:

» Fase de la moduladora:

» Cada cresta de la portadora se mueve con la velocidad de fase:

» La rapidez con la cual la envolvente de modulación avanza se conoce como velocidad de grupo vg:


• La modulación o señal (paquete de ondas) se propaga con una velocidad vg que puede ser mayor, igual o menor que la velocidad de fase de la portadora v. Esta ecuación es general y se puede aplicar, también, para cualquier grupo de ondas que se superpongan siempre que su rango de frecuencias sea estrecho.

• Un paquete de ondas tiene una extensión finita y excepto en los casos que se sigue el movimiento de una cresta individual, lo que se observa es el movimiento de un grupo de ondas (vg).

• Como , se obtiene: animación1

• Cuando el rango de frecuencias es pequeño, es aproximadamente igual a la derivada:


» La velocidad no depende de la frecuencia (o de la longitud de onda).

» La forma con la que viaja un pulso se mantiene

– Medios no dispersivos

• Ejemplo de superposición de dos ondas de frecuencia parecida propagándose con igual velocidad: “pulsaciones o batidos”. Si se superponen las ondas emitidas por dos diapasones con frecuencias similares se obtiene una onda propagándose en el aire de frecuencia portadora ω0 que tiene la amplitud modulada.

x


» La velocidad depende de la frecuencia (o de la longitud de onda),

• Ley de dispersión

» La forma con la que viaja un pulso puede variar con el paso del tiempo. Un pulso con muchas frecuencias altamente localizado inicialmente no mantiene su forma y consecuentemente se produce distorsión.

• Ejemplos: – Luz blanca propagándose a través de un vidrio dispersivo – Ondas superficiales en un líquido en aguas profundas

– Medios dispersivos

»animación2

69 2.9. Reflexión y refracción

» La velocidad de propagación de una onda depende de las propiedades del medio. Cuando una onda encuentra la superficie que separa dos medios en los que la onda se propaga con velocidad distinta se producen los fenómenos de reflexión y refracción. La onda reflejada es una onda nueva que regresa por el medio a través del cual se propaga la onda incidente. La onda refractada es la que se transmite al segundo medio.

― Leyes de la reflexión y refracción de ondas planas:


» Leyes de la reflexión y refracción: • 1. Los rayos incidente, reflejado y refractado están todos en el plano de incidencia.

• 2.

• 3. Ley de Snell


»Plano de incidencia: • Onda incidente:

• Onda reflejada:

• Onda refractada:


» A ambos lados de la superficie de separación el valor de la perturbación debe ser el mismo:

» Consecuencias:

» En cada instante de tiempo:

» En cada punto sobre la superficie:

r

» Por tanto, se verifica:


» Resultado: » (1) Los vectores de propagación de las ondas reflejada y refractada están en el plano de incidencia, definido por la normal a la superficie y la dirección de propagación del frente incidente.

» (2) La proyección de y sobre la interfase es igual al de

» Como

• Se deduce:

» Ley de Snell

• Igualmente:

74 2.10. Ley de Snell y reflexión total

» El fenómeno de reflexión total puede ocurrir cuando la onda pasa de un medio a otro de forma que la velocidad del segundo es mayor que la del primero.

se verifica: » Para

»Si

» Para • Condición ángulo límite o crítico

no hay rayo refractado (reflexión total) » Si

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