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EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 2011-2012

1

EJERCICIOS DE VECTORES

CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL

1. En el conjunto 2 se definen las operaciones siguientes:

Suma + : , ', ' ', '

Producto por escalar : , , 0

x y x y x x y y

x y x

Estudiar si 2; , es un espacio vectorial

SOLUCIN

La suma es la habitual luego verifica las propiedades.

Asociativa, al ser una suma de nmeros reales

Neutro: (0,0)

Opuesto: (-x, -y)

Conmutativa al ser una suma de nmeros reales Sin embargo el producto por escalar NO verifica la propiedad 4:

1 , , ya que 1 , 1 ,0 ,0x y x y x y x x

Las dems propiedades del producto por escalar quedan verificadas

, ', ' ', ' ' , 0

', 0 , 0 ', 0 , ', '

x y x y x x y y x x

x x x x x y x y

, , 0 , 0

, 0 , 0 , ,

x y x x x

x x x y x y

, , 0 , 0

, 0 ,

x y x x

x x y

COMBINACIONES LINEALES

2. Determina la expresin general implcita del conjunto de vectores de 3 que son

combinacin lineal de los vectores (1, 2, -1) y (4, 1, 1).

SOLUCIN

Cualquier vector , ,t

u x y z ser combinacin lineal de ellos si se verifica

4

, , 1,2, 1 4,1,1 2

x

x y z y

z


2

Estas son las ecuaciones paramtricas del subespacio.

Para obtener el subespacio en implcitas: Se eliminan los parmetros entre las tres

ecuaciones:

Sumar la 1 y la 3 ecuacin. Restar a la 1 ecuacin 4 veces la 3

5

4 5

x z

x z

Con estos valores se entra en la 2 ecuacin

5 10 5 ; 5 2 8y y x z x z 3 5 7 0x y z

SUBESPACIOS

3. Indicar razonadamente si son subespacios:

3.1. El conjunto de las matrices simtricas de orden n, con la suma de matrices y

producto por escalar.

3.2. El conjunto de las matrices singulares de orden 2, con la suma de matrices y

producto por escalar.

3.3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen

3.4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el origen

2( , ) / 1S x y R x y

SOLUCIN

3.1. El conjunto de las matrices simtricas de orden n es un subespacio vectorial del

conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma de matrices y producto por

escalar.

1 2 simetrica

1 2 1 2 1 2

1 simetrica 1 1 1

,

,

t

t t t

t t

A A A A A

A A A A A A

K A A A A A

3.2. El conjunto de las matrices singulares de orden 2 NO es subespacio del conjunto

de las matrices cuadradas de orden 2 con la suma de matrices y producto por escalar.

Ya que la suma de dos matrices singulares puede ser una matriz regular.


3

1 2 1 2

Singular Singular Regular

1 0 0 0 1 0;

0 0 0 1 0 1A A A A

3.3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen es un subespacio

del espacio vectorial 2R (plano).

2( , ) / 0S x y R x y

ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto de un vector de

la recta por un escalar es un vector de la recta.

3.4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el origen NO es un

subespacio del espacio vectorial 2R (plano).

2( , ) / 1S x y R x y

ya que no contiene al vector 0 (0,0) .

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

4. Determinar el valor de t para que los vectores de coordenadas u1 = (1, 1, t)t, u2 = (0,

t, 1-t)t y u3 = (1,-2, t)t , referidos a la base cannica, sean linealmente independientes.

Qu valores de t les hace ser linealmente dependientes? En este caso expresar el

tercer vector 3u como combinacin lineal de los dems

SOLUCIN

Si tres vectores son linealmente independientes el determinante de la matriz formada

por sus coordenadas debe ser distinto de cero.

1 2 3

2 2

(1,1, ) , (0, ,1 ) , (1, 2, )

1 0 1

1 2 1 2(1 ) 0 3(1 ) 0 1

1

t t tu t u t t u t

t t t t t t t

t t t

1

2

3

Si 1 Vectores linealmente independientes

(1,1,1)

Si 1 Vectores linealmente dependientes. (0,1,0)

(1, 2,1)

t

t

t

t

u

t u

u

3 1 22u u u


4

SUBESPACIO ENGENDRADO

5. Encontrar el valor de a para que el vector (3, ,3)tu a pertenezca al subespacio

engendrado por 1 2(1,4,3) , (2,1,0)t tu u .

SOLUCIN

Para que u pertenezca al subespacio engendrado por 1 2,u u debe ser combinacin lineal de ambos.

1 2

(3, ,3) (1,4,3) (2,1,0)

2 31

4 5 ; 3,5,31

3 3

Adems se cumple que

t

a

a a u

u u u

6. Comprobar si el vector (3,5,3)u pertenece al subespacio S engendrado por

1 2 3(1,4,3), (2,1,0), ( 1,3,3u u u

En caso afirmativo razonar si el vector u se expresa de forma nica.

SOLUCIN

Para que u pertenezca al subespacio S engendrado por 1 2 3, ,u u u debe ser combinacin lineal de stos.

(1,4,3) (2,1,0) ( 1,3,3) (3,5,3)

2 3 1

4 3 5 1

3 3 3

u S

El vector u pertenece al subespacio S engendrado por 1 2 3, ,u u u pero hay infinitas soluciones porque los vectores no son linealmente independientes.

Por ejemplo 1 2 3Si 2 1; 3; 2 ; 3 2u u u u

3 2 1 1 2Se verifica que . Por tanto se puede considerar ,Su u u B u u

Se podra haber suprimido el vector 3u ya que es combinacin lineal de los otros y se

suprime as un parmetro. La solucin es inmediata:


5

1 2

(1,4,3) (2,1,0) (3,5,3)

2 31 1

4 51 1

3 3

u u u u u S

7. Comprobar si el vector (3,0,3)u pertenece o no al subespacio S engendrado

por los vectores 1 2(1,1,0) , (0,1,0)u u .

SOLUCIN

Para que u pertenezca al subespacio S engendrado por 1 2,u u debe ser combinacin lineal de ambos.

(1,1,0) (0,1,0) (3,0,3)

3

0

0 3

Sistema incompatible. Luego u S ; 1 2 engendrado por ,S u u

BASE Y DIMENSIN

8. En 2

referido a la base cannica ,B i j se da otra base 1 2' ,B u u

definida 1 2;u i u i j .

1. Comprobar que 'B es una base de 2 . 2. Obtener la matriz de cambio de base.

Se dan los vectores: 2v i j y 1 2w u u .

3. Obtener las coordenadas de ambos vectores en las dos bases. De forma algebraica

y de forma matricial

SOLUCIN

1. Comprobar que 'B es una base de 2 .

'B es una base de 2 porque los vectores son linealmente independientes ya que

1 2 0 ; (1,0) (1,1) (0,0) 0; 0u u .

Adems 2( , ) : (1,0) (1,1) ( , )x y x y

x x y

y y


6

Tambin se puede comprobar que es una base: 1 1

1 00 1

.

Son linealmente independientes y como son 2 vectores generan 2

2. Cambio de base: 1 21 1

0 1

P

u u i j

11 1 1 1

Matriz de cambio de base: 0 1 0 1

P P

3. Coordenadas de los vectores en ambas bases:

Expresar el vector v en la base 'B :

1Antiguas Nuevas

1 1 1 1

0 1 2 2

P

;

1 22v u u

Tambin: 1

1 1 2 1 2

1 2

2 2 2i u

v i j u u u u uj u u

Expresar el vector w en la base B :

Nuevas Antiguas

1 1 1 2

0 1 1 1

P

; 2w i j

Tambin: 1

1 2

2

2u i

w u u i i j i ju i j

9. Se considera el espacio vectorial ( )P x de los polinomios de grado menor o igual a

2 con coeficientes reales. Expresa la base cannica de ( )P x y determina

razonadamente cual es la dimensin de este espacio vectorial. Analiza si los

polinomios siguientes son linealmente independientes Forman una base de P(x)? En

caso negativo indicar la dimensin del subespacio que engendran.

2 2 2( ) 1 4 ; ( ) 3 6 2 y ( ) 2 7 2A x x x B x x x C x x x

SOLUCIN

La base cannica de los polinomios de grado menor o igual a 2 es 21, ,B x x . Ya

que 2

0 1 2( ) 1p x a a x a x


7

Por tanto la dimensin de ( )P x es 3 ya que hay 3 vectores en la base.

Las coordenadas de los polinomios dados en la base cannica son:

( ) 1, 1,4 , ( ) 3,6,2 , ( ) 2,7, 2t t t

A x B x C x

' '

2 2 1 3 3 2'

3 3 1

3

2

1 1 4 1 1 4 1 1 4

3 6 2 0 9 10 0 9 10 ; ( ), ( ), ( ) 2

2 7 2 0 9 10 0 0 0F F F F F F

F F F

rg A x B x C x

Los polinomios dados NO son linealmente independientes, por tanto no forman una

base de ( )P x cuya dimensin es 3. Como el rango es 2 engendran un subespacio de

( )P x de dimensin 2.

10. Comprobar que 1 2 31,1,1 , (1,0,1), (0,2,3)B u u u es una base de 3. Los

vectores de la base 1 2 3, ,B u u u van referidos a la base cannica

1 2 3, ,CB e e e de 3.

a) Dado el vector 1 2 32u u u u . Expresarlo en la base cannica de 3 usando

tcnicas algebraicas. Realizar tambin el ejercicio de forma matricial.

b) Dado el vector 1,3, 2t

Cv expresado en la base cannica de 3 . Halla sus

coordenadas en la base B usando tcnicas algebraicas. Realiza tambin el ejercicio en forma matricial.

SOLUCIN

B es una base de 3: Hay que comprobar que son vectores linealmente

independientes y forman un sistema generador del espacio vectorial 3.

Linealmente independientes

0 0

1,1,1 (1,0,1) (0,2,3) 0 2 0 0

3 0 0

1 1 0

Tambin: 1 0 2 3 0. Luego son linealmente independientes

1 1 3

Sistema generador de 3


8

2 3 2

3

3 21,1,1 (1,0,1) (0,2,3) , , 2

33

3

x y z

xx y z

x y z y

zx z

La matriz de cambio de base

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 1 0Base Cannica: C=

1 0 2 ; Base

1 1 3

e e eu u u e e e

B u u u

Matriz de cambio de base

1 1 0

1 0 2

1 1 3

P

; 1

2 3 21

1 3 23

1 0 1

P

Coordenadas del vector u en la base C

Dado el vector 1 2 32u u u u referido a la base B

Algebraicamente

1 2 32 2(1,1,1) 1(1,0,1) ( 1)(0,2,3) (3,0,0)t

Cu u u u

Matricialmente

1 1 0 2 3

( ) ; 1 0 2 1 0

1 1 3 1 0

B C

C B C

P u u

u P u u

1 2 3 12 ; 3B Cu u u u u e

Coordenadas del vector v en la nueva base B

Dado el vector en la base cannica C: 1 2 3(1,3, 2) 3 2t

Cv v e e e

Algebraicamente

1 2 3v u u u hay que hallar las coordenadas de v en la base B.

Para ello se identifican las coordenadas en la base cannica y resulta el sistema de

ecuaciones lineales


9

1 5

(1,3, 2) 1,1,1 (1,0,1) (0,2,3) 2 3 4

3 2 1

v

Que son las coordenadas del vector v en la nueva base B.

Matricialmente

1

1

2 3 2 1 51

; 1 3 2 3 43

1 0 1 2 1C B

B C B

v vP

v P v v

1 2 3 1 2 33 2 ; 5 4C Bv e e e v u u u

11. En el espacio vectorial 2( )M de las matrices cuadradas de orden 2 cuyos

elementos son nmeros reales. Expresar la base cannica de este espacio vectorial.

Indicar una base del subespacio S de las matrices simtricas y otra base del

subespacio H de las matrices antisimtricas. Calcular S H .

SOLUCIN

Sea 11 12

21 22

a aA

a a

una matriz cualquiera 2( )A M

La base cannica de las matrices cuadradas de orden 2 es

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1CB

; 2dim( ) 4M

Sea 11 12

1

12 22

a aS

a a

una matriz simtrica 1 2( ) tal que ij jiS M a a

1 0 0 1 0 0, ,

0 0 1 0 0 1SB

; dim( ) 3S

Sea 12

1

12

0

0

aH

a

una matriz antisimtrica 1 2( ) tal que ij jiH M a a

0 1

1 0HB

; dim( ) 1H


10

Se verifica que 23 14

dim dim( ) dim( )M S H esto supone que 0S H y

los subespacios son suplementarios. Se puede observar que la interseccin es la

matriz nula de orden 2.

11 12

12 22

12

12

1 0 0 1 0 0Simtrica:

0 0 1 0 0 1

0 0 1Antisimtrica:

0 1 0

a a

a a

aa

a

Al identificar las coordenadas (elementos de la matriz) resulta

11

12

21

22

0

0. Por tanto

0

a

a aa

a a

a

0 0

0 0S H

Matriz nula de orden 2

Esto no es de extraar ya que no es posible una matriz que al mismo tiempo sea

simtrica y antisimtrica.

Conclusin Los subespacios S y H son suplementarios y su suma es directa:

2( )M S H . Se verifica que Toda matriz se puede descomponer de modo

nico en una matriz simtrica y otra antisimtrica.

1 11 1

2 2

t tA S H A A A A

t t

t t t t tA A A A A A A A SIMTRICA

t t

t t t t tA A A A A A A A ANTISIMTRICA

12. Sea E un espacio vectorial sobre referido a la base cannica 1 2 3, ,B e e e . Se

consideran otras bases: 1 1 2 3, ,B u u u , 2 1 2 3, ,B v v v cuyos vectores van

expresados en la base cannica.

1 1 2 3

1 2 1 3

3 2 3

u e e e

B u e e

u e e

;

1 1 2 3

2 2 2 3

3 3

v e e e

B v e e

v e

; Sea 1 2 32w u u u

Obtener las coordenadas del vector w en las tres bases.


11

SOLUCIN

a) Mediante sustituciones

1) El vector 1 2 32w u u u est expresado en 1B con coordenadas 2, 1,1t

.

2) Para expresar w en la base B , basta expresar ( )iu en funcin de ( )ie

1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 32 2( ) ( ) ( ) 3 2w u u u e e e e e e e e e e

Por tanto en la base B el vector w tiene de coordenadas 1,3, 2t

.

3) Si se despejan los vectores ( )ie en funcin de los ( )iv resulta

1 1 2

2 2 3

3 3

e v v

e v v

e v

Para expresar w en la base 2B , basta expresar ( )ie en funcin de ( )iv

1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 33 2 ( ) 3( ) 2( ) 2 5w e e e v v v v v v v v

Por tanto en la base 2B el vector w tiene de coordenadas (1,2,-5).

vector 1 2 3, ,B e e e 1 1 2 3, ,B u u u 2 1 2 3, ,B v v v

w (1, 3, -2) (2, -1, 1) (1, 2, -5)

b) Mediante matrices

Las coordenadas de un vector en dos bases se relacionan:

Antiguas Nuevas

x P y ; 1Nuevas Antiguas

y P x

Si iB e es la base antigua y 1 iB u la base nueva

1 2 3

1

1 1 2 3

2 1 3 1 2 3 1 2 3

3 2 3

1 1 0

1 0 1

1 1 1u u u

P

u e e e

u e e u u u e e e

u e e


12

La matriz de cambio de base 1B B : 1

1 1 0

1 0 1

1 1 1

P

Se verifica: 1 2 32w u u u

Antiguas Nuevas

x P y ;

1 1 0 2 1

1 0 1 1 3

1 1 1 1 2

1 2 33 2w e e e

Si iB e es la base antigua y 2 iB v la base nueva

1 2 3

2

1 1 2 3

2 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3

1 0 0

1 1 0

1 1 1v v v

P

v e e e

v e e v v v e e e

v e

Matriz de cambio de base 2B B : 2

1 0 0

1 1 0

1 1 1

P

; 21

1 0 0

1 1 0

0 1 1

P

Se verifica: 1 2 33 2w e e e

1Nuevas Antiguas

y P x ;

1 0 0 1 1

1 1 0 3 2

0 1 1 2 5

1 2 32 5w v v v

13. Sea F un espacio vectorial sobre referido a la base cannica

1 2 3, ,B e e e . Se consideran las bases 1 1 2 3 2 1 2 3, , y , ,B u u u B v v v , cuyos vectores van referidos a la base cannica:

1 1 2 30,1,1 , 1,1,1 , 3,1,0B u u u

2 1 2 31,1,0 , 1,0,2 , 0,2,5B v v v Obtener la matriz de cambio de base de 1 2 a B B

SOLUCIN Expresamos ambas bases en funcin de los vectores de la base cannica.

1 2 3 1 1 2

1 2 1 2 3 2 2 1 3

3 1 2 3 2 3

2

3 2 5

u e e v e e

B u e e e B v e e

u e e v e e

Operando en forma algebraica:


13

Despejamos 1 2 3, ,e e e en funcin de 1 2 3, ,u u u y expresamos 1 2 3, ,v v v en

funcin de 1 2 3, ,u u u .

1 1 2 31 1 2

2 1 2 3 2 1 2 3

3 1 2 3 3 1 2 3

2 2

3 3 3 5 2

2 3 4 9 3

v u u ue u u

e u u u v u u u

e u u u v u u u

Por tanto 1 2 3 1 2 3

2 3 4

2 5 9

1 2 3

v v v u u u

Operando en forma matricial:

1 1;

1 3;

i i i i

i i i i

u e A v e Bi

e u A v u A B

1 2 3 1 2 3

0 1 3

1 1 1

1 1 0

A

u u u e e e

0 1 3

1 1 1

1 1 0

A

Vectores por columnas

1 2 3 1 2 3

1 1 0

1 0 2

0 2 5

B

v v v e e e

1 1 0

1 0 2

0 2 5

B

Vectores por columnas

1

1 3 2 1 1 0 2 3 4

1 3 3 1 0 2 2 5 9

0 1 1 0 2 5 1 2 3

A B

Por tanto 1 2 3 1 2 3

2 3 4

2 5 9

1 2 3

v v v u u u

14. En el espacio vectorial 2( )M de las matrices cuadradas de orden 2 cuyos

elementos son nmeros reales. Se considera la matriz 1 2

3A

m

1. Encuentra el valor de m para que existan matrices 2( )B M , no nulas tales

que 0 0

0 0A B

2. Comprueba que el subespacio S engendrado por B es subespacio vectorial de

2( )M .

3. Calcula la dimensin, una base y unas ecuaciones implcitas de S .

SOLUCIN


14

1 2 2 2 0 0

3 3 3 0 0

a b a c b d

m c d a m c b m d

2 0

2 0

3 0

3 0

a c

b d

a m c

b m d

2

2

( 6 ) 0

( 6 ) 0

a c

b d

m c

m d

6m En el caso 0 0c d a b , 0 0

0 0B

Por tanto la matriz 2 2 1 2

, ;3 6

c dB c d R A

c d

Para comprobar que S es un subespacio vectorial de 2( )M :

Sean 1 2 1 2 2 2, ; , 0 ; 0B B S A B A B

Comprobar que 1 2 1 2 2 significa que 0B B S A B B

1 2 1 2 1 2 2 2 2( ) ( ) 0 0 0B B A B B A B A B

Por lo tanto S es un subespacio vectorial de 2( )M .

Una base del subespacio S :

1 2

2 0 0 2,

1 0 0 1E E

B

Como hay 2 vectores en la base de S : dim( ) 2S .

Ecuaciones implcitas de S :2 0

2 0

a c

b d

Condiciones que tienen que cumplir las

coordenadas de una matriz de 2( )M para pertenecer a S .

NOTA:

a) Son linealmente independientes:

1 2

2 0 0 2 0 0

1 0 0 1 0 0E E

; 0 ;

b) Es un sistema generador de S :

1 2

2 0 0 2 2 2; ,

1 0 0 1E E


15

Luego 1 2,E E son linealmente independientes y forman un sistema generador de S .

ECUACIONES PARAMTRICAS E IMPLCITAS

15. En 3R se considera el subespacio

1 1 2 3

2 1 3

3 1 2 3

:

2 5

x

S x

x

Obtener la dimensin y una base del subespacio.

SOLUCIN

Es un caso de sobreparametrizacin: Esto significa que se ha engendrado el

subespacio con ms vectores que los necesarios para formar una base de S .

Dando valores a los parmetros, se obtienen los vectores que han generado el

subespacio S : 1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 2 3

1; 0 1; 0 1; 0

1,1, 1 ; 1,0, 2 ; 1, 1,5t t t

u u u

Se observa que 3 1 22u u u . Si no se ve fcilmente se puede hallar el rango de este

conjunto de vectores S :

2 1 3 23 1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 2 0 1 3 0 1 3

1 1 5 0 2 6 0 0 0F F F FF F

; 3 1 2

( ) 2

2

rg A

u u u

Una base de S : 1 2(1,1, 1) ; ( 1,0, 2)SB u u dim( ) 2S . Estos dos

vectores engendran un subespacio de dimensin 2.

Suprimir 3 . Ecuaciones paramtricas de S :1 1 2

2 1

3 1 22

x

x

x

16. En 4 referido a la base cannica se dan los subespacios:

S engendrado por los vectores: 1 21, 1,0,1 , 0,1,1,0u u

T de ecuaciones implcitas: 1 3 2 3 40 ; 0x x x x x

SE PIDE:

1. Ecuaciones paramtricas e implcitas de S

2. Ecuaciones paramtricas y una base de T


16

3. Base de S T

SOLUCIN

1. SUBESPACIO S

Para que un vector pertenezca a S dicho vector debe ser combinacin lineal de los

vectores que forman una base del subespacio.

1 2Base: ,u u

1 2

1 2 3 4, , , 1, 1,0,1 0,1,1,0

x S x u u

x x x x

Ecuaciones paramtricas de S:

1

2

3

41 00 1

1 0

1 1,

0 1

1 0

S

x

xB

x

x

Para pasar a implcitas se eliminan los parmetros:

IncgnitasEcuaciones: r 4 2 2 ecuaciones

Parmetros

nn p r n p

p

1 4 2 3 4Implcitas de : 0 ; 0S x x x x x

2. SUBESPACIO T

Para pasar de ecuaciones implcitas a paramtricas se calcula el nmero de

parmetros y se asignan los parmetros a ciertas coordenadas.

IncgnitasParmetros: 4 2 2 parmetros

Ecuaciones

np n r p n r

r

.

1 3 2 3 4Implcitas de : 0 ; 0T x x x x x

Ecuaciones paramtricas de T:

1

2

3

4

x a

x b

x a

x a b

Base:

1 00 1

1 0

0 1

1 0

1 1

T

a ab b

B


17

3. INTERSECCIN

Se igualan las paramtricas de y S T y se busca la condicin para que haya vectores

que pertenezcan a ambos subespacios: Relacin entre parmetros

1

2

3

4

x a

x b

x a

x a b

Se despejan y en 1 y 3 ecuacin a

a

Se entra en las otras ecuaciones, resultando como relacin: 0b . Con este valor se

entra en las paramtricas correspondientes y se obtienen las ecuaciones paramtricas

de la interseccin.

1

2

3

4

0:

x a

xS T

x a

x a

Por tanto una base:

1

0

1

1

S TB

17. TIPOS DE INTERSECCIN

1. 1 2 0S S

En 3R se consideran los subespacios 1 , 2 , 3 2S x y z y

2 2 , 2 , 3 2S x a b y a b z a b . Obtener 1 2S S .

SOLUCIN

Se igualan las paramtricas

2

2 2

3 2 3 2

a b

a b

a b

2

4 5

a b

a b

a b

Paramtricas de 1 2S S

x a

y a

z a

Implcitas: 0

0

x y

x z

Base de 1 2S S

1

2

1; 1, 1

1; 1, 1

1

u Su

u S a b

2. 1 2 0S S


18

En 4R se dan los subespacios 1S engendrados por los vectores (1,1,0,1), (1,1,0,0) y

2S engendrado por los vectores (0,1,0,1), (0,1,1,1) . Obtener 1 2S S .

SOLUCIN

Para obtener unas paramtricas de 1 1: (1,1,0,1) (1,1,0,0)S w S w

Para obtener unas paramtricas de 2 2: (0,1,0,1) (0,1,1,1)S w S w a b


0

0

a b

b

a b

0

0

a

b

1 2 0S S

Los 4 vectores: (1,1,0,1), (1,1,0,0),(0,1,0,1), (0,1,1,1) son LIBRES. Por tanto forman

una base de 4R , adems

4

1 2S S R , Suma directa: Subespacios Suplementarios.

3. La interseccin es uno de ellos. 1 2 2S S S (por ejemplo)

En 4R se dan los subespacios 1S engendrados por los vectores

1 2 4 2 4 2 3 4, ,e e e e e e e e y 2S de ecuaciones implcitas 2 4 10, 0x x x

Obtener 1 2S S .

SOLUCIN

Se forman unas paramtricas de 1S y otras de 2S

1 :S 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 4 2 4 2 3 4( )x e x e x e x e e e e e e e e e

1 1

2 2

11 2

3 3

2 4

4 4

04 2 2

0: ; :

x xp n r

x x axS S

x x bx x

x x a


0

a

b

a

0

a b

b

No hay relacin entre parmetros


19

El subespacio interseccin ser el de menor dimensin 1 2 2S S S

El subespacio suma ser el de mayor dimensin 1 2 1S S S

18. Sea E un espacio vectorial sobre de dimensin 4 referido a la base

1 2 3 4, , ,e e e e .Dados los subespacios 1 1 3 4 2 1 2: 0 , 0 ; : 0S x x x S x x

1. Obtener la dimensin, unas ecuaciones paramtricas y una base de cada subespacio.

2 Obtener una base de 1 2S S .

3 Obtener la dimensin de 1 2S S .

SOLUCIN Dimensin, Paramtricas, Base.

1

1

2

1

3

41 00 1

dim( ) 4 2 2

1 0

0 1;

1 0

0 00

S n r

x

xB

x

x

;

2

1

2

2

3

41 1 1

0 0 0

dim( ) 4 1 3

1 0 0

1 0 0; ;

0 1 0

0 0 1a b cb c a c a b

S n r

x a

x aB

x b

x c

Interseccin

1

2

1 2

3

4

: ;

0 0

xa

xaS S

xb

c x

; Base: 1 2

1

1dim( ) 1

1

0

S S

.

1 2 1 2 1 2dim( ) dim( ) dim( ) dim( ) 2 3 1 4S S S S S S

19. En el espacio vectorial de los polinomios 5P x de grado 5 , se da el

subconjunto 5( ) ( ) / ( ) ( )S p x P x p x p x x R .

1. Analiza si es subespacio vectorial de 5P x .

2. Hallar unas ecuaciones implcitas de S .

3. Hallar la dimensin y una base de S .

SOLUCIN

2 3 4 5

5 0 1 2 3 4 5

2 3 4 5

5

( ) ( ) ; ( )

1, , , , , dim ( ) 6

p x P x p x a a x a x a x a x a x

B x x x x x P x


20

Se utiliza el criterio de subespacio vectorial , ,R u v S u v S

, ( ), ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R u x v x S p x u x v x

u x v x u x v x p x p x

Por tanto si ( ) ( ) ( )p x p x p x S . Luego S es subespacio vectorial de 5P .

Ecuaciones implcitas

2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

( )

( )

p x a a x a x a x a x a x

p x a a x a x a x a x a x

;

1

3

5

0

( ) ( ) 0

0

a

p x p x a

a

Estas son las ecuaciones implcitas que indican las condiciones que deben cumplir los

coeficientes de un polinomio grado 5 para pertenecer a S

2 4

0 2 4( ) : ( )p x S p x a a x a x . Una base de S : 2 41, ,B x x . dim( ) 3S

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EJERCICIOS DE VECTORES - Proyecto-Mentor-UPMproyectomentor-upm.wdfiles.com/.../EJERCICIOS_DE_VECTORES_20… · ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto