ENDOMORFISMOS 1 - Proyecto-Mentor-UPMproyectomentor-upm.wdfiles.com/local--files/apuntes-1/... · Conocer algunas aplicaciones de los autovalores y autovectores. DEFINICIÓN DE ENDOMORFISMO

AUTOVALORES MANUEL HERVÁS CURSO 2011-2012

1

ENDOMORFISMOS 1

INTRODUCCIÓN Los problemas que involucran a los valores propios van asociados, en general, a fenómenos de inestabilidad:

Dinámica, como la frecuencia de resonancia de un sistema de n grados de libertad que vibra sin amortiguamiento. Estática, como el estudio de las cargas críticas de pandeo de una estructura.

Los vectores propios son los rasgos más importantes de cualquier sistema dinámico discreto, cuyo objetivo es estudiar ciertas cantidades que dependen

del tiempo y que se expresan mediante una ecuación en diferencias 1k kx Ax ,

siendo A una matriz cuadrada fija. Por eso forman parte de los temas de mayor utilidad del Álgebra Lineal con aplicaciones en las diversas áreas de la Matemática Aplicada como por ejemplo en la mecánica, ingeniería eléctrica y nuclear, hidrodinámica, aerodinámica... etc. A pesar de que las matrices son parte fundamental en el estudio de los valores y vectores propios, éstos aparecieron publicados con anterioridad a las matrices, debido principalmente a los importantes estudios de la mitad del siglo XVIII que realizó Euler en relación a las formas cuadráticas y a la mecánica celeste y también a la contribución inestimable de Lagrange en relación al movimiento planetario. Sin embargo fue Cauchy en 1840 quien introduce por primera vez el concepto de autovalor como solución de la ecuación característica. OBJETIVOS PARA ESTE TEMA

Conocer el concepto de Endomorfismo y sus características.

Entender el concepto de Autovalor y Autovector.

Aprender a calcular los autovalores y autovectores.

Conocer algunas aplicaciones de los autovalores y autovectores. DEFINICIÓN DE ENDOMORFISMO Los Endomorfismos u Operadores Lineales son un caso particular de los homomorfismos de espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K en los que ambos espacios inicial y final coinciden E F .

1: dim( ) ,..., 0nf E E E n B e e elemento neutro de E para la

suma de vectores.


2

EXPRESIÓN MATRICIAL La matriz de un endomorfismo es cuadrada de orden n .

1

1 11 1 1

1( ) ( )Imagen Antecedente

...

...

...n

n

n n nn nf e f e

y a a x

y a a x

1 1

1 1

; ...

( ) ...

i i in n

i i ni n

y A x y a x a x

f e a e a e

Las columnas de la matriz A son las imágenes de los vectores de la base B . NÚCLEO e IMAGEN Núcleo El núcleo de un endomorfismo está compuesto por aquellos vectores de E

cuya imagen es el 0 E . Se expresa ker / ( ) 0f u E f u . Al rango de la

matriz A ( )rg A r se denomina Rango del Endomorfismo.

Para obtener una base del núcleo se parte de un sistema lineal y homogéneo

de n ecuaciones con n incógnitas 1 1 ... 0 1...i in na x a x i n que siempre

admite la solución trivial (0,...,0) , es decir el vector nulo.

Al ser r el número de filas de la matriz A linealmente independientes, resultan sólo r ecuaciones con n incógnitas, es decir un sistema indeterminado que

son las ecuaciones implícitas del núcleo. Dado que hay n r incógnitas libres

se puede afirmar que la dimensión del núcleo es dim(ker )f n r , por tanto se

pueden despejar r incógnitas en función de las n r restantes, obteniendo así

unas ecuaciones paramétricas del núcleo de modo que al dar valores adecuados a los parámetros se puede obtener una base del núcleo. En el caso

ker 0 dim(ker ) 0r n f f . La aplicación es Inyectiva.

Ejemplo: Sea el endomorfismo 2 2:f R R referido a la base 1 2,B e e

Definido 1 1

2 2

1 1

1 1

y x

y x

Obtener el núcleo.

Solución Como el ( ) 1rg A se verifica que dim(ker ) 2 1 1f n r .

La ecuación implícita del núcleo es 1 2 0x x

Las ecuaciones paramétricas del núcleo son 1

2

x

x


3

Una base del núcleo es ker

1

1fB

1 2u e e

Imagen

El subespacio imagen se expresa Im / , ( )f v E u E f u v . Este

subespacio se engendra mediante las columnas de la matriz A , ya que éstas son las imágenes de los vectores de la base de E . Si el rango de la matriz A es ( )rg A r una base del subespacio imagen estará formado por las r

columnas de A que sean linealmente independientes.

En el ejemplo anterior una base del subespacio imagen: Im

1

1fB

que es

una columna de la matriz A . 1 2v e e

Se verifica

dim(ker ) dim(Im ) dim( )f f E

n r r n

En el caso dim(Im )r n f n . La aplicación f es sobreyectiva, como por lo

visto en el núcleo también es inyectiva, en consecuencia es biyectiva y se trata de un automorfismo en el que cada vector tiene un SOLO antecedente. ESPACIO VECTORIAL DE LOS ENDOMORFISMOS El conjunto de los endomorfismos ( )L E con las operaciones SUMA de

endomorfismos: , ( ) ( )f g L E f g L E y PRODUCTO de endomorfismo

por ESCALAR: ( ), ( )f L E K f L E , tiene estructura de espacio

vectorial sobre el mismo cuerpo K que es ISOMORFO con el espacio vectorial sobre K de las matrices cuadradas de orden n .

Esto significa que es igual trabajar con endomorfismos que con matrices, lo que simplifica la utilización del concepto de Endomorfismo, reduciéndolo a simples operaciones matriciales. CAMBIO DE BASE. MATRICES SEMEJANTES Cambio de Base

En una aplicación lineal :f E F se verifica 1'A Q A P siendo y P Q las

matrices de cambio de base respectivamente en y FE y 'A la nueva matriz del

homomorfismo, ocasionada por el cambio de base en ambos espacios vectoriales.


4

Se dice que y 'A A son matrices EQUIVALENTES, si se puede obtener una a

partir de la otra mediante 1'A Q A P . Se caracterizan porque tienen el mismo

rango. Si en un ENDOMORFISMO se cambia la base del espacio vectorial E , como los endomorfismos son un caso particular de los homomorfismos en el que el espacio inicial y el final coinciden E F , la matriz de cambio de base es la misma Q P .

Por tanto en un ENDOMORFISMO la fórmula general de los homomorfismos

para obtener 'A , ocasionada por el cambio de base en E se transforma en

-1A' =P A P

Resumen: 11 1

1 1 1 1

1

...

( ,..., ) ( ,..., ) ; ...

...

n

n n i i in n

n nn

a a

u u e e u e P u a e a e

a a

En la matriz P de cambio de base en E las componentes de los vectores de

la nueva base 1...iu i n , van escritas por columnas.

Matrices Semejantes

Cuando dos matrices y 'A A se relacionan mediante 1'A P A P se dice que

son matrices SEMEJANTES que naturalmente son también equivalentes y por tanto tienen el mismo rango, pero la recíproca no es cierta , es decir dos matrices con el mismo rango pueden NO ser semejantes, por ejemplo:

Sean las dos matrices 1 0 1 1

y '0 1 0 1

A A

que son equivalentes:

11 1 1 0 1 / 2 1 1 1

'1 1 0 1 1 / 2 0 0 1

A Q AP

, tienen el mismo rango

( ) ( ') 2rg A rg A , pero no son semejantes ya que no se verifica la fórmula 1'A P A P pues como 1 1'A I A P I P P P I .

Conclusión: Una condición NECESARIA para que dos matrices sean SEMEJANTES es que tengan el mismo rango. La condición NECESARIA y SUFICIENTE para que dos matrices y 'A A sean SEMEJANTES es que exista

una matriz P cuadrada y regular, es decir con inversa 1P , que verifique 1'A P A P .

La gran utilidad de todo lo anterior consiste en que las matrices que son semejantes están en la misma clase y una cualquiera de estas matrices las representa a todas, la mejor REPRESENTANTE de la clase es la matriz


5

DIAGONAL ó en su defecto la matriz triangular de JORDAN correspondiente que son las matrices más manejables. Propiedad Dos matrices semejantes tienen el mismo determinante que se denomina determinante del endomorfismo. Demostración

En efecto ya que si y 'A A son semejantes verifican 1'A P A P 1 1det( ') det( ) det( )det( )det( )A P AP P A P

Como el determinante de la inversa es el inverso del determinante se verifica

1det( ') det( )det( ) det( )

det( )A P A A

P

Propiedad

Si dos matrices y A B son semejantes entonces y n nA B son semejantes

Demostración

En efecto al ser y A B matrices semejantes se verifica 1B P A P por tanto

1 1 1 1( )( ) ( ) ( )n n nB P AP P AP P AP B P A P

PRODUCTO DE ENDOMORFISMOS Dados dos endomorfismos , ( )f g L E : ; :f E E g E E

Se denomina PRODUCTO de endomorfismos a la aplicación producto o composición de aplicaciones definida : ( ) ( )h L E L E

, ( ) ( ) ( ) ( ( ))f g L E x E h x g f x g f x

, , ( )l f g L E con las operaciones , en ( )L E : Se verifican las

propiedades: Asociativa: ( ) ( )l g f l g f

Distributiva respecto a la suma de ( )L E : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f g l f l g l

l f g l f l g

.

Con estas operaciones , , ( )L E tiene estructura de Anillo Unitario, en

general no conmutativo. Si además se verifica ( ) ( ) ( )K f g f g f g . Esta propiedad le

confiere estructura de ALGEBRA unitaria, ISOMORFA al álgebra de las matrices cuadradas de orden n .


6

ENDOMORFISMOS 2

VALORES Y VECTORES PROPIOS Sea el endomorfismo :f E E Se denomina Vector propio o AUTOVECTOR

De f a todo vector ( 0)u E u colineal con su imagen

f(u) = λu

siendo el valor propio asociado o AUTOVALOR.

Naturalmente si 0 ( ) (0) 0 0u f u f aunque es vector propio no se

considera como tal y por tanto al hablar de un autovector se considera 0u .

Dada una matriz cuadrada A se denominan autovalores y autovectores de A ,

a los autovalores y autovectores del endomorfismo f de matriz asociada A .

Propiedad

Si 0u entonces el AUTOVALOR es único. Demostración

En efecto si se verificase ' ( ') 0 'u u u ya que 0u . Esta

propiedad justifica que no se considere como autovector 0u . Al conjunto de los autovalores de f se denomina ESPECTRO.

Al módulo del AUTOVALOR de mayor módulo se denomina RADIO ESPECTRAL. AUTOESPACIO

Para cada valor propio existe un conjunto de vectores propios asociado

S = x E / f(x) = λx

El conjunto S es subespacio vectorial de E (con 0 S )

En efecto sean ,u v S dos autovectores: ( ) , ( )f u u f v v

, , , ( ) ( ) ( ) ( )u v S K f u v f u f v u v u v

Lo que indica que u v S es también vector propio, es decir verifica la

condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial.

A este subespacio se denomina AUTOESPACIO asociado a .


7

DETERMINACIÓN DE AUTOVALORES

Sea 1 1 ... n nu x e x e un autovector para el autovalor

Se verifica

11 1 1 1

1

...

...

n

n nn n n

a a x x

a a x x

es decir

11 1 111 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

... 0... ... 0

................................. ................................. .......................

... ... 0

n nn n n n

n nn n n n nn n n

a x a xa x a x x a x a x x

a x a x x a x a x x

1 1

..........

... 0n nn na x a x

(1)

Se trata de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo, para que tenga solución distinta de la trivial (0,...,0) el determinante de la matriz de los

coeficientes debe ser nulo.

11 1

1

...

0

...

n

n nn

a a

a a

Se expresa A- λI = 0 que se denomina ECUACIÓN CARACTERÍSTICA,

cuyas soluciones son los autovalores.

Al desarrolla el determinante se obtiene un polinomio de grado n en que se denomina POLINOMIO CARACTERÍSTICO, que se descompone en factores:

1

p

i

ik

iλ - λ i =1...p . Los autovalores pueden ser simples o múltiples.

Siendo i un autovalor y ik su multiplicidad que se denomina MULTIPLICIDAD

ALGEBRAICA.

DETERMINACIÓN DE AUTOVECTORES

Obtenidos los autovalores i para calcular los autovectores se sustituye i

en (1) y resulta un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo que son las

ecuaciones implícitas del AUTOESPACIO i

S asociado a i .

11 1 1

1 1

... 0

........................................

... 0

i n n

n nn i n

a x a x

a x a x

que se expresa iA- λ I x = 0

Si el rango de la matriz ( )iA I es ir , La dimensión del subespacio i

S es

dim( )i iS n r que se denomina MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA. Por tanto

en general para cada se denota 1,ker( )S A I N .


8

RESUMEN

:f E E . A x y

1, , nB e e . dim( )E n

Ecuación característica: A- λI = 0.

Sus soluciones son los autovalores de A.

Espectro = Conjunto de autovalores.

Radio Espectral = Módulo del valor propio de mayor módulo.

Polinomio característico:

1

( )i

pk

i

i

P A I

Para cada autovalor i :

Multiplicidad algebraica = ik

Multiplicidad geométrica = in r

dim( )i iS n r

Siendo ( )i ir rg A I

Autoespacio: iA- λ I x = 0


9

CONCLUSIÓN

1. Para todo AUTOVECTOR 0u E u existe un UNICO AUTOVALOR

K asociado a u

2. Para todo AUTOVALOR K existe un UNICO AUTOESPACIO S

asociado a . PROPIEDADES Propiedad 1

Si 1 2 Los autoespacios asociados verifican 1 2 0S S

Demostración

Sea 1 2x S S se verifica que 1 2 1 2( ) 0f x x x x

Como 1 2 se deduce que 0x

Propiedad 2 Una parte S E es Parte estable respecto a ( )f L E si contiene a su imagen

es decir ( ) tal que ( )f S S x S f x S . Ejemplos: ker , Im , , 0f f E .

Una parte S E es Parte Invariante respecto a ( )f L E si coincide con su

imagen ( )f S S . Ejemplo: 1 1 1

' 1 1 1; ; ( ) 2

' 2 0 1

x xu f u u

y y

. El

subespacio engendrado por el vector 1u es parte ESTABLE por f .

Propiedad 3 TEOREMA: Independencia lineal de autovectores con autovalores distintos

Se considera el endomorfismo ( )f L E que admite 1 2, ,..., m valores propios

distintos con ix vector propio asociado a i . El conjunto de autovectores

1 2, ,..., mx x x es Libre. Además 1 2 ... mS S S es Directa

Demostración (Por inducción)

Supongamos que el teorema es cierto hasta 1m y que se verifica

1 1 2 2 ... 0m mx x x (1).

Si fuesen vectores libres, todos los 0i

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2( ... ) ... 0m m m m mf x x x x x x (2)

Si se multiplica por 1 (1) y se resta de (2): 1(2) (1) , resulta

2 2 1 2 1( ) ... ( ) 0m m mx x .

Teniendo en cuenta que los i son distintos y los vectores son libres hasta el

caso 1m . Se verifica: 2 ... 0m .

Al sustituir en (1) resulta 1 1 10 0x ya que 0ix .

Luego el conjunto de autovectores es Libre.


10

Además se verifica que la SUMA de los autoespacios 1 2 ... mS S S es

Directa Demostración

Si se verifica 1 2 ... 0mx x x 0ix , caso contrario ix sería ligado.

Sean 1 ... mx S S ; ',i i iy y S . Si el vector x se pudiese expresar ' '

1 1... ...m mx y y y y ' '

1 1( ) ... ( ) 0m my y y y

Como el sistema es libre todos los paréntesis son nulos

Luego ' '

1 1 , ..., m my y y y . La descomposición es UNICA y la suma es DIRECTA

Si el endomorfismo es diagonalizable: 1..

ii n

E S

.

Propiedad 4

Si es autovalor de la matriz A . Se verifica que 2 es autovalor de 2A .

Demostración

Si es autovalor de la matriz A se verifica Au u .

Por tanto 2( ) ( ) ( )A Au A u Au u u

Ejemplo: 21 1 1 1

; 2 02 0 2

A A I

;

1

2

1

2

2 23 1 3 1

; 5 4 02 2 2 2

A

;

1

2

1

4

En general si u es autovector de A para el autovalor , entonces u es

también autovector de nA para el autovalor n ya que

1 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n nf x x f x f f x f x f x x

Propiedad 5

Si es autovalor de la matriz A . Se verifica que 1

es autovalor de 1A

Demostración

Si es autovalor de la matriz A se verifica Au u .

Por tanto 1 1 1

1 1

1

( ) 1

( )

A Au A u A uA u u A u u

A Au Iu u

Ejemplo: 21 1 1 1

; 2 02 0 2

A A I

;

1

2

1

2

1 20 1/ 2 1/ 2

; 1/ 2 1/ 2 01 1/ 2 1 1/ 2

A

; 1

2

1

1

2


11

Propiedad 6 La ecuación característica no varía al cambiar la base del espacio vectorial Demostración

Sea 0A I la ecuación característica de la matriz A .

Al cambiar la base de E se obtiene 1'A P AP

1 1 1 1'A I P AP P IP P A I P P A I P

Como un a matriz y su inversa tienen inversos sus determinantes

Resulta 1

'A I P A I A IP

Lo que significa que A y 'A tienen los mismos autovalores. Propiedad 7 Una matriz y su traspuesta tienen la misma ecuación característica Demostración

Dada la matriz A su ecuación característica es 0A I

Se verifica t tA I A I y como una matriz y su traspuesta tienen el

mismo determinante: t

A I A I tA I A I

Propiedad 8

Dadas las matrices , ( )nA B M K . Si una de ellas es invertible y AB BA tienen

la misma ecuación característica. Demostración

Se verifica 1 1 1AB I AB AA A B A A B A

1 1 1( )B A A B A A BA A A BA I

Ejemplo:

3 1 1 1 0 1

0 2 0 ; 2 1 3

1 1 3 1 3 2

A B

; 7 0 ; 0A B

Se calculan

0 2 2 4 2 4

4 2 6 ; 9 3 11

4 8 4 1 5 5

A B B A

La ecuación característica en ambas matrices y A B B A es 3 26 40 0 ; ( 10)( 4) 0

EXISTENCIA DE AUTOVALORES Si ( )f L E es un endomorfismo, siendo dim( )E n . Los autovalores de f son

las soluciones de la ecuación característica que serán n cuando el cuerpo sea algebraicamente cerrado. Pueden ser autovalores distintos o iguales.


12

Nota: El cuerpo C(complejos) es algebraicamente cerrado, R (reales) no lo es. Propiedad 9

Dadas las matrices , ( )nA B M K que conmutan A B B A . Las dos matrices

y A B tienen los mismos autovectores.

Demostración

Se verifica Ax x A Bx A B x B A x B Ax Bx

Es decir y Bxx son autovectores que comparten el autovalor

Ejemplo: 3 6 2 4 18 12

; ;3 0 2 0 6 12

A B A B B A C

1 12 2

2 2

3 23 18 0 ; 2 8 0

6 4A I B I

Para 1 1

2 2

3 ; (1, 1)

6 ; (2,1)

t

t

uA

u

; Para 1 1

2 2

2 ; (1, 1)

4 ; (2,1)

t

t

vB

v

Naturalmente los autovalores de C son 1 1

2 2

( 3) ( 2) 6 ; (1, 1)

6 4 24 ; (2,1)

t

t

w

w

Propiedad 10 Sea ( )f L E con autovalor 0 f NO es invertible.

Demostración

a) DIRECTO

Si 0 ( ) 0 0x E f x x , es decir kerx f . No es

Automorfismo y por tanto el endomorfismo no es invertible. Lo cual

indica que ker 0f . Se verifica que 0 kerS f .

b) RECÍPROCO

Si ( )f L E es invertible 0 porque como existe 1f le corresponde el

autovalor 1

.

Propiedad 11

Sea ( )f L E Si es autovalor de f f I NO es invertible.

Demostración a) DIRECTO

Si es autovalor de f existe un vector no nulo 0x tal que ( )f x x

0 ker 0f I x f I . Es decir f I NO es inyectiva y

por tanto f I no es invertible.

b) RECÍPROCO


13

Si f I no es invertible, al no ser inyectiva el núcleo es distinto de 0

Si ker 0 0f I x tal que 0 ( )f I x f x x

Por tanto es autovalor de f .

Propiedad 12 Dos matrices semejantes tienen la misma traza que es la suma de los autovalores. Demostración Dos matrices semejantes tienen la misma ecuación característica (Propiedad 6)

La ecuación característica

1 1

11

1 1 ' '

11

( 1) ( 1) ( ... ) ...

' ( 1) ( 1) ( ... ) ...

n n n n

nn

n n n n

nn

A I a a

A I a a

Por tanto se verifica que ( ) ( ')tr A tr A

Sin embargo el recíproco NO es cierto.

Ejemplo: 2

3 1 1

0 2 0 ; ( 2) ( 4) 0

1 1 3

A A I

Para los autovalores 1 1 2

2 3

2 ; (1,1,0) ; (0,1,1)

4 ; (1,0,1)

t t

t

u u

u

1 0 1

1 1 0

0 1 1

P

Se verifica 1

2 0 0

0 2 0

0 0 4

P AP D

Por tanto ( ) ( ) 8tr A tr D

El polinomio característico se puede escribir:

1( ) ... ( 1)n n n

AP xI A x tr A x A

ya que se verifica (0) 0 ( 1)n

AP I A A A

Forma de calcular el polinomio característico utilizando menores principales:

1

1 1( 1) ... ( 1)n n n n

A nP A I S S A

donde ( 1)i

i iS T , siendo iT cualquier menor principal de orden i .

Además 1 1

( ) ;nn

i i

i i

tr A A

, pudiendo ser algún repetido.

Otras Propiedades

a) En una matriz triangular los valores propios son los elementos de la diagonal principal. Lo mismo sucede si la matriz es diagonal.

b) Sean y A B dos matrices diferentes. Si es autovalor de A y es

autovalor de B en general no es autovalor de AB . Sin embargo, en

algunos caso, como vimos en la propiedad 9 y el ejemplo adecuado, cada autovalor de AB es el producto de los autovalores respectivos de las matrices A y B .

c) Si es autovalor de A , k es autovalor de k A .

d) Si es autovalor de A , k es autovalor de A k I .


14

Caso de matrices simétricas

1) Dos autovectores de autoespacios distintos son ORTOGONALES: La suma de productos de componentes homólogas de dos vectores propios correspondientes a dos valores propios distintos es 0.

Sea A una matriz simétrica ij jia a con autovalores 1 2 de

modo que para 1 1( ,..., )nu x x y para 2 1( ,..., )nv y y

11 1 1 1 1

1 1 1

...

...................................

...

n n

n nn n n

a x a x x

a x a x x

Se multiplica cada ecuación i por iy

1 11 1 1 1 1 1

1 1 1

...

............................................

...

n n

n n nn n n n

x a y a y x y

x a y a y x y

Cada paréntesis vale 2 iy

Al sumar miembro a miembro todas las ecuaciones resulta

1 1 1 2 1 1

1 2 1 1

( ... ) ( ... )

( )( ... ) 0

n n n n

n n

x y x y x y x y

x y x y

Como 1 2 1 1 ... 0n nx y x y

2) La ecuación característica solo tiene raíces reales

Si la ecuación característica admite una raíz compleja admite también su conjugada y del mismo modo los autovectores correspondientes tendrán sus componentes conjugadas.

1 1 1

1 1 1

,...,

,...,

n n

n n

a b i a b i

a b i a b i

Por lo que en virtud de 1)

1 1

2 2 2 2

1 1 1 1,..., ... ... 0n n n n

n n

a b i

a b i a b i a a b b

a b i

Al ser suma de cuadrados: 1 1... ... 0n na a b b

La ecuación característica SÓLO admite raíces REALES.


15

DIAGONALIZACIÓN

Fundamento de la diagonalización 1. Las COLUMNAS de la matriz son las imágenes de los vectores de la base:

( )i if e c

2. Se elige una base de AUTOVECTORES que verifica:

1,..., tales que ( )n i i iB u u f u u

3. Si P es la matriz de cambio de base en la que las columnas de la matriz son

las componentes de los autovectores. Haciendo 1P A P

resulta una matriz

diagonal en la que figuran en la diagonal los autovalores repetidos tantas veces como indican sus respectivas multiplicidades algebraicas:

1

1( ) ( ) ( ) pkk

pp

1

1

... 0

... ... ...

0 ... p

P A P

Condiciones para la diagonalización Un Endomorfismo : ; es un , dim( )f E E E K ev E n es diagonalizable si y

sólo si verifica las condiciones:

a) El polinomio característico de 1

1: ( ) ( ) 0rk k

rf posee todas sus

raíces en K . Es decir K es un cuerpo algebraicamente cerrado, en el cual se

verifica que la suma de multiplicidades algebraicas es n 1 rk k n .

b) Para cada autovalor i . La multiplicidad algebraica coincide con la multiplicidad

geométrica

Ejemplo 1: La matriz de un endomorfismo en 2R es

0 1

1 0A

Indicar de forma razonada si es diagonalizable.

Solución: La ecuación característica es 20 ; 1 0A I que no tiene raíces

reales por tanto NO es diagonalizable en R.


0 2

2 4A


Solución: La ecuación característica es 0A I . 2( 2) 0 . Por tanto el

polinomio característico tiene la raíz real 2 de multiplicidad algebraica 2.


16

Al calcular la multiplicidad geométrica para el autovalor 2 resulta

2 2

22 2

A I

con rango 1. Por tanto M.G.= 2 1 1n r que no coincide

con la M.A. luego NO es diagonalizable.


3 1

2 0A

Indicar de forma razonada si es diagonalizable y hallar una base en la que la matriz

resulta diagonal y expresar esta matriz diagonal.

Solución: La ecuación característica es 0A I .

23 1

3 2 02

,

2( 1)( 2) 0

1

Autovalor M.A. M.G.

2 1 1

1 1 1

Por tanto al tener las raíces reales y coincidir la multiplicidad algebraica y la

geométrica para cada autovalor la matriz SI es diagonalizable.

Para 1 1 0 1

2; 0 ;2 2 0 1

xx y u

y

vector propio

Para 2 1 0 1

1; 2 0 ;2 1 0 2

xx y v

y

vector propio

Tomando como nueva base ' ,B u v se obtiene 1 1

1 2P

Haciendo 1

2 1 3 1 1 1 2 0

1 1 2 0 1 2 0 1P AP

Autovalor M.A. M.G.

2 2 1


17


3 1 1

0 2 0

1 1 3

A

Indicar de forma razonada si es diagonalizable y hallar la base en la que la matriz

resulta diagonal y expresar esta matriz diagonal.

Solución: El polinomio característico es 3 2 28 20 16 ( 2) ( 4)

Por tanto la Ecuación Característica 2( 2) ( 4) 0 tiene las raíces:

Para 4 , M.A. =1. Resulta el autovector 1 (1,0,1)u . M. G.=1.

Para 2 , M.A.=2. Resultan los autovectores 2

3

(1,1,0)

(0,1,1)

u

u

M.G.=2.

Por tanto como las raíces del polinomio característico están en R y la suma de

multiplicidades algebraicas coincide con la dimensión del espacio vectorial que es 3,

además para cada autovalor la multiplicidad algebraica y geométrica coinciden, se

deduce que el endomorfismo es diagonalizable.

Autovalor M.A. M.G.

4 1 1

2 2 2

Tomando como matriz de cambio de base P la formada por los autovectores escritas

sus componentes por columnas, al hacer el cambio de base, resulta una matriz

diagonal, figurando en la diagonal los autovalores repetidos tantas veces como indica

su multiplicidad algebraica.

1

1 1 0 4 0 0

0 1 1 ; 0 2 0

1 0 1 0 0 2

P P A P

Ejemplo 5: Dada la rotación 2

de modo que OX gira hacia – OY. Definir el

endomorfismo y decir si es diagonalizable en R y en C. Si se realiza una nueva rotación analizar el endomorfismo resultante.

Solución: 1 1

2 2

3 3

0 1 0

1 0 0 ;

0 0 1

y x

y x y A x

y x

; 2(1 )(1 ) 0A I


18

No es diagonalizable en el cuerpo de los reales R porque existen raíces complejas del polinomio característico. Sí es diagonalizable en el cuerpo de los complejos C.

Los autovalores son 1 2 31, ,i i .

Los autovectores son

1 1

2 2

3 2

1, (0,0,1)

, (1, ,0)

, (1, ,0)

u

i u i

i u i

siendo

0 1 1

0

1 0 0

P i i

En un giro de 2

el EJE de giro OZ permanece invariable así como las

rectas isótropas: ;y ix y ix , situadas en el plano OXY.

Tras el cambio de base resulta: 1

1 0 0

0 0

0 0

D P A P i

i

Se verifica que 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

es un giro de ángulo .

Los autovalores de 2A son 1 2 31, 1, 1 que resultan los cuadrados de

los autovalores de A . La matriz 2A es una matriz diagonal en la que se

observa que el EJE de giro OZ permanece invariable 3 3( )f e e así como el

resto de los ejes coordenados que son también autovectores y verifican:

1 1 2 2( ) ; ( )f e e f e e .

Ejemplo 6: : La matriz de un endomorfismo en 3R es

4 2 1

2 0 1

1 1 1

A


Solución: La ecuación característica es 2( 1)( 2) 0A I

Autovalores:1 ; de multiplicidad algebraica 1

2 ; de multiplicidad algebraica 2

Autovectores 1

2

1; ( 1,1,1) de multiplicidad geometrica 1

2 ; (1, 1,0) de multiplicidad geometrica 1

u

u


19

Autovalor M.A. M.G.

1 1 1

2 2 1

Como para el autovalor 2 , la multiplicidad geométrica que es 1 no coincide con la multiplicidad algebraica que es 2, la matriz A NO es diagonalizable. Si no es posible encontrar una base del espacio vectorial en la que la matriz del endomorfismo sea diagonal, al menos sí se puede conseguir una base en la que la matriz del endomorfismo sea triangular, figurando los autovalores en la diagonal principal de la matriz. La condición necesaria y suficiente es que las n raíces del polinomio característico pertenezcan al cuerpo K. Esto siempre es posible en el cuerpo de los números complejos. Más adelante veremos que la mejor forma triangular posible es la matriz de Jordan. En el ejemplo 6 si se elige como nueva base del endomorfismo los dos

vectores propios 1 2,u u y otro vector cualquiera la matriz asociada a esta nueva

base resulta triangular. Si se elige como tercer vector 3 (3, 1, 2)u y se

escriben las componentes de los vectores de la nueva base por columnas en

una matriz de paso P. La matriz asociada a esta base 1 2 3, ,B u u u será A’ :

1 1 3

1 1 1

1 0 2

P

Se obtiene 1

1 0 0

' 0 2 1

0 0 2

A P A P

Polinomios que anulan una matriz Endomorfismo identidad:

: ; : ( )E Eid E E x E id x x

Polinomio aplicado a un endomorfismo: Sea E un K ev y :f E E un endomorfismo de matriz asociada A .

Sea el polinomio de grado 2

0 1 2: ( ) ... r

rr p x a a x a x a x ; 0 1 2, , ,..., ra a a a K

El polinomio aplicado a f se expresa:

2

0 1 2( ) ... r

E rp f a id a f a f a f

El polinomio matricial aplicado a la matriz asociada A se expresa:

2

0 1 2( ) ... r

rp A a I a A a A a A

Si la matriz es raíz del polinomio, ( ) 0p A se dice que el polinomio anula a la

matriz de modo que se verifica:


20

a) Para una matriz de orden n: nA existe un polinomio que la anula.

b) Se denomina polinomio minimal de la matriz A al polinomio ( )q x de

menor grado que anula la matriz A . TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Sea E un K ev y :f E E un endomorfismo de matriz asociada A . Sea

( )p el polinomio característico.

Si K es algebraicamente cerrado, se verifica que f es raíz de su polinomio

característico, es decir ( ) 0p f y se dice por tanto que el polinomio

característico del endomorfismo anula a f . En lo que respecta a la matriz

asociada A : 2

0 1 2( ) ... 0n

np A a I a A a A a A

Una consecuencia importante es el cálculo de la matriz INVERSA de una dada.

Si se premultiplica por 1A la expresión anterior resulta:

1 1 1 2 1

0 1 2 ... 0n

na A a A A a A A a A A

Se despeja 1A , siempre que 0 0a

1 1

1 2

0

1... n

nA a I a A a Aa

Ejemplo: Dada la matriz

3 0 2

6 1 4

4 0 3

A

Calcular su matriz inversa.

La ecuación característica es: 3 2 20 ; 1 ( 1)( 1) 0A I .

Se puede escribir: 2

3( )( ) 0A I A I , o bien 3 2

30A A A I .

Premultiplicando por 1A resulta: 1 3 1 2 1 1

30A A A A A A A I .

Es decir: 2 1

30A A I A 1 2A A A I .

Por tanto al aplicar lo anterior al cálculo de la inversa de la matriz A , resulta

2

1 2

3 0 2 3 0 2 1 0 0 3 0 2

6 1 4 6 1 4 0 1 0 2 1 0

4 0 3 4 0 3 0 0 1 4 0 3

A A A I

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