Antologia Calculo Integral 2012

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 1 de 57 __________________________________________________ [email protected] CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 2 de 57 ndice Presentacin 3 Unidad I 4 Unidad II15 Unidad III29 Unidad IV41 Formulario87 Comentarios91 Bibliografa 92 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 3 de 57 LoscreadoresdelAnlisisInfinitesimalintrodujeronelClculoIntegral,considerandolos problemasinversosdesusclculos.EnlateoradefluxionesdeNewtonlamutua inversibilidaddelosproblemasdelclculodefluxionesyfluentesseevidenciaba claramente.ParaLeibnizelproblemaeramscomplejo:laintegralsurgainicialmente comodefinida.Noobstante,laintegracinsereducaprcticamentealabsquedade funcionesprimitivas.Laideadelaintegracinindefinidafueinicialmenteladominante. El Clculo Integral inclua adems de la integracin de funciones, los problemas y la teora de las ecuaciones diferenciales, el clculo variacional, la teora de funciones especiales, etc. Talformulacingeneralcreciinusualmenterpido.Eulernecesitenlosaos1768y 1770tresgrandesvolmenesparadarunaexposicinsistemticadel. SegnEulerelClculoIntegralconstituaunmtododebsqueda,dadalarelacinentre los diferenciales o la relacin entre las propias cantidades. La operacin con lo que esto se obtena se denominaba integracin. El concepto primario de tal Clculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Clculo tena el objetivo de elaborar mtodos de bsqueda delasfuncionesprimitivasparafuncionesdeunaclaselomsampliaposible. Los logros principales en la construccin del Clculo Integral inicialmente pertenecieron a J.BernoulliydespusaEuler,cuyoaportefueinusitadamentegrande.Laintegracin llevadaporesteltimohastasusltimasconsecuenciasylascuadraturasporl encontradas,todavaconstituyenelmarcodetodosloscursosytratadosmodernossobre Clculo Integral, cuyos textos actuales son slo modificaciones de los tratados de Euler en lorelativoallenguaje.Estosjuiciosseconfirmanconlarevisinconcretadelfamoso Clculo Integral de Euler y su comparacin con los textos actuales. El clculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciacin, llamado integracin.El clculo Integral se puede aplicar o mejor se puede usar para calcular reas entre curvas, volmenes de slidos, y el trabajo realizado por una fuerza variable. En este caso vamos a sernfasisenelclculodevolmenesdesolidoscilndricosyarandelas. Altratardehallarelvolumendeunsolido,sepresentaelmismoproblemaquealbuscar reas.Setieneunaideaintuitivadelsignificadodevolumenperoaplicandoelclculo veremos una definicin ms exacta. CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 4 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 5 de 57 1.1 Medicin aproximada de figurasamorfas. 1.2 Notacin sumatoria. Notacin Sigma : En general: ()

() ()() () Donde m y n son enteros ym se llama el lmite inferior de la suma y n se llama el lmite superior. El smbolo i se llama ndice de la suma. Propiedades de la notacin sigma: Propiedad 1:

Donde c es cualquier constante Propiedad 2: ()

()

Donde c es cualquier constante Propiedad 3: [() ()]

() ()

Propiedad 4: CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 6 de 57 [() ( )]

() () Las siguientes formulas, numeradas para referencias tambin son tiles: Frmula 1

()

Frmula 2

( )( )

Frmula 3

( )

Frmula 4

()(

)

Ejemplo: calcular( )

( )

(

)

( )( )

()

Evidencia 1 Encontrar la suma dada: ( )

()

( )

rea: CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 7 de 57 Supongamos que la funcin f es continua en el intervalo cerrado [ ], con () para todaxen[ ]yqueReslareginacotadaporlacurva(),elejexylasrectas y.Dividimoselintervalo[ ]ennsubintervaloscadaunodelongitud

y denotamos el i-simo subintervalo por [

] . Entonces si (

) es el valor mnimo absoluto de la funcin en el i-simo subintervalo, la medida del rea de la regin R est dada por: (

)

O bien, podemos definir la medida del rea de la regin R como: (

)

Donde (

) es el valor mximo absoluto de f en [

]. CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 8 de 57 Ejemplo: Encontrar el rea de la regin acotada por la curva

, el eje x y la recta x= 3 a)Tomando los rectngulos inscritos. (

)

(

)( ) (

)

[( )]

Por lo tanto; (

)

( ) Considerando que:

b) Tomando los rectngulos circunscritos. (

)

(

)

(

)

[]

Por lo tanto; (

)

() Con

Sol. 9 unidades cuadradas. CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 9 de 57 Evidencia 2 Encontrar el rea de la regin acotada por la curva

, el eje x y la recta x=1a)Tomando los rectngulos inscritos. b) Tomando los rectngulos circunscritos. Sol.

unidades cuadradas. Encontrar el rea de la regin acotada por la curva

, el eje x y la recta x= -1 y x=2 a)Tomando los rectngulos inscritos. b) Tomando los rectngulos circunscritos. Sol.

unidades cuadradas.

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 10 de 57 1.3 Sumas de Riemann. Seafunafuncincontinuaenelintervalocerrado[ ].Dividimosesteintervaloenn subintervalosescogiendocualesquiera()puntosintermediosentreayb.Sean

y

y sean

, los puntos intermedios tales que,

no son necesariamente equidistantes. Sea

la longitud del primer subintervalo tal que

. Sea Sea

la longitud del segundo subintervalo tal que

yassucesivamente,talquelalongituddeli-simosubintervalosea

, y

Escjase un punto en cada subintervalo de la particin .Sea

el punto escogido en [

] tal que

Sea


] tal que

Y as sucesivamente tal que


] tal que

Frmese la suma (

)

(

)

(

)

(

)

O (

)

Ejemplo:Dada()

con

encontrarlasumadeRiemannparala funcinfen[

]paralaparticin:

,

.

,

,

y

y

,

,

,

y

. Trazar la grfica de la funcin en [

]ymostrarlosrectngulos,cuyasmedidasdereasonlostrminosdelasumade Riemann Cul es la norma de particin? Encontrar la suma de Riemann para la funcin en el intervalo, usando la particin dada y valoresdadosde

.Hacerlagrficadelafuncinenelintervalodadoymostrarlos rectnguloscuyasmedidasdereasonlostrminosdelasumadeRiemannCulesla norma de particin? Prctica (Evidencia 3): Clculo de reas amorfas.Construirencartulinalafiguraamorfa,calcularsureaysealarCuleslanormade particin? . CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 11 de 57 ()

, ,para :

,

.

,

,

;

,

,

,

. ()

, ,para:

,

.

,

,

;

,

,

,

. ()

,,para:

,

.

,

,

;

,

,

,

,

1.4 Definicin de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. Si f es una funcin definida en el intervalo cerrado[ ] entonces la integral definida def de a a b denotada por ()

est dada por: ()

(

)

() se llama integrando a se llama el lmite inferior b se llama el lmite superior Teorema: si una funcin f es continua en el intervalo cerrado [ ], entonces f es integrable en [ ], sin embargo no es una condicin necesaria para la existencia de ()

. Para considerar la integral definida de una funcin f de a a b cuando , o cuando, tenemos las siguientes definiciones: Si , entonces ()

()

()

Cuando ()

() CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 12 de 57 1.6 Propiedades de la integral definida. Si la funcin f es integrableen el intervalo cerrado [ ]y si k es cualquier constante entonces ()

()

Si las funciones fy g son integrablesen[ ] , entonces f + g es integrable en [ ] y [() ()]

()

()

1.7 Funcin primitiva. Evidencia 4 Investigar concepto de funcin primitiva 1.8 Teorema fundamental del clculo. Sea la funcin f continua en el intervalo [ ] y sea g una funcin tal que

()() Para toda x en [ ]. Entonces: ()

() () 1.9 Clculo de integrales definidas. Evidencia 5

(

)

(

)

(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 13 de 57 1.10 Integrales Impropias Definicin de la integral impropia Hastaelmomentolasintegralesquesehanrealizadotienenamboslmitesdeintegracin finitos, y la funcin que se integra es continua en el intervalo de integracin.Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos lmites de integracin soninfinitosodondeelintegrandoesdiscontinuoenunnmerofinitodepuntosdel intervalo de integracin. ()

()

() ()

() ()

()

La funcin para integrar es continua para todos los valores de x entre los lmites a y b con excepcinSiyes positivo: ()

()

La funcin para integrar es continua para todos los valores dex entre los lmites a y b con excepcin ()

()

Evidencia 6

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 14 de 57

(

)

()

(

)

()

(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 15 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 16 de 57 2.1 Definicin de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. Evidencia 1 1.Investigar la definicin de funcin primitiva. 2.Comprender y explicar el concepto de integral indefinida3.Investigar y analizar las propiedades de la integral indefinida. 2.3 Clculo de integrales indefinidas. Los problemas del clculo integral dependen de la operacin inversa: Hallar una funcin () cuya derivada ()() es conocida. O bien, ()()() Se enuncia el problema de clculo integral como sigue: Dada la diferencial de una funcin, hallar la funcin. ()() Entonces, se concluye que la diferenciacin y la integracin son operaciones inversas. Reglas para integrar las formas elementales ordinarias: a)La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la misma suma algebraica de las integrales de esas expresiones. () b)Una constante puede escribirse adelante del signo integral 2.3.1 Directas. Evidencia 2 Comprobar las siguientes integraciones: 1.(

)

2.(

)

3.(

)

4.(

)

5.(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 17 de 57 6.()

()

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. ( )

14.

15. (

)

16. ()

17.

18.

19.

()

20. ()

()

21.

22.

()

()

23.

24.

( )

25.

( )

26. (

)

(

)

27. ()

28. (

)

(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 18 de 57 29.

(

)

30. (

)

(

)

31. (

)

32.

()

()

33.

(

)

(

)

34. (

)

35. (

)

36. (

)

(

)

37. (

)

()

(

)

38.

(

)

39. ()

40.

()

( )

Evidencia 3 Comprobar las siguientes integraciones: 1.

|| 2.

||3.

4.

| |5.

|

|6.

|

| 7.

| | 8.

| | 9.

|

| CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 19 de 57 10.

|

| 11.()

()

12.

() 13.(

)

()

14.

15.

16.

17.

18.

19. (

)20.( )

(

) 21.

22.

23.

24.(

)

25.(

)

(

)

26.

(

)27.(

)

28.

(

)

29.

(

)


(

) Evidencia 4 Comprobar las siguientes integraciones: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.(

)

10.

11.

12. ()

13.

14.

15. () 16.

( ) CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 21 de 57 17.

18. ( )

(

) 19. 20. ( )

( ) Evidencia 5 Comprobar las siguientes integraciones: 1.

2.

(

)3.

4.

(

) 5.

(

)6.

7.

(

) 8.

(

)9.

10.

(

)11.

(

) 12.

13.

14.

()

(

) CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 22 de 57 15.

(

) 16.

()

(

) 17.

(

) 18.

(

) 19.

() 20.

(

)21.

(

)22.

( ) 23.

(

)24.

()25.

(

) 26.

(

) 27.

(

)28.

(

) 29.

(

) 30.

31.

(

) 32.

(

) 33.


35.

(

) 2.3.2 Con cambio de variable. Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de x Unaexpresinquecontienesolamentepotenciasfraccionariasdexpuedetransformarse en forma racional mediante la sustitucin

Siendo n el menor denominador comn de los exponentes fraccionarios de x. Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de Unaexpresinquecontienesolamentepotenciasfraccionariasde puede transformarse en forma racional mediante la sustitucin

Siendo n el menor denominador comn de los exponentes fraccionarios de x. Evidencia 6 1)

()2)

()()

() 3)()()

4)

5)

6)

7)

()

() 8)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 24 de 57 2.3.3 Trigonomtricas Evidencia 7 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

2.3.4 .Por partes. Evidencia 8 ( )

[

]

[

] CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 25 de 57

(

)

(

)

(

)

(

)

()

(

)

( ) ()

()

() [()]

()

()

2.3.5 Por sustitucin trigonomtrica. Evidencia 9

(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 26 de 57

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2.3.6 Por fracciones parciales. Evidencia 10 ()

()

(

)

(

) CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 27 de 57 ()

()()

(

)

()()

(

)()()

( )()

()

()

()

(

)

(

) (

)

(

) (

)()(

)( ) (

)()(

)

(

)()(

)

()

(

)

(

)

(

)()

(

) (

)

(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 28 de 57 (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 29 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 30 de 57 3.1 reas. 3.1.1 rea bajo la grfica de una funcin. 3.1.2 rea entre las grficas de funciones. Si f es una funcin continua en el intervalo cerrado [ ] y () para toda x en [ ], la medida del rea de la regin acotada por la curva (), el eje de las x y las rectas yes igual a la integral definida rea = ()

Ejemplo:Encontrar el rea de la regin acotada por la curva

, el eje de las x y las rectas y

Encontrar el rea de la regin acotada por la curva

y las rectas y

Ejemplo:Encontrar el rea de la regin acotada por lascurvas

y()

Encontrar el rea de la regin acotada por laparbola

y la rectaa)Rectngulos verticales b)Rectngulos horizontales

Evidencia 1: En cada problema hacer lo siguiente: a)Dibujar una figura que muestre la regin y un elemento rectangular del rea b)Calcular el rea 1) ;

2);

3)

4)

; CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 31 de 57

5)

6)

;

7);

8)

y la recta a)Empleando franjas horizontales b)Empleando franjas verticales 3.2 Longitud de curvas. Porlongituddeunarectaqueremosdecir,elnmerodevecesquepodemoscolocar sucesivamente sobre ella un segmento rectilneo que se toma como unidad de longitud. La longitud de arco de una curva se define como el lmite de la suma de los lados de un la poligonalcuandoelnmerodelospuntosdedivisintiendeainfinito,almismotiempo que cada uno de los lados tiende a cero. Siladerivadadelafuncin f, f',escontinuaenelintervalo[a,b],sediceque f es alisada en dicho intervalo. Se denomina arco de una curva continua a la porcin comprendida entre dos de sus puntos. Sea la funcin () alisada en [ ], la longitud, L de arco de la curva de entre los puntos ( ()) y ( ()) est dada por: CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 32 de 57 [()]

Sea la funcin ()alisada en [ ], la longitud, L de arco de la curva de entre los puntos ( ()) y ( ()) est dada por: [()]

Ejemplo:Encuentre la longitud del arco de la curva

delorigen al punto ( )

Evidencia 2 Hallar la longitud de arco de la curva

desde el punto dondeal punto CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 33 de 57

Hallar la longitud de arco de la curva

desde el punto donde

al punto

Hallar la longitud de arco de la curva desde el origen al punto (

) ( ) 3.3 Clculo de volmenes de slidos de slidos de revolucin. Mtodo del disco a)El eje de rotacin forma parte del contorno del rea plana 1)Setrazaundiagramaindicandoelreageneratriz,elrectngulogenrico perpendicular el eje de rotacin. 2)Sehallaelvolumendeldiscoproducidoenlarotacindelrectngulogenrico alrededor del eje de rotacin y la suma de los n rectngulos. 3)Aplicar el teorema fundamental del clculo integral CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 34 de 57 b)El eje de rotacin no forma parte del contorno del rea plana 1)Igual que en el a). 2)Cuandoesterectngulogirealrededordelejederotacinseproduceunaarandela cuyovolumenesigualaladiferenciaentrelosvolmenesgeneradosporlos rectngulos al girar con respecto al eje. 3)Aplicar el teorema fundamental del clculo integral

CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 35 de 57 Ejemplo: CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 36 de 57 Evidencia 3 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 37 de 57 Mtodo del anillo 1)Se dibuja en un diagrama, el rea generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacin y su rectngulo correspondiente. 2)Se halla el ( )()()del anillo cilndrico producido en la rotacin del rectngulo genrico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a losrectngulos. 3)Aplicar el teorema fundamental del clculo integral Regla general: El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curvay = f(x), con f(x) > 0, el ejex y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, est dado por la integral

()

[()()]

( ) ()

2 12 22 12 22 12 1 2 12 12 1( )( )( )2 ( )2V V Vr h r hr r hr r r r hr rr r ht tttt= = = = + + | |= |\ . CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 38 de 57 Evidencia 4 Hallarelvolumendelslidoderevolucinquesegeneraalhacergirarsobreelejeyla regin que est comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 3x + 1 y la vertical x = 3

Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la regin que est delimitada por la parbola y = x2 + 4x 3, por la cbica y = x3 6x2 + 12x 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

Determinarelvolumendelslidodelaregincircundadaporelejexylaparbola ()

que se hace girar alrededor de la recta vertical . CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 39 de 57 3.3 Clculo de centroides. 3.4 Otras aplicaciones. Ejemplo: Encontrarelcentrodemasadeunalminadedensidaduniforme,delimitadapor()

y el eje x. CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 40 de 57 Evidencia 5 Encontrarelcentrodemasadeunalminadedensidaduniforme,delimitadapor()

Encontrarelcentrodemasadeunalminadedensidaduniforme,delimitadapor() CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 41 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 42 de 57 4.1 Definicin de serie. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita. Losnmeros5,7,10,11,13,15definenunasucesin.Estsucesinsedicequeesfinita porquehayunprimeryltimonmero.Sielconjuntodenmeroselcualdefineuna sucesin no tiene un primer y un ltimonmero, se dice que es una sucesin infinita. Por ejemplo, la sucesin definida por:

Es infinita porque los tres puntos indican que no hay ltimo nmero. Definicin:Unasucesinesunafuncincuyodominioeselconjuntodelosenteros positivos. Sieln-simoelementoestdadopor() entonceslasucesineselconjuntodeparejas ordenadas de la forma( ()), donde n es un entero positivo. En particular, si()

, entonces: ()

()

()

()

Teorema: Si

() y f est definida para todo entero positivo, entonces tambin

() cuando n es un entero positivo. Definicin: Si {

} es una sucesin y

Entonces la sucesin {

} se llama una serie infinita. Los nmeros

se llaman los trminos de la serie infinita. Para denotar una serie infinita se utiliza el siguiente simbolismo:

Ejemplo: Dada la serie infinita CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 43 de 57

( )

Encontrar los 4 primeros trminos de la sucesin de sumas parciales

y encontrar una frmula para

en trminos de n.

Por fracciones parciales vemos que

( )

Definicin:Sea

una serie infinita dada, y sea

la sucesin de sumas parciales que define esta serieinfinita.Entoncessi

existeyesigualaS,decimosquelaseriedadaes convergentey queS es la suma de la serie infinita dada. Si

no existe, se dice que la serie es divergente y la serie no tiene suma. Ejemplo: Determinar si la serie del ejemplo anterior tiene una suma

Concluimos que la serie infinita tiene una suma igual a 1. Teoremas:Si la serie infinita

es convergente, entonces

Si

entonces la serie

es divergente. CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 44 de 57 4.2 SerienumricayconvergenciaPruebadelarazn(criteriodeDAlembert)y Prueba de la raz (criterio de Cauchy). Teorema: el criterio de la razn:Sea

una serie infinita dada para la cual toda

es diferente de cero. Entonces: a)Si

|

|b)Si

|

|

|

|la serie es divergente c)Si

|

| nada se puede concluir acerca de la convergencia. 4.3 Serie de potencias. Una serie de potencias en es una serie de la forma

( )

()

()

Usamos la notacin

( )

Tambin hay series de potencias de la forma:

[()]

()

[()]

[()]

Donde es una funcin de x. Ejemplo: Encontrar los valores de x para los cuales la serie de potencias ()

es convergente Para la serie dada,

()

y

()

()

De este modo

|

|

|

( )

|

||

|| Por lo tanto la serie es convergente para ||

Por lo tanto la serie es divergente para ||

Cuando

la serie de potencias dada se convierte en

()

La cual es convergente Cuando

tenemos

Es divergente Conclusin: CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 45 de 57 La serie de potencias dada es convergente cuando

Es absolutamente convergentecuando

Y es condicionalmente convergente cuando

Si

la serie es divergente 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor.

()

( )

() ()( ) ()

( )

()()

( )

Se llama serie de Taylor de f en a. Cuando a=0 se llama serie de Maclaurin. Ejemplo: Encontrar la serie de Taylor para senx en a ( ) ( )

( )

( )

4.6 Representacin de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Clculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 46 de 57 FORMULARIO CLCULO DIFERENCIALAlicia E. Prez Yebra 1)0 =dxdc8) ( )nnnnvdxdvdxv d1 = 14)( )dxdvv senvdxdcos =dois)1 =dxdx9)( )|.|

\|= =dxdvv vdxdvvdxd 1ln 15)( )dxdvsenv vdxd = cos3) dxdwdxdvdxduw v udxd+ + = + + ) ( 9a)( )xxdxd 1ln = 16)( )dxdvv tgvdxd2sec =4) |.|

\|=dxdvc cvdxd) ( 10)( )|.|

\|=dxdvvevdxd loglog17) ( )dxdvv ctgvdxd2csc =5)|.|

\|+ |.|

\|=dxduvdxdvu uvdxd) ( 10a)( )xexdxd loglog = 18) ( )dxdvtgv v vdxd* sec sec =6)dxdvnv vdxdn n 1) (= 11)( )dxdva a adxdv vln = 19) ( )dxdvctgv v vdxd* csc csc =6a) 1) (=n nnx xdxd11a)) ( ) a a adxdx xln = 20) ( )dxdvsenv versvdxd=7) 2vdxdvudxduvvudxd|.|

\|=|.|

\|12)( )dxdve edxdv v=7a) cdxducudxd|.|

\|=|.|

\|12a) ( )x xe edxd=13)( )dxdvu udxduvu udxdv v v* ln1+ =

[

] 21) ( )21 vdxdvdxarcsenv d= 24) ( )21 vdxdvdxarcctgv d+ = 27) ( )22 v vdxdvdxarcversv d= CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 47 de 57 22) ( )21arccosvdxdvdxv d =25) ( )1sec2=v vdxdvdxv arc d 23) ( )21 vdxdvdxarctgv d+=26) ( )1csc2 =v vdxdvdxv arc d dxdvdxdydxdy* =, siendo y funcin de v dydxdxdy 1=Siendo y funcin de x CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 48 de 57 Identidades Pitagricas Trigonomtricas Identidades Recprocas

Funciones trigonomtricas

Funciones trigonomtricas ( )( ) Propiedades de Logaritmos ( ) ( ) ( ) ( )

Grados030456090 Radianes0

0

1 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 49 de 57

Frmula General:

1

0 0

1 No definido CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 50 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 51 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 52 de 57 CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 53 de 57 FORMULARIO CLCULO INTEGRALAlicia E. Prez Yebra () u dunu C nn n=++ = +}1111 duuu C = + } lna duaaCuu= + }ln e du e Cu u= + }sen cos udu u C = + }}+ = C u du u sen cos}+ = C u du u tan sec2 csc cot2udu u C = + }}+ = C u du u u sec tan seccsc cot csc u udu u C = + } }+ = C u du u sec ln tan cot ln sen udu u C = + } C u u du u + + =}tan sec ln sec csc ln csc cot udu u u C = + } dua uuaC2 21= +} sen }+ =+Caua u adu12 2tan1 duu u aauaC2 211= +} sec dua u au au aC2 212 =++ } ln duu a au au aC2 212 =++ } ln a u duua uau a u C2 2 2 222 22 2+ = + + + + + } ln( ) u a u duua u a uau a u C2 2 2 2 2 2 222 2828+ = + + + + + } ln CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 54 de 57 duu a uaa u auC2 22 21+= + ++ } lnduu a ua ua uC2 2 22 22+= ++ } CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 55 de 57 Integracin por partes Integrales de laforma

u

z

a Integrales de laforma

z a Integrales de laforma

a u z

Integracin de Fracciones Racionales Caso ILos factores del denominador son de primer grado y ninguno se repite Caso IILos factores del denominador son de primer grado y algunos se repiten Caso IIIEl denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite Caso IVEl denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite Cuando el exponente del denominador es mayor que el denominador se realiza la divisin CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 56 de 57 Integracin de diferenciales trigonomtricas (casos) Caso I

n y m son nmeros enteros positivos impares Restar 1(descomponer)

Identidades

Caso II

n es um nmero entero positivo par o impar Restar 2 (descomponer)

Identidades

*se aplica del lado derecho Caso III

n es um nmero entero positivo par Restar 2 (descomponer)

Identidades

*se aplica del lado izquierdo Caso IV

Cuando n es un nmero entero positivo par, se procede como en III. Cuando m es un nmero entero impar, se le resta 1 a cada uno y se hace un dv. Identidades Se utilizan anteriores Caso V

n y m son nmeros enteros positivos pares o uno de ellos. Identidades

Caso VI: (); ()

()()

()( )

()()

( )() CLCULO INTEGRAL M.C.Alicia E. Prez Yebra Pgina 57 de 57 ()( )

()()

()()

()( ) INTEGRACION APROXIMADA Frmula de los trapecios (

)

Frmula de Simpson

(

)

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Antologia Calculo Integral 2012