Antologia de Calculo Difrenecial 2015

Instituto Tecnolgico Superior de las Choapas Ingeniera INDUSTRIAL

A N T O L O G I A D E C A L C U L O D I F E R E N C I A L

TEMARIO

UNIDAD I NUMEROS REALES

1.1 La recta numrica. 1.2 Los nmeros reales. 1.3 Propiedades de los nmeros reales. 1.3.1 Tricotoma. 1.3.2 Transitividad. 1.3.3 Densidad. 1.3.4 Axioma del supremo. 1.4 Intervalos y su representacin mediante desigualdades. 1.5 Resolucin de desigualdades de primer grado con una incgnita y de desigualdades cuadrticas con una incgnita. 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolucin de desigualdades que incluyan valor absoluto. UNIDAD II FUNCIONES

2.1 Concepto de variable, funcin, dominio, condominio y recorrido de una funcin. 2.2 Funcin inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Funcin real de variable real y su representacin grfica. 2.4 Funciones algebraicas: funcin polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonomtricas y funciones exponenciales. 2.6 Funcin definida por ms de una regla de correspondencia. Funcin valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adicin, multiplicacin, composicin. 2.8 Funcin inversa. Funcin logartmica. Funciones trigonomtricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los nmeros naturales y recorrido en los nmeros reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Funcin implcita.

UNIDAD III LMITE Y CONTINUIDAD

3.1 Lmite de una sucesin. 3.2 Lmite de una funcin de variable real. 3.3 Clculo de lmites. 3.4 Propiedades de los lmites. 3.5 Lmites laterales. 3.6 Lmites infinitos y lmites al infinito. 3.7 Asntotas. 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. 3.9 Tipos de discontinuidades.



UNIDAD IV DERIVADAS

4.1 Conceptos de incremento y de razn de cambio. La derivada de una funcin. 4.2 La interpretacin geomtrica de la derivada. 4.3 Concepto de diferencial. Interpretacin geomtrica de las diferenciales. 4.4 Propiedades de la derivada. 4.5 Regla de la cadena. 4.6 Frmulas de derivacin y frmulas de diferenciacin. 4.7 Derivadas de orden superior y regla LHpital. 4.8 Derivada de funciones implcitas.

UNIDAD V APLICACIN DE LAS DERIVADAS

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. 5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del clculo diferencial. 5.3 Funcin creciente y decreciente. Mximos y mnimos de una funcin. Criterio de la primera derivada para mximos y mnimos. Concavidades y puntos de inflexin. Criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos. 5.4 Anlisis de la variacin de funciones 5.5 Clculo de aproximaciones usando la diferencial. 5.6 Problemas de optimizacin y de tasas relacionadas. CRITERIOS DE EVALUACION

40% RUBRICA HOLISTICA (20% INVESTIGACION, 20% PLENARIA ) 20% RUBRICA ANALITICA (PROBLEMARIO 20%) 40% CUESTINARIO (EXAMENES)



INTRODUCCION

En el Calculo Diferencial la caracterstica ms sobresaliente de esta asignatura es

que en ella se estudian los conceptos sobre los que se construye todo el Clculo:

nmeros reales, variable, funcin y lmite.

Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los esenciales del Clculo: la

derivada, concepto que permite analizar razones de cambio entre dos variables,

nocin de trascendental importancia en las aplicaciones de la ingeniera.

Esta asignatura contiene los conceptos bsicos y esenciales para cualquier rea

de la ingeniera y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lgico,

formal, heurstico y algortmico.

En el Clculo diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para

afrontar con xito clculo integral, clculo vectorial, ecuaciones diferenciales,

asignaturas de fsica y ciencias de la ingeniera. Adems, encuentra, tambin, los

principios y las bases para el modelado matemtico.

En la unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los nmeros reales

y sus propiedades bsicas. Esto servir de sustento para el estudio de las

funciones de variable real, tema de la unidad dos. En la tercera unidad se

introduce el concepto de lmite de una sucesin, caso particular de una funcin de

variable natural. Una vez comprendido el lmite de una sucesin se abordan los

conceptos de lmite y continuidad de una funcin de variable real.

En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razn de cambio, se

desarrolla el concepto de derivada de una funcin continua de variable real.

Tambin se estudian las reglas de derivacin ms comunes. Finalmente, en la

quinta unidad se utiliza la derivada en la solucin de problemas de razn de

cambio y optimizacin (mximos y mnimos).



OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

Al finalizar el curso de Calculo Diferencial el alumno tendr la capacidad y

destreza para plantear y resolver problemas que requieren del concepto de

funcin de una variable para modelar y de la derivada para resolver.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

COMPETECIAS ESPECFICAS

Comprender las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades

de primer y segundo grado con una incgnita y desigualdades con valor absoluto,

representando las soluciones en la recta numrica real.

Comprender el concepto de funcin real e identificar tipos de funciones, as como

aplicar sus propiedades y operaciones.

Comprender el concepto de lmite de funciones y aplicarlo para determinar

analticamente la continuidad de una funcin en un punto o en un intervalo y

mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que

estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra.

Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin

y de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de

aproximaciones.

COMPETENCIAS GENERICAS

Procesar e interpretar datos.

Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numrica, geomtrica,

algebraica, trascendente y verbal.

Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma oral y escrita.

Modelar matemticamente fenmenos y situaciones.

Pensamiento lgico, algortmico, heurstico, analtico y sinttico.

Potenciar las habilidades para el uso de tecnologas de informacin.



Resolucin de problemas.

Analizar la factibilidad de las soluciones.

Optimizar soluciones.

Toma de decisiones.

Reconocimiento de conceptos o principios integradores.

Argumentar con contundencia y precisin.

COMPETENCIAS PREVIAS

Manejar operaciones algebraicas.

Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incgnita.

Resolver ecuaciones simultneas con dos incgnitas.

Manejar razones trigonomtricas e identidades trigonomtricas.

Identificar los lugares geomtricos que representan rectas cnicas.



UNIDAD I

NUMEROS REALES

OBJETIVO PARTICULAR:

Al finalizar la unidad el alumno comprender las propiedades de los nmeros

reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incgnita y

desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta

numrica real.



UNIDAD I

NUMEROS REALES.

1.1 LA RECTA NUMRICA.

Recta numrica. Se representa por una lnea recta en forma horizontal en el cul

se encuentran ordenados los nmeros reales de acuerdo a su magnitud.

Es importante recordar que para cualesquiera dos nmeros reales diferentes a los

que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.

Si a - b es positivo, entonces a > b.

Podemos representar los nmeros reales a lo largo de una lnea recta, esta recta

numrica es una imagen o grfica de los nmeros reales. Cada punto en la recta

numrica corresponde exactamente a un nmero real y cada nmero real se

puede localizar exactamente en un punto.

Ejemplo: Represente en la recta numrica los siguientes nmeros racionales: 3/2,

7/2, -1/2,-5/2:

Solucin:

Ejercicio: Represente en una recta numrica los siguientes nmeros racionales.

a) 2 / 3 b) 8 / 5 c) - 5 / 2 d) 7 / 4

e) 9 / 2 f) - 11 / 3 g) 13 / 5 h) - 7 / 4



1.2 LOS NMEROS REALES.

Todo nmero real puede ser racional o irracional. Todo nmero real es negativo,

cero o positivo, existe una relacin entre los nmeros reales y los puntos de una

recta, todo nmero real se puede asociar con un punto sobre la recta y todo punto

sobre una recta se puede asociar con uno y solo un numero real. Existe un

nmero infinito de puntos sobre una recta y tambin un nmero infinito de

nmeros reales; entre dos nmeros reales distintos siempre es posible hallar otros

nmeros reales.

Nmeros racionales. Son aquellos que se pueden expresar como el cociente de

dos enteros (a/b), donde a es un entero y b es un entero diferente de cero. Con

la explicacin de que la divisin entre (0) no est definida. Los enteros positivos,

negativos y el cero estn incluidos entre los nmeros racionales. Los nmeros

racionales pueden escribirse en forma decimal.

Existen dos maneras:

Decimales terminales

Nmeros reales

Nmeros irracionales

Nmeros racionales

Fracciones Decimales finitos Decimales peridicos infinitos

Enteros

Ejemplos:

7 2.50905105605805

Inverso aditivo de los naturales {-1, -2. -3, }

Cero

Naturales {1, 2, 3, }



Decimales que se repiten infinitamente

Ejemplos:

23/0 = no est definida

10/2 = 5 es un entero positivo es racional.

-9/3 = -3 es un entero negativo es racional.

0/6= 0 cero es racional.

3/11= 0.2727272 se repite despus de un mximo de 2 dgitos es

racional.

2/5 = 0.4 termina es racional.

Nmeros irracionales. Los nmeros reales que no son racionales se llaman

irracionales. Son nmeros reales que no pueden ser expresados en la forma a/b,

donde a y b son enteros; se dice que los nmeros irracionales son todos los

decimales que no se repiten infinitamente y no terminan.

Ejemplos:

414213562.12

912931183.173

= 3.1415922654

Nmeros naturales. Son todos aquellos nmeros positivos excepto el cero por

ejemplo; 1, 2, 3, 4, etc. Es decir los nmeros naturales son las que usamos para

contar y efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

1.3 PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES.

Conmutativa de adicin: La conmutatividad implica que no importa el orden de

operacin, el resultado siempre es el mismo.



Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

6 = 6

Conmutativa de multiplicacin:

Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

8 = 8

Asociativa de adicin: La asociatividad implica que no importa el orden en que se

agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

6 + 9 = 4 + 11

15 = 15

Asociativa de multiplicacin:

Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

4 . 18 = 8. 9

72 = 72

Distributiva de multiplicacin sobre adicin:

Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

4. 11 = 8 + 36

44 = 44

Identidad de la adicin:

x + 0 = x



Por ejemplo:

4 + 0 = 4

Identidad de la multiplicacin:

x * 1 = x

Por ejemplo:

4 * 1 = 4

Inverso de la adicin:

x + (-x) = 0

Por ejemplo:

4 + (-4) = 0

Inverso de la multiplicacin:

11

)( x

x

Por ejemplo:

14

1)4(

1.3.1 TRICOTOMA.

En particular, en los Nmeros Reales, adems de las propiedades de producto y

suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de

vital importancia para la Matemtica, que es el orden. En otras palabras R es un

conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si x y y pertenecen a R,

entonces se puede decir si la afirmacin x > y es verdadera o no. De forma

precisa se puede decir que para cada x y y en R se cumple una y slo una de

las siguientes afirmaciones: x > y; x < y; x = y.



Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotoma.

Ntese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si x < y, entonces x

es distinto de y. Dicho de otra forma, no existe ningn nmero real x tal que x <

x.

1.3.2 TRANSITIVIDAD.

Una relacin binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple:

siempre que un elemento se relaciona con otro y ste ltimo con un tercero,

entonces el primero se relaciona con el tercero.

Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor

que c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

O bien La relacin binaria "menor que" en los enteros es transitiva: Si a



Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relacin "no es

subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}.

Entonces se cumple XY y YZ pero no se cumple XZ puesto que X es

subconjunto de Z.

Otro ejemplo de relacin binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la

mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

1.3.3 DENSIDAD.

Dados dos nmeros reales diferentes x y y, su promedio (x+y)/2 est

comprendido entre x y y. Por lo tanto, entre dos nmeros reales sin importar lo

cercano que se encuentren, hay una infinidad de nmeros reales. Esto implica que

dado un nmero real cualquiera x no tienen sentido expresiones tales como " el

nmero real siguiente a x " o " el nmero real anterior a x".

Usando nuestra caracterizacin de los nmeros reales como expresiones

decimales, podemos refinar el resultado anterior y establecer los siguientes

resultados:

Resultado 1. Entre dos nmeros reales diferentes hay un nmero racional, y por lo

tanto hay infinitos nmeros racionales entre ellos.

Resultado 2. Entre dos nmeros reales diferentes hay un nmero irracional, y por

lo tanto hay infinitos nmeros irracionales entre ellos.

Los resultados 1 y 2 se describen en lenguaje matemtico diciendo,

respectivamente, que el conjunto de los nmeros racionales es denso en el

conjunto de los nmeros reales y que el conjunto de los nmeros irracionales es

denso en el conjunto de los nmeros reales.



Ejemplo: Construyamos dos nmeros racionales y dos nmeros irracionales entre

x=1.24 y y=1.2401

Solucin:

Usando expresiones decimales peridicas tenemos que: a= 1.24005 y b=1.24003

son dos nmeros racionales entre x y y.

Usando expresiones decimales no peridicas tenemos que: t=

1.24002000200002 y s=1.2400201001000100001son dos nmeros

irracionales entre x y y.

1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO.

El axioma del supremo es un axioma de continuidad. l es usado en la

construccin analtica de los nmeros reales.

Enunciado:

Sea un conjunto s R limitado a la derecha, o sea, existe MR tal que: x s x

M

Entonces existe un nmero real s denominado supremo de s, denotado x sup s

tal que:

x s x s

Si y tiene la propiedad, entonces x y

Es decir s= sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

s es una cota superior de A

Si t es una cota superior de A, entonces ts. cualquier otra cota superior de A es

mayor que s.



1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACIN MEDIANTE DESIGUALDADES.

Intervalo. Un intervalo es el conjunto de todos los nmeros reales entre dos

nmeros reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes

smbolos:

Intervalo abierto (a, b) = {x/a < x < b}.

Intervalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una grfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un

punto abierto ( ) y los de un intervalo cerrado se representan con un punto

cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

( ) [ ]

a b a b

Segn vimos anteriormente los parntesis se utilizan para los intervalos abiertos y

los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan

ambas denotaciones a la misma vez.

Por ejemplo:

Si tenemos (a, b], la grfica sera:

( ]

a b

Si tenemos [a, b), la grfica sera:

[ )

a b



Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los nmeros

reales mayores que a y se representan con la notacin de intervalo (a, ). El

conjunto de todos los nmeros reales menores que a se representan con la

notacin de intervalo (- , a).

Nota: En la representacin grfica de las soluciones se pueden emplear

parntesis para indicar que el extremo del intervalo no est incluido en la solucin;

y se pueden usar corchetes para indicar que el extremo si est incluido.

Utilizando inecuaciones bsicas e inecuaciones simultneas, podemos describir

ciertos conjuntos de nmeros llamados intervalos. A estos intervalos corresponden

una notacin y terminologa de intervalo especiales que se muestran en la

siguiente tabla.

Notacin de

Desigualdad

Notacin de

Intervalo

Nombre Grfica Rectilnea y Notacin de

Desigualdad

1.- a < x < b (a, b) Intervalo

abierto

2.- a x b [a, b] Intervalo

cerrado

3.- a < x b (a, b] Intervalo

semiabierto

4.- a x < b [a, b) Intervalo

semiabierto

5.- x > b (b, ) Intervalo

infinito



6.- x < a (-, a ) Intervalo

infinito

7.- x a (-,a] Intervalo

infinito

8.- x b [b, ) Intervalo

infinito

Ejercicio: Relaciona correctamente la columna de la izquierda con la derecha.

1) _ x -3 a) ( 2 , 3 )

2) _ x 4 b) ( - , -3 ]

3) _ -2 x 1 c) [ 2 , 4 )

4) _ x -1 o x 2 d) [0, 3)

5) _ x 3 y x 2 e) [-1, 4]

6) x 1 o x -3 f) (- , )

7) _ -1 x 4 g) ( - , 0] u (3, )

8) _ x 2 h) ( -1 , 4 )

9) _ x 0 o x 3 i) [ 4 , )

10) _ 0 x 3 j) (-2, 1)

11) _ x 0 o x 0 o x = 0 k) (- , -3)

12) _ x -2 o x 1 l) (0, 4)

13) _ 2 x 4 m) ( 0, 3]

14) _ x -1 o x 4 n) [ 2, )

15) _ x 4 y x 0 o) (- , -1) u (2, )

p) (2, 4)

q) ( - , -1] u [2, )

r) (- , -2) u (1, )



s) (4, )

t) ( -2, 1]

u) ( - , -1] u [4, )

v) ( - , -3] u [1, )

1.5 RESOLUCIN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA.

Resolucin de desigualdades de primer grado con una incgnita. La expresin a

b, quiere decir que "a" no es igual a "b". Segn los valores particulares de "a" y

de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a -

b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es

negativa.

Desigualdad "es la expresin de dos cantidades tales que la una es mayor o

menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a la

izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y

los trminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicin de

desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen

algunas consecuencias, a saber:

1 Todo nmero positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ;

porque 5 - 0 = 5

2 Todo nmero negativo es menor que cero

Ejemplo:

-9 < 0 ;

porque -9 -0 = -9



3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

-10 > -30;

porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o

contrarios en las desigualdades, segn que el primer miembro sea mayor o menor

que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el

miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales. As como hay igualdades absolutas, que

son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; as

tambin hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se

atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:

a2+ 3 > a

Desigualdad condicional es aquella que slo se verifica para ciertos valores de las

literales:

Ejemplo:

2x - 8 > 0

Que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el lmite de x.

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Desigualdades Lineales. Una inecuacin o desigualdad lineal es lo mismo que una

ecuacin lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son: > (mayor que), < (menor que), (mayor o igual

que), y (menor o igual que).



Las relaciones numricas que se expresan con estos signos se llaman

desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman

inecuaciones. Estos seran unos ejemplos de desigualdades y de inecuaciones:

a) 3 + 7 > 6 b) 3 + 2 < 8

c) x - 1 < 5 d) x - 1 < x + 5

Una inecuacin es una desigualdad en la que aparece una incgnita. Si el grado

de la inecuacin es uno, se dice que la inecuacin es lineal. Resolver una

inecuacin es encontrar los valores de la incgnita para los cuales se cumple la

desigualdad. La solucin de una inecuacin es, por lo general, un intervalo o una

unin de intervalos de nmeros reales. El mtodo para resolver una inecuacin es

similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las

propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solucin de una

inecuacin con una grfica. Si la solucin incluye algn extremo del intervalo, en la

grfica representamos dicho extremo con un crculo en negrita o utilizando

corchetes; en cambio, si la solucin no incluye el extremo, lo representamos

mediante un crculo blanco (transparente), o utilizando parntesis.

Resolucin de problemas. No es muy comn encontrar problemas con

inecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente a este caso,

debemos plantearlo en forma matemtica y luego realizar las operaciones

correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamos

conocer).

Veamos un problema sencillo como ejemplo: Dentro de cinco aos, Ximena

tendr no menos de 18 aos. Qu edad tiene actualmente Ximena?

Tenemos entonces:

x edad de Ximena

x + 5 edad de Ximena en 5 aos

Sabemos que la edad de Ximena en cinco aos ser mayor que 18 aos (Dentro

de cinco aos, Ximena tendr no menos de 18 aos).



x + 5 > 18

Resolvemos la inecuacin:

x + 5 > 18

x > 18 5

x > 13

Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene ms de 13 aos, pero

no podemos determinar exactamente su edad.

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan

para resolver una ecuacin lineal.

Procedimiento:

1) Se puede aadir el mismo nmero en ambos miembros de una

desigualdad.

2) Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un nmero

positivo.

3) Se puede multiplicar ambos miembros por un nmero negativo, pero

entonces se debe invertir el sentido del signo de desigualdad.

Ejemplo: Resolver las siguientes inecuaciones lineales.

a) 4x + 6 > 2x -7

4x - 2x > -7 6

2x>-13

x>-13/2

x>-6.5

(-13/2,)

b) 5x+12 x - 8

3 + 8 > x - 8 + 8

11 > x

(-,11)



d) 4x - 3 > 53

4x > 53 +3

4x > 56

x > 56/4

x > 14

(14,)

e) -11x -5x +1 < -65x +36

-11x -5x +65x < 36 -1

49x < 35

x < 35/49

x < 5/7

(-,5/7)

f) 2x-[x -(x -50)] 750/2

x>375

(375,)

g) -7 2x + 1 < 19

- 7 2x + 1

- 7 - 1 2x

- 8 2x

- 8/2 x

- 4 x

2x + 1 <

19

2x < 19 -1

2x < 18

x < 18/2

x < 9

- 4 x < 9

[- 4,9)

h) -1 < - 2x + 1 < 3

-1 < - 2x +

1

-1 1 < -

2x

(-2 x

- 2x + 1 <

3

- 2x < 3

1

(-2x -1

-1 < x < 1

1 > x > -1

(-1,1)

i) 2x 3 < x + 4 < 3x 2

2x 3 < x

+ 4

2x x <

4+3

X < 7

x + 4 < 3x

-2

x 3x < -

2-4

-2x < -6

x >-6/-2

x > 3

(3,7)

Ejercicio: Resuelva correctamente las siguientes inecuaciones lineales.

1)

5

75

3

6 xx

2) 3(3x + 3)+6 < 4(2x - 2) 8 3) 3(x 1) 5(x + 2) 5

4) 2x - 6 > 2

5) 0

2

1

3

1 x

6) -3x + 4 2x 6

7) 3x 5 x + 7 8) 2x > x + 6 9) 1 + x < 7x + 5

10) 4 3x 2 < 13 11) 2x + 7 > 3 12) 1 x 2



13) 2x + 1 < 5x 8 14) -1 < 2x 5 < 7 15) 0 1 x < 1

16) 4x < 2x + 1 3x

+ 2

17) 1 + 5x > 5 - 3x 18) 1 < 3x + 4 16

19) -5 3 2x 9 20) 3x 11 < 4 21) 2X-3X+1, , o , la inecuacin

resultante tambin se denomina inecuacin cuadrtica.

Ejemplo: Detecte que expresin matemtica es inecuacin cuadrtica (I.C.) y cual

no lo es (No I.C.):

a) 2x2 - 3x 5 puede reescribirse como: 2x2 - 3x 5 0 ===> I.C.

b) (x + 3) (x - 1) 0 puede reescribirse como: x2 -x + 3x - 3 0 ===> x2 + 2x - 3 0

===> I.C.

c) 2x3 - x2 - 3x ===> No I.C. es inecuacin cbica

d) x( 3x2 + 5 x - 3 ) ===> No I.C. es inecuacin cbica

e) (x - 3) ( x+5) (x -8) ===> No I.C. es inecuacin cbica

f) -7x2 > 9x + 3 puede reescribirse como: -7x2 - 9x - 3 > 0 ===> (-1) (-7x2 - 9x - 3) <

0 ===> 7x2 + 9x + 3 < 0 ===> I.C.

Procedimiento para solucionar desigualdades cuadrticas. Para resolver una

inecuacin cuadrtica como ax2 + bx + c < 0 con a 0, se deben seguir los

siguientes pasos:

1. Transformar la inecuacin en la forma estndar, si la inecuacin est escrita en

cualquier otra forma.



2. Factorizar el primer miembro de la desigualdad. Suponga que la factorizacin

qued como: (x + a') (x - b' ) < 0.

3. Se calculan los nmeros crticos o puntos crticos, es decir nmeros para los

cuales los factores son cero. Esto es posible igualando a cero cada factor y

despejando x de cada uno de ellos. En este caso con (x + a') (x - b') < 0

tenemos:

(x + a') = 0 ===> x = -a' y adems

(x - b') = 0 ===> x = b'

4. Se hace un diagrama de signos, para encontrar los signos de los dos factores.

Este diagrama nos ayuda a determinar cundo los dos factores son ambos

positivos o ambos negativos, porque entonces su producto ser positivo. Para ello

se sealan sobre una recta numrica los puntos para los cuales los factores son

cero (en este x = - a' y x = b'). Al sealar los puntos crticos o nmeros crticos, la

recta numrica se divide en intervalos.

5a. Generalizando, si la ecuacin fuese (xa)(xb)0 se

tomarn los intervalos donde se cumpla que sea > 0, es decir que sean positivos.

Adems para el primer caso es estrictamente "menor que cero" por lo que los

nmeros crticos no son tomados en cuenta, y para el segundo caso es

estrictamente "mayor que cero" por lo que los nmeros crticos no son tomados en

cuenta. Y para ambos casos el(los) intervalo(s) resultante(s) ser(n) abierto(s) en

ese punto.

5b. Generalizando, si la ecuacin fuese (xa)(xb)0 se tomarn los intervalos

donde se cumpla que sea 0, es decir que sean negativos, pero adems dado

que es "menor o igual que cero" implicar que los nmeros crticos sern tomados

en cuenta. Lo mismo ocurre si la ecuacin fuese (xa)(xb)0 , se tomarn los

intervalos donde se cumpla que sea 0, es decir que sean positivos, adems por

el hecho de que sea "mayor o igual que cero" implica que los nmeros crticos

sern tomados en cuenta. Y para ambos el(los) intervalo(s) resultante(s) ser(n)

cerrado(s) en ese punto.



Procedimiento en el mtodo grfico

1. Se factoriza el polinomio

2. Se organizan los factores de tal modo que la incgnita quede escrita en la parte izquierda

de cada parntesis y con signo positivo

3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado

4. Se calculan las races contenidas en cada factor

5. Se ubican en cada recta real las respectivas races calculadas en el paso anterior

6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raz

7. A la izquierda de cada raz ubicada en su respectiva recta, se seala con un signo menos y

a la derecha con un signo ms

8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada

columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados

9. Si el sentido de la inecuacin es >, la solucin estar constituida por todos los intervalos,

en la recta resultado, sealados con el signo ms; en cambio si el sentido de la inecuacin es



c) x < 10 - 3x2

Solucin:

(3x2)(3) + x (10)(3) < 0

9x2 +3x 30 < 0

03

5363

xx

(x+2)(3x-5) < 0

x = -2 y x= 5/3

-3 -2 -1 0 1 5/3 2

x+2 - 0 + + + + +

3x-5 - - - - - 0 +

Prod. + 0 - - - 0 +

(-2,5/3)

d) x2 > 3 - 2x

Solucin:

x2 + 2x 3 > 0

(x+3)(x-1) > 0

x = -3 y x= 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2

x+3 - 0 + + + + +

x-1 - - - - - 0 +

Prod. + 0 - - - 0 +

(-,-3)U(1, )

e) (x-1)(x+3) > 0

Solucin:

x= 1 y x=-3

-4 -3 -2 -

1

0 1 2

x-1 - - - - - 0 +

x+3 - 0 + + + + +

Prod. + 0 - - - 0 +

(-,-3)U(1, )

f) x2 + x 12 < 0

Solucin:

(x+4)(x-3) < 0

x = -4 y x= 3

-

5

-

4

-

3

-

2

-

1

0 1 2 3 4

x+4 - 0 + + + + + + + +

x-3 - - - - - - - - 0 +

Prod. + 0 - - - - - - 0 +

(-4,3)

g) x2 7x + 10 < 0

Solucin:

(x-5)(x-2) < 0

x =5 y x=2

1 2 3 4 5 6

x-5 - - - - 0 +

x-2 - 0 + + + +

h) x (x+1) < 2

Solucin:

x (x+1) < 2

x2 + x < 2

x2 + x 2 < 0

(x+2)(x-1) < 0

x = -2 y x= 1



Prod. + 0 - - 0 +

(2,5)

-3 -2 -1 0 1 2

x+2 - 0 + + + +

x-1 - - - - 0 +

Prod. + 0 - - 0 +

(-2,1)

Ejercicio: Resuelva correctamente las siguientes inecuaciones cuadrticas.

1) x2 6x + 9 0 2) x2 4 3) x2 7x + 12 0 4) 3x2 x 2 > 0

5) (x+6)(x-2) > 6x 9 6) 2x2 + x 15 0 7) 2x2 + 5x 3 < 0 8) 4x2 + 20x + 24 < 0

9) (x+2)(x-4) 0 10) 2x2 5x 3 0 11) x3 + 7x2 - 10x> 0 12) x3 + 6x2 x 300

13) (x-2)(x+3)(x-5)(x+1) 0

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

Valor absoluto. Se representa con el smbolo |x|. El valor absoluto de un nmero

se calcula de la siguiente manera:

si el nmero es negativo, lo convertimos a positivo.

si el nmero es cero o positivo, se queda igual.

Ejemplos:

|7| = 7

|-3| = 3

O bien lo podemos definir como:

|x| = x si x > 0

|x| = -x si x < 0

Ejercicios:

|6| = 6

|-5| = -(-5) = 5



Propiedades. El valor absoluto se comporta en forma regular en la multiplicacin y

en la divisin, pero no as en la adicin y sustraccin.

a) |a.b| = |a| . |b|

b) |a/b| = |a| / |b|

c) |a+b| |a| + |b|

d) |a-b| |a| - |b|

Por ejemplo:

a) |(2)(3)| = |2| . |3| |(-2)(-3)| = |-2| . |-3| |(-2)(3)| = |-2| . |3|

|6| = (2)(3) |6| = (2)(3) |-6| = (2)(3)

6 = 6 6 = 6 6 = 6

b) |2/3| = |2| / |3| |-2/-3| = |-2| / |-3| |-2/3| = |-2| / |3|

2/3 = 2/3 2/3 = 2/3 2/3 = 2/3

c) |2+3| |2| +|3| |-2+(-3)| |-2| + |-3| |-2+3| |-2| + |3|

|5| 2+3 |-5| 2+3 |1| 2+3

5 5 5 5 1 5

d) |2-3| |2|- |3| |-2-(-3)| |-2| - |-3| |-2-3| |-2| - |3|

|-1| 2-3 |1| 2-3 |5| 2-3

1 -1 1 -1 5 -1



1.7 RESOLUCIN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.

Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra

negativa.

Por ejemplo:

a) | 10x - 2| 9

10x - 2 -9

10x -9 + 2

10x -7

10x/10 -

7/10

x -7/10

10x 2 9

10x 9 + 2

10x 11

10x/10

11/10

x 11/10

(-,-7/10] U [11/10,)

b) | x - 1| < 5

-5 < x-1 < 5

-5 < x -

1

-5 + 1 <

x

-4 < x

x 1 <

5

x < 5 +

1

x < 6

(-4, 6)

c) | 2x + 7| 9

2x + 7

-9

2x -9 -

7

2x -16

x -16/2

x -8

2x + 7

9

2x 9

7

2x 2

x 2/2

x 1

(-,-8] U [1,)

d) 4 -|- 2x| + 1 2

4 + 1 2 |- 2x|

3 |- 2x|

|- 2x| 3

-2x -3

x -3/-

2

x 3/2

-2x

3

x 3/-

2

x -

3/2



(-,-3/2] U [3/2,)

e) 4 |- 5x| - 3 -1

4 |- 5x| -1 + 3

4 |- 5x| 2

|- 5x| 2/4

|- 5x|

( - -5x ) (-1/5)

1/10 x -1/10

[-1/10, 1/10]

f) 1 |x| 4

1 |x|

|x| 1

x -

1

x

1

|x| 4

-4 x

4

[-4,-1] U [1,4]

Ejercicio: Resuelva los siguientes problemas.

a) |x+1| < -3

b) |x-1| 5 R=(-4,6)

c) |- 2x-4|=|3x| R=(4,-4/5)

d) 11 xx

R=(-1,0)

e) xx 11 R=(-,2]



UNIDAD II

FUNCIONES


Al finalizar la unidad el alumno comprender el concepto de funcin real y tipos de

funciones, as como estudiar sus propiedades y operaciones.



UNIDAD II

FUNCIONES

Las funciones se pueden expresar de las siguientes formas:

1 Mediante tablas. Por ejemplo se puede estudiar el crecimiento de la poblacin

mundial con el tiempo.

Ao Poblacin

(millones)

1650 600

1700 700

1750 750

1800 900

1850 1200

1900 1700

1950 2400

1990 6500

Poblacin (millones)

La variable independiente sera al ao, y la dependiente la poblacin. El dominio

de la variable dependiente sera todos los valores que toma: 1650, 1700, etc. y el

recorrido de la variable independiente sera todos los valores que toma sta: 600,

700, etc.

Como se puede observar hay una relacin funcional entre el nmero de aos y el

nmero de habitantes de la Tierra que ya que para cada valor del ao solo le

corresponde un nico valor de la poblacin.



2 Mediante grficas. En el ejemplo anterior:

0

2000

4000

6000

8000

Ao 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 1990

Poblacin

(millones)

600 700 750 900 1200 1700 2400 6500

1 2 3 4 5 6 7 8

3 Mediante frmulas.

x y

Por ejemplo si tenemos la funcin f(x) = x + 5 obtendremos los siguientes

resultados:

f(3) = 3 + 5 = 8

f(-7) = -7 + 5 = -2

f(0) = 0 + 5 = 5

3 8

-7 -2

0 5

A partir de la frmula se puede obtener una tabla y una grfica que nos pueden

ayudar si queremos una mejor interpretacin del fenmeno.

4. Mediante un enunciado. Por ejemplo si tenemos otra situacin donde "Un

padre que estuvo observando desde el balcn a su hijo Alberto como iba al

colegio: De casa sali a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Toms.

Lo esper un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio,

)(xf

5)( xxf



hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que haba

dejado la cartera en el banco; volvi corriendo, la recogi y lleg a la escuela a las

9 en punto."

Este enunciado representa una funcin que describe la distancia a la que se

encuentra Alberto segn el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la maana, y su

grfica aproximada es la representada a la derecha.

Para el problema donde se estudia el crecimiento de la poblacin mundial con el

tiempo, podemos decir que; en el ao de 1650 la poblacin era de 600 millones,

mientras que en el ao de 1700 la poblacin se incremento a 700 millones de

personas, en el ao de 1750 la poblacin ya es de 750 habitantes, etc.

Este planteamiento representa el incremento de la poblacin conforme va

transcurriendo el tiempo, con estos datos se puede inferir a cuantos habitantes

seremos en el 2010, por mencionar un ejemplo.

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIN, DOMINIO, CONDOMINIO Y

RECORRIDO DE UNA FUNCIN.

Una funcin es una relacin o dependencia entre dos variables que, por medio de

una regla, asigna a cada valor de la variable independiente un nico valor de la

variable dependiente. En otras palabras se puede considerar una funcin como un

dispositivo de entrada/salida.



La notacin para expresar que y es funcin de x es y = f(x), por ejemplo: y=x5,

f(x)=x5, o bien, g(x), h(x), etc.

Las cantidades que intervienen en una cuestin matemtica son constantes

cuando tienen un valor fijo y determinado, y son variables cuando toman diversos

valores.

Variable independiente (x) es la que le asignamos valores, se representa en el eje

X o eje de las abscisas. El conjunto de valores que puede tomar se llama dominio.

Variable dependiente (y) es la que podemos calcular cuando conocemos la

variable independiente, y se representa en el eje Y o eje de las ordenadas. El

conjunto de valores que puede tomar se llama rango, contra dominio, recorrido o

imagen.

Variable dependiente Variable independiente

Ejemplo: Si un metro de tela cuesta $2.00, y si una pieza tiene 5 metros, el costo

de la pieza ser de $10.00; si tiene 8 metros el costo ser de $16.00, etc.

Identifique la constante, las variables dependiente e independiente, as como la

funcin que determine el costo total de la pieza.

Solucin:

Constante: El costo de 1 m. de tela ($2.00)

Variables: El numero de metros de tela y el costo de la pieza

Variable Dependiente: Costo total de la pieza

Variable Independiente: El nmero de metros de tela

3)( xxfy



Funcin: y = 2 x

Ejercicio: Si un mvil desarrolla una velocidad de 6 metros por segundo, si viaja

durante 2 segundos recorrer una distancia de 12 metros, identifique la constante,

las variables dependiente e independiente, as como la funcin que determine la

distancia total recorrida.

Solucin:

Constante: Velocidad (6 metros por segundo)

Variables: Tiempo y distancia

Variable Dependiente: Distancia

Variable Independiente: Tiempo

Funcin: y = 6 x

El dominio de una funcin es el conjunto que consiste en todos los valores de

entrada posibles. El recorrido de una funcin es el conjunto de todos los valores

de salida posibles.

Por ejemplo, el conjunto de pares ordenados {(1,3), (1,6), (2,6), (3,9), (3, 12), (4,

12)}; el conjunto de los primeros componentes {1, 2, 3, 4} se llama dominio y el

conjunto de las segundas componentes {3, 6, 9, 12} recibe el nombre de

recorrido. En la figura (a) siguiente se utilizan flechas para indicar cmo se asocian

las entradas del dominio (las primeras componentes) con las salidas del rango (las

segundas componentes). La figura (b) muestra otro ejemplo de una relacin

existente entre el dominio y el rango.

Al conjunto A se llama dominio de la funcin y al conjunto B se llama condominio

de la funcin. A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama

imagen o rango o recorrido (en el ejemplo de la figura (b) el condomino y el

recorrido NO tienen los mismos elementos).



Dominio Recorrido Dominio Recorrido

A B A B

Fig. a) Fig. b)

Una ecuacin frecuentemente expresa cmo se obtiene la segunda componente

(la salida) a partir de la primera componente (la entrada). Por ejemplo, la ecuacin

y = 4x 3.

Expresa cmo resulta la salida y de la entrada x. Esta ecuacin expresa una

relacin especial entre x y y, porque cada valor de x que se sustituye en la

ecuacin slo da como resultado un valor de y, decimos que la ecuacin expresa

y como la funcin de x.

Para y = 4x 3

Dominio Rango

1

2

3

4

3

6

9

12

1

2

3

4

1

5

9

13

1

2

3

4

7

9

11



Ejercicio: En los ejercicios siguientes, determine f(0) y f(-2)

1) f(x) = 5x 10 2) f(x) = -x + 4 3) f(x) = mx + b 4) f(x) = x2 9

5) f(t) = t2 + t 5 6) f(u) = u3 10 7) f(n) = n4 8) f(x) = x3 2x +

4

Solucin:

1) -10 y -20 2) 4 y 6 3) b y -2m + b 4) -9 y -5

5) -5 y -3 6) -10 y -18 7) 0 y 16 8) 4 y 0

Para determinar el dominio, en ocasiones es ms fcil identificar los valores que

no se incluyen en el dominio (es decir, encontrar las excepciones). Dado el

dominio, el recorrido de una funcin es el conjunto correspondiente de valores

para la variable dependiente. Es posible que sea ms difcil identificar el rango que

definir el dominio.

Ejemplo: Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones, y

determine el recorrido para las funciones de (1) y (2).

1. y = 4x2 2. 3.

4. y = f(x) = x2 2x + 1

5. 6.

7. 8.



Solucin:

1. y = 4x2

X Y

-3 36

-2 16

-1 4

0 0

1 4

2 16

3 36

Dominio: Todos los

nmeros reales

Recorrido: y 0

2.

x y

-3 2.64

-2 2.44

-1 2.23

0 2

1 1.73

2 1.41

3 1

4 0

5 -

Dominio: x 4

Recorrido: y 0

3.

x Y

-3 -0.2

-2 -

0.25

-1 -

0.33

0 -0.5

1 -1

2

3 1

4 0.5

5 0.33

Dominio: x 2

4. y = f(x) = x2 2x + 1

Dominio: Todos los

nmeros reales

5.

Dominio: x 2

Nota: La expresin x2 4,

se factoriza, es decir, (x-

2) (x+2).

6.

Dominio: x 5

7.

Dominio: x -4 y x 3

Nota: La expresin x2 + x

- 12, se factoriza, es

decir, (x + 4) (x - 3), el

valor de la raz no debe

8.

Dominio: x 10



ser negativo.

Ejercicio: En las funciones siguientes, determine el dominio de cada uno.

1. f(x) = -10x 2. f(x) = 5x 10 3. f(x) = mx b

4. f(x) = 25 x2

5 6)

7.

8. 9.

10. 11. 12.

Ejemplos:

1. Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrn le indic que su

salario depender del nmero de unidades que venda cada semana. Si

suponemos que: y = salario semanal en dlares, x = nmero de unidades

vendidas cada semana. Suponga que su patrn le dio la ecuacin siguiente para

determinar su salario semanal:

y = f(x) = 3x + 25. Determine su salario si la venta semanal es de 75 y 100

unidades respectivamente.

Solucin:

f(75) = (3) (75) + 25 = $250

f(100) = (3) (100) + 25 = $325

2. La funcin C(x) = 15x + 80 000 expresa el costo total en dlares de fabricar x

unidades de un producto. Si el nmero mximo de unidades que se pueden

producir es 50 000, determine el dominio restringido y el recorrido para esta

funcin del costo.



Solucin:

Dominio: 0 x 50 000

Recorrido: 80 000 C(x) 830 000

3. La funcin q = f(p) = 180 000 30p es una funcin de la demanda que expresa

la cantidad demandada de un producto q como una funcin del precio cobrado

del producto p, indicado en dlares. Si el nmero mximo de unidades que se

pueden producir es 6 000. Determine el dominio restringido y el recorrido de esta

funcin.

Solucin:

Dominio: 0 p 6 000

Recorrido: 0 q 180 000

Ejercicio:

1. En la fabricacin de un producto, una empresa incurre en dos tipos de costos.

Se incurre en costos anuales fijos de $250 000 sin importar el nmero de unidades

producidas. Adems, para la empresa cada unidad producida tiene un costo de

$6. Si C es igual al costo total anual en dlares y x es igual al nmero de

unidades producidas en un ao.

a) Determine la funcin C = f(x) que expresa el costo anual.

b) Cul es f(200 000)?, Qu representa f(200 000)?

c) Indique el dominio restringido y el rango restringido de la funcin si la

capacidad mxima de produccin es de 300 000 unidades por ao.

Solucin:

a) C = 6x + 250 000

b) $1 450 000

c) Dominio: 0 x 300 000

Recorrido: $250 000 C $2 050 000



2. Un fabricante ofrece a las personas que trabajan en un producto en particular

un incentivo salarial. El tiempo estndar para completar una unidad es de 15

horas. Se paga a los trabajadores un promedio de $8 por hora hasta un mximo

de 15 horas por cada unidad del producto. Si una unidad del producto requiere

ms de 15 horas, slo se paga al trabajador por las 15 horas que la unidad

debera haber requerido. El fabricante cre un incentivo salarial por la terminacin

de una unidad en menos de 15 horas. Por cada hora por debajo del estndar de

15 horas, el salario por hora del trabajador aumenta $1.50. Suponga que se aplica

el incentivo de $1.50 por hora a cualquier ahorro incremental que incluya

fracciones de hora (por ejemplo, si se completa una unidad en 14.5 horas, el

salario por hora equivaldra a $8 + $1.5 (0.5) = $8.75). Determine la funcin para

completar una unidad del producto.

Solucin: La funcin de la tasa salarial tiene un dominio restringido de n 0, ya

que los tiempos de produccin negativa no tienen significado. Adems, se

describir la funcin en dos partes. El incentivo salarial se aplica slo cuando el

tiempo de produccin es menor a 15 horas. Por ello, si n15, w = 8. Si el tiempo

de produccin es menor que 15 horas, se determina el incentivo salarial como: W

= 8 + 1.5 (nmero de horas por debajo del estndar de 15 horas)

Es decir, w = 8 + 1.5 (15 n) = 8 + 22.5 1.5n = 30.5 1.5n

3. Un pequeo club de salud trata de estimular nuevas membrecas. Por tiempo

limitado se reducir la cuota anual normal de $300 a $200. Como un incentivo

adicional, para cada miembro nuevo por encima de los 60, el cargo anual por cada

miembro se reducir $2 ms. Determine la funcin p = f(n), donde p es la cuota

de membreca para miembros nuevos y n es el nmero de miembros nuevos.



Solucin:

2.2 FUNCIN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

Se dice que una f es inyectiva o uno a uno, si puntos diferentes del dominio tienen

imgenes diferentes, es decir, si siempre que se tenga x1, x2 x con x1 x2 se

tiene f(x1) f(x2). Una manera equivalente de enunciar esta condicin es: si x1, x2

x son tales que f(x1) = f(x2), entonces necesariamente x1 = x2.

Se dice que una funcin es inyectiva cuando cada elemento del rango se asocia

con uno y solo uno del dominio, en este caso no hay dos parejas ordenadas que

tengan la misma segunda componente.

Ejemplo: Sea una funcin cualquiera. Ntese que cada elemento del conjunto B

recibe solamente una lnea entonces ES INYECTIVA.

A B

En el siguiente ejemplo hay un elemento de B (el nmero 2) que recibe dos

flechas o lneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA.

A B

1

2 3

1 2 3

1 2

3

1 2 3



Para la siguiente funcin:

Cuando a cada elemento del domino se le relaciona en la funcin con un elemento

de la imagen, se le llama inyectiva.

Una funcin es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente

un nico elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y)

pertenecientes a la funcin, las y no se repiten.

Para determinar si una funcin es inyectiva, graficamos la funcin por medio de

una tabla de pares ordenados. Luego trazamos lneas horizontales para

determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO A: Determinar si la siguiente funcin es o no inyectiva:

f(x) = x2 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x 2 1 0 1 2

f(x) 2 1 2 1 2



EJEMPLO B: Determinar si la siguiente funcin es o no inyectiva:

g(x) = 1 x3.

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x 2 1 0 1 2

g(x) 9 2 1 0 7

EJERCICIOS: Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas.

1) f(x) = 4x 2

2) f(x) = x3 x

3) f(x) = x

4) f(x) = 2

5) f(x) = 1 x2 x

Se dice que f es suprayectiva o sobre, si cada elemento de su contradominio es

imagen de al menos un elemento de su dominio. Es decir, si para cada yY existe

al menos un x X, talque y=f(x).

Cuando el rango y el condominio son iguales la funcin es suprayectiva.



Ejemplo: Sea una funcin cualquiera:

A B

Al conjunto B = {2,4} se le llama condominio y el rango de la funcin tambin es I =

{2,4}; Como el condominio y el rango son iguales la funcin ES SUPRAYECTIVA.

En el siguiente ejemplo; el condominio B = {2, 4} y el rango o imagen es: I = {2};

Como el condominio y el rango NO son iguales la funcin es NO ES

SUPRAYECTIVA.

A B

En trminos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben

ser todos los reales.

Se dice que f es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.

Ejemplo: La funcin es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva;

por lo tanto ES BIYECTIVA.

A B

-1 0 1

2

-2 -1

0 1

1 2

3

2

4

1

2 3

2

4



Ejercicio: Para los incisos d), e) y f) indicar si las funciones son inyectivas,

suprayectivas o biyectivas.

Indicar con una X si la funcin es inyectiva, suprayectiva o biyectiva,

FUNCIN INYECTIVA SUPRAYECTIVA BIYECTIVA

2.3 FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIN GRFICA.

Las funciones que tienen una o dos variables independientes se pueden

representar grficamente. Esta presentacin grfica ofrece una dimensin

adicional para entender las funciones matemticas.

La representacin grfica requiere una dimensin para cada variable

independiente contenida en una funcin y una para la variable dependiente. Por



consiguiente, las funciones con una variable independiente se grafican en dos

dimensiones o en un plano cartesiano. Las funciones con dos variables

independientes se grafican en tres dimensiones o en un espacio tridimensional.

Cuando una funcin contiene ms de tres variables, se pierde la representacin

grfica.

Las funciones que contienen dos variables se grafican en un conjunto de ejes de

coordenadas rectangulares. Normalmente, se selecciona el eje vertical para

representar la variable dependiente y el eje horizontal para representar la variable

independiente de la funcin.

Para graficar una funcin matemtica, simplemente podemos asignar diferentes

valores al dominio (a la variable independiente) y calcular el valor correspondiente

para la variable dependiente. Los pares de valores ordenados resultantes para las

dos variables representan valores que satisfacen la funcin. Tambin especifican

las coordenadas de puntos que caen en la grfica de la funcin. Para trazar la

funcin, determine un nmero adecuado de pares ordenados de valores que

satisfacen la funcin; localice sus coordenadas respecto de un par de ejes. Una

estos puntos con una curva suave para determinar un trazo de la grfica de la

funcin.

Ejemplos: Realice la grfica de las siguientes funciones.

1. y = 2x

4

2. y = 10x2 + 20x

100

3. y =

x3

4.



Solucin:

1. y = 2x 4

x y

-4 -12

-3 -10

-2 -8

-1 -6

0 -4

1 -2

2 0

3 2

4 4

2. y = 10x2 + 20x 100

x y

-6 140

-5 50

-4 -20

-3 -70

-2 -100

-1 -110

0 -100

1 -70

2 -20

3 50

4 140



3. y = x3

x y

-3 -27

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

4.

x y

0 50

5 60

10 70

15 80

20 90

25 100

30 110

35 120

x y

40 165

45 176.2

5

50 187.5

55 198.7

5

60 210

65 221.2

5

70 232.5

75 243.7

5

Ejercicios: Realice la grfica de las siguientes funciones.

1. y = 8

3x

2. y = x2 2x + 1 3. y = x2 + 5x 4. y = x3 +

2



5. y = x4

6.

7.

Las grficas son medios potentes para tratar gran nmero de problemas. Se

utilizan en todas las disciplinas: fsica, biologa, economa, sociologa, psicologa,

etc.

Las grficas tienen una gran riqueza conceptual, pues, permiten revelar relaciones

entre los datos que a simple vista puede ser difcil de notar y como dice el

conocido refrn un dibujo dice ms que mil palabras.

Las grficas dan una rpida informacin visual de la relacin entre dos

magnitudes.

Comencemos con un ejemplo: Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo

pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se para

para comer. A continuacin, sigue avanzando durante otro rato ms, momento en

que decide volver a casa por el mismo camino que haba elegido para la ida.



Observando atentamente la grfica podemos averiguar muchas cosas del paseo

que dio el ciclista: distancia ms lejana a la que lleg, kilmetros recorridos,

tiempo que estuvo fuera, momento en que come, ...

La grfica representa la relacin entre dos variables: el tiempo que transcurre

desde que parte el ciclista de su casa y la distancia a la que se encuentra de su

casa en cada momento.

Cada punto de la grfica representa un tiempo y una distancia, y significa que el

ciclista est a esa distancia cuando haya transcurrido ese tiempo desde el

momento en que parti.

Analizando la grfica apreciamos las franjas de tiempo en que el ciclista est

avanzando o est quieto, las franjas en las que vuelve frente a las de ida, e incluso

las franjas en las que el ciclista pedalea a mayor o menor velocidad (quizs

inducida por la pendiente menor o mayor del terreno durante esa zona de tiempo).



Adems las escalas de cada eje son diferentes:

En el eje horizontal, la unidad significa 1 hora.

En el eje vertical, la unidad de escala es equivalente a 20 kms.

Estas escalas nos permiten cuantificar la ruta (no slo describirla

cualitativamente). Por ejemplo: el punto ms lejano al que lleg el ciclista estaba a

80 kms. de su casa, y all llega a las 6 horas de haber salido.

Vemos que la grfica se extiendo en el tramo 0-8'5, es el intervalo de tiempo que

dura la ruta del ciclista.

Para hacer la grfica de una funcin como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si

hiciramos la grfica de una ecuacin y = x + 2. Buscamos los pares ordenados

(x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numrica y se conectan.

Por ejemplo:

f(x) = x + 2

Una grfica determina un conjunto de pares ordenados con nmeros reales

correspondientes a las coordenadas de los puntos en la grfica.



Ejercicio: Resuelva correctamente cada uno de los siguientes problemas.

1. Cada punto de este grfico representa una bolsa de azcar.

a) Qu bolsa es la ms pesada?

b) Qu bolsa es la ms barata?

c) Qu bolsas tienen el mismo peso?

d) Qu bolsas tienen el mismo precio?

e) Qu bolsa sale mejor de precio: F C?,

Por qu?

2. Un fin de semana cinco personas hicieron llamadas telefnicas a varias partes

del pas. Anotaron el coste de sus llamadas y el tiempo que estuvieron en el

telfono en la siguiente grfica: Responde razonadamente las siguientes

cuestiones:

a) Qu variables se relacionan?

b) Cul es la variable dependiente y la variable

independiente?

c) Quin pag ms por la llamada?

d) Quin pag menos por la llamada?

3. Grafique la siguiente funcin. x

xxfy

2

23)(



2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIN POLINOMIAL, RACIONAL E

IRRACIONAL.

Una funcin polinomial de n grados tiene la forma general

y=f(x)=anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 ++ a1x+a0. donde: an , an-1 , an-2 , a1 , a0 . Son

reales y an 0.

El exponente de cada x debe ser un entero positivo y el grado del polinomio es la

potencia (exponente ms alto en la funcin).

Las funciones, constantes, lineales, cuadrticas y cbicas son funciones

polinomiales de grado 0,1, 2 y 3 respectivamente.

Funcin constante. Se caracteriza por que su dominio tiene un solo valor, aun

cuando se toman diferentes valores, su grafica es una lnea horizontal paralela al

eje x y tiene la forma general; y =f(x)=a0

Por ejemplo: y = f(x)=2

x y

-2 2

-1 2

0 2

1 2

2 2

Funcin lineal. Es aquella cuyo mximo exponente en la variable independiente

es la unidad y tiene la forma general; y=f(x)=a1x + a0. Donde a1 0



Por ejemplo: y=f(x)=2x

+ 1

x Y

-2 -3

-1 -1

0 1

1 3

2 5

Funcin cuadrtica. Es aquella cuyo mximo exponente en la variable

independiente es 2 y tiene la forma general; y = f(x) = a2 x2 + a1x + a0. Donde a2

0

Por ejemplo: y = f(x) = 3x2 + 2x

+ 4

x y

-2 12

-1 5

0 4

1 9

2 20

Funcin cbica. Es aquella cuyo mximo exponente en la variable independiente

es 3 y tiene la forma general; y = f(x) = a3x3 + a2 x2 + a1x + a0. Donde a3 0



Por ejemplo: y = f(x) = x3 + 2x2 +

x + 1

x y

-2 -1

-1 1

0 1

1 5

2 19

Funcin racional. Es aquella que puede expresarse como el cociente de 2

funciones polinomiales, y tiene la forma general;)(

)()(

xh

xgxfy

Por ejemplo: x

xxfy

2

23)(

x Y

-4 1.25

-3 1.16

-2 1

-1 0.5

0 ?

1 2.5

2 2

3 1.83

4 1.75

Funcin Irracional. Es aquella que tiene la forma general; )()( xgxfy ,

donde g(x) puede ser lineal, cuadrtica, cbica o polinomial.



Por ejemplo:

xxxfy 2)(2

x y

-4 2.828

-3 1.732

-2 0

-1

0 0

1 1.732

2 2.828

3 3.872

4 4.898

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y

FUNCIONES EXPONENCIALES.

Funciones trigonomtrica. Sea un ngulo en posicin estndar en un sistema

de coordenadas rectangulares y P(x,y) un punto a r unidades del origen (donde

r>0), sobre el lado terminal del ngulo, se pueden establecer 6 razones que

contienen a r y a las coordenadas de P denominadas funciones trigonomtricas.

As tenemos:

P (x,y)

r y

x

r

y

hip

opcsen

.

r

x

hip

adc

.cos

x

y

adc

opctg

.

.

y

r

opc

hip

.csc

x

r

adc

hip

.sec

y

x

opc

adcctg

.

.



Funcin seno

Y=f(x) =senx

Funcin coseno

Y=f(x) =cos x

Funcin tangente

Y=f(x) =tg x

Funcin cosecante

Y=f(x) =csc x

r

y

y

r

ctgsen

1

0

1

r

x

x

r

hip

adc

1

.cos

x

y

opc

adc

ctgtg

..

.

1

0

1

1.csc. y

r

r

ysen 1.sec.cos

x

r

r

x 1..

y

x

x

yctgtg



Funcin secante

Y=f(x) =sec x

Funcin cotangente

Y=f(x) =ctg x

Funcin exponencial. Es aquella en donde la variable independiente aparece en

el exponente. Si la funcin exponencial tiene la forma y = f(x) = bx, x aparecer



como exponente o como parte de un exponente. Hay distintas clases de este tipo

de funcin, cada una con sus caractersticas estructurales especificas.

Por ejemplo: f(x) = 2x

x y

-3 0.125

-2 0.25

-1 0.5

0 1

1 2

2 4

3 8

Por ejemplo: f(x) = ex

donde e=2.71828

2.6 FUNCIN DEFINIDA POR MS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA.

FUNCIN VALOR ABSOLUTO.

Funcin valor absoluto. Las funciones en valor absoluto se transforman en

funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races.

2. Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada intervalo.

3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la

x es negativa se cambia el signo de la funcin.

4 Representamos la funcin resultante.



2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIN, MULTIPLICACIN,

COMPOSICIN.

Existen cuatro operaciones bsicas que se realizan con funciones la suma,

diferencia, multiplicacin y divisin.

Ejemplo: Dada las siguientes funciones, determine: a) f(x)+g(x), b) f(x)g(x), c)

f(x).g(x), d) f(x)/g(x).

1) f(x) = 3x2 + 5x + 2 , g(x) = x2 + x

a) f+g = 3x2+5x+2+(x2+x) = 3x2+5x+2+x2+x = 4x2+6x+2

b) f-g = 3x2+5x+2-(x2+x) = 3x2+5x+2-x2-x = 2x2+4x+2

c) f*g = (3x2+5x+2) * (x2+x) = 3x4+3x3+5x3+5x2+2x2+2x = 3x4+8x3+7x2+2x

d) f/g = (3x2+5x+2) / (x2+x) = 3 + (2x+2)/(x2+x)

2) f(x) = 4x3 - 6x2 + 2x , g(x) = 5x

a) f+g = 4x3 - 6x2 + 2x + 5x = 4x3 6x2 + 7x

b) f-g = 4x3 - 6x2 + 2x - 5x = 4x3 - 6x2 - 3x

c) f*g = (4x3 - 6x2 + 2x) * (5x) = 20x4 30x3 + 10x2

d) f/g = (4x3 - 6x2 + 2x) / (5x) = 4x2/5 6x/5 + 2/5

3) f(x) = 6x4 - 3x2 + x , g(x) = 3x + 2

a) f+g = 6x4 - 3x2 + x + 3x + 2 = 6x4 3x2 + 4x + 2

b) f-g = 6x4 - 3x2 + x - 3x - 2 = 6x4 - 3x2 - 2x - 2

c) f*g = (6x4 - 3x2 + x)*(3x 2) = 18x5 - 12x4 9x3 + 6x2 + 3x2 2x= 18x5 - 12x4

9x3 + 9x2 2x

d) f/g = (6x4 - 3x2 + x) / (3x 2) = 2x3 + 4x2/3 x /9+ 7/27 + (14/27)/(3x-2)

La composicin de funciones es una operacin que, en general, se aplica a pares

de funciones, sin importar su naturaleza, siempre y cuando las funciones cumplan

con las condiciones apropiadas. Si f y g son dos funciones arbitrarias, para definir



su composicin g o f, vamos a requerir que los valores f(x) de la funcin f sean

elementos del dominio de g.

La composicin de funciones es una operacin muy importante en matemticas,

pues hace crecer nuestros recursos para construir funciones, pero debe cuidarse

que las funciones cumplan las condiciones que permita componerlas.

Ejemplos:

1. Sean xxf21)( y

xxg

21

1)(

, determine las composiciones:

a) (f o g)(x)

b) (g o f)(x)

Solucin:

a)

x

x

x

xfog2

22

2

2

1

11

1

11))((

b)

xxxxgof

222

22

1

11

1

11

1))((

2. Sean xxf41)( y xxg )( , determine las composiciones:

a) (f o g)(x)

b) (g o f)(x)

Solucin:

a) xxxfog 24

11))((

b) xxgof41))((



Ejercicios:

1. Sean x

xf21

1)(

y xxg )( determine las composiciones:

a) (f o g)(x)

b) (g o f)(x)

2. Sean 11

1)(

xxf

y 1)( 4 xxg determine las composiciones:

a) (f o g)(x)

b) (g o f)(x)

2.8 FUNCIN INVERSA. FUNCIN LOGARTMICA. FUNCIONES

TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Funcin inversa. En lugar de despejar la variable Y, aqu se despeja la variable X;

es decir si tenemos la funcin f(x)= 2x+1 y nos piden su funcin inversa,

escribimos y= 2x+1, despejamos a X y se obtiene la inversa.

2

1

yx o bien

2

1)(

yyg



Nota: En la funcin normal se encuentran valores para Y. Ahora en la inversa se

encuentran valores para X. La grafica debe ser similar.

f(x)=2x+1

2

1)(

yyg

f(-2)=2(-2)+1= -

4+1=-3

f(-1)=2(-1)+1=-

2+1=-1

f(0)=2(0)+1=1

f(1)=2(1)+1=2+1=3

f(2)=2(2)+1=4+1=5

1

2

2

2

13)3(

5.02

1

2

12)2(

02

0

2

11)1(

5.02

1

2

10)0(

12

2

2

11)1(

5.12

3

2

12)2(

22

4

2

13)3(

g

g

g

g

g

g

g

Funcin logartmica. La funcin logartmica con base b es la inversa de la funcin

exponencial con base b, es decir: by = x es equivalente a log b x = y.

Por ejemplo:

102 = 100 es equivalente a log10 100 = 2



y =log10 2x



Funciones trigonomtricas inversas: Las tres funciones trigonomtricas

inversas comnmente usadas son:

Arcoseno. Es la funcin inversa del seno de un ngulo. El significado geomtrico

es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La funcin arcoseno real es una funcin [-1,1][0,2], es decir, no est definida

para cualquier nmero real.

Arcocoseno. Es la funcin inversa del coseno de un ngulo. El significado

geomtrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una funcin similar a la

anterior, de hecho puede definirse como: arccos(x)= /2 arcsin(x)

Arcotangente. Es la funcin inversa de la tangente de un ngulo. El significado

geomtrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores

la funcin arcotangente est definida para todos los reales.



2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NMEROS NATURALES Y

RECORRIDO EN LOS NMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS.

Una sucesin de nmeros reales es toda lista o coleccin ordenada infinita de

nmeros, de los cuales algunos, o todos ellos, pueden coincidir entre s.

Una sucesin se distingue de un conjunto de dos aspectos. El primero, es que en

una sucesin hay un orden, se trata de una coleccin ordenada, de modo que hay

un primer elemento, un segundo, etc. el segundo es que la coleccin ordenada es

infinita como lista, aunque no necesariamente como conjunto.

Una sucesin o secuencia, es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los

enteros positivos. En lugar de emplear la notacin funcional de costumbre f(x) o

f(n), una sucesin se denota usualmente por el smbolo an. Los trminos de la

sucesin se forman haciendo que (n) tome los valores de 1, 2, 3, , en el trmino

general an. As que, an es equivalente a: a1, a2, a3, .

Ejemplos: Escribir los 4 primeros trminos de las siguientes sucesiones.

1) 12 nan

a1= 2(1)-1=1

a2= 2(2)-1=3

a3= 2(3)-1=5

a4= 2(4)-1=7

an= 1, 3, 5,7

2) 12

n

nan

3

1

1)1(2

11

a

5

2

1)2(2

22

a



7

3

1)3(2

33

a

9

4

1)4(2

43

a

an= 1/3, 2/5, 3/7, 4/9

3) nnan 2

a1= (1)2+1=2

a2= (2)2+2=6

a3= (3)2+3=12

a4= (4)2+4=20

an= 2, 6, 12, 20.

Sucesin infinita. Es aquella cuyo dominio contempla un conjunto infinito de

enteros sucesivos. Una sucesin infinita arbitraria normalmente se denota por a1,

a2, a3, , an, y se puede considerar como una coleccin de nmeros reales para

los que hay una correspondencia unvoca con los enteros positivos. Por

comodidad, a veces se llama simplemente sucesiones o (secuencias) a las

sucesiones infinitas. Cada nmero real ak es un trmino de la sucesin. La

sucesin est ordenada ya que hay un primer trmino a1, un segundo trmino a2 y,

para todo entero positivo n, un n-simo trmino an.

Las sucesiones infinitas se representan en las matemticas anteriores al clculo,

por ejemplo, la sucesin: 0.6, 0.66, 0.666, 0.6 666, 0. 66 666, puede emplearse

para representar el nmero racional 2/3. En este caso, el n-simo trmino se va

acercando cada vez ms a 2/3 cuando n crece.

Un uso importante de las sucesiones infinitas est en la definicin de series

infinitas. Esta definicin permite expresar un nmero racional como 2/3 por medio



de una serie infinita (o suma infinita). Para 2/3, la serie infinita es:

0.6+0.06+0.006+0.0006+

La sucesin para 2/3 se puede obtener agregando ms y ms trminos a la suma,

es decir, 0.6=0.6, 0.6+0.06=0.66, 0.6+0.06+0.006=0.666, etc.

2.10 FUNCIN IMPLCITA.

La funcin implcita, se define como una relacional funcional contenida en una

ecuacin de la forma f(x, y) =0.

La ecuacin y-5x-100=0 podra sugerir que Y es una funcin implcita de X o que

X es un funcin implcita de Y.

En una aplicacin dada el conocimiento de la naturaleza de la aplicacin har mas

evidente cual variable debe considerarse como la variable dependiente.

Algunas funciones implcitas pueden reescribirse en una forma explicita, por

ejemplo la funcin implcita 2xy+3y-100=0 puede reescribirse como:

32

100

xy

Otros casos no es posible expresar de forma explicita la funcin implcita .Por

ejemplo la funcin x -xy -3y = 0 no puede escribirse en ninguna de las dos

formas explicitas y=f(x), o x=g(y).

Nota: Implcita es cuando algunas de las variables no est despejada, y por su

parte explcita es cuando algunas de las variables est despejada.

2x + 3y = 10 Funcin implcita



2

310 yx

Funcin explicita

3

210 xy

Funcin explicita



UNIDAD III

LMITES Y CONTINUIDAD


Al finalizar la unidad el alumno Comprender el concepto de lmite de funciones y

aplicarlo para determinar analticamente la continuidad de una funcin en un punto

o en un intervalo y mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad.



UNIDAD III

LMITES Y CONTINUIDAD

INTRODUCCIN.

En esta unidad didctica se estudian los conceptos de lmite de una funcin en un

punto y lmite de una funcin en el infinit

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Antologia de Calculo Difrenecial 2015