Ap-Integral definida1 O04.doc

7/21/2019 Ap-Integral definida1 O04.doc

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EL PROBLEMA DEL REAProbablemente se tiene una idea intuitiva de que el rea de una figura geomtrica es la medidaque proporciona el tamao de la regin encerrada por dicha figura. El rea de un polgonopuede definirse como la suma de las reas de los tringulos en que puede ser descompuesto y

se puede demostrar que el rea obtenida es independiente de cmo se descompuso elpolgono en tringulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera ve porel sabio griego !ntifn alrededor del ao "#$ a.%. y se conoce como el &mtodo delagotamiento&.

'n problema mucho ms difcil es hallar el rea de una figura curva. El mtodo griego delagotamiento consista en inscribir polgonos en la figura y cincunscribir otros polgonos en tornoa ella( aumentar el n)mero de los lados de los polgonos y hallar el rea buscada. Eudo*oconsigui de esta manera encontrar la frmula para calcular el rea de un crculo. +eniendo encuenta el uso del mtodo dado por Eudo*o( se lo conoce como mtodo de e*haucin deEudo*o y el mismo fue empleado tiempo despus por !rqumedes para resolver problemas deeste tipo.

,asta aqu tenemos una idea intuitiva de lo que es el rea de una regin y que( calcular reasde regiones con lados rectos resulta sencillo. -in embargo no es fcil hallar el rea de unaregin limitada por lados que son curvos. +ambin podemos observar( sin mayoresinconvenientes que

el rea de una regin plana es un n)mero /real0 no negativo(

regiones congruentes tienen reas iguales(

el rea de la unin de dos regiones que se superponen slo por un segmento es la suma delas reas de las dos regiones y

si una regin est contenida en una segunda el rea de la primera es menor o igual que elrea de la segunda.

Cmo encontramos el rea de una regin limitada por los ejes coordenados positios siconocemos la e!presin anal"tica de la #uncin $ue la limita%

El desafo es encontrar el rea bajo la grfica de ( ) 29 xxf = de * =$ a * =#.

1ebemos encontrar el valor del rea representada grficamente.


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-i tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por !rqumedes una apro*imacin deesta regin se puede encontrar usando dos rectngulos. 2a altura del primer rectngulo

es f/$0 =# y la altura del segundo rectngulo es f/3(40 = . El ancho de cadarectngulo es 3(4

El rea total de los dos rectngulos es

! =# . 3(4 5 . 3(4 6(#7833"#38 unidades cuadradas.

%omo observamos en la grfica esta apro*imacin es mayor que el rea real. Paralograr una mejor apro*imacin podemos dividir el intervalo 9$( #: en tres partes iguales(cada uno de una unidad de ancho.

2a altura del primer rectngulo es f/$0( la del segundo es f/30 y la del tercero f/;0. Entodos los casos el ancho del subintervalo es 3 es decir( la medida de la base es 3unidad.

El rea total de los tres rectngulos es


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ectngulo * f/*0!ncho de

la base


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funcin en el lado iquierdo del rectngulo es decir fi donde i =3( ; ( #( .....( n.-i utiliamos el ordenador podemos hacer los clculos tomando cada ve msrectngulos.

n


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Es bueno saber que el mtodo de aproximacin usado es bsico para lacomprensin intuitiva del Clculo Integral.

-i calculamos el rea utiliando la frmula del rea de un crculo y teniendo en cuenta

que el rea sombreada es la cuarta parte del rea del crculo de radio # con centro en elorigen resulta


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raones de cambio constantes enintervalos de igual longitud.

,ituacin 1El clculo de efectos de cambio conraones de cambio constantes enintervalos de distinta longitud.

,ituacin 2El clculo de efectos de cambio conraones de cambio variables.

,ituacin 3

El clculo de efectos de cambio conraones de cambio variables. -e conocela relacin funcional que vincula lavelocidad con el tiempo.

,ituacin /( El clculo de e#ectos decam&io con ra4n de cam&io constante

en todo el dominio(

-uponga que un auto viaja a lo largo de un camino recto a velocidad constante de =$BmCh. 2a velocidad del auto en el tiempo t /en horas0 est dada por la funcin constantev/t0 = =$ cuya grfica es una recta horiontal. Dcuntos Bilmetros recorre el auto entre t=3 y t =8?

%omo ste es un perodo de seis horas y la velocidad es constante podemos asegurarque el mvil recorri =$. = =#=$ Bilmetros.

-i representamos grficamente la situacin planteada observamos que #=$ es el valordel rea del rectngulo sombreado. -e observa que #=$ es precisamente el rea bajo lagrfica de la funcin velocidad v/t0 entre t =3 y t =8 y el eje t.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia3.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia5.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia3.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia5.htm


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-abemos que la funcin velocidad v/t0 es la ran de cambio de la distancia conrespecto al tiempo( es decir( la ran de cambio de la funcin espacio e/t0 /que da elespacio o distancia recorrida por el auto en el tiempo t0. !hora el espacio recorrido deltiempo t =3 a t =8 es la cantidad que la distancia ha cambiado de t =3 a t =8.

Podemos decir $ue el cam&io total en distancia de t / a t 5 es el rea &ajo lagr#ica de la #uncin elocidad entre esos alores(

,ituacin 0( El clculo de e#ectos de cam&io con ra4ones de cam&ioconstantes en interalos de igual longitud(

2a tabla muestra las diferentes velocidades que alcana una persona que transita enbicicleta por una ruta en la provincia de -anta e. -uponemos que en cada intervalo detiempo la velocidad se mantiene constante.

,ora @elocidad /BmCh0

7 F 3$ 3"

3$ F 33 3;

33 F 3; 6

3; F 3# 1escanso

3# F 3" 3;

3" F 34 3$

-eguramente a la persona le interesar saber cuntos Bilmetros recorri al final de supaseo es decir( la distancia total recorrida.

-e podra pensar( utiliando el lenguaje del clculo que interesa no slo los &efectos delos cambios& sino tambin el &efecto total&.


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-i consideramos t =$ el momento en el que comiena el viaje( graficamos la velocidadutiliando los datos tabulados

Podemos determinar la distancia que recorri el ciclista entre las 7 y las 34. Para ellodebemos multiplicar la ran de cambio de la posicin de la bicicleta( es decir lavelocidad en cada intervalo por el tiempo transcurrido.

1istancia =3" . 3h 5 3; . 3h 5 6 . 3h 5 3; . 3h 5 3$ . 3h =4= Bm.

En la grfica de la distancia en funcin del tiempo el )ltimo punto representa la distanciatotal recorrida es decir el resultado total del cambio.


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Para formaliar este procedimiento podemos introducir una notacin especial y unatabla que ayude a manejar la informacin

,ora

+iempo

constanteen horas

@elocidad

promedio

1istanciarecorrida

porintervalo

1istancia acumulada

7 F3$ 3 v3 d3=v3.3 d3=v3.3

3$ F33 3 v; d;=v;.3 d;=v3.35 v;.3

33 F3; 3 v# d#=v#.3 d#=v3.35 v;.3 5 v#.3

3; F3# 3 v" d"=v".3 d"=v3.35 v;.3 5 v#.3 5 v".3

3# F3" 3 v4 d4=v4.3 d4=v3.35 v;.3 5 v#.3 5 v".3 5 v4.3

3" F34 3 v= d==v=.3 d==v3.35 v;.3 5 v#.3 5 v".3 5 v4.3 5 v=.3

6u* podemos decir con respecto a la distancia 7 el rea de los seisrectngulos de &ase uno 7 altura coincidente con el alor de la elocidad

en cada interalo%

9@olver aEl problema de la distancia: 9Ar a Anicio:

,ituacin 1(El clculo de e#ectos de cam&io con ra4ones de cam&ioconstantes en interalos de distinta longitud(

'na familia viaja desde una ciudad a otra y en su diario de viaje escriben una serie dedatos a fin de compartir con sus amigos algunos detalles del mismo. En la primera hojaconstruyen una tabla donde registran toda la informacin del desarrollo del viaje y loslugares por donde pasaron.

2ugar %iudad ! Parador 3 Parador ; %iudad G

,ora 3$ 33 33#$ 3;34

@elocidad #4 BmCh "4 BmCh "$ BmCh

%onsideramos t =$ el momento en el que comiena el viaje.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htm


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Para encontrar la distancia total recorrida por la familia entre la ciudad ! y la ciudad Gpodemos resumir la informacin en una tabla

2ugar ,ora+iempo /en

horas0

@elocidad /en

BmCh0

1istanciarecorrida en el

intervalo /en Bm0

1istancia totalacumulada /en

Bm0%iudad ! 3$ $

3 #$#$

Parador 3 33 #$

$(4 "4

;;(4

Parador ; 33#$ 4;(4

$(84 "$

#$

%iudad G 3;34 6;(4

Podemos graficar la velocidad en funcin del tiempo.

Podemos graficar la distancia recorrida en funcin del tiempo.


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2a distancia total recorrida por la familia es de 6;(4$ Bm.

En este caso tambin podemos formaliar este procedimiento y generaliarlo utiliandosimbologa adecuada.

2ugar +iempo2ongitud del

intervalo

@elocidadconstante encada intervalo

1istanciarecorrida en

cada intervalo

1istancia totalrecorrida /distancia

acumulada0

! t$

t3t$=t3 v3 d3 =v3 . t3 dt=d3

G t3

t;t3 =t; v; d; =v; . t; dt=d35 d;

% t;

t#t; =t# v# d# =v# . t# dt=d35 d;5 d#

1 t#

6u* podemos decir con respecto a la distancia 7 el rea de los tresrectngulos de &ase igual a la longitud de cada interalo 7 altura

coincidente con el alor de la elocidad en cada uno de ellos%

Este clculo se puede generali4ar para un n8mero n de interalos de la


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siguiente manera+

dt / ( t/ 9 0 ( t0 9 1 ( t1 9 ((((((((((( 9 n ( tn

9@olver aEl problema de la distancia: 9Ar a Anicio:

,ituacin 2( El clculo de e#ectos de cam&io con ra4ones de cam&ioaria&les(

-upongamos que el marcador de la distancia recorrida del automvil de Huan nofunciona y desea estimar la distancia recorrida en #$ minutos. Para eso( observa elvelocmetro y anota en una tabla las lecturas realiadas cada cinco minutos.

+iempo

/minutos0$ 4 3$ 34 ;$ ;4 #

@elocidad

/BmCh08; 6" == =7 86 =$ 84

Para trabajar el tiempo y la velocidad en unidades que sean coherentes convertimos lasdiferentes lecturas de la velocidad en Bilmetros por minuto.

+iempo

/minutos0$ 4 3$ 34 ;$ ;4 #$

@elocidad

/BmCminuto03(; 3(" 3(3 3(34 3(# 3 3(;4

Podemos suponer que( durante cada intervalo la velocidad no cambia demasiado.Estamos en condiciones estimar la distancia recorrida durante ese tiempo al suponerque la velocidad se mantiene constante.

Podramos suponer que( durante el primer intervalo la velocidad se mantiene

igual a la inicial esto es 3(; . Esto nos permite asegurar que la distancia recorridadurante los primeros cinco minutos ser

d3=3(; . 4 min == Bm.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htm


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1e la misma manera podemos encontrar la distancia en cada intervalo y finalmente ladistancia total recorrida

Antervalo 1istancia /en Bilmetros0

3 3(; . 4 ==; 3(" . 4 =8

# 3(3 . 4 =4(4

" 3(34 . 4 =4(84

4 3(# . 4 ==(4

= 3 . 4 =4

1istancia total recorrida #4(84 Bm

1e la misma manera podemos hacer los clculos utiliando la velocidad al final de cadaperodo.

Antervalo 1istancia /en Bilmetros0

3 3(" . 4 =8

; 3(3 . 4 =4(4

# 3(34 . 4 =4(84

" 3(# . 4 ==(4

4 3 . 4 =4

= 3(;4 . 4 ==(;4

1istancia total recorrida #= Bm

+ambin podemos considerar otro valor de la velocidad en un tiempo intermedio entre elinicio y el final en cada uno de los intervalos( por ejemplo

Antervalo

@elocidad

/en Bilmetros porminuto0

1istancia /en Bilmetros0

3 3(#$ 3(#$ . 4 I =(4$

; 3(;4 3(;4 . 4 I =(;4


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# 3(3# 3(3# . 4 I 4(=4

" 3(;; 3(;; . 4 I =(3$

4 3(34 3(34 . 4 I 4(84

= 3(3; 3(3; . 4 I 4(=$

1istancia total recorrida #4(64 Bm

,i reali4amos las gr#icas de la elocidad con respecto al tiempo en cadauno de los casos planteados: $u* podemos decir con respecto a la

distancia 7 el rea de los rectngulos de &ase igual a la longitud de cadainteralo 7 altura coincidente con el alor conocido de la elocidad en

cada uno de ellos%

El rea del primer rectngulo &medida de la base por medida de la altura& /3(; . 4 I =0coincide con la distancia recorrida en los primeros cinco minutos( si tomamos lavelocidad inicial como constante en todo el intervalo /seg)n los primeros clculos0.Podemos interpretar el rea de cada rectngulo como una distancia dado que la alturarepresenta la velocidad y la base el tiempo. 2a suma de las reas de todos losrectngulos es #4(84 y coincide con la primer estimacin realiada de la distancia totalrecorrida.

1e la misma manera podemos hacer el anlisis tomando la velocidad final de cadaintervalo o bien la velocidad en un tiempo intermedio.

Para una mejor estimacin debemos considerar intervalos de tiempo cada ve mspequeos.

Jbtuvimos tres estimaciones de la distancia buscada. -i quisiramos una estimacinms e*acta podramos que tomar las lecturas de la velocidad cada dos minutos( unminuto( treinta segundos( die( cinco( tres( dos( uno o fracciones de segundo cada vems pequeas. Para una mejor estimacin debemos considerar intervalos de tiempocada ve ms pequeos y la cantidad de sumandos en e3l clculo de la distanciaacumulada ser cada ve mayor.

Podemos concluir que la distancia recorrida en cada intervalo resulta d i=vi. ti

2a distancia total recorrida( es decir los resultados acumulados para raones de cambiovariables /velocidad0 es dt=v3. t35 v;. t;5 v#. t#5 ........... 5 vn. tndonde tes unan)mero cada ve ms pequeo y por lo tanto la cantidad n de intervalos tiende ainfinito. Por esto resulta


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1istancia total recorrida = dt= = donde vipuede ser la velocidad al inicio( al final o en un tiempo intermedio en cada uno de lossubintervalos considerados.

Para tener en cuenta+ para 'allar la distancia recorridapor un mil si se conoce la elocidad del mismo entodos los momentos necesitamos resoler un tipo

especial de l"mite(

,ituacin 3( El clculo de e#ectos de cam&io con ra4ones de cam&ioaria&les( ,e conoce la relacin #uncional $ue incula la elocidad con el

tiempo(

'n joven entrena para su competencia en los pr*imos juegos deportivos de la ciudaden una bicicleta fija durante una hora cada da de modo que en cualquier tiempo t(medido en horas( su velocidad es v/t0 = #=t;5 # Bilmetros por hora. -i queremos hallarla distancia ficticia recorrida por el ciclista durante su hora de entrenamiento podemossubdividir la hora en minutos( segundos( fracciones de segundo e ir calculando la

distancia recorrida en cada perodo. 2a suma de las distancias en cada intervalo detiempo nos dar la distancia total que recorrera durante la hora completa. 1ado que elmomento inicial se considera en t = 0 trabajamos en el intervalo 9$( 3:.

Podemos pensar que( la longitud de cada subintervalo es t = donde n indica lacantidad de subdivisiones del intervalo( es decir la cantidad de rectngulos queformamos si hacemos el mismo raonamiento que en la situacin 2.

-urge ahora la posibilidad de utiliar el valor de la funcin en el e*tremo iquierdo( en ele*tremo derecho ( por ejemplo( en el punto medio de cada intervalo. El subndice i

indica cada uno de los nsubintervalos considerados.

3. E*tremo iquierdo de cada subintervalo = ti=

;. E*tremo derecho de cada subintervalo = ti=
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htm#situacion4http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htm#situacion4


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# . Punto medio de cada subintervalo = ti= =

%alculamos la distancia recorrida en cada subintervalo

3. 'tiliando el valor de la funcin en el e*tremo iquierdo del intervalo

di= v/ti0 . t = =

di= =

;. 'tiliando el valor de la funcin en el e*tremo derecho del intervalo

di= v/ti0 . t = = =

di=

#. 'tiliando el valor de la funcin en el punto medio del intervalo

di= v/ti0 . t = = =

Para obtener el valor de la distancia total debemos sumar las distancias recorridas encada intervalo. Planteamos en cada caso la sumatoria correspondiente

3. 1istancia total =

En el desarrollo tenemos en cuenta que y

1istancia total =


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1istancia total = ]

1istancia total =

1istancia total =

;. 1istancia total =

1istancia total = =

1istancia total =

#. 1istancia total =

1istancia total =

1istancia total =

1istancia total =

-i en los tres casos consideramos el valor que t = tiende a cero( es decir queconsideramos una cantidad lo suficientemente grande de rectngulos( n tiende a infinitopodemos asegurar que en los tres casos la distancia total recorrida es de 34 Bm. dadoque

3. = 34


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;. = 34

#. = 34

,i reali4amos la gr#ica de la elocidad con respecto al tiempo en elinteralo ;


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2os puntos e*tremos de los n intervalos son *$( *3( .....( *n.

En cada rectngulo resulta


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/se utilia el valor de la funcin en el e*tremo derecho de cada subintervalo0

@olver

Caso 1


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Este tipo de lmite aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no esnecesariamente una funcin positiva. +eniendo en cuenta lo e*presado surge lanecesidad de dar un nombre y una notacin a este tipo de lmites. Mecesitamos definir

LA ).-ERAL DE@).)DA


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LA ).-ERAL DE@).)DA%uando estudiamos el problema del reay elproblema de la distanciaanaliamos que tanto elvalor del rea debajo de la grfica de una funcin como la distancia recorrida por un objeto sepuede calcular apro*imadamente por medio de sumas o bien e*actamente como el lmite deuna suma.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=++++n

i

in

nn

xxflimxxf...xfxfxflim1

11210

/-e utilia el valor de la funcin en el e*tremo iquierdo de cada subintervalo0

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=++++

n

i

in

nn

xxflimxxf...xfxfxflim1

321

/-e utilia el valor de la funcin en el e*tremo derecho de cada subintervalo0

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=++++

n

i

*i

n

*n

***

nxxflimxxf...xfxfxflim

1

321

/-e utilia el valor de la funcin en cualquier puntoxNde cada subintervalo0

Este tipo de lmites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no esnecesariamente una funcin positiva. +eniendo en cuenta lo e*presado surge la necesidad dedar un nombre y una notacin a este tipo de lmites.

Definicin 1 -i f es una funcin continua sobre el intervalo 9a( b:( entonces la integral de#inida

defde aa b:que se indica ( )b

a

dxxf ( es el n)mero

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=++++=n

i

in

nn

b

a

xxflimxxf...xfxfxflimdxxf1

11210

donden

abxbx,ax n

=== y

0 . Esta definicin se aplica cuando la funcin se eval)a en el

e*tremo iquierdo de cada subintervalo [ ]ii x,x 1 con iI 3(..( n.


def de aa b:que se indica ( )b

a

dxxf ( es el n)mero

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=++++=

n

i

in

nn

b

a


321

donde nab

xbx,ax n

=== y0 . Esta definicin se aplica cuando la funcin se eval)a en ele*tremo drecho de cada subintervalo [ ]ii x,x 1 con iI 3(..( n.


de # de aa b:que se indica ( )b

a

dxxf ( es el n)mero


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=++++=

n

i

*i

n

*n

***

n

b

a


321

donden

abxbx,ax n

=== y

0 . 2a funcin se eval)a en cualquier punto xN de cada

subintervalo [ ]ii x,x 1 con iI 3(..( n.

El n)mero aes el lmite inferior de integracin y el n)mero bes el lmite superior de integracin .

Notacin y terminologa

lmite superior integrando

( ) dxxfb

a

lmite inferior

%uando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e val)a la integral.2a continuidad asegura que los lmites en las tres definiciones e*isten y dan el mismo valor por

eso podemos asegurar que el valor de ( )b

a

dxxf es el mismo independientemente de cmo

elijamos los valores de * para evaluar la funcin /e*tremo derecho( e*tremo iquierdo ocualquier punto en cada subintervalo0. Enunciamos entonces una definicin ms general.

Definicin de integral definida -ea f una funcin continua definida para a * b. 1ividimos

el intervalo 9a( b: en n subintervalos de igual anchon

ab*

= . -ean *$=a y *n=b y adems

*$( *3(....( *n los puntos e*tremos de cada subintervalo. Elegimos un punto t i en estos

subintervalos de modo tal que tise encuentra en el iFsimo subintervalo 9*i3( * i: con i =3( ..( n.Entonces

2a integral definida es un n)mero que no depende de *. -e puede utiliar cualquier letra enlugar de * sin que cambie el valor de la integral.

!unque esta definicin bsicamente tiene su motivacin en el problema de clculo de reas( seaplica para muchas otras situaciones. 2a definicin de la integral definida es vlida a)n cuandof/*0 tome valores negativos /es decir cuando la grfica se encuentre debajo del eje *0. -in

embargo( en este caso el n)mero resultante no es el rea entre la grfica y el eje *.Observacin 2a suma ( )

=

n

i

*i xxf

1

que aparece en la definicin de integral definida se llama

suma de >iemann en honor al matemtico alemn Gernahrd >iemann. -u definicin incluaadems subintervalos de distinta longitud.

a integral definida defde aa bes el n8mero

( ) ( ) ( )==b

*i

b*i

b

dxxflimdxxflimdxxf


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Definicin de las sumas de !iemann

-ea f una funcin definida en el intervalo cerrado [ ]b,a y sea una divisin /particin0 arbitraria

de dicho intervalo bxx...xxxa nn == 1210 donde ix indica la amplitud o longitud deliFsimo subintervalo. -i *ix es cualquier punto del iFsimo subintervalo la suma

( ) i*ii

n

i

i*i xxx,xxf

= 1

1

se llama suma de Riemann defasociada a la particin.

-i bien la integral definida haba sido definida y usada con mucha anterioridad a la poca de>iemann( l generali el concepto para poder incluir una clase de funciones ms amplia. En ladefinicin de una suma de >iemann( la )nica restriccin sobre la funcin fes que est definidaen el intervalo 9a( b: /antes suponamos quefera no negativa debido a que estbamos tratandocon el rea bajo una curva0.

Ejemplo: ,alle

1

2

3 dxx

%omo ( ) 3xxf = f/*0 es continua en el intervalo 9O;( 3: sabemos que es integrable.

1ividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud( )

nnn

abxi

321=

=

= y para el

clculo de la integral consideramos el e*tremo derecho de cada subintervalo xixx i*i +== 2 .

( ) ( ) ( ) ( ) 332233 61282 xixixixixxf ii ++=+==

Para el desarrollo de la sumatoria emplearemos las siguiente sumas especiales

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

3

1

2

1 2

1

6

121

2

1

+=++=+= ===nni,nnni,nni

n

i

n

i

n

i

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

====

==

++=

++=

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

i

ixixixx

xxixixixxf

1

34

1

23

1

2

1

1

3322

1

6128

6128


25/70

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

++

+

+=

4

181

6

121276

2

19128

3 22

432

nn

n

nnn

n

nn

nn

n

( )

2

2

2

11

4

8112

1127

115424

1

4

8112127

15424

++

+

+

++=

++

+

+

++=

nnnn

n

n

n

n

n

n

n

n

( )

4

15

4

81545424

11

4

8112

1127

115424

2

1

1

2

3

=++=

++

+

+

++==

=

nnnnlimxxflimdxx nn

i

*i

x

"bservacin Esta integral definida es negativa( no representa el rea graficada. 2as integralesdefinidas pueden ser positivas( negativas o nulas.

,urgimiento del s"m&olo ( ) dxxf (

2eibni cre el smbolo ( ) dxxf en la )ltima parte del siglo @AA. 2a es una - alargada desumma /palabra latina para suma0. En sus primeros escritos us la notacin &omn.& /abreviaturade la palabra en latn &omnis&0 para denotar la integracin. 1espus( el ;7 de octubre de 3=84(

escribi( &ser conveniente escribir en ve de omn.( as como | en ve de omn. l ...&.1os o tres semanas despus mejor a)n ms la notacin y escribi [ ] dx en ve de solamente. Esta notacin es tan )til y significativa que su desarrollo por 2eibni debeconsiderarse como una piedra angular en la historia de la matemtica y la ciencia.

2a notacin de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El

smbolo ( )

b

a

dxxf hace referencia al hecho de que una integral es un lmite de una suma de

trminos de la forma &f/x0 por una pequea diferencia de *&. 2a e*presin d* no se considerapor separado sino que forma parte de la notacin que significa &la integral de una determinadafuncincon respecto a *&. Esto asegura que d* no tienesignificado por si mismo sino que forma

parte de la e*presin completa ( )b

a

dxxf . 1e todos modos( desde un punto de vista

totalmente informal e intuitivo algunos consideran que la e*presin d* indica &una porcininfinitesimalmente pequea de *& que se multiplica por un valor de la funcin. Quchas vecesesta interpretacin ayuda a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo( si v/t0/positiva0 es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v/t0 dt se podra interpretar(seg)n la consideracin hecha( como velocidad tiempo y esto sabemos que da por resultado ladistancia recorrida por el objeto durante un instante( una porcin de tiempo muy pequea dt. 2a

integral ( )b

a

dttv se puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeas que

como ya analiamos da como resultado el cambio neto en la posicin del objeto o la distanciatotal recorrida desde t I ahasta t I b.

Esta notacin permite adems determinar qu unidades se deben usar para su valor. %omosabemos los trminos que se suman son productos de la forma &f/*0 por un valor muy pequeo


26/70

de *&. 1e esta manera la unidad de medida de ( )b

a

dxxf es el producto de las unidades de

f/x0 por las unidades dex. Por ejemplo

-i ( )tv representa la velocidad medida en

h

kmy t es el tiempo medido en horas( entonces

la ( )b

a

dttv tiene por unidades kmhh

km= . 2a unidad obtenida es Bilmetros y es lo que

corresponde porque es valor de la integral representa un cambio de posicin.

-i se grafica ( )xfy= con las mismas unidades de medida de longitud a lo largo de los ejes

coordenados( por ejemplo metros( entonces f/x0 y xse miden en metros y ( )b

a

dxxf tiene

por unidad mm = m;. Esta unidad es la esperada dado que( en este caso la integralrepresenta un rea.

Es importante tener en cuenta el teorema enunciado a continuacin.

PROP)EDADE, DE LA ).-ERAL DE@).)DA-e enuncian algunas propiedades y teoremas bsicos de las integrales definidas que ayudarna evaluarlas con ms facilidad.

3. -i * est definida para * I a entonces ( ) 0=a

a

dxxf

;. -ifes integrable en 9a( b: entonces ( ) ( ) =a

b

b

a

dxxfdxxf

#. ( )abkdxkb

a

= ( en donde B I constante". -i f y g son integrables en 9a( b: y B es una constante( entonces las siguientes propiedades

son verdaderas

a. ( ) ( ) dxxfkdxbxafkb

a

b

a

= b.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) =b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgdxxf

-EOREMA

-i una funcin f es continua en un intervalo 9a( b: entonces fes integrable en eseintervalo.

-i ftiene un n)mero finito de discontinuidades en 9a( b: pero se mantiene acotada paratodo * del intervalo /presenta slo discontinuidades evitables o de salto finito0 entonceses integrable en el intervalo.


27/70

4. Propiedad de aditividad del intervalo si f es integrableen los tres intervalos cerrados definidos por a( b y centonces

( ) ( ) ( ) +=c

b

b

a

c

a

dxxfdxxfdxxf

CO.,ERAC)F. DE DE,)>ALDADE,

-i f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado 9a( b: entonces ( ) 0b

a

dxxf .

Demostracin -i f/*0 $ entonces ( )b

a

dxxf representa el rea bajo la curva de fde modo

que la interpretacin geomtrica de esta propiedad es sencillamente el rea. /+ambin sededuce directamente de la definicin porque todas las cantidades son positivas0. -i f y g son integrables en el intervalo cerrado 9a( b: con ( ) ( )xgxf para todo * en 9a( b:

entonces ( ) ( ) b

a

b

a

dxxgdxxf

Demostracin -i ( ) ( )xgxf podemos asegurar que ( ) ( ) 0 xgxf y le podemos aplicar la

propiedad anterior y por lo tanto ( ) ( )[ ] 0b

a

dxxgxf . 1e aqu ( ) ( ) b

a

b

a

dxxgdxxf 0 y

de esta manera ( ) ( ) b

a

b

a

dxxgdxxf .

-upongamos que m y Q son constantes tales que ( ) Mxfm para bxa . -e dice que fest acotada arriba por Q y acotada abajo por m( la grfica queda entre las rectas horiontales

my= y My= . Podemos enunciar el siguiente teorema

-ifes integrable y ( ) Mxfm para bxa entonces ( ) ( ) ( )abMdxxfabmb

a

.

2a grfica ilustra la propiedad cuando f/x0 $

-i ( )xfy= es continua y m y Q son los valores mnimos y m*imos de la misma en el


28/70

intervalo 9a( b: grficamente esta propiedad indica que el rea debajo de la grfica de f esmayor que el rea del rectngulo con altura m y menor que la del rectngulo con altura Q.

En general dado que ( ) Mxfm podemos asegurar( por la propiedad anterior que

( ) b

a

b

a

b

a

dxMdxxfdxm .

-i se eval)an las integrales de los e*tremos de la desigualdad resulta

( ) ( ) ( )abMdxxfabmb

a

.

,)ME-RGA

El siguiente teorema permite simplificar el clculo de integrales de funciones que poseenpropiedades de simetra.

-eaf una funcin continua sobre el intervalo [ ]a,a

a. -ifes par ( ) ( ) =

aa

a

dxxfdxxf

0

2

b. -ifes impar ( ) 0=

a

a

dxxf

Demostracin tenemos en cuenta que a ( )

a

a

dxxf la podemos descomponer en dos nuevas

integrales

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +=+=

aaa

a

a

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

000

0

En la primera integral sustituimos dxduxu == R adems( si auax == .

( ) ( ) ( ) == uua

duufduufdxxf

000

.

%on esto la ecuacin original queda

( ) ( ) ( ) +=

aaa

a

dxxfduufdxxf

00

En el caso del inciso a0si la funcin es par ( ) ( )ufuf = ( entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=

aaaaaa

a

dxxfdxxfdxxfdxxfduufdxxf

00000

2

Qientras que en el caso del inciso b0 si la funcin es impar ( ) ( )ufuf =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00000

=+=+=

aaaaa

a

dxxfdxxfdxxfduufdxxf

E#emplo-abiendo que3

82

0

2 = dxx ( calcule las siguientes integrales.


29/70

a0

0

2

2 dxx b0

2

2

2 dxx c0 2

0

23 dxx d0 ( )

2

0

2dxx

'tiliando propiedades de las integrales resulta

a0 %omo *;es una funcin par3

82

0

2

0

2

2 ==

dxxdxx

b0 %omo *;es una funcin par3

162

2

0

2

2

0

2

0

2

2

2

2

2 ==+=

dxxdxxdxxdxx

c0 8332

0

2

2

0

2 == dxxdxx

d0 ( )3

82

0

2

2

0

2 == dxxdxx

HAC)A EL -EOREMA @>.DAME.-AL DEL CLC>LO@imos que cuando f/x0 es la ran de cambio de la funcin /*0 y f/*0 $ en 9a( b: entonces laintegral definida tiene la siguiente interpretacin

( )b

a

dxxf =cambio total en /*0 cuando * cambia de aa b.

1ecir que f/*0 es la ran de cambio de /*0 significa que f/*0 es la derivada de /*0 oequivalentemente que /*0 es una primitiva de f/*0. El cambio total en /*0 cuando * cambia deaa bes la diferencia entre el valor de al final y el valor de al principio( es decir( /b0 /a0.

Podemos definir ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

= .

Esta definicin o principio se puede aplicar a todas las raones de cambio en las cienciassociales y naturales. ! modo de ejemplo podemos citar

-i v/t0 es el volumen de agua de un depsito( en el instante t( entonces su derivada vS/t0 es la

ran a la cual fluye el agua hacia el depsito en el instante t. !s ( ) ( ) ( )122

1

tVtVdtt'V

t

t

= esel cambio en la cantidad de agua en el depsito entre los instantes t3y t;.

-i %/t0 es la concentracin del producto de una reaccin qumica en el instante t entonces la

velocidad de reaccin es la derivada 9c:S/t0. 1e esta manera ( ) ( ) ( )122

1

tCtCdtt'C

t

t

= es elcambio en la concentracin % desde el instante t3hasta el t;.

-i la masa de una varilla( medida desde la iquierda hasta un punto *( es m/*0 entonces la

densidad lineal es /*0 = mS/*0. 1e esta manera ( ) ( ) ( )ambmdxxb

a

= es la masa delsegmento de la varilla entre * =a y * =b.


30/70

-i la tasa de crecimiento de una poblacin esdt

dPentonces ( ) ( )12

2

1

tPtPdtdt

dPt

t

= es elaumento de poblacin durante el perodo desde t3hasta t;.

-i %/*0 es el costo para producir * unidades de un artculo( entonces el costo marginal es la

derivada %T/*0. Por consiguiente ( ) ( ) ( )122

1

xCxCdxx'C

x

x

= es el incremento en el costocuando la produccin aumenta desde *3hasta *;unidades.

-i un objeto se mueve a lo largo de una recta con funcin de posicin s/t0 ( entonces su

velocidad es ( ) ( )t'stv = de modo que ( ) ( ) ( )122

1

tstsdttv

t

t

= es el cambio de la posicin( odesplaamiento( de la partcula durante el perodo desde t3hasta t;.

1ado que la aceleracin de un objeto es ( ) ( )t'vta = ( podemos asegurar que la e*presin

( ) ( ) ( )122

1

tvtvdtta

t

t= es el cambio en la velocidad en el instante t3hasta el t;.

2a potencia U/t0 indica la ran de cambio de la energa E/t0. Esto permite decir que U/t0 =ES/t0

y por lo tanto resulta ( ) ( ) ( )122

1

tEtEdttW

t

t

= indica la energa utiliada en el tiempo entre t3yt;.

2a definicin que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral defunciones sencillas pero en la mayora de los casos el clculo del lmite de sumas resultacomplicado.

LA ).-ERAL DE@).)DA COMO @>.C)F.-ea f una funcin continua en un intervalo 9a( b:. 1efinimos una nueva funcin g dada por

( ) ( )=x

a

dttfxg donde bxa . -e observa quegslo depende dex( variable que aparece

como lmite superior en el clculo de la integral.

-ix es un n)mero fijo( entonces la integral ( )x

a

dttf es un n)mero definido. -i hacemos que x

vare( el n)mero ( )x

a

dttf tambin vara y define una funcin que depende dex.

La integral como #uncin La integral como n8mero


31/70

( )dttfx

a

( )dxxfb

a

!nalicemos una funcin continuaf/*0 siendo ( ) 0xf .

Podemos decir que ( ) ( )=x

adttfxg se puede interpretar como el rea debajo de la grfica de

fdesde ahastax( donde * puede variar desde ahasta b/se debe pensar en gcomo la funcin&el rea hasta&0.

El -EOREMA @>.DAME.-AL DEL CLC>LO

$rimera $arte

-i f es una funcin continua en 9a( b: entonces la funcin donde a * b esderivable y verifica !S /*0 =f/*0 para todo * del intervalo.

!hora estamos en mejores condiciones para comprender la demostracin del teorema.

Demostracin Vueremos calcular

Pero seg)n la definicin de !/*0 resulta

1e aqu el numerador /

Por propiedades de la integral definida

>eemplaando en /( surge

Es decir y por lo tanto

-i observamos el siguiente grfico( vemos que


32/70

1e aqu surge que si m es el mnimo valor y Q es el m*imo que toma la funcin en el intervalo9*( *5h:( el rea de la regin sombreada estar comprendida entre el rea del rectngulo debase h y altura m( y el rea del rectngulo de base h y altura Q.

El rea sombreada es m . hEl rea sombreada es

El rea sombreada es Q . h

-uponemos h >$ /se demuestra de manera anloga para h


33/70

Demostracin

-eg)n la primera parte del teorema

-i /*0 es otra primitiva( se tiene que !/*0 =/*0 5 B

-i * toma el valor a( se verifica que !/a0 =/a0 5 B pero como entonces /a0=B y !/*0 =/*0 /a0.

-i adems sustituimos * por b( resulta !/b0 =/b0 /a0 ( es decir

-i es cualquier primitiva .

! esta forma prctica de trabajo se la conoce comoRELA DE BARROI(

.

Ejemplo 1etermine el valor de

+omadas juntas las dos partes del teorema fundamental e*presan que la derivacin y laintegracin son procesos inversos. -e puede decir( en un lenguaje coloquial que cada una

&deshace lo que hace la otra&.

Observacin el teorema fundamental del clculo no requiere que la funcin sea positiva. -irvepara evaluar las integrales definidas y muestra la estrecha relacin e*istente entre la derivada yla integral.

La integral de#inida como #uncin 7 la regla de BarroJ a tra*s de un ejemplo(

,alle la funcin ( ) dtt

xF

x

=

0

2

41 en 2

2

3

2

10 y,,x= .

Podemos hallar el valor de cada una de las cinco integrales definidas cambiando por los lmitessuperiores pedido( pero es mucho ms sencillo fijar * /como una constante temporalmente0 y

aplicar el teorema fundamental del clculo con lo que obtenemos.

>esulta la funcin ( )12124

1

3

0

3

0

2 xx

ttdt

txF

xx

==

= que se debe evaluar en los distintos

valores de * solicitados.

( ) 00 =F


34/70

96

47

96

148

8

1

12

1

2

1

2

1 =

==

F

32

39

96

117

96

27144

8

27

12

1

2

3

2

3 ====

F

( )3

4

12

822 ==F

-i derivamos se obtiene ( ) ( )xfx

x'F ==4

1

2

que coincide con el integrando.

EjemploEncuentre el valor de a si se sabe que

Antegrando y aplicando la regla de GarroW obtenemos

= =

Agualando y despejando a resulta = = a =;

Ejemplo,alle si f/*0 = .

2a funcin f/*0 es por tramos( en consecuencia

= =

=/3$0 5 = .

E, @>.DAME.-AL EL -EOREMA @>.DAME.-ALDEL CLC>LO%El teorema fundamental del clculo es el teorema ms importante y alcana el nivel deuno de los ms grandes logros de la mente humana. !ntes de ser descubierto( desde

los tiempos de Eudo*o y !rqumedes( hasta la poca de Xalileo y ermat( losproblemas de hallar reas( vol)menes y longitudes de curvas eran tan difciles que sloun genio poda vencer el reto. Pero ahora( armados con el mtodo sistemtico queMeWton y 2eibni moldearon como el teorema fundamental( es posible resolver muchosproblemas.

Este teorema recibe este nombre porque establece una cone*in entre las dos ramasdel clculo el clculo diferencial y el clculo integral. El primero( sabemos que surgidel problema de la tangente( mientras que( el clculo integral lo hio de un problema en


35/70

apariencia no relacionado como lo es el problema del rea. ue el profesor de MeWtonen %ambridge( Asaac GarroW /3=#$L3=880 quien descubri que estos problemas estnntimamente relacionados. -e dio cuenta que la derivacin y la integracin sonprocesos inversos. El teorema fundamental del clculo da la relacin inversa precisaentre la derivada y la integral( MeWton y 2eibni e*plotaron esta relacin y la usaron

para desarrollar el clculo en un mtodo matemtico sistemtico. El descubrimiento deesta asombrosa relacin constituye uno de los logros matemticos ms importantes dela historia mundial.

-e puede decir que es importante porque nos provee de una herramientapoderosa para evaluar integrales definidas. -u ms profundo significado esque sirve de eslabn entre la derivacin y la integracin( entre derivadas eintegrales. Este eslabn aparece claramente cuando escribimos

siendo /*0 una primitiva de f/*0.

Analicemos las distintas situaciones $ue se pueden plantear en elclculo de reas de regiones planas

Clculo de reas/

REA DE RE)F. E.-RE DO, C>RA,

-i f y g son dos funciones continuas en 9a( b: y g/*0 f/*0 * 9a( b:( entonces el reade la regin limitada por las grficas de f y g y las rectas verticales * =a y * =b es

Demostracin -ubdividimos el intervalo 9a( b: en n subintervalos cada uno de ancho *

y dibujamos un rectngulo representativo de alto f/* i0 g/* i0 donde * est en el iFsimointervalo.


36/70

-umando las reas y considerando que el n)mero de rectngulos tiende a infinito

resulta que el rea total es

%omo f y g son continuas en el intervalo( la funcin diferencia f g tambin los es y ellmite e*iste.

Por lo tanto el rea es rea = =

E s importante darse cuenta que la valide de la frmula del rea depende slo de que f

y g sean continuas y de que g/*0 f/*0. 2as grficas de f y g pueden estar situadas decualquier manera respecto del eje *.


37/70

)ntegracin respecto al eje 7

-i algunas regiones estn acotadas por curvas que son funciones de y o bien sepueden trabajar mejor considerando * como funcin de y los rectngulosrepresentativos para la apro*imacin se consideran horiontales en lugar de verticales.1e esta manera( si una regin est limitada por las curvas de ecuaciones * =f/y0( * =

g/y0( y =c y la recta horiontal y =d( donde f y g son continuas y f/y0 g/y0 para c y

d( entonces su rea resulta .

A modo de resumen+


38/70


39/70

2a e*presin es una suma de >iemann para f en 9a( b:. Podemos

asegurar que el promedio de los n valores es veces la suma de >iemann de f

en 9a( b:. ! medida que incrementamos la cantidad de subintervalos /* $( n 0se obtiene( teniendo en cuenta la definicin de integral definida

= = .

El valor promedio de f sobre el intervalo 9a( b: resulta fprom= .

El concepto del valor promedio de una funcin en un intervalo es solamente uno de los

muchos usos prcticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.

-EOREMA DEL ALOR MED)O PARA ).-ERALE,

Este teorema es importante porque asegura que una funcin continua en un intervalocerrado alcana su valor promedio al menos en un punto.

-i f es continua en el intervalo cerrado 9a( b:( e*iste un n)mero c en este intervalotal que

f/c0/b a0 =

Demostracin

Primer caso -i f es constante en el intervalo 9a( b: el resultado es trivial puesto que cpuede ser cualquier punto.

,egundo caso -i f no es constante en 9a( b: elegimos m y Q como el menor y mayorvalor que toma f en el intervalo. 1ado que m f/*0 Q * 9a( b: por el teorema deconservacin de desigualdades.!plicando propiedades

m/b a0 Q/b a0 entonces m Q.

1ado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcana cadavalor entre su mnimo y su m*imo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanar el


40/70

valor en alg)n punto c del intervalo. 9a( b:. Vueda demostrado que e*iste

alg)n c tal que f/c0 = .

)nterpretacin gr#ica del teorema para una #uncin positia

rectngulo inscripto /rea menor que lade la regin0

rectngulo del valor medio /rea igualque la de la regin0

rectngulo circunscripto /rea mayorque la de la regin0

El valor de c no es necesariamente )nico. Este teorema no especifica cmo determinarc. -olamente garantia la e*istencia de alg)n n)mero c en el intervalo. Permite unainterpretacin interesante para el caso en que f es no negativa en 9a( b:. En este caso

es el rea bajo la grfica de f entre a y b. El teorema asegura que e*iste unvalor c del intervalo al que est asociado f/c0 que corresponde a la altura del rectngulode longitud de la base /b a0 y su rea coincide con la de la regin.

! = =f/c0/b a0


41/70

El valor de f/c0 hallado seg)n el teorema del valor medio para integrales coincide con el

valor promedio o medio de una funcin por eso a f/c0 = se lo llama valormedio de f en el intervalo 9a( b:.

Ejemplo halle el valor promedio de f/*0 =#*;;* en el intervalo 93( ":.

%alculamos

fprom= = = = /=" 3= 3 5 30 =3=

-abemos que el rea de la regin es igual al rea del rectngulo cuya altura es el valorpromedio. -e puede observar grficamente.

Pro&lema

-uponga que la poblacin mundial actual es de 4 mil millones y que la poblacin dentrode t aos est dada por la ley de crecimiento e*ponencial p/t0 =e$($;#t.

Encuentre( la poblacin promedio de la tierra en los pr*imos #$ aos.Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largo plaode las necesidades de produccin y en la distribucin de bienes y servicios.

Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de la poblacin P/t0desde t =$ hasta t =#$


42/70

@alor promedio = =

@alor promedio = =

@alor promedio 8(; miles de millones

Pro&lema

-e inyecta una dosis de ; miligramos de cierta droga en el torrente sanguneo de unapersona. 2a cantidad de droga que queda en la sangre despus de t horas est dadapor f/t0 =; e$.#;t. Encuentre la cantidad promedio de la droga en el torrente sanguneodurante la segunda hora.

Para responder este problema debemos encontrar el valor promedio de f/+0 en elintervalo desde t =3 a t =;.

@alor promedio = =

@alor promedio 3(;"

2a cantidad promedio de la droga en el torrente sanguneo es de apro*imadamente3(;" miligramos.

).-ERAC)F. APROK)MADA

E*isten dos situaciones en las cuales es imposible hallar el valor e*acto de una integraldefinida.

2a primera proviene del hecho de que para evaluar aplicando lasegunda parte del +eorema undamental del %lculo se necesita conocer unaprimitiva f. -in embargo en muchos casos hallar una primitiva es difcil o

prcticamente imposible. Es imposible evaluar o bien

.


43/70

2a segunda situacin surge cuando la funcin se determina a partir de unae*periencia cientfica( la e*periencia en un laboratorio( a travs de lecturas deinstrumentos o datos recogidos.

En los dos casos planteados se pueden calcular los valores apro*imados de la integral

definida utiliando lo que se conoce como integracin numrica o integracinapro*imada.

Estos mtodos emplean valores de f/*0 en diversos puntos y son especialmenteapropiados para computadoras y calculadoras.

'n mtodo para resolver estos casos ya lo conocemos dado que la integral definida sedefine como un lmite de sumas de >iemann de modo que se podra utiliar cualquierade las sumas de >iemann para apro*imar la integral.

+ambin es posible utiliar la regla del punto medio( la regla trapeoidal o la regla de

-impson.

.o se inclu7e en este tra&ajo la e!plicacin correspondiente a cada unade estas reglas( ,ugerimos al lector inestigar acerca de ellas(

Aplicaciones a la @"sica

Quchas leyes fsicas se descubrieron durante el mismo perodo histrico en el queestaba siendo desarrollado el clculo. 1urante los siglos @AA y @AAA e*ista pocadiferencia entre ser un fsico o un matemtico.

E,PAC)O RECORR)DO E. >. MO)M)E.-O REC-)LG.EO

Para un objeto con movimiento rectilneo la funcin posicin( s/t0( y la funcin velocidad(

v/t0( se relacionan por s/t0 = .

1e este hecho y del teorema fundamental del clculo se obtiene = =s/t;0 s/t30

2a posicin del objeto en el instante t3 est e*presada por s/t30 y s/t;0 es la posicinen el instante t;( la diferencia s/t;0 s/t30 es el cambio de posicin o desplaamientodel objeto durante el intervalo de tiempo 9t3( t;:.


44/70

'n desplaamiento positivo significa que el objeto est ms hacia la derecha en elinstante t;que en el instante t3( y un desplaamiento negativo significa que el objeto estms hacia la iquierda. En el caso en que v/t0 $ en todo el intervalo de tiempo 9t3( t;:(el objeto se mueve en la direccin positiva solamente( de este modo el desplaamientos/t;0 s/t30 es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v/t0 $ en todo el intervalo de tiempo( el objeto se mueve en ladireccin negativa solamente( por tanto( el desplaamiento s/t;0 s/t30 es el negativo dela distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v/t0 asuma valores tanto positivos como negativos durante elintervalo de tiempo 9t3( t;:( el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrs y eldesplaamiento es la distancia recorrida en la direccin positiva menos la distanciarecorrida en la direccin negativa. -i quiere encontrarse la distancia total recorrida eneste caso /distancia recorrida en la direccin positiva ms la distancia recorrida en ladireccin negativa0 debe integrarse el valor absoluto de la funcin velocidad( es decir

distancia totalrecorrida durante elintervalo de tiempo

9t3( t;:I

Pro&lema

'n objeto se mueve con movimiento rectilneo de modo tal que su velocidad en elinstante t es v/t0 =t;;t metros por segundo. ,alle

a el desplaamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

& la distancia recorrida durante ese tiempo.

a = = =$.

Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posicin en el instante t =# queen el instante t =$.


45/70

&2a velocidad puede escribirse como v/t0 =t / t ;0 de modo que v/t0 $ si ; t # yla velocidad es negativa si $ t ;.

2a distancia recorrida es

=

= =

distancia recorrida = = .

Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.

-RABAO

El concepto de trabajo es importante para los cientficos e ingenieros cuando necesitandeterminar la energa necesaria para realiar diferentes tareas fsicas. Es )til conocer lacantidad de trabajo realiado cuando una gua eleva una viga de acero( cuando secomprime un muelle( cuando se lana un cohete o cuando un camin transporta unacarga por una carretera. En el lenguaje cotidiano( coloquial( el trmino trabajo se unapara indicar la cantidad total de esfuero requerido para realiar una tarea. En fsicatiene un significado tcnico que est en relacin con la idea de fuera. Antuitivamente se

puede pensar una fuera como el hecho de empujar un objeto o tirar de l. 1ecimosque se hio un trabajo cuando una fuera mueve un objeto. -i la fuera aplicada alobjeto es constante( tenemos la definicin siguiente de trabajo.

-RABAO REAL)?ADO POR >.A @>ER?A CO.,-A.-E

-i un objeto se mueve una distancia den la direccin de una fuera constante &aplicada sobre l( entonces el trabajo 'realiado por la fuera se define como ' =& ( d


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E*isten muchos tipos de fueras centrfuga( gravitacional( etc. 'na fuera cambia elestado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fueras gravitacionales en latierra se suelen utiliar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.

%uando la fuera es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuera

variable a un objeto se necesita el clculo para determinar el trabajo realiado ya que lafuera vara seg)n el objeto cambia de posicin.

-RABAO REAL)?ADO POR >.A @>ER?A AR)ABLE

-upongamos que un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta desde * =a hasta *=b debido a una fuera que vara continuamente /*0. %onsideramos una particin quedivide al intervalo 9a( b: en n subintervalos determinados por a =*$*3*;*#.........*n3*n=b donde *iindica la amplitud o longitud del iFsimo subintervalo( es decir

*i=*i *i3. Para cada i escogemos c ital que *i3ci *i. En cila fuera est dada por

/ci0. 1ado que es continua y suponiendo que n es grande( *i es pequeo. 2os

valores de f no cambian demasiado en el intervalo 9* i3( *i: y podemos concluir que el

trabajo realiado Wial mover el objeto por el subintervalo iFsimo /desde * i3hasta *i0 esapro*imadamente el valor /ci0. *i

-umando el trabajo realiado en cada subintervalo( podemos apro*imar el trabajo total

realiado por el objeto al moverse desde a hasta b por W = .

Esta apro*imacin mejora si aumentamos el valor de n. +omando el lmite de esta suma

cuando n resulta W = =

-i un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la accin de una fuera quevara continuamente /*0( entonces el trabajo realiado por la fuera conforme el objeto

se mueve desde * =a hasta * =b est dado por W = .

PRE,)F. @>ER?A EERC)DA, POR >. @L>)DO

PRE,)F. DE >. @L>)DO

2os nadadores saben que cuanto ms profundo se sumerge un objeto en un fluidomayor es la presin sobre el objeto. 2as compuertas de las represas se construyen msgruesas en la base que en la parte superior porque la presin ejercida contra ellas seincrementa con la profundidad. Para calcular la presin de un fluido se emplea una leyfsica importante que se conoce como el principio de Pascal. Quchos de los trabajos dePascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemtico pero anticiparon muchos


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resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presin ejercida por unfluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. 2a presin en cualquierpunto depende )nicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido enreposo( la presinpa una profundidad $es equivalente a la densidad 'del fluido por laprofundidad(p =' ( $. 1efinimos la presin como la fuera que act)a por unidad de

rea sobre la superficie de un cuerpo.

@>ER?A EERC)DA POR >. @L>)DO ,OBRE >.A ,>PER@)C)E CO.PRO@>.D)DAD CO.,-A.-E

1ado que la presin de un fluido aparece en trminos de fuera por unidad de rea( p =

( la fuera total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base planahoriontal se puede calcular multiplicando el rea de la base por la presin sobre ella &=p . ! =presin . rea . +eniendo en cuenta la frmula para calcular la presin resulta elvalor de la fuera & = W . h . !

@>ER?A EERC)DA POR >. @L>)DO ,OBRE >.A ,>PER@)C)E CO.PRO@>.D)DAD AR)ABLE

-upongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad W sedesplaa desde y =a hasta y =b sobre el eje y. 2a fuera ejercida por el fluido contra un

lado de la placa es =W . donde h/y0 es la profundidad y 2/y0 es lalongitud horiontal medida de iquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nively.

,lo se enuncian algunas de las muc'as aplicaciones de la integralde#inida a la resolucin de pro&lemas: slo se pretende motiar para una

indagacin e inestigacin ms pro#unda(

EERC)C)O, %lculo de integrales definidas %lculo de reas

CLC>LO DE ).-ERALE, DE@).)DA,

-e incluyen aqu los ejercicios para calcular integrales definidas y susrespuestas

Ejercicio /

%alcule las siguientes integrales definidas
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#calculointeg%23calculointeghttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#calculoareas%23calculoareashttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#calculointeg%23calculointeghttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#calculoareas%23calculoareas


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a & c

d e #

g ' i

j N l

m

>espuestas a

2&

c

d e #g!,

'i)

j N lm*

Ejercicio 0

-abiendo que halle

a & c

d e #

>espuestas a!," $,% c#,& d##,&' e(,!' #+

Ejercicio 1

a%alcule siendo .

&Encuentre el valor de b tal que .

c%alcule


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>espuestasa &b = )" b =2 c

Ejercicio 2

En la funcin definida grficamente por

se sabe que = 6 y = =. ,alle

a

& e indique qu representa.

>espuestasa , &, )*+)*s*nta *l )*a d* la )*gi-n *nt)* la g)fica d* f, *l *.* x, las )*ctas!= a,!=c(

Ejercicio 3

En la funcin definida grficamente por

se sabe que . ,alle


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a e indique qu representa

&

>espuestasa e indica el rea de la %ona entre la grfica de f" el eje !" las rectas ! =a y

! =b(

& = -(

@olver

CLC>LO DE REA,-e incluyen aqu los ejercicios para calcular reas y sus respuestas

Ejercicio

Escriba( sin calcular( una integral definida que indique el rea de la regin sombreada.

a

&

c

d
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#volver%23volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#volver%23volver


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>espuestasa &

c d

Ejercicio 5

En los siguientes grficos determine el valor del rea sombreada

a

&

c

>espuestasa & c

Ejercicio

1ada la siguiente grfica


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halle

alas ecuaciones de las curvas(

&el rea de la ona sombreada.

>espuestas a y =!2" y =! 2#2 &)*

Ejercicio Q

Xrafique la regin limitada por las curvas y calcule el rea determinada por ambas.

ay =*;con la recta y =;* 5 #

&el eje de abscisas( la recta y =* 5 3 y la recta * ="

cel eje de abscisas( la curva y =*;3 y la recta * =;

dy =*;5 ;* 3 con la recta y =* 3

ey;="* con la recta y =;* "

#y =ln*( el eje de abscisas y las rectas * =;( * =3$

gy =*;con la recta y =# ;*

' con y =*;

iy =" *;con la recta y =* 5 ;


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>espuestasa & c d

e. #)/",-g ' i

Ejercicio /espuesta /,

Ejercicio //

1etermine el rea sombreada en las siguientes grficas

a

&

>espuestasa &

Ejercicio /0

,alle el rea encerrada por las curvas y =*;"* e y ==* *;. Xrafique.

>espuesta

el rea vale


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Ejercicio /1

1ada la siguiente grfica halle

alas ecuaciones de las rectas

& el rea de las onas A y AA indicadas en el grfico.

>espuestaa) &01= , 011 =

Ejercicio /2

a%alcule

&1etermine el rea de la regin comprendida entre la curva y =sen *( el eje * y las

rectas * = y * = . Xrafique.

c!nalice por qu no se obtiene el mismo resultado en ay &.

>espuesta

a* &el rea vale2

cNo se puede calcular el rea como la integral planteada en &a'ya ue da * pues las dos tienen el mismo valor absoluto perodistinto signo"geom3tricamente la regin consta de dos partessim3tricas respecto del eje !(

Ejercicio /3


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%alcule el rea bajo la curva f/*0= desde $ hasta #. Anterpretegrficamente.

>espuesta

el rea vale

Ejercicio /

Escriba la integral definida que proporciona el rea de la regin /no calcule el valor del

rea0

>espuesta! =

Ejercicio /5

,alle el rea limitada por la parbola y =*;* y la recta que une los puntos P/3( ;0 yV/#( =0. Xrafique.

>espuesta


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Ejercicio /

,alle( utiliando integrales( el rea del tringulo limitado por las rectas de ecuacin y #* =$R * #y =$ y * 5 y =".

>espuesta el rea vale -

Ejercicio /Q

%alcule el rea de la ona limitada por la curva y =*##*;* 5 # y el eje deabscisas.

>espuesta el rea vale 4

Ejercicio 0espuesta /,* 5m(

Pro&lema 0

'na compaa est considerando un nuevo proceso de fabricacin. -e sabe que laran de ahorros del proceso est dada por s/t0 =3$$$ /t 5 ;0 donde t es el n)mero deaos que se ha usado el proceso. Encuentre los ahorros totales durante el primer ao ydurante los primeros seis aos.

>espuestalos a$orros totales durante el primer a6o ascienden a 728** y durante los primeros seis a6osa /****(

Pro&lema 1

En una ciudad del centro del pas la funcin describe unaapro*imacin de la temperatura en grados ahrenheit t horas despus de las 7. ,alle latemperatura promedio durante un perodo de doce horas a partir de las 7.

>espuesta apro!imadamente 8.9&

Pro&lema 2

'n carpintero compr una nueva mquina para colocar clavos. Estima que la ran deahorros s/*0 de la mquina est apro*imada por la e*presin s/*0 =# 5 ;* donde *representa el n)mero de aos que la clavadora ha estado en uso. -i la mquina cuesta


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Y 66 Dse pagara por s misma en seis aos? En caso negativo Den cuntos aos lamquina se pagar por s misma?

>espuesta no se pagar en seis a6os dado ue slo a$orra 7 8-( e pagar en oc$o a6os(

Pro&lema 3

'na compaa manufacturera est considerando un nuevo proceso par la fabricacinde apatos en una de sus plantas. 2a nueva mquina producir una ran de ahorrosanuales en dlares dada por s/*0 =34$ *;donde * es el n)mero de aos de operacinde la mquina( en tanto que produce una ran de costos anuales en dlares de c/*0 =

*;5 *.

aD1urante cuntos aos ser rentable usar esta nueva mquina? (

&D%ules son los ahorros netos totales durante el primer ao de uso de la mquina?

cD%ules son los ahorros netos totales durante todo el perodo en el que el uso de lamquina resulta rentable?

>espuestasa4 a6os & apro!imadamente 7 )-4 c apro!imadamente 7 ++)

Pro&lema

2uego de t aos una mina est produciendo a ran de p/t0 = toneladas por ao. !lmismo tiempo el mineral producido se est consumiendo a ran de c/t0 =$(3 t 5 ;toneladas por ao.

aDEn cuntos aos ser igual la ran de consumos a la ran de produccin?

&D%ul es la produccin en e*ceso total antes de que el consumo y la produccinsean iguales?

>espuestas a 8 a6os & apro!imadamente ),"8 toneladas

Pro&lema 5

2a ran de crecimiento de una poblacin de microbios est dada por la ley m/*0 =#$*e;*donde * es el tiempo en das. D%ul es la poblacin total de microbios despusde tres das?

>espuesta apro!imadamente )8 )24 microbios(


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Pro&lema

@erifique que la velocidad promedio de un mvil en un perodo 9t3( t;: es la misma que elpromedio de las velocidades durante el viaje.

Pro&lema Q

2a funcin de costo marginal de una empresa es c S /*0 =#$ 5 $($4*.

a0 1etermine la funcin costo c/*0 si los costos fijos de la empresa son de Y;$$$ pormes.

&D%unto costar producir 34$ unidades en un mes?

c -i los artculos se pueden vender a Y 44 cada uno Dcunto debe producirse para

ma*imiar la utilidad?

>espuestas ac!# =*"*28!2; /*! ; 2*** & 7 +*,2"8* c 8** unidades

Pro&lema /espuesta entre las seis y las nueve se consumen )*"8 millones de litros de agua y el consumo totaldurante un da completa es de )*- millones de litros de agua(

Pro&lema /0

2a densidad lineal de una varilla de ocho metros de largo es donde * se mideen metros desde uno de los e*tremos de la varilla. ,alle la densidad promedio.

>espuesta

Pro&lema /1

1espus de que una persona ha estado trabajando durante t horas con una mquina enparticular rinde n unidades. 2a tasa de rendimiento /n)mero de unidades por hora0 est

dada por n/t0 = . D%untas unidades de rendimiento alcanar la personaen sus primeras 4$ horas?

>espuestas una persona alcan%ar)4- unidades

Pro&lema /2

2a funcin de ingreso marginal de una empresa est dada por i S/*0 =3;(4 $($;*.

a1etermine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventasse incrementa de 3$$ a ;$$ unidades.

& -i el nivel de ventas primero decrece de 3$$ a 6$ unidades y luego se incrementa a34$ unidades. 1etermine el incremento global en el ingreso total.

>espuestas a7 .8* &7 8**

Pro&lema /3

1esde 378$ la ran de consumo de petrleo en cierto pas ha sido dada en millonesde barriles por ao por la siguiente funcin


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r/t0 = donde t es el tiempo en aos desde 378$.

a%alcule el consumo total entre 378$ y 3784.

&%alcule el consumo total entre 378$ y 3766.

>espuestas a228* millones de barriles & +).) millones de barriles(

Pro&lema /

El volumen de agua de un tanque es @ metros c)bicos cuando la profundidad del aguaes de h metros.

-i la tasa de variacin de @ con respecto a h es /"h;53; h 5 70 determine el volumende agua en el tanque cuya profundidad es de # m.

>espuesta ))+m/

Pro&lema /5

!l comieno de los aos 8$( la tasa anual mundial de consumo de petrleo era p/*0 =3=(3 e $($8tmiles de millones de barriles de petrleo al ao( donde t es el n)mero deaos contados a partir de 378$.

a determine la cantidad de petrleo consumido de 378; a 378".

&represente grficamente lo planteado en a.

ca partir del advenimiento de precios terriblemente altos de petrleo( hacia el ao378"( la tasa de crecimiento e*ponencial del consumo mundial baj de una constantede crecimiento del 8Z a una constante de crecimiento del "Z anual. 'n modelorelativamente bueno para describir la tasa anual de consumo de petrleo desde 378"est dado por q/*0 =;3(# e $($"/t "0donde otra ve t es el n)mero de aos contados apartir de 378$. 1etermine el ahorro total de petrleo entre 378= y 376$ al no haberseconsumido petrleo a la tasa del primer modelo.

dinterprete grficamente lo planteado en c.

>espuestas a/."+, miles de millones de barriles de petrleo c se a$orraron alrededor de )/ milmillones de barriles de petrleo(


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Pro&lema /

-e lana una piedra hacia arriba con una aceleracin de #; ( y se sabe que la

velocidad inicial es de =" y la altura desde la que es lanada es de 7= m.

a,alle la e*presin de la velocidad t segundos despus.

& 1etermine la e*presin que describe el espacio recorrido t segundos despus.

cD%untos segundos tarda en alcanar la altura m*ima?( Dcul es dicha altura?

d DEn qu momento toca el suelo?

>espuestas avt# =/2t ; ,- & et#=),t2;,-t ; ., ct=2seg( e2#=),*m d t=8"), seg(

Pro&lema /Q

'na epidemia de gripe ataca una poblacin. -ea p/t0 el n)mero de personas enfermasde gripe al tiempo t( donde t se mide en das a partir del inicio de la epidemia y p/$0 =3$$. -uponga que despus de t das la gripe se est e*tendiendo a ran de 3;$t #t;personas por da.

aEncuentre la e*presin para p/t0.

& Andique cuntas personas afectadas habra " das despus de haber comenado laepidemia.

>espuestas apt# =,*t2t/; )** & .., personas(

Pro&lema 0ecuerde que la ley de ,ooBe se aplica tanto a la compresin como al estiramiento.

>espuesta 4** ergios(

Pro&lema 0/


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El consumo total de gas oil para el transporte en Estados 'nidos desde 378$ hasta3787 sigue un modelo de crecimiento seg)n la ley t/t0 = $($$$"##t;5 $($7=;t 5 ;(8=donde $ t 7 y f/t0 se mide en miles de millones de barriles en t aos desde elprimero de enero del a 378$. 1ado un importante aumento en los precios del crudo afines de la dcada del 8$ el modelo de crecimiento del consumo cambi y comen a

comportarse seg)n g/t0= $($$6#3t;

5 $(34;t 5 ;(63 donde 7 t 3= y g/t0 medidotambin en miles de millones de barriles. %alcule la cantidad total de gas oil ahorradaentre 3787 y 3764 como resultado de este cambio en el ritmo de consumo.

>espuesta apro!imadamente -"84 miles de millones de barriles de gas oil(

Pro&lema 00

'n mvil se desplaa por un camino. -e sabe que su aceleracin en el instante t vienedada por

a/t0 =t./t 3$$0 . -i en el instante inicial t =$ el mvil se encuentra a una distancia

de 4$ Bm y parte con una velocidad de #$ ( Dcul es la e*presin que describe laposicin s/t0 para $ t 3$$?

>espuesta st#=

Pro&lema 01

'na pelota es lanada hacia arriba desde una altura de ;4= pies sobre el nivel del suelocon una velocidad inicial de 7= pies por segundo. Por las leyes fsicas se sabe que lavelocidad al tiempo t es v/t0 =7= #;t pies por segundo.

aEncuentre s/t0 es decir la funcin que e*presa la altura de la pelota al tiempo t.

&D%unto tiempo tardar la pelota en llegar al piso?

>espuestas a st# =),t2; .,t ; 28, & t =4 seg(

Pro&lema 02

El precio de un artculo es Y 8$$ y su valor disminuye seg)n la cantidad de aos t

posteriores a su compra. 2a e*presin describe la ran de cambio delprecio p de dicho artculo con respecto a t. 1etermine el valor del artculo # aosdespus de su compra.


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>espuesta 7 /28(

Pro&lema 03

1urante los 3$ primeros das de diciembre( una clula vegetal modific su tamao de

manera tal que t das despus del primero de diciembre( el volumen de la misma estuvocreciendo a ran de /3; L t0L;micras c)bicas por da. -i el # de diciembre el volumende la clula era de # m#( determine el volumen el da 6 del mismo mes.

>espuesta/")-m/(

Pro&lema 0

El volumen de un globo crece a ran de cm#por segundo. -i a los tres

segundos el volumen es # cm#.

a 1etermine la e*presin que describe el volumen @ en funcin del tiempo t.

& ,alle el volumen del globo a los 6 segundos.

>espuestas a & /- cm/

Pro&lema 05

2a velocidad de un mvil viene dada por v/t0 =t;5 "t 5 ;. -i se sabe que en el instanteinicial el mvil no ha realiado ning)n recorrido.

a 1efina la funcin que describe el espacio recorrido.

& ,allecul fue el espacio recorrido por el mvil entre t =3 seg. y t =# seg.

>espuestas a & 24",+ m.

Pro&lema 0

'na partcula cuya velocidad es v =f/t0 /medida en metros por segundo0( se mueve enlnea recta seg)n se indica en el grfico.


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,alle el recorrido durante su desplaamiento en los primeros seis segundos.

>espuesta 2+ m(

Pro&lema 0Q

2a matrcula de una escuela se ha incrementado a ran de alumnos porao desde 377#. -i la matrcula en 377= fue de 3$ $$$ alumnos.

a1etermine la cantidad de alumnos en 377# y en el ;$$3 (

& %alcule la matrcula esperada para el ao ;$$6( suponiendo que se seguirincrementando a la misma tasa.

>espuestas a4*** alumnos en )../" )2 *** en el 2**) & )- *** alumnos(

Pro&lema 1espuestala produccin total asciende a +/2 artculos(

Pro&lema 12

'n bidn de agua destilada de cinco litros tiene un orificio en el fondo y se observa quese vaca a ran de /4 $($$;t0 cm#por minuto. Encuentre la cantidad de agua quequeda en el bidn transcurridas die horas.

>espuesta a


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Observacin:1e acuerdo a la ley de ,ooBe en fsica( la fuera /*0 necesaria paraconservar estirado /o comprimido0 un resorte * unidades alargando /o contrayendo0 sulongitud normal( est dada por /*0 =B*( donde B es una constante positiva.

>espuesta)4"+8 pulgadas(

Pro&lema 1

'na persona ha sufrido un accidente con su moto el da domingo y como consecuenciadel mismo qued con una herida en su bao iquierdo. Esta herida se est curando de

manera que y das despus a partir del accidente ha disminudo a ran decentmetros cuadrados por da. -i el da lunes el rea de la herida fue de # cm ;.

aDcul fue el rea que ocupaba la herida en el momento del accidente?

& Dcul ser el tamao de la herida al domingo siguiente si contin)a mejorando seg)nla misma tasa?

>espuestas a4cm2 & 3(4cm2

Pro&lema 15

'na compaa est comenando a fabricar sus productos mediante la introduccin deun nuevo proceso. -e sabe que debido las dificultades en las etapas iniciales delproceso la produccin crecer lentamente. -e espera que la ran de produccin seap/*0 =3$$$ e$(;*donde * es el n)mero de aos desde la introduccin del productoDPodr la compaa lograr una produccin de ;$$$$ unidades durante los primeroscuatro aos?

>espuesta la compa6a no podr lograr la produccin(

Pro&lema 1

2a ran de infeccin de una enfermedad /personas por mes0 es i/t0 = ( donde t esel tiempo en meses desde la aparicin de la enfermedad. Encuentre el n)mero total depersonas infectadas en los primeros cuatro meses de enfermedad.

>espuesta apro!imadamente )-2 personas infectadas(

Pro&lema 1Q


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!l pasar un pas por una crisis econmica reciente el porcentaje de desempleo creci a

ran de donde t es el tiempo en meses. 1ado que al comieno delestudio haba "Z de desempleados encuentre el porcentaje que est desempleado ;$

meses despus.

>espuesta 8"82=(

,>ERE.C)A, DE RE),)F.

/ Enuncie una definicin /utiliando rectngulos0 del rea de una regin plana limitadapor la grfica de una funcin f( el eje * y las rectas * I a y * I b si f es continua en 9a( b:y f /*0 $ para todo * del intervalo.

0 E*plique qu es una suma de >iemann. Ejemplifique.

1 D%ul es la relacin entre integral definida y suma de >iemann?. Ejemplifique.

21efina .

3DVu es una integral definida? Dcmo se relaciona con el rea de una regin plana?

Ejemplifique grficamente una funcin cuya

aintegral definida sea positiva.

&integral definida sea negativa.

cintegral definida sea nula.

5 -i la funcin f es continua en 9a( b: y si m y Q son el mnimo absoluto y el m*imoabsoluto de la funcin en 9a( b: respectivamente Dqu desigualdad satisface la integraldefinida de f en 9a( b:?

Enuncie el teorema del valor medio para integrales. Ejemplifique.QAndique la interpretacin geomtrica del teorema del valor medio para integrales.

/


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/0 Enuncie la segunda parte del +eorema undamental del %lculo.

/1 D%onsidera importante el +eorema undamental del %lculo? Dpor qu?

/2D%mo calcula utiliando integrales el rea de una regin plana limitada por la

grfica de y I f/*0( el eje * y las rectas * I a y * I b si f es continua en 9a( b: y

a f/*0 $ para todo * del intervalo.

&f/*0 $ para todo * del intervalo.

c f/*0 $ si a * c y f/*0 [ $ si c [ * b.

/3E*plique la diferencia entre una integral definida y una integral indefinida.

/ D%mo calculara el rea de la regin plana limitada por las grficas de las

funciones continuas y I f/*0 e y I g/*0 que se cortan en los puntos * I a y * I b si

af/*0 g/*0 para todo * del intervalo.

&f/*0 g/*0 para todo * del intervalo.

cf/*0 g/*0 si a * c y f/*0 g/*0 si c * b.

/5 Escriba una e*presin para una suma de >iemann de una funcin f. E*plique elsignificado de la notacin.

/ -i la funcin y I f/*0 es positiva Dcul es la interpretacin geomtrica de una sumade >iemann? Ejemplifique grficamente.

/Q -i una funcin continua en 9a( b: toma valores positivos y negativos en dichointervalo Dcul es la interpretacin geomtrica de la integral de >iemann? Ejemplifiquegrficamente.

0


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Documents

Ap-Integral definida1 O04.doc