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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE LATACUNGA
MATEMATICAS SUPERIOR CRISTIAN ANDRANGO
APLICACIONES VARIABLE COMPLEJA
Nmeros complejos
Aplicacin: Movimiento retrogrado de los planetas
En esta seccin utilizaremos la forma exponencial de los nmeros
complejos para explicar
cualitativamente el movimiento aparentemente retrogrado que
tienen los planetas vistos desde
la Tierra. La formulacin con nmeros complejos resulta elegante y
los clculos no son
demasiado farragosos.
Es conocido que, vistos desde la Tierra, los planetas exteriores
a la rbita terrestre, siguen
trayectorias no uniformes. Si registramos observaciones
sistemticas de la posicin de un
planeta durante un ao, parece como si el planeta, a veces,
avanzara y retrocediera por el
firmamento. Este fenmeno dio muchos quebraderos de cabeza
Al sistema astronmico ptolemaico y no se comprendi en
profundidad hasta que aparecieron
los trabajos de Kepler y Newton. Explicar dicho movimiento
retrogrado es sencillo usando
nmeros complejos ya que la forma exponencial permite paramtrica
curvas sobre el plano de
una manera muy fcil. Por ejemplo,
z(t) = Re^(it)
Representa la circunferencia |z| = R cuando hacemos variar el
parmetro t de 0 a 2. En nuestro
caso, t va a ser el tiempo. Por tanto, sea
zT (t) = e^(2it)
La posicin de la Tierra en el plano cuyo centro de coordenadas
lo representa el Sol y donde
hemos tomado la distancia Tierra-Sol igual a 1 unidad
astronmica. Empezando en t = 0, tras t =
1 ao la Tierra completa una orbita circular alrededor del Sol
(la orbita en realidad es elptica,
pero con una excentricidad tan pequea que preferimos simplificar
el problema).
Sea
zM(t) = re^(2it/T)
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La posicin de otro planeta (por ejemplo, Marte). r es la
distancia al Sol en unidades
astronmicas y es el periodo del planeta en aos terrestres.
Entonces, desde la Tierra el
planeta se encontrara a la distancia relativa
d(t) = zM(t) zT (t) = re2it/ e2it (t)ei(t)
Por supuesto, la distancia fsica es (t), siendo d(t) el
((vector)) que une los puntos T y M. Si (t)
es una funcin montonamente creciente en el tiempo, entonces
desde 30 Nmeros complejos
la Tierra no se observara ningn movimiento anmalo. Nuestro
objetivo, pues, es calcular (t)
y estudiar su comportamiento cuando t aumenta. En primer lugar,
pasamos a coordenadas
rectangulares:
APLICACIN: CIRCUITOS RLC
Los nmeros complejos se utilizan constantemente en ingeniera
elctrica a la hora de analizar
circuitos. Cuando la fuente de tensin es alternante (AC) en el
tiempo, con un trmino del tipo
V = V0 cos wt, siendo V0 el voltaje pico, w la frecuencia
angular y t el tiempo, se puede explotar
la frmula de Euler y sustituir V por
V = V0e^(iwt)
Donde V recibe el nombre de fasor. Obviamente, el voltaje real
aplicado es V = Re V, pero es
mucho ms conveniente trabajar con la funcin exponencial que con
senos o cosenos, pues las
operaciones de derivacin e integracion se simplifican
considerablemente. Un fasor tiene, como
cualquier numero complejo expresado en forma polar, un modulo y
una fase. En el caso anterior,
el modulo es V0 y la fase, !t. Al aumentar t, el fasor rota en
el plano complejo con velocidad !,
de la misma forma que se describa el movimiento planetario en el
tema 1. Se ilustra ahora el
manejo de fasores por medio de un ejemplo relevante: el circuito
RLC, donde una fuente de
tension AC se conecta en serie con tres elementos: una
resistencia (R) una inductancia (L) y un
condensador (C). La importancia practica de este circuito
proviene del hecho de que exhibe
resonancias, como veremos a continuacion. Por conservacion de
energa, la suma de las cadas
de voltajes a traves de los tres elementos anteriores debe ser
igual a la tension aplicada:
donde I = dQ/dt es la corriente y Q es la carga circulando por
el circuito. Por tanto:
donde las primas indican derivadas con respecto a t. La
expresion anterior es una ecuacion
diferencial de segundo orden, que puede resolverse con metodos
estandar. Sin embargo, es mas
sencillo si empleamos fasores. La derivada de una funcion
exponencial compleja es simplemente
(eiwt)0 = iwei!t. Luego sustituimos Q por su fasor Q y
reemplazamos cada derivada por un factor
multiplicativo iw:
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Notese que hemos transformado una ecuacion diferencial en una
ecuacion algebraica cuya
solucion encontramos rapidamente:
o en terminos del fasor de corriente,
Esta expresion tiene una forma muy atractiva, sugiriendo la
siguiente interpretacion: la
resistencia total del circuito es la suma (por estar en serie)
de los ((resistencias)) asociadas a
cada uno de los elementos: R, iwL y 1/iwC. El unico termino real
de estas resistencias es R, como
debera ser. Las otras dos son complejas. En general, la suma de
las tres, Z = R+iwL+1/iwC, es
una resistencia compleja, denominada impedancia. Entonces, en
terminos de fasores la
corriente que pasa por el sistema es
que es simplemente la ley de Ohm expresada en fasores.
Resumiendo: cuando se analiza un
circuito con una fuente de alimentacion AC, las leyes de
Kirchoff siguen
siendo validas si se admite la posibilidad de resistencias
complejas. Desde el punto de vista
practico, los calculos son mucho mas faciles y el ultimo paso
que nos queda es deshacer el
cambio a fasores para hallar la dependencia temporal de la
corriente real que se medira en el
circuito. Primero, expresamos Z en forma polar:
donde la fase es En consecuencia:
y la corriente fsica no sera mas que la parte real de la
expresion anterior:
