Universidad de OrienteNúcleo de Anzoátegui

Unidad de Estudios BásicosDepartamento de Ciencias

Matemática IVSemestre I-2015

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil

Profesora: Bachilleres:

Oneida pinto Carlena BastardoCI: 24.447.814

Paola RomeroCI: 24.493.299

Pto la cruz, 14 de julio de 2015

Introducción

Las ecuaciones diferenciales representan una gran importancia para todas las ingenierías

debido a la innumerable cantidad de aplicaciones que se pueden dar, en este caso nos

hemos enfocado en nuestra especialidad ”ingeniería civil” y se desarrollara en el contenido

de este trabajo dos ejemplos muy usuales en nuestro campo laboral, conoceremos la

ecuación diferencial de una viga de voladizo en deflexión en la que se usara el modulo de

Young; también encontraremos anexos que explican a detalles la situación planteada, lo

que permite tener una visión clara de lo que se está explicando o hablando en los ejemplos.

Tendremos también otro ejemplo en el que calcularemos la temperatura de ciertos

materiales utilizados en una construcción mediante la “ Ley de enfriamiento de Newton”. A

continuación se dará inicio al marco teórico con el primer ejemplo citado

Marco teórico

FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO

 Comenzaremos simulando una experiencia de laboratorio de fácil diseño que nos permite determinar el módulo de Young de un determinado material.

Modulo de Young:

Young también realizó estudios de materiales proponiendo una medida de la rigidez de diferentes materiales conocida en la actualidad como módulo de Young

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

Cálculo de la raíz de una ecuación. Integral definida.

 

Una viga o una barra delgada:

Son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal. 

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada neutra, que no se acorta ni se alarga. Esta línea se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal y es la que representaremos en las simulaciones que vienen en esta página y en la siguiente.

 Pequeñas flexiones:

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuerza vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para pequeñas flexiones de la barra.

Supondremos que:

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iniciales x=0, y=0, dy/dx=0.

El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

Y es el módulo de Young del material I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra

neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro adimensional  α<0.375, o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y·I·α/L2

 

Ejemplo:

Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2

El momento de inercia I vale

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir

Observamos en el programa interactivo que se encuentra en xf / L=0.98 e yf / L=0.16, es decir, a xf =29 cm, e yf =4.8 cm del extremo fijo.Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones.

En la aproximación de pequeñas flexiones xf ≈ L, no hay desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf  es proporcional a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir

Observamos en el programa interactivo que se encuentra en xf / L=0.79 e yf / L=0.56, es decir, a xf =24 cm, e yf =17 cm del extremo fijo.

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones.

En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf ya no es proporcional al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

TEMPERATURA DE LOS MATERIALES

Es otra forma de aplicar las ecuaciones diferenciales en la rama de la ingeniería civil, aunque también es utilizada en otras ramas de la ingeniería.

“Ley de Enfriamiento de Newton” establece que un cuerpo que se está enfriando la tasa de cambio de temperatura T (t) con respecto al tiempo (t) es proporcional a la diferencia

entre la temperatura del cuerpo T (t) y la temperatura T A del medio que lo rodea es decir:

dTdt

=k (T−T A) (Donde k es una constante de proporcionalidad).

Si se integra esta ecuación con la condición que la temperatura ambiente es constante

∫T 0

TdT

T−T A

=k∫0

t

dt

Obtenemos la relación lineal siguiente:

ln (T−T A)=kt+C

Despejamos T :

T=T A+c ekt

Ejemplo: (Usando Ecuación diferencial de primer orden).

Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 100° F se pone en un cuarto a una temperatura constate de 0° F . Después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50° F.

1. ¿Cuánto tiempo tardara la barra para llegar a una temperatura de 25° F?2. ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?

dTdt

=k (T−T A)

Como previamente se dijo que la T A=0 , la ecuación diferencial queda de la siguiente manera:

dTdt

=kt

La solución general: T (t )=cekt

Sustituimos T (O )=100° F para hallar el valor de c 100=cek (0 )→100=c

Quedando T (t )=100ekt.

Cuando T (20 )=50 ° F obtenemos lo siguiente.

100 ek (20)=50 e20 k=1

2

k=−0.0347

Al tener el valor del cambio a razón constante la ecuación diferencial es:

T (t )=100e−0.0347 t

1. El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de 25 ° F :

25=100 e−0.0347tt=ln (0.25)−0.0346

=40

La barra tardara 40 minutos en alcanzar una temperatura de 25 ° F .

2. La temperatura de barra después de 10 minutos es :

T (10 )=100 e−0.0347 ( 10)T (10 )=70.68

La temperatura de la barra después de 10 minutos en el cuarto es aproximadamente de 71 ° F.

Conclusión

Todos los procesos físicos (al menos en escala macroscópica) se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Es decir, todas las leyes físicas dicen qué pasa "aquí" y "ahora" en base a lo que sucedió "hace un instante". Si se dan las condiciones adecuadas, esa ecuación diferencial se puede integrar y podemos dar una ley integral válida para un tiempo largo y un espacio grande, pero originalmente, siempre se parte de una ecuación diferencial.

Por esto y muchas más razones es importante tener buenos conocimientos acerca de las ecuaciones diferenciales, como trabajarlas y hayas sus soluciones ya que, en todas las ingenierías, hacemos uso de estas.

Bibliografía

Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecánica de Materiales (Sexta edición ed.). México: McGraw-Hill Education

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga/viga.htm

ANEXOS

Una viga en deflexion se muestra en la figura

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON