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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFacultad de
MatematicasDepartamento de MatematicasMAT1620-1 Calculo II
Ayudanta 7Series de potencias y aproximacionesAyudante:
Sebastian Castro Hernandez ([email protected])
Profesora: Mara Angelica Astaburuaga ([email protected])
Problema 1. Determine el radio e intervalo de convergencia de
las siguientes series de potencias:
(a)
n=1
(1)n+1(x 2)n
(n+ 1)ln (n+ 1)
(b)
n=0
(1)nen sinx(c)
n=1
n
k=1
1
2kxn
n
Respuesta: (a) x (1, 3] (b) x (2k, (2k+ 1))k Z (c) x [1, 1)
Problema 2. Considere la serie de potencias, para x en el
intervalo de convergencia:
f(x) =
n=1
n8nx3n
(a) Determine el radio y el intervalo de convergencia de la
serie.
(b) Determine el intervalo de convergencia de la derivada de
f(x).
(c) Determine el intervalo de convergencia deF(x) =x
0 f(s)ds.
(d) Expresarf(x) en terminos de funciones conocidas.
Respuesta:I : x (2, 2) ; f(x) = 8x3
(8x3)2
Problema 3. Calcule las siguientes sumas:
(a)
n=1
x2n1
2n 1
(b)
n=1
2n 1
2n
(c)
n=1
(1)n n
(n+ 1)2n1
Respuesta: (a) atanh(x) (b) 3 (c) 4( 13 ln32)
Problema 4. Desarrolle 1x2+3x+2 como serie de potencias en torno
a 4 y determine su intervalo de
convergencia.Respuesta:
n=0( 12n+1
13n+1 )(x+ 4)
n con x (6,2).
Problema 5. Demuestre los siguientes enunciados:
(a) El error de una serie positiva decreciente esta acotado
por
n+1f(x)dx Rn
n f(x)dx.
(b) El error de una serie alternante que satisface el criterio
de Leibniz esta acotado por Rn |an+1|.
Problema 6. Calcule10
sin tt dt con 4 decimales de precision.
Respuesta: I 1 133! + 155!
177!
