8/18/2019 calculo 3 Taller 2

1/4

C´alculo en Varias Variables - Taller 2G. Padilla. http://gabrielpadillaleon.wordpress.com

Oc. 315-404 Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias.

Universidad Nacional de Colombia. gipadillal@unal.edu.co

Las preguntas de los parciales se basan tanto en los ejercicios de los talleres como en labibliograf́ıa recomendada para el curso.

(1) Graca las siguientes curvas en R2:

(a) x2

−x + y2

+ 2 y = 5.(b) x

2

−y2

= 1.(c) x

2

−3x + 2y = 0.(d) y = 2x + 3.(2) * Dado cualquier polinomio p(x, y ) = Ax

2

+ By2

+ Cxy + Dx + Ey + F ; muestra quela gráca de los puntos (x, y )∈

R2

tales que p(x, y ) = 0 es alguna de las anteriores.Ayuda: Haz el cambio de variables (s, t ) = ( a 11 x + a 12 y + b1 , a 21 x + a 22 y + b2 ). Hallauna matriz ortogonal A ∈ M 2 × 2 (R ) y un b ∈ R

2tales que el término st se anula

en p(s, t ).(3) Graca cada una de las siguientes regiones en el plano R

2.

(a) 2x + 3y < 0 y 5x −y > 2.(b) x

2+ y

2

≤4.(c) Los puntos de la forma ( t −(1 −t)2, 3t + (1 −t)5) tales que 0 ≤ t ≤1.(d) Los puntos de la forma ( r + 2 t −s, −3r −t + 2 s, 2r + s) tales que 0 ≤ r,s,ty

r +

s +

t = 1.(e) 36 ≤x

2+ 10 x + y

2

−6y ≤144.(4) Graca cada una de las siguientes supercies en R

3.

(a) x + y + z = 0.(b) x

2+ y −z = 0.

(c) x2

+ y2

+ z 2

−1 = 0.(d) x

2+ y

2

−z 2

= 0.(e) x

2+ y

2

−z = 0.(f) y

2+ z

2= 4.

(g) x2

−z 2

= 1.(h) x

2

−y

2= z

2+ 1.

(i) x2

−y2

−z = 0.(j) Los puntos de la forma f (3 cos(s)cos(t ) −1, 2sen(s)cos(t) + 4 , 5sen(t)) talesque s, t ∈[0, 2π ].(k) f (x, y ) = sen( x + y) en x

2+ y

2

≤9.(l) f (x, y ) = e

− x2

− y2

.

(m) f (x + y) = x2

+ y2

3 / 2

.

(5) Graca las siguientes regiones en R3:

(a) 3x −y + 2 z > 3 y 2x −y −z < 0.(b) x2 + y−

z = 0 y x + y

≥1.

1

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2 CVV Taller2

(c) x2

+ y2

+ z 2

≤4 y xy > 0.(d) x

2+ y

2

−z = 0 y x + y + z > 1.

(e) y2 + z 2 < 9 y x −y + z < 0.(f) La región convexa que contiene a los puntos (1 , 2, 0); (0, 1, −1); (1, 0, 0) y(0, 0, 0).(6) Verica que las siguientes regiones son convexas:

(a) El disco unitario x2

+ y2

≤1.(b) La región encerrada por la par ábola x

2> y .

(c) El interior de la elipse (x −1)2

+ y2

+ ( z + 3)2

< 5.(7) * Dado un subconjunto A ⊂ R

2y un punto p = ( x 0 , y0 ) muestra que d( p, A) = 0

si y sólo si se puede fabricar una sucesión de puntos {q 0, q

1, . . . } ⊂ A tales queLim

n→∞

d( p, x n ) = 0.

(8) Muestra que A ⊂ R2

es una región abierta si y s ólo si se puede escribir como launión de algunas bolas abiertas A = ∪i B ( pi , δ i ).

(9) ¿Cu áles de las regiones dadas en los problemas (3) y (5) son abiertas? ¿Cu álesson convexas?

(10) Calcula en cada caso la derivada direccional D (f, v )( p) por su denición conĺımites, y verica que D (f, v )( p) = v|v | ·∇f ( p).(a) f (x, y ) = x + y, v = (1 , 1), p = (0 , 0).(b) f (x, y ) = x

2

−y2, v = (−1, 1), p = (0 , 1).(c) f (x,y,z ) = xy −xz + 2, v = (2 , 0, −1), p = (1 , 1, 0).

(11) Calcula la derivada direccional D (f, v )( p) en cada caso.(a) f (x, y ) = x

2+ y

2+ 1, v = (−1, 3), p = (0 , 0).

(b) f (x, y ) = x3

−y2

+ 2 xy , v = (1 , 1), p = (0 , −3).(c) f (x, y ) = 3 −x 2 −y2 , v = (1 , −1), p = (0 , 1).(d) f (x, y ) = tan( xy ), v = (0 , 2), p = ( 12 , 0).(e) f (x,y,z ) = cos( x + y)e

− xz , v = (0 , 2, 1), p = (0 , 0, 0).(f) f (x,y,z ) = 4xz

3

−3x2y

2z , v = (2 , −3, 6), p = (2 , −1, 2).

(g) f (x,y,z ) = e3 x − y +2 z , v = (1 , −3, −1), p = (0 , 0, −2).

(h) f (x,y,z ) = x2y −x

3z + y −1, v = (−2, 1, 1), p = (0 , −1, 0).

(12) Dada una funci ón R n f

R derivable en un punto p = ( x 1 , . . . , xn); muestra

que el gradiente ∇f ( p) = ∂f ∂x 1

( p), · · · , ∂f ∂x n ( p) determina la direcci ón de máximocrecimiento de f .

(13) Verica las siguientes propiedades de los operadores de diferenciaci´on para cua-lesquiera campos escalares f, g , derivables y cualesquiera campos vectoriales u, vderivables.(a) ∇(f + g) = ∇f + ∇g.(b) ∇(f ·g) = (∇f ) ·g + f ·(∇g).(c) div(u + v) = div( u) + div( v).(d) div( f ·u) = (∇f ) ·u + f ·div(u)(e) rot( u + v) = rot( u) + rot( v).

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CVV Taller2 3

(f) rot( f ·u) = (∇f ) ×u + f ·rot( u).(g) div(u×

v) = b

·rot( u)

−u

·rot( v).

(h) div(∇f ) = ∇2 f = ∂

2f

∂x 2 + ∂

2f

∂y 2 + ∂

2f

∂z 2 .

(i) rot(∇f ) = 0 si f posee segundas derivadas continuas.(j) div(rot( u)) = 0.(14) Sea r (x,y,z ) = x 2 + y2 + z 2 la función que a cada punto en R

3le asigna la

distancia al origen.(a) Muestra que ∇ r

n = nr n− 2

, para n ≥2 entero.(b) Muestra que |∇f (r )| = r |f (r )| para cualquier funci ón derivable f .(c) Halla f (r ) tal que ∇f (x,y,z ) = 1r ·(x,y,z ).(d) Calcula ∇g(x,y,z ) para g(r ) = r

2e

− r .(15) Calcula

|∇f (x,y,z )

| para f (x,y,z ) = 2xz

4

−x

2y.

(16) Sea S la supercie de nivel en R 3 generada por la igualdad ϕ(x,y,z ) = c donde ϕes un campo escalar derivable y c es una constante cualquiera. Muestra que paracada punto p∈S el gradiente ∇ϕ( p) es perpendicular a S en p. Ayuda: Calcula∇ϕ( p) ·dp =?

(17) Sea S la supercie expĺıcita en R3

dada por f (x, y ) = z . Muestra que las siguientesarmaciones son equivalentes(a) ∇f (x, y ) = 0.(b) El plano tangente a S en (x,y, f (x, y )) es paralelo al plano xy .

(18) En cada caso, halla la ecuaci ón cartesiana del plano tangente y la ecuaci´on paramétricade la recta normal a S en el punto p

∈

S .

(a) S es dada por x + y + z = 0; p = (0 , 0, 0).(b) S es dada por x

2+ y −z = 0; p = (1 , 0, 1).

(c) S es dada por x2

+ y2

+ z 2

−1 = 0; p = (0 , 0, −1).(d) S es dada por xz

2+ x

2y = z −1 en p = (1 , −3, 2).

(e) S es dada por x2

+ y2

−z = 0; p = (1 , 1, 2).(f) S es dada por z = cos(x −y) en p = (1 , 1, 1).(g) S es dada por y = x 2 + z 2 −1 en p = (1 , 0, 0).(h) S es dada por (x −1)

2+ y

2+ ( z + 2)

2= 9 en p = (3 , 1, −4).

(i) S es dada por z = e− x

2− y

2

en p = (0 , 0, 1).(19) Busca los puntos cŕıticos de las supercies o funciones dadas en los problemas (4),

(10) y (11).(20) Halla un vector unitario y normal a la supercie x

2y −y

3+ xz

2

−4x = 8 en p = (−1, −1, −2).(21) Halla la dirección de máximo crecimiento de f (x,y,z ) = xy

2

−xz 2

+ y −1 en p = (2 , 1, −3).(22) Halla la dirección de mı́nimo crecimiento de la supercie z = 3xy

2

−y3

en p =(−2, 1).(23) Calcula la divergencia y el rotacional de los siguientes campos vectoriales:(a) u(x,y,z ) = ( a 11 x + a 12 y+ a 13 z + b1 , a 21 x + a 22 y+ a 23 z + b2 , a 31 x + a 32 y+ a 33 z + b1 ).(b) u(x,y,z ) = ( x,y,z ).

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4 CVV Taller2

(c) u(x,y,z ) = ( yz, −xz,xy ).(d) u(x,y,z ) = ( x

2z,

−2y

3z

2,xyz ).

(e) u(x,y,z ) = ∇f (x,y,z ) para f (x,y,z ) = 5x 2 y −xz 3 .

(f) u(x,y,z ) = x√ x 2 + y 2 + z 2 , y√ x 2 + y 2 + z 2 , z√ x 2 + y2 + z 2 .

(g) u(x,y,z ) = xz 3, −2xy

2z, 3y

2z .

(24) Si u(x,y,z ) = ( f 1 (x,y,z ), f 2 (x,y,z ), f 3 (x,y,z )) calcula rot(rot( u)) =?(25) Verica que si ∇

2f = 0 entonces ∇f es un campo irrotacional.(26) Si u, v son campos vectoriales y v no se anula nunca, calcula ∇ uv =?(27) Consigue la condición necesaria y suciente sobre las constantes a, b, c ∈ R para

que la supercie ax2

−byz = cx sea ortogonal a la supercie 4x2y −z

3= 4 en

p = (1 ,

−1, 2).

(28) * Demuestra que la condici ón necesaria y suciente para que tres funciones es-calares f (x,y,z ), g(x,y,z ) y h(x,y,z ) estén relacionados por una igualdad de laforma F (u,v,w ) = 0, para alguna F derivable; es que (∇f ) ×(∇g) ×(∇h) = 0.Expresa (∇f ) ·[∇g ×∇h] en forma de determinante.