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Calculo Diferencial
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CALCULO DIFERENCIAL
Dr. MsI. Alonso Álvarez Olivo
Derivada de una función.
Sea f una función Real definida en un intervalo abierto I. Se llama derivada de f y se indica con f ’, a otra función de finida como:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+=→
Otras Notaciones para la derivada son:
dx
xdf )(Df(x) ;
Interpretación Geométrica.
h
•La derivada de una función en un punto x representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto f(x).
•Si tenemos una función f en dependencia del tiempo, la derivada representa el cambio (variación) instantaneo de la función respecto al tiempo.
Por ejemplo si f representa el desplazamiento (espacio) de una particula en el tiempo t, f ’(t) representa el cambio instataneo del espacio (velocidad).
Si p(t) representa la población de una ciudad al tiempo t , entonces p’(t), representa el crecimiento poblacional.
Observaciones:
Diferenciación
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciadle en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
Teorema de derivadas y continuidad
0x
TEOREMA 1.- Si f es derivable en entonces f es continua en .Nota: No vale el viceversa de este Teorema.
0x0x
Puntos de derivabilidad y no derivabilidad
Derivadas de Orden superiorLa derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.Según la Notación de Lagrange
)(),...,('''),(''),(' )( xfxfxfxf n
Ejemplo (1)
Ejemplo (2)Calcular la pendiente en los puntos 4 y 5
Ejemplo (3)
Algebra de las derivadas
0)( ≠xg
)(')(')()'( xbyxafxbgaf ±=±
)()(')()(')()'*( xfxgxgxfxgf +=
,)]([
)()(')()(')('
2xg
xfxgxgxfx
g
f −=
)(')).((')(' xgxgfxh =
1)(')( −=→= rr rxxfxxf
Derivadas Notables
Derivada de la función inversa
( )xfyf
yfxxfy
'
1))'((
)()(
1
1
=
=→=
−
−Sea
Ejemplo:
( ) ( ) 21
1
)(cos
1
cos
1
'
1
yyarcsenxxsen −===
( ) 1,1
1')(
2<
−= x
xxarcsen
( )xsen
yarcsen
yarcsenxxseny
'
1))'((
)()(
=
=→=
Derivadas Hiperbólicas
Ejercicio especiales
[ ]( ){ }}2{1,0;)( ∈−= yyxInfxf
Hallar la derivada de f
RRf →:
Solución:
+∞∈∈−
∈∈
∞−∈−
=
[,2],,...1
[2,5.1],,...1
[5.1,1],,...1
[1,0],,...0
[0,],,...1
)´(
xsi
xsi
xsi
xsi
xsi
xf
La función f es derivable en
No es derivable en {0,1,1.5,2}
Aplicaciones: Geometría
Aplicaciones: Geometría
Aplicaciones: Máximos y MínimosSi un lado de un campo rectangular va a tener como limite natural un río, halle las dimensiones del terreno rectangular más grande que puede cercarse usando 240 metros de valla para los otros tres lados
Aplicaciones: Economía
Considérese una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente función de costos totales:
y con un precio de venta dado por el mercado de $ 20 por unidad.
Dada esta información conteste las siguientes preguntas:
•Para maximizar las utilidades cuantas unidades debe producir la empresa?.
•A cuanto asciende las utilidades
50101.0)( 2 ++= xxxCT
Ecuaciones Diferenciales.
Definición.-Llamamos ecuación diferencial, aquella ecuación cuya incógnita es una “función” de una o más variables, con la particularidad de que en dicha ecuación figura no sólo la propia función, sino también sus derivadas. Si la función incógnita tiene una sola variable se llama ecuación diferencial ordinaria, si tiene mas de dos variables se llama ecuación diferencial en derivadas parciales.
Ejemplos
.0
.015'
.01)(5)('
=−∂∂
=+−=+−
xy
u
yy
xfxf
02
2
2
2
=∂∂−
∂∂
x
uc
t
u
¿Por que utilizar ecuaciones diferenciales (modelar)?
Porque la “mayoría” de problemas que queremos modelar son cambiantes en el tiempo, por lo tanto se usa derivadas como un instrumento para medir variaciones instantaneas. Si depende sólo de una variable independiente, se usa Ec. Dif. Ordinarias, pero si depende de mas de una, se usa Ec. Dif. En Derivadas Parciales.
EjemploLa población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera de tiempo, con una rapidez proporcional al número de habitantes en dicho instante. Si su población inicial es de 500 habitantes y la constante de proporcionalidad k=0,014.
SOLUCION: Sea N la población al tiempo t, la ecuación diferencial que se puede deducir es:
=
=
=500
)014.0(
0tN
Ndt
dN
Ejemplo La propagación de una enfermedad contagiosa, puede ser descrita mediante una ecuación diferencial, cuya solución nos dirá el número de personas infectadas por la enfermedad en cada instante de tiempo. Supongamos que cada persona tiene la misma probabilidad de infectarse y que, una vez infectada, permanezca inmune. La posibilidad de contagio será mayor en cuanto sea mayor el número de personas infectadas, y además el número de personas que podrían infectarse es tanto mayor cuanto mayor es el número de individuos sanos. Determinar el número de enfermos en cualquir instante de tiempo.
Solución:Sea x(t) el número de individuos sanos al tiempo t, y(t) el número de infectados al tiempo t,
Donde k es una constante positiva que caracteriza al modelo y esta ligada con el grado de contagio de la enfermedad. La constante m, representa el número total de individuos de la población.
)()( txtkydt
dy =
))()(( tymtkydt
dy −=
Ejercicios
• Demostración de límites por la definición• Calculo de derivadas por la definición• Calculo de derivadas• Derivada de la función inversa• Aplicaciones de la derivada
• La empresa de TV cable tiene actualmente 2000 suscriptores que pagan una cuota mensual de $20. Una encuesta revelo que tendrian 50 nuevos suscriptores por cada $0.25 de disminucion en la cuota. Bajo que cuota se obtendra un ingreso maximo y cuantos suscriptores se tendra entonces?.
