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Calculo de limites (Formas Indeterminadas) En el calculo de
limites, (en algunos casos) se presentan las formas indeterminadas
de la forma:
0 , 0 , 0 , , 0 , 1 , 00,,0
0.La siguiente tabla presenta el tipo de limite, la forma
indeterminada, los diferentes casos, una explicacin de cmo se
puede tratar cada caso y un ejemplo.
Limite Forma indet.
Casos Ejemplo
g(x)
f(x) lim
0x x
0
0
1.1 Si f(x) y g(x) son expresiones tipo polinomio, se factorizan
y luego se elimina el factor comn . Ejemplo : calcular el
limite
2xx
6x5xlim
2
2
2x
Si se sustituye x = 2, se obtiene la
indeterminacin de la forma 0
0
)1x)(2x(
)3x)(2x(lim
2xx
6x5xlim
2x2
2
2x
=3
1
12
32
1x
3xlim
2x
1.2. Si f(x) 0 g(x) son expresiones con radicales se debe
multiplicar al numerador y denominador por el factor racionalizante
de f(x) o g(x). Ejemplo: Calcular el limite
1z
1zlim
3
1z
Si se sustituye z =1, se obtiene la
indeterminacin de la forma 0
0.
1z
1zlim
3
1z=
1zz
1zz
1z
1zlim
33 2
33 23
1z
=
)1zz)(1z(
1zlim
33 2
=
3
1
1zz
1lim
33 21z
1.3. Si f(x) o g(x) son expresiones con logaritmos se debe
aplicar antilogaritmos para trasformar la expresin. Se puede
utilizar los resultados:
i)k
1
0e)k1(lim
ii)kn
ne)
n
k1(lim
Ejemplo : u
)u1ln(lim
0u
Si se sustituye u =0, se obtiene la
indeterminacin de la forma 0
0.
Se aplica : )uln(M
)uln( M
1
u
1
0u0u)u1ln(lim
u
)u1ln(lim
= ])u1(limln[ u
1
0u
= )eln( = 1
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Limite Forma indet.
Casos Ejemplo
g(x)
f(x) lim
0x x
0
0
1.4. Si f(x) o g(x) son expresiones de tipo exponencial se debe
aplicar un buen cambio de variable para transformar la expresin en
otra que contenga solo expresiones con logaritmos. Ejemplo
p
1alim
p
0p
Si se sustituye p = 0, se obtiene la
indeterminacin de la forma 0
0.
Se puede aplicar el cambio de variable:
)z1ln(p
z1ap
01az 0
p
1alim
p
0p=
)z1ln(
zlim
0z
=
z
)z1ln(lim
1lim
0z
0z
=
))z1(limln(
1
z
1
0z
= 1)eln(
1
5. Si f(x) o g(x) son expresiones trigonometricas, se deben
aplicar identidades trigonometricas , para luego simplificar. Nota:
se puede utilizar el
resultado: u
)u(senlim
0u=1
Ejemplo: )xcos(1
)x(senlim
2
0x
Si se sustituye x = 0, se obtiene la
indeterminacin de la forma 0
0.
Se puede utilizar la identidad: Sen
2(x)=1-cos
2(x)=(1-cos(x))(1+ cos(x))
)xcos(1
)x(senlim
2
0x
= )xcos(1
))xcos(1))(xcos(1(lim
0x
= ))xcos(1(lim0x
= 1+cos(0) = 1+1 = 2
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Limite Forma indet. Casos Ejemplo
g(x)
f(x) lim
0x x
1.1 Si f(x) y g(x) son expresiones tipo polinomio, se divide
cada uno de los trminos del numerador y denominador entre la
variable elevada al mayor exponente . Se utiliza el resultado:
;0x
klim
nx si n > 0
Ejemplo : calcular el limite
2xx2
6x5x5lim
2
2
x
Si x , tanto el numerador tiende
a por lo que se obtiene la
indeterminacin de la forma
222
2
222
2
x2
2
x
x
2
x
x
x
x2
x
6
x
x5
x
x5
lim2xx2
6x5x5lim
=2
5
002
005
x
2
x
12
x
6
x
55
lim
2
2
2x
1.2. Si f(x) 0 g(x) son expresiones con radicales se procede
igual que en el caso anterior pero al dividir el radical entre la
variable elevado al mayor exponente, se introduce esta elevada al
ndice del radical. Ejemplo: Calcular el limite
1z5z3z5z
3z2zzzlim
24 8
23 6
z
Si z , tanto el numerador tiende a
por lo que se obtiene la
indeterminacin de la forma
En este caso el mayor exponente para la variable z es 2, ya que
:
24 823 6 zz;zz
1z5z3z5z
3z2zzzlim
24 8
23 6
z=
222
2
2
4 8
222
2
2
3 6
z
z
1
z
z5
z
z3
z
z5z
z
3
z
z2
z
z
z
zz
lim =
24
88
8
23
66
6
z
z
1
z
153
z
z5
z
z
z
3
z
121
z
z
z
z
lim =
24
7
23
5
z
z
1
z
53
z
51
z
3
z
21
z
11
lim =
00301
00101
4
3 =
2
1
4
2
31
11
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Limite Forma Indet.
Caso Ejemplo
0xlim f(x) - g(x)
x
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1.1 Si f(x) y g(x) son expresiones tipo fraccin, se procede a
restar la fracciones lo cual nos conduce al caso de la forma
indeterminada
)(x)g
(xg
(x)f
(x)f lim
2
1
2
1
0x x=
(x)(x)gf
(x)(x)gf-(x)(x)gf lim
22
1221
0x x
Ejemplo :
2 4x 0
1 1lim
x x
Como 2x 0
1lim
x= ,
4x 0
1lim
x=;
se obtiene la indeterminacin .
2 4x 0
1 1lim
x x
= 2
4x 0
x 1lim
x
Como 2
x 0lim 1 x = 0 1 = -1,
4
x 0lim x = 0
se obtiene que
2 4x 0
1 1lim
x x
= -
1.2. Si f(x) 0 g(x) son expresiones con radicales se multiplica
y divide por el factor racionalizante de la expresin Ejemplo:
Calcular el limite
x3)2x)(1x(limx
Si x , tanto el numerador tiende a
por lo que se obtiene la indeterminacin de la forma - En este
caso se multiplica y divide por el factor racionalizante :
x3)2x)(1x(
x3)2x)(1x(
x3)2x)(1x(x3)2x)(1x(lim
x=
x3)2x)(1x(
x9)2x)(1x(lim
2
x =
x3)2x)(1x(
x92x3xlim
22
x =
x3)2x)(1x(
2x3x8lim
2
x =
x
3)
x
2
x
1)(
x
1
x
1(
x
2
x
38
lim
4343
2
x = -
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Limite Forma indet.
Caso Ejemplo
0
g(x)
xlim f(x)
x
1
Si .
0x xLim f(x) = 1 ;
0x xLim g(x) =
Se utiliza el resultado:
0
g(x)lim f(x)
x x =
x x0
lim g(x)[f(x)-1]e Ejemplo : calcular el limite
2x 51
2limx
xx
Si x , la base tiende a 1; y el
exponente tiende a por lo que se obtiene
la indeterminacin de la forma : 1 .
2x 51
2limx
xx
=x
x-1lim (2x-5)[ -1]
x+2e
=x
x-1-x-2lim (2x-5)[ ]
x+2e
=x
-3lim (2x-5)[ ]
x+2e
= x
-6x+15lim
x+2e
=
x
15-6+
xlim2
1+xe
=
6 0
1 0e
= 6e
0
0
00
Estos casos sern tratados con el Teorema de L`Hopital, para
obtener su solucin (en caso de que exista).
