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CONTENIDO
TEMAS PAG.
1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
1.1. MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS
1.2. NOTACION SUMATORIA
1.3. SUMAS DE RIEMANN
1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA
1.6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1.7. FUNCION PRIMITIVA
1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
1.10. INTEGRALES IMPROPIAS
2. INTEGRAL INDEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION
2.1. DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA
2.2. PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS
2.3. CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
2.3.1. DIRECTAS
2.3.2. CON CAMBIO DE VARIABLE
2.3.3. TRIGONOMETRICAS
2.3.4. POR PARTES
2.3.5. POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
2.3.6. POR FRACCIONES PARCIALES
3. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL
3.1. AREAS
3.1.1. AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION
3.1.2. AREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES
3.2. LONGITUD DE CURVAS
3.3. CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION
3.4. CALCULO DE CENTROIDES
3.5. OTRAS APLICACIONES
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las fórmulas de otras figuras.
NOTACIÓN SUMATORIA
El sumatorio, la sumatoria o suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y se define
como :∑i=m
n
x i=¿xm+xm+1 xm+2+ .. .+xn¿
Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i", o bien "sumatoria de i, desde i = m a n, de x sub-i"La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que: m ≤n
Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:
∑i=1
5
i=1+2+3+4+5=15
También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido.
Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el "i-ésimo" sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:
x=∑i=1
n
x i
n
Algunas fórmulas de sumatoria
∑i=m
n
i=n (n+1 )−m(m−1)
2∑i=1
n
i2=n (n+1 )(2n+1)
6∑i=1
n
i=n (n+1 )
2
∑i=1
n
i3=( n(n+1)2 )
2
∑i=1
n1a=n
a∑i=1
n
a=na∑i=1
n
i4=n (n+1 ) (2n+1 )(3 n2+3n−1)
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Algunas fórmulas relacionadas
Se puede expresar el número e, con una sumatoria:
Para calcular el número armónico:
Para calcular un subfactorial:
Para calcular cualquier integral definida, pero éste, es un método aproximado:
Éste sumatorio puede expresarse como función cuadrática:
SUMAS DE RIEMANN
la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Calculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemman consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
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Definición
Consideremos lo siguiente:
Una función
Donde D es un subconjunto de los números reales
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
Crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como
Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.
DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.
S=∑i=1
n
f ( y i¿)(x i−x i−1)¿
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Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las de electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
TEOREMA DE EXISTENCIAS
Un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguage matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.
Una controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de teoremas de existencia puros, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta. El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico.
Una sucesión monótona acotada es convergente.
Este teorema establece que si {an} es una sucesión monótona acotada entonces existe un número L tal que limn→∞an=L , pero no indica como determinarlo. Por esta razón, el teorema se llama teorema de existencia. Muchos conceptos importantes en matemáticas estas basados sobre teorema de existencia. En particular, para muchas sucesiones el límite no puede determinarse mediante el uso directo de la definición o por medio de teorema de límites, sin embargo, el conocimiento de que tal límite existe es importante para los matemáticos.
Sea {an} una sucesión decreciente, y suponga que C es una cota inferior de esta sucesión, entonces {an} es convergente y limn→∞an≥C.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:
La integral del producto de un número real por una función es igual al producto de por la integral de dicha función:
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En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y
Si hacemos en la igualdad anterior se tiene que
como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que
para cualquier número real .
Dados tres números reales cualesquiera, se tiene que:
Si en el intervalo la función es mayor o igual que la función entonces
En particular, si , entonces
Analogamente, si , entonces
Si en el intervalo la función es mayor que la función entonces
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En particular, si , entonces
Analogamente, si , entonces
FUNCION PRIMITIVA
la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F = f.′
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
∫ f ó ∫ f ( x )dx
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Propiedades
Linealidad de la integral indefinidaLa primitiva es lineal, es decir:Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.La linealidad se puede expresar como sigue:
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La primitiva de una función impar es siempre par
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.
La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0
En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:
Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.
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La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica
Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color). En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.
Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:
El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).
Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.
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El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por
. Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Segundo teorema fundamental del cálculo
También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz.
Dada una función f continúa en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva
de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:
Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.
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CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
La integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.
La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b], se define por
∫a
b
f ( x )dx= lim∆x i → 0
∑i=1
n
f (ξ i)∆ x i
La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.
Teorema 1. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal
Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
F ( x )=∫a
x
f ( x )dx
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
F'(c) = f(c)
Una tal función F (x) se llama primitiva de f (x).
El teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este casoF es derivable en todos los puntos de [a, b] y F' = f. Si f es continua, f es la derivada de alguna función, a saber, la función
F ( x )=∫a
x
f ( x )dx
Teorema 2. Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal
Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a)
Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
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Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo.
INTEGRALES IMPROPIAS
Una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.
IntroducciónSi la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral
Puede interpretarse como:
Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que
Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por
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Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.
Límites infinitos de integración
Las integrales impropias más básicas son integrales como:
Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es
Carácter y valor de las Integrales Impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:
Primera especie
Son del tipo:
Para poder determinar su carácter realizamos la Si existe el
y es finito y en ese caso
Segunda especie
Son del tipo:
y que f(x) no esta definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):
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Si el existe y es finito y en este caso
Entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.
Tercera especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.
INTEGRAL INDEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION
DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA
No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada.
Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante.
En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función primitiva de ƒ(x), ya que:
[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)
El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:
∫f (x)dx
De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada.Ejemplos:
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Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)
1) Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas
2) Es consecuencia de que si F es primitiva de f Þ kF es primitiva de kf, pues (kF)’= kF’= kf
PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS
De las reglas de derivación del producto de una constante por una función, de una suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las siguientes propiedades de la integral indefinida:
1ª.- La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.
∫ c ⋅ f (x)dx=c ⋅∫ f (x)dx
2ª.- La integral de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones sumando.
∫(sen x± cos x)dx=∫ sen x dx±∫cos x dx=−cos x± sen x+C
3ª.- La integral de la derivada de una función es la función.
∫ f ' ( x ) dx= f ( X )+C
4ª.- Como consecuencia de las propiedades anteriores:La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de todas y cada una de las funciones sumandos.
CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral.
Para la resolución de integrales se utilizan diferentes artificios de cálculo, cuyo objeto es transformar la expresión a integrar en otra, u otras, de integración más sencilla. A dichos artificios se les denominan métodos de integración.
- Integración directa o inmediata.- Integración por cambio de variable.- Integración de funciones trigonométricas.- Integración por partes.-Integración por sustitución trigonométrica.-Integración por fracciones parciales.
Integración directa o inmediata
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Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación.
A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente:
Integración por cambio de variable
Un método útil en ocasiones es el de cambio de variable o sustitución. Este consiste, en líneas generales, en tomar una nueva variable, t, tal que x= g(t) sea una función continua y que admita función inversa: t = g-1(x)
Como de x = g(t) ⇒ dx = g'(t) · dt, sustituyendo en I = ƒ(x) dx
De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la nueva variable t.
Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable.
Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).
Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.
Ejemplo:
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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En el caso de funciones trigonométricas son precisas, en ocasiones, transformaciones trigonométricas, que las pasan a funciones cuya integración es ya conocida o son más simples.
Son útiles las sustituciones:
sen x = t cos x = t tg x = t tg x/2 = t
EJEMPLO:
Hacemos el cambio: sen x = t ⇒ cos x dx = dt
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INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones variables en un intervalo [a,b] (o en todo R).
Como d(u · v) = u · dv + v · du
de donde u · dv = d(u · v) - v · du
Integrando los dos miembros de la igualdad
La expresión obtenida, denominada fórmula de integración por partes, se utiliza para transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de integración cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos, más sencilla que la del primer miembro.
No existe normativa alguna que sirva para determinar qué integrales es conveniente resolver por partes, como tampoco para una vez adoptado este método fijar qué factor debe hacerse igual a u.
INTEGRALES POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas formulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo: Deduce la siguiente formula:
Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que:
observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos
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Recordemos que a lo también queda expresado como:
de donde
donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo:
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al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:
hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de observación y comparación de las propiedades trigonométricas:
A menudo es posible hallar la anti derivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:
Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:
EXPRESION EN EL INTEGRADO SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
√a2−u2 x=a sin θ
√a2+u2 x=a tan θ
√u2−a2 x=a sec θ
INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo
En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:
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¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos. A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se
puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad
o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
A + B = 0
2A - 2B = 1 , las soluciones son :
Quedando de esta manera:
con lo cual
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO:
Calculemos la siguiente integral
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Pero: Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción
racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.
Ejemplo:
Calcular:
Con lo que se obtiene
de donde
luego los valores a encontrar son.
A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0
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CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son
A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL
la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.
Las integrales son basicamente, una suma de infinitos sumandos, los cuales son infinitamente pequeños.
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Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos como ejemplo el de una alberca, el cual si es rectangular no hay mas problema que el de calcular su área a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener, el área de la superficie, y la longitud de su borde; pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularían áreas bajo curvas.
Otras aplicaciones prácticas se encuentran en áreas como:
-Economía: Coeficientes de desigualdad para la distribución del ingreso en una población; maximización de la utilidad con respecto al tiempo; superávit del consumidor y del productor;
-Pedagogía: Curvas de aprendizaje
-Finanzas: Valor presente de un ingreso continuo
-Física y Mecánica: Área de una región en el plano; área de una región comprendida entre dos curvas; volúmenes de sólidos; calculo del trabajo y esfuerzo
AREAS
Área bajo la curva
Sea una función continua tal que f(x)≥0 en [a,b], el área bajo la curva es:
Si en el intervalo [c,d], f(x)≤0, el área entre el eje x y la curva será :
Área entre curvas
Sea el intervalo [a,b] para el cual f(x) y g(x) son continuas y f(x)≥g(x), sea K la región limitada por las rectas x = a, x = b, f(x) y g(x). Luego el área de K es:
Volúmenes de sección conocida
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Comúnmente a esta integración se le denomina “método de las rebanadas”.
Sólidos de Revolución
Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición.
Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):
El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva de f(x) en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:
El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el área del círculo se obtiene la expresión previa.
Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el método de los discos y se le denomina método de las arandelas , en este caso si f(x)≥g(x) en [a,b] limitan la superficie, se tiene:
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Volumen de un sólido de revolución (método de lo tubos o casquillos cilíndricos):
El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del eje y, limitado por las rectas
x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x), tiene un volumen:
En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de superficie 2πxf(x) y espesor dx.
Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
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Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
Área de una superficie de revolución
Partiendo de la longitud del arco y el método de tubos de altura diferencial dL se tiene:
Si la función f(x)≥0 es suave en [a,b], el área de la superficie generada al girar la curva de f(x) alrededor del eje x es:
Si la función g(y)≥0 es suave en [c,d], el área de la superficie generada al girar la curva de g(y) alrededor del eje y es:
Centro de masa de figuras planas
Cuando una placa sólida es de espesor constante y homogénea, su masa es directamente proporcional a su área, en donde la proporcionalidad depende del espesor de la placa y la densidad del material.
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Las coordenadas del centro de masa de una placa plana delimitada por la superficie A, se definen como:
En donde la A bajo las integrales implica que éstas se realizan para toda la superficie, ym y xm
corresponde con el punto medio del elemento dA.
Cuando A está delimitada por f(x) y g(x), y f(x)>g(x) en [a,b]:
y
AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION
Sea una función continua en el intervalo , tal que toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( ).
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:
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Este area es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:
Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).
Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).
Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud . Los limites de estos intervalos mas pequeños son:
donde .
Para contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud .
Haciendo esto para , terminamos con rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular.
En general, cuanto mayor sea mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a
.
Así, cuando :
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uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo :
Llamemos a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:
Es decir, tiende a cuando el número de rectangulos, , tiende a infinito.
En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en el intervalo . ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y
, la grafica de la función y el eje X?
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Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso seria aplicable al caso , pero ahora:
y el area sobre la grafica de la función es
siendo la integral definida NO positiva porque
AREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES
Supongamos que nos dan dos funciones f(x) y g(x) y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función h ( x )≔ f ( x )−g ( x ) y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función h y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación: h(x)=0
Para obtener n soluciones x1 , x2 ,…, xn con x1< x2<…<xn
A continuación, buscamos una primitiva H(x) de h(x).
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:
Área = |H ( x1 )−H (x2)|+|H ( x2 )−H (x3)|+…+|H ( xn−1 )−H (xn)| donde |H ( x i−1 )−H (x i)| es el área
comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones x=x i−1 , x=x i , la grafica de la function f y la grafica de la function g.
Ejemplo
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Calculemos el área comprendida entre las graficas de f ( x )=x3 y g ( x )=x .
El área que nos piden coincide con el área comprendida entre la función h ( x )≔ f ( x )−g ( x )=x3−x y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función h y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación: h ( x )=x3−x=0
para obtener 3 soluciones x1=−1 , x2=0 , x3=1.
Integramos h para obtener una primitiva H de h:
H ( x )= x 4
4− x2
2
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
Area=|H ( x1)−H ( x2)|+|H ( x2 )−H ( x3 )|=|H (−1 )−H (0)|+|H (0 )−H (1)|=|(−1)4
4−
(−1)2
2−( 04
4−02
2 )|+|04
4−02
2−( 14
4−12
2 )|=12
LONGITUD DE CURVAS
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Métodos modernos
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como
e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto
se calcula mediante:
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Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están
relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
Deducción de la fórmula para funciones de una variable
Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco
elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:
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Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente
incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;
CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = wR2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.
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Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es π R2 w, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
METODO DE LA ARANDELA.
Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:
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Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo.
Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función f y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:
Área de la arandela:
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A=π R2−π r2
En la figura anterior, tenemos:
R=f (x ) y r=g (x)
Entonces,
A ( x )=π ( f (x ))2−π (g ( x ))2
Factorizando π , nos queda
A=π (f ( x )¿¿2−g ( x )2)¿
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Ahora podemos establecer la siguiente definición:El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x( o algún eje paralelo a él) viene dado por:
V=∫a
b
π ( f ( x )¿¿2−g ( x )2)dx¿
Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a el) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que
V=∫c
d
π ( f ( y )¿¿2−g ( y )2)dx ¿
es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con c ≤ y ≤ d
METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS.Ahora vamos a exponer el último método, quizás el mas potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas).Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura:
Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x=a y x=b, y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber r1=f ( y ) y r2=f ( y ) . ¡Esto era a lo que queríamos llegar! Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el método de Arandelas ni mucho menos el método del Disco. Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento pero PARALELO al eje de rotación (eje y), como se muestra en la siguiente figura:
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CALCULO DE CENTROIDES
El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de garvedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especificos.
VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:
X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv
" dv " dv " dv
AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de coordenadas a saber.
X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA
" dvA " dA " dA
LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:
X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL
" dL " dL " dL
NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no esta necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de la forma estaraa lo largo del eje.
DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS AREAS
El momento de inercia de una area se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distibuida que varia linealmentedesde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presion debida a un liquido sobre la superficie de una placa sumergida.
MOMENTO DE INERCIA
Consideremos el area A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del area plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el area total los momentos de inercia se determina por integración es decir,
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Tambien podemos formular el segundo momento del area diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el area total, el momento polar de inercia es:
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Si se conoce el momento de inercia de una area alrededor de un eje que pasa por su centroide, conviene determinar el moimento d inercia del area en torno al eje correspondiente paralelo usando el teorema de los eje paralelos. Para deducir este teorema, consideramos la determinación del momento de inercia de la region sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un elemento doferencial dA del area se localiza a una distancia arbitraria y a partir del eje centroidal x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se define como dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y' + dy)2 entonces para la totalidad del area:
Ix ="A (y' + dy)2 dA
Iy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA
La primera integral representada el momento de inercia del area en torno al eje centroidal, Ix. La segunda integral es cero, ya que el eje x' pasa a traves del centroide del area C; es decir, " y' dA = y " dA = 0, puesto que y = 0. Si comprendemos que la tercera integral representa la totalidad del area A, el resultado final es, por lo tanto,
Una expresión semejante puede escribirse para Iy, es decir:
Y finalmente, para l momento polar de inercia en torno a un eje perpendicular al plano x - y y que pasa atraves del polo O (eje z) tenemos:
La forma de cada una de estas ecuaciones establece que el momento de inercia de una area alrededor de un eje es igual al momento de inercia del area en torno a un eje paralelo que pasa a traves del centroide mas el producto del area y el cuadrado de la distancia perperndicular entre los ejes.
RADIO DE GIRO DE UNA AREA
El radio de giro de una area plana se usa a menudo para el diseño de columnas en mecanica estructural. Siempre que se conozcan el area y los momentos de inercia, los radios de giro se determinaran a partir de las formulas.
Note que la forma de estas ecuaciones se recuerda fácilmente ya que es semejante a las que se utilizan para el momento de inercia de una area diferencial alrededor de un eje.
CONCEPTO DE CENTROIDE: PROPIEDADES
Consideremos un cuerpo de volumen V y un sistema de coordenadas (X,Y,Z)con origen en O, en el cual llamamos:dV: Elemento pequeño de volumen(x,y,z): Coordenadas cartesianas de este elemento de volumen
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CENTROIDE DE SUPERFICIES PLANASSi la superficie es plana, los ejes (X,Y) se eligen en el plano de la figura. Por tanto, como el centroide está en el plano XY, solo hacen falta dos coordenadas ( x , y )
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PROPIEDADES DEL CENTROIDE
El centroide de un cuerpo es un concepto totalmente geométrico. Su posición solo depende de la geometría del cuerpo, y no de sus propiedades físicas (densidad, homogeneidad, peso específico, etc...).El centroide (C) de un cuerpo solo coincide con su centro de gravedad (G) si el cuerpo tiene peso específico constante (γ =cte).Peso específico=Peso/Volumen (N/m3)Si el cuerpo tiene un eje de simetría, su centroide está situado sobre él.
EJEMPLO DE CÁLCULO: CENTROIDE DE UN RECTÁNGULO
A=bh
dA=bdy
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CENTROIDE DE FIGURAS COMPUESTAS
Supongamos una superficie de área A, formada por N superficies de áreas Ai(i=1… N ), cuyos
centroides on conocidos y se encuentran en las coordenadas ( x i , y i ) . El centroide de la superficie
completa puede calcularse mediante las expresiones:
EJEMPLO DE CÁLCULO: CENTROIDE DE UNA SUPERFICIE COMPUESTA
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OTRAS APLICACIONES
Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.
Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.
Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es
Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x
Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando
|||| ! 0 (n ! "), tenemos
n
lim " [f(xi) - g(xi)] x
n ! " i=1
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
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n
A = lim " [f(xi) - g(xi)] x = [f(x) - g(x)] dx
n ! " i=1
Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.
Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es
A = [f(x) - g(x)] x
= [(x2+ 2) - (-x)] x
A = [f(x) - g(x)] dx
= [(x2 + 2) - (-x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10
= 1/3 + ½ + 2 =
Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.
Aplicación
El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:
f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76; -10 " t " 9
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Donde se mide f(t) en miles de millones de barriles y en t en años, correspondiendo t = 0 al primero de enero de 1970. Debido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los años setenta, el modelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a seguir esta otra forma:
g(t) = -0,00831t2 + 0,152t + 2,81; 9 " t " 16
Como muestra la siguiente figura. Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo.
Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en el intervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente:
f(t) g(t)
[(0,000433t2 + 0,0962t + 2,76) - ( -0,00831t2 + 0,152t + 2,81)] dt
= (0,008743t2 - 0,0558t - 0,05) dt
=[(0,008743t3/3 )-(0,0558t2/2)-0,05t
" 4,58 miles de millones de barriles
Por tanto, se ahorraron 4,58 miles de millones de barriles de gasolina, que a razón de 42 galones por barril supuso un ahorro de 0,2 billones de galones.
II PARTE VOLUMEN MÉTODO DE DISCOS
Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es
Volumen del disco = R2w
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Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es
V = R2 x
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos
n n
Volumen del sólido " " [R(xi)]2 x = "[R(xi)]2 x
i=1 i=1
Tomando el límite |||| ! 0 (n! "), tenemos n
Volumen de un sólido = lim " [R(xi)]2 x = [R(x)]2 dx
n =" i=1
Esquemáticamente, representamos el método de discos:
Fórmula vista Elemento Nueva fórmula
En precálculo Representativo de integración
Ejemplo 2.1
Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de f(x) =y el eje x(0 " x " ) alrededor del eje x.
Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por:
R(x) = f(x) =
Y se sigue que su volumen es:
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V= [R(x)]2 dx
=dx
= dx
= - cos x= (1+1) =2
III PARTE MÉTODOS DE CAPAS
Mostrar en un gráfico al área cuestión, una franja representativa paralela al eje de revolución y el rectángulo aproximante.
Escribir el volumen (=circunferencia media x la altura x espesor) de la capa cilíndrica engendrada al girar el rectángulo aproximante en torno al eje de revolución, y sumar para n rectángulos.
Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
Si el eje de revolución es el eje y, y el área plana, en el primer cuadrante, está acotada abajo por el eje x , arriba por y = f(x), a la izquierda por x= a y a la derecha por x = b, entonces el volumen V viene dado por:
V = 2
dx = 2 dx
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Análogamente, si el eje de rotación es el ejes x y el área plana, en el primer cuadrante, está limitada a la izquierda por el eje y, a la derecha por x = f(y), superiormente por y = d , e inferiormente por y = c, entonces el volumen V viene dado por:
V = 2
dy = 2dy
Ejemplo 3.1
Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola
y2= 8x y su latus rectum (x = 2) en torno al latus rectum
Solución: Dividimos el área plana horizontalmente. Cuando el rectángulo aproximante se hace girar en torno al latus rectum, se genera un disco de radio 2 - x, altura y, y volumen (2 - x)2y. El volumen requerido es:
IV PARTE TRABAJO
Fuerza Constante
El trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de una distancia s sobre una línea recta es de Fs unidades.
Fuerza Variable
Consideremos una fuerza que varía continuamente y actúa a lo largo de una línea recta. Sea x la distancia dirigida del punto de aplicación de la fuerza a un punto fijado de ka recta y sea la fuerza dada como una cierta función F(x) de x. Para hallar el trabajo realizado al moverse el punto de aplicación desde x = a hasta x = b.
O a xk b
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kx
1. Dividir el intervalo a " x " b en n subintervalos de longitudes kx y sea x cualquier punto del k-ésimo subintervalo.
2. Supongamos que durante el desplazamiento sobre el k-ésimo subintervalo la fuerza es constante e igual a F(xk). El trabajo realizado en ese desplazamiento es entonces F(xk) kx y el
trabajo total realizado viene dado por F(xk) kx =
Hacemos crecer el número de subintervalos indefinidamente de manera tal que cada kx ! 0 y aplicamos el teorema fundamental para llegar a:
Ejemplo 4.1
Un cable que pesa 3 libras/pie se está desenrollando de un tambor cilíndrico. Si hay 50 pies desenrollados, calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad para desenrollar otros 250 pies.
Sea x = longitud de cable desenrollada. Entonces F(x) = 3x y
W = dx = 131 250 pies-libras
V PARTE PRESIÓN DE UN FLUIDO Y FUERZA DE UN FLUIDO
La presión se define como la fuerza por unidad de área:
La presión P sobre una superficie horizontal de área A debida a una columna de fluido de altura h que descansa sobre ella es P = wh, donde
w = peso del fluido por unidad de volumen. La fuerza sobre esa superficie es F = presión x área de la superficie = whA.
En cualquier punto en el interior de un fluid, este ejerce la misma presión en todas las direcciones.
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FUERZA SOBRE UN ÁREA SUMERGIDA
La siguiente figura muestra un área plana sumergida verticalmente en un líquido de peso w libras por unidad de volumen. Tomemos el área en el plano xy, con el eje x en la superficie del líquido y el eje y positivo dirigido hacia abajo. Dividimos el área en franjas(siempre paralelas a la superficie del líquido) y aproximamos cada una con un
rectángulo.
Denotemos por h la profundidad del lado superior del rectángulo representativo de la figura. La fuerza ejercida sobre este rectángulo de anchura ky y longitud xk = g(yk) es wYkg(yk) ky, donde Yk es algún valor de y entre h y h + ky. La fuerza total sobre el área plana es, por :
Por lo tanto, la fuerza ejercida sobre un área plana sumergida verticalmente en un líquido es igual al producto del peso de una unidad de volumen del líquido por el área sumergida y por la profundidad del centroide del área que está bajo la superficie del líquido. Debe usarse esto, más bien que una fórmula, como a principio a la hora de establecer tales integrales.
Ejemplo 5.1
Hallar la fuerza sobre una cara del rectángulo sumergido en agua como indica el gráfico. El agua pesa 62.5 libras/pies2.
Superficie del agua
2'
8'
El área sumergida es de 16 pies2 y su centroide está 1 pie bajo el agua. Por tanto,
F = peso específico x área x profundidad del centroide
= 62.5 libras/pies2 x 16 pies2 x 1 pies = 100 pies
PARTE VI MOMENTOS , CENTROIDES Y CENTRO DE MASA
Momentos de inercia de áreas planas y sólidos de revolución
El momento de inercia IL de un área plana A con respecto a una recta L en su plano se puede hallar como sigue:
Dibujar el área, mostrando una franja representativa paralela a la recta y el rectángulo aproximante.
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Hacer el producto del área del rectángulo por el cuadrado de la distancia de su centroide a la recta y sumar para todos los rectángulos.
Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
El momento de inercia de un sólido de volumen V generado al girar un área plana en torno a una recta L en su plano, con respecto a la recta L, se puede calcular así:
Dibujar una franja representativa paralela al eje x y mostrar el rectángulo aproximante.
Hacer el producto del volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje (una capa) por el cuadrado de la distancia del centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
RADIO DE GIRO
El número positivo R definido por la relación IL = AR2 en el caso de un área plana A, y por IL = VR2 en el caso de un sólido de revolución, se llama radio de giro del área o volumen con respecto a L.
Ejemplo 6.1
Hallar el momento de inercia de un área rectangular A de dimensiones a y b con respecto a uno de sus lados.
Tomamos el rectángulo como en la siguiente gráfico, con el lado en cuestión sobre el eje y.
y
O x x
El rectángulo aproximante tiene área = b x y centroide (x,½b). Por tanto, su elemento de momento es x2b x.
Iy=
Así pues, el momento de inercia de un área rectangular con respecto a un lados es un tercio del producto del área por el cuadrado de la longitud del otro lado.
Centroides de áreas planas y sólidos de revolución
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La masa de un cuerpo físico es una medida de la cantidad de materia en él, mientras que su volumen mide el espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo él, se dice que el cuerpo es homogéneo o de densidad constante.
Es muy conveniente en la Física y Mecánica considerar la masa de un cuerpo como concentrada en un punto, llamado su centro de masa ( o centro de gravedad). Para un cuerpo homogéneo, ese punto coincide con su centro geométrico o centroide. Por ejemplo, el centro de masa de una bola homogénea coincide con el centroide(su centro) de la bola como sólido geométrico (una esfera).
El centroide de una hoja rectangular de papel está a medio camino entre sus dos superficies y en la intersección de sus diagonales. EL centro de masa de una lámina muy delgada coincide con su centroide considerada como área plana.
El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área por la distancia dirigida de su centroide a esa recta. El momento de un área compuesta con respecto a una recta es la suma de los momentos de las áreas individuales.
El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas se calcula de la siguiente manera:
Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante,
Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
Para un área plana A con centroide () y momentos Mz y My con respecto a los ejes x e y,
A
= My y A= Mx
El (primer) momento de un sólido de volumen V, generado al girar un área plana en torno a un eje de coordenadas, con respecto al plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje, puede calcularse como sigue:
Dibujar el área mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante.
Multiplicar el volumen, disco o capa generado al girar el rectángulo en torno al eje por la distancia del centroide del rectángulo al plano y sumar para todos los rectángulos.
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Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
Cuando el área se gira en torno al eje x, el centroide () está en el eje x. Si My z denota el momento del sólido con respecto al plano por el origen y es perpendicular al eje x, entonces:
V= My z y = 0
Análogamente, cuando el área se hace girar en torno al eje y, el centroide () está en el eje y. Si Mx z es el momento del sólido con respecto al plano por el origen perpendicular al eje y, entonces:
V = Mx z y = 0
Ejemplo 6.2
Hallar el volumen del toro generado al girar el círculo x2 + y2=4 en torno a la recta x=3.
X=3
Centroides y momentos de inercia de arcos y superficies de revolución
o Centroide de un arco
Las coordenadas () del centroide de un arco AB de una curva plana de ecuación F(x,y) = 0 o' x = f(u), y = g(u) satisfacen las relaciones :
Momentos de inercia de un arco
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de un arco AB de una curva (un fragmento de hilo fino homogéneo, por ejemplo) vienen dados por:
Ix =
y2 ds e Iy =x2 ds
Centroides de una superficie de revolución
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La coordenada del centroide de una superficie de revolución generada al girar un arco AB de una curva en torno al eje x satisface la relación:
Sx = 2xy ds
Momentos de inercia de una superficie de revolución
El momento de inercia con respecto al eje de rotación de la superficie generada al girar el arco AB de una curva en torno al eje x viene dado por:
Ix = 2
y2(y ds) = 2y3 ds
Ejemplo 6.3
Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar el rectángulo de dimensiones a, b en torno a un eje que está a c unidades del centroide (c> ,b).
El perímetro del rectángulo es 2(a + b) y el centroide describe un círculo de radio c. Entonces S = 2(a + b)(2c)=4(a + b)c por el segundo teorema de Pappus.
c
VII PARTE LONGITUD DE ARCO Y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Longitud de un arco
La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1, P2....,P n-1 B, que unos puntos del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la longitud de cada cuerda tiende a cero.
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Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos sobre la curva y = f(x), donde f(x) y su derivada f'(x) son continuas en el intervalo a " x " b, la longitud del arco AB viene dada por:
S = ds = dx
Análogamente, si A(a ,c) y B(b, d) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f(u), y = g (u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por:
S = ds = dy
Si A(u = u1) y B(u = u2) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f (u), y = f(u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por:
S = ds = du
Ejemplo 7.1
Calcular la longitud del arco de la curva y = x3/2 entre x = 0 y x =5.
Solución: Puesto que dy/dx = 3/2x1/2,
S =ds=dx
= dx
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=
=
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
El área de la superficie generada al girar el arco AB de una curva continua en torno a una recta de su plano es por definición el límite de la suma de las áreas generadas por las n cuerdas consecutivas AP1, P1, P2 ...,P n -1 B que unen los puntos del arco, al girar en torno a dicha recta, cuando el número de cuerdas crece indefinidamente de manera tal que la longitud de cada una de ellas tiende a cero.
Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva y = f(x), donde f(x) y f'(x) son continuas y f(x) no cambia de signo en el intervalo a " x " b, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por:
Sx = y ds =dx
Cuando, además, f'(x) " 0 en el intervalo, una forma alternativa es:
Sx = y ds =dy
Si, A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva x = g(y), donde g(y) y su derivada respecto de y satisfacen propiedades similares a las citadas en el párrafo anterior, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje y viene dada por:
Sy = x ds =dx =dy
Si a(U = u1) y B(u=u2) son dos puntos de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = f(u), y = g(u) si se cumplen condiciones de continuidad, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por :
y el área generada al girar el arco AB en torno al eje y por:
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Ejemplo 7.2
Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y2 + 4x = 2 ln y entre y = 1 e y = 3.
Sx = dy
=
ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) " f(x) para todo x en [a, b] entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales
x =a y x = b es
A = [f(x) - g(x)] dx
Volumen del disco
V= R2w
V= [R(xi)]2x
V= "ab [R(x)]2 dx
El MÉTODO DEL DISCOS
Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, úsese una de las fórmulas siguientes.
Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución
Volumen = V=
[R(x)]2 dx Volumen = V = [R(y)]2 dy
W =
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P = fuerza perpendicular a un área
Área sobre la que actúa la fuerza
dy = 2= 2
=
unidades
TEOREMA DE BLISS
= w dy
P(x,b)
(x,1/2b)
TEOREMA DEL EJE PARALELO
El momento de inercia de un área, arco o volumen con respecto a cualquier eje es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo que pase por el centroide más el producto del área, longitud de arco o volumen por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes paralelos.
PRIMER TEOREMA DE PAPPUS
Si un área plana se hace girar en torno a un eje en su plano que no cruce a esa área, el volumen del sólido de revolución generado es igual al producto del área por la longitud de la trayectoria descrita por el centroide del área.
O'
X,y
El centroide del disco describe un círculo de radio 3. Por tanto, V=(2)2 x 2(3) = 24 2 por el primer teorema de Pappus.
SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS
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Si un arco de curva se hace girar en torno a un eje situado en un su plano pero que no cruce al arco, el área de la superficie generada es igual al producto de la longitud del arco por la longitud de la trayectoria descrita por el centroide del arco.
