Integracin por sustitucin o cambio de variable, Integracin por partes, Integral definidaTema 7.Integracin de potencias de funciones trigonomtricas

Pitagricas: ngulo medio:

Del producto:

Las potencias de funciones trigonomtricas pueden clasificarse de la siguiente manera:

Ejemplo 1. Calcula la siguiente integral con exponente impar:

y

Calcula la siguiente integral con exponente par:

Para las potencias trigonomtricas de productos de seno y coseno con combinaciones de exponentes pares e impares.Calcula la integral con m o n impar

Calcula la integral con n y m pares:

Para las potencias trigonomtricas de seno y coseno con diferentes coeficientes para cada uno de ellos.,,

Integrando obtenemos:

Tema 8. Integracin por sustitucin trigonomtrica

Caso 1.Realiza la siguiente integral=

Caso 2.Realiza la siguiente integral =

Caso 3.Realiza la siguiente integral

Tema 9. Integracin por fracciones parciales

Denominadores con factores:Forma general de las fracciones parciales:

A.- Lineales distintos

B.- Lineales repetidos

C.- Cuadrticos distintosD.- Cuadrticos repetidos

A.-

B.- = =

Tema 11. Ecuaciones Diferenciales

Ecuacin diferencialOrdenGrado

23

3

4.

Cuando resolvemos este tipo de ecuaciones podemos encontrar dos tipos de resultados, una solucin general y una particular, la segunda es posible encontrarla si nos dan algunas condiciones iniciales, si no es as, slo llegaremos a una solucin general.Nos dan una ecuacin, la cual debemos analizar y de esta forma, si es necesario, despejar la ecuacin para escribir las variables iguales del mismo lado (dejar las variables y del lado izquierdo y la x del derecho), el siguiente paso es integrar ambos lados de la ecuacin y despejar y, de esta forma encontramos la solucin general. Cuando nos dan la condicin inicial sustituimos los valores en la solucin general para encontrar el valor de la constante C, sta se sustituye en la ecuacin general y con esto obtenemos la solucin particular.

Sustituir los valores de x y y

Sustituir los valores de xy y

11.3 Ecuaciones diferenciales de primer ordenLa forma de solucionarlas es: se coloca el signo de integracin a cada trmino, se integra cada trmino segn el mtodo que necesites y por ltimo se despeja la variable y encontrando de esta forma la solucin

11.4 Solucin de ecuaciones diferenciales por separacin de variablesSe separa una variable de cada lado. Se integra cada lado usando una sola C. Se despeja la variable dependiente

Tema 12. Modelacin matemtica elementalPor lo tanto nuestro modelo para elcrecimiento exponencial (si k>0) o decrecimiento exponencial (si k