CAP 5.1

Apndice 5.1:

ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA MODELO DE DAO: EJEMPLOS DE APLICACIN

Despus de definir en el captulo 5 una metodologa general que permite calcular la sensibilidad

para un modelo de dao, y su posterior generalizacin a cualquier problema no lineal, se va a

ilustrar el comportamiento del algoritmo 5.4 del anlisis de sensibilidad sobre un conjunto de

ejemplos. Los primeros constan de mallas sencillas formadas por elementos aislados y su intencin

es verificar el comportamiento del anlisis de sensibilidad bajo diferentes estados tensionales

Posteriormente, se describe la aplicacin de dicho anlisis en problemas bidimensionales y

tridimensionales definidos con mallas de distinta densidad. Todos los ejemplos planteados se han

resuelto con un control de desplazamientos, bien de tipo esfrico o bien puntual en un nodo, con la

intencin de probar ambas posibilidades cuando fuera menester.

GENERALIDADES La medida del error en las respuestas del anlisis de sensibilidad es siempre un tema delicado, tal y

como se coment en el captulo 2, y se comprob en los ejemplos del apndice 4.1. En este caso, el

uso del control de desplazamientos y la posibilidad de extrapolar el comportamiento, tanto en

desplazamientos como en cargas, obliga a reformular el concepto de error.

En concreto, se define la magnitud del error como la contribucin de dos errores, el de los

desplazamientos y el de las fuerzas, tal y como muestra la ilustracin E5.1.

Para medir el error en la extrapolacin se ha definido una norma claramente desfavorable que suma

los errores relativos cometidos en la extrapolacin de fuerzas y en la de desplazamientos.

Ilustracin E5.1: Error en fuerzas y

desplazamientos

A5.1.2 Anlisis de sensibilidad para modelos de dao: ejemplos de aplicacin

La medida del error relativo se realiza como diferencia absoluta entre la solucin modificada real y la

extrapolacin de la original segn la frmula siguiente que es una generalizacin de la propuesta en

el apndice 4.1:

erroru u

u

f f

f

real extrapolado

real

real extrapolado

real=

+

E5.1.1

Para tener en cuenta la magnitud del error relativo y el grado de mejora en la prediccin del

comportamiento se comparan dos casos, la extrapolacin directa sin el uso de la sensibilidad y la

extrapolacin con la sensibilidad.

Se observa que la condicin sobre el control de desplazamientos impone el valor del movimiento en

algn nodo o conjunto de nodos. Esto representa que el error anteriormente definido se podra

reducir fcilmente si se efectua la medida de dicho error sobre el nodo controlado o en algn nodo

suficientemente vecino, ya que en este caso la

nica discrepancia posible sera en fuerzas y se

habra eliminado uno de los sumandos de la frmula

E5.1.1.

La ilustracin E5.2 muestra el sentido de una medida

incorrecta del error. Suponiendo que el control de

desplazamientos se realiza sobre el nudo A, se

observa que en ambas estructuras el nudo A se

mueve exactamente lo mismo. Por lo tanto, si se

mide el error en A, slo se acotar la medida de las

fuerzas, porque el desplazamiento ser exactamente

el mismo. En cambio, si el error se mide en B,

aparecer una diferencia en fuerzas y en

desplazamientos, con lo cual la medida ser ms

veraz. En consecuencia, se deduce que nunca hay

que medir el error en el nodo que se controla. Por este motivo, en los ejemplos pequeos, se realiza

siempre un control esfrico de desplazamientos. En cambio, en las mallas ms densas este defecto

queda subsanado siempre que el nudo controlado no sea vecino del mesurado.

Para estudiar la bondad del anlisis de sensibilidad en un clculo no lineal con un modelo de dao

se van a definir dos tipos de grficos:

Ilustracin E5.2: Nunca hay que medir el error en el nudo que se controla con arc length

Anlisis de sensibilidad para modelos de dao: ejemplos de aplicacin A5.1.3

Curvas estructurales de comportamiento

Su intencin es la misma que en los ejemplos del apndice 4.1, se pretende comparar el

comportamiento cualitativo de las curvas de respuesta fuerza-desplazamiento en los casos

siguientes:

El diseo original.

El diseo modificado.

La extrapolacin de primer orden de la estructura original a partir de los resultados del

anlisis de sensibilidad.

Curvas de error relativo

Su intencin es comparar de forma cuantitativa el error en el clculo de la sensibilidad. Ya se ha

comentado que en este caso la frmula para medir el error es distinta de la utilizada en el apndice

4.1. Los tipos de curvas sern los siguientes:

Diseo original extrapolado con la sensibilidad.

Diseo original como prediccin de comportamiento.

En primer lugar se aborda el clculo de ejemplos con mallas sencillas, trabajando en diferentes

estados tensionales y con distintos elementos cuadrangulares.

Ejemplo 5.1:

Objetivo: En este primer caso se pretende observar el comportamiento del algoritmo sobre un

elemento de 4 nodos trabajando a traccin pura y tomando como variable de diseo el ancho de la

pieza. Recurdese que este mismo problema era uno de los que daba peores resultados en

elastoplasticidad.

DESCRIPCIN

Propiedades del material:

Mdulo de Elasticidad E 2.1 106 KN/m2

Coeficiente de Poisson 0

Mxima tensin a compresin 2.0 104 KN/m2

Mxima tensin a traccin 500.0 KN/m2


Energa de fractura 200.0 J/ m2

Tipo de anlisis:

Tensin plana con espesor de 1cm.

Longitud de arco de tipo esfrico con

restriccin tal que l=0.005 cm.

300 pasos de carga, integrando el elemento con

4 puntos.

Criterio de convergencia: se acepta un error de

un 1% en la norma del residuo sobre el total de

fuerzas aplicadas.

Variable de diseo: el ancho de la pieza.

Se realizan dos anlisis, por un lado el de la

estructura original y su sensibilidad, y por otro

lado el anlisis normal de la estructura modificada segn un incremento de 1 cm. de la variable

de diseo.

VERIFICACIN DE LOS RESULTADOS

Lo primero que se observa es que la curva extrapolada reproduce notablemente bien el

comportamiento de la estructura modificada. De hecho la superposicin es casi perfecta, motivo por

el cual se han dibujado mitad y mitad.

Ilustracin E5.3: Definicin geomtrica

del problema 5.1

Grfica E5.1: Curva fuerza-desplazamiento en el nodo 3

0.00 0.40 0.80 1.20desplazamientos [cm]

0

100

200

300

400

500

600

fuer

zas

[N]

CURVAS ESTRUCTURALES

original

modificada

extrapolada


La estructura modificada y la original tienen un comportamiento estructural diferente, dado que

entre ambas hay una diferencia en el tamao de la seccin resistente. En el caso del clculo a carga

constante dicha propiedad no poda ser captada, tal y como se demostr en los ejemplos de

elastoplasticidad con endurecimiento. En cambio, gracias a la estrategia de la longitud de arco se ha

podido extrapolar en las direcciones de fuerzas y desplazamientos y, por consiguiente, predecir

satisfactoriamente el comportamiento estructural.

El clculo de la carga ltima se obtiene como la suma de las cargas ltimas de los dos nodos

solicitados, y se observa que da un nmero razonablemente bueno. En concreto, la carga ltima

elstica se obtiene con un 0.7% de error respecto de la que predice la teora clsica de Resistencia

de Materiales.

Res. Mat. Modificada Extrapolada

Carga ltima [N] 1050 1043.3 1042.3

Error 0.64% 0.73%

Dicho error es debido a que el control esfrico de desplazamientos impone un paso de carga que no

conduce directamente a la cspide, motivo por el cual aparece un cierta inclinacin en la zona

cercana al mximo tal y como muestra la grfica E5.2.

Grfica E5.2: Detalle de la zona de carga mxima

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10desplazamientos [cm]

0

100

200

300

400

500

600

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada


Por su parte, el diagrama del error muestra que la extrapolacin a partir de la sensibilidad se acerca

mucho a la respuesta del problema modificado. Segn el siguiente resultado:

En este primer ejemplo se ha superado con notable xito la dificultad que presentaba el anlisis

elastoplstico a carga constante y se ha podido extrapolar correctamente en las dos direcciones.

Esta es la razn de obtener un resultado tan bueno comparado con el homlogo que se tena en

elastoplasticidad.

Ejemplo 5.2:

Objetivo: En este caso se prueba el mismo elemento del ejemplo anterior, pero sometido a un estado

de flexin pura. Igualmente se vuelve a tomar como variable de diseo el ancho de la pieza y se

incrementa en la misma magnitud, de manera que entre la estructura original y la modificada hay una

diferencia del 5% respecto a la variable de diseo. Es de esperar que el clculo de la flexin no sea

correcto, debido a que dicho elemento no reproduce de forma adecuada el mecanismo fsico de la

flexin, pero la intencin del problema es comprobar la modelizacin matemtica de la sensibilidad.

DESCRIPCIN

Grfica E5.3: Error en la extrapolacin de la solucin

0.00 0.40 0.80 1.20desplazamiento [cm]

0

2

4

6

% e

rror

EXTRAPOLACIONES

con sensibil idad

sin sensibilidad








Tipo de anlisis:


Longitud de arco de tipo esfrico con restriccin de l=0.005 cm.

300 pasos de carga, se integra con 4 puntos.

Criterio de convergencia, se acepta un error de un 5% en la norma del residuo sobre el total de

fuerzas aplicadas.


Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad, y por otro lado

el anlisis de la estructura modificada segn un incremento de 1 cm. en la variable de diseo.


Para analizar el correcto funcionamiento del algoritmo se han comparado las curvas de respuesta

fuerza-desplazamiento horizontal en el nodo 3 de la malla. Las grficas se obtienen de un anlisis en

la estructura original, la original con la extrapolacin de primer orden a partir de la sensibilidad, y

finalmente, la que corresponde al anlisis de la estructura real modificada.

Ilustracin E5 .4: Definicin geomtrica del

ejemplo 5.2


La extrapolacin de la solucin es notablemente buena, a pesar de que el elemento cuadriltero de

4 nodos no reproduce nada bien el problema fsico de flexin. Por ello, se corrobora que el anlisis

discreto de la sensibilidad puede parecer correcto pero en cambio no ir parejo con el clculo real

analtico. Se destaca que el valor de la carga ltima elstica est muy por encima del valor esperado

segn Resistencia de Materiales. Ello es debido a la rigidizacin que tiene el elemento frente a la

solicitacin por flexin.

Segn la definicin de la norma desfavorable del error comentada unas lneas ms arriba, se

observa que el error se mantiene estable y con un valor razonablemente bajo. En el tramo inicial,

Grfica E5.4: Curvas de comportamiento a flexin en el nodo 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8desplazamiento [cm]

0

50

100

150

200

250

300

350fu

erza

s [N

]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.5: Error en el ejemplo 5.2


0

2

4

6

8

% e

rror EXTRAPOLACIONES

con sensibilidad

sin sensibilidad


donde se inicia el dao aumenta la magnitud del error en la extrapolacin. Esto se asocia a que los

puntos de integracin estn cambiando de rgimen de comportamiento y, en flexin, el modelo

parece ser ms sensible a estos efectos. Finalmente observar que para daos elevados el modelo

tambin da una respuesta peor.

Ejemplo 5.3:

Objetivo: A continuacin se presenta el mismo estudio de traccin pura que se ha hecho en el

ejemplo 5.1 pero esta vez sobre un elemento de 8 nodos. Para asegurar la deformacin pura por

esfuerzo axil se distribuye la carga, de manera que se asegura una deformacin plana perfecta en

todas las secciones transversales de la pieza.

DESCRIPCIN







Tipo de anlisis:


Longitud de arco esfrica con restriccin l=0.005 cm

150 pasos de carga subintegrando el elemento con 4 puntos de gauss para facilitar la

convergencia.


fuerzas aplicadas.


Se realizan los mismos dos anlisis de los ejemplos anteriores, incrementando el ancho en 1cm.



Se ha definido la curva de respuesta fuerza-desplazamiento vertical en el nodo central superior

solicitado y el resultado es el siguiente:

En este caso se observa que las dos grficas, extrapolada y modificada, se superponen igual de

bien que en el primer caso. Por lo tanto, el problema de traccin pura tambin se reproduce de forma

perfecta en el elemento. A nivel ms detallado se seguira manteniendo la superposicin de las

curvas, motivo por el cual se representa mitad y mitad de cada tipo.

Ilustracin E5.5: Definicin geomtrica del ejemplo

5.3

Grfica E5.6: Curvas en el nodo central del ejemplo 5.3

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40desplazamientos [cm]

0

100

200

300

400

500

600

700

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada


Tambin en este caso la carga mxima se calcula como contribucin de las cargas aplicadas en

todos los nudos, esto conduce a la confeccin de la tabla siguiente:

Res. Mat. Modificada Extrapolada

Carga ltima [N] 1050 1048 1048

Error 0.16% 0.16%

El error obtenido en este ejemplo todava es ms pequeo que en el del primer problema propuesto.

De hecho, la carga ltima tambin se ha hallado con mayor precisin a travs del elemento de 8

nodos que el de 4.

Grfica E5.7: Detalle de la zona de carga mxima


0

100

200

300

400

500

600

700

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.8: Error en el nodo central del ejemplo 5.3

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5desplazamiento [cm]

0

1

2

3

4

5

% e

rror

EXTRAPOLACIONES

con sensibilidad

sin sensibilidad


A la luz de los resultados, se puede afirmar que el comportamiento del modelo constitutivo afecta

directamente a la calidad de la sensibilidad. Es decir, el modelo de dao con el que se est

trabajando reproduce a la perfeccin el estado de traccin pura, mientras que la existencia de un

estado mixto de tensiones introduce una cierta distorsin en su comportamiento. Obsrvese que es

exactamente lo mismo que sucede con los resultados obtenidos en sensibilidad, los estados de

traccin tienen errores casi nulos, mientras que los de flexin tienen un cierto porcentaje 1-2%.

Ejemplo 5.4:

Objetivo: La misma pieza que en el caso anterior, pero ahora sometida a un estado de flexin pura y

tomando como variable de diseo el ancho de la pieza.

DESCRIPCIN







Tipo de anlisis:


Longitud de arco de tipo esfrico con restriccin l=0.005 cm

150 pasos de carga subintegrando el elemento con 4 puntos.


fuerzas aplicadas.


Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad, y por otro lado

el anlisis de la estructura modificada segn un incremento de 1 cm. en la variable de diseo.


La subintegracin se realiza para flexibilizar ms la estructura y facilitar la convergencia del modelo

de dao.


Se definen las mismas grficas que en el ejemplo anterior, la respuesta fuerza-desplazamiento en el

nodo 7 muestra el siguiente resultado:

Dado que el elemento de 8 nodos reproduce mejor el mecanismo de flexin que el elemento de 4

nodos, el resultado de la carga lmite es mejor. Sin embargo, como el punto donde se evalan las

Ilustracin E5.6: Definicin geomtrica del ejemplo 5.4

Grfica E5.9: Curvas en el nodo central del ejemplo 5.4


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada


tensiones, punto de Gauss de la cuadratura de integracin, no corresponde con la fibra real ms

solicitada de la estructura, el valor est por encima del correcto segn Resistencia de Materiales.

Ahora bien, si se halla, a travs de Resistencia de Materiales, la carga ltima en las coordenadas del

punto de integracin, el valor se acerca notablemente.

Res. Mat. real Res Mat en P.G. Modificada Extrapolada

Carga ltima [N] 184 415 440 439

Error 6% 5.7%

La grfica inferior muestra con detalle la zona de extrapolacin de la carga ltima elstica:

Finalmente se ha definido el error que se cometera aproximando la solucin modificada por la

original y por la extrapolada, vase la grfica E5.11. En ella se aprecia que los resultados son

parecidos a los del ejemplo 2, pero en este caso el error en la sensibilidad aumenta ms a medida

que el dao crece.

La respuesta obtenida corrobora el comentario realizado en el ejemplo anterior, segn el cual, el

modelo de dao en flexin no es capaz de dar unos resultados tan buenos en la aproximacin de

primer orden usando la sensibilidad. Ntese que a pesar de que el problema fsico real est mejor

representado, por contra, el anlisis de sensibilidad produce resultados mucho peores, sin duda

otra paradoja de la sensibilidad. Recurdese que, en los ejemplos de plasticidad, ya sorprendi que

el elemento que mejor tena que simular el problema fsico, el de 8 nodos, era el que ms imprecisin

Grfica E5.10: Detalle en la carga mxima


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada


mostraba en los resultados de sensibilidad, y en cambio el de 4 nodos ofreca un comportamiento

ms estable.

En cualquier caso, ambos tipos de elementos proporcionan un anlisis de sensibilidad que permite

extrapolaciones aceptables, dado que tanto el signo de crecimiento como el orden de magnitud no

son incorrectos.

Ejemplo 5.5:

Objetivo: En este ejemplo se realiza un clculo a corte puro para validar el comportamiento en el

caso de este tipo de solicitacin.

DESCRIPCIN







Grfica E5.11: Error en el ejemplo 5.4


0

4

8

12

% e

rror EXTRAPOLACIONES

con sensibilidad

sin sensibilidad


Tipo de anlisis:



150 pasos de carga subintegrando el elemento con 4 puntos de gauss.


fuerzas aplicadas.

Variable de diseo: el ancho de la pieza incrementado en 1 cm.

Se realizan los dos anlisis de los ejemplos anteriores.


Curvas estructurales de comportamiento

Para analizar el correcto funcionamiento del algoritmo se han comparado las curvas de respuesta

fuerza-desplazamiento en el nodo extremo 3, obtenindose la grfica E5.12.

A lo largo de la curva de comportamiento se observan algunas inestabilidades del algoritmo del

modelo de dao, esto significa que el modelo no responde con tanta precisin como sera deseable

a las solicitaciones de tipo tangencial. En general, las perturbaciones son pequeas y localizadas

pero se reflejan en las extrapolaciones defectuosas. Este hecho se relaciona con los resultados que

se obtenan en los estados mixtos de flexin, un tanto peores que los de traccin pura, ya que en

este caso la norma de tensiones depende de las normales y las tangenciales. Afortunadamente, las

irregularidades no se acumulan porque se utiliza una estrategia secante para calcular la sensibilidad

de la respuesta, de manera que si en un punto de la curva la solucin es un tanto mala, en la

siguiente posicin de equilibrio se puede obtener una respuesta correcta. Esto representa una gran

ventaja con respecto a las estrategias tangentes que se han definido hasta ahora en la literatura.

Ilustracin E5.7: Definicin geomtrica del corte puro


La grfica del error muestra como afectan las irregularidades del modelo constitutivo sobre la

extrapolacin del comportamiento estructural.

Algunas conclusiones previas de los ejemplos sencillos son:

El algoritmo, en general, se comporta de forma robusta y adecuada.

Gracias a la sensibilidad en el parmetro arco es posible extrapolar el comportamiento global de

la estructura.

Grfica E5.12: Curvas de corte puro


0

10

20

30

40

50

60

70

80

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.13: Error en el corte puro


0

1

2

3

4

5

6

7

% e

rror

EXTRAPOLACIONES

con sensibilidad

sin sensibilidad


Los estado de traccin pura se reproducen perfectamente, en cambio el cortante y los estados

mixtos presentan mayores irregularidades.

A continuacin, se procede a mostrar la aplicacin prctica del algoritmo del anlisis de

sensibilidad para un modelo de dao en unos ejemplos con mallas ms densas. La totalidad de los

problemas se calculan a flexin con mallas estructuradas formadas por cuadrilteros de 8 nodos.

Ejemplo 5.6:

Objetivo: Se pretende extrapolar el comportamiento de una

pequea pieza calculada como mnsula empotrada y analizada con

mallas de diferente densidad alrededor de la carga mxima. La pieza

es de seccin variable y su comportamiento bsico es a flexin

pura. Como en los ejemplos anteriores la variable de diseo es la

seccin transversal de la mnsula.

El comportamiento no lineal de la estructura se representa mediante las curvas de respuesta fuerza-

desplazamiento en el nodo extremo del voladizo que coincide con la directriz de la pieza. El clculo

se ha realizado con elementos cuadrilteros de 8 nodos que ofrecen mejor respuesta fsica a la

solicitacin de flexin, mecanismo bsico de trabajo de la estructura.

Ilustracin E5.8:

Mnsula de seccin variable

Grfica E5.14: Curvas de comportamiento de diferentes mallas


0

20

40

60

80

100

120

fuer

zas

[N]


1 elemento

2 elementos

4 elementos

18 elementos


DESCRIPCIN GENERAL







MALLA 1: DISCRETIZACIN 1 ELEMENTO

Tipo de anlisis:





fuerzas aplicadas.


Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad, y por otro, el

anlisis de la estructura con un incremento de 1 cm en la variable de diseo. Dicha modificacin

representa un 6.6% de variacin en superficie.


Para analizar el correcto funcionamiento del algoritmo se ha comparado la curva de respuesta

fuerza-desplazamiento horizontal en el nodo 7 que se obtiene en la estructura original, la original

Ilustracin E5.9: Geometra de la primera malla


con sensibilidad y su correspondiente extrapolacin de primer orden, y finalmente, la que

corresponde al anlisis de la estructura modificada.

Igualmente se ha definido el error que se cometera aproximando la solucin modificada por la

original y por la extrapolada, y se ha obtenido la siguiente grfica:

Grfica E5.15: Respuestas en el nodo 7 de la primera malla


0

20

40

60

80

100

120

fuer

zas

[N]


original

modi ficada

extrapolada

Grfica E5.16: Error con la malla primera


0

5

10

15

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibil idad

sin sensibilidad


A pesar de que la malla es muy deforme, y esto afecta al comportamiento constitutivo, los errores

se mantienen en acotados en un intervalo aceptable, incluso para valores de dao muy elevados.

MALLA 2: DISCRETIZACIN 2 ELEMENTOS

Tipo de anlisis:


Longitud de arco de tipo esfrico con restriccin l=0.005 cm.



fuerzas aplicadas.

Variable de diseo: la misma de antes.

Se realizan los mismos dos anlisis de los casos anteriores.

Se ha definido otro tipo de material para facilitar la localizacin de la fractura en la zona que se

sabe ms solicitada. En los elementos menos solicitados se ha aumentado la tensin mxima de

traccin para evitar que en ningn caso localicen antes que en el elemento deseado. En este

caso, no es estrictamente necesario ya que la definicin de la geometra determina la fractura en

la zona de empotramiento, pero mediante este artificio se facilita dicho proceso.



El comportamiento de la curva fuerza-desplazamiento en el extremo del voladizo es parecido a la

grfica anterior y muestra una superposicin bastante fidedigna de la extrapolacin con respecto a

la estructura modificada. En la zona de poco dao, cerca de la carga ltima, el error es pequeo.

Ilustracin E5.10: Geometra de la segunda malla



Tipo de anlisis:


Longitud de arco con desplazamiento controlado en nodo 9 para limitar el tamao de fisura en la

zona traccionada del empotramiento, restriccin l=3.5 10-4 cm.

Grfica E5.17: Curvas de comportamiento para la segunda malla


0

20

40

60

80

100

120fu

erza

s [N

]


original

modi ficada

extrapolada

Grfica E5.18: Error que se produce en la segunda malla


0

5

10

15

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibil idad

sin sensibilidad




Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad y por otro lado,

el anlisis de la estructura modificada segn una variacin de la variable de diseo (un 6.6%

medido sobre superficie ).

Se ha definido otro tipo de material para localizar la fractura, en el elemento menos solicitado la

tensin mxima de traccin es de resistencia superior:



En este caso el comportamiento en la zona cercana a la carga mxima es peor que en los ejemplos

anteriores. Fundamentalmente, se debe a la restriccin que se ha impuesto en la longitud de arco y

a la magnitud en la variacin de la variable de diseo. Ntese que mientras la estructura original ya

tiene un dao apreciable, la modificada an est en rgimen elstico. Esto significa que el algoritmo

pretende extrapolar valores desde una estructura que ha entrado en dao a una estructura que

todava est en rgimen lineal. En los casos anteriores esto no suceda tan claramente porque las

dos estructuras siempre estaban en regmenes parecidos, o bien la original tena poco dao y la

modificada era elstica, o bien las dos se comportaban igual.

Por lo tanto, se deduce que si la modificacin de la estructura es grande, en algn momento, puede

suceder que cada estructura se comporte segn un rgimen distinto. Entonces no se estar en

condiciones de predecir el comportamiento de las variables de estado con suficiente fiabilidad.

Como mucho, las tensiones extrapoladas sern capaces de predecir que la estructura modificada

tendra un nivel de dao menor o, en caso contrario, que la estructura modificada ya estara

Ilustracin E5.11: Definicin geomtrica de la malla

3


entrando en la zona de dao. El uso de dicha informacin representa hallar la sensibilidad de una

extrapolacin , lo cual no es recomendable porque exigira un reanlisis de una estructura cuya

ecuacin de equilibrio es supuesta en aproximacin de primer orden.

En este ejemplo el nivel del error es extremadamente elevado para los niveles normales de

comportamiento. Por lo tanto, la explicacin anterior justifica los errores en la zona de carga mxima,

pero no en la zona elstica donde casi siempre el resultado es casi nulo.

Grfica E5.19: Curvas de comportamiento del nudo 19 de la malla tercera


0

20

40

60

80

100

120

140

fuer

zas

[N]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.20: Error en la malla tercera


0

5

10

15

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibi lidad

sin sensibilidad



Tipo de anlisis:


Longitud de arco con desplazamiento controlado en nodo 34 por los mismos motivos de la

discretizacin anterior, restriccin l=3.5 10-4 cm.



Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad y por otro lado

el anlisis normal de la estructura modificada segn una variacin de la variable de diseo (un

6.6% medido sobre superficie ).





En este caso la malla ms fina da una respuesta adecuada a nivel cualitativo y cuantitativo. Por un

lado se observa que la superposicin entre la curva modificada y la extrapolada se acercan mucho,

y por otro, el error se mantiene en valores estables y bajos.

Ilustracin E5.12: Definicin geomtrica de la tercera

malla


Algunas conclusiones previas de este ejemplo son:

Cuando las modificaciones en la variable de diseo son muy grandes, puede suceder que la

estructura original entre en dao mientras que la modificada siga estando en rgimen elstico, o

bien el caso contrario. En ambas situaciones, la mxima informacin que se puede extraer es una

prediccin de la existencia cambio de rgimen a travs de las tensiones extrapoladas. Pero no

ser posible obtener la respuesta correcta mediante la sensibilidad.

Las mallas deformes tienden a dar resultados que en ocasiones son poco robustos, la razn est

basada en la deficiente disipacin energtica que hace el modelo de dao cuando los elementos

no son regulares.

Grfica E5.21: Respuesta estructural en el nodo 67 de la malla cuarta


0

20

40

60

80

100

120fu

erza

s [N

]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.22: Error en la malla cuarta


0

5

10

15

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibilidad

sin sensibilidad


Ejemplo 5.7:

Objetivo: En este caso se estudia el comportamiento del algoritmo sobre una viga isosttica de

hormign, trabajando a flexin y tomando como variable de diseo el canto. Supngase que en el

proyecto se define un canto determinado y posteriormente en obra, por defectos en la ejecucin,

dicho canto se reduce en un 2.5 %, es decir 5 cm. Interesa calcular como va a evolucionar el

comportamiento de la viga y estimar la disminucin de la carga mxima debida al defecto

constructivo.

Para realizar el anlisis se ha simplificado el problema aprovechando la simetra de la pieza, y se ha

procedido a calcular segn el esquema adjunto, cargando en la reaccin y empotrando en el centro

luz:

DESCRIPCIN GENERAL







Ilustracin E5.13: Viga de proyecto

Ilustracin E5.14: Esquema de

clculo


Como en el ejemplo anterior se han utilizado distintas densidades de malla. En la figura inferior se

muestran las distintas respuestas estructurales que se han obtenido con las diferentes mallas, la

grfica corresponde a una curva fuerza-desplazamiento en el nodo de la reaccin.

MALLA 1: DISCRETIZACIN 1 ELEMENTO

Tipo de anlisis:

Tensin plana con espesor de la viga de 50 cm.



Variable de diseo: el canto de la pieza disminuido en 5 cm.


el anlisis normal de la estructura modificada segn una variacin del 2.5% de la variable de

diseo.

Grfica E5.23: Curvas fuerza-desplazamiento en la reaccin para distintas mallas


0

10

20

30

40

50

fuer

zas

[KN

]


1 elemento

8 elementos

40 elementos



En este caso, la malla inicial tambin corresponde a un elemento deforme trabajando a flexin. Por lo

tanto, los resultados no son excesivamente buenos, sobre todo en la parte final cuando el dao es

muy elevado en la estructura. A pesar de que cualitativamente la superposicin de la curva es

correcta, el anlisis del error muestra oscilaciones en la sensibilidad.

Ilustracin E5.15: Definicin geomtrica de la malla 1

Grfica E5.24: Resultados para la primera malla


0

10

20

30

40

fuer

zas

[KN

]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.25: Error en la primera discretizacin


0

4

8

12

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibilidad

sin sensibilidad



Tipo de anlisis:


Longitud de arco con desplazamiento controlado en el nudo 4, siendo el valor de la restriccin

de l=0.005 cm.





diseo.





En este ejemplo la superposicin de la curva extrapolada es correcta hasta la zona final, aquella en

la cual el dao ya es muy elevado en la estructura.

Ilustracin E5.16: Definicin geomtrica de la malla segunda

Grfica E5.26: Resultados de la malla segunda


0

10

20

30

40

fuer

zas

[KN

]


original

modificada

extrapolada


Por su parte la distribucin del error confirma la observacin de la grfica anterior.


Tipo de anlisis:


Longitud de arco con desplazamiento controlado en el nudo 11 siendo la restriccin l=0.006

cm.



Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad y por otro lado,

el anlisis de la estructura modificada segn una variacin del 2.5% de la variable de diseo.




Grfica E5.27: Error en la extrapolacin con la segunda malla


0

2

4

6

8%

err

or EXTRAPOLACIONcon sensibilidad

sin sensibilidad

Ilustracin E5.17 : Definicin geomtrica de la malla tercera



En este caso las grficas que se obtienen son:

La zona de carga mxima se solapa perfectamente:

Finalmente la distribucin del error se comporta de forma muy estable y acotada.

Grfica E5.28: Respuesta de la malla de 40 elementos


0

10

20

30

40

50

fuer

zas

[KN

]


original

modificada

extrapolada

Grfica E5.29: Detalle en la zona de carga mxima


0

10

20

30

40

50

fuer

zas

[KN

]


original

modificada

extrapolada


Algunas conclusiones parciales del ejemplo son:

En este ejemplo el algoritmo se comporta notablemente bien para mallas densas. La razn es que

la malla contiene pocos elementos deformes y por lo tanto, la ecuacin constitutiva se comporta

bien.

Ejemplo 5.8:

Objetivo: Se pretende verificar el comportamiento del algoritmo sobre una mnsula corta de

hormign trabajando a flexin y tomando como variable de diseo la longitud. Supngase que en el

proyecto se define una longitud determinada y posteriormente en obra, por defectos en la ejecucin

dicho longitud se alarga en un reduce en un 2.5 %, es decir 5 cm. Interesa calcular como va a

evolucionar el comportamiento de la viga y estimar la disminucin de la carga mxima debido al

defecto constructivo. El ejemplo es similar al que apareca al final del apndice 4.1

DESCRIPCIN GENERAL





Grfica E5.30: Error en la malla tercera


0

2

4

6

8

% e

rror EXTRAPOLACION

con sensibilidad

sin sensibilidad





Tipo de anlisis:

Tridimensional, realizado con hexaedros de 8 nodos.

Longitud de arco controlando la fisuracin de la zona traccionada, desplazamiento vertical del

nodo 9 con restriccin de l=1.6 10-3 cm.

100 pasos de carga integrando el elemento con 8 puntos de gauss.

Variable de diseo: longitud de la pieza.


el anlisis de la estructura modificada segn una variacin del 2.5% de la variable de diseo.





La malla utilizada para realizar el clculo es bastante deficiente, sobre todo si se tiene en cuenta que

los elementos hexadricos de 8 nodos, al igual que sus homlogos de 4 nodos, simulan mal el

comportamiento a flexin. Pero al igual que en los ejemplos bidimensionales, la intencin principal

es contrastar el comportamiento de la sensibilidad del modelo de dao.

Ilustracin E5.18: Definicin geomtrica de la malla primera


La curva de comportamiento cualitativo muestra algunas discrepancias, pero mayoritariamente la

curva extrapolada sigue el trazo de la modificada. Este hecho se observa en la grfica E5.31

En este caso en particular se est definiendo el error en el mismo nodo donde se controla el

desplazamiento, por lo tanto, los errores tendran que ser pequeos conforme al razonamiento que

se ha hecho al inicio de este apndice. Sin embargo, se observa que no es as.


Grfica E5.31: Comportamiento del nodo controlado de la malla primera


0

10

20

30

40

50

fuer

zas

[MN

]


original

modi ficada

extrapolada

Grfica E5.32: Error en la malla primera


0

5

10

15

20

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibilidad

sin sensibi lidad


Tipo de anlisis:

Tridimensional, realizado con hexaedros de 8 nodos.

Longitud de arco controlando la fisuracin de la zona traccionada, desplazamiento horizontal

del nodo 23 con restriccin de l=2.0 10-4 cm.

300 pasos de carga integrando el elemento con 8 puntos.

Variable de diseo: longitud de la pieza.

Se realizan dos anlisis, por un lado el de la estructura original y su sensibilidad, y por otro lado,


diseo, un alargamiento de 5 cm.





En este caso, los resultados tambin son bastante mediocres, a pesar del refinamiento de la malla.

Se concluye que la principal causa del mal comportamiento es la defectuosa simulacin del dao

por parte del modelo. En general, se han tenido muchos problemas para conseguir la convergencia

de los sencillos ejemplos tridimensionales, y la oscilacin de las curvas respuesta demuestran que

el funcionamiento del algoritmo no es robusto en el problema tridimensional.

Ilustracin E5.19: definicin geomtrica de la malla 2


Del ejemplo anteriores se pueden extraer una conclusin previa:

El problema tridimensional da resultados deficientes a causa del incorrecto funcionamiento de la

ecuacin constitutiva.

Grfica E5.33: Curvas de la segunda malla tridimensional


0

10

20

30

40

50

fuer

zas

[MN

]


original

modi ficada

extrapolada

Grfica E5.34: Error en la segunda malla tridimensional


0

5

10

15

% e

rror

EXTRAPOLACION

con sensibilidad

sin sensibilidad

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CAP 5.1