Capítulo 5

Grafos conexos

Definición de grafo conexo:

Un grafo se dice conexo si cada par de vértices del grafo están unidos por un camino.

El camino que une dos vértices se puede tomar de forma que no pase dos veces por el mismo vértice (basta tomar uno de longitud mínima).

Conclusiones

1. Si hay un camino que une u y v (u≠v) se puede elegir de longitud menor o igual que n-1 (donde n es el número de vértices del grafo).

2. En particular el camino elegido en 1 es simple.

Número de caminos uniendo dos vértices

Teorema: Sea G un grafo simple y M (nxn) una de sus matrices de adyacencia. M^s[i,j] es el número de caminos de longitud s que unen el vértice i con el vértice j.

La demostración es por inducción en s.

Demostración

• Base: s=1, M^1=M es exactamente la matriz de adyacencias.

• Paso: M^s=M^(s-1)M

M^s[i,j]=

M^(s-1)[i,1]M[1,j]+

M^(s-1)[i,2]M[2,j]+…

+M^(s-1)[i,n]M[n,j]

Ideas para un algoritmo que reconozca la conexión

• Todo par de vértices están unidos por un camino, que puede tomarse de longitud

s ≤n-1

• Por tanto la correspondiente entrada de la potencia M^s es distinta de cero.

• I+M+M^2+…+M^(n-1) debe ser una matriz cuyas entradas sean todas no nulas.

Hayceros

Entrada: M (una matriz nxn)s:=1For i=1 to n, while s=1

For j=1 to n, while s=1 If M[i,j]=0 then s:=0

Salida: s (1 si no hay ceros y 0 si los hay).

Complejidad cuadrática

Algoritmo de conexión

Entrada: MA:=I, R:=IFor i=1 to n-1

A:=AxMR:=R+A

If Hayceros(R)=0 then s:=“El grafo no es conexo” else s:=“El grafo es conexo”

Salida: s

Suma de matrices

Entrada: A, B (dos matrices nxm)

For i=1 to n

For j=1 to m

(A+B)[i,j]:=A[i,j]+B[i,j]

Salida: A+B

Complejidad cuadrática

Producto de matrices

Entrada: A, B (dos matrices nxn)

For i=1 to n

For j=1 to n

(AxB)[i,j]:=0

For k=1 to n

(AxB)[i,j]:=(AxB)[i,j]+A[i,k]B[k,j]

Salida: AxB

Complejidad cúbica

Algoritmo de conexión

Entrada: MA:=I, R:=IFor i=1 to n-1 (n-1 veces)

A:=AxM (cúbico+R:=R+A cuadrático=cúbico)

If Hayceros(R)=0 then (cuadrático)s:=“El grafo no es conexo” else s:=“El grafo es conexo”Salida: s Complejidad cuártica.

Observación

• Hemos reducido la complejidad empleando más memoria, es decir, haciendo A^s como A^(s-1)xA (para lo que hay que almacenar A^(s-1)).