Capítulo 3 Cinemática en una dimensión

Capítulo 3 Cinemática en una dimensión

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3 Cinemática en una dimensión

3.1. Introducción

Entender el movimiento es entender la naturaleza.

El hombre desde su aparición y durante su evolución, ha observado

con curiosidad el movimiento de las aves, la luna, las estrellas, etc.

(que a partir de ahora se denominarán sistemas) y todas las influencias relacionadas con dichos sucesos (que se llamará medio

ambiente). De modo que en su afán de explicar estos sucesos, ha

desarrollado un conjunto de conceptos, principios, leyes y teorías.

El estudio del movimiento de los objetos y los conceptos afines de fuerza y energía forman el campo llamado mecánica.

La mecánica se divide en dos ramas: cinemática, que se ocupa de

estudiar y describir el movimiento de los sistemas y dinámica, que

estudia por qué se mueven los sistemas y como lo hacen.

La cinemática no pregunta por qué se mueve y/o se acelera un objeto, sólo describe el comportamiento de éste. En cambio la

dinámica se refiere a la causa, que es lo que produce un cambio en

la trayectoria de los cuerpos en movimiento, es decir, por qué se

mueven los cuerpos.

Se comenzará por describir los sistemas que se mueven sin girar, a

este movimiento se le llama movimiento de traslación. Este capítulo

se ocupará de describir el movimiento de un objeto a lo largo de una

línea recta, es decir, el movimiento unidimensional.

Para describir y caracterizar el movimiento de los sistemas, la cinemática hace uso de conceptos y

leyes que relacionan magnitudes tales como: sistema de referencia, trayectoria, distancia o recorrido,

posición “x”, desplazamiento “Δx”, tiempo “t”, velocidad “v” y aceleración “a”.

La cinemática es únicamente descriptiva y se restringe a contestar la pregunta: ¿cuáles son la

posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo?

3.2. Concepto de movimiento

¿Qué es movimiento? Esta parece una pregunta sencilla, pero es posible que se tenga cierta dificultad

en dar una respuesta inmediata. Para hablar de movimiento, antes es necesario conocer ciertos

conceptos:

Sistema de referencia inercial.- Es un sistema de ejes

coordenados fijo que permite ubicar a los diferentes cuerpos (figura

3.1), desde el cual se hace la observación del fenómeno físico. Se

utiliza para describir el cambio de posición que realiza una partícula

en cada instante de tiempo. Además, un sistema se denomina inercial cuando él está en reposo o se mueve con velocidad

constante, y si el sistema está acelerado él se denomina no inercial.

Trayectoria.- Es la figura geométrica que se forma al unir todos los

puntos por donde pasa un cuerpo (figura 3.2).

Distancia o recorrido “d”.- Es la longitud de la trayectoria descrita

por un cuerpo.

3.1. Introducción

3.2. Concepto de movimiento 3.3 Modelo de partícula

3.4 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

3.5 Rapidez y velocidad promedio 3.6. Velocidad instantánea

3.7. Aceleración 3.8. Movimiento uniformemente

variado (MRUV) 3.9. Ecuaciones del MRUV

3.10. Caída libre 3.11. Velocidad relativa

Objetivos

Definir un sistema de referencia,

movimiento y reposo. Definir y comprender los

conceptos de posición, trayectoria, velocidad, y

aceleración. Definir velocidad y aceleración

media e instantánea. Reconocer las trayectorias y

movimientos de diferentes partículas en el plano.

Analizar, comprender y resolver problemas de movimientos con

velocidad y aceleración constante.

Realizar e interpretar gráficas de x vs. t, v vs. t y a vs. t.

Y

Z

o

X1

1

1

k

i

j

Figura 3.1


60

Intervalo de Tiempo Δt.- Tiempo empleado en realizarse un

acontecimiento.

∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 (3.1)

Instante.- Se define como un intervalo de tiempo pequeño, tan

pequeño que tiende a cero.

∆t = tf − to → 0

Vector Posición �� .- Es un vector que permite ubicar a un cuerpo

con respecto a un sistema de referencia de ejes coordenados (figura

3.2).

𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 �� (3.2)

En base a los conceptos expuestos anteriormente se dice que, un

cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema de

referencia elegido como fijo, cuando su posición cambia al transcurrir el tiempo. En forma similar, se dice que, un cuerpo

está en reposo cuando su posición, con respecto a un sistema de

referencia fijo, no cambia al transcurrir el tiempo. Además, el

movimiento es relativo (o depende del) sistema de referencia elegido.

Diferentes observadores pueden apreciar distintas trayectorias para

un mismo cuerpo desde distintos sistemas de referencia.

Vector desplazamiento ∆�� .- El desplazamiento de una partícula

se define como el cambio o variación del vector posición

(representado por el símbolo ∆𝑟 ), que es el vector que une dos

puntos de la trayectoria del cuerpo, desde un punto inicial “p” y un

punto final “q” (figura 3.4).

∆𝑟 = 𝑟 𝑓 − 𝑟 𝑜 (3.3)

Ejemplo 3.1

Hallar el recorrido y el módulo del desplazamiento de la partícula

mostrada en la figura 3.5, del punto P (1,2) al punto Q (6,3).

Solución

𝑑 = 2 [𝑚] + 2 [𝑚] + 3 [𝑚] + 3 [𝑚] + 2 [𝑚] = 12 [𝑚]

∆𝑟 = (6 [𝑚]𝑖 + 3 [𝑚]𝑗)– ( 1 [𝑚]𝑖 + 2 [𝑚]𝑗) = 5[𝑚]𝑖 + 1[𝑚] 𝑗

|∆𝑟 | = √(5 [𝑚])2 + (1 [𝑚])2 = √26 [𝑚2] = 5,1 [𝑚]

X

Z

Y

x

z

y

r

trayectoria

Figura 3.2

Figura 3.4

X (m)

Y (m)

pq

2 4

2

4

6

Figura 3.5

X

Z

Y

desplazamiento

p

q

fr

or

0rrr f

Figura 3.3


61

Ejemplo 3.2

Hallar el recorrido y el módulo del desplazamiento de un atleta que

corre los 400 metros planos en la pista mostrada en la figura 3.6.

Solución

El recorrido es d = 400 [m] que es la distancia que debe recorrer el

atleta, pero como el punto inicial y el final de su carrera son los

mismos, su desplazamiento es nulo.

3.3 Modelo de partícula

Cuando se estudia, por ejemplo, el movimiento de un automóvil esto puede resultar complicado, ya

que durante su movimiento, puede existir variación en la masa, además, las ruedas están girando,

los pistones en el motor están vibrando, el automóvil se mueve dentro de un fluido (aire), etc., para

evitar esta complicación se hace una simplificación que consiste en considerar al automóvil como si fuera un punto matemático, denominado partícula, lo que significa , que no se tomarán en cuenta los

cambios (internos) de masa ni los movimientos de rotación y vibración del automóvil, ni la oposición

del aire.

En consecuencia, a partir de ahora todos los objetos en estudio serán considerados como partículas que se mueven en el vacío.

3.4 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Se dice que una partícula tiene movimiento rectilíneo si la

trayectoria que describe es una línea recta. Para ubicar una

partícula en un sistema de referencia sólo se necesita utilizar un

eje, ya sea el de las abscisas “X” o el de las ordenadas “Y” o “Z”.

En la figura 3.7 se puede observar la posición de una partícula

cuando está en el punto “P”.

En el movimiento rectilíneo la dirección de 𝑟 se toma paralela al

eje “x”, lo que varía es el módulo y el sentido del vector desplazamiento. Por lo tanto, para simplificar, es conveniente

utilizar sólo la componente en el eje “x” del vector 𝑟 ó 𝑟 𝑥 , que

representará la posición de la partícula. El módulo de 𝑟 es la

distancia de “0” a “P” (figura 3.8).

En general, la posición de una partícula es función del tiempo, es decir, x = x(t).

3.4.1. Desplazamiento “𝜟�� ”

El desplazamiento de una partícula se define como el cambio o variación (representado por el símbolo

griego Δ) en la posición:

∆𝑥 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜 (3.4)

Donde 𝑥 𝑜 es la posición inicial en el instante to y 𝑥 𝑓 es su posición final para el instante tf.

qp

Figura 3.6

ixr ˆ

Xpo

x

Figura 3.7

oof xxx

ftot

ox

fx

Figura 3.8


62

3.5 Rapidez y velocidad promedio

Cuando una partícula está en movimiento, su posición cambia con el tiempo, es decir, se mueve cierta

distancia en un tiempo dado. En consecuencia, tanto la longitud como el tiempo son factores importantes para la descripción del movimiento. Por ejemplo, imagínese un automóvil y un peatón

que se mueven a lo largo de una calle y viajan una distancia de una cuadra. Por lógica, el automóvil

viaja más aprisa, o cubre la distancia en un tiempo más corto, que la persona. Esto se puede expresar

utilizando la longitud y tiempo para indicar el intervalo de tiempo del cambio de posición o la rapidez promedio.

𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑢 = 𝑑

∆𝑡 (3.5)

Dimensionalmente, la unidad de la rapidez promedio es LT-1, en el

S.I. el [m/s] (longitud/tiempo), aunque comúnmente se utilizan otras

unidades como el [km/h].

Dado que la distancia es una cantidad escalar (como lo es el tiempo) la rapidez también es un escalar. La distancia recorrida no

necesariamente tiene que ser en un solo sentido. Además, para el

cálculo de la rapidez promedio no interesa que tipo de movimientos

tuvo la partícula durante el tiempo total.

Otra cantidad usada para describir el movimiento es la velocidad

promedio. Aunque los términos rapidez y velocidad promedio a

veces se usan en la vida diaria como sinónimos, son términos con

significados diferentes. Básicamente, la rapidez promedio es una

cantidad escalar y la velocidad promedio es una cantidad vectorial, tiene módulo, sentido y dirección. La velocidad promedio es el

desplazamiento, Δx, dividido entre el tiempo, Δt, total de viaje (ver

la figura 3.10), es decir,

𝑣 𝑝 = ∆𝑥

∆𝑡 =

𝑥 𝐹−𝑥 𝑜

𝑡𝐹−𝑡𝑜 (3.6)

Ejemplo 3.3 Cálculo de la rapidez y velocidad promedio

Un corredor trota de un extremo a otro en una pista recta “AB”

de 300 [m] de largo (del punto “A” al punto “B”, (figura 3.11) en

2,50 [min]; luego vuelve y trota 100 [m] hacia el punto “C” en 1,00 [min]; luego va del punto “C” al punto “A” en 0,50 [min].

¿Cuáles son la rapidez y velocidad promedio del corredor al ir a)

de “A” a “B”, b) de “A” a “C” y c) para el viaje de ida y vuelta?

Solución

Datos: De la figura 3.11

𝑥 𝐴 = 0 𝑖 [𝑚]

𝑥 𝐵 = 300 𝑖 [𝑚] (de “A” a “B”); dAB = 300 [m]

𝑥 𝐶 = 200 𝑖 [𝑚] (de “A” a “C”); dAC = 400 [m]

𝑥 𝐴𝐵𝐴 = 0 𝑖 [𝑚] (de “A” a “B” a “A”); dABA= 600 [m]

tB = 2, 50 [min] = 150 [s]

tC = 3,50 [min] = 210 [s]

tABA = 4,00 [min] = 240 [s] (de “A” a “B” a “A”)

Figura 3.11

Recorrido

Desplazamiento

A

B

Figura 3.9

A C B XCx

Bx

ofx

ftot

ox

Figura 3.10


63

(a) La rapidez promedio del corredor al ir de “A” a “B”:

𝑢𝐴𝐵 = 𝑑𝐴𝐵

𝑡 → 𝑢𝐴𝐵 =

300 [𝑚]

150 [𝑠] = 2,00 [

𝑚

𝑠] (Cantidad escalar)

La velocidad promedio al ir de “A” a “B”:

𝑣 𝐴𝐵 = 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴

𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 → 𝑣 𝐴𝐵 =

300 �� [𝑚] − 0 𝑖 [𝑚]

150 [𝑠] − 0 [𝑠 = 2,00 [

𝑚

𝑠] 𝑖 (Dirección horizontal, sentido hacia la

derecha)

(b) La rapidez promedio al ir de “A” a “C” abarca la distancia total recorrida, así:

𝑢𝐴𝐶 = 𝑑𝐴𝐵 +𝑑𝐵𝐶

𝑡𝐴𝐵 + 𝑡𝐵𝐶 → 𝑢𝐴𝐶 =

300 [𝑚] + 100 [𝑚]

150 [𝑠] + 60 [𝑠] = 1,90 [

𝑚

𝑠]

Por otro lado, para la velocidad promedio:

𝑣 𝐴𝐶 = 𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐴

𝑡𝐶 − 𝑡𝐴 → 𝑣𝐴𝐶 =

200 �� [𝑚] − 0 �� [𝑚]

210 [𝑠] − 0 [𝑠 = 0,95 [

𝑚

𝑠] 𝑖 (Dirección horizontal, sentido hacia la

derecha)

(c) Para el viaje de ida y vuelta, la rapidez media es

𝑢𝐴𝐶 = 𝑑𝐴𝐵 +𝑑𝐵𝐴

𝑡𝐴𝐵 + 𝑡𝐵𝐴 → 𝑢𝐴𝐴 =

300 [𝑚] + 300 [𝑚]

150 [𝑠] + 90 [𝑠] = 2,50 [

𝑚

𝑠]

La velocidad promedio:

𝑣 𝐴𝐵𝐴 = 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐴

𝑡𝐴𝐵𝐴 − 𝑡𝐴 → 𝑣𝐴𝐶 =

0 �� [𝑚] − 0 �� [𝑚]

240 [𝑠] − 0 [𝑠 = 0,00 [

𝑚

𝑠] 𝑖

Analizando los resultados, por ejemplo, 𝑣 𝐴𝐶 = 0,95 [𝑚

𝑠] 𝑖, ello significaría que el cambio de posición por

cada segundo fue de 0,95 [m], como si el móvil hubiese cambiado su posición en forma uniforme durante todo su trayecto, lo cual no es cierto ya que no se sabe si el cambio de posición fue uniforme.

Pero por conveniencia, puede ser útil esta suposición, es decir, que la velocidad promedio se puede

escribir como:

𝑣𝑝 = x

t (3.7)

La velocidad relaciona el desplazamiento realizado con el tiempo empleado, mientras que la rapidez

relaciona la distancia recorrida con el tiempo empleado en recorrerla; por lo que la velocidad media

del recorrido de un móvil dependerá solamente de las posiciones inicial y final del móvil

independientemente de la trayectoria que éste siga, mientras que en la rapidez media el recorrido

depende de la distancia total recorrida.

3.6 Velocidad instantánea

Si usted recorre en su automóvil en línea recta 300 [Km] en 4 [h], el módulo de su velocidad media

es 75 [Km/h]. Sin embargo, eso no significa que en todo momento su velocidad haya sido de 75 [Km/h]. Para estudiar este caso se necesita conocer el concepto de velocidad instantánea, que es la

velocidad en un momento, es el valor que indica el velocímetro.

La velocidad media proporciona sólo una descripción muy general del movimiento. Una forma de

obtener una idea más exacta del movimiento es tomar intervalos menores de tiempo, es decir, hacer que el tiempo de observación (Δt) sea más pequeño. Al igual que con la rapidez, cuando Δt se

aproxima a cero, se obtiene la rapidez instantánea, que describe qué tan rápido y en qué dirección se

mueve una partícula en un instante determinado. Cuando se usa la velocidad instantánea, la ecuación

(3.6) se puede escribir como

𝑥 = 𝑣 𝑡 (3.8)


64

La velocidad instantánea es un vector cuyo módulo es la rapidez

instantánea. La dirección de dicho vector es la dirección del

movimiento en ese instante particular.

En algunos casos, el movimiento de una partícula puede ser

rectilíneo uniforme, lo cual significa que la velocidad o la rapidez (o

ambas) son constantes. Por ejemplo, la persona de la figura 3.12

tiene una velocidad uniforme (así como también una rapidez uniforme). En otras palabras la persona recorre la misma distancia

en intervalos iguales de tiempo, y la dirección y el sentido de su

movimiento no cambian.

x [ cm ] t [ s ] x / t [ cm/s ]

60 1 60 cm / 1 [s] = 60 cm / s

120 2 120 cm / 2 [s] = 60 cm / s

180 3 180 cm / 3 [s] = 60 cm / s

240 4 240 cm / 4 [s] = 60 cm / s

Con frecuencia, el análisis gráfico es útil para comprender el movimiento y las magnitudes que se relacionan con él. En este caso, el movimiento de la persona se puede representar en una gráfica de

posición versus el tiempo o “x” vs “t” (gráfico 3.1). Como se puede observar en el gráfico, se obtiene

una línea recta con pendiente positiva cuando la velocidad es uniforme, o constante. Para el

movimiento rectilíneo uniforme v = x/t, es igual a la velocidad instantánea (gráfico 3.2). El valor numérico de la pendiente es el módulo de la velocidad y el signo de la pendiente indica el sentido de

movimiento. En consecuencia, la ecuación que representa el movimiento de una partícula moviéndose

a velocidad constante es la ecuación 3 .8.

0

60

120

180

240

300

360

420

0 1 2 3 4 5 6 7

De

sp

laza

mie

nto

( c

m )

Tiempo ( s )

Desplazamiento vs Tiempo

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7

Ve

locid

ad

( m

/ s

)

Tiempo ( s )

Velocidad vs Tiempo

0 60 120 180 240Desplazamiento (cm)

0 1 2 3 4Tiempo (s)

Figura 3.12

Gráfico 3.1

Tabla 3.1

Gráfico 3.2


65

Ejemplo 3.4

Dos camiones “A” y “B” están viajando en el mismo sentido en una carretera recta, con velocidades

constantes de 20 y 15 [m/s], respectivamente. Si en determinado instante t = 0 [s] el camión “B” se encuentra 600 [m] por delante de “A”, a) ¿al cabo de qué tiempo los camiones se hallarán lado a

lado? b) ¿después de qué tiempo la distancia entre los camiones será de 100 [m] por primera vez?

Solución

Datos: vA = 20 [m/s]; vB = 15 [m/s]; t = 0 [s]; d = 600 [m]

(a) De la figura 3.13

𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 + 𝑑 (1)

Para “A” 𝑥𝐴 = 𝑣𝐴 𝑡 (2)

Para “B” 𝑥𝐵 = 𝑣𝐵 𝑡 (3)

Remplazando (2) y (3) en (1),

𝑣𝐴 𝑡 = 𝑣𝐵 𝑡 + 𝑑 → 𝑣𝐴 𝑡 − 𝑣𝐵 𝑡 = 𝑑 → 𝑡 = 𝑑

𝑣𝐴 − 𝑣𝐵

𝑡 = 600 [𝑚]

20 [𝑚

𝑠] − 15 [

𝑚

𝑠]→ 𝑡 = 120 [𝑠]

(b) Dato adicional: e = 100 [m]

De la figura 3.14

𝑥𝐴 + 𝑒 = 𝑥𝐵 + 𝑑 (4)




𝑣𝐴 𝑡 + 𝑒 = 𝑣𝐵 𝑡 + 𝑑 → 𝑣𝐴 𝑡 − 𝑣𝐵 𝑡 = 𝑑 − 𝑒 → 𝑡 = 𝑑 − 𝑒

𝑣𝐴 − 𝑣𝐵

𝑡 = 600 [𝑚] − 100 [𝑚]

20 [𝑚

𝑠] − 15 [

𝑚

𝑠]

→ 𝑡 = 100 [𝑠]

Ejemplo 3.5

Dos estaciones “A” y “B” están separadas por 120 [Km] en línea

recta. De A sale un tren que llega a “B” en dos horas, de “B” sale

otro tren hacia “A” y llega a su destino en una hora y media. ¿Cuánto

tiempo después de haber partido simultáneamente de cada estación

los trenes se encontrarán lado a lado?

Solución

Datos: dAB = 120 [Km]; tA = 2 [h]; tB = 1,5 [h]

Cálculo de velocidades:

𝑣𝐴 = 𝑑𝐴𝐵

𝑡 → 𝑣𝐴 =

120 [𝑘𝑚]

2 [ℎ] = 60 [

𝑘𝑚

ℎ]

𝑣𝐵 = 𝑑𝐴𝐵

𝑡 → 𝑣𝐴 =

120 [𝑘𝑚]

1,5 [ℎ] = 80 [

𝑘𝑚

ℎ]

De la figura 3.14

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 𝑑 (1)

EAv

Bv

xA

xBd

eAv

Bv

xA

xBd

Figura 3.13

Figura 3.14

Av

Bv

xA xB

E

dAB

Figura 3.15


66




𝑣𝐴 𝑡 + 𝑣𝐵 𝑡 = 𝑑𝐴𝐵 → 𝑡 = 𝑑𝐴𝐵

𝑣𝐴 + 𝑣𝐵

𝑡 = 120 [𝑘𝑚] ]

60 [𝑘𝑚

ℎ] + 80 [

𝑘𝑚

ℎ]→ 𝑡 = 0,86 [ℎ]

3.7 Aceleración

Se dice que un objeto acelera cuando varía su velocidad. Cuando

usted está viajando en un automóvil y pisa el acelerador, el auto

aumenta el módulo de su velocidad; y cuando usted deja de pisar el acelerador, al auto disminuye el módulo de su velocidad.

Análoga a la velocidad promedio, se tiene la aceleración promedio,

o el cambio de velocidad dividido entre el tiempo que toma dicho

cambio (figura 3.16).

𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜

𝑎 = ∆��

∆𝑡 =

�� 𝑓 − �� 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 (3.9)

Donde 𝑣 𝑜y 𝑣 𝑓 son las velocidades instantáneas para los tiempos 𝑡𝑜 y 𝑡𝑓. La ecuación (3.9) es vectorial.

Para el movimiento rectilíneo, sólo se necesita utilizar valores numéricos de la aceleración promedio

y las velocidades, es decir, 𝑎 , 𝑣 𝑜 y 𝑣 𝑓, con signos más o menos, para indicar el sentido relativo a un

sistema de coordenadas elegido.

Análoga a la velocidad instantánea se tiene la aceleración instantánea, que es la aceleración que posee una partícula en un instante determinado.

Las dimensiones de la aceleración son [𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑/𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]

[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]. Las unidades en el SI son,

[𝑚/𝑠]

[𝑠]o en forma

práctica, [𝑚

𝑠2]

Como la velocidad es una cantidad vectorial, entonces un cambio en ella puede afectar al módulo, al

sentido, a la dirección o a todas en conjunto. En las siguientes figuras 3.17a la 3.20 se ilustra los

casos mencionados.

Aceleración (aumenta el módulo)

Desaceleración (disminuye el módulo)

s

mvO 4

s

mvF 20

st 0 st 4

s

mvO 15

s

mvF 5

st 0 st 3

Ov

X0tFt

Fv

Figura 3.16

Figura 3.17

Figura 3.18


67

Aceleración (cambio en sentido y dirección y no en el módulo)

Aceleración (cambio en módulo, sentido y dirección)

Como en este caso se está estudiando el movimiento rectilíneo, entonces sólo se tomara en cuenta la

variación en el módulo de la velocidad. En consecuencia, la ecuación (3.9) se puede escribir como:

𝑎 = 𝑣𝑓−𝑣𝑜

𝑡𝑓−𝑡𝑜 (3.10)

Ejemplo 3.6

Una bicicleta que viaja en línea recta, en el instante t0 = 2 [s] tiene una velocidad de 5,5 [m/s], luego

de cinco segundos su velocidad es de 12 [m/s]. Hallar la aceleración promedio para el intervalo que

dura el cambio de velocidad.

Solución

Datos: tO = 2 [s]; vO = 5,5[m/s]; tf = 7 [s]; vf = 12 [m/s]

𝑎 = 12,0 [

𝑚

𝑠]– 5,5 [

𝑚

𝑠]

7 [𝑠] – 2[𝑠]→ 𝑎 = 1,3 [

𝑚

𝑠2]

3.8 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

Aunque la aceleración puede variar con el tiempo, en lo sucesivo el estudio del movimiento se

restringirá, por simplificación a uno con aceleración constante. Por lo tanto, para una aceleración

constante la aceleración promedio, también será constante. Luego, la ecuación (3.10) puede escribirse

como

𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎 (𝑡𝑓 − 𝑡𝑜)

Si to = 0entonces,

𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 (3.11)

A este tipo de movimiento se le denomina, Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

st 0

st 6

s

mvF 20

s

mvO 20

st 0

st 5

s

mvF 20

s

mv O 10

Figura 3.19

Figura 3.20


68

Los movimientos con aceleraciones constantes también se pueden representar gráficamente. La

gráfica 3.3 “v” vs “t” es una línea recta cuya pendiente es igual a la aceleración, tal como se observa en la figura, Si t0 = 0, entonces la ecuación 3.11, se puede expresar como 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎 𝑡, que tiene la

forma de la ecuación de una línea recta, 𝑦 = 𝑏 + 𝑚 𝑥. El gráfico 3.3 indica que el movimiento es hacia

la derecha, con un incremento en el módulo de la velocidad ya que la recta tiene pendiente positiva.

En el gráfico 3.4, la pendiente negativa implica que el movimiento es desacelerado, es decir, que el

módulo de la velocidad disminuye.

Si la velocidad cambia debido a una aceleración constante, entonces la velocidad promedio, 𝑣𝑃, se

puede expresar como el promedio de las velocidades inicial y final.

𝑣𝑃 = 𝑣𝑜 + 𝑣𝑓

2 (3.12)

3.9 Ecuaciones del MRUV

La descripción del movimiento en una dimensión con aceleración constante se la puede hacer a través

de varias ecuaciones.

En principio, despejando la velocidad promedio de las ecuaciones (3.7) y (3.12) y luego, igualándolas

da por resultado:

𝑥 = 𝑣𝑃𝑡 = (𝑣𝑜 + 𝑣𝑓

2) 𝑡 (3.13)

Luego, sustituyendo (3.11) en (3.13), considerando que t0 = 0

𝑥 = 𝑣𝑃𝑡 = (𝑣𝑜 + 𝑣𝑜+ 𝑎 𝑡

2) 𝑡

Que simplificado da:

𝑥 = 𝑣𝑜 𝑡 + 1

2 𝑎 𝑡2 (3.14)

Finalmente, despejando “t” de (3.11) con t0 = 0 y reemplazando en (3.13)

𝑥 = (𝑣𝑜 + 𝑣𝑓

2)(

𝑣𝑓− 𝑣𝑜

𝑎)

La simplificación da:

𝑣𝑓2 = 𝑣0

2 + 2 𝑎 𝑥 (3.15)

Fv

Ov

tt

a

pendiente

vtavv OF

Fv

Ov

tt

a

pendiente

v tavv OF

Gráfico 3.4

Gráfico 3.3


69

3.9.1. Gráficas del movimiento uniformemente variado

Cuando el movimiento es acelerado (a > 0).

El área debajo la curva “v” vs. “t”, representa la distancia total recorrida por el objeto.

Cuando el movimiento es desacelerado (a < 0).

Ejemplo 3.7

Un automóvil que se mueve con MRUV triplica su velocidad en 20 [s], durante ese tiempo logra desplazarse 200 [m]. ¿Cuál es la

aceleración del automóvil?

Solución

Datos: d = 200 [m]; t = 20 [s]

Analizando se puede deducir que con los datos disponibles inicialmente no se puede hallar la aceleración, entonces, previamente se debe determinar las velocidades.

𝑥 = 𝑣0+ 3 𝑣0

2 𝑡 =

4 𝑣0

2 𝑡 = 4 𝑣0 𝑡

Despejando v0

𝑣0 = 𝑥

2 𝑡 → 𝑣0 =

200 [𝑚]

2 ×20 [𝑠]= 5 [

𝑚

𝑠]

Luego

𝑎 = 3𝑣0− 𝑣0

𝑡− 𝑡0 → 𝑎 =

2 𝑣0

𝑡=

2∗5 [𝑚

𝑠]

20 [𝑠]= 0,5 [

𝑚

𝑠2]

fx

0x

t T

x

2

21t

av

xx

oo

f

fv

Ov

t

v

ta

vv

Of

a

t

a

T

T

fv

Ov

t

vt

av

vO

f

fx

0x

t T

x

2

21t

av

xx

oo

f

T

t

a

T

a

Av

Av

3

d

Figura 3.21

Gráfico 3.5

Gráfico 3.6

Gráfico 3.7

Gráfico 3.8

Gráfico 3.9

Gráfico 3.10


70

Ejemplo 3.8

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta ABC con MRUV En el punto “A” su velocidad es

de 2 [pies/s], y en el punto “B”, 6 [pies/s], sabiendo que la distancia BC es el doble de la distancia AB, calcule la velocidad de la partícula en el punto “C”.

Solución

Datos: vA = 2 [pies/s]; vB = 6 [pies/s]

Entre “A” y “B” Entre “B” y “C”

𝑣𝐵2 = 𝑣𝐴

2 + 2 𝑎 𝑑𝐴𝐵 → 2 𝑎 𝑑𝐴𝐵 = 𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴

2 (1)

𝑣𝐶2 = 𝑣𝐵

2 + 2 𝑎 2 𝑑𝐴𝐵 → 4 𝑎 𝑑𝐴𝐵 = 𝑣𝑐2 − 𝑣𝐵

2 (2)

Reemplazando (1) en (2)

2 ( 𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴

2) = 𝑣𝐶2 − 𝑣𝐵

2 → 𝑣𝐶2 = 3 𝑣𝐵

2 − 2 𝑣𝐴2

𝑣𝐶 = √3 𝑣𝐵2 − 2 𝑣𝐴

2

𝑣𝐶 = √3 ∗ (6 [𝑝𝑖𝑒

𝑠])

2− 2 ∗ (2 [

𝑝𝑖𝑒

𝑠])

2 → 𝑣𝐶 = 10 [

𝑝𝑖𝑒

𝑠]

Ejemplo 3.9

Para 𝑡𝑜 = 0 [𝑠] un auto pasa por un punto P de una carretera en línea recta, con rapidez constante de

10 [𝑚 𝑠⁄ ] hacia la izquierda. Después de dos segundos por el mismo punto pasa otro móvil hacia la

derecha con una rapidez de 5 [𝑚 𝑠⁄ ] y con una aceleración de 2 [𝑚 𝑠2⁄ ] . ¿Después de qué tiempo (desde

que el primer móvil paso por P) la distancia entre los móviles será de 150 [𝑚]?

Solución

De la figura: 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 𝑑 (1)

Para el móvil A: 𝑥𝐴 = 𝑣𝐴𝑡 (2)

Para el móvil B: 𝑥𝐵 = 𝑣𝑜𝐵(𝑡 − 𝑡𝑜𝐵) + 1

2𝑎𝐵(𝑡 − 𝑡𝑜𝐵)2

𝑥𝐵 = 𝑣𝑜𝐵𝑡 − 𝑣𝑜𝐵𝑡𝑜𝐵 + 1

2𝑎𝐵𝑡2 − 𝑎𝐵𝑡 𝑡𝑜𝐵 +

1

2𝑎𝐵𝑡0𝐵

2 (3)


𝑣𝐴𝑡 + 𝑣𝑜𝐵𝑡 − 𝑣𝑜𝐵𝑡𝑜𝐵 + 1

2𝑎𝐵𝑡2 − 𝑎𝐵𝑡 𝑡𝑜𝐵 +

1

2𝑎𝐵𝑡0𝐵

2 = 𝑑

Reordenando, 1

2𝑎𝐵𝑡2 + (𝑣𝐴 + 𝑣𝑜𝐵 − 𝑎𝐵𝑡𝑜𝐵)𝑡 − 𝑣𝑜𝐵𝑡𝑜𝐵 +

1

2𝑎𝐵𝑡0𝐵

2 − 𝑑 = 0

1

2∗ 2 [

𝑚

𝑠2] 𝑡2 + (10 [

𝑚

𝑠] + 5 [

𝑚

𝑠] − 2 [

𝑚

𝑠2] ∗ 2 [𝑠]) 𝑡 − 5 [𝑚

𝑠] ∗ 2 [𝑠] +

1

2∗ 2 [

𝑚

𝑠2] ∗ (2 [𝑠])2 − 150 [𝑚] = 0

𝑡2 + 11 𝑡 − 156 = 0

Resolviendo, 𝑡 = − 11 ± √(11)2 − (4)(1)(− 156)

(2)(1)→ 𝑡 =

− 11 ±18,6

2 → 𝑡 = 8,1 [𝑠]

BxAx

d

PAv

Bv

Av

Bv

ABd ABd2

Cv

Figura 3.22

Figura 3.23


71

Ejemplo 3.10

Una partícula que se mueve con MRUV recorre 55 [𝑝𝑖𝑒] en 2 [𝑠]. Durante los próximos 2 [𝑠], recorre

77 [𝑝𝑖𝑒]. a) Determinar la rapidez inicial y la aceleración de la partícula. b) ¿Qué distancia recorrerá en

los próximos 4 [𝑠]?

Solución

a) 𝑥1 = 55 [𝑝𝑖𝑒]; 𝑥2 = 132[𝑝𝑖𝑒]; 𝑡1 = 2 [𝑠]; 𝑡2 = 4 [𝑠]

Para los primeros segundos, 𝑥1 = 𝑣𝑜𝑡1 + 1

2 𝑎 𝑡1

2

𝑥1 − 𝑣𝑜𝑡1 = 1

2 𝑎 𝑡1

2 (1)

Para cuatro segundos, 𝑥2 = 𝑣𝑜𝑡2 + 1

2 𝑎 𝑡2

2

𝑥2 − 𝑣𝑜𝑡2 = 1

2 𝑎 𝑡2

2 (2)

Dividiendo (2) entre (1), 𝑥2− 𝑣𝑜 𝑡2

𝑥1− 𝑣𝑜 𝑡1=

1

2 𝑎 𝑡2

2

1

2 𝑎 𝑡1

2 →

𝑥2− 𝑣𝑜 𝑡2

𝑥1− 𝑣𝑜 𝑡1=

𝑡22

𝑡12

(𝑥2 − 𝑣𝑜 𝑡2)𝑡12 = (𝑥1 − 𝑣𝑜 𝑡1)𝑡2

2

𝑥2 𝑡12 − 𝑣𝑜 𝑡2 𝑡1

2 = 𝑥1 𝑡22 − 𝑣𝑜 𝑡1 𝑡2

2

𝑣𝑜(𝑡1 𝑡22 − 𝑡2 𝑡1

2) = 𝑥1 𝑡22 − 𝑥2 𝑡1

2

𝑣𝑜 = 𝑥1 𝑡2

2− 𝑥2 𝑡12

𝑡1 𝑡22− 𝑡2 𝑡1

2

𝑣𝑜 = 55 [𝑝𝑖𝑒]∗(4 [𝑠])2− 132[𝑝𝑖𝑒]∗(2 [𝑠])2

2 [𝑠]∗(4 [𝑠])2− 4 [𝑠]∗(2 [𝑠])2

𝑣𝑜 = 22 [𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄ ]

De (1), 𝑎 = 2 (𝑥1− 𝑣𝑜 𝑡1)

𝑡12

𝑎 = 2∗{55 [𝑝𝑖𝑒]−22 [𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄ ]∗(2 [𝑠])}

(2 [𝑠])2

𝑎 = 5,5 [𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄ ]

b) Considerando que 𝑡3 = 8 [𝑠]

𝑥3 = 𝑣𝑜 𝑡3 + 1

2𝑎 𝑡3

2

𝑥3 = 22 [𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄ ] ∗ (8 [𝑠]) + 1

2∗ (5,5 [𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄ ]) ∗ (8 [𝑠])2

𝑥3 = 352 [𝑝𝑖𝑒]

Además, de (2), 𝑥2 = 𝑣𝑜𝑡2 + 1

2 𝑎 𝑡2

2

𝑥2 = 22 [𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄ ] ∗ (4 [𝑠]) +1

2∗ 5,5 [𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄ ] ∗ (4 [𝑠])2

𝑥2 = 132 [𝑝𝑖𝑒]

𝑥32 = 𝑥3 − 𝑥2 → 𝑥32 = 352 [𝑝𝑖𝑒] − 132 [𝑝𝑖𝑒]

𝑥32 = 220 [𝑝𝑖𝑒]


72

3.10. Caída libre

Uno de los ejemplos más comunes del movimiento rectilíneo uniformemente variado es el de un objeto

sometido a la aceleración de la gravedad cerca de la superficie terrestre.

La palabra “caída libre“, hace imaginar objetos que caen, sin embargo, el término se puede aplicar en

general a objetos que ascienden y descienden. Así, es posible utilizarlas ecuaciones del MRUV, con

algunos cambios, para describir la caída libre, lo cual según los parámetros iníciales del movimiento

proporcionan tres casos:

Caída libre simple

Caída libre impulsada

Lanzamiento vertical

El objeto posee aceleración, que es producida por la fuerza de atracción gravitatoria de la tierra y

recibe el nombre de “aceleración de la gravedad“. Esta aceleración a nivel del mar tiene un valor (módulo) aproximado de: g = 9,8 [m/s2] en presente libro, se tomará este valor en los cálculos en

los cuales se utiliza esta variable, y tiene dirección vertical y está dirigido hacia abajo (hacia el centro

de la tierra), por consiguiente la aceleración de la gravedad 𝑔 , es una magnitud vectorial.

El valor de g es sólo aproximado, ya que la aceleración debida a la gravedad varía ligeramente en

diferentes lugares, por efecto de las diferencias en la elevación y la masa promedio de la tierra. De

aquí en adelante, estas variaciones serán ignoradas. Otro factor que influye en la aceleración de un

objeto que cae, es la resistencia del aire, pero considerando que se sigue utilizando el modelo de partícula y considerando distancias de caída cortas, la resistencia del aire puede ser ignorada.

Luego, se puede decir que, los objetos en movimiento y velocidades pequeñas sólo bajo la influencia

de la fuerza de atracción gravitatoria, están en “caída libre“. La aceleración de la gravedad g, se

considera constante para todos los objetos en caída libre, sin tomar en cuenta su masa y geometría.

3.10.1. Caída libre simple

Cuando un objeto cae (se suelta), su velocidad inicial es nula (en el

instante en que se suelta). Sus características son:

Velocidad inicial nula v0 = 0.

Aceleración de la gravedad positiva en sentido del movimiento.

Desplazamientos siempre positivos.

Las ecuaciones que rigen este tipo de movimiento son:

ℎ =1

2 𝑔 𝑡2 (3.16 a)

𝑣𝑓 = 𝑔 𝑡 (3.17 a)

𝑣𝑓2 = 2 𝑔 ℎ (3.18 a)

ℎ =𝑣𝑓

2 𝑡 (3.19 a)

)(

h0.. hRN

00 v

fv

)(g

Figura 3.24


73

3.10.2. Caída libre impulsada

Cuando un objeto se lanza hacia abajo con una velocidad inicial v0

(su velocidad inicial no es nula), se denominara como caída libre impulsada. Sus características son:

Velocidad inicial hacia abajo.

Aceleración de la gravedad positiva en sentido del

movimiento. Desplazamientos siempre positivos.


ℎ = 𝑣0𝑡 + 1

2𝑔𝑡2 (3.16 b)

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑔𝑡 (3.17 b)

𝑣𝑓2 = 𝑣0

2 + 2 𝑔 ℎ (3.18 b)

ℎ =𝑣𝑓+ 𝑣0

2𝑡 (3.19 b)

3.10.3. Lanzamiento vertical

Cuando un objeto se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0

(su velocidad inicial no es nula), se denominara como lanzamiento vertical. Sus características son:

Velocidad inicial hacia arriba.

Velocidad final positiva en el ascenso y negativa en el

descenso. Velocidad final igual a cero para la altura máxima.

Velocidad final en el descenso en módulo igual a la velocidad

inicial al nivel de lanzamiento, en forma vectorial 𝑣 𝑓 = − 𝑣 0.

Aceleración de la gravedad negativa en sentido contrario al

movimiento inicial.

Desplazamientos positivos para el movimiento por encima

del nivel de lanzamiento y negativas para el movimiento por debajo del nivel de lanzamiento.


ℎ = 𝑣0 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2 (3.16 c)

máxh

stT

h

vt

0v

stT

v

vt

fv

st

a

vt

28,9

s

mg

)(

h

0.. hRN

0v

fv

)(g

Figura 3.25

)(

h

0.. hRN

0v

fv

)(

g

0

fv

)(

fv

)(

h

)(

fvFigura 3.26

Gráfico 3.11

Gráfico 3.12

Gráfico 3.13


74

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡 (3.17 c)

𝑣𝑓2 = 𝑣0

2 − 2 𝑔 ℎ (3.18 c)

ℎ =𝑣𝑓 + 𝑣0

2 𝑡 (3.19 c)

Ejemplo 3.11

Un estudiante arroja una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 10 [m/s]. Determinar:

a) la altura máxima que alcanza la pelota y,

b) el tiempo que permanece en el aire antes de regresar a la mano.

Solución

Datos: v0 = 10 [m/s]; g = 9,8 [m/s2]

a) Cuando alcanza la altura máxima su velocidad es, v = 0 [m/s].

𝑣𝑓2 = 𝑣0

2 − 2 𝑔 ℎ

𝑣𝑓2 = 0

} → ℎ = 𝑣0

2

2 𝑔

ℎ = (10 [

𝑚

𝑠])

2

2×9,8 [𝑚

𝑠2] → ℎ = 5,1 [𝑚]

b) Utilizando la ecuación “3.16 c”, para la subida,

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡

𝑣𝑓 = 0} 𝑡 =

𝑣0

𝑔

𝑡 = 10 [

𝑚

𝑠]

9,8 [𝑚

𝑠2] → 𝑡 = 1,02 [𝑠]

Luego el tiempo que permanece en el aire es, 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 2 𝑡 → 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 2,04 [𝑠].

Ejemplo 3.12

Se deja caer una piedra desde la orilla de un barranco. Se observa que toca el suelo después de 4,5

segundos. ¿Cuál es la altura del barranco?

Solución

Datos: 𝑣0 = 0 [𝑚/𝑠]; 𝑡 = 4,5 [𝑠]

En este caso se utiliza la ecuación “3.15 a”,

ℎ =1

2 𝑔 𝑡2 → ℎ =

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ (4,5 [𝑠])2 → ℎ = 99,2 [𝑚]


75

Ejemplo 3.13

Un saltamontes puede saltar verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 2,44 [m/s].

a) ¿Qué altura alcanza el saltamontes?

b) ¿Cuál es su posición y velocidad para los tiempos 0,125 [s], 0,20 [s] y 0,30 [s]?

c) ¿Después de qué tiempo el saltamontes se halla a una altura de 0,14 [m]?

Solución

Datos: v0 = 2,44 [m/s]; t1 = 0,125 [s]; t2 = 0,20 [s]; t3 = 0,30 [s]; y h = 0,14 [m]

a) Para los puntos “0” y “m” (máximo), y considerando que vm = 0 [m/s],

𝑣𝑚2 = 𝑣0

2 − 2 𝑔 𝑦 → 0 = 𝑣02 − 2 𝑔 𝑦

𝑦 = 𝑣0

2

2 𝑔 → 𝑦 =

(2,44 [𝑚

𝑠])

2

2×9,8 [𝑚

𝑠2]= 0,30 [𝑚]

b) Para t1 = 0,125 [s];

𝑦1 = 𝑣0𝑡1 − 1

2 𝑔 𝑡1

2 → 𝑦1 = 2,44 [𝑚

𝑠] ∗ 0,125 [𝑠] −

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ ( 0,125 [𝑠])2 = 0,228 [𝑚]

𝑣1 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡1 → 𝑣1 = 2,44 [𝑚

𝑠] − 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 0,125 [𝑠] = 1,215 [

𝑚

𝑠](En subida)

Para t2 = 0,20 [s];

𝑦1 = 𝑣0𝑡1 − 1

2 𝑔 𝑡1

2 → 𝑦1 = 2,44 [𝑚

𝑠] ∗ 0,20 [𝑠] −

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ ( 0,20 [𝑠])2 = 0,292 [𝑚]

𝑣1 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡1 → 𝑣1 = 2,44 [𝑚

𝑠] − 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 0,20 [𝑠] = 0,480 [𝑚

𝑠] (En subida)

Para t3 = 0,3 [s];

𝑦1 = 𝑣0𝑡1 − 1

2 𝑔 𝑡1

2 → 𝑦1 = 2,44 [𝑚

𝑠] ∗ 0,30 [𝑠] −

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ ( 0,30 [𝑠])2 = 0,291 [𝑚]

𝑣1 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡1 → 𝑣1 = 2,44 [𝑚

𝑠] − 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 0,30 [𝑠] = − 0,500 [𝑚

𝑠] (En bajada)

c) Para y = 0,14 [m]

𝑦 = 𝑣0 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2 →

1

2 𝑔 𝑡2 − 𝑣0 𝑡 + 𝑦 = 0

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] 𝑡2 − 2,44 [

𝑚

𝑠] 𝑡 + 0,14 [𝑚] = 0

4,9 [𝑚

𝑠2] 𝑡2 − 2,44 [

𝑚

𝑠] 𝑡 + 0,14 [𝑚] = 0

𝑡 = − 2,44 ± √(− 2,44)2− 4×4,9×0,14

2×4,9 →

𝑡1 = 0,066 [𝑠] 𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎

𝑡2 = 0,432 [𝑠] 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑎}


76

Ejemplo 3.14

Un estudiante parado en la terraza de un edificio tira una pelota

verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 [m/s]. Se observa que la pelota llega al suelo 4,25 segundos más tarde. a)

¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la pelota, con respecto del

suelo? b) ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo?

Solución

Datos: v0 = 12 [m/s]; t = 4,25 [s]

a) Tomando en cuenta los puntos “0” y “f”, y considerando la

ecuación general

𝑦𝑓 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2

Dónde: 𝑦𝑓 = 0 [𝑚], luego

0 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2 → 𝑦0 = − 𝑣0 𝑡 +

1

2 𝑔 𝑡2

𝑦0 = − 12 [𝑚

𝑠] ∗ 4,25 [𝑠] +

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ (4,25 [𝑠])2 → 𝑦0 = 37,5 [𝑚]

b) Para los puntos “0” y “m” (máximo) , y considerando que vm = 0 [m/s],

𝑣𝑚2 = 𝑣0

2 − 2 𝑔 ℎ → 0 = 𝑣02 − 2 𝑔 ℎ

ℎ = 𝑣0

2

2 𝑔 → ℎ =

(12 [𝑚

𝑠])

2

2∗9,8 [𝑚

𝑠2]= 7,35 [𝑚]

Entonces la altura sobre el suelo es:

𝑦 = 𝑦𝑜 + ℎ → 𝑦 = 37,5 [𝑚] + 7,35 [𝑚] = 44,85[𝑚]

c) Para el punto final

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡1 → 𝑣1 = 12 [𝑚

𝑠] − 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 4,25 [𝑠] = −29,65 [𝑚

𝑠] (Hacia abajo)

Ejemplo 3.15

Desde una altura de 120 [m] sobre el suelo se deja caer una pelota y en el mismo instante desde el

suelo se arroja otra pelota hacia arriba. Si las dos pelotas tienen la misma rapidez cuando se cruzan,

¿qué velocidad inicial tenía la pelota que fue arrojada desde el suelo?

Solución

Datos: y = 120 [m]

De la figura 3.28, y1 + y2 = y (1)

Para la pelota que cae:

𝑣𝑓12 = 2 𝑔 𝑦1 → 𝑦1 =

𝑣𝑓12

2 𝑔 (2)

Para la pelota que sube:

𝑣𝑓22 = 𝑣02

2 − 2 𝑔 𝑦2 → 𝑦2 = 𝑣02

2 − 𝑣𝑓22

2 𝑔 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

𝑣𝑓12

2 𝑔+

𝑣022 − 𝑣𝑓2

2

2 𝑔= 𝑦

0v

0y

h

..RNf

m

Figura 3.27

2Ov

1yg1

1fv

2

2fv

2y

Figura 3.28


77

𝑣𝑓12

2 𝑔 +

𝑣022

2 𝑔 −

𝑣𝑓22

2 𝑔= 𝑦

Como𝑣𝑓12 = 𝑣𝑓2

2 , entonces;

𝑣022

2 𝑔 = 𝑦 → 𝑣02 = √2 𝑔 𝑦 → 𝑣02 = √2 ∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 120 [𝑚] → 𝑣02 = 48,50 [𝑚

𝑠]

3.11. Movimiento relativo y absoluto

Movimiento absoluto es el que se analiza respecto a un sistema de referencia que se asume que no

se está moviendo, generalmente la Tierra.

El movimiento relativo relaciona dos cuerpos en movimiento.

El movimiento es un concepto relativo, porque se refiere a un sistema de referencia inercial escogido

por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar sistemas de referencia inercial

distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por estos.

3.11.1. Movimiento relativo independiente

Sean “A” y “B” dos puntos que se mueven en el espacio, los vectores

posición 𝑟 𝑂𝐴 y𝑟 𝑂𝐵se miden relativos al origen fijo “O” de un sistema

de referencia inercial y se denominan desplazamientos absolutos

de los puntos. Por lo general el sistema de referencia inercial donde

se ubica el punto “O” es la tierra.

El vector posición del punto “B” medido desde el punto móvil “A” se

representa por 𝑟 𝐵/𝐴 y se denomina posición relativa de “B” medido

respecto de “A” o simplemente, posición de “B” relativa a “A”, donde el sistema de referencia inercial en este caso es el punto “A”. Los

vectores desplazamiento, velocidad y aceleración guardan las

relaciones:

𝑟 𝐵/𝐴 = 𝑟 𝑂𝐵 − 𝑟 𝑂𝐴 (3.20)

𝑣 𝐵/𝐴 = 𝑣 𝑂𝐵 − 𝑣 𝑂𝐴 (3.21)

𝑎 𝐵/𝐴 = 𝑎 𝑂𝐵 − 𝑎 𝑂𝐴 (3.22)

Para el movimiento rectilíneo se tiene:

𝑥 𝐵/𝐴 = 𝑥 𝑂𝐵 − 𝑥 𝑂𝐴 (3.23)

o A B

XOAx

OBx

i

ABx /

Figura 3.29

Figura 3.30

AOr

OBr

o

XY

Z


78

Ejemplo 3.16

En un camión que viaja a 20 [m/s], una persona trota sobre la carrocería del mismo a la velocidad de

2 [m/s], mientras el camión viaja por una carretera. ¿Cuál es la velocidad de la persona respecto de la carretera?

a) Si trota en el mismo sentido al movimiento del camión.

En este caso las velocidades del camión y de la persona con respecto al camión son ambas positivas.

Datos: 𝑥 𝑂𝐶 = 20 [𝑚

𝑠] 𝑖; 𝑥 𝑃/𝐶 = 2 [

𝑚

𝑠] 𝑖

𝑥 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑂𝐶 + 𝑥 𝑃/𝐶 → 𝑥 𝑂𝑃 = 20 [𝑚

𝑠] 𝑖 + 2 [

𝑚

𝑠] 𝑖 → 𝑥 𝑂𝑃 = 22 [

𝑚

𝑠] 𝑖

b) Si trota en el sentido contrario al movimiento del camión.

En este caso la velocidad del camión es positiva y la de persona con respecto al camión es negativa.

Datos: 𝑥 𝑂𝐶 = 20 [𝑚

𝑠] 𝑖; 𝑥 𝑃/𝐶 = − 2 [

𝑚

𝑠] 𝑖

𝑥 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑂𝐶 + 𝑥 𝑃/𝐶 → 𝑥 𝑂𝑃 = 20 [𝑚

𝑠] 𝑖 − 2 [

𝑚

𝑠] 𝑖 → 𝑥 𝑂𝑃 = 18 [

𝑚

𝑠] 𝑖

Ejemplo 3.17

Un río tiene una rapidez uniforme de 0,5 [m/s] Un estudiante nada corriente arriba una distancia de

1 [km] y regresa al punto de partida. Si el estudiante puede nadar con una rapidez de 1,2 [m/s] en

agua tranquila, ¿cuánto dura el recorrido? Compare este resultado con el tiempo que duraría el recorrido si el agua estuviera tranquila.

Solución

El módulo de la velocidad del estudiante nadando en contra del río es de - 1,2 [m/], por lo tanto su

velocidad relativa al río es de:

𝑣𝐸/𝑅 = 𝑣𝑂𝑅 + 𝑣𝑂𝐸 = 1,2 [𝑚

𝑠] − 0,5 [

𝑚

𝑠] = 0,7 [

𝑚

𝑠]

Y el tiempo del estudiante corriente arriba es de:

𝑑 = 𝑣𝐸/𝑅𝑡𝑆 → 𝑡𝑆 = 𝑑

𝑣𝐸/𝑅=

1 000 [𝑚]

0,7 [𝑚

𝑠]

= 1 428,6 [𝑠]

El módulo de la velocidad del estudiante nadando corriente abajo es de 1,2 [m/], por lo tanto su

velocidad relativa al río es de:

𝑣𝐸/𝑅 = 𝑣𝑂𝑅 + 𝑣𝑂𝐸 = 1,2 [𝑚

𝑠] + 0,5 [

𝑚

𝑠] = 1,7 [

𝑚

𝑠]

El tiempo del estudiante nadando corriente abajo es de:

𝑑 = 𝑣𝐸/𝑅𝑡𝐵 → 𝑡𝐵 = 𝑑

𝑣𝐸/𝑅=

1 000 [𝑚]

1,7 [𝑚

𝑠]

= 588,2 [𝑠]

El tiempo total es de:

𝑡 = 1 428,6 [𝑠] + 588,2 [𝑠] = = 2 016,8[𝑠] = 33,61 [𝑚𝑖𝑛]

CPv /

CPv /

OCv

COv

Figura 3.31


79

Ejemplo 3.18

Un auto viaja con dirección este y a una velocidad de 50 [km/h]. Está cayendo lluvia verticalmente

con relación a la Tierra. Las gotas de lluvia sobre las ventanas laterales del auto forman un ángulo de 60,0° con la vertical. Encontrar la velocidad de la lluvia relativa al auto y la Tierra.

Solución

La velocidad de la lluvia con respecto al auto es:

𝑣 𝐿/𝐴 = 𝑣 𝑂𝐿 − 𝑣 𝑂𝐴

𝑣𝐿/𝐴 = 𝑣𝑂𝐴

cos60° → 𝑣𝐿/𝐴 =

50 [𝑘𝑚

ℎ]

cos60° → 𝑣𝐿/𝐴 = 100 [

𝑘𝑚

ℎ]

𝑣𝑂𝐿 = 𝑣𝑂𝐴

tg 60° → 𝑣𝑂𝐿 =

50 [𝑘𝑚

ℎ]

tg 60° → 𝑣𝑂𝐿 = 28,9 [

𝑘𝑚

ℎ]

13.11.2 Movimiento relativo dependiente

En muchos casos prácticos, dos partículas no pueden moverse

independientemente, sino que el movimiento de una depende del movimiento de la otra. Una dependencia o unión corriente consiste

en que las partículas estén unidas por una cuerda de longitud fija y

un conjunto de poleas como se ve en la figura 3.32.

Aun cuando ambas partículas estén animadas de movimiento rectilíneo, no tienen por qué moverse a lo largo de una misma recta. La posición de cada una de las partículas deberá determinarse respecto

a un origen fijo, a menudo conviene utilizar un origen diferente para cada partícula. Sin embargo,

incluso en el caso en que se muevan a lo largo de una misma recta y se midan respecto al mismo

origen fijo, conviene establecer por separado el sentido positivo correspondiente a cada punto, además que solo se deben considerar las segmentos de la(s) cuerda(s) que cambien de longitud cuando las

partículas se mueven. En estos casos se escribirá la ecuación de relación de las longitudes de los

segmentos de cuerdas para obtener la relación entre las longitudes de los segmentos de cuerda.

Hay que tener mucho cuidado en la interpretación de los sentidos positivos de desplazamientos,

velocidades y aceleraciones de acuerdo con los sentidos positivos que se hayan asignado a las coordenadas.

Ejemplo 3.19

Si el cuerpo “A” de la figura 3.32 se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 6 [m/s], determinar

la rapidez del cuerpo “B”. Además, si la rapidez del cuerpo A disminuye a razón de 1 [m/s2] determinar la aceleración del cuerpo “B”.

Solución

Las posiciones de los cuerpos están relacionadas por la longitud de la cuerda “L”, que es constante

𝐿 = 4 𝑥𝐴 + 2 𝑥𝐵 + 𝑐

Donde C es una constante correspondiente a la longitud de cuerda que está en contacto con las

gargantas de las poleas (que es constante) y las separaciones entre los centros de las poleas y los

cuerpos (que también son constantes). Los módulos de las velocidades y aceleraciones están en relación directa a los segmentos que varían en longitud xA y xB.

4 𝑣𝐴 = 2 𝑣𝐵 → 2 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵

4 𝑎𝐴 = 2 𝑎𝐵 → 2 𝑎𝐴 = 𝑎𝐵

A BC

xA xB

Figura 3.33

OAv

OLv

60LAv

Figura 3.32


80

Donde 𝑣𝐵será positiva dirigida hacia la derecha (el mismo sentido en que se ha medido xB) y𝑣𝐴 será

positiva dirigida hacia la izquierda (el mismo sentido en que se ha medido Por tanto.

𝑣𝐵 = −12 [𝑚

𝑠] → 𝑣𝐵 = 12 [

𝑚

𝑠] ←

𝑎𝐵 = − 2 𝑎𝐴 → 𝑎𝐵 = 2 [𝑚

𝑠2] →

Ejemplo 3.20

Si el cuerpo “A” de la figura 3.34 se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 4 [m/s], determinar el movimiento del cuerpo “B”.

Solución

Midiendo las posiciones de los cuerpos a partir del centro de la polea

superior, según se indica, la longitud de la cuerda es:

𝑠 = 𝑥𝐴 + 2 𝑥𝐵 + 𝑐

Los módulos de las velocidades y aceleraciones están en relación directa

a los segmentos que varían en longitud xA y xB.

𝑣𝐴 = 2 𝑣𝐵 → 𝑣𝐵 =1

2𝑣𝐴 → 𝑣𝐵 =

1

2∗ 4 [

𝑚

𝑠2]

𝑣𝐵 = −2 [𝑚

𝑠] = 2 [

𝑚

𝑠] ↑

(Obsérvese que los cuerpos no tienen por qué moverse a lo largo de una misma recta en tanto que se muevan con movimiento rectilíneo a lo largo de rectas y la ligadura pueda expresarse en función

de sus posiciones a lo largo de dichas rectas.)

B

AAv xA

xB

Figura 3.34


81

CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN

3.1. El segmento de recta dirigido (vector) que une el punto de partida con el de llegada se

denomina:

a) Posición b) Desplazamiento c) Tangente d) Rapidez instantánea

3.2. El cambio de la rapidez en el tiempo se denomina:

a) Aceleración b) Velocidad c) Itinerario d) Desplazamiento

3.3. Cuando un cuerpo tiene una aceleración igual a cero, podemos asegurar que el cuerpo:

a) Comienza a moverse b) Mantiene su velocidad constante

c) Frena repentinamente d) Se mueve con velocidad variable

3.4. El tiempo que tarda en caer una pelota desde una altura de 10 [m] es una magnitud:

a) Uniforme b) Vectorial c) Derivada d) Escalar

3.5. La pendiente obtenida al graficar el módulo de la velocidad versus el tiempo en un

movimiento rectilíneo, representa:

a) El módulo de la aceleración b) El módulo de la velocidad c) La distancia recorrida d) La rapidez

3.6. Analizar las afirmaciones que se hacen sobre los módulos de la aceleración y velocidad de

un móvil en un instante dado:

A) v = 0 y a ≠ 0 B) v = cte. y a variable C) v variable y a = cte. D) v > 0 y a < 0

Elegir la combinación en que todas las afirmaciones sean correctas:

i) A, B y C ii) B, C y D iii) A, C y D iv) A y B

3.7. El área sombreada en el grafico representa:

a) El módulo de la velocidad media

b) El módulo de la aceleración media c) Un cambio en el módulo de la velocidad

d) El módulo del desplazamiento

3.8. Dos coches “A” y “B”, que tienen velocidades respectivas de 𝑉𝐴𝑖 𝑦 − 𝑉𝐵𝑖, se acercan por una

carretera recta. En el instante inicial la distancia que los separa es de 500 [m]. Si sus

velocidades permanecen constantes, el tiempo que tardan en encontrarse es directamente

proporcional a:

a) VA − VB b) VA + VB c)1

VA− VB d)

1

VA+ VB

3.9. Un pasajero dentro de un ascensor que sube con rapidez constante deja caer de su bolsillo una moneda. El módulo de la aceleración de la moneda respecto del pasajero es:

a)−9,8 [𝑚

𝑠2] b)0 c) 8,8 [𝑚

𝑠2] d)9,8 [𝑚

𝑠2]

3.10. Un ascensor sube con aceleración 𝑎 . El pasajero que se encuentra en el ascensor deja caer

un libro. ¿Cuál es la aceleración del libro respecto al pasajero después que cae?

a) 𝑎 − 𝑔 b) 𝑔 − 𝑎 c) 𝑔 + 𝑎 d) 𝑎 e)cero

3.11. Marcar la proposición correcta.

a) En las noches el módulo de aceleración de la gravedad es mayor que en el día.

b) La aceleración de la gravedad es la misma en todos los planetas.

c) Los cuerpos no necesariamente caen hacia el centro de la tierra.

v

t

Figura 3.35


82

d) Cuando un cuerpo sube, la aceleración de la gravedad está dirigida hacia arriba.

e) La aceleración de la gravedad siempre es vertical y apunta hacia el centro de la

Tierra.

3.12. En un lanzamiento hacia arriba en el vacío ¿Qué alternativa no se cumple cuando la velocidad

de lanzamiento es 𝑣0?

a) 𝑡𝑉𝑢𝑒𝑙𝑜 = 2 𝑣0

𝑔

b) ℎ𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑣0

2

2 𝑔

c) La rapidez en subida es igual a la rapidez en bajada a la misma altura.

d) En el punto de altura máxima, el módulo de la aceleración de la gravedad se hace

cero al igual que el módulo de la velocidad. e) El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

3.13. Una piedra que se suelta desde una altura “h” llega al suelo con una rapidez “v”. ¿Desde

qué altura “H” debe soltarse para que llegue al suelo con “2 v”?

a) H = h b) H = 2h c) H = 4h d) H = 3h e) Ninguno

3.14. Si se suelta una piedra en el vacío, marcar verdadero o falso para las siguientes

proposiciones.

( ) En cada segundo recorrería 9,8 [m].

( ) En cada segundo su velocidad aumentaría en 9,8 [m/s]. ( ) Para grandes alturas de caída en el vacío la piedra iría aumentando su peso.

3.15. Una persona, situada al borde de un precipicio, lanza dos piedras con la misma velocidad

inicial: una piedra “A” verticalmente hacia arriba y otra “B” verticalmente hacia abajo. Si

despreciamos el rozamiento del aire, ¿cuál llega al suelo con mayor velocidad?

a) A

b) B

c) Llegan las dos con la misma velocidad.

d) Es necesario conocer el valor de la masa de cada piedra.

3.16. Una piedra se deja caer desde un cuarto piso. Cuando pasa por la ventana del segundo piso, alguien deja caer un plato desde esa ventana. ¿Cuál llega antes al suelo?

a) La piedra. b) El plato. c) Ambos llegan a la vez. d) Depende de la altura de los pisos.

3.17. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba en el instante t = 0 [s] y cae de nuevo. ¿Qué

inciso del gráfico 3.14, representa correctamente la variación de su rapidez en el tiempo?

3.18. Se lanzan dos piedras verticalmente hacia arriba, si la primera “A”, alcanza el triple de altura

que la segunda “B”. La relación entre la rapidez inicial de ambas vA/vB es:

a) 2 b) √2 c) 4 d) 3 e) √3 f) 9

3.19. Si el módulo de la aceleración de la gravedad en un planeta fuera el doble de la terrestre y

se lanzara hacia arriba un cuerpo con la misma velocidad, con la que se lanzó en la tierra,

¿cuál de las siguientes alternativas no se cumpliría?

t

v

t

v

t

v

t

v)a )b )c )d

Gráfico 3.14


83

a) La altura alcanzada en dicho planeta sería la mitad de la alcanzada en la Tierra.

b) El tiempo de vuelo sería la mitad del empleado en la Tierra.

c) La altura alcanzada en dicho planeta sería el doble del alcanzado en la Tierra. d) La rapidez de retorno sería igual a la de lanzamiento que tuvo en la Tierra.

e) En este caso en el punto de altura máxima la gravedad tampoco desaparece.

3.20. Un móvil que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza por todo lo

siguiente, excepto:

a) Recorre distancias iguales en tiempos iguales.

b) El desplazamiento conserva la dirección y el sentido.

c) La rapidez y el módulo de la velocidad tienen el mismo valor en todo momento.

d) La variación de la velocidad en el tiempo es constante y distinta de 0. e) La velocidad instantánea es constante en módulo, dirección y sentido.

3.21. Relacionar el concepto con uno de los enunciados de la derecha.

A. Distancia o recorrido ( ) Conjunto de puntos por los que pasa un móvil.

B. Vector posición ( ) La cantidad de metros recorridos por un móvil.

C. Rapidez instantánea ( ) La rapidez de un móvil en un cierto instante. D. Trayectoria ( ) Punto del espacio donde se encuentra un cuerpo.

E. Pendiente ( ) Posición final de un cuerpo menos la posición inicial.

F. Vector desplazamiento ( ) Inclinación de una recta en un gráfico expresada en

las unidades de los ejes.

3.22. Relacionar los términos de la izquierda con los enunciados de la derecha.

A. Movimiento ( ) Cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro al

transcurrir el tiempo.

B. Trayectoria ( ) Sustituye a todo cuerpo de cualquier forma como un punto con masa.

C. Desplazamiento ( ) Camino que sigue un cuerpo al moverse.

D. Distancia ( ) Magnitud vectorial, del punto final del movimiento de un

cuerpo al punto inicial. E. Móvil ( ) Longitud de la trayectoria.

F. Partícula ( ) Cuerpo que se mueve o susceptible de moverse.

3.23. Se encuentran tres amigos, Hugo, Paco y Luis que el día anterior se habían divisado. Hugo

dice, “ayer los estuve viendo y me di cuenta que se movían muy rápido”, ante ello Paco

responde, “creo que te equivocas, yo en ningún momento me di cuenta que Luis se estuviera moviendo”, y claro, Luis también tenía algo que decir, y dijo: “Hugo, no, no, fuiste tú el que

te movías y no me di cuenta que Paco se estuviera moviendo”. Elabore una situación en

donde todo lo que dicen los amigos sea cierto. ¿O es imposible que ello ocurra?

3.24. ¿Por qué sería correcto considerar un vehículo que lleva una velocidad constante como sistema de referencia sin embargo sería incorrecto considerarlo como tal mientras está

frenando?

3.25. ¿Puede en un espacio no muy extenso, una sala de clases por ejemplo, haber más de un

sistema de referencia?

3.26. De un manzano se cae una manzana y en ella va un lindo gusanito. El famoso “come

manzanas” que se encuentra en la tierra, observa como cae la manzana en dirección a la

Tierra. Respecto a él mismo, ¿cómo vería el gusanito al “come manzanas”?

3.27. Puede suceder que un cuerpo con el módulo de su aceleración constante disminuya su

rapidez. Analiza esta afirmación y cita ejemplos (o contra ejemplos) que la avalen (o desvirtúen).


84

3.28. La curva del gráfico 3.15, da la relación entre el camino recorrido “d”,

por un cuerpo en función del tiempo “t”. ¿Qué se puede concluir de

este gráfico?

3.29. Explicar que significa una aceleración de – 0,2 [m/s2].

3.30. Explicar que significa una rapidez constante de 70 [km/min]

3.31. Indicar a qué tipo de movimiento corresponden los incisos del gráfico 3.16.

3.32. Corregir el siguiente enunciado: “Un auto de carreras en un circuito, da una vuelta a una velocidad constante de 90 millas por hora”.

3.33. ¿Qué velocidad tiene un objeto que viaja en un móvil?

3.34. En una sala cuyas dimensiones son de 12 [m] y 16 [m], un objeto se mueve, por una

trayectoria cualquiera, desde una esquina de la sala a la otra diametralmente opuesta.

a) ¿Cuál fue el desplazamiento del objeto?

b) La longitud de la trayectoria seguida por el objeto, ¿podría ser mayor que el módulo

del desplazamiento del objeto? ¿Podría ser igual? ¿Podría ser menor?

3.35. ¿Un objeto que tiene aceleración constante puede detenerse y permanecer detenido?

3.36. En las siguientes afirmaciones sobre movimiento, analizar cada una e indicar si es verdadera o falsa.

( ) Un objeto puede tener, simultáneamente, aceleración constante (≠ 0) y velocidad

constante.

( ) Cuando un objeto desacelera, marcha siempre hacia atrás.

( ) La caída libre es un ejemplo de movimiento acelerado

( ) El tiro vertical (objeto lanzado verticalmente hacia arriba) es un ejemplo de movimiento variado.

( ) La trayectoria de un objeto depende del punto de referencia que se adopte.

( ) Un objeto que tiene una rapidez constante de 8 [m/s], recorre 1 metro en 8

segundos.

( ) Un cuerpo que cae libremente en el vacío durante 3 segundos, alcanza una velocidad de 29,4 [m/s].

( ) Cuando un auto recorre una curva está cambiando su velocidad.

( ) Cuando un objeto cae libremente su aceleración cambia.

3.37. Para cada uno de los siguientes enunciados indique si es verdadero o falso.

( ) El movimiento de un cuerpo se puede describir sin necesidad de un sistema de

referencia.

( ) Si una partícula se desplaza por una trayectoria curva con rapidez constante, su

aceleración es nula. ( ) Si en un instante determinado, en los gráficos v vs t y a vs t las componentes de

la velocidad y aceleración tienen signo negativo, el movimiento es acelerado.

( ) Una partícula es siempre un cuerpo muy pequeño.

t

x

t

v

t

a

t

v)a )b )c )d

t

d

oGráfico 3.15

Gráfico 3.16


85

( ) En el MRUV la aceleración media es una constante.

( ) Una partícula puede tener desplazamiento negativo con velocidad media positiva.

( ) Un móvil acelerado puede en algún instante tener velocidad nula. ( ) La rapidez media es mayor o igual al módulo de la velocidad media.

( ) Un cuerpo presenta aceleración solo cuando cambia la rapidez del mismo.

( ) Si luego de un intervalo de tiempo un auto tiene velocidad media cero, entonces

estuvo en reposo. ( ) La velocidad media y la aceleración media tienen la misma dirección.

( ) Un cuerpo con aceleración constante puede cambiar su dirección de movimiento.

( ) En un gráfico “v” – “t” si la recta corta el eje del tiempo el móvil cambia de

sentido. ( ) En un gráfico “x” – “t” si dos rectas se intersectan en un punto se puede decir que

en ese instante se encuentran.

( ) Si un ciclista realiza dos vueltas su desplazamiento es nulo.

3.38. Respecto a la caída de los cuerpos en el vacío marcar verdadero “V” o falso “F”:

( ) Todos los cuerpos soltados en el vacío, desde un mismo nivel, pesados y livianos llegan al suelo al mismo tiempo.

( ) La distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo.

( ) La velocidad es proporcional al cuadrado de la distancia.

3.39. Explicar la diferencia entre desplazamiento y trayectoria.

3.40. Explicar la diferencia entre velocidad y rapidez, ¿cuáles son sus unidades?

3.41. Explicar la diferencia entre rapidez media y velocidad promedio.

3.42. Si se sale de casa al mercado que se encuentra a 5 [km] de distancia y se vuelve a casa.

¿Cuál es el valor del desplazamiento? ¿Y la distancia recorrida?

3.43. ¿Qué clase de movimiento adquiere un cuerpo si:

a) Cae libremente.

b) Se lanza verticalmente hacia arriba.

c) Se lanza verticalmente hacia abajo.

3.44. ¿Qué diferencia hay entre el movimiento de un cuerpo que se lanza verticalmente hacia

abajo y el que se deja caer libremente?

3.45. ¿Cuando el cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, ¿cuánto vale la rapiddez al alcanzar

la máxima altura?

3.46. ¿Qué relación existe entre la velocidad con que se lanzó y la que lleva cuando regresa al mismo punto de donde se lanzó el cuerpo del problema anterior?

3.47. ¿Por qué si todos los cuerpos caen con la misma aceleración, al dejar caer desde la misma

altura una piedra y un pedazo de papel abierto, llega antes al suelo uno de ellos?

3.48. Suponga que está en un ascensor en caída libre, sujeta sus llaves sin movimiento frente a su cara, y después las suelta, ¿qué sucederá? Explique porque.

3.49. Explique por qué la distancia recorrida por un cuerpo durante su décimo segundo de caída

es mayor que la distancia recorrida durante su primer segundo.

3.50. Una hormiga se mueve como se muestra en la figura. Determine:

a) La distancia total recorrida

b) El módulo del desplazamiento

A

C

][6 m

][8 m

Figura 3.36


86

3.51. Un móvil se desplaza horizontalmente y recorre una distancia AB en tramos iguales. El

primero con una velocidad constante de 20 [m/s], el segundo a razón de 30 [m/s] y el

tercero a razón de 60 [m/s]. Determinar su velocidad promedio

3.52. Una partícula se mueve a lo largo de una recta y ocupa las siguientes posiciones (en relación

a un punto arbitrario de la recta) en varios instantes.

tiempo [s] 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

posición [cm] 8,0 5,0 4,0 5,0 8,0 13,0

Diga cuáles de las afirmaciones que siguen están correctas, y cuáles no en relación con este

movimiento.

a) La velocidad media de la partícula, entre los instantes 2,0 [s] y 5,0 [s] tiene módulo

de 3,0 [cm/s].

b) El desplazamiento de la partícula entre los instantes, 1,0 [s]y 3,0 [s], es 10,0 [cm].

c) ¿Existe un instante en que la velocidad de la partícula es nula? d) El movimiento de la partícula en el intervalo de tiempo en que fue observada, es

MRU.

3.53. Un motociclista conduce hacia el sur a 20,0 [m/s] durante 3,00 [min], luego vira al oeste y

viaja a 25,0 [m/s] por 2,00 [min] y, por último, viaja hacia el noreste a 30,0 [m/s] durante

1,00 [min]. Para este viaje de 6,00 [min], encuentre:

a) El vector desplazamiento.

b) La rapidez promedio.

c) la velocidad promedio. Use un sistema coordenado en el cual el este sea el eje “x”

positivo.

3.54. Un esquiador se desplaza con rapidez constante de 2

[m/s] por un plano horizontal como muestra la figura

3.37. Luego desciende durante 3 segundos por una

pendiente acelerando a 3 [m/s2].

a) ¿Qué distancia recorre horizontalmente

durante 8 segundos?

b) ¿Cuál fue su aceleración en ese tramo?

c) ¿Con qué rapidez llegó al final de la pendiente

si demoró 3 segundos en descender por ella? d) ¿Cuál fue la rapidez media del esquiador en todo el recorrido?

3.55. Un leopardo puede correr a 113 [km/h], un halcón puede volar a 161 [km/h] y un atún

puede nadar a 105 [km/h] Si nos imaginamos que los tres animales forman un equipo y

corren una carrera de relevos, cada uno recorriendo una distancia “L” con sus velocidades indicadas.

a) ¿Cuál sería el módulo de la velocidad media del equipo?

b) Comparar el resultado obtenido con la media de las tres velocidades.

3.56. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1 200 [cm/s] durante 9 [s], y luego con velocidad media de 480 [cm/s] durante 7 [s], siendo ambas velocidades del

mismo sentido:

a) ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 [s]?

b) ¿Cuál es la velocidad media del viaje completo?

3.57. Un móvil se dirige de "A" hacia "B" con una velocidad constante "V", regresa de "B" hacia

"A" con una velocidad "2V" y vuelve a ir de "A" hacia "B" con una velocidad "3V". Hallar su

velocidad y rapidez promedio.

Figura 3.37

Tabla 3.2


87

3.58. Un móvil inicia un movimiento a 60 [km/h] manteniendo ésta velocidad durante 8 [h] y

luego regresa al punto de partida a 120 [km/h]. Hallar la velocidad y rapidez promedio en

[km/h].

3.59. Determinar la rapidez media en los siguientes dos casos:

a) Usted camina 80 [m] con velocidad de 1,0 [m/s] y después corre 80 [m] con una

velocidad de 3,0 [m/s] en línea recta;

b) Usted camina durante 1 [min] con una velocidad de 1,0 [m/s] y después corre 1 [min] a 3,0 [m/s].

3.60. Un atleta corre 2,5 [km] en línea recta en 9 [min] y luego tarda 30 [min] en volver andando

al punto de partida.

a) ¿Cuál es la velocidad media durante los primeros 9 [min]? b) ¿Cuál es la velocidad media durante el tiempo que camina?

c) ¿Cuál es la velocidad media a lo largo de todo el recorrido?

d) ¿Cuál es la rapidez media para todo el recorrido?

3.61. Se produce un disparo a 2,04 [km] de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía

en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 340 [m/s]?

3.62. La velocidad del sonido es de 340 [m/s] y la de la luz es de 300 000 [km/s]. Se produce un

relámpago a 50 [km] de un observador.

a) ¿Qué llega primero al observador, la luz o el sonido?

b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?

3.63. En un pequeño pueblo, la sirena del cuerpo de bomberos anuncia las 12 del día. Suponiendo

que el sonido empieza exactamente a las 12 horas, 0 minutos y 0 segundos. ¿A qué hora,

exacta, se empezará a escuchar en una casa ubicada a 5,1 [km] de la ubicación de la sirena?

3.64. Un perro emite un ladrido frente a un edificio y sorprendido escucha su propio eco luego de 0,4 [s]. ¿A qué distancia está el edificio, respecto al perro?

3.65. Dos cuerpos pasan por un mismo punto al mismo tiempo en sentidos opuestos, se mueven

con la misma rapidez, si al cabo de 3 [h] la distancia que las separa es de 780 [km].

Determinar el valor de la rapidez de cada cuerpo.

3.66. Dos automóviles pasan por un mismo punto al mismo tiempo, uno con una rapidez de 80

[km/h], y el otro a 120 [km/h] a qué distancia se encuentran al cabo de un cuarto de hora

si:

a) Van en el mismo sentido.

b) Van en sentido contrario.

3.67. Un coche viaja de El Alto hacia Viacha a 72 [km/h]; en el mismo momento una moto pasa

por Viacha para ir a El Alto con una velocidad de 10 [m/s]. Entre El Alto y Viacha hay 28

[km].

a) Calcular la posición de ambos móviles a los 2 minutos. b) En qué tiempo se cruzan.

c) ¿A qué distancia de Viacha se produce el cruce?

3.68. A las 9 horas de la mañana pasa por una estación de servicio un vehículo robado con una

velocidad constante de 90 [km/h]. A los diez minutos pasa por el mismo punto un coche de la policía persiguiendo al primero con una velocidad de 126 [km/h].

a) ¿Cuánto tiempo tardará la policía en detener a los ladrones?

b) ¿En qué posición tendrá lugar la detención?

c) Realizar las gráficas v-t y x-t de los dos coches.


88

3.69. En el momento de hacer un atraco, un ladrón es descubierto por un policía que se encuentra

a 100 [m] de distancia. El ladrón sale corriendo a 18 [km/h] mientras que el policía lo

persigue a 27 [km/h]. El ladrón tiene un cómplice con una moto a 300 [m] de distancia. ¿Podrá el policía atrapar al ladrón? Encontrar la solución numérica y gráficamente.

3.70. Dos abejas salen al mismo tiempo de su panal con velocidades de 6,0 [m/s] y 8 [m/s] con

dirección hacia el jardín de flores. Una llega en un noveno de hora antes que la otra. Hallar

la distancia entre el panal y el jardín de flores.

3.71. En un recorrido de 10 [km] un conductor excede la velocidad máxima permitida de 50

[km/h] en unos 10 [km/h] por término medio. ¿Cuánto tiempo ha ganado?

3.72. Un coche que marcha con una velocidad constante de 20 [m/s] pasa por un cruce en el

instante t = 0 [s] y 5 [s] después pasa por el mismo cruce un segundo coche que viaja en el mismo sentido pero a 30 [m/s].

a) Hallar el instante en que el segundo coche adelanta al primero.

b) ¿Cuánto han recorrido ambos coches desde el cruce al ocurrir el adelantamiento?

c) ¿Dónde se encuentra el primer coche cuando el segundo pasa el cruce?

3.73. Un coche que va a 81 [km/h] adelanta a otro que va a 72 [km/h].

a) ¿Qué distancia se requerirá para este adelantamiento? Supóngase que cada coche

tiene una longitud de 4,5 [m] y que existe una separación de 18 [m] entre ellos antes

y después del adelantamiento.

b) Teniendo en cuenta la aproximación de otro coche en sentido contrario a 80 [km/h], ¿qué longitud de carretera debe estar libre?

3.74. Dos ciclistas avanzan por un terreno plano. Ambos pedalean a 36 [km/h]. El segundo ciclista

pasa por un punto de señalización “P” un minuto después que el primero.

a) ¿Qué distancia les separa en ese instante? Unos kilómetros más adelante, los ciclistas comienzan a subir hacia un puesto de montaña distante 18 [km]. El primer ciclista

sube todo el puesto a 18 [km/h]. El segundo sube los primeros 9 [km] del puesto a

esa misma velocidad de 18 [km/h].

b) ¿Cuánto tiempo después que el primer ciclista llega el segundo a mitad del puesto? c) ¿Qué distancia les separa en esa situación?

d) ¿A qué velocidad ha de subir el perseguidor la segunda mitad del puesto para dar

alcance al escapado antes de la cima?

3.75. Dos móviles “A” y “B” están separados 30 [km] y se mueven a velocidades constantes. “A”

está a la izquierda y “B” a la derecha. Si se mueven en el mismo sentido se encuentran cuando el móvil “B” ha recorrido 10 [km], si lo hacen en sentidos opuestos se encuentran

40 minutos después de empezar a moverse. ¿Qué velocidad lleva cada uno?

3.76. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar

un puente de 405 [m] de largo. ¿Cuál es su longitud?

3.77. Dos autos parten de un punto “A” hacia un punto “B” con velocidades constantes de 20 y

30 [m/s] Simultáneamente del punto “B” parte un tercer móvil con una velocidad de 40

[m/s] hacia “A” Si la distancia entre “A” y “B” es de 1 625 [m] ¿Qué tiempo ha de pasar

para que el tercer móvil se encuentre en medio de los otros dos?

3.78. Dos móviles se dirigen, partiendo al mismo tiempo, uno contra el otro con velocidades

constantes. Si las distancias que recorren hasta encontrarse están en relación 1:4 y la suma

de la rapidez de ambos móviles es 20 [m/s], hallar la velocidad de cada móvil.

3.79. Un policía persigue a un ladrón que corre a una velocidad de 10 [m/s]. En el instante en que

el policía se encuentra a 200 [m] del ladrón dispara una bala con una velocidad de 102 [m/s] Halle la distancia que logra recorrer el ladrón hasta que es alcanzado por la bala

sabiendo que el policía corría a 8 [m/s].


89

3.80. Dos amigos, Juan y Carlos, van a su encuentro con velocidades de 1 y 2 [m/s]

respectivamente. Cuando están separados 900 [m] el perro que acompañaba a Juan va

donde Carlos y apenas llega regresa donde Juan y así sucesivamente, hasta que Juan y Carlos se encuentran. ¿Qué distancia recorrió el perro durante todo ese tiempo? La velocidad

del perro es de 15 [m/s])

3.81. Dos autos “A” y “B” parten simultáneamente de un mismo punto con velocidades constantes

de 5 y 8 [m/s] respectivamente siguiendo direcciones que forman 60º entre sí ¿Qué distancia los separa luego de 10 [s]?

3.82. A continuación se presenta un gráfico de “d” vs. “t”, de dos

autos con diferentes velocidades:

a) ¿Cuál tiene mayor rapidez?

b) ¿Cuánto vale la rapidez del auto A?

3.83. Analizando el gráfico 3.18:

a) ¿Qué tipo de movimiento tiene el coche en los

diferentes intervalos del recorrido?

b) Calcular la rapidez de cada intervalo. c) Calcular la rapidez media de todo el recorrido.

d) Representa la correspondiente gráfica “v” vs

“t”.

3.84. El movimiento de un coche viene representado por el gráfico posición vs tiempo.

a) Explica el movimiento de este automóvil.

b) Calcular la rapidez en cada tramo.

c) En qué instantes el coche está en la posición 200 [m].

d) Encuentra la velocidad media del

movimiento.

e) ¿Cuál es la velocidad media hasta los 50 [s]?

f) Realizar la gráfica “v” vs “t” que corresponde.

3.85. Un coche sigue una trayectoria según el siguiente

gráfico “v” vs “t”. Se sabe que en el instante inicial

su posición es cero.

a) ¿Qué tipo de movimiento tiene el coche en los diferentes intervalos del recorrido?

b) Calcular el recorrido de este coche al término

de cada intervalo de tiempo.

c) ¿Cuál ha sido su desplazamiento? d) ¿Qué velocidad media ha mantenido?

e) Construir la gráfica posición-tiempo

correspondiente

t (s)o

d (m)

4

8

12

42 6 8

Auto A

Auto B

t (s)o

x (m)

10

4 12 168

20

30

t (s)o

x (m)

200

20 60 8040

400

t (s)o

v (m/s)

20

100 300 400200

40

- 20

Gráfico 3.17

Gráfico 3.18

Gráfico 3.19

Gráfico 3.20


90

3.86. El gráfico 3.21, representa el recorrido de un auto en

función del tiempo.

Contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál fue la posición inicial del auto?

b) ¿Durante cuánto tiempo estuvo detenido?

c) ¿Cuántos [km] recorrió en cada tramo?

d) En qué instantes el auto va para adelante. e) ¿en qué instante va para atrás?

f) Calcular la rapidez en cada tramo.

g) ¿En cuál tramo fue más rápido?

h) ¿Cuál fue la posición final? i) ¿Cuál fue la distancia total recorrida?

j) Graficar rapidez vs tiempo para cada tramo.

3.87. El gráfico 3.22, representa el recorrido de un auto en

función del tiempo.

Contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo detenido?

b) ¿Cuántos [km] recorrió en cada tramo?

c) ¿En cuál tramo fue más rápido?

d) Graficar rapidez vs tiempo para cada tramo.

3.88. Para escapar del campo gravitacional de la tierra la velocidad necesaria es 12 000 [m/s]. La

máxima aceleración a la que puede ser sometido el ser humano es 66 [m/s2]. Suponiendo

que un cohete parte del reposo con aceleración constante,

a) ¿Cuál es el tiempo mínimo que tarda en alcanzar la velocidad de escape? b) ¿Qué distancia recorre en este lapso?

3.89. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 [s] una

velocidad de 588 [m/s]. Calcular:

a) La aceleración. b) ¿Qué distancia recorrió en esos 30 [s]?

3.90. Un móvil que se desplaza con rapidez constante aplica los frenos durante 25 [s] y recorre

400 [m] hasta detenerse. Calcular:

a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

b) ¿Qué rapidez tenía el móvil antes de aplicar los frenos?

3.91. Un móvil se desplaza con MRUV partiendo del reposo con una aceleración de 51840 [km/h²],

calcular:

a) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 [s]?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 [s] de la partida? c) Representar gráficamente la rapidez en función del tiempo.

3.92. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 0,3 [m/s²], transcurridos

2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:

a) ¿Cuántos kilómetros recorrió en los 2 primeros minutos? b) ¿Qué distancia, en kilómetros, habrá recorrido a las 2 horas de la partida?

3.93. Un auto de carreras acelera en 402 [m] con una aceleración de 17,0 [m/s2] Entonces, se

abre un paracaídas, la velocidad del auto disminuye con una aceleración de - 6,10 [m/s2].

¿Cuál es la velocidad del auto después de 3,50*102 [m] después de abrir el paracaídas?

200

600

][kmx

4 8 12 ][ht

200

600

][kmx

4 8 12 ][ht

Gráfico 3.21

Gráfico 3.22


91

3.94. Un móvil lleva una velocidad de 30 [m/s] la cual se mantiene constante durante 10 [s],

después acelera a razón de 1,5 [m/s2] durante 25 [s]. Finalmente comienza a frenar a razón

de 2 [m/s2] hasta detenerse totalmente.

a) ¿Cuál fue la distancia total recorrida?

b) ¿Cuánto tiempo duro el movimiento?

3.95. Se llama tiempo de reacción al que transcurre desde que un conductor observa un obstáculo

hasta que pisa el pedal del freno. Normalmente es de algunas décimas de segundo. Suponga que la velocidad que lleva es de 90 [km/h], el tiempo de reacción es de 0,4 segundos y que

la desaceleración es de 3 [m/s2].

a) Calcular la distancia necesaria para quedar en reposo.

b) Representar las gráficas “x” vs “t”, “v” vs “t” y “a” vs “t” del movimiento.

3.96. Un auto y un camión están separados 50 metros. El camión se mueve con una velocidad

constante de 54 [km/h] mientras que el auto, que está inicialmente parado, arranca con

una aceleración de 1,6 [m/s2].

a) ¿Cuánto tiempo tardará el auto en alcanzar al camión?

b) ¿En qué posición estarán entonces? c) ¿Qué velocidad llevará el auto en este instante?

d) Realizar las gráficas a-t, v-t y x-t de los dos movimientos.

3.97. Un peatón corre con la máxima velocidad posible de 6 [m/s] para alcanzar un autobús que

está parado en un semáforo. Cuando está a 25 metros el semáforo se pone verde y el autobús acelera uniformemente a partir del reposo a razón de 1 [m/s2].

a) Calcular el tiempo que tardará en alcanzar el autobús, si es que no se le escapa.

b) Si no lo alcanza, cual es la mínima distancia a la que se aproxima el peatón al

autobús. c) Realizar las gráficas x-t y v-t de los movimientos.

3.98. Dos coches circulan por el mismo carril pero en sentidos contrarios con velocidades de 90

[km/h] y 108 [km/h]. Cuando se divisan uno al otro están a 100 [m] de distancia y los dos

comienzan a frenar con una aceleración de 5 [m/s2].

a) ¿Llegarán a chocar?

b) Si lo hacen, ¿en qué posición tendrá lugar el impacto?

3.99. En los juegos olímpicos de Londres del año 2012UsainBolt de Jamaica estableció un nuevo

récord del mundo en los 100 [m] planos con una marca de 9,63 [s]. supongamos que aceleró

desde el reposo a aceleración constante y que alcanzó su velocidad máxima en 3 [s], la cual mantuvo hasta llegar a la meta. ¿Cuál fue su aceleración en la prueba?

3.100. A partir del reposo, un gato puede lograr una aceleración de 4 [m/s2]. Si va a la caza de un

ratón que puede lograr una aceleración de 2 [m/s2], y si éste inicia la huida desde el reposo

un segundo más tarde que el gato, Calcule el tiempo que emplea el gato en atrapar al ratón si la separación inicial entre el gato y el ratón era de 12 [m].

3.101. Un camión y un automóvil viajan por una carretera rectilínea con iguales velocidades de 72

[km/h], cuando el auto está a 5 [m] detrás del camión comienza a acelerar a razón de 2,5

[m/s2] hasta colocarse 55 [m] delante del camión. Sabiendo que la máxima velocidad alcanzada por el automóvil fue de 90 [km/h], determinar el tiempo mínimo que demora la

operación.


92

3.102. Un tren de 220 metros de longitud se mueve hacia un cruce de

carreteras que se encuentra a 2 000 [m] de distancia, con una

velocidad constante de 90 [km/h]. Por una carretera perpendicular a la vía del tren a 2,88 [km] de distancia, se acerca un motociclista

suicida a una velocidad de 72 [km/h], ¿Cuáles son las

aceleraciones mínima y máxima para que el motociclista choque

con el tren?

3.103. La tabla siguiente indica los valores del tiempo y la rapidez de un automóvil que se desplaza

en una carretera plana y recta.

tiempo [s] 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

rapidez[m/s] 5,0 8,0 11,0 14,0 17,0

a) ¿Cuál es la variación de la rapidez en cada uno de los intervalos considerados de 1,0

[s]? ¿Son iguales entre sí estas variaciones? En tal caso ¿cómo se clasificaría el movimiento?

b) ¿Cuál es el valor de la aceleración del automóvil?

c) ¿Cuál era el valor de la rapidez inicial del automóvil (en el instante t = 0 [s])?

3.104. Un coche deportivo puede alcanzar, partiendo del reposo, una rapidez de 96 [km/h] en 8

segundos. Un atleta puede recorrer 100 [m] en 10,7 [s]. Supóngase que el atleta corre con velocidad constante y que el coche arranca en el instante en que pasa aquel a su lado. ¿Qué

distancia habrán recorrido ambos cuando el coche adelante al atleta?

3.105. En el instante en que el semáforo se pone verde, un automóvil, que está detenido en el

cruce, arranca con aceleración constante de 2 [m/s2]. En el mismo instante, una camioneta, con rapidez constante de 10 [m/s] le da alcance y lo adelanta.

a) ¿A qué distancia del punto de partida alcanzará el automóvil a la camioneta?

b) ¿A qué rapidez lo hará?

3.106. Un cuerpo parte del reposo y avanza 18 [m] en los tres primeros segundos. ¿Cuántos metros avanzará en los 2 segundos siguientes?

3.107. Determinar los parámetros de un movimiento uniformemente acelerado (x0, v0 y a),

sabiendo que el móvil tiene una velocidad de 17 [m/s] a los 4 [s] de haberse comenzado a

medir el tiempo, y que en los instantes 2 y 4 segundos dista del origen 12 y 40 [m],

respectivamente.

3.108. En un movimiento uniformemente variado las distancias recorridas por el móvil en los

instantes 1, 3 y 5 segundos son, respectivamente, 55 [cm], 225 [cm] y 555 [cm]. Calcular

la distancia inicial, la velocidad inicial y la aceleración.

3.109. Un móvil posee una velocidad de 10 [m/s] y acelera uniformemente a razón de 4 [m/s2] durante una décima de minuto. ¿Qué distancia recorrió en total sumando sus

desplazamientos del quinto y el sexto segundo de su movimiento?

3.110. Un móvil pasa por un punto “P” con una velocidad de 1,10 [m/s] y recorre una trayectoria

rectilínea con aceleración constante de – 0,100 [m/s2]. ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por un punto situado a 1,05 [m] del punto “P”? Interpretar físicamente los dos tiempos

obtenidos.

3.111. Un automóvil parte de un semáforo con aceleración constante de 0,75 [m/s2]. Poco tiempo

después se cruza con un autobús que circula por la misma calle en sentido contrario con una velocidad constante de 6 [m/s] Sabiendo que el bus pasa por el semáforo 20 [s] después

de que el automóvil salió de él, calcular cuando y donde se cruzaron los dos vehículos.

3.112. Dos móviles “A” y “B” están separados 2,000 [km]. Parten simultáneamente en el mismo

sentido, ambos con aceleración constante. El móvil “B”, que es el más lento tiene una

Figura 3.38

Tabla 3.3


93

aceleración de 0,3200 [m/s2]. Si se encuentran a 3,025 [km] del punto de partida del más

lento, determinar la aceleración de “A” y las velocidades de ambos al momento de

encontrarse.

3.113. María en un concurso dispone de un minuto para ir y venir en una moto llevando un paquete.

¿Qué distancia máxima podrá alejarse con rapidez constante de 20 [m/s], si puede regresar

a partir del reposo con aceleración máxima de 8 [m/s2]?

3.114. Dos partículas se encuentran separadas 400 [m]; si se acercan una hacia la otra a partir del reposo y acelerando a razón de 1,50 [m/s2] y 2,50 [m/s2]. ¿Qué tiempo debe transcurrir

para que estén separados una distancia igual a la inicial?

3.115. Dos móviles “A” y “B” parten del reposo simultáneamente de un punto “P”, y se desplazan

en un mismo sentido con aceleraciones de 6,00 [m/s2] y 4,00 [m/s2]. Hallar el tiempo que debe pasar para que equidisten de un punto “Q” distante a 200 [m] del punto de partida.

3.116. Un tren tiene una gráfica rapidez vs tiempo como la que se

ilustra en el gráfico 3.23.

a) ¿Cuál es su aceleración?

b) ¿Qué distancia recorre en los primeros 20 [s]?

3.117. Se lanza una bola por un plano inclinado, sube sobre el plano hasta que se para y después

vuelve en bajar. Realizar las gráficas “x” vs “t”, “v” vs “t” y “a” vs ”t” aproximadas del

movimiento.

3.118. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 10 [m/s2].

a) Construir las gráficas “x” vs “t”, “v” vs “t” y “a” vs ”t”.

b) Repetir las gráficas considerando que la velocidad inicial es 5 [m/s].

3.119. Un móvil viajando a 72 [km/h], frena con una aceleración de 2 [m/s2].

a) Realizar las gráficas “x” vs “t” y “v” vs “t” de su movimiento. b) Calcular el tiempo que tarda en detenerse.

c) ¿Qué distancia recorre antes de detenerse?

3.120. Dado el gráfico 3.24 y sabiendo que el móvil sale del

reposo,

a) Calcular las velocidades finales de cada

intervalo (suponiendo que inicialmente la

velocidad es cero).

b) Calcular las posiciones finales de cada tramo.

c) Calcular la velocidad media a los 8 segundos y también a los 16 segundos.

d) Representar, las gráficas “x” vs “t” y “v” vs

“t”.

3.121. Observar los incisos del gráfico 3.25, y obtener de cada inciso, la máxima información posible de los movimientos que representan.

t (s)o

v (m/s)

10

20

30

4020 60 80

40

t (s)o

a (m/s2)

1

4 12 168

2

- 1

Gráfico 3.23

Gráfico 3.24


94

3.122. ¿Qué inciso del gráfico 3.26, representa correctamente el movimiento de una partícula que

tiene rapidez positiva y aceleración negativa?

3.123. ¿Qué par de incisos del gráfico 3.27, NO representa correctamente un movimiento

uniformemente acelerado?

3.124. La velocidad de un objeto como función del tiempo

moviéndose a lo largo del eje x se muestra en el gráfico 3.28.

a) Graficar la aceleración versus tiempo.

b) Determinar la aceleración del objeto en el intervalo de

tiempo t = 5 [s] a t = 15 [s].

3.125. Una roca cae libremente recorriendo la segunda mitad de la distancia de caída en 3 [s]. Encontrar:

a) La altura desde la cual se soltó.

b) El tiempo total de caída.

3.126. Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de 125 [m] de altura. Calcular cuánto tardará en caer y con que velocidad llegará al suelo.

3.127. Un objeto se suelta desde la terraza de un edificio y se observa que choca con el suelo al

cabo de 2,5 segundos.

a) ¿Con qué rapidez llega al suelo?

b) ¿Cuál es la altura dela terraza? c) Realizar las gráficas del movimiento.

t (s)o

v (m/s)

3

6

42 6 8 t (s)o

x (m)

3

6

42 6 8

)b)a

t

v

t

v

t

v

t

v)a )b )c )d

t t

v

t

v

t

a)a )b )c )d

a

t (s)o

v (m/s)

- 4

- 8

4

105 15 20

8

Gráfico 3.25

Gráfico 3.26

Gráfico 3.27

Gráfico 3.28


95

3.128. Calcular ladistancia recorrida durante el sexto segundo por un objeto que cae libremente.

3.129. A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos “A” y “B”,

siendo estas de 29,4 [m/s] y 39,2 [m/s] respectivamente. Realizar el esquema del movimiento, y determinar:

a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre “A” y “B”?

b) ¿Cuál es la distancia entre “A” y “B”?

c) ¿Cuál será su velocidad 6 [s] después de pasar por “B”?

3.130. Suponiendo que en un planeta “X”, un objeto que cae libremente duplica su velocidad

cuando cae 90 [m] en 3 segundos. Calcular la aceleración de la gravedad del planeta “X”.

3.131. Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 [s] se oye el choque contra el fondo, si

la velocidad del sonido es de 340 [m/s], ¿cuál es la profundidad del pozo?

3.132. Una pelota cae desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en pasar por delante de

una ventana de 2,5 [m] de alto (longitud de la ventana). ¿A que distancia de la cornisa se

encuentra el marco superior de la ventana?

3.133. Dos piedras caen desde un mismo punto pero con dos segundos de diferencia.

a) ¿Qué distancia las separa a los 15 segundos de empezar a caer la primera? b) ¿Con qué diferencia de tiempo llegarán al suelo que está 1000 [m] por debajo?

3.134. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de su caída se realiza en el último

segundo, calcular el tiempo total de caida en segundos.

3.135. Desde qué altura se deja caer una piedra, si para hacer la primera mitad del trayecto tarda 5 segundos más que para hacer la segunda.

3.136. Dos móviles se lanzan al mismo tiempo verticalmente hacia abajo. Uno con velocidad de 13

[m/s] y el otro con 4 [m/s] ¿qué distancia separara uno del otro al cabo de 3 segundos?

3.137. Desde un puente se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 8 [m/s], si la piedra tarda 2,5 [s] en llegar al agua, determinar:

a) ¿Con qué velocidad llega al agua?

b) ¿Cuál es la altura del puente?

3.138. Una pelota se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba. Al cabo de un segundo, ha recorrido 25 [m]. Calcular la velocidad inicial y la altura máxima alcanzada.

3.139. Se deja caer una bolsa de correo desde un helicóptero que desciende constantemente a una

velocidad de 1,5 [m/s]. Al cabo de 2 segundos:

a) ¿Cuál es la rapidez de la bolsa?

b) ¿A qué distancia está por debajo del helicóptero en ese tiempo? c) ¿Cuáles son las respuestas a los ítemes a y b si el helicóptero se eleva

constantemente a 1,5 [m/s]?

3.140. Un observador situado a 40 [m] de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta

velocidad y al cabo de 10 [s] lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido.

a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?

b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?

3.141. Se lanzan simultáneamente dos piedras verticalmente hacia arriba, si la primera “A”, alcanza el triple de altura que la segunda “B”. Hallar la relación entre sus velocidades iníciales

𝑣0𝐴/𝑣0𝐵.

3.142. Dos personas en un edificio, uno a la altura de 100 [m] y el otro a 150 [m] sobre el suelo y colocadas sobre la misma vertical, lanzan arriba dos esferas al mismo tiempo, el primero


96

lanza con una velocidad de 25 [m/s] y el segundo a 5 [m/s]. Determine la altura a la que

chocan las esferas.

3.143. Un niño tira una piedra hacia arriba con una velocidad inicial de módulo v0, ¿Cuál es la velocidad de la piedra cuando ha recorrido la mitad del trayecto descendente?

3.144. Dos flechas son disparadas verticalmente hacia arriba. Las velocidades iníciales son tales

que ambas alcanzan su máxima altura respectiva en el mismo instante. La velocidad inicial

de la primera flecha es de 25,0 [m/s] y la segunda flecha se dispara 1,20 [s] después de de la primera. Determinar la velocidad inicial de la segunda flecha.

3.145. Un globo asciende verticalmente con una velocidad de 3 [m/s] Cuando está a 200 [m] del

suelo suelta un lastre.

a) ¿Cuánto tiempo tarda el lastre en tocar el suelo? b) ¿Cuál será la velocidad en ese instante?

3.146. Se lanzan dos piedras verticalmente hacia arriba: la primera “A”, desde 20 [m] más arriba

que la segunda “B”. Si ambas piedras alcanzan la misma altura 60 [𝑚]. ¿Qué relación existe

entre sus velocidades iníciales 𝑣0𝐴/𝑣0𝐵?

3.147. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba, desde el mismo punto, con dos segundos de intervalo, el primero con una velocidad inicial de 50 [m/s] y el segundo con

velocidad inicial de 80 [m/s]

a) ¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren?

b) ¿A qué altura sucederá?

c) ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese momento?

3.148. Un ascensor de carga se mueve hacia arriba con una rapidez constante 𝑣𝑜 = 5 [𝑚 𝑠⁄ ]. cuando

el ascensor se encuentra a una altura ℎ = 35 [𝑚], del piso del ascensor, cae accidentalmente

un paquete. Determinar a que altura se encuentra el ascensor cuando el paquete llega al

suelo.

3.149. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba de forma que tiene una velocidad de 8 [m/s] cuando ha alcanzado la mitad de su altura máxima.

a) ¿Con qué velocidad se lanzó?

b) ¿A qué altura sube?

c) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado?

3.150. Un cuerpo se lanza verticalmente hacía arriba desde una ventana y luego de 4 segundos

triplica su rapidez. Hallar la máxima altura alcanzada por el cuerpo respecto al lugar de

lanzamiento.

3.151. Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arriba con rapidez “v” la cual toca el césped

con velocidad “2v”, considerando que la mano del árbitro suelta la moneda a 1,2 [m] sobre

el césped halle “v” en [m/s].

3.152. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, y sube con una aceleración constante de 14,7 [m/s2] durante 8 [s]. En este momento se le acaba el combustible, y el

cohete continúa su movimiento de manera que únicamente está sujeto a la fuerza de

atracción gravitatoria.

a) Calcular la altura máxima a la que llega el cohete.

b) Calcular el tiempo transcurrido desde la salida hasta la vuelta del cohete a la superficie de la tierra.

c) Realizar el gráfico velocidad vs tiempo de este movimiento.


97

3.153. Se lanza una pelota hacia arriba en forma vertical y alcanza 2,7 [m] de altura ¿con que

velocidad inicial se arrojó? Cuando la primera pelota alcanza su máxima altura se lanza una

segunda con la misma velocidad inicial ¿a qué altura se cruzan?

3.154. Desde lo alto de una torre de 200 [m] se deja caer un objeto, al mismo tiempo, desde su

base se lanza hacia arriba otro objeto con una velocidad de 100 [m/s]. Hallar la altura desde

la base a la que se cruzan.

3.155. Dos globos aerostáticos en t = 0 [s], están separados por 196 [m], uno encima del otro en la vertical. El superior asciende con una velocidad de 10,0 [m/s], mientras que el inferior

desciende con una velocidad de 4,7 [m/s]. Si en t = 0 [s] del superior se deja caer un

paquete hacia el inferior: calcular el tiempo en que dicho paquete cae desde el nivel de la

barquilla del globo superior al nivel de la barquilla del globo inferior.

3.156. Un ascensor cuya cabina tiene 2,10 [m] de alto está ascendiendo con una velocidad de 1,5

[m/s]. Si del techo del ascensor se suelta un perno.

a) Calcúlese el tiempo que el perno permanece en el aire.

b) ¿Qué distancia ha cubierto en ese tiempo?

3.157. Un globo se eleva desde el suelo con una aceleración constante de 0,9 [m/s2]. Cinco segundos después, una piedra se tira verticalmente hacia arriba desde el sitio de

lanzamiento. ¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima de la piedra para que alcance a tocar

el globo? Considerar que la piedra y el globo tienen la misma rapidez en el instante del

contacto.

3.158. Desde lo alto de un acantilado, se deja caer una piedra, desde la misma altura se lanza una

segunda piedra 2 [s] más tarde con una rapidez de 30 [m/s]. Si ambas golpean el piso

simultáneamente. Encuentre: La altura del acantilado.

3.159. Un esfera de madera se suelta a un metro de distancia de la superficie libre de un estanque lleno de agua, si el agua produce una desaceleración de 4 [m/s2] sobre la esfera. ¿Qué

profundidad máxima alcanza la esfera en el estanque?

3.160. Desde el borde de la azotea de un edificio se suelta una esferita y en ese mismo instante un

muchacho de 1,70 [m] de estatura, parado a 10 [m] del punto de impacto de la esferita, parte acelerado con 1,25 [m/s2]. Si al llegar a dicho punto, la esferita da en la cabeza del

muchacho. ¿Qué altura tiene el edificio?

3.161. Se lanza una piedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 30 [m/s]. Una persona

que está dentro del edificio ve la piedra entre 1 [s] y 1,1 [s] después de haber sido lanzada.

a) ¿A qué altura está la ventana? b) ¿Qué altura tiene la ventana?

c) ¿A qué altura llegará la piedra?

d) Realizar las gráficas “x” vs “t”, “v” vs “t” y “a” vs “t” del movimiento.

3.162. Un osado vaquero sentado sobre la rama de un árbol desea caer verticalmente sobre un caballo que galopa debajo del árbol. La rapidez del caballo es de 10 [m/s] y distancia de la

rama a la silla de montar es de 3 [m].

a) ¿Cuál debe ser la distancia horizontal entre la silla y la rama cuando el vaquero salta?

b) ¿Cuánto tiempo está en el aire?

3.163. Un suicida se deja caer desde un edificio de 80 [m] de altura. Unos bomberos se encuentran

con una bolsa para caídas a una distancia de 16 [m] ¿Con qué aceleración deben partir los

bomberos para salvar al suicida?

3.164. A una altura “h” del suelo se lanza simultáneamente dos bolas con la misma rapidez, una

verticalmente hacia arriba y la otra verticalmente hacia abajo. La primera bola llega al suelo 5 [s] más tarde que la segunda. ¿Con qué velocidad fueron lanzadas las bolas?


98

3.165. En el punto “P” mostrado en la figura 3.39 se lanza

una piedra verticalmente hacia arriba, con una

rapidez inicial de 20 [m/s]. Si el carro “C” parte del reposo en el instante en que la piedra se encuentra

a su máxima altura, ¿cuál debe ser la aceleración del

carro para que la piedra haga impacto en su interior?

3.166. Un paracaidista se deja caer de un helicoptero en reposo desde una altura dada y cuando ha recorrido las ¾ partes de dicha altura, abre el paracaídas y empieza a caer con una

rapidez constante de 10 [m/s]. ¿Qué tiempo demoró en llegar al suelo si el tiempo que

demora en su caída libre es igual al tiempo que tardó en su caída con rapidez constante.

3.167. Un paracaidista se deja caer desde un helicóptero inmovil a 1 200 [m] de altura. A los 6 [s] de caer, abre el paracaídas y continua bajando con velocidad constante igual a la que alcanza

a los 6 [s]. Dos segundos después de abrir el paracaídas, desde el helicóptero se dispara

verticalmente un proyectil. ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del proyectil para que pase

frente al paracaídas, cuando se encuentra a 100 [m] de altura?

3.168. Una plataforma se desplaza en línea recta manteniendo una velocidad de 7 [m/s]. Si de ésta se tira una bola verticalmente hacia arriba y esta vuelve luego que la plataforma a recorrido

70 [m]. ¿Con qué velocidad se lanzó la bola?

3.169. Hay cuatro automóviles en una carretera, uno rojo, otro amarillo, otro verde y uno azul que

se mueven como se señala en la figura 3.40. Si las velocidades indicadas son respecto a la carretera, y al conductor del auto verde le preguntaran: ¿cuáles son las velocidades de los

demás automóviles?, respecto a él, ¿qué respondería?

3.170. Antonio está sentado a la orilla de la carretera, en un momento observa a dos vehículos,

una camioneta se acerca de izquierda a derecha a razón de 80 [km/h] y uno tractor amarillo va de derecha a izquierda a razón de 20 [km/h]. Si en la camioneta va instalado un radar

de esos que miden la “velocidad” de los vehículos, ¿qué velocidad mediría al tractor amarillo?

3.171. Un río tiene una velocidad estable de 0,500 [m/s]. Un estudiante nada aguas arriba una

distancia de 1,00 [km] y regresa al punto de partida. Si el estudiante puede nadar a una velocidad de 1,20 [m/s] en agua sin corriente, ¿cuánto tiempo dura su recorrido? Comparar

este con el tiempo que duraría el recorrido si el agua estuviera quieta.

3.172. ¿Cuánto tiempo tarda un automóvil que viaja en el carril izquierdo a 60,0 [km/h] para

alcanzar a otro automóvil (que lleva ventaja) en el carril derecho que se mueve a 40,0

[km/h], si las defensas delanteras de los autos están inicialmente separadas 100 [m]? Resolver este problema utilizando movimiento relativo.

3.173. Un bote cruza un río de ancho d = 160 [m] en el cual la corriente tiene una velocidad

uniforme de 1,50 [m/s]. El piloto mantiene un rumbo (es decir, la dirección en la que el bote

apunta) perpendicular al río y una reducción de velocidad constante para tener una velocidad de 2,00 [m/s] relativa al agua.

a) ¿Cuál es la velocidad del bote respecto de un observador estacionario en la orilla?

b) ¿Qué tan lejos, aguas abajo, está el bote de su posición inicial cuando alcanza la

orilla opuesta?

35 (m/s) 50 (m/s) 75 (m/s)50 (m/s)

C

][28 m

][60 m

P Figura 3.39

Figura 3.40


99

3.174. El piloto de un avión observa que la brújula indica que va rumbo al oeste. La velocidad del

avión relativa al aire es de 150 [km/h]. Si hay un viento de 30,0 [km/h] hacia el norte,

encontrar la velocidad del avión relativa al suelo.

3.175. Un niño en peligro de ahogarse en un río está siendo arrastrado por una corriente que tiene

una velocidad de 2,50 [km/h]. El niño se encuentra a 0,600 [km] de la orilla y a 0,800 [km]

aguas arriba de un atracadero de botes cuando un bote de rescate arranca para salvarlo.

a) Si el bote avanza a su velocidad máxima de 20,0 [km/h] relativa al agua, ¿qué dirección relativa a la orilla debe tomar el piloto?

b) ¿Qué ángulo forma la velocidad del bote con la orilla?

c) ¿Cuánto tarda el bote en llegar a salvar al niño?

3.176. El piloto de un avión se orienta hacia el oeste en presencia de un viento que sopla hacia el sur a 75 [km/h]. Si la rapidez del avión respecto al viento es 500 [km/h].

a) ¿Cuál es su rapidez respecto a la tierra?

b) ¿en qué dirección se desvía el avión?

c) ¿en qué dirección debe dirigirse el avión para ir hacia el oeste?

d) En este caso ¿cuál será su rapidez respecto a la tierra?

3.177. Una persona se encuentra en el interior de un automóvil cuyo velocímetro indica 60 [km/h].

¿Con qué velocidad esta persona observaría?

a) Un automóvil que viaja al lado en el mismo sentido, a 60 [km/h]

b) Un poste situado en la acera de la calle

3.178. En la figura 3.41, el bloque “A” se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 1 [m/s],

disminuyendo a razón de 0,5 [m/s2] y el bloque “C” está fijo. Determinar la velocidad y la

aceleración del bloque “B”, la velocidad de “B” relativa a “A” y la aceleración de “B” relativa

a “A”.

3.179. En la figura 3.42, el bloque “B” se mueve hacia la derecha con una rapidez de 3 [m/s], la

cual disminuye a razón de 0,3 [m/s2] y el bloque “C” está fijo. Determinar la velocidad y la

aceleración del bloque “A”, la velocidad de “A” relativa a “B” y la aceleración de “A” relativa

a “B”.

3.180. En la figura 3.43, el bloque “B” se mueve hacia la derecha con una rapidez de 2 [m/s], la

cual aumenta a razón de 0,3 [m/s2] y el bloque “C” esta fijo. Determinar la velocidad y la

aceleración del bloque “A”. la velocidad de “B” relativa a “A” y la aceleración de “B” relativa

a “A”.

3.181. En la figura 3.44 el torno “T” está devanando cable a la razón constante de 1,5 [m/s]. Si el bloque sobre el que está montado el torno está fijo, determinar la rapidez del bloque “A”.

3.182. En la figura 3.45, el ascensor “E” sube con una rapidez de 2 [m/s], la cual disminuye a razón

de 0,2 [m/s2]. Determinar la velocidad y la aceleración del contrapeso “C”. la velocidad de

“C” relativa a “E” y la aceleración de “C” relativa a “E”.

A BC

Av

A BC

Bv

Figura 3.41

Figura 3.42


100

3.183. En la figura 3.46, el bloque “A” se mueve hacia la derecha con rapidez de 5 [m/s], la cual

disminuye a razón de 0,2 [m/s2]. Determinar la velocidad y la aceleración del bloque “B”.

3.184. En la figura 3.47, el bloque “B” desciende con una rapidez de 1,5 [m/s], la cual disminuye a razón de 6 [cm/s2]. Determinar la velocidad y la aceleración del bloque “A”. Figurá 3.46.

3.185. En la figura3.48, el motor “T” está devanando cable a la razón constante de 2 [m/s].

Determinar la rapidez del contrapeso “C” relativa al ascensor.

A BCBv

A C

T

E C

Ev

Av

B

A

B

A

Bv

T

C

Figura 3.43

Figura 3.44

Figura 3.45

Figura 3.46

Figura 3.47

Figura 3.48

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Capítulo 3 Cinemática en una dimensión