ResumenEn este trabajo se presenta una tcnica novedosapara la caracterizacin espectral con alta resolucin de procesosarmnicos ocultos en ruido coloreado. La aproximacin propuesta enfoca el problema de la estimacin espectral a travs la fusininteligente de dos paradigmas: (i) estimacin paramtrica delneas espectrales que identifica la seal multi-armnica aplicando el mtodo modificado por regularizacin de Prony (MORP) y (ii)estimacin espectral no paramtrica de Mxima Entropa (ME) yde Mnima Varianza (MV) para la caracterizacin del espectrodistribuido que representa el ruido coloreado. Mediante lapropuesta de la fusin de estrategias se alcanza una mejorasubstancial tanto en la resolucin de lneas espectrales cercanasentre si, como en la reconstruccin de las caractersticas deespectro distribuido del ruido de fondo. Se verifica el mtodopropuesto fusionado en dos versiones: MORP-ME y MORP-MVmediante los resultados de simulaciones computacionales yaplicaciones particulares.

Palabras Clave Anlisis Espectral, Estimador de MximaEntropa (ME), Estimador de Mnima Varianza (MV), MtodoModificado por Regularizacin de Prony (MORP).

I. INTRODUCCINa estimacin de la densidad espectral de potencia (PSDpor sus siglas en ingls Power Spectral Density) es tema

de gran importancia en el mbito del procesamiento de datosen diversas reas de las ciencias y la ingeniera. Lateledeteccin o percepcin remota, procesamiento de voz,procesamiento de imgenes, procesamiento de sealesbiomdicas, comunicaciones y econometra son slo algunosejemplos de su aplicacin [1], [2], [3], [4]. De maneraespecfica, el aspecto de la resolucin, tanto espacial deobjetos tipo fuentes puntuales cercanamente espaciados comola temporal generada por tonos de frecuencias cercanas, y lacaracterizacin de procesos armnicos inmersos en ruidocoloreado, han sido tpicos clave en el desarrollocontemporneo de mtodos de estimacin espectral [1], [2],[3], [5], [6].

J. L. Ponce-Dvalos pertenece al Departamento de Ingeniera Electrnicadel ITESM, Campus Guadalajara, Av. Gral. Ramn Corona 2514, Zapopan,Jal., C.P. 45214, Mxico. (e-mail: jlponce@itesm.mx).

Y.V. Shkvarko pertenece al Departamento de Telecomunicaciones delCINVESTAV del IPN, Unidad Guadalajara, Av. Lpez Mateos Sur 590,Guadalajara, Jal., Mxico. (e-mail: shkvarko@cts-design.com).

A la fecha, se ha propuesto una amplia variedad de mtodosde estimacin espectral, entre los que destacan diferentesversiones de los mtodos de mxima entropa de Burg [1], elde mxima verosimilitud de Capon [2], mtodos basados en ladescomposicin de la matriz de correlacin de datos entrminos de sus eigenvalores y eigenvectores (Pisarenko [2],MUSIC [1] ESPRIT [3]) y la formulacin Bayesiana demxima entropa [5], [6].

La intencin principal de las diferentes propuestas deestimacin espectral consiste en obtener mtodos que puedanmanifestar un buen desempeo tanto de superresolucin (i.e.poder distinguir fuentes puntuales cercanas entre s [2]), comode alta resolucin, (i. e. poder estimar la PSD deobservaciones con espectro distribuido de banda limitadacomo, por ejemplo, las generadas por el ruido coloreado [12]).Para evaluar el desempeo de las diversas propuestas deestimacin espectral, es conveniente proponer secuencias dedatos obtenidas de manera sinttica, esto tiene la ventaja deque se podr trabajar con datos controlados, que pueden ser devalor real o de valor complejo permitiendo as incluirespectros no simtricos.

La alta resolucin y la superresolucin son situacionesincompatibles cuando se analiza la estimacin espectral enforma global [1], [2], [3], [7], [8]. Por ello, los mtodosreferidos se han enfocado principalmente a situaciones en lasque la escena de fondo se considera como ruido blancoGaussiano, y desafortunadamente poco se ha trabajado enescenarios en los que las seales de inters se encuentraninmersos en ruido coloreado. Ms an, a la fecha no existemtodo que aborde la problemtica de la alta resolucin y lasuperresolucin de manera conjunta [1], [2], [3], [5], [7], [10],[17], [18].

Por otra parte, entre los mtodos de estimacin de lneasespectrales para el caso de modelos de seales multi-armnicas, los mtodos de Prony y el de descomposicinarmnica de Pisarenko son de los ms extensamenteempleados [3], [8] [9], [10], [11]. Sin embargo, estos sonaltamente sensibles al ruido coloreado y sus resultados arrojanlneas espectrales falsas en diversas posiciones [10], [17], [18].

El mtodo que proponemos permite establecer un hechoimportante, esto es: con el mtodo modificado porregularizacin de Prony (MORP) para estimacin espectralque se describe en este trabajo, y bajo diferentes hiptesisacerca del nmero presente de componentes armnicas, resulta

Caracterizacin Espectral Mediante el Mtodo Modificado por Regularizacin de Prony

Fusionado con Estimadores Espectrales No Paramtricos de Alta Resolucin

J. L. Ponce-Dvalos, Member, IEEE y Y.V. Shkvarko, Senior Member, IEEE

L

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005 255

que las lneas espectrales que verdaderamente estn presentespermanecen relativamente inalteradas en su posicin espectral,en tanto que las lneas falsas cambian su posicin en elespectro para cada realizacin experimental. En caso de noexistir componentes armnicas, el mtodo arroja resultados enposiciones espectrales aleatorias. A esta caracterstica lellamamos Invariancia en la Posicin Espectral (SPI por sussiglas en ingls Spectral Positional Invariance).

La caracterstica SPI se estableci en primera instancia demanera experimental, pero ha sido corroborada enaplicaciones prcticas con resultados favorables. Sujustificacin matemtica se basa en el hecho de que lasposiciones espectrales verdaderas tienen mayor probabilidadde ocurrir que las espurias [11].

El objetivo principal de este trabajo es proponer unaaproximacin alternativa a la estimacin espectral/espacial dealta resolucin y super resolucin que agrega los paradigmasde estimacin espectral paramtrica y no paramtrica demanera cooperativa. La propuesta hace uso de la propiedad deSPI de las lneas espectrales, obtenidas bajo diferenteshiptesis mediante el mtodo MORP, el cual es unamodificacin del mtodo de estimacin espectral modificadomediante regularizacin (MORSE por sus siglas en inglsModified Regularized Spectral Estimation) que fue propuestarecientemente en [10].

La estimacin espectral propuesta en este trabajo suponeque los datos representan una seal de observacin compuesta,formada por una parte multi-armnica y otra parte de ruidocoloreado. El procedimiento consiste primeramente en laaplicacin iterada del mtodo MORP varias veces bajodiferentes hiptesis acerca del nmero de posibles lneasespectrales, las cuales correspondern a las componentesarmnicas de la seal. Este procedimiento ha permitidodesarrollar una estrategia para obtener la caracterizacinparamtrica explcita del modelo multi-armnico. Despus,realizamos un innovacin regularizada a partir del registro deobservaciones iniciales restando la componente multi-armnica (estimada previamente aplicando el mtodo MORP)de la seal original. El siguiente paso es reconstruir la partedistribuida del espectro PSD aplicando estimadores noparamtricos adaptivos de alta resolucin a los datosinnovados.

En este trabajo proponemos cmo emplear los mtodos noparamtricos de mxima entropa (ME) y de mnima varianza(MV) por producir los mejores desempeos en el sentido dealta resolucin en balance con su eficiencia computacional [1],[2]. La fusin de estos mtodos con MORP presenta unamejora sustancial en la reconstruccin espectral de la PSDresultante, tanto de la parte de alta resolucin de lneasespectrales como de la parte distribuida del espectro continuode banda limitada.

El trabajo se ha organizado de la siguiente forma: en laseccin II se enmarca el problema a estudiar con un anlisis delos mtodos de estimacin existentes y la eleccin de losmodelos de prueba; en la seccin III se presenta un brevepanorama de los mtodos modernos de anlisis y estimacinespectral, los cuales se ilustran con simulacionescomputacionales; en la parte IV se presenta el mtodopropuesto MORP y la estructura computacional de su

aplicacin; en la seccin V se presentan la estrategia de fusinpropuesta y los resultados de la agregacin de mtodosMORP-ME y MORP-MV. Las simulaciones computacionalesobtenidas permiten verificar la eficiencia de los mtodospropuestos. Finalmente en la seccin VI se presentan lasconclusiones.

II. MARCO DE TRABAJO DEL PROBLEMA A ESTUDIARDos caractersticas inherentes limitan el desempeo de los

mtodos de estimacin de la PSD, tanto clsicos comoparamtricos modernos [1], [2]: primeramente, la resolucin,es decir, la habilidad de distinguir dos o ms objetos puntualescercanos unos de otros; la segunda limitante es debida alproceso de ventaneo implcito de los datos cuando se trabajamediante procesamiento de la transformada discreta de Fourier(DFT, por sus siglas en ingls Discrete Fourier Transform) lacual produce una limitacin finita en el ancho de banda. Elventaneo temporal, o registro finito de datos, se reflejaespectralmente como un desparramamiento, es decir, laenerga del lbulo principal en el espectro estimado sedesparrama hacia los lbulos laterales traslapando ydistorsionando cualquier otra respuesta espectral cercana [1],[2]. Los mtodos de alta resolucin tienen por objetivo haceruna extrapolacin fuera de la banda para corregir dichoproblema [12].

Los mtodos paramtricos (basados en modelo espectral)permiten obtener resultados con superresolucin pero nopueden reconstruir la parte continua o distribuida de la PSD, la cual est relacionada con el ruido coloreado [1], [2]. Por otraparte, los mtodos no paramtricos (sin modelo espectral) noson capaces de resolver con superresolucin lneas espectralescercanas, slo proporcionan la envolvente espectral [1], [7].

A fin de explorar los mtodos existentes y los mtodospropuestos, se considerarn dos conjuntos de datos de prueba,los cuales se encuentran reportados en la literatura [1], [2] yson de uso frecuente como test data. Estos dos casos sonsecuencias de K valores de naturaleza compleja {u[k]; k = 0,1,, K1}. Es importante aclarar que si bien en cualquieraplicacin ordinaria los datos medidos son cantidades de valorreal, la razn de emplear datos de valor complejo obedece aque como lo que se quiere estimar es el espectro el cual esinherentemente complejo, entonces, para tener un escenariocontrolado y que abarque cualquier posibilidad de estimacinespectral, independientemente de la simetra de este, esnecesario generar de manera sinttica espectros que no seannecesariamente simtricos, para as poder evaluar las ventajasy limitaciones de los mtodos de estimacin espectral [2]. Losprocesos de valor real quedarn contenidos dentro de laformulacin compleja, como es usual en muchas aplicacionessemejantes.

En el dominio de la frecuencia el espectro se encuentradentro de una banda limitada de frecuencia normalizada con| f | < 1/2 [2].

El primer modelo de prueba detallado en la [1] consiste enuna secuencia de K = 32 datos complejos obtenidos de la sumade tres sinusoides de frecuencias normalizadas localizadas en0.05, 0.40 y 0.42 respectivamente. As como una seal deruido coloreado extendido en toda la banda, el cual se obtiene

256 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

al hacer pasar ruido blanco gaussiano a travs de un filtroauto-regresivo de orden 1. La razn seal a ruido (SNR, porsus siglas en ingls Signal-to-Noise Ratio) es aproximada-mente de 30 dB en f = 0.4 y alrededor de 15 dB en f = 0.05. Elespectro terico es simtrico y se ilustra en la Fig. 1.a.

El segundo conjunto de datos de prueba obtenido de lareferencia [2] es una secuencia de K = 64 muestras de unproceso que consiste de cuatro sinusoides complejas inmersasen un proceso de ruido coloreado. Las sinusoides a analizarson las frecuencias ubicadas en 0.15 y 0.1 (las cuales estnpor debajo del nivel de ruido coloreado), y otras dos que seencuentran cercanas entre s, en 0.2 y 0.21, respectivamente.La seal de ruido coloreado se obtiene al hacer pasar una seal de ruido blanco Gaussiano a travs de un filtro de cosenoalzado. En la Fig. 1.b se muestra el espectro terico para estosdatos de prueba. En este caso se tiene un espectro no simtricocon SNR promedio de 15 dB.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

a)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PD

SR

ela

tiv

a(d

B)

b)Fig. 1. Espectros tericos de los procesos de ejemplo: a) Espectro simtricoespecificado en la ref. [1]; b) Espectro no simtrico especificado en la ref. [2].

III. BREVE PANORAMA DE LOS MTODOS MODERNOSPARA LA ESTIMACIN ESPECTRAL

La PSD est definida slo para seales de potencia [1], [2].En el tiempo continuo se determina como [1]

)2exp()(21)(

2

=

T

TTdttfjtu

TlmfP (1)

en donde, u(t) es la seal de observacin y es la representacinmatemtica del fenmeno a estudiar, T es el tiempo deobservacin. La PSD, tambin se puede calcular por el mtodoindirecto [1] como

= dfjrfP )2exp()()( (2)

en donde r() es la funcin de autocorrelacin (FAC) definida

por

+=+=T

TTdttutu

TlmtutuEr )(*)(

21)}(*)({)( (3)

con E{} denotando el valor esperado y * el complejoconjugado.

Al tratar de evaluar las ecuaciones (1) (2) y (3), surgendificultades prcticas, ya que en la realidad el proceso aestudiar es observado en una ventana de tiempo dentro de lacual slo se tiene un conjunto limitado de muestras. Por ello,es necesario tratar hiptesis acerca del comportamientoestadstico del fenmeno observado, con el objetivo de obtener un valor estimado de la PSD. Como hiptesis estadstica detrabajo se considera que los datos son procesos ergdicosestacionarios en sentido amplio [1].

La estimacin de la densidad espectral de potencia(PSD) de procesos aleatorios, ha sido estudiada en una ampliavariedad de enfoques [1], [2], [3]. Una manera de catalogar los mtodos es categorizarlos en dos clases. La primeracomprende los Mtodos No-Paramtricos, (clsicos ymodernos), los cuales obtienen la estimacin de la PSDmediante el procedimiento estndar de la DFT y el clculo dela funcin de autocorrelacin, la cual es determinada mediantediferentes hiptesis como se explicar adelante. La siguienteclase comprende los Mtodos Paramtricos, los cuales estnbasados en un modelo paramtrico del espectro, algunos de los mtodos frecuentemente usuales son descritos brevemente enseguida. Se presentarn slo las generalidades de dichosmtodos para ilustrar los resultados obtenidos por estosestimadores y se compararn con el mtodo propuesto en estetrabajo. Para una descripcin de mayor detalle se hacereferencia a la literatura citada [1], [2], [3], [7].

A. Estimacin Espectral No-Paramtrica1) Mtodos Clsicos:Usualmente se consideran de manera representativa dos

estimadores espectrales clsicos desarrollados a partir de losmtodos directo e indirecto de manera discretizada, ellos son:el Periodograma y el Estimador de Blackman-Tukey [7].

El periodograma es la aplicacin del mtodo directodiscretizado, dado por [7]

21

0

)2exp(][)( =

=

K

kPG kTfjkuK

TfP (4)

en donde {u[k]; k = 0, 1, K1} representa un conjunto dedatos de valor real tomados como muestras durante elintervalo de tiempo T del proceso a estudiar. El mtodo realizauna estimacin relativamente pobre debido al efecto dedesparramamiento espectral [1]. En la Fig. 2.a y 2.b y seilustran los periodogramas (4) relativos a los datos de pruebacuyos espectros son presentados en las Fig. 1.a) y 1.b)respectivamente. Es fcil ver que )( fPPG produce estima-ciones muy burdas de los espectros originales.

La discretizacin del mtodo indirecto se conoce comocorrelograma [1] y su aplicacin implica una ventanarectangular intrnseca en el dominio de las frecuencias, la cualprovoca variabilidad estadstica [7]. Blackman y Tukey

PONCE-DVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 257

desarrollaron un mtodo alternativo (referido como estimadorBT) que emplea una ventana en el dominio de las frecuenciaspara reducir la varianza suavizando el periodograma. Laecuacin que determinan el estimador BT es:

=

=

K

KkBT TkfjkwkrfP )2exp(][][)( (5)

en donde se ha empleado una estimacin de la FAC definidacomo [7]

}1||0

];[*][;][][1][{1

0

*

=+= =

Km

mrmrkumkuK

mrmK

k(6)

y w[k] es una secuencia real llamada ventana de retardo [1].Dicha ventana puede ser alguna de las conocidas como la deHamming, Hanning, Bartlett, etc. [7]. En la Fig. 2.c y 2.d seilustra el estimador )( fPBT de los datos empleados comocasos de prueba con una de las ventanas ms frecuentementeusadas de Hamming de ancho K/4.

2) Mtodos Modernos:Los mtodos de alta resolucin (que en la literatura de

mayor reconocimiento [1], [2] en anlisis espectral se lesnombra como mtodos modernos) plantean hiptesis sobre elcomportamiento de los datos o del espectro. Los hayparamtricos y no paramtricos. Dentro de los ms usualestenemos: el mtodo de Mnima Varianza (MV) [1], el deMxima Entropa (ME) [1] y el de clasificacin de mltiplesseales MUSIC (por sus siglas en ingls Multiple SignalClassification) [3].

Estimador de MV: El estimador de MV es una adaptacindel Mtodo de Mxima Verosimilitud desarrollado por Capon[2]. Este mtodo permite estimar la PSD a partir de los datosmuestreados {u[k]; k = 0, 1,..., K 1} del proceso a estudiar,mediante la minimizacin de la potencia de salida o varianzade un arreglo de I filtros pasa-banda de banda angosta [13],cada uno con respuesta al impulso {gi[k]} centrado en unafrecuencia determinada fi; i = 1,..., I, y restringidos a tener unaganancia unitaria para asegurar que no introduzcan distorsinen su respuesta. Los filtros son altamente selectivos y cada uno rechaza cualquier potencia residual de salida debido acontribuciones fuera de banda [13].

En la aproximacin de MV, cada filtro pasa-banda semodela como un filtro transversal de orden P+1. La respuestade cada filtro para la secuencia de datos de entrada u[k] seobtiene como [7]

}1,...,1,0y,...,1;][][][{0

=== =

KkIipkupgkyP

pii . (7)

Para asegurar que el filtro no altera la potencia de la sealde entrada se establece como restriccin de calibracin que laganancia del filtro es unitaria en cada fi, es decir [7]

},...,1;1)2exp(][)({0

IifpjpgfGP

piiii ===

=

. (8)

El objetivo del mtodo de MV es estimar la potencia de laseal observada {u[k]} en la frecuencia de inters fi con lamayor precisin posible. Esto se logra si el filtro pasa-bandacentrado en fi cancela tanta potencia residual de salida comosea posible. Por lo tanto el criterio de optimizacin de MV esla minimizacin del valor esperado de la potencia de salida delbanco de filtros, es decir la minimizacin de la varianza

}|][|{ 2kyE i , la cual representa indirectamente la PSD de la seal original {u[k]} en la frecuencia de inters fi [7].

En forma vectorial-matricial, definiendo u = [u[0] u[1] u[K1]T, gi = [gi[0] gi[1] gi[P]]T y ei( fi ) = [1 e j2fi ...e j2fi P]T, la potencia de salida del filtro de MV es pordefinicin

iPHii

HHi

iHH

ii

E

EkyE

gRgguug

guug

=

==

}{

)})(({}|][|{ 2

en donde H denota la transposicin Hermitiana yRP = }{ HE uu representa la matriz de auto-correlacinrestingida a un orden (P+1)(P+1) con P < K de los datosobservados. La restriccin de ganancia unitaria se impone atravs de

1== iHii

Hi geeg .

Efectuando el clculo de minimizacin con restriccionesmediante la tcnica usual de multiplicadores de Lagrange [7]se deduce que el estimador de MV para un espacio continuode frecuencias viene a ser [1]

)()(1)(

1 fffP

PHMV eRe

= (9)

donde e( f ) = [1 e j2 f ... ej2 f P]T es un vector formado por laspotencias de la exponencial compleja {ej2 f p ; p = 0, 1, P}definido para un continuo de frecuencias | f | < 1/2. Este vectores denominado usualmente como vector de asignacin defrecuencias [1] o steering vector en el anlisis deestimacin espacial espectral [13]. En (9), la matriz

+

=

]0[]1[][

]1[]0[]1[][]1[]0[

rPrPr

PrrrPrrr

P

L

MOMM

L

L

R (10)

representa la estimacin de la matriz de autocorrelacinrestringida definida mediante (6) [2]. En la Fig. 2.e y 2.f semuestran los espectros estimados mediante el mtodo de MVde los datos de prueba de las Fig. 1.a) y 1.b) respectivamente.

Estimador de ME: El estimador de ME de Burg [1]pretende aliviar el problema del desparramamientoprovocado por el truncamiento en los datos. La estrategiaconsiste en estimar por extrapolacin a la funcin deautocorrelacin definida por (6) fuera de un segmento delongitud P

},,1;][][][{1

KPkpkrpkrP

p

K+== =

(11)

en donde los coeficientes ][ p son los parmetros estimadosdel modelo auto-regresivo de prediccin lineal, los cuales sedeterminan a travs del algoritmo recursivo clsico deLevinson detallado en [1] o [2], por ejemplo.

La estimacin es tal que la entropa dentro del segmento Pde observacin es mxima, en tanto que la aportacin de lainformacin fuera de dicho segmento es mnima. El clculoest sujeto a la restriccin de que { ][ pr ; p = 1,, P)} y laPSD son pares de Fourier, es decir

==

2/1

2/1

,,1],[)2exp()( PpprdfpfjfPME K . (12)

El resultado es el estimador normalizado de ME [7]

2

1

)2exp(][1

1)(

=

+

=

P

p

ME

pfjp

fP

. (13)

En la Fig. 2.g y 2.h se muestran los espectros de losprocesos de prueba de Fig. 1 estimados mediante el mtodoME.

Mtodo MUSIC: Este mtodo es uno de los ms popularespara la estimacin espectral de alta resolucin [3]. En estecaso, la idea consiste en separar los subespacios de seal y deruido. Si la seal consiste de P sinusoides inmersas en ruidoblanco, entonces la descomposicin en autovalores de lamatriz de autocorrelacin KR de la seal completa muestrauna separacin acentuada entre los autovalores el espacio de laseal y el de ruido, determinada por la magnitud de estos.

Los autovalores que pertenecen al ruido son sustancialmentems pequeos que los de la seal para razones de seal a ruidoaltas. Definimos al conjunto {vp; p = P+1, P+2,, P+K}como el conjunto de eigenvectores que representan al ruido,caracterizado por ser los de menor autovalor. Loseigenvectores correspondientes al subespacio de seal sonortogonales a los del subespacio de ruido y por lo tanto la

magnitud espectral +=

=

K

Ppp

HHpp

H fff1

2)())()()(( veevve

es nula al ser evaluada en las frecuencias de las componentesarmnicas presentes en la seal. Por lo tanto el recproco deesta cantidad tiende a infinito en las frecuencias existentes enla seal. Schmidt [1] nota este resultado y define la PSDestimada por el mtodo de Mltiple clasificacin de sealesMUSIC como

)()(1)(

fffP H

ppHMUSIC evve

= . (14)

Los espectros MUSIC estimados para los datos de prueba se presentan en la Fig. 2.i y 2.j.

B. Breve Panorama de Estimacin Espectral Paramtrica La estimacin espectral paramtrica consiste en proponer un

modelo que describa al espectro mismo [1], [2], [6] o a laseal [1], [2], [7]. Los modelos usualmente empleados [1], [2],[6], [7] son los llamados auto-regresivo de promedio mvil(ARMA por sus siglas en ingls Auto-Regressive MovingAverage), de promedio mvil (MA) y el auto-regresivo (AR).Los parmetros del modelo son estimados usando slo losdatos disponibles. Existen diversas tcnicas para obtenerdichos parmetros [1], [2], [6], [7].

Otra forma de estimacin espectral es aquella en la que sepropone un modelo para la seal [1], [2], [10], [11]. En estetrabajo se considera un modelo de seales armnicas inmersasen ruido coloreado como se detallada por ejemplo, en [10] y[11]. Los parmetros a determinar son las amplitudes, lasfrecuencias y las fases. En el dominio de las frecuencias estetipo de seales estn representadas por lneas espectrales y unespectro distribuido dentro de una banda limitada defrecuencias.

La propuesta desarrollada en este trabajo consiste en lafusin inteligente de mtodos paramtricos y no paramtricos.La ventaja de dicha fusin de mtodos es que los resultadosbajo esta estrategia superan los resultados obtenidos por otrasmetodologas. Por una parte, los mtodos paramtricospermiten determinar las componentes armnicas correspon-dientes al espacio de seal y, por otro lado, los mtodos noparamtricos permiten identificar la componente distribuidadel espectro. Los resultados se muestran adelante.

C. Problemtica de Estimacin de Alta Resolucin en RuidoColoreado

Los mtodos de eigenvalores y eigenvectores para laestimacin espectral de alta resolucin, como el MUSIC, el dedescomposicin armnica Pisarenko o el ESPRIT, han sidodesarrollados principalmente para seales inmersas en ruidoblanco.

La descomposicin en eigenvalores de la matriz decorrelacin para seales armnicas en ruido blanco exhibe uncomportamiento que permite identificar el subespacio de ruidodel subespacio de seal. Por inspeccin directa (dentro deciertos lmites de probabilidad de deteccin determinados porde la razn seal a ruido [14]) se nota que los eigenvalores dela matriz de correlacin asociados a la componente armnicason considerablemente mayores a los que corresponden alruido y por lo tanto, se puede discriminar bajo este criterio decomparacin a los dos subespacios (seal armnica y ruido)[14].

En el caso de ruido coloreado no hay un umbral de decisinni es posible definir un criterio de comparacin que permitauna distincin clara de dichos subespacios [1], [2], [14]. Enconsecuencia no es posible separar directamente lossubespacios de seal y ste tipo de ruido. Esto provocainexactitudes en los resultados de la estimacin espectral bajocualquier mtodo.

PONCE-DVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 259

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

Fig. 2. Panorama de los diferentes estimadores espectrales ms usuales, aplicados a los datos de prueba. La columna izquierda corresponde alos datos de la Fig. 1.a. y la columna derecha a los datos de la Fig. 1b. (a) y (b): Periodograma. (c) y (d): Estimacin de Blackman-Tukey. (e) y(f): Estimacin de Mnima Varianza. (g) y (h): Estimacin de Mxima Entropa. (i) y (j): Estimacin MUSIC.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

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-30

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0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

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tiv

a(d

B)

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-40

-30

-20

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0

10

Frecuencia Noramlizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

260 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

IV. MTODO PROPUESTOA. Modelo de Datos

Dos de los principales estimadores de lneas espectrales sonel mtodo de Prony [8] y el de descomposicin armnica dePisarenko [2]. El mtodo de Pisarenko supone que lasfrecuencias de las sinusoides ocultas en una seal pueden serobtenidas a travs del clculo de los autovalores mnimos dela matriz de autocorrelacin (10). Sin embargo, este mtodo esaltamente sensible al ruido coloreado que es el considerado eneste trabajo, y por ello su uso prctico es limitado [1], [2] y[7]. Debido a esto, en el trabajo presente desarrollamos elmtodo modificado por regularizacin de Prony (MORP)como se detalla en seguida.

El modelo considerado para los datos es la composicin

}1,,1,0;][][][{ )( =+= Kkknksku M K (15)

es decir, la superposicin de un nmero M < K (usualmentedesconocido) de sinusoides complejas con amplitudes Am,frecuencias caractersticas fm, y fases m; m = 1, , M, lascuales estn contaminadas por ruido coloreado {n[k]} cuyadensidad espectral de potencia Pn( f ) es desconocida. Elmodelo de la parte multi-armnica en (15) es dado por

= =

=+=M

m

M

m

kmmmmm

M zdjkfjAks1 1

1)( ])1(2exp[][ (16)

en donde {dm=Amexp(jm) y zm= exp(j2fm); m = 1, , M}.En el caso determinstico (i.e. sin ruido {n[k] = 0; k =

0, 1K1} en (15)), el problema tiene solucin exacta si elorden del modelo M es conocido y adems M K/2 [2]. Encualquier otro escenario (i.e. datos ruidosos y/o Mdesconocida) el modelo (15) es sobre-dimensionado [2]. Enestos casos, slo es posible obtener estimaciones aproximadasde los parmetros caractersticos },...,1;y,{ MmfA mmm =del modelo (16), en donde M es un estimado del verdaderovalor de M.

B. Planteamiento del Problema El objetivo principal a desarrollar en este trabajo consiste en

realizar una caracterizacin fusionada espectral explcita parael modelo de datos combinados (15). Primero, desarrollamosuna estrategia que ofrece la posibilidad a estimar el orden delmodelo M, y mediante las definiciones de {dm} y {zm} estimarlos parmetros caractersticos },...,1;y,{ MmfA mmm =para as reconstruir el modelo multi-armnico (16) y obtener el espectro de lneas. Luego, proponemos una estrategia adaptivabasada en mtodos de MV y/o ME, para estimar la densidadespectral del espectro distribuido )( fPn . Finalmentefusionando el espectro de lneas con el espectro distribuido delruido coloreado reconstruimos adaptivamente la PSD totalcombinada )( fP .

La caracterstica principal de los estimadores espectrales delneas, como el de Pisarenko y el de Prony, es la aparicin delneas espectrales falsas asociadas al ruido [1], [2], [7], [8]. Entrabajos recientes [10], [11], [12] se han propuesto mtodos

alternativos para mejorar la estimacin de los parmetroscaractersticos del modelo (16). En este trabajo nos basamosen las tcnicas de regularizacin [10], [12] para desarrollar unnuevo mtodo consistente en la caracterizacin adaptiva delespectro de armnicos inmersos en ruido coloreado quesuperan todos los mtodos de caracterizacin espectralparamtrica de espectro de lneas reportados en la literaturapreviamente, e.g. [1], [2], [3] y [7]. A este mtodo nosotros lollamamos mtodo modificado por regularizacin de Prony,detallado en la siguiente subseccin.

C. Generalizacin del Mtodo de Prony Mediante Regularizacin

El mtodo original de Prony [2] calcula los parmetroscaractersticos {Am, fm y m} desacoplando la ecuacin nolineal (16) mediante un sistema auxiliar de ecuaciones linealesen el que se determina primero {zm} como las races de unpolinomio caracterstico. Luego, con los valores estimados de{ mz } obtiene { md } resolviendo (16).

Para el caso no determinstico en el que se considera ruidocoloreado el problema es no lineal y sobre-dimensionado [2].Referenciado al anlisis detallado de este problema presentadoen [1] y [2] mencionamos los factores principales los cualesdificultan la solucin del mismo. Primeramente, debido a la nolinealidad no existe solucin analtica en forma cerrada delproblema. Como segundo aspecto, la presencia de unacomponente distribuida de PSD resulta en una sobreestimacinde lneas espectrales correspondientes a la parte multi-armnica del espectro, las cuales pueden ser producidossolamente por mtodos de estimacin espectral paramtrica[1], [2]. Por ello, como ha sido resumido en [1] y [2], elproblema de estimacin espectral no lineal bajo estudio debeser tratado mediante la fusin inteligente de mtodosparamtricos y no paramtricos. Esta aproximacin tiene queconsiderar algunas pruebas basadas en experimentos conestrategias de estimacin espectral paramtrica parareconstruir el espectro de lneas de la componente multi-armnica eliminando el efecto de sobre-estimacin del ordendel modelo. Este problema fue discutido y analizadoexplcitamente en [1] y [2], donde los autores declaran queeste problema est abierto y an sin solucin.

El aspecto innovador principal que proponemos en estetrabajo es una nueva aproximacin del problema bajo estudiobasado en una nueva estrategia de estimacin espectralfusionada que elimina el efecto de sobreestimacin del ordendel modelo de la parte multi-armnica en los datos deobservacin. Esta aproximacin est justificada en pruebas dehiptesis que corresponden a diferentes rdenes del modelo deProny con una eleccin adaptiva de decisin a favor de lahiptesis que proporciona el mnimo error en la localizacin ycaracterizacin de las lneas espectrales en el espectrocombinado.

Para tratar diferentes hiptesis del orden M del modeloparamtrico en (16) consideramos que el orden estimado Mse sita dentro de un rango, es decir M [Mmn, Mmx], en elque Mmn > Mverdadero y Mmx < K. Ntese que la condicin Mmn> Mverdadero implica que el modelo supuesto es sobre estimadoy por lo tanto forzosamente aparecern componentes

PONCE-DVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 261

armnicas adicionales (falsas). En procesos armnicos ocultosen ruido blanco esta situacin se puede reducir, pues es fcildiscriminar el subespacio de ruido del subespacio de seal. Sin embargo, en el caso de ruido coloreado el estimador de Pronyes sensible al ruido y produce componentes espurias en todoslos casos sobredeterminados, como fue analizado en detalle en[1] y [2].

Para cada una de las hiptesis bajo anlisis M [Mmn,Mmx], el sistema de ecuaciones de desacoplamiento quepermiten calcular los valores de {zm} es [2]

1

1

1

12

01

+

=

K

M

K

M

MMKK

M

u

u

a

a

uu

uu

MMM

L

MOM

L

(17.a)

que nosotros reescribimos ahora en forma vectorial-matricialcomo

U M a M = u M + M . (17.b)

En (17.b), los parmetros {am; m = 1,, M } se identificancomo los coeficientes del polinomio caracterstico M (z) = z M+ a1z M 1 + a M , cuyas races {zm = exp(j2fm); m = 1,,M } especifican las posiciones de las lneas espectrales {fm;m = 1,, M } para cada una de las hiptesis de prueba M [Mmn, Mmx]. El vector M = [ M K1 ]

T en (17.b)representa el error de prediccin.

Ahora el punto de partida es estimar los coeficientes{am; m = 1,, M } resolviendo (17.b) y luego mediantefactorizacin polinomial de M obtener sus ceros {zm} paracada una de las hiptesis de prueba.

A partir del conjunto de ceros {zm} se obtienen loscorrespondientes valores de {dm} de (16) mediante el mtodode regularizacin, con lo cual se tiene

MHH

M 1

)( uZIZZd += (18)

con

111

1

12

11

2

22

21

21

=

KM

KK

M

M

zzz

zzz

zzz

L

MOMM

L

L

L

Z

en donde u M est definido en (17), I representa la matriz deidentidad, Z es la matriz de Vandermonde compuesta de losceros {zm; m = 1,, M } del polinomio caractersticoestimados previamente, y representa el parmetro deregularizacin. Este ltimo representa un grado de libertad delalgoritmo (18) que con una adecuada seleccin proporciona laposibilidad de controlar el desempeo de la estimacin Md .En este estudio seguimos el mtodo de Tikhonov [5] paraajustar el parmetro como el recproco de la relacin seal aruido, i.e. = SNR-1.

Como una alternativa, el mtodo MORSE propuestorecientemente en [10] resuelve (17) realizando unadescomposicin en valor singular (SVD por sus siglas eningls Singular Value Decomposition) de U M , minimizando elerror de prediccin y eligiendo los autovalores que minimizanla norma de a M . Este mtodo puede tratar el problema deestimacin espectral de armnicas inmersas en ruido blanco enel que el resultado permite distinguir los subespacios de sealy ruido. Sin embargo, en el caso de ruido coloreado ladiscriminacin del espacio de seal con este mtodo es pobre,debido a que el MORSE enfrenta el problema obteniendo lapseudo-inversa mediante regularizacin y calculando elparmetro de regularizacin para cada eigenvector. En estetrabajo se incorpora el mtodo de regularizacin en ladeterminacin de la solucin (18). En la siguiente seccin sepresenta un mtodo adaptivo robusto para determinar tanto elorden M del modelo como la posicin de las lneasespectrales que aparecen realmente en los datos de prueba.

D. Invariancia de Posicin Espectral

Para cualquier hiptesis de prueba M [Mmn, Mmx] en loscasos sobredeterminados, M > Mverdadera, la descomposicinSVD de MU produce un conjunto de lneas espectrales, de las cuales un subespacio asociado a la seal, de dimensinMverdadera, representa a las lneas que verdaderamente estnpresentes en los datos observados y otro subespacio asociadoal ruido de dimensin M Mverdadera que representa a laslneas falsas [14]. En esta subseccin proponemos unaestrategia que permite identificar este subespacio de seal.

Al aplicar iteradamente diferentes hiptesis de prueba sobreM [Mmn, Mmx] para resolver (17) se observa en resultadosexperimentales [11] que un subconjunto de PM lneas,aparecen en posiciones espectrales cercanas incluso sobre lasposiciones que realmente estn presentes, para todas lashiptesis probadas, todas ellas dentro de un rango detolerancia f. A esta condicin le llamamos invariancia en laposicin espectral (SPI por sus siglas en ingls SpectralPositional Invariance).

De los resultados experimentales tratados en este estudio ytambin otros analizados previamente [11], se observa quepara diferentes datos de prueba sintticos las PM < Mlneas que corresponden al subespacio de seal se mantienenfijas (dentro del rango de tolerancia aceptado f) y el resto M PM correspondientes al subespacio de ruido cambianaleatoriamente en su posicin espectral.

En base a las observaciones anteriores el SPI produce unamecanismo de prueba para separar los subespacios de seal yde ruido resolviendo (17) para diversas hiptesis sobre-determinadas M > Mverdadera.

Aplicando el mtodo de regularizacin (18) a cada hiptesishacemos una caracterizacin de las PM lneas que en laspruebas de anlisis aparecen en posiciones espectrales fijasdentro de la ventana de tolerancia f. Estableceremos quedichas lneas representan las armnicas que realmente estn

262 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e n c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

ne

as

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e n c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

ne

as

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e n c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

ne

as

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

ne

as

presentes en el modelo (15). En el caso particular estudiadoen este trabajo el rango de tolerancia para identificar la SPI fue ajustado experimentalmente a f = 102.

A manera de ejemplo, la Fig. 3 ilustra los espectros delneas obtenidos por el mtodo propuesto bajo dos hiptesis deprueba con M = 12 y M = 16, en los que se aprecia lamanifestacin de las lneas espectrales verdaderas y falsas. Semuestra la aparicin de las lneas del subespacio de seal enlas posiciones fijas para las dos hiptesis de muestra. Estaprueba ilustra claramente la posibilidad de formar un ensamblede las PM lneas espectrales que se adaptaron a la hiptesisSPI. Dicho valor, vendr a ser considerado como la mejorestimacin para el nmero verdadero M de armnicaspresentes en el conjunto de datos.

a) b)

c) d) Fig. 3. Espectro de lneas mediante el mtodo MORP para los modelos de

prueba bajo dos hiptesis de trabajo M = 12 y M = 16: a) y b) para losdatos de la Fig. 1.a, c) y d) para los datos de la Fig. 1.b.

La propuesta SPI para determinar el orden del modelo de lacomponente armnica de la seal tiene como sustento el hechode que es una prueba basada en la estadstica delcomportamiento del proceso estudiado, ya que la probabilidadde ocurrencia de una lnea espectral es mxima si starealmente existe en la seal mixta, independientemente de lascaractersticas espectrales del ruido. Esto es claro ydemostrable en el caso de ruido blanco [3], pero en el caso deruido coloreado no existe mtodo analtico nico que permitadeterminar el nmero de componentes armnicas ya que elproblema es altamente no lineal [1], [2], [10] y por lo tantouna prueba razonable es de tipo estadstico basado en pruebade hiptesis. Para que el mtodo propuesto sea vlido, siemprese deber suponer casos sobredeterminado en los que M >Mverdadera.

Experimentalmente tambin se probaron situaciones en lasque los datos contienen slo ruido coloreado, sin componentesarmnicas. Como resultado se obtiene que en este caso no haycomponentes espectrales que se repitan para todas las hiptesis probadas, lo cual nuevamente verifica la eficiencia del

concepto SPI para la caracterizacin experimental de lacomponente multi-armnica en los datos mixtos del modelo(15).

E. Agregacin de Mtodos de Estimacin Espectral La estrategia de fusin de mtodos paramtricos y no

paramtricos de estimacin espectral se basa en la separacinde componentes del modelo (15). Una vez caracterizado elespectro de lneas dado por las estimaciones paramtricas

},...,1;y,{ Pmmm MmfA = , estos ofrecen la posibilidad deseparar, en los datos de medicin, la componente quecorresponde al ruido. Este proceso tiene un significadoestadstico llamado innovacin de datos

}1,,1,0];[][][{ )(

== Kkkskukn PM K (19)

en donde ]}[{ )( ks PM es la seal del modelo multi-armnico

reconstruida a travs de (16) usando los parmetros decaracterizacin { Pmm Mmzd ,...,1;, = } de su espectro delneas estimadas con el mtodo propuesto modificado deProny. Esto es, los datos }1,,1,0];[{ = Kkkn Kpresentan la aproximacin del ruido coloreado en el modeloestudiado definido por (15). En seguida, habiendo innovadolos datos (19), la estrategia de reconstruccin de lacomponente distribuida de la PSD es aplicar un mtodo deestimacin espectral no paramtrica de alta resolucin.Basndonos en la experiencia con tratamiento de diferentesmtodos no paramtricos, en este trabajo proponemos fusionarel mtodo desarrollado de Prony modificado con mtodos demnima varianza (MV) y/o de mxima entropa (ME) [7], paraobtener como resultado la reconstruccin del espectro delruido coloreado )( fPn de alta resolucin.

Finalmente, la estrategia de fusin que proponemos implicala agregacin de dos espectros: (i) el espectro de lneascaracterizado por el mtodo MORP y (ii) el espectro continuo

)( fPn estimado mediante alguno de los mtodos noparamtricos MV y/o ME. A este mtodo fusionado queagregan los paradigmas de estimacin espectral paramtricos yno paramtricos nosotros lo presentamos en dos variantescomo mtodo MORP-MV y/o MORP-ME, respectivamente.

La estructura computacional del mtodo MORP-MV/MORP-ME, se describen en la TABLA I.

V. SIMULACIONES COMPUTACIONALESSe presenta ahora la evaluacin del desempeo del mtodo

propuesto mediante una serie de experimentos y simulacionescomputacionales. Los datos sintticos de valor complejo quesirven como estndar para recuperar la PSD global del modelode datos, as como los datos de valor real, sirven para ilustrarla eficacia del mtodo en situaciones de aplicaciones tpicas.

A. Caracterizacin del Orden del Modelo del Espectro Multi-Armnico

En primer lugar se ilustra el procedimiento para ladeterminacin del orden del modelo. La estrategia paraidentificar el orden del modelo es estadstica de SPI basada en

PONCE-DVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 263

prueba de hiptesis. Se emplearon doce hiptesis M [ M mn,M mx] con M mn = 11 y M mx = 22, llevndose a cabo 12realizaciones computacionales siguiendo el algoritmo de laTabla I. La Fig. 4 presenta la verificacin experimental delconcepto SPI a travs de los conteos de las veces en queocurrieron las diferentes lneas espectrales usando el mtodo

TABLA IALGORITMO MORP-MV/MORP-ME PARA LA ESTIMACIN DE LA

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

MORP [10]. En estas grficas se ilustra, mediante lafrecuencia de repeticin, que las lneas espectrales {fm; m =1, PM } que verdaderamente se encuentran presentes en losdatos referidos en la Fig.1 tienden a repetirse dentro del rangode tolerancia f = 10-2 en cada realizacin. Por otra parte, laslneas espectrales falsas no tienen ninguna frecuencia derepeticin. Tambin, en la Fig. 4.c se muestra el resultadoobtenido al aplicar en un procedimiento similar a lacomponente de solo ruido coloreado presente en los datos dereferencia de la Fig. 1.a, en la cual hay muy baja frecuencia derepeticin detectada por la SPI en comparacin con losresultados de caracterizacin espectral por la SPI quecorresponden al modelo combinado (15).

Finalmente, en la Tabla II se presentan los desempeoscuantitativos del mtodo propuesto para las estimacionesasociadas a la frecuencia que verdaderamente estn presentesen cada uno de los modelos de prueba de este trabajo. Puede

observarse que las variaciones o errores de estimacin siemprese encuentran por debajo de la tolerancia aceptada de f =102.

a)

b)

c)

Fig. 4. Nmero de repeticiones en las que aparece cada frecuencia para loscasos prueba de este trabajo. a) para los datos de la Fig 1.a. y b) para los datos

de la Fig. 1.b. Se emplearon 12 hiptesis para el valor de M . Y c) Ejemplodel mtodo aplicado al ruido coloreado correspondiente a los datos de la Fig.1.a.

B. Resultados de las Simulaciones para los Datos SintticosEn la Fig. 5 se muestran los espectros reconstruidos

mediante el mtodo fusionado propuesto en sus dos variantes:MORP-MV y MORP-ME. Para el conjunto de datos de prueba referidos en la Fig 1.a, se ha empleado un modelo MV y MEde orden 4 y para el conjunto referido en la Fig. 1.b, se haempleado un modelo MV y ME de orden 8.

La comparacin de los espectros resultantes obtenidos conel mtodo propuesto y los resultados obtenidos con losmtodos previos muestran efectivamente una superioridad delmtodo aqu desarrollado respecto de los previos, ya que selogra una mejor reproduccin con alta resolucin de lacomponente distribuida de la PSD con superresolucinparamtrica de las lneas espectrales que corresponden a lacomponente armnica de los datos.

Es claro que al innovar los datos sustrayendo la componentemulti-armnica, los mtodos de alta resolucin en ambas

Colectar datos 11}{

=

Kkku .

Probar diferentes hiptesis de modelos de seal sobredeterminados,

M > M, M [Mmn, Mmx], Mmx

versiones MV/ME logran una mejor aproximacin que losmtodos previos (BT, Pisarenko, MUSIC, MORP, MV, ME,etc.)

TABLA IIVALORES ESTIMADOS DE LAS FRECUENCIAS MS CERCANAS A LAS

FRECUENCIAS VERDADERAS PARA LOS MODELOS DE PRUEBAPRESENTADOS EN LA FIG. 1, BAJO DIFERENTES HIPTESIS EN M .

Casosde prueba

fm Verdadera

mfcon

M =12

mfcon

M =15

mfcon

M =16

mfcon

M =19

mfcon

M =20

mfcon

M =22

0.0500 0.0519 0.0527 0.0523 0.0529 0.0529 0.0525

0.4000 0.4001 0.4037 0.4001 0.4019 0.4035 0.4032

Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1.a.

0.4200 0.4282 0.4229 0.4236 9.4229 0.4212 0.4271

-0.1500 -0.1499 -0.1501 -0.1499 -0.1498 -0.1500 -0.1499

0.1000 0.0997 0.1000 0.0999 0.0999 0.1000 0.1000

0.2000 0.2008 0.2006 0.2009 0.2008 0.2004 0.2002

Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1.b.

0.2100 0.2132 0.2097 0.2096 0.2092 0.2098 0.2101

El empleo de datos de valor complejo permite ilustrardetalles de la recuperacin de la PSD tanto en espectrossimtricos como en espectros no simtricos. Por ejemplo, lascomponentes espectrales de ruido coloreado en ambosconjunto de prueba recuperados con los datos innovadostienen mayor aproximacin a los originales que con cualquierotro mtodo previo.

En la Tabla III se muestra una comparacin cuantitativa delos valores estimados de las frecuencias, amplitudes y fasesobtenidos con el mtodo propuesto y los reportados en laliteratura de donde fueron tomados [1], [2]. El anlisis dedatos muestra un error promedio porcentual de 4.54% en laamplitud y 0.79% en la fase para los datos del modelo de laFig. 1.a. y un error promedio porcentual de 2.54% en laamplitud y 0.84% en la fase para los datos del modelo de laFig. 1.b. Los cuales son resultados satisfactorios dentro de loslmites de tolerancia aceptados.

C. Simulaciones en Aplicaciones RealesUna de las aplicaciones tpicas y de inters histrico para la

estimacin espectral es el registro de la actividad solar, la cualse manifiesta por la aparicin de manchas en el disco del Sol[2]. El conteo del nmero de manchas es el parmetroutilizado para medir la actividad solar. Para ello se cuenta conun registro histrico de ms de 300 aos, encontrndose unaperiodicidad aproximada de 11 aos [2]. Los diversos mtodosde estimacin espectral han permitido extrapolar la serie deeventos de dicha actividad hasta 1500 aos antes de Cristo

verificndola con registros geolgicos de variacionesclimticas y meteorolgicas. Los mtodos predicen queadems del ciclo de mxima actividad de 11 aos, existenotros dos, uno de 5 aos y otro de 21 aos aproximadamente.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

a)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia NormalizadaP

SD

Re

lati

va

(dB

)

b)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

c)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

d)

Fig. 5. Espectros reconstruidos para los casos prueba de este trabajo. a)MORP-MV para los datos de la Fig 1.a. b) MORP-MV para los datos de laFig 1.b. c) MORP-ME para los datos de la Fig 1.a. d) MORP-ME para losdatos de la Fig 1.b.

En la Tabla VI se presentan los resultados obtenidosmediante diversos mtodos modernos de estimacin espectral[2] y el propuesto en este trabajo en donde se muestra totalconcordancia de resultados.

PONCE-DVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 265

TABLA IIIVALORES ESTIMADOS DE LOS PARMETROS CARACTERSTICOS PARA LOS

MODELOS DE PRUEBA PRESENTADOS EN LA FIG..1. SE COMPRARA CON LOSDATOS REPORTADOS EN LA LITERATURA

Casosde prueba Frecuencia

Amplitudestimada

Amplitudreportada

Faseestimada

(rad)

Fasereportada

(rad)

0.4200 1.0041 1.0000 -0.0293 0.0000

0.4000 1.0250 1.0000 -0.0185 0.0000

0.0500 1.0260 1.0000 0.0965 0.0000

0.0500 1.2613 1.0000 -0.1469 0.0000

0.4000 0.9615 1.0000 0.0319 0.0000Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1.a

0.4200 0.9949 1.0000 0.0188 0.0000

0.1500 0.1085 0.1050 -0.9088 -0.9112

0.1000 0.1046 0.1001 0.6100 0.5981

0.2000 0.9910 0.9810 1.2572 1.2369

Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1b

0.2100 0.9949 0.9819 1.3009 1.3010

TABLA IVCLCULO DEL PERIODO DE ACTIVIDAD SOLAR MEDIANTE LOS

MTODOS DE ESTIMACIN MODERNOS.

Mtodo Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3

Autorregresivo 20.90 aos 10.72 aos 5.20 aos

Media mvil 10.84 aos 5.52 aos

Prony (modelo de 4sinuoides) 24.48 aos 10.96 aos 5.96 aos

Mnima varianza 10.67 aos 5.35 aos

Mtodo propuesto 10.70 aos 5.27 aos

D. Sugerencias de AplicacionesEn general, la estimacin espectral tiene una amplia y

prcticamente ilimitada variedad de aplicaciones. Tan slomencionaremos algunos tpicos que han sido probados con elmtodo propuesto que han dado resultados satisfactorios.

Deteccin DTMF: El tipo de sealizacin usado en latelefona digital es el llamado DTMF, i.e. Dual Tone Multi-Frequency, el cual es empleado en la marcacin, seleccin yusos de servicios electrnicos. Es un estndar definido por laInternational Telecommunication Union (ITU) que consiste enla asignacin de tonos duales para identificar los dgitos 0 a 9,las letras A, B, C y D y los smbolos # y * mediante lacombinacin de dos sinusoides de frecuencias bajas y altas, lascuales en principio nunca se pueden generar mediante la vozhumana [15]. El estndar especifica los valores de lasfrecuencias, el porcentaje de tolerancia de desviacin en la

frecuencia, la duracin mnima de la seal, potencia y valoresmnimos de razn seal a ruido. El problema a resolver es ladeteccin de los tonos de la seal en presencia de ruido, de talforma que se cumpla la norma del ITU. Existen diversosmtodos basados en la transformada discreta de Fourier (DFT)agregado con un mtodo de filtraje basado en el algoritmo deGoertzel [15]. El mtodo propuesto en este trabajo es capaz dedetectar los tonos duales con la ventaja de que requiere menosdatos que los especificados en el estndar para tomar ladecisin de cul es el dgito presente en un registro de datos.El anlisis detallado de esta aplicacin se encuentra endesarrollo.

Deteccin del Pitch de la Voz: El procesamiento de la vozes un tema de investigacin que encuentra aplicacionesprincipalmente en tres reas de desarrollo: la sntesis, lacodificacin y la compresin de la voz. A la fecha se siguendesarrollando algoritmos para el tratamiento de la voz [16]. Un parmetro fundamental en el procesamiento es el llamadopitch de la voz. El parmetro identifica la componentesonora de la voz diferencindola de los sonidos sordos. Elorigen de este parmetro est en el hecho de que las cuerdasvocales vibran con una frecuencia determinada para lacomponente sonora de la voz. En el dominio del tiempo elpitch representa la pseudo-periodicidad de la voz, y en eldominio de la frecuencia representa la separacin defrecuencias adyacentes generadas por los pulsos peridicos delas cuerdas bucales [16]. Las pruebas parciales desarrolladashasta el momento muestran que el mtodo propuesto, puederecuperar el periodo de pitch y reconstruir la envolventeespectral (la cual representa la caracterstica del modelo deltracto bucal). El anlisis detallado de esta aplicacin est enprogreso.

VI. CONCLUSIONESEn este trabajo se ha propuesto una metodologa novedosa

basada en la fusin o agregacin de mtodos paramtricos y no paramtricos de estimacin espectral que permiten resolvereficientemente el problema de la caracterizacin del espectrode procesos mixtos que estn compuestos con una parte multi-armnica de orden desconocido inmersa en ruido coloreadocon espectro distribuido tambin desconocido.

Primero, el uso del mtodo robusto de estimacinparamtrica como lo ha sido el mtodo de Prony modificado(MORP) propuesto en este trabajo ha permitido caracterizarlas componentes de lneas del espectro con superresolucin. Elorden del modelo paramtrico ha sido determinado por laestrategia de invariancia de posicin espectral (SPI) verificadaexperimentalmente con datos reales y sintticos. La estrategiadesarrollada permite detectar la presencia de sealesarmnicas ocultas en cualquier tipo de seal ruidosa mediantela prueba de la hiptesis de SPI. En el mtodo propuesto, loserrores cometidos en el clculo de las frecuencias estimadas,respecto de las frecuencias verdaderas, se absorben en el factor de redondeo. Por lo tanto la hiptesis SPI es vlida dentro delos lmites de tolerancia especificados en este trabajo. Esimportante desatacar que debido a la no linealidad delproblema bajo anlisis no existe su solucin analtica nica. La

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SPI es una prueba estadstica propuesta cuya validez fuedemostrada experimentalmente en una variedad amplia desimulaciones con datos sintticos y reales. Como resultado, elmtodo paramtrico MORP ofrece la ventaja de identificarcomponentes espectrales cercanas con superresolucinevitando la sobre estimacin del orden del modelo del espectro multi-armnico.

Por otra parte, la agregacin de mtodos no paramtricospermite reconstruir la componente distribuida del espectro dela seal asociada al ruido coloreado de fondo. Los mtodosque proponemos emplear tienen la ventaja de que reducen laprdida de resolucin debida al registro finito de datos.

Como resultado de la estrategia de agregacin de mtodosque se ha propuesto fue presentado el mtodo fusionado deestimacin espectral en sus dos versiones: MORP-MV yMORP-ME. La metodologa no hace hiptesis acerca de ladistribucin espectral del ruido y por lo tanto afirmamos queeste resultado es general tanto para ruido blanco como pararuido coloreado. La fusin del mtodo paramtrico MORPpara la localizacin y caracterizacin de lneas espectrales, con los mtodos de estimacin espectral no paramtricos MV yME, presenta como resultado una estimacin espectralcompleta con alta resolucin de la componente distribuida dela PSD y superresolucin paramtrica de las lneas espectralesque corresponden a la componente multi-armnica de losdatos. Los desempeos de resolucin/superresolucin espec-tral del mtodo MORP-MV/MORP-ME superan a aquellosproporcionados por todos los mtodos previos. Esto verifica laeficiencia de la estrategia propuesta y el mtodo desarrollado.

Finalmente, basndonos en los resultados del presenteestudio, planteamos que la metodologa descrita abre unpanorama amplio de aplicaciones particulares para el mtododesarrollado MORP-MV/MORP-ME en problemas de anlisisespectral, tanto en tiempo-frecuencia como espacio-frecuenciaespacial. Los resultados de las simulaciones computacionalesreportadas verifican claramente las ventajas de la propuesta.

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Jos Luis Ponce-Dvalos. Recibi el ttulo deFsico por parte de la Universidad NacionalAutnoma de Mxico (UNAM) en 1983.Obtuvo el grado de Maestro en Ciencias porparte de Centro de Investigaciones y EstudiosAvanzados (CINVESTAV) en 1993.Actualmente es candidato a Doctor en Ciencias en la Unidad Guadalajara del CINVESTAV.Trabaja como profesor asociado en InstitutoTecnolgico de Estudios Superiores deMonterrey, Campus Guadalajara. Sus reas deinters en investigacin son en procesamiento

de seales, estimacin espectral, teledeteccin y procesamiento de imgenes.

Yuriy V. Shkvarko (M95SM04). Ingeniero(con honores) en Radio Ingeniera en 1976,Candidato en Ciencias (equivalente a PhD) enradio sistemas en 1980 y Doctor en Ciencias enfsicas de radio, radar y navegacin en 1990,todos del Instituto de Aviacin de Kharkov,Ucrania, (ex URSS). De 1976 a 1991, estuvo enel Departamento de Investigacin Cientfica delInstituto de Aviacin de Kharkov, (ex URSS),desempendose como investigador endiferentes categoras y finalmente como Jefe delLaboratorio de Investigacin en Tecnologas deInformacin para radar y navegacin. De 1991 a

1999 fue profesor de tiempo completo en el Departamento de Anlisis deSistemas y Control del Instituto Politcnico Nacional de Ucrania en Kharkov,Ucrania. De 1999 al 2001 fue profesor visitante en la Universidad deGuanajuato en Salamanca, Mxico. En 2001, se integr al CINVESTAV delIPN en Guadalajara, Mxico, como profesor titular de tiempo completo. Susintereses de investigacin son en aplicaciones de procesamiento de sealespara percepcin remota, radar de formacin de imgenes, navegacin ycomunicaciones, particularmente en problemas inversos, estimacin decampos aleatorios, anlisis espacial adaptivo, procesamiento estadsticomulticanal, arreglo de sensor y fusin de sistemas. Posee 12 patentes y hapublicado 2 libros y ms de 100 artculos en Revistas y Memorias deConferencias sobre estos tpicos.

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