Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DOCTORAL

Caracterización Modal de Sistemas Giroscópicos Empleando Fuerzas de Desbalance

presentada por

Pedro Cruz Alcántar M. en C. en Ingeniería Mecánica por el CENIDET

como requisito para la obtención del grado de: Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing

Co-Director de tesis:

Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik Cuernavaca, Morelos, México. Agosto de 2012

Resumen

En este trabajo se presenta un análisis de la fuerza de desbalance como medio de excitación para rotores con propósito de su caracterización dinámica. Se utilizaron modelos analíticos y modelos de elemento finito de rotores para presentar diagramas de respuesta y mapas de velocidades empleando fuerza de desbalance como excitación. Con los resultados obtenidos de los modelos se concluye que los momentos giroscópicos afectan la fuerza de desbalance en la excitación de rotores y a pesar de que la fuerza de desbalance no excita modos de precesión negativa en rotores isotrópicos sigue siendo una técnica útil y fácil aplicar para la caracterización modal de sistemas rotodinámicos.

Además se desarrolló una técnica para obtener los eigenvectores derechos e izquierdos y los eigenvalores de una estructura rotatoria usando fuerza de desbalance como medio de excitación. Esta técnica consiste en construir la matriz de respuesta (FRF) de la estructura rotatoria de la cual los parámetros modales pueden ser extraídos con el propósito de tener un arreglo modal completo utilizando modelos numéricos de estructuras rotatorias.

Abstract In the present work, the unbalance excitation force is analyzed as an excitation medium in the dynamic characterization of rotors. Analytical and numerical models were used to obtain frequency response Bode and Campbell diagrams using the unbalance excitation force. With the results obtained from the models it is concluded that the gyroscopic moments affects the unbalance force in the excitation of rotors and even though the force of unbalance does not excite the backward precessional whirl mode in isotropic rotors, it is still a useful and easy-to-apply technique for the modal characterization of rotordynamic systems. In addition, a technique was developed to compute left-eigenvectors, right-eigenvectors and the corresponding eigenvalues of a rotating machinery structure using unbalance excitation force. A numerical model by finite element method is used to build the frequency response function (FRF) matrix to obtain the complete set of modal parameters.

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Índice general Lista de figuras……………………………………………………………………….. iv Lista de tablas………………………………………………………………………… vii Nomenclatura………………………………………………………………………… viii

Capítulo 1 Introducción……………………………………………….. 1 1.1 Introducción............................................................................................................ 1 1.2 Objetivos……………............................................................................................. 3 1.2.1 General……………………………………………………...……………… 3 1.2.2 Específicos…………………………………………………………………. 3 1.3 Estado de arte……………………………………….............................................. 4 1.3.1 Estudio de los efectos giroscópicos………………………………………... 4 1.3.2 Caracterización de sistemas giroscópicos…………….…………………… 5

Capítulo 2 Fundamentos teóricos………………..……………………. 8 2.1 Efecto giroscópico……………………………………………………….....…….. 8 2.1.1 Efecto de los momentos giroscópicos……………………………………… 9 2.2 Órbitas en Cabeceo positivo (forward) y negativo (Backward)….………..…….. 11 2.3 Excitación de las órbitas en cabeceo positivo y negativo………………….....….. 12 2.3.1 Comportamiento de estructuras rotatorias afectadas por momentos

giroscópicos………………………………………………………………………. 12

2.3.2 Caracterización modal de estructuras……………………………………… 13 2.3.3 Caracterización modal de máquinas rotatorias…………………………..… 14 2.3.4 Cálculo de los eigenvectores izquierdos…………………………………… 15 2.3.5 Técnicas de excitación para estructuras rotatorias……………………….... 16 2.3.6 Descripción de las técnicas de excitación para estructuras rotatorias……… 17 2.3.7 Uso de fuerzas de desbalance para excitación……………………………... 19 2.4 Método de Nordmann para la caracterización de estructuras rotatoria……..…… 19 2.4.1. Identificación de parámetros modales de rotores……………………….… 19 2.4.2 FRF analíticas……………………………………………………………… 20 Capítulo 3 Dinámica y modelado de rotores……….………………… 22 3.1 Dinámica del rotor rígido........................................................................................ 22 3.1.1 Introducción………………………………………………………………... 22 3.1.2 Propiedades inerciales de un rotor rígido……………………………….…. 22

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3.1.3 Vibraciones naturales de un rotor rígido..…………………………………. 24 3.1.4 Ecuaciones de movimiento………………………………………………… 24 3.1.5 Estabilidad de movimiento……………………………………….….…….. 25 3.1.6 Vibraciones naturales……………………………………………………… 26 3.1.7 Influencia de la velocidad del rotor y efectos giroscópicos……………….. 27 3.1.8 Otras excitaciones armónicas……………………………………………… 28 3.2 Dinámica del rotor flexible……………............................……………………….. 29 3.2.1 Introducción………………………………………………………………... 29 3.2.2 Rotor de Jeffcott……………………………………………………………. 29 3.3 Análisis y modelado de rotores por el método de elemento finito…………….… 39 3.3.1 Rotores con distribución continúa de masa y rigidez…………………..….. 39 3.3.2 Modelo de un rotor flexible………………………………………………... 39

Capítulo 4 Modelado y simulación numérica por elemento finito………………………….…………………………………………. 47 4.1 Modelado y simulaciones numéricas mediante elementos finitos…...………….. 47 4.2 Análisis en Rotodinámica………………………………………………………… 48 4.2.1 Análisis modal……………………………………………………………… 49 4.2.2 Análisis armónico…………………………………………………………... 49 4.3 Tipos de elementos finitos para rotodinámica…………………….……..……….. 49 4.4 Modelado de rodamientos y amortiguamiento....………………………………… 51 4.5 Técnicas de modelado para rotores………………….......………..……………… 51 4.6 Selección del tipo de elemento finito y técnica de modelado……………………. 52 4.7 Validación de los modelos de elemento finito………………………...……….… 54 4.7.1 Caso Uno…………………………………………………………………… 54 4.7.2 Caso Dos…………………………………………………………………… 55 4.8 Verificación de los modelos de elemento finito con modelos analíticos………… 57

Capítulo 5 Impactos de los momentos giroscópicos en rotores…..… 60 5.1 Impacto de los momentos giroscópicos en la excitación por desbalance..……...... 60 5.1.1 Uso de fuerzas de desbalance para excitación……………………………... 61 5.2 Impacto de los momentos giroscópicos en la fuerza de desbalance……..….….... 62 5.2.1 Ejemplo numérico………………………………………………………….. 65 5.3 Impacto de los momentos giroscópicos en la respuesta debido al desbalance…... 68 5.3.1 Respuesta al desbalance para sistemas con isotropía y anisotrópica en los

soportes…………………………………………………………………………… 70

5.3.2 Respuesta de rotores afectados por momentos giroscópicos…………...….. 71

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Capítulo 6 Extracción de eigenvectores izquierdos de estructuras rotatorias……….……………………………………………………….. 79 6.1 Caracterización modal de máquinas rotatorias ………………………………....... 79 6.2 Extracción de los eigenvectores izquierdos y derechos usando FRFs…..…….…. 80 6.2.1 Extracción de eigenvectores derechos de FRFs medidas………………….. 80 6.2.2 Extracción de eigenvectores izquierdos de FRFs medidas……….……….. 82 6.3 Interpretación física de los eigenvectores izquierdos y derechos………………… 83 6.4 Metodología para la extracción de los eigenvectores izquierdos usando el método de Nordmann modificado…………………………………………………….

85

6.4.1 Caracterización modal de un rotor: ejemplo numérico……………………. 86

Capítulo 7 Resultados y conclusiones…………………………………. 91

Bibliografía............................................................................................... 94

Apéndice A Aplicaciones de ingeniería de los eigenvectores izquierdos…………. 99

Apéndice B Banco experimental y calibración del modelo FEM…………………. 101

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Lista de figuras Fig. 2.1 Momento giroscópico [35].…………………………………………….….. 9 Fig. 2.2 Modelo de un rotor en voladizo [33].………………...……………………. 9 Fig. 2.3 Eigenvalores de un rotor en voladizo vs velocidad de rotación [35]……… 10 Fig. 2.4 Órbita de un eje………………………………………………………...….. 11 Fig. 2.5 Sentidos de la órbita……………………………………………………….. 11 Fig. 2.6 Excitación usando precarga en un eje……………………………………... 17 Fig. 2.7 Excitación usando dispositivo de desbalance……………………………… 17 Fig. 2.8 Excitación usando martillo de impacto……………………………………. 17 Fig. 2.9 Excitación usando soportes magnéticos…………………………………… 18 Fig. 2.10 Excitación vía excitador electromagnético – rodamiento…………………. 18 Fig. 2.11 Técnica de identificación de Nordmann [5]……………………………….. 20 Fig. 2.12 Señales de entrada y salida en el rotor [2]…………………………………. 20 Fig. 2.13 Localizaciones de la excitación y respuesta [5]………………………….... 21 Fig. 3.1 Ejes coordenados de referencia para los momentos y productos de inercia. 23

Fig. 3.2 Rotores simétricos , (a) disco con Ix0 = Iy0 < Iz0 ,(b) cilindro con Ix0 = Iy0 > Iz0…………………………………………………………….. 23

Fig. 3.3 Rotor rígido en 2 rodamientos radiales [54]………………………………. 25

Fig. 3.4

Los eigenvalores dependen de la velocidad para un rotor rígido elásticamente soportado. En el lado derecho las formas típicas de los correspondientes modos naturales son indicadas. m = 10kg, Ix0 = 1kgm2, a = 0.33m, b = 0.15m, k = 200 N/m [54]….... 27

Fig. 3.5 Coordenadas y variables para el rotor rígido con desbalance.……….……. 28 Fig. 3.6 Modelo del rotor de Jeffcott [54].…………………………………………. 30 Fig. 3.7 Sistema coordenado y desplazamientos del centro del disco……..……….. 30 Fig. 3.8 Relaciones entre desplazamiento y ángulo.…...……..………….…………. 31 Fig. 3.9 Fuerzas y momentos actuando en el disco………………………………… 31 Fig. 3.10 Deflexión estática del disco……………………………………………….. 33 Fig. 3.11 Órbita circular del disco con centro C……………………..……...………. 34

Fig. 3.12 Amplitudes de vibraciones de desbalance en dependencia de la velocidad rotacional [54]……………………………………………………………... 35

Fig. 3.13 Amortiguador actuando en el disco.………………………………………. 36 Fig. 3.14 Rotor de Jeffcott con rodamiento elástico…………………………………. 37 Fig. 3.15 Arreglo en serie de rigideces.……………………….…………..…………. 37

Fig. 3.16 Respuesta al desbalance del rotor de Jeffcott con rodamientos elásticos [54]………………………………………………………………………… 38

Fig. 3.17 Modelo mecánico del rotor flexible [54]…………………………………... 39 Fig. 3.18 GDLs de un elemento tipo viga……………………………………………. 40 Fig. 3.19 Matrices de empalme-matriz viga…………………………………………. 43 Fig. 3.20 Matriz del disco……………………………………………………………. 44 Fig. 3.21 Determinación de condiciones de frontera………………………………… 44 Fig. 3.22 Diagrama de Campbell direccional [35].………………………………….. 46 Fig. 4.1 Esquema elemento Beam188 [64].………………………………………… 51 Fig. 4.2 Esquema del elemento Combin14 [64]……………………………………. 51

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Fig. 4.3 Dimensiones del rotor [42]………………………………………………… 52

Fig. 4.4 (a) Modelo usando elementos viga-masa, (b) Modelo usando elementos 3D.………………………………………………………………………..... 53

Fig. 4.5 a) Geometría b) Modelo discreto………….………………………….. 54 Fig. 4.6 Primera y segunda forma modal…………………………………………… 55 Fig. 4.7 a) Geometría b) Modelo discreto……………………………………... 56 Fig. 4.8 Primera y segunda forma modal.……………………………………….…. 56 Fig. 4.9 Modelo analítico [4]……………………………………………………….. 57 Fig. 4.10 Diagrama de Campbell: --- Resultados FEM, __ Resultados de analíticos.. 58 Fig. 4.11 Respuesta armónica: --- Resultados FEM , __ Resultados de analíticos…. 59 Fig. 5.1 Representación de la fuerza de desbalance………………………………... 61 Fig. 5.2 Primer (a) y tercer (b) modo de vibración de un rotor…………………….. 62 Fig. 5.3 Descomposición de la fuerza de desbalance………………………………. 63 Fig. 5.4 Cambios en la respuesta con excitación por desbalance…………………... 64 Fig. 5.5 a) Geometría del rotor y b) Modelo de elemento finito…………………… 66

Fig. 5.6 Resultados de simulación. a) Respuesta y formas modales, b) Diagramas de decremento logarítmico y de Campbell………………………………… 67

Fig. 5.7 Influencia de los efectos giroscópicos en el tercer modo de vibración del turbogenerador [70]…………………………………………………….….. 69

Fig. 5.8 Primer y tercer modo de vibración de un rotor……………………………. 69

Fig. 5.9 Comparación de respuesta al desbalance para: sistema isotrópico y anisotrópico………………………………………………………………... 71

Fig. 5.10 Geometría y modelo del rotor……………………………………………... 72

Fig. 5.11 a) Repuesta del nodo 8 en dirección y y z, b) Comparación de respuestas del nodo 8 con y sin efectos giroscópicos…………………………………. 73

Fig. 5.12 a) Diagrama de Campbell b) Diagrama del decremento logarítmico……… 73 Fig. 5.13 Geometría y modelo del rotor……………………………………………... 74

Fig. 5.14 a) Repuesta del nodo 6 en dirección y y z, b) Respuesta considerando o no el efecto giroscópico…………………………………………………….… 75

Fig. 5.15 a) Diagrama de Campbell b) Diagrama del decremento logarítmico…….. 75 Fig. 5.16 Geometría y modelo del rotor……………………………………………... 76

Fig. 5.17 a) Repuesta del nodo 40 en dirección y y z, b) Respuesta considerando o no el efecto giroscópico………………………………………………….... 77

Fig. 5.18 a) Diagrama de Campbell b) Diagrama del decremento logarítmico……... 77

Fig. 6.1 Procedimiento para obtener una columna de la matriz de respuesta de un sistema……………………………………………………………………... 81

Fig. 6.2 Procedimiento para obtener un renglón de la matriz de respuesta de un sistema……………………………………………………………………... 83

Fig. 6.3 Método de Nordmann modificado usando excitación por desbalance….… 86 Fig. 6.4 a) Dimensiones del rotor, b) Modelo de elemento finito [49]………….…. 87 Fig. 6.5 Esquema usado para la caracterización del rotor………………………….. 87 Fig. 6.6 Proceso para armar una matriz de respuesta usando desbalance………….. 88

Fig. 6.7 Respuestas obtenidas del análisis armónico: excitando en el nodo 40 y midiendo en los nodos 1, 13, 27, 40…………………………………….…. 88

Fig. 6.8 Primeros tres modos de vibración del rotor: representación gráfica……… 89 Fig. A.1 Descomposición modal de la respuesta de un sistema…………………….. 101 Fig. B.1 Rotor experimental y su instrumentación………………………………….. 101

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Fig. B.2 Esquema del proceso de calibración del rotor experimental………………. 105 Fig. B.3 Proceso de calibración del rotor experimental…………………………….. 105 Fig. B.4 Modelo discreto de la flecha del rotor…………………………………….. 103 Fig. B.5 Arreglo libre-libre para las pruebas experimentales (primera etapa)……… 103 Fig. B.6 Respuesta al impulso obtenida en la prueba experimental (primera etapa).. 103 Fig. B.7 Modelo discreto del rotor completo (disco-flecha)………………………... 104 Fig. B.8 Arreglo libre-libre para las pruebas experimentales (segunda etapa)……... 104 Fig. B.9 Respuesta al impulso obtenida en la prueba experimental (segunda etapa). 105

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Lista de Tablas

Tabla 2.1 Técnicas de excitación.………………………...……………………….. 16 Tabla 4.1 Elementos finitos para rotodinámica [64]……………………………..... 50

Tabla 4.2 Comparación del número de elementos discretos y tiempo de consumo para los modelos tipo viga-masa y 3D………………………………….. 53

Tabla 4.3 Comparación de resultados para los modelos tipo viga-masa y 3D…..... 53 Tabla 4.4 Propiedades del rotor caso uno………………………………………..... 54 Tabla 4.5 Primeras dos frecuencias naturales caso uno………………………….... 55 Tabla 4.6 Propiedades del rotor caso dos…………………………………………. 56 Tabla 4.7 Primeras dos frecuencias naturales caso dos…………………….……... 56 Tabla 4.8 Propiedades del rotor………………………………………………….... 57

Tabla 4.9 Comparación de los resultados obtenidos analíticamente y usando FEM…………………………………………………………………..… 59

Tabla 5.1 Propiedades del rotor………………………………………………….... 66 Tabla 5.2 Frecuencias y velocidades críticas del rotor……………………………. 66 Tabla 5.3 Efecto del modo de vibración en el efecto giroscópico……………….... 70 Tabla 5.4 Propiedades del rotor modelo 1……………………………………….... 72 Tabla 5.5 Propiedades del rotor modelo 2……………………………………….... 74 Tabla 5.6 Propiedades del rotor modelo 3……………………………………….... 76 Tabla 6.1 Propiedades de los soportes…………………………………………..… 87 Tabla 6.2 Eigenvalores y eigenvectores para el modo 1…………………………... 89 Tabla 6.3 Eigenvalores y eigenvectores para el modo 2…………………………... 89 Tabla 6.4 Eigenvalores y eigenvectores para el modo 3…………………………... 89 Tabla B.1 Calibración del primer modo de vibración de la flecha del rotor……..... 104 Tabla B.2 Calibración del primer modo de vibración del rotor completo……….… 105

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Nomenclatura [H] Matriz de FRF F Fuerza

ou Desplazamientos λ Eigenvalores ψ Eigenvectores φ Matriz de eigenvectores j Momento polar de inercia

( )tχ Respuesta en función del tiempo Ω Velocidad de rotación i √−1 Ax,Bx, Ay, By

Condiciones iniciales del sistema

[K ] Matriz de rigidez [M ] Matriz de masa [G ] Matriz giroscópica [C ] Matriz de amortiguamiento [𝐼𝑃] Matriz de inercia [𝐼𝑃0] Matriz de principal de inercia [λ ] Matriz de eigenvalores t Tiempo n Número entero N Orden del sistema matricial ω Frecuencia de excitación o frecuencia natural 𝐸 Módulo de elasticidad 𝜌 Densidad 𝜈 Módulo de Poisson 𝐺 Módulo de cortante

𝛿(𝑒) Vector de Grados de libertad de un elemento viga (χ1 y1 φ1 Θ1 χ2 y2 φ2 Θ2)

rc Radio de la órbita circular 𝑟𝐶/𝑒 Razón de la amplitud de la órbita Ip Momento polar de inercia EJ Producto de rigidez elástica xs, ys. Desplazamiento del centro de gravedad , , 𝑧 Vector de desplazamiento y sus derivadas , , 𝑥 Vector de desplazamiento y sus derivadas

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Siglas y Acrónimos FRF Función de respuesta en frecuencia FEM Método de elemento finito FRM Función de respuesta en frecuencia medida GDL Grados de libertad

Otros símbolos Vector [ ] Matriz -1 Inversión de una matriz T Transposición de una matriz

* Complejo conjugado Re([ ]) Parte real de una matriz compleja Im([ ]) Parte imaginaria de una matriz compleja

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Capítulo 1

Introducción 1.1 Introducción Cuando una estructura tiene la capacidad de rotar, los movimientos de rotación y vibración se relacionan entre sí generando fuerzas y momentos que no están presentes en el estado estacionario. Estas fuerzas y momentos no sólo afectan la respuesta forzada de una estructura sino también su vibración a través de cambios en sus propiedades modales. Cuando un cuerpo rota se generan fuerzas que dependen de la magnitud de la velocidad, como es el caso de las fuerzas inerciales (fuerzas de Coriolis, efectos giroscópicos) [1]. Por ejemplo, la vibración generada por desbalance se produce cuando el eje de giro de un elemento rotatorio no coincide con su centro de gravedad, por lo tanto se tiene una excentricidad. Esta excentricidad en un cuerpo en rotación produce una amplitud de vibración a la misma frecuencia de la rotación del cuerpo. Una forma de reducir las amplitudes de vibración en máquinas rotatorias es compensando la masa excéntrica, lo anterior equivale a trasladar su centro de gravedad al eje de giro del elemento. Este proceso se llama balanceo y es una manera de reducir el impacto de la amplitud de vibración en máquinas rotatorias. La mayoría de las estructuras se comportan de acuerdo al teorema de reciprocidad de Maxwell [2,3] pero cuando están presentes fuerzas giroscópicas (las cuales dependen de la velocidad del rotor) se produce la pérdida de reciprocidad [4]. Cuando una máquina es afectada por los efectos giroscópicos su modelo espacial es representado mediante una matriz asimétrica de “amortiguamiento”. Esta asimetría hace que el comportamiento

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dinámico de los sistemas giroscópicos no cumpla con el principio de reciprocidad. Por ejemplo, cuando las ecuaciones de movimiento de una estructura se escriben para un sistema coordenado ortogonal, sus matrices son simétricas. Sin embargo, cuando el sistema coordenado no es ortogonal las matrices se hacen asimétricas provocando que el principio de reciprocidad no se aplique a este tipo de casos. La mayoría de los métodos modales para la caracterización dinámica se sustentan en el principio de ortogonalidad y reciprocidad lo que ocasiona que no sean aplicables cuando las matrices de un sistema sean asimétricas o cuando los efectos giroscópicos están presentes. Además, una de las principales limitaciones de las pruebas modales para caracterización de sistemas giroscópicos o máquinas rotatorias es la dificultad a la que se enfrentan al tratar de aplicar fuerzas de excitación controlada a los elementos rotatorios. Aunque se han desarrollado técnicas para lo anterior, son difíciles de aplicar y en un cierto grado son sólo aplicables en laboratorio [5]. Por ejemplo, el método propuesto por Nordmann consiste en excitar una estructura rotatoria en operación con un martillo de impacto y medir la respuesta en puntos seleccionados para obtener un renglón y una columna de la matriz en función de respuesta en frecuencia (FRF) de las cuales se pueden extraer las frecuencias naturales y los eigenvectores derechos e izquierdos. Una de las técnicas más factibles es usar fuerzas de desbalance como excitación, ya que se presentan de forma natural en los sistemas rotatorios y son fáciles de controlar. Sin embargo, en la mayoría de los casos presentan el inconveniente de que sólo pueden aplicarse en planos de balanceo cuya ubicación está predeterminada y su magnitud varía con el cuadrado de la velocidad de rotación. Aún con estas dificultades se ha logrado la caracterización de sistemas rotatorios confinados a ciertas características particulares como lo son: sistemas con amortiguamiento ligero o sin amortiguamiento, sistemas isotrópicos o anisotrópicos, entre otros [6]. Para un caso más general, la caracterización de máquinas rotatorias requiere de la medición de la vibración en un punto del rotor causada por fuerzas de excitación aplicadas a cada grado de libertad por separado. Por lo tanto, las fuerzas de desbalance sólo pueden aplicarse si los grados de libertad del rotor corresponden únicamente a los desplazamientos de los planos de balanceo [7]. La respuesta debido a fuerzas de desbalance es una alternativa para la caracterización de sistemas giroscópicos, en la actualidad no existen trabajos que reporten técnicas o metodologías para su aplicación en la caracterización de sistemas giroscópicos.

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1.2 Objetivos 1.2.1 General Desarrollar una metodología para determinar los parámetros modales de un sistema giroscópico utilizando fuerzas de desbalance. 1.2.2 Específicos • Desarrollar programas para el cálculo de la respuesta de sistemas giroscópicos a fuerzas

de desbalance.

• Caracterizar los efectos de las fuerzas de desbalance sobre la respuesta dinámica de sistemas giroscópicos.

• Identificar los parámetros modales de un sistema giroscópico usando su respuesta a una

fuerza de excitación conocida.

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1.3 Estado de arte 1.3.1 Estudio de los efectos giroscópicos Rayleigh [8] identificó la inercia rotatoria de un disco montado sobre un eje. Stodola [9] consideró el efecto de inercia rotatoria e identificó a éste como efectos giroscópicos. Éstos producen dos tipos de modos: de cabeceo positivo y de cabeceo negativo. Stodola fue el primero que presentó el análisis conocido sobre el efecto giroscópico en rotores, su modelo consistió en un disco con diámetro mayor respecto al eje donde es soportado y éste a su vez fue sujetado en un arreglo típico viga en cantiléver. La finalidad del modelo anterior fue estudiar el efecto giroscópico de ejes rotatorios sometidos a grandes velocidades. Green [10] extendió estos estudios sobre los efectos giroscópicos a rotores flexibles, especialmente para el caso de las velocidades críticas. Den Hartog [11] y Timoshenko [12] discutieron los efectos giroscópicos en términos de órbitas síncronas y asíncronas. Carnegie [13] usó métodos de energía para determinar los efectos giroscópicos en rotores. Pederson [14] hizo un estudio sobre el comportamiento de los modos de cabeceo negativo y positivo en sistemas giroscópicos, donde abordó el hecho de que los modos de cabeceo negativo no pueden ser excitados por las fuerzas de desbalance y que estos son afectados por la magnitud del amortiguamiento al grado de llevar al modo de cabeceo negativo a convertirse en un modo de cabeceo positivo.

Meirovitch [15] desarrolló un método para resolver el problema de eigenvalores para un número “n” de grados de libertad, sin amortiguamiento y con efectos giroscópicos suponiendo simetría en las matrices de masa y rigidez, y asimetría en la matriz giroscópica. En esta solución se redujo el problema de eigenvalor a una forma estándar, es decir, a uno definido por dos matrices reales simétricas. Entonces la solución del eigenvalor puede ser resuelta por una amplia variedad de algoritmos existentes.

Dimaragonas [16] presentó un modelo más general que incluye la inercia rotatoria, los efectos giroscópicos y el amortiguamiento interno. Gasch, Nordmann y Pf’utzner [17] presentaron un modelo que fue similar al de Dimaragonas pero incluyó el efecto de la excentricidad distribuida. Al mismo tiempo, Nelson H. D. y McVaugh [18] publicaron su modelo que incluía inercia rotatoria, momentos giroscópicos y carga axial. Las ecuaciones detalladas para los elementos son expresadas en ambos marcos de referencia: fijo y rotacional. Su trabajo fue generalizado por Zorzi y Nelson [19] quienes incluyeron el amortiguamiento interno. Bauchau [20] presentó una solución numérica para sistemas giroscópicos utilizando un eigen-problema cuadrático. Tales problemas son conocidos por reducir un eigen-problema lineal a uno que involucra dos matrices reales no singulares, una matriz simétrica y una asimétrica.

Wang y Kirkhope [21] presentaron un nuevo método para la solución de problemas de valores característicos para el cálculo de frecuencias y velocidades críticas. Ellos mostraron

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que las formas modales de los sistemas giroscópicos pueden expresarse como combinaciones lineales de un conjunto de eigenvectores reales.

Zheng et al [22] propuso el desacoplamiento ortogonal de las ecuaciones dinámicas de un sistema giroscópico amortiguado, donde logró obtener los eigenvalores del sistema y resolver la respuesta dinámica en una forma independiente. Todos sus procedimientos están confinados en el dominio real, las transformaciones son ortogonales y el método computacional es estable. Con esto se sustentan las bases para el análisis modal, resaltando no sólo el análisis matemático, sino también el conocimiento del comportamiento de estructuras rotatorias.

Sawichi y Genta [23] presentaron una nueva técnica para desacoplar las ecuaciones de movimiento para sistemas rotodinámicos. El método toma en cuenta los efectos giroscópicos y el amortiguamiento histerético para lograr el desacoplamiento de las ecuaciones. Brusa y Zolfini [24] hicieron un estudio sobre modelos analíticos y numéricos para el comportamiento de rotores afectados por momentos giroscópicos para conocer la estabilidad en el intervalo de las órbitas de cabeceo positivo y negativo. Ellos propusieron un algoritmo que toma ventaja de que el problema de eigenvalores es definido por matrices altamente dependientes. La mayoría de los trabajos antes mencionados han apoyado en gran manera a los conocimientos de las propiedades de los sistemas giroscópicos, y especialmente al campo de caracterización de estructuras rotatorias, en el cual no se había puesto interés en los momentos giroscópicos y en la mayoría de los casos se tomaban como despreciables. 1.3.2 Caracterización de sistemas giroscópicos La mayoría de las máquinas de alta velocidad en la industria están compuestas por componentes rotatorios y no rotatorios. Estas máquinas deben caracterizarse dinámicamente por medio de técnicas como análisis modal o análisis modal experimental. Una vez determinados los parámetros modales se construyen los modelos modales para la caracterización del comportamiento dinámico del sistema en cuestión. En sistemas dinámicos es común crear dichos modelos usando las frecuencias naturales y las formas modales, las cuales caracterizan el comportamiento del sistema en función de los modos de vibración. Zhou y Shi [25] presentaron un modelo de un rotor rígido desarrollado en el espacio de estados, donde incluía fuerzas de desbalance y momentos giroscópicos. El modelo fue utilizado para hacer un observador (estimador) para estimar o caracterizar la dinámica de un rotor conociendo algunos parámetros como la frecuencia natural y el desbalance. Cuando una máquina es afectada por los efectos giroscópicos, estos se representan en un modelo espacial mediante una matriz asimétrica de “amortiguamiento”. Esta asimetría hace que el comportamiento dinámico de los sistemas giroscópicos no cumpla con el principio de reciprocidad de Betti [2], y debido a esto se requiere un mayor número de coeficientes

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para obtener un modelo espacial completo de un sistema giroscópico comparado con el número requerido para una estructura. Para el modelo modal este incremento en el número de parámetros requeridos se refleja en la necesidad de identificar un parámetro adicional para cada modo de vibración (eigenvector izquierdo) [7]. En el modelo de respuesta, la pérdida de la reciprocidad hace necesario medir una columna y un renglón de la matriz de FRFs para obtener el modelo completo de un sistema giroscópico [5]. Para medir un renglón de la matriz de FRFs es necesario aplicar fuerzas de excitación a cada grado de libertad (GDL) del sistema y medir la respuesta en un GDL fijo. Aunque esto es relativamente fácil en estructuras, como por ejemplo cuando se realizan pruebas de impacto, resulta difícil en componentes de máquinas rotatorias debido a que es difícil acceder a ellos durante la operación de la máquina. Además los equipos de excitación convencionales no pueden usarse para aplicar y medir fuerzas de excitación de manera confiable [26]. Debido a estas dificultades prácticas se han intentado diversas estrategias de excitación. La primera fue la excitación por impacto [27]. Otro método de excitación es mediante chumaceras magnéticas activas [28]. Con este método es posible excitar flechas en rotación mediante fuerzas magnéticas, cuya magnitud, frecuencia y fase se controlan eléctricamente.

Otro método de excitación de flechas rotatorias es mediante un rodamiento corredizo [26,29] que consiste en una pista interior la cual gira con la flecha mientras que la pista exterior se conecta a un excitador electromagnético. Con este método es posible emplear equipo convencional de excitación y el montaje resulta sencillo. Sin embargo, para usarlo se necesita desmontar la flecha, instalar el rodamiento y volver a instalar la flecha para realizar las pruebas. Adicionalmente, la fuerza que se mide es la que se aplica al rodamiento y no la que se aplica a la flecha. Dado que los rodamientos tienen un comportamiento no-lineal cuando se excitan radialmente, las fuerzas que se miden no representan fielmente las fuerzas aplicadas a la flecha y existe un alto grado de incertidumbre sobre la exactitud de las FRF calculadas con esas fuerzas. Muszynska [30] empleó un dispositivo para excitar flechas giratorias con desbalance. El dispositivo que utilizó fue un disco montado en un rodamiento corredizo y a su vez montado sobre la flecha. La velocidad del disco la controló por medio de una banda de manera independiente a la velocidad de la flecha. Con este dispositivo pudo hacer estimaciones de las FRFs de la flecha rotatoria ya que la fuerza de desbalance se puede calcular a partir de la velocidad de giro y del radio de colocación de la masa de desbalance.

Morton [31] fue unos de los primeros investigadores en identificar parámetros dinámicos de una turbomáquina en operación mediante una técnica de excitación de ancho de banda. En este caso el eje rotatorio es precargado con una fuerza estática por medio de una lámina adicional en el rodamiento. El eje es excitado por una fuerza de salto usando una barra de frenado donde la precarga es quitada de repente y las mediciones son hechas con galgas extensométricas. Kank y Kawakami [32] identificaron los coeficientes dinámicos mediante una excitación proveniente de dos actuadores hidráulicos colocados en las direcciones perpendiculares.

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Cada uno de los métodos presentados anteriormente tiene ventajas y desventajas con respecto a los demás, pero ninguno de ellos resuelve el problema relacionado con la dificultad para acceder a los componentes rotatorios de máquinas en los cuales se originan los momentos giroscópicos. Aunque para la caracterización modal de estructuras sólo es necesario aplicar fuerzas de excitación en un punto para obtener un modelo modal, para caracterizar completamente los sistemas giroscópicos es necesario aplicar la excitación en todos sus grados de libertad. Los procedimientos como el balanceo modal usan las fuerzas de desbalance de rotores como fuentes de excitación, sin embargo estas fuerzas sólo pueden aplicarse en los planos de balanceo y por lo tanto no es posible usarlas para lograr una caracterización completa de un sistema giroscópico. Gutiérrez [6] desarrolló un método para la caracterización modal de maquinaria rotatoria usando una aproximación de la dinámica estructural. El trabajo se enfocó en simplificar la caracterización modal de estructuras rotatorias minimizando el número mediciones de funciones en respuesta de frecuencia requeridas para determinar sus parámetros modales. Gutiérrez consideró a las máquinas rotatorias como estructuras ensambladas de componentes rotatorios y no rotatorios. En su trabajo se demostró que en la mayoría de los casos una caracterización modal completa puede ser lograda sin medir un renglón completo de la matriz de FRF. El número de elementos de este renglón es establecido como una función del número de grados de libertad asociados con las regiones asimétricas de las matrices de rigidez y amortiguamiento. También utilizó el método desarrollado para la predicción de la respuesta, causada por fuerzas de excitación aplicadas en diferentes grados de libertad, en base a la determinación de los eigenvectores izquierdos. Aún con todos los trabajos documentados y presentados como alternativa para la caracterización modal de estructuras rotatorias es necesario determinar los eigenvalores, eigenvectores derechos e izquierdos para una caracterización completa de una estructura rotatoria.

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Capítulo 2

Fundamentos teóricos

2.1 Efecto giroscópico La mayoría de los sistemas rotatorios se encuentran bajo la influencia de fuerzas conocidas como fuerzas giroscópicas. Estas fuerzas frecuentemente se omiten en los análisis dinámicos porque su magnitud se considera despreciable en comparación con otras que afectan el comportamiento de los sistemas rotatorios. Sin embargo, hay casos en los que las fuerzas giroscópicas tienen un efecto considerable sobre el comportamiento dinámico del sistema. Los momentos giroscópicos son más apreciables en elementos de alta velocidad de rotación y se originan cuando el eje de giro del rotor cambia de orientación, como resultado se tiene que el rotor realiza una rotación sobre un eje el cual es perpendicular al eje de rotación y perpendicular al eje del momento aplicado (Fig. 2.1), como consecuencia de lo anterior se generan fuerzas adicionales en los soportes del rotor.

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Fig. 2.1. Momento giroscópico [35].

La presencia y magnitud de las fuerzas giroscópicas tiene como efecto la asimetría en las matrices que definen las ecuaciones de movimiento de la estructura rotatoria. Además, otro fenómeno que se presenta ante los momentos giroscópicos es el aumento de rigidez del rotor en cabeceo positivo (Forward whirl) y la disminución de la rigidez del rotor en cabeceo negativo (Backward whirl). Lo anterior, tiene un efecto directo sobre las velocidades críticas del sistema. 2.1.1 Efecto de los momentos giroscópicos Los efectos giroscópicos aunque están presentes en todo sistema rotatorio, estos son más notorios en rotores con una configuración en voladizo como se muestra en la Fig. 2.2 [33].

Fig. 2.2. Modelo de un rotor en voladizo [33].

El eje es soportado en la parte derecha por dos soportes, por simplicidad se asume que K1 es muy rígida y K2 es muy flexible. La combinación anterior, produce un momento de rigidez 𝑀ω = 𝐾2𝐿2 . Los dos grados de libertad angular para los movimientos cónicos del modo de vibración fundamental son α y β (válido solamente para pequeños ángulos). El rotor tiene un momento polar de inercia 𝐼𝑝 y un momento de inercia transversal IT con respecto al punto O del lado izquierdo del rotor. Si se ignoran las deflexiones del eje, las ecuaciones diferenciales de movimiento para un movimiento angular sin excitación por desbalance son [34]: 𝐼𝑇 + 𝐼𝑃𝜔 + 𝐾2𝐿2𝛽 = 0 (2.1) 𝐼𝑇 + 𝐼𝑃𝜔 + 𝐾2𝐿2𝛼 = 0 (2.2)

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Y los eigenvalores para este sistema son puramente imaginarios:

ω1 = 𝐼𝑃

2𝐼𝑇ω + 𝐾2𝐿

2

2𝐼𝑇+

𝐼𝑃2𝐼𝑇

ω2

(2.3)

ω2 = 𝐼𝑃

2𝐼𝑇ω − 𝐾2𝐿

2

2𝐼𝑇+

𝐼𝑃2𝐼𝑇

ω2

(2.4)

donde ω1 y ω2 son las frecuencias naturales no amortiguadas del rotor. La ecuación (2.3) representa la frecuencia natural de nutación o cabeceo positivo y la ecuación (2.4) representa la frecuencia natural de precesión o cabeceo negativo. Los siguientes puntos fueron derivados a partir del análisis del efecto giroscópico:

1. Si la velocidad angular del rotor ω es cero, las frecuencias naturales serán: ω𝑇 =

𝐾2𝐿2

𝐼𝑇. Para este caso, los modos de vibración son planos. Si la velocidad de

rotación del rotor es diferente de cero, entonces se producen frecuencias correspondientes a modos cónicos en cabeceo positivo (ω1) y negativo (ω2).

2. Cuando el rotor tiene velocidad angular diferente de cero, la frecuencia de la órbita en cabeceo positivo (ω1) será mayor que el valor ωT y menor que ω2 para la frecuencia de la órbita en cabeceo negativo.

3. La magnitud de los momentos giroscópicos está relacionada con 𝑃 = 𝐼𝑃𝐼𝑇

La Fig. 2.3 muestra como las frecuencias naturales (adimensionales) ω1/ω𝑇 y ω2/ω𝑇 varían con la velocidad de rotación ω/ω𝑇 para cuatro valores de 𝑃 = 𝐼𝑃/𝐼𝑇. Cuando el valor de P = 0 se trata de un caso sin momentos giroscópicos. La excitación por desbalance es mostrada con la línea punteada y las intersecciones a las curvas P = 0 y P = 0.5 son las velocidades críticas para estos dos casos.

Fig. 2.3. Eigenvalores de un rotor en voladizo vs velocidad de rotación [35].

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2.2 Órbitas en Cabeceo positivo (Forward) y negativo (Backward) En muchas aplicaciones prácticas como turbinas, compresores, motores eléctricos y bombas, regularmente un disco o rotor es montado sobre un eje flexible y soportado por dos rodamientos. Si en esta configuración el centro de masa del rotor no coincide con el centro de giro del eje, entonces el rotor estará desbalanceado. Cuando el eje está en rotación se presentan fuerzas centrífugas que hacen que se flexione en dirección de la excentricidad del rotor. Además de lo anterior, otros efectos tales como la rigidez, el amortiguamiento, los efectos giroscópicos y la fricción podrían causar la deflexión del eje en rotación. En dinámica de rotores a está deflexión se le conoce como Órbita o Whirling y se refiere al movimiento del centro de masa del rotor en un plano perpendicular al eje de giro como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 2.4. Órbita de un eje.

La órbita puede tener el mismo sentido o sentido contrario a la velocidad de rotación del eje. La velocidad de la órbita puede ser igual o no a la velocidad de giro del rotor. Cuando estas velocidades son iguales la órbita es llamada “órbita síncrona”. Sí el movimiento de la órbita del rotor está en el mismo sentido que la velocidad del rotor entonces se le llama “órbita en cabeceo positivo” y “órbita en cabeceo negativo” cuando están en sentidos opuestos. La Fig. 2.5 muestra los sentidos de la órbita.

Fig. 2.5. Sentidos de la órbita.

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2.3 Excitación de las órbitas en cabeceo positivo y negativo A pesar de la importancia del comportamiento dinámico de rotores parece que la excitación de la órbita en cabeceo negativo no ha sido definida correctamente. Por ejemplo, Den Hartog [11] refiere la precesión en cabeceo negativo como un fenómeno inexplicable y Ziegler [36] concluyó que no existen o son causadas por influencias ignoradas como oscilaciones en las cimentaciones. Parece ser que estas conclusiones fueron hechas debido a que no se tomaron en cuenta la influencia de los soportes apropiamente. Desde el trabajo clásico de Stodola [9] la influencia de los momentos giroscópicos en las velocidades críticas del rotor han sido estudiadas por algunos autores [11,37]. De lo anterior, se sabe que cada frecuencia natural de un rotor se divide en dos cuando son tomados en cuenta los efectos giroscópicos (una corresponde a la órbita en cabeceo positivo y la otra a la órbita en cabeceo negativo). Los modos en cabeceo positivo y en cabeceo negativo pueden ser excitados mediante fuerzas de desbalance cuando sus soportes tienen características especiales, por ejemplo, cuando un rotor tiene simetría con respecto a los soportes (Kx=Ky), las fuerzas de desbalance son incapaces de excitar los modos de cabeceo negativo, no importando la forma en que el desbalance esté distribuido sobre el eje del rotor. Pero si los soportes tienen alguna pequeña anisotropía (Kx≠Ky) los modos en ambas direcciones serán excitados. Sin embargo, las fuerzas de amortiguamiento internas tiene un papel fundamental en el comportamiento del modo en cabeceo negativo, estas fuerzas pueden reducir fuertemente las amplitudes del modo en cabeceo negativo y pueden cambiar este modo de cabeceo negativo a positivo. Lo anterior no aplica para los modos en cabeceo positivo. 2.3.1 Comportamiento de estructuras rotatorias afectadas por momentos giroscópicos Los momentos giroscópicos tienen los siguientes efectos en la respuesta vibratoria de un sistema:

a) Modifica la matriz de amortiguamiento del sistema causando asimetría, aunque

estos términos no presentan amortiguamiento sino propiedades inerciales. b) Causa la adición de desplazamiento angular de rotación, el sistema sufre cambios de

rigidez y de esta forma se aumenta o disminuye la frecuencia natural del sistema. c) Las formas modales del sistema también cambian y el rotor puede describir órbitas

ya sea en el sentido contrario del giro del rotor (precesión negativa) o en el mismo sentido de giro del rotor (nutación o precesión positiva).

Además se puede observar el efecto en la respuesta vibratoria directamente del modelo de respuesta del sistema, el cual está formado por funciones de frecuencia de excitación (FRFs), las cuales definen la relación entre la vibración de un sistema y las fuerzas de excitación aplicadas en cada grado de libertad. Esta relación genera una matriz de respuesta que tiene la característica de ser asimétrica para sistemas giroscópicos.

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2.3.2 Caracterización modal de estructuras En la caracterización de estructuras se pueden usar modelos espaciales, modelos modales o de respuesta. Lo anterior depende de los parámetros que sean más convenientes extraer de la respuesta del sistema. En el modelo espacial los parámetros son coeficientes de inercia, amortiguamiento y rigidez, las cuales expresan las relaciones entre las aceleraciones, velocidades, desplazamientos de diferentes puntos del sistema y las fuerzas de excitación que se aplican a esos puntos. Estos coeficientes comúnmente se ensamblan en matrices y reciben el nombre de matrices de masa, de amortiguamiento y de rigidez.

Un modelo modal está constituido por frecuencias naturales, relaciones de amortiguamiento y formas modales. Existe un parámetro de cada tipo por cada modo de vibración de la estructura, y existen tantos modos de vibración como grados de libertad tenga ésta. El último tipo de modelo es el de respuesta y está formado por funciones de frecuencia de excitación (FRFs). Normalmente estas funciones se ensamblan en una matriz, llamada comúnmente matriz de FRFs. Aunque con base en el principio de reciprocidad es posible reducir el tamaño de los modelos espacial y de respuesta de una estructura casi a la mitad, en general los modelos modales son más compactos y confiables. Por esta razón, los modelos modales se utilizan como estándares en la industria para validar modelos numéricos del comportamiento dinámico de estructuras [6]. El procedimiento para determinar los parámetros modales de una estructura requiere medir una columna de la matriz de FRFs. Esto equivale a medir un número N de FRFs para un sistema de N grados de libertad. De cualquiera de estas FRFs pueden obtenerse las frecuencias naturales y las relaciones de amortiguamiento modales. Las principales diferencias entre las estructuras estáticas y las estructuras rotatorias tienen origen en los siguientes hechos:

(a) Las estructuras rotatorias tiene propiedades que dependen de la velocidad [38]. (b) La respuesta y la excitación de estructuras rotatorias opera en marcos de

referencia fijos o móviles. Este hecho puede producir una complicada relación entre las frecuencias de excitación y aquellas que operan en la respuesta [39,40]

(c) Los modelos matemáticos de las estructuras rotatorias generalmente involucran matrices asimétricas [5,41].

(d) El amortiguamiento y la rigidez de rodamientos hidrodinámicos pueden producir una ‘rigidez no conservativa’ debido a la energía de disipación interna en un elemento rotatorio. Estos efectos pueden convertir la energía rotacional en respuesta vibratoria [42, 43, 44].

(e) Simetría: como las estructuras rotatorias son la mayoría axisimétricas, poseen casi siempre pares idénticos de frecuencias naturales y por lo tanto, es necesario tomar medidas especiales para la extracción exacta de sus modos (Ej. modos cercanos).

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(f) Fuentes de energía interna: en los elementos rotatorios de alta velocidad se almacena una considerable cantidad de energía cinética. Esta energía puede ser acoplada a la respuesta vibratoria, produciendo un fenómeno indirecto causado por la excitación aplicada durante un procedimiento experimental [17].

(g) Efectos no lineales: estos son más notables cuando los niveles de respuesta son altos [45].

Si se desea obtener un modelo experimentalmente donde se permita la predicción de la respuesta de la estructura para una excitación arbitraria, debe tomarse en cuenta la combinación de todos los efectos mencionados. 2.3.3 Caracterización modal de máquinas rotatorias Las máquinas rotatorias están expuestas a fuerzas giroscópicas, las cuales se representan en un modelo espacial mediante una componente asimétrica de la matriz de “amortiguamiento”. Esta asimetría está relacionada con el hecho de que el comportamiento dinámico de los sistemas giroscópicos no cumpla con el principio de reciprocidad, y por lo tanto se requiere un mayor número de coeficientes para obtener un modelo espacial completo de un sistema giroscópico comparado con el número requerido para una estructura. A causa de la asimetría de las matrices de amortiguamiento, el modelo modal completo de estructuras de maquinaria rotatoria consiste de dos diferentes conjuntos de vectores modales (eigenvectores derechos e izquierdos) y de un conjunto de eigenvalores. Esto está en contraste para el caso de estructuras no rotatorias, cuyos modelos solamente consisten de eigenvalores y eigenvectores derechos. El significado físico de los eigenvalores y eigenvectores derechos es relativamente fácil, el primero representa las frecuencias naturales y el segundo las formas modales. Sin embargo, el significado de los eigenvectores izquierdos no puede ser deducido en una manera sencilla. La razón de esto es porque las ecuaciones que definen los eigenvectores izquierdos no representan medidas cuantitativas tales como las fuerzas o desplazamientos y dar un significado físico a los términos es un reto. Los eigenvectores izquierdos son considerados como patrones de fuerzas asociados con la excitación selectiva de modos estructurales.

La necesidad de determinar los eigenvectores izquierdos para la caracterización modal completa de estructuras rotatorias ha requerido que el análisis modal tradicional sea modificado para ser aplicado a estos sistemas. Algunas técnicas para estimar parámetros modales de máquinas rotatorias en la actualidad están limitadas a sistemas específicos como los siguientes:

• Sistemas giroscópicos no amortiguados. • Sistemas de ejes axisimétricos con soportes isotrópicos. • Sistemas de ejes axisimétricos montados en un especial tipo de soportes

anisotrópicos. • Sistemas con pequeña anisotropía o ligero amortiguamiento.

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Una estrategia mediante la cual los parámetros modales de una estructura rotatoria pueden ser obtenidos consiste en medir un renglón y una columna de la matriz de repuesta de los sistemas. Los eigenvectores derechos son determinados usando una columna de la matriz de FRF mientras que los eigenvectores izquierdos son determinados de un renglón de la misma.

Medir un renglón de la matriz de FRF es difícil y consume mucho tiempo, por tanto se busca reducir el número de FRF requeridas para caracterizar de una estructura rotatoria. La reducción anterior sólo es posible si las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez tienen formas especiales. Para casos específicos es posible caracterizar completamente la dinámica de una máquina con pocas FRF medidas, en un caso más general es aún necesario medir un renglón completo y una columna de la matriz de FRF. 2.3.4 Cálculo de los eigenvectores izquierdos Nordmann [5] propuso una estrategia de prueba por medio de la cual los parámetros modales de una máquina rotatoria pueden ser obtenidos. La estrategia consiste de medir un renglón contra una columna de la matriz de FRF. Los eigenvectores derechos son determinados de las FRF en la columna, mientras que los eigenvectores izquierdos son determinados de las FRF en los renglones. Los eigenvalores pueden ser determinados de una o varias de las mediciones FRF. Sin embargo, medir un renglón de la matriz de FRF posee serias dificultades prácticas. Esto es porque exige la aplicación de fuerzas de excitación en cada grado de libertad de la máquina y esto puede ser un proceso difícil. Por ejemplo, si la estructura es considerada sin amortiguamiento pero es afectada por momentos giroscópicos, entonces los eigenvectores izquierdos son exactamente los conjugados complejos de los eigenvectores derechos para cada modo, y por tanto no es necesario medir el renglón de la matriz de FRF. Lee [39] propuso el uso de análisis modal complejo como un medio para reducir el número de FRF requeridas para la identificación completa de un sistema cuando las matrices tienen propiedades asimétricas. A través del uso de coordenadas complejas y de la FRF direccional, demostró que con la aproximación compleja solamente se requiere la mitad del número de FRF prescritas en el método de Nordmann. Sin embargo, los beneficios ofrecidos por esta estrategia de prueba son compensadas por el hecho que de cada FRF requiere la aplicación de un vector complejo de fuerza, así como la medición de una respuesta compleja. De ahí que el número de FRF procesadas es reducida, pero el esfuerzo técnico expendido en realizar la prueba es prácticamente igual que con la técnica de Nordmann. En casos específicos se ha encontrado que es posible caracterizar completamente la dinámica de una máquina con pocas FRF medidas por el método de caracterización de Nordmann. En un caso más general es aún necesario medir un renglón completo y una columna completa de la matriz de FRF. En términos prácticos esto significa que el sensor de respuesta y la excitación necesitan ser movidas en cada punto de la estructura. Naturalmente, algunos puntos en la estructura no pueden ser excitados o medidos prácticamente, por lo cual no puede ser obtenido un modelo modal completo.

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2.3.5 Técnicas de excitación para estructuras rotatorias Debido a la naturaleza de las máquinas rotatorias, la aplicación de una fuerza medible o controlable es más difícil que en el caso de estructuras no rotatorias. Los siguientes métodos de excitación son usados para sopesar la dificultad anterior. La siguiente Tabla 2.1 muestra el resumen de las técnicas utilizadas y sus características:

Tabla 2.1. Técnicas de excitación. Dispositivos Ventajas Desventajas Referencia

Martillo de impacto

• Fácil de mover • Fácil de medir

la fuerza de entrada

• Inducida por la fuerza tangencial

• Problemas con la precisión y repetibilidad.

• Insuficiencia de energía

• Banda ancha inseleccionable

Nordmann [5]

Dispositivo de excitación armónico -

• Cambio estructural • Mecanismo complejo • Banda ancha limitada • Dificultad de moverlo • Difícil de utilizar

Muszynska [30]

Dispositivo de excitación Shaker

-

• Inducido por la fuerza tangencial

• Cambio estructural • Dificultad para

moverlo

Rogers y Ewins

[26]

Excitador electromagnético

• Sin contacto • Fuerza de

medición precisa

• Excitación bidireccional

• Dificultad para moverlo

• Necesidad de la fuerza del transductor para la dinámica de calibración

• Variación de fuerza.

Lee [39]

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2.3.6 Descripción de las técnicas de excitación para estructuras rotatorias

Excitación usando Precarga Ésta es una de las técnicas más usadas por ser más convencional y consiste en utilizar algún medio para aplicar una fuerza al eje de un rotor y retenerla como una precarga para después liberarla. Este método es muy parecido al método de relajación utilizado en pruebas de análisis modal [1].

Fig. 2.6. Excitación usando precarga en un eje.

Excitación por desbalance

Se han hecho esfuerzos por estimar la respuesta utilizando fuerzas de desbalance conocidas o desconocidas [46,47]. Esta técnica es muy fácil de aplicar y depende de la velocidad de rotación de un dispositivo que se coloca sobre del rotor.

Fig. 2.7. Excitación usando dispositivo de desbalance.

Excitación por impulso o impacto

Es un método tradicional que utiliza un martillo de impacto para el análisis modal aunque de manera poco viable éste se ha aplicado a ejes rotatorios produciendo poca exactitud, falta de repetibilidad y falta de control (estimación de componentes de fuerza tangencial) [5].

Fig. 2.8. Excitación usando martillo de impacto.

18

Excitación por medio de soportes magnéticos Es un método sofisticado donde pueden aplicarse y medirse fuerzas en el eje mientras la máquina mantiene su operación de trabajo [48].

Fig. 2.9. Excitación usando soportes magnéticos.

Excitación aplicada en la base (cimiento o anclaje)

Este método parece ser viable en algunos casos dependiendo de las limitaciones de acceso al equipo de prueba. Tiene la desventaja de que la mayoría de los ejes o discos no pueden ser fácilmente excitados desde la base o cimiento.

Excitación vía excitador electromagnético y rodamiento Este método consiste en conectar un excitador electromagnético mediante las pistas de un rodamiento para excitar a una estructura rotatoria.

Fig. 2.10. Excitación vía excitador electromagnético – rodamiento.

Comparados con los sistemas de fuerza de precarga, martillo de impacto, desbalance y excitadores electromagnéticos, los rodamientos magnéticos son actuadores modernos que pueden ser usados en el procedimiento de identificación dinámica de maquinaría rotatoria. Nordmann usó esta técnica para la identificación de las fuerzas de interacción de una bomba centrífuga. El componente caracterizado consiste principalmente de un eje rígido con un impelente, sellos, dos rodamientos magnéticos radiales y un rodamiento axial. Los rodamientos magnéticos tienen una función doble. Estos soportan al eje pero hacen también el trabajo como elementos actuadores para excitar el eje cinemáticamente.

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2.3.7 Uso de fuerzas de desbalance para excitación

El hecho de que el desbalance de rotores sea la principal causa de vibración de máquinas rotatorias sugiere que es posible aprovechar las fuerzas de desbalance para medir la respuesta vibratoria de componentes rotatorios de máquinas y analizar esa respuesta para determinar los parámetros modales de dichos componentes. El aprovechar las fuerzas de desbalance permite excitar un sistema giratorio sin necesidad de conectarlo a equipos de excitación, resolviendo de esta manera el problema de difícil acceso a ellos. En general este tipo de excitación se aprovecha para el balanceo modal de rotores que es un proceso basado en la suposición de que los rotores se comportan como estructuras y por ende los efectos de las fuerzas giroscópicas son despreciables. Aunque esta suposición no tiene efectos significativos en modos de vibración deslindados de las fuerzas giroscópicas, algunos modos pueden ser fuertemente afectados por dichas fuerzas y estos modos son los que no pueden caracterizarse adecuadamente siguiendo un enfoque estructural. Como se dijo anteriormente, la caracterización modal de sistemas afectados por momentos giroscópicos requiere de la aplicación de fuerzas de excitación en todos los GDL. En general no es posible el uso de fuerzas de desbalance dado que las masas de desbalance sólo pueden montarse en los planos de balanceo de los rotores, es decir los rotores sólo pueden excitarse desde unos cuantos GDL. Por tal razón, resulta imposible medir el renglón de la matriz de FRFs requerido para caracterizar un sistema giroscópico. Investigaciones recientes [49] han mostrado que dentro de intervalos limitados de frecuencia es posible caracterizar un sistema giroscópico sin necesidad de medir un renglón completo de la matriz de FRFs pero aún sigue siendo necesario medir una columna completa de la misma matriz. En la mayoría de los rotores la medición de una columna de la matriz de FRFs es difícil debido a que la respuesta sólo se mide en puntos expuestos del rotor. Un caso extremo es el de rotores de turbomáquinas, en los cuales sólo puede medirse la respuesta en las chumaceras debido a que el cuerpo de los rotores se encuentra encerrado en una carcasa y/o a temperaturas elevadas. 2.4 Método de Nordmann para la caracterización de estructuras rotatorias 2.4.1. Identificación de parámetros modales de rotores En ocasiones el análisis modal experimental ha sido usado por la ingeniería para identificar los parámetros modales de estructuras elásticas. Para aplicar análisis modal experimental en máquinas rotatorias con efectos no conservativos requiere considerar algunas diferencias importantes como las siguientes:

a) La asimetría de las matrices K, D b) La dependencia de los parámetros modales a la velocidad de rotación c) La necesidad de excitar el rotor y medir la respuesta durante la operación

20

El considerar las diferencias anteriores hace posible aplicar el análisis modal experimental a estructuras rotatorias (Fig. 2.11). El procedimiento consiste en medir las FRF en puntos de la estructura excitando el sistema en el punto L y midiendo la respuesta en el punto K. Las FRF analíticas pueden ser calculadas a partir de los eigenvalores, los eigenvectores izquierdos y los eigenvectores derechos. Finalmente, las funciones analíticas son ajustadas a las funciones medidas mediante la variación de los parámetros modales, resultando en un conjunto de parámetros modales.

Fig. 2.11. Técnica de identificación de Nordmann [5].

2.4.2 FRF analíticas Si el rotor es excitado en cierto punto L mediante una fuerza armónica 1f con frecuencia de excitación Ω y los desplazamientos kq son medidos en otro punto K, el comportamiento de la respuesta puede ser caracterizada por la FRF compleja (Fig. 2.12 ).

Fig. 2.12. Señales de entrada y salida en el rotor [2].

Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

SalidaEntrada

FFT FFT

21

La FRF compleja puede ser representada en términos de los eigenvalores iλ y los correspondientes 𝜙𝑗𝜓𝑗.

𝐻(Ω) = 𝑞𝑘𝑓1𝑒𝑖𝜀𝑘𝑙 =

𝜑𝑗𝜓𝑗𝑖Ω − 𝜆𝑗

2𝑁

𝑗=1

(2.5)

Para un rotor con N grados de libertad existirán N x N FRF ensambladas en la matriz H . Es importante notar que para cada renglón kZ contiene todos los eigenvectores izquierdos

jψ y cada columna jS contiene todos los eigenvectores derechos jϕ [2]. 𝑍𝑘𝑇 =

𝜑𝑘1𝑖Ω − 𝜆1

𝜓1𝑇 +𝜑𝑘2

𝑖Ω − 𝜆2𝜓2𝑇 + ⋯

𝑆𝑗 =𝜓𝑗1

𝑖Ω − 𝜆1𝜑1 +

𝜓𝑗2𝑖Ω − 𝜆1

𝜑2 + ⋯

(2.6)

Un renglón 𝑍𝑘 y una columna 𝑆𝑗 de la matriz de FRF necesitan ser medidas para identificar todos los parámetros modales 𝜆𝑖,𝜑,𝜓 de un rotor (Fig. 2.13). Es suficiente medir solamente una columna si los eigenvalores y los eigenvectores derechos son requeridos.

Fig. 2.13. Localizaciones de la excitación y respuesta [5].

22

Capítulo 3

Dinámica y

modelado de

rotores 3.1 Dinámica del rotor rígido

3.1.1 Introducción

Las propiedades básicas del rotor rígido se presentan como vibraciones naturales, órbitas en

cabeceo positivo y órbitas en cabeceo negativo, velocidades críticas y propiedades

giroelásticas de rotor.

3.1.2 Propiedades inerciales de un rotor rígido

Las propiedades inerciales del rotor rígido en movimiento rotacional están caracterizadas

por 6 momentos de masa de segundo orden. Los anteriores se pueden expresar con las

23

coordenadas del mismo cuerpo que contiene un sistema de referencia y son llamados

momentos y productos de inercia (Fig.3.1).

Fig. 3.1. Ejes coordenados de referencia para los momentos y productos de inercia.

Los momentos de inercia se relacionan entre sí de acuerdo a las siguientes desigualdades:

(3.1)

Las relaciones presentadas en la ecuación anterior ayudan a definir las propiedades

inerciales de cuerpos sólidos como los que se muestran en la Fig. 3.2. Donde

siendo su eje de rotación el eje .

Fig. 3.2. Rotores simétricos , (a) disco con ,(b) cilindro con .

Los momentos y productos de inercia son los elementos de una matriz llamada matriz de

inercia y se representa de la siguiente forma:

(3.2)

24

donde es una matriz simétrica, el orden de los elementos dentro de la matriz de inercia

depende principalmente del sistema coordenado de referencia. Por ejemplo, si el sistema de

referencia P es trasladado o rotado, la matriz de inercia también cambia. Si el sistema de

referencia del centro de masa es movido del punto S a P y la dirección del sistema de a

una nueva dirección , estos cambios hacen que la matriz de inercia tome la forma de

una matriz diagonal carente de productos de inercia como se muestra en la siguiente matriz.

(3.3)

Estas nuevas direcciones denotadas por llevan a la matriz a diagonalizarse y se

les llama ejes principales de inercia y momentos principales de inercia. Para el caso de un

cuerpo con simetría geométrica, los ejes principales de simetría son los ejes principales de

inercia (Fig. 3.2).

3.1.3 Vibraciones naturales de un rotor rígido

La mayoría de los rotores experimentan vibraciones al momento de estar en operación,

estas vibraciones son descritas por ecuaciones de movimiento del cuerpo. En el caso de un

rotor rígido, el movimiento a analizar es la rotación o su giro con respecto a su eje principal

de inercia. Si estas vibraciones son causadas por alguna condición inicial y no por

excitaciones externas entonces son llamadas vibraciones naturales. Para el caso donde

exista una excitación externa que varíe con respecto al tiempo, las vibraciones son llamadas

vibraciones forzadas.

3.1.4 Ecuaciones de movimiento

El rotor de la Fig. 3.3 es un rotor rígido soportado radialmente por dos rodamientos. Las

ecuaciones que describen su movimiento se generan bajo ciertas suposiciones como son:

El rotor es simétrico y rígido.

La posición de referencia cuando el rotor está en reposo es su centro de masa S, el

cual coincide con el origen del sistema coordenado fijo inercialmente .

Las desviaciones de su posición de referencia son pequeñas comparadas con las

dimensiones del rotor. Esto permite una linealización de las ecuaciones de

movimiento y el desacople del movimiento radial.

La posición del rotor con respecto a su translación y desplazamiento angular se

caracteriza por la posición del sistema de referencia fijo del rotor con

respecto al sistema de referencia inercia .

o La velocidad angular Ω del rotor alrededor de su eje longitudinal es

constante.

Los pequeños movimientos del rotor se describen por los desplazamientos , de su

centro de masa S con respecto a su referencia inercial y sus inclinaciones. Estas

25

inclinaciones y movimientos angulares alrededor del eje de giro se conocen también como

ángulos de Cardan [50, 51, 52, 53].

Fig. 3.3. Rotor rígido en 2 rodamientos radiales [54].

La ecuación de movimiento para un rotor rígido es:

donde:

(3.4)

Los efectos giroscópicos son típicamente caracterizados por una matriz asimétrica , la cual contienen la velocidad de rotación Ω como un factor lineal. En la ecuación de

movimiento (3.4), Z representa las fuerzas generalizadas que perturban al sistema, también

conocidas como fuerzas externas o activas. Al momento de considerar la rigidez de los

soportes la ecuación de movimiento finalmente toma la siguiente forma:

con (3.5)

Los movimientos de translación, ( y ) y los movimientos angulares ( ) estarán

desacoplados. Además, los movimientos en el plano estarán desacoplados de los

movimientos del plano si la velocidad de rotación es = 0 o si la magnitud del

momento giroscópico es muy pequeña o cero.

3.1.5 Estabilidad de movimiento

La solución a la ecuación de movimiento (3.5) ha sido ampliamente estudiada con respecto

a su estabilidad. Para investigar la estabilidad no es necesario encontrar la solución analítica

26

de las ecuaciones, es suficiente analizar las propiedades de las matrices que integran la

ecuación de movimiento. Las características de las matrices de masa y de rigidez afectan el

comportamiento del sistema mecánico. Comúnmente la matriz de masa es simétrica

definida positiva, ; la matriz giroscópica es asimétrica, ; y la matriz

de rigidez es simétrica, .

El sistema representado por la ecuación (3.5) es un sistema conservativo porque no tiene

disipación de energía, además es un sistema estable si la matriz de rigidez es K > 0, en

otras palabras es estáticamente estable. El sistema anterior no puede ser desestabilizado por

fuerzas giroscópicas y por lo tanto permanece estable para cualquier velocidad de rotación

. Un modelo usual en vibraciones para un rotor sin excitaciones externas se basa en

ecuaciones homogéneas y lineales como el siguiente:

(3.6)

Un nuevo término es la matriz de amortiguamiento , y la matriz de fuerzas no

conservativas de los rodamientos . Para N ≡ 0 la solución es asintóticamente

estable y permanece así, independientemente que tan grande sea el amortiguamiento.

3.1.6 Vibraciones naturales

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales para un sistema vibratorio sin

amortiguamiento son vibraciones armónicas con amplitudes dependientes de las

condiciones iniciales [55, 56, 57]. El sistema considerado es de octavo orden y su solución

es caracterizada por cuatro frecuencias naturales de vibración y las correspondientes formas

modales. Sin embargo, algunos casos se pueden explicar fácilmente con los resultados

obtenidos de un rotor en estado libre con rigidez en los soportes k ≡ 0, y velocidad de

rotación ≡ 0.

Para un rotor en estado libre (k ≡ 0), la rotación y la translación están desacopladas y tiene

los siguientes eigenvalores: y . Las tres frecuencias

naturales igual a cero son los llamados modos de cuerpo rígido, donde los primeros dos son

de movimiento de translación y el tercero es de movimiento angular. De la cuarta

frecuencia natural en adelante son vibraciones naturales de nutación.

Esta frecuencia de nutación será igual a la frecuencia de giro del rotor , si Ix0 = Iz0.

Obviamente tal coincidencia entre la frecuencia natural y la frecuencia de rotación del

rotor, es una frecuencia de perturbación potencial y es altamente indeseable por ser una

fuente de resonancia permanente. Cabe mencionar que para un sistema rotor-disco donde

Iz0 > Ix0 se cumple que ωN > , en el que no ocurrirá resonancia a la frecuencia de nutación.

Para un sistema no rotatorio ( ≡ 0) el sistema de ecuaciones de movimiento se divide en

dos partes, por ejemplo las vibraciones naturales en el plano xz y las vibraciones naturales

en el plano yz, las cuales son iguales y desacopladas. Si adicionalmente los soportes son

simétricos con respecto a su rigidez, entonces las frecuencias naturales en cada plano serán

sólo de translación en las direcciones de xi y yi respectivamente con la frecuencia

27

, y serán puramente angulares alrededor de los ángulos β y α respectivamente con la

frecuencia .

Para un caso especial (un sistema con efectos giroscópicos), tanto los eigenvalores como las

formas modales dependen de la velocidad de giro del rotor . En la Fig. 3.4 se muestra la

influencia de los efectos giroscópicos en las frecuencias naturales.

Fig. 3.4. Los eigenvalores dependen de la velocidad para un rotor rígido elásticamente soportado. En el lado

derecho las formas típicas de los correspondientes modos naturales son indicadas.

[54].

3.1.7 Influencia de la velocidad del rotor y efectos giroscópicos

La diferencia básica entre el comportamiento dinámico de una estructura y una estructura

rotatoria radica en las características giroscópicas de estas últimas [58,59]. Por ejemplo, un

disco con Iz0 > Ix0, o cuando un rotor está girando muy rápido ( >> 1), el término

giroscópico G en la ecuación de movimiento es afectado por Iz0 .

Excitaciones del rotor y velocidades críticas

Un rotor se puede llevar a su estado de resonancia usando diferentes tipos de excitación.

Las resonancias ocurren a ciertas velocidades, llamadas ‘velocidades críticas’ usualmente

cuando la frecuencia de excitación de alguna fuente coincide con la frecuencia natural del

rotor. Una técnica de excitación es usar desbalance debido a que ocurre de manera natural

en la mayoría de las máquinas. Por ejemplo, la mayoría de los rotores tienen desbalances

residuales provocados por problemas de homogeneidad del material y/o producidos en el

proceso de manufactura.

Identificación de velocidades críticas usando desbalance

El desbalance es representado por medio de una masa excéntrica, por ejemplo, la

desviación del centro de masa con el centro geométrico de un rotor y por productos de

inercia. Las ecuaciones de movimiento ahora son formuladas al usar el centro de masa

como punto de referencia (Fig. 3.5).

28

Fig. 3.5. Coordenadas y variables para el rotor rígido con desbalance.

La ecuación (3.4) toma la siguiente forma cuando se utilizan fuerzas de desbalance:

,

(3.7)

Si se considera que la única fuente de excitación es por desbalance la ecuación queda

como:

(3.8)

El lado derecho de la ecuación (3.8) representa las excitaciones armónicas. La respuesta a

las excitaciones armónicas es una vibración armónica con la misma frecuencia pero con

amplitud y fase dependientes de la frecuencia de excitación.

La respuesta del sistema es caracterizada por la llamada respuesta en frecuencia [17, 57].

Una particularidad de la excitación por desbalance es que sólo puede excitar vibraciones en

las cuales la órbita está en el mismo sentido que la velocidad de rotación del rotor. Así, la

curva de resonancias en amplitud-frecuencia muestran que el sistema con n diferentes

frecuencias naturales tiene solamente n/2 picos de resonancia, y por lo tanto puede

solamente tener n/2 velocidades críticas al usar desbalance en un sistema isotrópico con

respecto a los soportes.

3.1.8 Otras excitaciones armónicas

Las órbitas en cabeceo negativo no puede ser excitadas por medio de fuerzas de desbalance

pero si pueden ser excitadas mediante otras fuentes de excitación presentes en la misma

estructura. Por ejemplo, las fuentes de excitación pueden surgir si la estructura vibra

horizontalmente (es decir si xIe(t) = hsin et) en dirección xI, esto sucede si una

herramienta de corte se instala en el mismo rotor produciendo una fuerza oscilatoria ( fIx =

f0 sin et) en dirección xI , o si el rotor experimenta fuerzas de tipo magnéticas por medio

del motor eléctrico.

29

3.2 Dinámica del rotor flexible 3.2.1 Introducción

Los rotores elásticos usualmente tienen distribución de masa y rigidez continua variando en

la dirección axial. Para ser preciso, pueden considerarse como sistemas continuos descritos

por ecuaciones diferenciales con derivadas con respecto al tiempo y al espacio. Es difícil

encontrar soluciones exactas para tales sistemas. Sin embargo, los sistemas continuos

también pueden ser modelados como discretos. Esto puede lograrse mediante un proceso

matemático de discretización por medio del método de elemento finito. Después del

proceso de discretización se resuelven ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden ser

consideradas para efectos físicos como lineales cuando las vibraciones son de pequeña

magnitud.

El rotor más simple se conoce comúnmente como rotor de Jeffcott o “rotor de Laval” y

consiste de un eje elástico con un disco rígido en el centro. Existen modelos más avanzados

de rotores elástico reales, como rotores usados en turbomaquinaria, motores de aeronaves y

generadores. Estos modelos tienen una distribución de masa y rigidez continua con cambios

de masa y rigidez a lo largo del eje. Usualmente se utiliza el método de elemento finito para

modelar estos rotores con más complejidad geométrica.

Las vibraciones en un rotor pueden ser divididas en dos: vibraciones naturales (sin

excitación externa) y vibraciones forzadas. Las vibraciones naturales son caracterizadas por

frecuencias, coeficientes de amortiguamiento y formas modales (eigenvectores) del rotor.

Las vibraciones forzadas son excitadas por medio de fuerzas que dependen del medio o

momentos y/o desplazamientos (excitación en la cimentación). La excitación de mayor

importancia en rotodinámica es debido a fuerzas de desbalance.

El comportamiento de rotores elásticos es dependiente no solamente de la rigidez del

mismo rotor sino también de la distribución de la masa, rigidez, amortiguamiento en los

soportes y los efectos giroscópicos. Este último es para el caso de grandes momentos de

inercia y altas velocidades, el cual tiene una importante influencia en el comportamiento

dinámico del rotor.

3.2.2 Rotor de Jeffcott

Un modelo muy simple de un rotor flexible es el llamado rotor de Jeffcott o rotor de Laval.

Este modelo fue publicado en 1918, mientras que Laval investigó experimentalmente en

1883. Este rotor se utilizó para investigar el comportamiento dinámico de un disco de una

turbina [60, 61, 62].

La Fig. 3.6 se muestra el rotor Jeffcott, el cual consiste principalmente de un eje elástico

con rigidez (EJ es el producto de rigidez elástica, es la longitud del eje) y un

disco rígido. El disco rígido tiene masa m y momento polar de inercia Ip = mi2p (ip es el

radio polar de inercia). Este disco está localizado en el centro del eje entre los soportes y

debido algunas imperfecciones el centro geométrico del disco C no coincide con el centro

30

de gravedad S. La distancia entre los dos puntos es la excentricidad de masa e. El eje está

girando a una velocidad angular y los soportes son considerados rígidos como primera

aproximación. El amortiguamiento es ignorado en el modelo preliminar.

Fig. 3.6. Modelo del rotor de Jeffcott [54].

Para describir el movimiento del disco, se introduce un sistema coordenado (Fig. 3.7). Su

origen está en el centro del eje entre los dos soportes cuando el eje está sin carga (fuerzas

dinámicas y estáticas igual a cero). En una posición desplazada, cuando el rotor está

vibrando, el centro del disco se ha desplazado x y el centro de gravedad se desplaza en xs,

ys. La dirección de línea C — S tiene un ángulo γ relativo al eje x. La distancia entre C y S

es e. En Fig. 3.8 se ilustra cómo se relacionan estos desplazamientos y se expresan en la

siguiente ecuación:

(3.9)

El sistema mecánico tiene tres grados de libertad en x, y y γ,. Las siguientes ecuaciones

expresan las aceleraciones del centro de gravedad S. Estas son necesarias para la derivación

de las ecuaciones de movimiento del disco.

(3.10)

Los términos y son aceleraciones centrifugas, mientras

y son aceleraciones tangenciales.

Fig. 3.7. Sistema coordenado y desplazamientos del centro del disco.

31

Fig. 3.8. Relaciones entre desplazamiento y ángulo.

Ecuaciones de movimiento para un disco

Las ecuaciones de movimiento del disco pueden ser derivadas de la segunda ley de Newton

con las fuerzas y los momentos como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 3.9. Fuerzas y momentos actuando en el disco.

Las ecuaciones que describen este fenómeno son las siguientes:

(3.11a)

(3.11b)

(3.11c)

Al introducir las ecuaciones (3.11a) y (3.11b) en las ecuaciones de movimiento (3.10) se

generan nuevas ecuaciones:

cos( ) (3.12a)

sen( ) (3.12b)

(3.12c)

y

xx

y

32

Para el caso especial M = 0, el cual representa la operación del rotor en estado estable, la

expresión está dada por:

(3.13)

La expresión (ecuación (3.13)) es muy pequeña debido a que e << y x, y << . Si = 0,

la velocidad angular constante = y el ángulo proporcional al tiempo γ se obtiene:

(3.14a)

(3.14b)

(3.14c)

Las ecuaciones de movimiento quedan como:

(3.15a)

(3.15b)

Estas ecuaciones son independientes una de la otra. Cada ecuación describe el

comportamiento dinámico de cada grado de libertad a una fuerza de excitación,

dependiendo de la cantidad de desbalance me y del cuadrado de la velocidad angular 2

.

La ecuación (3.15b) también tiene una componente debido al peso del disco fg. Las

ecuaciones diferenciales son lineales, no homogéneas y tiene coeficientes constantes.

Vibraciones y frecuencias naturales

Las ecuaciones (3.15a), (3.15.b) pueden ser resueltas de manera independiente. Cada

ecuación tiene dos soluciones, la solución para la parte homogénea (lado izquierdo) y la

solución para la ecuación no homogénea (lado derecho). De las siguientes ecuaciones

homogéneas:

(3.16)

La solución arroja las vibraciones naturales del sistema:

(3.17a)

(3.17b)

donde

es la frecuencia natural circular del rotor Jeffcott. Ax, Bx, Ay, By dependen

de las condiciones iniciales del sistema.

33

Las ecuaciones (3.17a), (3.17b) no muestran algún decaimiento de x o y debido al hecho de

que se ignoró el amortiguamiento. En realidad el amortiguamiento produce que las

vibraciones naturales decrezcan con respecto al tiempo.

Vibraciones forzadas por desbalance

Si se considera la parte no homogénea de las ecuaciones (3.15a) y (3.15b), las soluciones

x(t) y y(t) consisten de dos partes y son descritas como sigue:

(3.18a)

(3.18b)

donde el primer y segundo término de la ecuación (3.18b) son las vibraciones naturales con

una frecuencia natural circular con amortiguamiento, esta solución decae con el tiempo.

El segundo término de la ecuación (3.18b) representa la vibración forzada por desbalance

con una frecuencia circular y el tercer término de la ecuación (3.18b) representa la

solución estática debido al peso.

En la práctica, siempre existe presencia de algún tipo de amortiguamiento en el sistema el

cual hace que las vibraciones decrezcan. Después de esto las vibraciones naturales

desaparecen y solamente las vibraciones debidas a las fuerzas de desbalance del centro del

disco C permanecen:

(3.19a)

(3.19b)

Fig. 3.10. Deflexión estática del disco.

Esta respuesta estable ocurre al rededor de la solución xstat = 0,

, lo cual es igual

a la deflexión estática del centro del disco (distancia O−O’ en la Fig. 3.10). Las amplitudes

de las vibraciones por desbalance xe(t) y ye(t) en las dos direcciones son iguales y dependen

34

de la excentricidad de la masa e y de la relación de frecuencias = Ω/ω, expresando la

velocidad angular Ω del eje en relación a la frecuencia natural ω:

(3.20)

Órbita del centro del disco

Usando el principio de superposición de las partes de la solución xe(t) y ye(t) se puede

determinar que el movimiento del centro del disco C es una órbita circular alrededor del

punto de deflexión estática O’. El radio rc de la órbita circular es:

(3.21)

La Fig. 3.11 demuestra la superposición de las dos partes de la solución xe(t) y ye(t)

alrededor del punto de deflexión estática O’ para el caso especial de . Como puede

ser visto en la Fig. 3.11, la dirección del movimiento de la órbita es el mismo que el sentido

de rotación . Esto es llamado movimiento en cabeceo positivo como ya se había

mencionado en el caso de rotores rígidos (sección 3.1). Si las direcciones del movimiento

de la órbita y el giro del rotor son opuestos se trata de un movimiento en cabeceo negativo.

Fig. 3.11. Órbita circular del disco con centro C.

35

Amplitud de las vibraciones por desbalance vs velocidad relativa w = Ω/ω

La ecuación (3.21) muestra como el radio de la órbita circular del centro del disco cambia

con la relación de frecuencia . En la Fig. 3.12, la razón es la amplitud de la

órbita dividida entre la excentricidad de la masa y se presenta como una función de la

relación de frecuencia ω. Las amplitudes relativas son pequeñas a bajas velocidades e

incrementa conforme incrementa ω. La resonancia aparece en ω = 1 con amplitudes que

tienden asintóticamente al infinito. En el caso crítico, la frecuencia de excitación

(frecuencia de rotación) coincide con la frecuencia natural ω del rotor. En la práctica, el

amortiguamiento reduce la amplitud en esta área de la resonancia.

Para valores de ω > 1, las amplitudes del centro del disco decrecen otra vez. La amplitud

llega a ser igual a la excentricidad de la masa e para frecuencias de rotación altas. El

intervalo de 0 < ω < 1 es llamado subcrítico, para valores de ω arriba de 1 se llama

sobrecrítico y ω = 1 es el caso de la zona de resonancia. La Fig. 3.12 presenta las

amplitudes del centro de gravedad, relacionado a la excentricidad de la masa como una

función de ω.

(3.22)

Fig. 3.12. Amplitudes de vibraciones de desbalance en dependencia de la velocidad rotacional [54].

36

Influencia del amortiguamiento externo

Se consideran dos elementos de amortiguadores lineales, como se muestra en la Fig. 3.13.

Las ecuaciones de movimiento (3.15a) y (3.15b) son modificadas a:

(3.23a)

(3.23b)

El amortiguamiento externo produce que las vibraciones naturales decrezcan con el tiempo.

Además, dependiendo del valor de amortiguamiento d, la frecuencia natural también

decrece.

Fig. 3.13. Amortiguador actuando en el disco.

donde y representa la frecuencia natural del sistema amortiguado con el

factor de amortiguamiento

.Las amplitudes del centro del disco y la del centro de

gravedad son reducidas por el efecto del amortiguamiento. Lo anterior, es especialmente

válido para el área de resonancia.

Influencia de los soportes elásticos

Como se mencionó anteriormente, los soportes del rotor Jeffcott fueron considerados

rígidos. Esta suposición no es siempre válida en aplicaciones prácticas. En tales casos, los

valores de rigidez finita deben ser tomados para los soportes y deben ser considerados en el

modelo del rotor de Jeffcott. Dependiendo del tipo de soporte y de su tamaño, los soportes

pueden tener diferentes valores de rigidez comúnmente estos valores son relacionados o

evaluados con la rigidez del rotor.

Cuando los soportes elásticos son colocados en un rotor se debe asegurar que estos estén en

las direcciones perpendiculares. En la siguiente figura se muestra el rotor de Jeffcott con

soportes elásticos.

37

Fig. 3.14. Rotor de Jeffcott con rodamiento elástico.

Las rigideces son diferentes en las direcciones: para la direcciónes x y para la

dirección y. Como se muestra para la dirección y en la Fig. 3.15, las rigidices del rotor k y

la rigidez de los soportes están configurados en un ordenamiento en serie. La rigidez

resultante en este arreglo es:

(3.24a)

(3.24b)

Fig. 3.15. Arreglo en serie de rigideces.

La Fig. 3.15 muestra este arreglo para la dirección y solamente. Las dos ecuaciones de

movimiento (3.15a) y (3.15b) pueden ser fácilmente modificadas para el caso del

comportamiento de un rotor con soportes flexibles, entonces las nuevas ecuaciones son:

(3.25a)

(3.25b)

Vibraciones y frecuencias naturales

Con diferentes valores de rigidez y para las dos direcciones, se obtienen dos

diferentes valores de frecuencias naturales ω y ω para cada dirección. Éstas pueden ser

expresadas en términos de la frecuencia natural del rotor soportado rígidamente ω y un

parámetro de rigidez como se muestra a continuación.

38

ω

ω

(3.26a)

ω

ω

(3.26b)

Respuesta a la fuerza de desbalance

Las dos ecuaciones de movimiento (3.25a) y (3.25a) son independientes una de la otra y su

solución son respuestas al desbalance similar a (3.18a) y (3.18b). Las características básicas

de éstas son similares a las mostradas en la Fig. 3.12. Sin embargo, debido al hecho que las

dos frecuencias naturales ω y ω son diferentes por causa de la anisotropía de los soportes,

habrá dos velocidades críticas menores que 1, donde las amplitudes alcanzan valores de

resonancia altos.

ω ω (3.27a)

ω ω (3.27b)

La primera velocidad crítica aparecerá en la dirección con más bajo valor de rigidez. La

Fig. 3.16 muestra la respuesta al desbalance de un rotor Jeffcott con soportes elásticos

anisotrópicos. Se puede apreciar que en el caso de la dirección x tiene valores más bajos de

rigidez con respecto a .

Debido al hecho que las amplitudes para una velocidad de rotación son diferentes en las dos

direcciones, el resultado es una órbita elíptica. Además, en el intervalo de las dos

frecuencias naturales, el movimiento de la órbita es un movimiento en cabeceo negativo,

fuera de esta área las órbitas son un movimiento en cabeceo positivo.

Fig. 3.16. Respuesta al desbalance del rotor de Jeffcott con rodamientos elásticos [54].

39

3.3 Análisis y modelado de rotores por el método de elemento finito

3.3.1 Rotores con distribución continúa de masa y rigidez

Ahora se consideran rotores flexibles en general, los cuales usualmente tienen variaciones

de masa por unidad de longitud μ y de rigidez EJ a lo largo del eje coordenado z. Se

asumirá que el rotor está girando con una velocidad angular constante , lo cual implica

que la aceleración en la dirección circunferencial no será considerada. El rotor puede ser

soportado con varios soportes con coeficientes lineales de rigidez y amortiguamiento (Fig.

3.17).

Fig. 3.17. Modelo mecánico del rotor flexible [54].

En un tiempo t, los desplazamientos radiales del eje relativos a la línea de deflexión estática

son considerados como x(z,t) y y(z,t). Además de las características de masa y rigidez, son

introducidos nuevos parámetros como son momentos giroscópicos y fuerzas de desbalance

o fuerzas de amortiguamiento interno, los anteriores afectan de manera directa el

comportamiento dinámico del rotor [63, 64, 65, 66, 67, 68].

3.3.2 Modelo de un rotor flexible

El comportamiento dinámico del rotor flexible de la Fig. 3.17 depende de las fuerzas

(momentos) actuando en el eje cuando éste está vibrando alrededor de la línea de deflexión

estática. Las ecuaciones de movimiento expresan el equilibrio dinámico, incluyendo todas

las fuerzas y momentos. Algunas de esas fuerzas dependen del movimiento del rotor

(desplazamiento, velocidades y aceleraciones) mientras otras fuerzas son independientes.

De una forma inicial se considerarán solamente las fuerzas más importantes, éstas son las

fuerzas de inercia de translación, las fuerzas de restitución del rotor flexible y las fuerzas en

los soportes.

Modelo de un rotor usando MEF

Existen diferentes métodos para afrontar los problemas de mecánica y de otras áreas como

el uso de las formulas básicas o por medio del método de elemento finito. Aún cuando el

método de elemento finito es más difícil de definir, éste es más efectivo para los problemas

dinámicos.

40

El método de elemento finto puede ser usado como ayuda en aplicaciones ingenieriles para

la creación de modelos muy próximos a la realidad. La exactitud de los resultados está en

relación al tipo de elemento finito usado y al criterio de malla usado en los modelos. Sin

embargo, lo anterior no implica el uso desmedido de elementos en la discretización de los

modelos, por ejemplo: si se requieren las primeras dos frecuencias naturales de una viga, es

suficiente solamente con dos elementos finitos en la discretización de la viga. Sin embargo,

una gran cantidad de elementos finitos son necesarios para el caso de vigas complejas o si

se quiere obtener las formas modales de la misma.

Método Matricial

La Fig. 3.18 muestra los grados de libertad de un elemento tipo viga y se representa de

forma matricial como un vector de 8x8 (ecuación (3.28)).

Fig. 3.18. GDLs de un elemento tipo viga.

(3.28)

El vector anterior representa los desplazamientos y rotaciones de la parte de derecha e

izquierda de un elemento finito tipo viga. La siguiente matriz es la matriz de rigidez para un

elemento tipo viga [69].

( 3.29)

Esta matriz es una matriz de 8x8 donde E es el modulo de Young, es el

momento de inercia de área, r es el radio y L la longitud de cada elemento.

Si se define a como la longitud final del un elemento de un rotor uniforme y como n

al número de elementos discretos, la longitud de cada elemento será igual a .

La siguiente es la matriz de masa de cada elemento [69]:

41

(3.30)

La matriz de masa de la ecuación (3.30) toma en cuenta la masa del rotor. En el caso de que

el rotor contara con un disco, la masa del mismo sería añadida a la matriz de masa de cada

elemento.

Como se mencionó anteriormente, los efectos giroscópicos están presentes en la operación

de un rotor, el resultado de estos efectos son momentos que pueden ser añadidos en los

nodos que contengan grandes masas o altos momentos de inercia. Los efectos giroscópicos

están ubicados dentro de la matriz de amortiguamiento del rotor, la cual es una matriz de

4x4 para un solo nodo como se muestra a continuación:

(3.31)

En la matriz anterior, es la velocidad de rotación en rpm. El

es

el momento inercia polar de masa, donde es la masa de un disco y R es el radio del

mismo.

La última matriz es la matriz y contiene información acerca del disco. La matriz de

masa del disco describe el comportamiento del disco en el nodo que está posicionado y se

describe en la siguiente ecuación:

(3.32)

donde es la masa del disco

y representa el momento de inercia

de masa y es el espesor del disco.

Matrices de los soportes

Como se mencionó anteriormente, los soportes pueden ser considerados como rígidos o

flexibles, en ambos casos se incluyen en los cálculos. Si las condiciones de frontera del

42

rotor en los soportes son flexibles, entonces la condición de los soportes pueden ser

añadidos a los nodos donde se encuentran localizados como una matriz de masa y rigidez.

La matriz de rigidez debido a las propiedades de los soportes es:

(3.33)

La matriz de amortiguamiento debido al amortiguamiento de los soportes es:

(3.34)

Estas son las matrices que pueden incrementar la sensibilidad de los sistemas, dado que

éstas toman en cuenta el movimiento del soporte. Cuando se incluyen las propiedades de

los soportes en el modelo del rotor, las matrices globales o generales son descritas como:

(3.35)

donde,

son elementos de masa y rigidez respectivamente, son las

matrices que representa la masa del disco, la matriz de amortiguamiento y de rigidez de los

soportes.

Proceso de ensamble matricial

Una vez que son establecidas las matrices de cada elemento, del disco y de los soportes, se

tiene que llevar un proceso de ensamble para obtener matrices de rigidez, de masa y

amortiguamiento globales, tales matrices son representativas de todo el sistema rotor y no

solamente de un elemento.

Ensamble matricial

De acuerdo al método de elemento finito, una viga o un rotor puede ser considerado como

un sistema que puede ser fácilmente descrito con uno o más elementos discretos, es claro

que entre más elementos discretos tenga un modelo resulta en soluciones más realistas. Sin

embargo, no siempre es recomendable usar una gran cantidad de elementos ya que el

tiempo que se consume para lograr la convergencia de las ecuaciones gobernantes del

sistema es demasiado. El ensamble del sistema matricial puede ser desarrollado con los

elementos que se traslapan en nodos comunes dentro de la discretización como se indica en

la Fig. 3.19

43

Fig. 3.19. Matrices de empalme-matriz viga.

Una viga puede ser dividida en pequeños elementos que están conectados entre sí por

medio de sus nodos finales. Cada elemento consiste de dos nodos ( y ) y el elemento

que conecta a estos dos. Para este caso cada elemento representa una matriz.

De la Fig. 3.19 se puede observar que cuatro elementos están acoplados en el ensamble de

la matriz (elementos 1, 2, 3 y 4). Los símbolos y son los vectores de cada

elemento y representan los vectores de desplazamiento. En el punto de conexión en el nodo

del primer elemento debe ser ensamblado con el segundo elemento . El mismo

procedimiento será repetido para todos los nodos. Las partes conectadas pueden ser

presentadas como matrices que se traslapan en nodos (A, B y C) los cuales son comunes e

interactúan de forma directa. El resultado final es una matriz global o general y su tamaño

está relacionado al número de elementos ensamblados. Como ya se mencionó cada

elemento consiste de ocho grados de libertad, así la matriz de la Fig. 3.19 será de 40x40

para esté caso en específico.

Ensamble del disco rígido

Se puede considerar la masa y la inercia del disco como propiedades nodales e incluirlas en

un nodo (matriz 4x4) o dos nodos (matriz 8x8). Usualmente, los dos nodos se utilizan

cuando el espesor del disco es considerado [63]. La Fig. 3.20 muestra como una matriz de

4x4 es colocada en un matriz global. Esta clase de matriz es diagonal y las líneas

imaginarias dividen la matriz principal en submatrices de 4x4. Dado que se conoce el nodo

en el cual está unido el disco, la una matriz que representa el disco puede ser colocada en la

diagonal de la matriz de tamaño [N] en la posición que representa el nodo donde está el

disco. En este caso, el disco está en el segundo nodo y como resultado la matriz del disco es

colocada en la diagonal señalada con un cuadro en la matriz global.

En la Fig. 3.20, el lado izquierdo de la matriz representa donde (1),(2),(3) y (4) son las

matrices que se traslapan, en el lado derecho con (Fig. 3.19) son puestas en la

segunda diagonal señalada con un cuadro. De acuerdo a la ecuación (3.35) estas dos

matrices pueden ser unidas para obtener la matriz final .

44

Fig. 3.20. Matriz del disco.

Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera (BC) son importantes para aproximarnos a las condiciones

reales de funcionamiento de un rotor. Si las BC son determinadas con buena exactitud,

entonces el modelo matemático será capaz de arrojar resultados más realistas.

Para determinar las BC se necesita tener información acerca de los soportes y el ambiente

general en el cual opera el rotor. Por ejemplo, las propiedades de los soportes como

material y tipo de lubricación. Además, el soporte puede ser considerado rígido o flexible,

por ejemplo, si los soportes son rígidos entonces pueden ser descartados de la matriz global

dado que el desplazamiento final en ellos 0.

En la Fig. 3.21 se muestra un rotor con n elementos y soportado con rodamientos rígidos.

Las columnas y los renglones de las matrices que representan estos nodos en la dirección x

y y deben ser descartados o remplazados por cero. Hay más casos donde un profundo

estudio es necesario para poder determinar las condiciones de frontera de un rotor.

Fig. 3.21. Determinación de condiciones de frontera.

45

Eigenvalores y eigenvectores de la solución

El eigen-problema es un método útil para problemas que incluyen amortiguamiento. Este

método es fácil de usar comparado con otros métodos usados para problemas más

complejos. Además, el método de eigen-problema provee más información acerca del

comportamiento del sistema.

Una vez que los eigenvalores son obtenidos, se puede obtener más información de la

frecuencia natural, de la frecuencia natural amortiguada y de los coeficientes de

amortiguamiento.

a) Eigenvalores

De acuerdo a la segunda ley de Newton un sistema puede ser descrito como:

0 (3.36)

donde M es la matriz de masa, C es la matriz de amortiguamiento, la cual puede ser

remplazada por , donde es la matriz de efectos giroscópicos, K es la

matriz de rigidez y y son los vectores de aceleración, velocidad y desplazamiento,

respectivamente.

Si la ecuación es representada por medio de vectores de estado, donde y, la

ecuación tiene la siguiente forma [10]:

0

0

0

0

0

0

0

0

(3.37)

donde, I es una matriz identidad y 0 una matriz de ceros. Al asumir que la primera matriz es

–S y la segunda –R, la ecuación se puede establecer con la expresión siguiente:

0 (3.38)

Ahora, asumiendo una solución como , entonces se llega a un eigen-problema y

la ecuación (3.38) puede ser escrita como:

0 0

0

(3.39)

Los eigenvalores pueden ser determinados por las ecuaciones (3.39), sabiendo que

. Con la ayuda de algún programa de cómputo los eigenvalores pueden ser

extraídos de la matriz A.

46

En problemas dinámicos, el mayor interés es conocer el comportamiento de las frecuencias

naturales ante la velocidad de rotación, lo anterior se puede analizar trazando la parte

imaginaria en un diagrama de Campbell (Fig. 3.22). Ahora bien, como los eigenvalores ya

son conocidos los eigenvectores pueden ser obtenidos fácilmente.

Fig. 3.22. Diagrama de Campbell direccional [35].

b) Diagrama de Campbell y velocidades críticas

Es importante mencionar que el diagrama de Campbell (Fig. 3.22), muestra el efecto que

tiene la velocidad de rotación del eje en las frecuencias naturales, lo que se conoce también

como efecto giroscópico. Sin embargo, los diagramas de Campbell también muestran las

resonancias del sistema y el sentido de rotación de la órbita.

El diagrama de Campbell incluye, dos líneas rectas ω, con frecuencias en la dirección de

cabeceo positivo y negativo, y algunas líneas ωn ωn cuya intersección con la

frecuencia de rotación (línea punteada) muestra la velocidad crítica de resonancia. Las

curvas ωn ωn ωn son positivas, las cuales indican que la órbita tiene la misma

dirección que la velocidad angular del rotor (cabeceo positivo).

Las curvas ωn ωn ωn son negativas, las cuales indican que la órbita tiene

dirección opuesta a la velocidad de angular del rotor (cabeceo negativo) [63]. En el lado

derecho de la misma Fig. 3.22 se muestran las formas modales (Wi) del rotor para los

modos para las frecuencias en cabeceo positivo y negativo.

La Fig. 3.22, corresponde al Diagrama de Campbell de un rotor con un disco en medio de

su eje y como puede ser visto los efectos giroscópicos no tienen efecto en la primera

velocidad crítica. Además las eigenfrecuencias ωn ωn son líneas rectas con el mismo

valor en frecuencia.

47

Capítulo 4

Modelado y simulación

numérica por elemento finito

4.1 Modelado y simulaciones numéricas mediante elementos finitos La necesidad de conocer los parámetros para la caracterización de sistemas dinámicos ha venido creciendo en las últimas décadas a causa del incremento de las velocidades de operación en las máquinas modernas aunado al incremento de componentes de alto par inercial. En la actualidad, se utilizan herramientas para la caracterización dinámica como técnicas experimentales y numéricas. Las técnicas numéricas denominadas elementos finitos son muy apropiadas para su implementación en computadoras por su facilidad de manejo de algoritmos y por su rapidez en los cálculos. Estas técnicas pueden ser aplicadas en la

48

resolución de diversos problemas, como en mecánica de sólidos, vibraciones, estructuras, etc. Para la elaboración de modelos de elementos finitos, el sistema continuo se divide en un número finito de formas simples denominadas elementos. Las propiedades y las relaciones gobernantes del fenómeno estudiado se aplican a estos elementos para expresarse matemáticamente en términos de valores desconocidos en puntos específicos denominados nodos. En los modelos sólidos, los desplazamientos en cada elemento están directamente relacionados con los desplazamientos nodales y éstos se relacionan a su vez con las deformaciones y los esfuerzos de cada elemento. Mediante el método de elemento finito se calculan los desplazamientos nodales para los cuales los esfuerzos están en equilibrio con las cargas aplicadas. Con el método de elemento finito las condiciones de equilibrio se convierten en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales en función de los desplazamientos nodales. Después de obtener las soluciones de las ecuaciones se pueden encontrar las deformaciones y los esfuerzos provocados por cualquier tipo de carga, tanto dinámica como estática. A medida que se utiliza un número mayor de elementos para representar la estructura, los resultados se acercan más al estado de equilibrio con las cargas aplicadas. En la actualidad se utilizan paquetes de elementos finitos como: Ansys, Cosmos, Algor, Abaqus, Nastran, etc. Para el desarrollo de este trabajo se utilizó el paquete de elemento finito Ansys para modelado de rotores con fines de caracterizar su comportamiento dinámico. La caracterización de los rotores incluye determinar los parámetros como lo son: frecuencias naturales, formas modales, amortiguamientos y respuesta vibratoria, entre otras. 4.2 Análisis en rotodinámica La rotodinámica se encarga del estudio de la vibración de partes rotatorias encontradas en un amplio rango de aplicaciones o equipos incluyendo turbinas, herramientas, aviones y diversos sistemas. En la mayoría de las aplicaciones, la vibración en resonancia es la principal preocupación. Las grandes amplitudes de vibración pueden doblar y torcer los componentes rotatorios provocando falla por fatiga en rodamientos, en la estructura y en sus propios soportes. También, la deformación en los ejes y otros componentes pueden causar un impacto en los elementos de alrededor. El análisis de sistemas dinámicos involucra el estudio de algunas variables relacionadas con la vibración incluyendo las velocidades críticas, la respuesta del sistema completo a cargas de desbalance, inestabilidades y la deflexión de los componentes durante la vibración. El cálculo de éstas y otras variables relacionadas con sistemas rotatorios puede realizarse con Ansys.

49

Para el estudio de rotodinámica se efectuaron los siguientes análisis:

• Análisis modal. • Análisis armónico.

• Análisis transitorio.

Los análisis anteriores se basan en la ecuación de movimiento y permiten determinar los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones de rotación.

4.2.1 Análisis modal

El análisis modal se utiliza para determinar las características de vibración (frecuencias naturales y formas modales) de una estructura o un componente de máquina mientras está siendo diseñado. También puede ser un comienzo para un análisis dinámico más detallado tal como un análisis transitorio o armónico.

4.2.2 Análisis armónico

Un análisis armónico es un barrido en un rango de frecuencias para determinar cómo responde el sistema a diferentes fuerzas de excitación y velocidades de rotación. El análisis de respuesta armónica se usa principalmente para determinar la respuesta de estado estable de una estructura lineal para cargas que varían sinusoidalmente (armónicamente) con el tiempo. La idea es calcular la respuesta de la estructura en varios niveles de frecuencias y obtener una gráfica de algunas cantidades de respuesta (usualmente desplazamientos) contra frecuencia para identificar picos de respuesta en la gráfica. El análisis de respuesta armónica en Ansys sólo calcula el estado estable para vibraciones forzadas de una estructura. Para vibraciones transitorias, las cuales ocurren en el inicio de la excitación, no son tomadas en cuenta para este análisis.

4.3 Tipos de elementos finitos para rotodinámica

Las principales características de los elementos a usar en el modelado de rotodinámica son las propiedades de amortiguamiento y los términos giroscópicos(o de Coriolis) debido a que las propiedades de rigidez es una característica de la mayoría de los elementos finitos. Los elementos finitos proporcionados por Ansys se muestran en la Tabla 4.1. La selección del elemento para el modelo depende de las aplicaciones, la exactitud del modelo y de las condiciones dinámicas del problema a modelar.

50

Tabla 4.1. Elementos finitos para rotodinámica [64].

Tipo de elemento Marco de referencia estacionario

Marco de referencia rotatorio

Grados de libertad(GDLs)

Beam4 x,y,z,Rx,Ry,Rz (2 nodos)

Pipe16 x,y,z,Rx,Ry,Rz (2 nodos)

Mass21 x,y,z,Rx,Ry,Rz

Solid45 x,y,z (3 nodos)

Solid95 x,y,z (20 nodos)

Shell 181 x,y,z,Rx,Ry,Rz (4 nodos)

Plane182 x,y (4 nodos)

Plane183 x,y (6 nodos)

Solid185 x,y,z (8 nodos)

Solid186 x,y,z (20 nodos)

Solid187 x,y,z (10 nodos)

Beam188 x,y,z,Rx,Ry,Rz (2 nodos)

Beam189 x,y,z,Rx,Ry,Rz (3 nodos)

Solsh190 x,y,z (8 nodos)

Shell281 x,y,z,Rx,Ry,Rz (8 nodos)

En las simulaciones se pueden incluir los efectos giroscópicos en el análisis modal y armónico con el método de solución completo (Full) o con el método de solución de superposición modal. La mayoría de los elementos anteriores son usados para análisis de frecuencias naturales y formas modales.

Para caracterizar una estructura es suficiente un análisis modal estándar, pero en una estructura rotatoria en la cual los efectos giroscópicos están presentes es necesario conocer sus frecuencias naturales a una velocidad de rotación dada, usualmente esto evita que los sistemas entren en resonancia.

51

Para el caso de los rotores modelados en este trabajo, se utilizó el elemento finito Beam188 debido a que se utiliza para modelar estructuras y se basa en la teoría de vigas de Timoshenko donde los efectos por deformación cortante son incluidos. Este elemento finito se usa para casos lineales y tiene 2 nodos con 6 grados de libertad para cada nodo, en la Fig.4.1 se muestra su esquema.

Fig. 4.1. Esquema elemento Beam188 [64].

4.4 Modelado de rodamientos y amortiguamiento

Las estructuras rotatorias están unidas a estructuras estáticas mediante soportes o rodamientos los cuales añaden amortiguamiento a la estructura rotatoria por mecanismos como la fricción, la lubricación, entre otros. Las propiedades del soporte en ocasiones es afectada por la operación de los elementos que soporta; por ejemplo para algunos soportes su rigidez varía con la velocidad del rotor, lo mismo pasa con el amortiguamiento. En Ansys se modelan los rodamientos usando elementos como COMBIN14 que es un elemento resorte-amortiguador o con el COMBIN214 que es utilizado para modelar rodamientos con inclinación en sus direcciones principales de 0, 45, 90 y 135 grados.

4.5 Técnicas de modelado para rotores

El procedimiento para un análisis modal consiste del siguiente proceso:

• Construir el modelo discreto. • Asignar tipos de elementos finitos, distribución y densidad en la malla. • Asignar tipos de materiales. • Asignar condiciones de frontera.

Fig. 4.2. Esquema del elemento Combin14 [64].

52

• Aplicar cargas y obtener solución. • Revisión de resultados.

Para construir el modelo se hace uso de dos técnicas (vigas-masas y full 3D), que dependen del tipo de elemento finito a utilizar y de la complejidad de la geometría.

− Modelado de rotores utilizando vigas y masas.

La mayoría de los códigos comerciales usan vigas y masas para desarrollar el modelo discreto, este arreglo se utiliza para modelar rotores de geometrías simples o rotores ensamblados. En la actualidad, está técnica es más eficiente y es un método muy exacto para análisis modal.

− Modelado de rotores utilizando Full 3D

Esta técnica se utiliza para modelar sistemas con geometrías complejas, especialmente dirigida a el campo de la industria. Para modelar con este tipo de técnica se utilizan elementos finitos como SOLID185, SOLID186, SOLID187, PLANE182, PLANE183, SHELL181 MASS21, etc.

4.6 Selección del tipo de elemento finito y técnica de modelado

Para llevar a cabo este trabajo se probaron los modelos de vigas y masas, y los modelos de rotores usando elementos 3D. Se decidió utilizar los modelos de viga-masa por su poco consumo de tiempo al obtener la solución y porqué son compatibles con las herramientas del software para rotodinámica. Para demostrar lo anterior, se presenta en la Fig. 4.3 un rotor [42] el cual fue modelado usando elementos tipo viga-masa y Sólidos 3D, posteriormente se realizó análisis modal y armónico para comparar los tiempos convergencia de la solución.

Fig. 4.3. Dimensiones del rotor [42].

En la Fig. 4.4 se muestran los modelos usando elementos viga-masa y sólidos 3D.

53

a)

b)

Fig. 4.4. (a) Modelo usando elementos viga, (b) Modelo usando elementos 3D.

En la Tabla 4.2 se muestran los resultados obtenidos para la solución de los dos modelos. Por ejemplo, se redujo aproximadamente el 80% del número de elementos finitos usados en el modelo con elementos tipo viga-masa en comparación con el modelo que utiliza elementos finitos en 3D. Además, al utilizar elementos finito tipo viga-masa se reduce el consumo de tiempo comparado con los modelos que utilizan elementos tipo sólidos 3D.

Tabla 4.2. Comparación del número de elementos discretos y tiempo de consumo para los modelos tipo viga-masa y 3D.

Tipo de Elemento Finito

Número de elementos discretos

Consumo de tiempo Análisis modal Análisis Armónico

Beam188 32 2.8 min 3.4 min

3D – Solid 185 19282 12.3 min 27.2 min

La Tabla 4.3, muestra las frecuencias naturales encontrados para cada tipo de modelo y son comparadas con los resultados presentados en la referencia [42].

Tabla 4.3. Comparación de resultados para los modelos tipo viga-masa y 3D.

N° de Frecuencia Referencia [42] Viga-masa % error Solid 3D % error

1 36.65 Hz 36.20 Hz 1.22 37.36 Hz 1.94 2 59.88 Hz 60.91 Hz 1.72 62.02 Hz 3.57 3 368.16 Hz 363.29 Hz 1.32 322.31 Hz 12.45

% de error respecto a la referencia

Los porcentajes de error con respecto a los resultados presentados en la referencia muestran que el modelo de elementos sólidos 3D tiene mayor discrepancia en las frecuencias naturales comparado con el modelo que usa elementos tipo viga-masa.

54

4.7 Validación de los modelos de elemento finito

Para la validación y verificación de los modelos desarrollados por medio de elemento finito se utilizaron datos de rotores experimentales reportados en la literatura [4,64,65,66]. El propósito de esto es demostrar que la metodología empleada para el modelado de los rotores y los elementos finitos utilizados son idóneos. A continuación, se presentan dos casos desarrollados.

4.7.1 Caso uno

En la Fig. 4.5 se presenta un rotor de diámetro uniforme con dos discos de inercia y soportado solamente en la dirección vertical [67]. Al utilizar análisis modal se encuentran las frecuencias naturales y las formas modales para el rotor.

a)

b)

Fig. 4.5. a) Geometría b) Modelo discreto.

En la Tabla 4.4 se encuentran las propiedades de los soportes y del material.

Tabla. 4.4. Propiedades del rotor caso uno. Material Soportes

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎 𝐾𝑦 = 122625𝑁𝑚

𝜌 = 7850

𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦 = 37278𝑁𝑠𝑚

𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

55

Los resultados obtenidos de las frecuencias naturales se presentan en la Tabla 4.5, donde se hace la comparación de los valores reportados en la literatura con los encontrados para este modelo.

Tabla 4. 5. Primeras dos frecuencias naturales caso uno.

Frecuencia Modelos FEM Referencia [67] % error 1ª 31.8 Hz 30.3 Hz 4.9 2ª 75.7 Hz 76.6 Hz 1.1

% de error respecto a la referencia

Las formas modales de este caso se presentan en la Fig. 4.6. Donde se observa que los modos son semirígidos: cilíndrico para el primer modo y cónico para el segundo modo

Modo 1 Modo 2

Fig. 4.6. Primera y segunda forma modal.

Para este caso el primer modo de vibración se presenta a una frecuencia de 31.8 Hz y el segundo modo de vibración a una frecuencia de 75.7 Hz. Los valores de error encontrados para los modos presentados es de 1.1 y el 4.9 % respecto a los reportados en la literatura.

4.7.2 Caso dos

En la Fig. 4.7 se presenta un rotor experimental con cambios de diámetro y un disco de inercia fuera de la longitud media de rotor [68]. El efecto de los soportes está dado en las dos direcciones perpendiculares al eje del rotor (y,z) y tiene efecto de amortiguamiento. La Tabla 4.6 muestra las propiedades geométricas del rotor, las propiedades de los soportes y las propiedades del material.

a)

56

b)

Fig. 4.7. a) Geometría b) Modelo discreto.

De la misma manera que en el caso uno se realizó análisis modal para verificar los resultados con datos experimentales [68]. Los resultados obtenidos para las frecuencias naturales se presentan en la Tabla 4.7, donde se hace la comparación con los valores reportados en la literatura.

Tabla 4.7. Primeras dos frecuencias naturales caso dos. Frecuencia Hz Modelo FEM Referencia [68] % error

1ª 7.2 7.3 1.3 2ª 7.6 7.5 1.3

% de error respecto a la referencia

Las formas modales de este caso se presentan en la Fig. 4.8, donde se observa que los modos son semirígidos y estos modos de vibración se presentan a las frecuencias de 7.2 Hz y 7.6 Hz

Modo 1 Modo 2

Fig. 4.8. Primera y segunda forma modal.

Tabla 4.6. Propiedades del rotor caso dos. Material Soportes

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎

𝐾𝑧 = 85 × 106𝑁𝑚

𝐾𝑦 = 10 × 107 𝑁𝑚

𝜌 = 7850 𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦 = 500𝑁𝑠𝑚

𝐶𝑧 = 500𝑁𝑠𝑚

𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

57

En comparación con los resultados del caso uno, para este modelo se consideró los efectos de rigidez en los soportes en dos direcciones. La frecuencia de 7.2 Hz representa el modo de vibración en la dirección de menor rigidez (z) y la frecuencia de 7.6 Hz el modo de vibración en la dirección de mayor rigidez (y). Los valores de error máximo encontrados para los modos presentados anteriormente es de 1.3 %.

Los modelos de elemento finito desarrollados anteriormente fueron construidos utilizando elementos tipo viga-masa con el objetivo de obtener los parámetros necesarios para la caracterización dinámica de sistemas rotatorios en términos de sus frecuencias naturales, velocidades críticas, formas modales y amortiguamientos. Estos modelos se validaron con los resultados experimentales reportados en la literatura.

4.8 Verificación de los modelos de elemento finito con modelos analíticos Para verificar los modelos de elemento finito con modelos analíticos se utiliza un rotor básico presentado en [4]. El rotor tiene un disco en un extremo y es soportado rígidamente en uno de sus extremos, mientras que el disco es colocado en el otro extremo en voladizo como se muestra en la siguiente figura. Las propiedades geométricas, las propiedades del material y de los soportes se muestran en la siguiente tabla.

Fig. 4.9. Modelo analítico [4].

Tabla 4.8. Propiedades del rotor. Material Soportes Geometría

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎 𝐾𝑦 = 3𝑥105𝑁𝑚

𝐾𝑧 = 6𝑥105𝑁𝑚

𝜙𝑒𝑗𝑒 = 0.03𝑚

𝜙𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = 0.6𝑚

Longitud del eje(L)=1m

Espeso disco(L)=0.05m 𝜌 = 7850𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦 = 500𝑁𝑠𝑚

𝐶𝑧 = 250𝑁𝑠𝑚

𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

58

Utilizando las propiedades mostradas en la tabla anterior, se obtienen las matrices de masa, rigidez y giroscópica para el rotor.

𝑀 = 110 0 0

0 110 000

00

2.470

000

2.47

, 𝐾 = 4.03 0 0

0 7.03 −0.510

−0.513−0.51

00.339

0

−0.513

00

0.339

𝑥105

𝐺 =

250 0 00 500 000

00

0−Ω𝐽𝑝

00Ω𝐽𝑝

0

(4.1)

Las matrices anteriores son introducidas a la ecuación de movimiento del rotor (ecuación (3.8)) antes de resolver el eigen-problema para el caso analítico, para después comparar los resultados con la solución obtenida del modelo de elemento finito del mismo rotor. Una vez que se tiene la eigen-solución, se hace un análisis armónico usando desbalance del cual se obtiene el diagrama de Campbell y la respuesta armónica para el rotor. Los resultados se muestran las Figs. 4.10 y 4.11

Fig. 4.10. Diagrama de Campbell: --- Resultados FEM, __ Resultados de analíticos.

59

Fig. 4.11. Respuesta armónica: --- Resultados FEM , __ Resultados de analíticos.

En las figuras anteriores las líneas punteadas representan los resultados obtenidos con el modelo de elemento finito y la línea continua los resultados para el modelo analítico. En la Tabla 4.9 se comparan los resultados obtenidos para cada modelo y el porcentaje de error encontrado tomando como valor verdadero el reportado por la literatura [4]. Tabla 4.9. Comparación de los resultados obtenidos analíticamente y usando FEM.

N° de Frecuencia Modelo analítico [4] Modelo FEM viga-masa % error

1 476.5 rpm 500 rpm 4.9 2 640 rpm 660 rpm 3.1

% de error respecto a la referencia o caso analítico

El error encontrado para este modelo es de 3.1 y 4.9% respecto a la referencia. Lo anterior se atribuye a las consideraciones tomadas en el modelo analítico como lo puede ser el considerar el disco del rotor totalmente rígido. Con lo mostrado en la sección de validación y verificación se concluye que la metodología usada para modelar sistemas rotatorios es adecuada ya que arroja resultados cercanos a las referencias presentadas con un porcentaje de error no mayor al 5 %. A partir de lo anterior, se establece como criterio respetar este porcentaje de error para las aplicaciones que se desarrollan en este trabajo.

60

Capítulo 5

Impactos de los momentos

giroscópicos en rotores

5.1 Impacto de los momentos giroscópicos en la excitación por desbalance Una de las prácticas comunes en análisis modal y rotodinámica es la identificación de las propiedades tanto espaciales como modales de un sistema dinámico. Para poder lograr lo anterior es necesario excitar el sistema ya sea de forma natural o artificial mediante una fuerza o mediante una excitación cinemática, además de medir la excitación y la respuesta para procesarlas en el dominio del tiempo o de la frecuencia. Las fuerzas de desbalance se producen en las estructuras rotatorias durante su operación y pueden ser aprovechadas para la caracterización dinámica. Sin embargo, aunado a las

61

fuerzas de desbalance también se producen momentos giroscópicos, los cuales se ven reflejados en cambios de la rigidez aparente del sistema y por consecuencia cambios en las propiedades dinámicas de estructuras. 5.1.1 Uso de fuerzas de desbalance para excitación

El desbalance es una de las principales causas de vibración debido a que ocurre en mayor o menor grado en todas las máquinas rotatorias y puede aprovecharse para excitar un sistema giratorio sin necesidad de conectarlo a equipos de excitación (excitadores electromagnéticos o excéntricos). Así mismo, es relativamente fácil controlar la magnitud de las fuerzas de desbalance si existe la posibilidad de agregar masas de prueba a un rotor antes de iniciar operación.

Excitación síncrona debida a la fuerza de desbalance La fuerza de desbalance es una fuerza común que se produce cuando una masa excéntrica gira alrededor de un eje principal y es responsable de transformar la energía de rotación en vibraciones laterales. Lo anterior es una condición de distribución desigual de la masa en la dirección radial a cada sección del eje. Así, en una condición de desbalance el centro de masa del rotor no coincide con su eje de rotación. Se considera que durante el primer modo lateral de vibración en un rotor isotrópico, la distribución del desbalance puede ser considerada un promedio de una fuerza compuesta de masa m, en un radio r, y un ángulo δ . La magnitud de esta fuerza depende directamente de la velocidad de rotación del cuerpo

2mrΩ . La siguiente figura muestra la representación gráfica de la fuerza de desbalance que está dirigida hacia afuera en forma radial.

Fig. 5.1. Representación de la fuerza de desbalance.

Las componentes de la fuerza de desbalance para cada eje son: 𝐹𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑠 Ω𝑡 𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛 Ω𝑡 (5.1)

La ecuación de movimiento y la fuerza de excitación por desbalance se muestran en el siguiente modelo:

62

𝑀 + 𝐶 + 𝐾𝑧 = 𝐹𝑜𝑒𝑗(Ω𝑡) (5.2) La fuerza de desbalance (𝐹𝑜) se considera una excitación síncrona. Síncrona se refiere a que la frecuencia de excitación igual a la frecuencia de rotación del rotor. 5.2 Impacto de los momentos giroscópicos en la fuerza de desbalance Como ya se mencionó, el efecto giroscópico depende de la rotación del elemento y de su inercia, y representa cambios en la rigidez de un sistema provocados por la oposición de un elemento al cambio de velocidad angular. Los cambios de rigidez van acompañados de cambios en velocidades críticas y también en cambios en la amplitud de vibración. La distribución de las masas o elementos rotatorios a lo largo de la longitud del eje o flecha es importante porque tiene influencia en los efectos giroscópicos dado que la magnitud del momento giroscópico en un elemento rotatorio depende del grado de inclinación o giro con respecto al eje principal de inercia. Lo anterior, se puede ver en la Fig. 5.2 donde se muestran el primer y tercer modo de vibración de un rotor. En la parte superior se observa que en el primer modo los desplazamientos angulares de los discos con respecto al plano perpendicular son nulos comparado con la tercera forma modal del rotor.

Fig. 5.2. Primer (a) y tercer (b) modo de vibración de un rotor.

Normalmente los parámetros que influyen en el comportamiento de la respuesta por desbalance son la magnitud de la fuerza de desbalance, el punto de ubicación de la fuerza en relación a la forma modal y el amortiguamiento. En este estudio se incluyeron también los efectos giroscópicos como nuevo parámetro el cual afecta la respuesta de un rotor cuando se usa fuerza de desbalance como medio de excitación. Por ejemplo, en la sección 5.1.1 se establecieron las componentes de las fuerzas de desbalance en el plano perpendicular a la forma modal (ecuación (5.1)), las cuales dependen del ángulo de la fuerza. Una característica importante de la fuerza de excitación desde un punto de vista físico, es que las fuerzas perpendiculares a las formas modales pueden excitar mejor a una estructura rotatoria, desde un punto de vista espacial un vector de fuerza ortogonal no excitará a un vector de forma modal. Sin embargo un vector de fuerza co-lineal a un vector de forma modal lo excitará en buena manera. Esto significa que el trabajo que la fuerza hace sobre el rotor se manifiesta en una deformación del rotor y al separarse en sus componentes modales

63

(expresándola como combinación lineal de las distintas formas modales) tiene una participación considerable de los modos que mejor se excitan. Con lo anterior, se concluye que para obtener una mejor excitación desde el punto de vista de la magnitud de la fuerza ésta o éstas deben estar colocadas en un plano perpendicular a la forma modal. A continuación se presenta el caso donde una fuerza de desbalance conocida se encuentra fuera de ese plano. En la Fig. 5.3, se representa la fuerza de desbalance en el espacio.

Fig. 5.3. Descomposición de la fuerza de desbalance.

Las componentes de esta fuerza para el plano zy que correspondería al plano perpendicular a la forma modal son: 𝐹𝑧 = 𝐹𝑜 cosΩ𝑡 cos𝜃𝑦 𝐹𝑦 = 𝐹𝑜 sinΩ𝑡 cos𝜃𝑧

(5.3)

Como pueden verse en la ecuación (5.3), las componentes rectangulares de la fuerza de desbalance ahora no sólo dependen desplazamiento angular en el plano zy sino también del desplazamiento angular en los demás planos. Por tanto, la magnitud de la fuerza de desbalance en el plano perpendicular a la forma modal será mucho menor que si no existiera desplazamiento angular en los planos xy y zx. Lo anterior se expresa en la siguiente ecuación:

𝐹𝑧 = 𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡𝐹𝑦 = 𝐹𝑜 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡

> 𝐹𝑧 = 𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦𝐹𝑦 = 𝐹𝑜 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑧

(5.4)

Considere la ecuación de movimiento (5.2) para el modelo espacial reportado en [4]. La fuerza de desbalance se mantiene en dirección radial y se encuentra en el plano perpendicular al eje de giro del rotor como se considera en modelos analíticos. Se propone el coeficiente de la fuerza de desbalance dado por el producto me para dos casos: Caso 1: la fuerza se mantiene sobre el plano perpendicular al rotor: 𝐹𝑜 = 𝐹 cosΩ𝑡 = 0.028

𝐹 sinΩ𝑡 = 0.028 Caso 2: se considera la rotación del vector de fuerza con 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 = 30°

64

𝐹𝑜 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡. 𝑐𝑜𝑠 30 = 0.024𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 . 𝑐𝑜𝑠 30 = 0.024

Para introducir los casos anteriores, considere las matrices de la ecuación de movimiento (ecuación (5.2)) como:

𝑀 = 𝐼𝑜𝐿2

0

0 𝐼𝑜𝐿2

, 𝐺 = 𝑐𝑥

𝐽Ω𝑧𝐿2

−𝐽Ω𝑧𝐿2

𝑐𝑦, 𝐾 =

𝑘𝑥 00 𝑘𝑦

(5.5)

donde las matrices M, G y K son las matrices de masa, giroscópica y de rigidez respectivamente. El término 𝐼𝑜

𝐿2 representa la masa del sistema, 𝑐 el amortiguamiento, 𝑘 la

rigidez y el término −𝐽𝛺𝑧𝐿2

la magnitud del momento giroscópico. La ecuación (5.2) puede ser escrita para el rotor como sigue:

8.03 00 8.03

+ 0.1 1.09

−1.09 0.1 + 994 0

0 600 𝑥𝑦 = 𝐹𝑜𝑒𝑗(Ω𝑡) (5.6)

Al considerar una solución armónica para la ecuación de movimiento para los dos casos propuestos, se procedió a encontrar la respuesta del sistema, la cual se representa en la siguiente figura.

Fig. 5.4. Cambios en la respuesta con excitación por desbalance.

En la Fig. 5.4 la curva en rojo representa el caso uno y la curva en azul el caso dos, se observa que existe una variación en la amplitud de la respuesta para cada caso y es principalmente debida a la inclinación o desplazamiento angular de la fuerza en otros planos como en el caso dos. La respuesta fue medida en un punto de rotor y excitado por desbalance en el disco, hasta ahora sólo se ha analizado el comportamiento de la fuerza de desbalance cuando se encuentra en un plano perpendicular a la forma modal sin tomar en

65

cuenta amortiguamientos, ni distribución de las masas en el sistema o los puntos de excitación. La magnitud de la respuesta al desbalance depende principalmente de que tan bien se exciten los modos de vibración. Se sabe que la magnitud de la fuerza de desbalance se incrementa con la velocidad de rotación, entonces se esperaría una mejor excitación en modos altos debido a la magnitud de la fuerza, pero entre más alta sea la velocidad de rotación más significativo es el efecto giroscópico. Estos efectos hacen que los discos, masas concentradas y elementos del rotor tengan desplazamientos angulares. Estos desplazamientos hacen que la fuerza de desbalance de descomponga en fuerzas de menor magnitud como se explicó anteriormente. Para analizar la excitación por desbalance en rotores con más componentes o complejidad se desarrollaron modelos en elemento finito con los cuales se pueden observar los desplazamientos angulares en las formas modales, entre otras características. 5.2.1 Ejemplo numérico Se utilizó un modelo de elementos finito para evaluar el efecto del momento giroscópico en la excitación por desbalance utilizando las velocidades críticas, las formas modales y la respuesta al desbalance como variables de análisis [69]. En este ejemplo se usa un rotor que tiene tres discos y cambios de diámetro en la flecha. El rotor tiene soportes no isotrópicos y la masa de desbalance se encuentra en un disco. Como

se observa en la Fig. 5.5, la velocidad de operación del rotor es de 380 rads

.Las

características y propiedades del rotor de presentan en la Tabla 5.1. Este rotor fue seleccionado por sus características de distribución de masas y porque la referencia presenta suficientes datos para realizar el proceso de modelado y verificación de resultados.

a)

66

b)

Fig. 5.5. a) Geometría del rotor y b) Modelo de elemento finito. Al utilizar el modelo, se realizó análisis modal y armónico, los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla.

Tabla 5.2. Frecuencias y velocidades críticas del rotor. Frecuencias Naturales (Hz) Velocidades críticas (RPM)

22.13 22.15 98.17 98.45 243.14 244.14

CN 1320 CP 1335 CN 5525 CP 5353

CP= Cabeceo positivo CN= Cabeceo negativo

En la Fig. 5.6 se muestra la respuesta al desbalance en el nodo 7, las formas modales, el diagrama de Campbell y el diagrama de decremento logarítmico. Los resultados en el diagrama de Campbell y de decremento logarítmico muestran como varían las frecuencias naturales y el amortiguamiento en el sistema con respecto a la velocidad del rotor.

Tabla 5.1. Propiedades del rotor . Material Soportes

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎

𝐾𝑧 = 4𝑥108𝑁𝑚

𝐾𝑦 = 8𝑥108 𝑁𝑚

𝜌 = 7850 𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦 = 10000𝑁𝑠𝑚

𝐶𝑧 = 5000𝑁𝑠𝑚

𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

67

a)

b)

Fig. 5.6. Resultados de simulación. a) Respuesta y formas modales, b) Diagramas de decremento logarítmico y de Campbell.

El diagrama de respuesta (Fig.5.6 a) muestra cuatro modos excitados. La amplitud mayor la tiene el primer modo y a partir del mismo disminuye la amplitud para cada modo. También se observa la respuesta medida en el nodo 7 en las direcciones y y z, donde los picos de respuesta coinciden para cada dirección medida a causa del acoplamiento de los grados de libertad producido por los momentos giroscópicos. Como se puede ver en las formas modales (Fig.5.6a), para este sistema los discos tienen un mayor desplazamiento angular lo cual provoca una magnitud mayor en los momentos giroscópicos aunada a los cambios de amortiguamiento afectando la fuerza de desbalance. La excitación por desbalance es afectada por los momentos giroscópicos, la principal razón es porque el desbalance se concentra principalmente en los discos. Los primeros dos modos de vibración que se encuentran a 22 Hz y 22.26 Hz (Fig.5.6a), son modos semirígidos caracterizados por movimientos de traslación principalmente. Estos modos son muy poco afectados por los momentos giroscópicos como observa en el mapa

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d(m

)

Respuesta al desbalance nodo 7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Respuesta al desbalance nodo 7 uyRespuesta al desbalance nodo 7 uz

68

de velocidades en el primer cruce (Fig. 5.6b), ya que las frecuencias naturales varían muy poco al irse incrementando la velocidad de rotación. Dentro del diagrama de decremento logarítmico se puede observar que la disipación de energía o amortiguamiento aumenta para el primer modo y disminuye para el segundo modo de vibración. Lo anterior se refleja en el diagrama de respuesta, los primeros dos modos son las resonancias de mayor amplitud siendo el primer modo el de mayor amplitud. A causa del empalme de los modos cercanos, la contribución del segundo modo a la resonancia es poco visible. El tercer y cuarto modo de vibración se encuentran a 92.1 Hz y 105.8 Hz y son modos flexibles caracterizados por movimientos angulares. En estas frecuencias del rotor son predominantes los momentos giroscópicos como se puede ver en el mapa de velocidades en el segundo cruce. Las frecuencias naturales varían de manera pronunciada al irse incrementando la velocidad de rotación provocando su separación. Dentro del diagrama de decremento logarítmico se puede observar que el amortiguamiento disminuye en el tercer modo y aumenta para el cuarto modo de vibración. En los casos estudiados, se tuvo que discriminar los efectos del amortiguamiento, punto de excitación y momento giroscópicos para evaluar la respuesta del sistema. De lo anterior se deduce que los efectos giroscópicos afectan la excitación por desbalance y esto es independiente de los cambios de amortiguamiento pero si directamente relacionado a la ubicación de la excitación en el sistema. 5.3 Impacto de los momentos giroscópicos en la respuesta debido al desbalance La influencia del efecto giroscópico se manifiesta principalmente en un incremento o decremento de las velocidades críticas. El efecto giroscópico representa cambios en la rigidez de un sistema provocados por la oposición de un elemento al cambio de velocidad angular, a este fenómeno se le llama rigidización giroscópica. Los cambios de velocidades críticas van acompañados también de cambios en la amplitud de vibración. A su vez, los cambios de amplitud producen cambios en las formas modales por la sensibilidad a los efectos giroscópicos.

Cervantes [70] determinó que al considerar los efectos giroscópicos, la forma modal tiene una pequeña variación como se muestra en la Fig. 5.7. Concluyó en su trabajo que los efectos giroscópicos deben ser tomados en cuenta para rotores con montajes del tipo en cantiléver o aquellos que trabajen a grandes velocidades.

69

Fig. 5.7. Influencia de los efectos giroscópicos en el tercer modo de vibración

del turbogenerador [70].

Es importante la distribución de las masas o elementos rotatorios a lo largo de la longitud del eje o flecha ya que tiene influencia en los efectos giroscópicos dado que la magnitud del momento giroscópico en un elemento rotatorio o disco depende del grado de inclinación o giro con respecto al eje principal de inercia. Lo anterior se observa en la Fig. 5.8, donde se muestran el primer y tercer modos de vibración de un rotor. En el lado derecho se observa que en el primer modo los desplazamientos angulares de los discos con respecto al plano perpendicular son pequeños con respecto a los mostrados en la tercera forma modal del rotor. Aunque en este caso la distribución de los discos es simétrica, el efecto de los momentos giroscópicos repercutirá más en el tercer modo o en modos superiores debido al aumento de la velocidad y a los momentos angulares del rotor.

Fig. 5.8. Primer y tercer modo de vibración de un rotor.

Se analizó la respuesta de un rotor excitado por fuerzas de desbalance con el objetivo de determinar los parámetros de influencia para la manifestación de los efectos giroscópicos en rotores. Para el análisis se hicieron modificaciones en la distribución de la masa y en cambios de diámetro en el rotor y se analizaron los primeros dos modos rígidos del rotor. En la siguiente tabla se muestran el impacto que dichas modificaciones tienen sobre i) el tipo de modo, ii) la frecuencia natural, y iii) el efecto giroscópico. La manera de valorar el efecto del momento giroscópico con las modificaciones anteriores fue a partir de los cambios observados en las frecuencias naturales del rotor. La Tabla 5.3 muestra el comportamiento de los efectos giroscópicos para cada tipo de modo de vibración.

70

Tabla 5.3. Efecto del modo de vibración en el efecto giroscópico.

Modificación en el modelo del rotor Tipo de modo Magnitud de la

frecuencia natural

Efecto giroscópico

Aumento de masa sin cambios de diámetro

Cilíndrico Decrementa Normal

Aumento de masa sin cambios de diámetro

Cónico Decrementa Normal

Reducción del diámetro sin cambios de masa

Cilíndrico Incrementa Bajo

Reducción del diámetro sin cambios de masa

Cónico Incrementa Bajo

El diagrama de Campbell se utilizó para elaborar la tabla anterior, por ejemplo el efecto giroscópico normal o bajo se estableció a partir de la separación en los modos de cabeceo positivo y negativo, lo anterior es característico de los sistemas giroscópicos. 5.3.1 Respuesta al desbalance para sistemas con isotropía y anisotrópica en los soportes. Al usar la fuerza de desbalance como medio de excitación en sistemas giroscópicos, debe tomarse en cuenta que para los sistemas isotrópicos el trabajo realizado por las fuerzas de desbalance sobre el rotor no incrementará la energía asociada con los modos en cabeceo negativo (CN). Se dice entonces que la fuerza es ortogonal al vector de forma modal de dichos modos. Para el caso del modo en cabeceo positivo (CP), parte del trabajo realizado por las fuerzas de desbalance incrementa la energía asociada con dichos modos. En estos modos la fuerza de desbalance no es ortogonal a las formas modales. Lo anterior es importante porque para los sistemas isotrópicos la fuerza de desbalance sólo excitará a los modos de precesión positiva y para el caso de sistemas anisotrópicos la fuerza de desbalance excitará todos los modos de vibración del sistema en el rango de frecuencias que se desee. En la Fig. 5.9 se muestra el diagrama de respuesta al desbalance para un sistema isotrópico y un sistema anisotrópico. En la figura se pueden apreciar los modos en cabeceo positivo y negativo que se excitan en el sistema.

71

Fig. 5.9. Comparación de respuesta al desbalance para: sistema isotrópico y anisotrópico.

La propiedad de rigidez de los soportes afectan la magnitud del efecto giroscópico en los rotores, entre más flexibles sean permitirán mayores desplazamientos en los modos rígidos. Si los soportes fueran muy rígidos, los momentos giroscópicos se traducirían en esfuerzos internos para los modos rígidos y grandes desplazamientos para los modos flexibles. Los soportes con rigidez ligeramente anisotrópica, el efecto de los momentos giroscópicos es más notorio que para soportes con mayor anisotropía. Debido a lo anterior, se podría tomar como una desventaja la excitación por desbalance al no excitar todos los modos de un sistema isotrópico. Sin embargo, no existen como tal los sistemas isotrópicos dado que siempre existe algún grado de anisotropía en los soportes derivado tal vez de falta de homogeneidad de los materiales o de la falta de repetibilidad en las formas geométricas y/o elementos de los soportes. 5.3.2 Respuesta de rotores afectados por momentos giroscópicos Se desarrollaron tres modelos de rotores donde se variaron las propiedades de rigidez, amortiguamiento en soportes y diversas distribuciones de discos masas a lo largo del eje de rotación. Para llevar a cabo esto, en cada modelo se exhibe la respuesta a una fuerza de desbalance aplicada en un plano de balanceo (disco) donde se consideró: i) la respuesta del rotor afectada por los efectos giroscópicos ii) la respuesta del rotor sin considerar estos efectos.

Modelo 1

La Fig. 5.10 muestra el rotor propuesto, el rotor tiene tres discos distribuidos uniformemente sobre el eje de rotación, en el modelado se incluyó la rigidez y el amortiguamiento en los dos extremos del rotor en el plano paralelo y es perpendicular a su eje de rotación [71]. Las propiedades del rotor se presentan en la Tabla 5.4.

72

Fig. 5.10. Geometría y modelo del rotor. Para presentar la respuesta del rotor se seleccionó un nodo del modelo discreto, la selección del nodo es importante porque no todos los nodos presentan la misma amplitud en las resonancias, y para algunos nodos la diferencia entre la magnitud de las resonancias es tan grande que los hace poco visibles en diagrama de respuesta. Para este modelo se seleccionó el nodo 8 por ser más representativo de la excitación de los modos resonantes. En la Fig. 5.11 muestra la respuesta medida en el nodo 8 en las direcciones y y z. Además, en ésta también se presenta la respuesta del nodo en la dirección y, con y sin momentos giroscópicos. Como se puede observar en la figura las frecuencias naturales cambian, así como las amplitudes de respuesta resonante para los modos superiores. Otro efecto es la aparición de otras resonancias en la respuesta del sistema (en el intervalo analizado) debido a que las frecuencias de modos superiores bajan o porque el acoplamiento que existe entre los grados de libertad excita modos de torsión.

Tabla 5.4. Propiedades del rotor modelo 1. Material Soportes

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎

𝐾𝑧 = 7𝑥107𝑁𝑚

𝐾𝑦 = 5𝑥107 𝑁𝑚

𝜌 = 7850𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦 = 5 𝑥102

𝑁𝑠𝑚

,𝐶𝑧 = 7 𝑥102 𝑁𝑠𝑚

𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

73

a)

b)

Fig. 5.11. a) Repuesta del nodo 8 en dirección y y z, b) Comparación de respuestas del nodo 8 con y sin efectos giroscópicos.

La Fig. 5.12 muestra el diagrama de Campbell y el diagrama de decremento logarítmico, donde se observa como varían las frecuencias naturales y el amortiguamiento con respecto a la velocidad de rotación.

a) b)

Fig. 5.12. a) Diagrama de Campbell b) Diagrama del decremento logarítmico.

74

Como se observa en la Fig. 5.12 b, el amortiguamiento para cada modo del rotor varia con la velocidad de rotación, incluso se observa que cerca de las 30000 rpm el amortiguamiento del sistema tiene cambios abruptos lo que se considera el inicio de inestabilidad y de grandes amplitudes de vibración.

Modelo 2 Este modelo es rotor en voladizo con un disco montado en su extremo, el cual es modelado incluyendo la rigidez y omitiendo el amortiguamiento [71]. La Fig. 5.13 muestra las dimensiones geométricas y el modelo discreto del rotor.

Fig. 5.13. Geometría y modelo del rotor La siguiente tabla presenta las propiedades del material del rotor y las características de los soportes. Al igual que para el modelo número uno se seleccionó un nodo del modelo discreto para presentar la respuesta del rotor, para este modelo se seleccionó el nodo 6 por ser más representativo de la excitación de los modos resonantes. En la Fig. 5.14 se muestra la respuesta medida en el nodo 6 en la dirección y y z. Además en esta también se presenta la respuesta en el mismo nodo en la dirección y, con y sin momentos giroscópicos. Como se puede observar en la Fig.5.14 las frecuencias naturales y las amplitudes de respuesta resonante cambian en el intervalo mostrado.

Tabla 5.5. Propiedades del rotor modelo 2. Material Soportes

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎 𝐾𝑦 = 6000𝑁𝑚

𝐾𝑧 = 6000𝑁𝑚

𝜌 = 7850𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦 = 0 , 𝐶𝑧 = 0

𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

75

a) b)

Fig. 5.14. a) Repuesta del nodo 6 en dirección y y z, b) Respuesta considerando o no el efecto giroscópico.

En la siguiente figura se muestra el diagrama de Campbell y el diagrama de decremento logarítmico.

a) b)

Fig. 5.15. a) Diagrama de Campbell b) Diagrama del decremento logarítmico. Como se observa en la Fig. 5.15, es más notoria la separación de los modos de cabeceo positivo y negativo conforme se incrementa la velocidad del rotor, de igual manera para el caso del amortiguamiento. Cabe mencionar que la condición en voladizo para un rotor es muy favorable para la presencia de los momentos giroscópicos

Modelo 3 La Fig. 5.16 muestra el rotor de un turbogenerador, tiene 7 discos y tres soportes. El modelo se desarrolló en elemento finito, con lo cual fue posible hacer un análisis modal y armónico incluyendo el efecto giroscópico a una fuerza desbalance.

76

Fig. 5.16. Geometría y modelo del rotor En la siguiente tabla se presentan las propiedades del material del rotor y las características de los soportes Al igual que para el modelo anterior se seleccionó un nodo del modelo discreto para presentar la respuesta del rotor, para este modelo se seleccionó el nodo 40 por ser más representativo de la excitación de los modos resonantes. En la Fig. 5. 17, se muestra la respuesta medida en el nodo 40 en la dirección y y z. Además presenta la respuesta en el mismo nodo en la dirección y, con y sin momentos giroscópicos.

Tabla 5.6. Propiedades del rotor modelo 3. Material Soportes

𝐸 = 205𝐺𝑝𝑎 𝐾𝑦1 = 𝐾𝑧1 = 4.37𝑥106𝑁𝑚

𝐾𝑦2 = 𝐾𝑧2 = 4.37𝑥102𝑁𝑚

𝐾𝑦3 = 𝐾𝑧3 = 1.45𝑥106𝑁𝑚

𝜌 = 7850

𝑘𝑔𝑚3

𝜈 = 0.29 𝐶𝑦1 = 𝐶𝑧1 = 2000 𝐶𝑦2 = 𝐶𝑧2 = 0

𝐶𝑦3 = 𝐶𝑧3 = 2000 𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎

77

a) b)

Fig. 5.17. a) Repuesta del nodo 40 en dirección y y z, b) Respuesta considerando o no el efecto giroscópico. Como se puede observar en la figura anterior hay desplazamiento de las resonancias y sus amplitudes varían en magnitud para los primeros dos modos de vibración aunado a la variación del amortiguamiento conforme crece la velocidad. En Fig. 5.18 se muestra el diagrama de Campbell y el diagrama de decremento logarítmico.

a) b)

Fig. 5.18. a) Diagrama de Campbell b) Diagrama del decremento logarítmico. Como ya se describió en esta sección, se hizo un análisis armónico y modal a sistemas giroscópicos con diferentes características tantos geométricos como estructurales (soportes). Cabe mencionar que se ha subestimado a las fuerzas de desbalance como medio para excitación con fines de caracterización dinámica. Esto es porque en sistemas con soportes isotrópicos no excitan los modos de precesión negativa, ya que son ortogonales a ellos. Sin embargo la mayoría de los rotores tienen soportes con cierto grado de anisotropía. Los modos no tienen precesión puramente positiva ni puramente negativa. Sus modos de vibración se manifiestan como desplazamientos elípticos de la flecha en diferentes estaciones a lo largo del rotor. Estas órbitas tienes componentes de precesión tanto positiva como negativa. Las fuerzas de desbalance pueden entonces excitar a estos modos.

78

Observaciones Del análisis de la respuesta de sistemas giroscópicos usando excitación por desbalance mostrados en las secciones anteriores se concluye lo siguiente: - La fuerza de desbalance es una alternativa viable para la excitación de rotores en pruebas para la caracterización dinámica de sistemas giroscópicos ya que se encuentra presente de manera natural en todo sistema rotatorio. Además puede ser conocida la magnitud de la fuerza de desbalance al tener el control de la masa de desbalance la cual se coloca en los planos de balanceo de los rotores. - Para sistemas giroscópicos con isotropía en los soportes la fuerza de desbalance sólo excita modos en precesión positiva. Lo anterior podría ser una desventaja, sin embargo la mayoría de los rotores tiene soportes con cierto grado de anisotropía lo cual implica que los modos de vibración no tengan precesión puramente positiva ni puramente negativa. Los modos de vibración se manifiestan como desplazamientos elípticos de la flecha en diferentes estaciones a lo largo del rotor. Estas órbitas tienes componentes de precesión tanto positiva como negativa y por tanto las fuerzas de desbalance pueden entonces excitar a estos modos. - La excitación por desbalance es afectada por los momentos giroscópicos debido a las deflexiones angulares de la flecha de un rotor. Lo anterior se debe a que las fuerzas de desbalance pueden actuar en un plano oblicuo al eje de giro del rotor afectando la capacidad de dichas fuerzas para excitar los modos del rotor; la principal razón de esto es porque el desbalance se concentra principalmente en los elementos con altos momentos polares con inercia altos. - Los efectos giroscópicos afectan la excitación por desbalance y por consiguiente su respuesta y los parámetros modales, por tanto deben tomarse en cuenta en el proceso inverso de balancear un rotor, el cual consiste en identificar dichas fuerzas a partir de mediciones de su respuesta. -El incremento del amortiguamiento (estructural o histerítico) en el sistema a causa del efecto giroscópico reduce las amplitudes de respuesta de los modos superiores resonantes. Lo anterior es la razón por lo cual algunos modos no son fácilmente ubicados en los diagramas de respuesta.

79

Capítulo 6

Extracción de eigenvectores izquierdos de

estructuras rotatorias

6.1 Caracterización modal de máquinas rotatorias La necesidad de determinar los eigenvectores izquierdos para la caracterización modal completa de estructuras rotatorias ha requerido que el análisis modal tradicional sea modificado para ser aplicado a estos sistemas.

80

Como se mencionó anteriormente, existen algunas técnicas para estimar parámetros modales de estructuras rotatorias, las cuales están limitadas a sistemas específicos como los siguientes: • Sistemas giroscópicos no amortiguados. • Sistemas de ejes axisimétricos con soportes isotrópicos. • Sistemas de ejes axisimétricos montado en un especial tipo de soportes anisotrópicos. • Sistemas con pequeña anisotropía o ligero amortiguamiento.

Para casos específicos es posible caracterizar completamente la dinámica de una máquina con pocas FRF medidas, pero en un caso más general se requiere medir un renglón y una columna completos de la matriz de FRF. 6.2 Extracción de los eigenvectores izquierdos y derechos usando FRFs La matriz de respuesta en frecuencia de una estructura vibratoria puede se expandida en una serie de eigenvectores [7].

[𝐻1 𝐻2 … 𝐻𝑛] = 1

𝜔𝑘2 − 𝜔2

𝑛

𝑘=1

𝜙𝑘𝜙𝑘𝑇 (6.1)

Una columna 𝐻𝑝 de la matriz puede ser medida experimentalmente usando una simple excitación (aplicada en el pth punto). Esta columna puede ser expresada como:

𝐻𝑝 = 𝜙𝑘[𝑝]

𝜔𝑘2 − 𝜔2

𝑛

𝑘=1

𝜙𝑘 = 1

𝜔𝑘2 − 𝜔2

𝑛

𝑘=1

𝜓𝑘 (6.2)

donde se usa la definición 𝜓𝑘 = 𝜙𝑘[𝑝] y 𝜙𝑘[𝑝] es el pth elemento de 𝜙𝑘. En la ecuación (6.2), el vector 𝐻𝑝 es una combinación lineal de vectores modales 𝜙𝑘. Los coeficientes para esta combinación lineal son 𝜙𝑘[𝑝]

𝜔𝑘2−𝜔2 , los cuales son dependientes de la

frecuencia. 6.2.1 Extracción de eigenvectores derechos de FRFs medidas Una columna de la matriz de FRF puede ser descompuesta en:

𝐻𝑝 = [𝜓1 𝜓2 … ]

⎝

⎜⎛

1𝜔12 − 𝜔2

1𝜔22 − 𝜔2

⎠

⎟⎞

(6.3)

81

Las frecuencias naturales 𝜔𝑘 pueden ser identificadas con gran exactitud con métodos ya conocidos [4]. La matriz de respuesta en frecuencia es medida en un número de frecuencias, 𝜔 =𝛺1,𝛺2, …. Asumiendo que todas las columnas de la FRF (ecuación (6.3) traspuesta) fueron obtenidas:

𝐻1𝑝(𝛺1) 𝐻2𝑝(𝛺1) …𝐻1𝑝(𝛺2) 𝐻2𝑝(𝛺2) …

⋮ ⋮ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡

1𝜔12 − 𝛺12

1𝜔22 − 𝛺22

…

1𝜔12 − 𝛺12

1𝜔22 − 𝛺22

…

⋮ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

𝜓1𝜓2⋮

(6.4)

Siempre que la matriz de FRF es medida con suficiente resolución en frecuencia, los coeficientes de las matrices (ecuación (6.4)) tendrán un rango de m. Dado que los coeficientes de la matriz están compuestos por frecuencias naturales y frecuencias de excitación conocidas. La ecuación (6.4) puede ser resuelta directamente para los m eigenvectores derechos en el rango medido. Esta misma ecuación se basa en la suposición de que todas las columnas de la matriz de respuesta (FRF) fueron obtenidas. Sin embargo, para obtener una columna de esta matriz es necesario excitar en algún nodo del sistema y medir en los restantes variando el sensor de medición. En la Figura 6.1 se muestra el esquema para obtener una columna de la matriz de respuesta a partir de mediciones realizadas en una estructura para este caso un rotor.

Fig. 6.1. Procedimiento para obtener una columna de la matriz de respuesta de un sistema.

82

6.2.2 Extracción de eigenvectores izquierdos de FRFs medidas La extracción de los eigenvectores izquierdos es más problemática debido al rango deficiente de los coeficientes de la matriz. En términos físicos esta deficiencia en el rango es debido a la dificultad de obtener la fuerza aplicada dada la respuesta medida. La formulación tiende hacía un conjunto de ecuaciones de las cuales los eigenvectores izquierdos pueden ser extraídos. Multiplicando la p-ésima columna de la matriz de FRFs por 𝐼𝑗𝑇 se puede escribir la siguiente ecuación:

𝐼𝑗𝑇𝐻𝑝 = 𝜙𝑘[𝑝]

𝜔𝑘2 − 𝜔2

𝑛

𝑘=1

𝐼𝑗𝑇𝜙𝑘 (6.5)

Sustituyendo la ecuación (6.4) en (6.7), se obtiene la siguiente ecuación simplificada:

𝐼𝑗𝑇𝐻𝑝 = 𝜙𝑗[𝑝]

𝜔𝑗2 − 𝜔2

𝑛

𝑘=1

(6.6)

Si no se considera algún tipo de normalización para los eigenvectores izquierdos, la ecuación anterior se reduce a:

𝐼𝑗𝑇𝐻𝑝 = 1

𝜔𝑗2 − 𝜔2

𝑛

𝑘=1

(6.7)

La ecuación (6.7) puede ser evaluada para diferentes frecuencias 𝜔 = 𝛺1,𝛺2,.. (ej. seleccionando las apropiadas entradas de las FRF obtenidas experimentalmente). Repitiendo la ecuación (6.7) para m eigenvectores izquierdos en el rango medido, por ejemplo para j= 1,2,…,m, se obtiene:

𝐻1𝑝(𝛺1) 𝐻2𝑝(𝛺1) …𝐻1𝑝(𝛺2) 𝐻2𝑝(𝛺2) …

⋮ ⋮ [ 𝐼1 𝐼2 … ] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡

1𝜔12 − 𝛺12

1𝜔22 − 𝛺22

…

1𝜔12 − 𝛺12

1𝜔22 − 𝛺22

…

⋮ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

(6.8)

donde 𝐼1 es el estimado de 𝐼1 . La misma ecuación puede ser escrita para cada columna de la FRF, ej., p=1…n . Cuando se realiza una prueba con múltiples fuerzas de excitación, se miden varias columnas de las FRF y la información adicional puede usarse para mejorar la exactitud de las estimaciones.

83

Escribiendo la ecuación (6.8) en forma matricial para un sólo eigenvector izquierdo se obtiene: 𝐴𝐼 = 𝐵𝑘 (6.9) donde A es la matriz de coeficientes y 𝐵𝑘 es la k-ésima columna del lado derecho de la matriz en la ecuación (6.8). La extracción de los eigenvectores izquierdos de la ecuación (6.4) consiste en resolver un problema inverso, es decir dada la respuesta medida, se trata de deducir las fuerzas (eigenvectores izquierdos) de la respuesta medida. De forma práctica o experimental los eigenvectores son extraídos de un renglón de la matriz de respuesta. Sin embargo, medir un renglón de la matriz de FRFs posee serias dificultades prácticas. Esto es porque exige la aplicación de fuerzas de excitación en cada grado de libertad de la máquina, como se puede ver en la Figura 6.2.

Fig. 6.2. Procedimiento para obtener un renglón de la matriz de respuesta de un sistema.

6.3 Interpretación física de los eigenvectores izquierdos y derechos Como se ha mencionado, un modelo modal está constituido por eigenvalores, eigenvectores derechos e izquierdos. Los procedimientos para la extracción y el significado de los dos primeros están bien establecidos [4], sin embargo este no es el caso de los eigenvectores izquierdos. Por lo tanto, en esta sección se presentan las ecuaciones básicas para definir los eigenvectores izquierdos y derechos para una estructura vibratoria desarrolladas en la referencia [7], esto con el fin de mostrar su significado e interpretación física. Para lo anterior, se usa un modelo de un sistema no amortiguado, el cual por su simplicidad permite expresar las ideas principales. Este modelo obedece la siguiente ecuación de movimiento:

84

𝑀(𝑡) + 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡) , 𝑥(𝑡),𝑓(𝑡)Є ℛ (6.10) Para el caso de un sistema no forzado 𝑓(𝑡) = 0 ,en el cual se considera una respuesta armónica 𝑥(𝑡) = 𝜙𝑘𝑒𝑖𝜔𝑘𝑡 , la ecuación (6.10) puede expresarse de la siguiente manera, después de premultiplicarla por M−1: (𝑀−1𝐾)𝜙𝑘 = 𝜔𝑘

2𝜙𝑘 𝑘 = 1 …𝑛 (6.11) donde 𝜙𝑘 es el k-ésimo eigenvector derecho y 𝜔𝑘

2 la k-ésima frecuencia natural elevada al cuadrado o eigenvalor. Los eigenvalores izquierdos aparecen en una construcción similar, sólo que a diferencia de la ecuación (6.11) se premultiplican por el producto (𝑀−1𝐾). 𝐼𝑘𝑇(𝑀−1𝐾) = 𝜔𝑘

2𝐼𝑘𝑇 (6.12) Los eigenvectores izquierdos y derechos están relacionados de la siguiente manera: 𝐼𝑘 = 𝑀𝜙𝑘 (6.13a) 𝐿𝑇 = 𝜙−1 (6.13b) donde: 𝐿 = [𝐼1 𝐼2 … 𝐼𝑛], 𝛷 = [𝜙1 𝜙2 … 𝜙𝑛], Los eigenvectores izquierdos y derechos son ortogonales uno con respecto al otro y estas relaciones de ortonormalidad pueden ser escritas como sigue:

𝐼𝑘𝑇𝜙𝑗 = 𝛿𝑘𝑗 = 1 𝑘 = 𝑗0 𝑘 ≠ 𝑗

(6.13c)

Sustituyendo la ecuación (6.13a) en (6.13c) se obtiene la relación de biortogonalidad entre los eigenvectores: 𝐼𝑘𝑇𝑀𝜙𝑗 = 𝛿𝑘𝑗 (6.13d) El j-ésimo eigenvector izquierdo es proporcional a la fuerza de inercia, 𝑓𝑗(𝑡) la cual es relacionada al j-ésimo modo de vibración: 𝑓𝑗(𝑡) = 𝑀(𝑡) = −𝜔𝑗2𝑀𝜙𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑗𝑡 = −𝜔𝑗2𝐼𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑗𝑡 (6.14a) Multiplicando la ecuación (6.11) por M, se obtienen los eigenvalores al resolver el siguiente problema de valores y vectores característicos: 𝐾𝜙𝑗 = 𝜔𝑗2𝑀𝜙𝑗 (6.14b)

85

La forma de la ecuación (6.14b) muestra que las fuerzas de inercia relacionadas a los j-ésimos eigenvectores derechos son proporcionales a las fuerzas potenciales elásticas (formas modales). Sustituyendo la ecuación (6.14b) en la ecuación (6.14a) se obtiene: 𝑓𝑗(𝑡) = −𝐾𝜙𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑗𝑡 = − 𝜔𝑗2𝐼𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑗𝑡 (6.14c) La ecuación anterior muestra que los eigenvectores izquierdos son proporcionales tanto a las fuerzas inerciales como a las fuerzas potenciales elásticas para una frecuencia natural en particular y por lo tanto representan relaciones de fuerza. Las relaciones de ortogonalidad en las ecuaciones (6.13c, 6.13d) se pueden describir en términos de trabajo mecánico, por ejemplo: las fuerzas de inercia y las fuerzas potenciales elásticas relacionadas con el k-ésimo modo no realizan trabajo mecánico en otros modos (ejemplo: en el j-ésimo modo, donde k≠j). Este punto es de suma importancia en algunas áreas como en modificación estructural, análisis modal y control dinámico de estructuras (ver apéndice A). 6.4 Metodología para la extracción de los eigenvectores izquierdos usando el método de Nordmann modificado Como se explicó en secciones anteriores, el método de Nordmann es un método experimental que consiste en excitar cada grado de liberad de un rotor y medir en los demás grados de libertad para formar la matriz de respuesta completa, renglones y columnas. Para este estudio, el método de Nordmann fue adaptado para extraer los eigenvectores izquierdos utilizando modelos de rotores usando elemento finito. El procedimiento consiste en utilizar la fuerza de desbalance como medio de excitación, la fuerza de desbalance es colocada en un nodo del rotor a la vez, y las mediciones son hechas en los nodos restantes. Con lo anterior, se realizaron análisis armónicos para extraer las respuestas del modelo, y después estructurar la matriz de respuesta completa del sistema de estudio. Una vez que se tiene la matriz de respuesta completa, basta una columna de la matriz para extraer las frecuencias y los eigenvectores derechos. Para extraer los eigenvectores izquierdos tomamos un renglón de la matriz de respuesta. La Fig. 6.3 muestra un esquema de las pruebas que se requieren para obtener una matriz de respuesta completa de un sistema giroscópico utilizando el método de Nordmann modificado. Por ejemplo, para medir un renglón completo de la matriz de respuesta basta medir en un punto y excitar por desbalance los grados de libertad restantes (flecha verde), uno a la vez y para tener una columna de la matriz de respuesta es necesario excitar por desbalance en un nodo y medir la respuesta en todos los grados de libertad incluyendo el GDL en el que se está excitando uno a la vez (flecha azul).

86

Fig. 6.3 Método de Nordmann modificado usando excitación por desbalance

Es importante mencionar que la matriz que se obtiene es una matriz de respuesta y no la matriz de FRFs, para obtener está última sería necesario dividir la respuesta entre la fuerza que se utilizó para excitar el sistema rotatorio y la cual se puede representar en los formatos de acelerancia, receptancia o movilidad. Aunque la matriz de respuesta es un caso particular de la FRF, la principal diferencia que existe es que la FRF está normalizada con respecto a la fuerza. El uso de la matriz de respuesta se sustenta en el hecho de que en ocasiones la fuerza de excitación es desconocida o como en este caso de desbalance sólo se conoce la fuerza en un punto o plano de balanceo y no la distribución completa de la fuerza de desbalance sobre todo el rotor. Para mostrar lo anterior, es utilizado un ejemplo numérico, el cual se presenta en la siguiente sección. 6.4.1 Caracterización modal de un rotor: ejemplo numérico Para presentar el proceso de caracterización modal de un rotor por desbalance se usará el método de elemento finito para modelar un rotor semirígido. La Fig. 6.4 muestra el rotor y su modelo de elemento finito.

a)

mm

mm

mm

mm mm mm

87

b)

Fig. 6.4. a) Dimensiones del rotor, b) Modelo de elemento finito [49]. El rotor tiene un eje rígido con dos discos rígidos y está montado en soportes flexibles amortiguados. Sus propiedades de muestran en la Tabla 6.1 [49]. Tabla 6.1. Propiedades de los soportes

Soporte Derecho Soporte Izquierdo

𝑘1 = 1 00 1.2 × 103

𝑁𝑚

𝑐1 = 1 00 1

𝑁. 𝑠𝑚

𝑘2 = 1 −0.7−0.5 1.2 × 103

𝑁𝑚

𝑐2 = 1 00 1

𝑁. 𝑠𝑚

En la Fig. 6.5 se muestra el esquema propuesto en este trabajo para caracterizar el rotor usando excitación por desbalance.

Fig.6.5. Esquema usado para la caracterización del rotor

88

Para este ejemplo numérico solamente se tomaron como referencia 4 nodos del conjunto finito de nodos del rotor para obtener una matriz de respuesta de 4x4 con 16 elementos internos. El procedimiento consiste en utilizar la fuerza de desbalance como medio de excitación, la fuerza de desbalance es colocada en un nodo del rotor a la vez y las mediciones son hechas en los nodos restantes. Con lo anterior, se realizan análisis armónicos para extraer las respuestas del modelo, y después estructurar la matriz de respuesta completa del sistema de estudio. Una vez que se tiene la matriz de respuesta completa, basta una columna de la matriz para extraer las frecuencias y los eigenvectores derechos. Para extraer los eigenvectores izquierdos se toma un renglón de la matriz de respuesta. En la Fig. 6.6 se muestra la forma en que se hacen las mediciones y se arma la matriz de respuesta.

Fig. 6.6. Proceso para armar una matriz de respuesta usando desbalance.

En la Fig. 6.7 se muestra el diagrama de respuesta usando excitación por desbalance. Respuesta medida excitando en el nodo 40 y medido en los nodos 1, 13, 27 y 40.

Fig. 6.7. Respuestas obtenidas del análisis armónico:

excitando en el nodo 40 y midiendo en los nodos 1, 13, 27, 40.

89

Para el rotor mostrado sólo se consideraron los primeros 3 modos de vibración. Las tablas 2, 3 y 4 muestran los resultados obtenidos para cada modo de vibración del rotor: eigenvalor, eigenvector derecho e izquierdo. Tabla 6.2. Eigenvalores y eigenvectores para el modo 1.

2.2932 Hz

Eige

nvec

tor

Der

echo

0.0228 +0.0038i 0.0230@ 9.4°

Eige

nvec

tor

Izqu

ierd

o -0.025 -0.043i 0.05 @ 59.23°

0.0153 + 0.0016i 0.0153@ 5.9° -0.054 - 0.062i 0.082@ 49° 0.0375 + 0.0080i 0.0383@12.04° -0.082 - 0.081i 0.1161@ 44° 0.0301 + 0.0059i 0.0306@11.09° -0.110 - 0.10i 0.1494@ 42°

Tabla 6.3. Eigenvalores y eigenvectores para el modo 2.

3.2546 Hz

Eige

nvec

tor

Der

echo

0.0518 +0.0004i 0.051@0.4°

Eige

nvec

tor

Izqu

ierd

o -0.007 -0.109i 0.109@ 86° 0.0667 +0.0009i 0.066@0.8° -0.002 -0.094i 0.094@ 88° 0.0215 + 0.0030i 0.021@ 8° 0.001 - 0.078i 0.078@-89° 0.0368+0.0017i 0.036@ 2.6° 0.028 + 0.039i 0.048@ 49°

Tabla 6.4. Eigenvalores y eigenvectores para el modo 3.

5.0374 Hz

Eige

nvec

tor

Der

echo

0.0669 +0.0084i 0.0674@7.2°

Eige

nvec

tor

Izqu

ierd

o -0.069 - 0.092i 0.0674@7.2° 0.1746+0.0053i 0.1746@ 1.7° -0.031 - 0.036i 0.1746@ 1.7° -0.1491-0.0354i 0.1532@ 13° 0.006 + 0.019i 0.1532@ 13° -0.0411-0.0220i 0.0466@ 28° 0.044 + 0.075i 0.0466@ 28°

La Fig. 6.8 muestra de forma gráfica los primeros 3 eigenvectores derechos o modos de vibración.

Fig. 6.8. Primeros tres modos de vibración del rotor: representación gráfica.

90

Observaciones

Los parámetros modales de un rotor o sistema giroscópico son funciones de la velocidad de rotación. Los trabajos existentes sobre la caracterización modal de rotores conducen a un modelo del rotor válido para una velocidad de rotación fija. Esto puede ser útil cuando se desea caracterizar el rotor en condiciones estables, por ejemplo a su velocidad nominal de operación. A diferencia de estos, el método que se presenta aquí permite conocer los parámetros modales de cada modo por separado, conforme el rotor va atravesando las velocidades críticas asociadas con cada uno. Aunque en el método propuesto no se obtiene un modelo completo del rotor a una velocidad específica, los parámetros obtenidos son importantes porque permiten determinar los parámetros de un modo de vibración en el intervalo de frecuencias en el que dicho modo predomina en la respuesta medida, lo cual favorece la exactitud de la identificación de dichos parámetros. Existen aplicaciones en las que es importante conocer el comportamiento del rotor para un intervalo de velocidades y no necesariamente para una velocidad fija. En particular, para aplicaciones prácticas como el balanceo modal de rotores el conocer los parámetros de cada uno de los modos cuando el rotor atraviesa las velocidades críticas asociadas con sus correspondientes frecuencias naturales esta exactitud en la caracterización de los modos podría conducir a un mejor cálculo de los arreglos modales de pesos para el balanceo. A partir de un modelo numérico de un rotor se pudo construir la matriz de respuesta o de FRFs del sistema analizado para después extraer los parámetros modales y así tener un arreglo modal completo. La ventaja de tener un arreglo modal completo es que a partir de relaciones con los modelos espaciales y de respuesta se puede exportar la información dinámica de un modelo a otro según sea la necesidad, utilidad o fines del sistema analizado.

91

Capítulo 7

Resultados y conclusiones

Las conclusiones contenidas en la presente sección se basan en los objetivos planteados en el capítulo 1. Adicionalmente a las observaciones que fueron mencionadas al final de cada sección, aquí se presentan las conclusiones generales derivadas de este trabajo. 1. Se desarrolló una metodología para determinar los parámetros modales de un sistema giroscópico utilizando fuerzas de desbalance. Para lo anterior:

- Se desarrollaron modelos de elemento finito usando el paquete comercial de elemento finito Ansys.

- Se extrajeron los parámetros modales de sistemas giroscópicos: eigenvectores derechos e izquierdos y eigenvalores.

- Se adaptó el método experimental de Nordmann para la extracción de eigenvectores izquierdos a modelos de elemento finito.

92

2. Se desarrollaron programas en Matlab para el cálculo de la respuesta de sistemas giroscópicos a fuerzas de desbalance. 3. Se caracterizaron los efectos de las fuerzas de desbalance sobre la respuesta dinámica de sistemas giroscópicos. 4. Se identificaron los parámetros modales de un sistema giroscópico usando su respuesta a una fuerza de excitación por desbalance. A partir de los cuatro puntos antes mencionados se obtuvieron las siguientes conclusiones Con respecto a la fuerza de desbalance como excitación se concluye lo siguiente:

- La fuerza de desbalance es una alternativa viable para la excitación de rotores en pruebas para la caracterización dinámica de sistemas giroscópicos ya que se encuentra presente de manera natural en todo sistema rotatorio. Además puede ser conocida la magnitud de la fuerza de desbalance al tener el control de la masa de desbalance la cual se coloca en los planos de balanceo de los rotores.

- Para sistemas giroscópicos con isotropía en los soportes la fuerza de desbalance sólo excita modos en precesión positiva. Lo anterior podría ser una desventaja, sin embargo la mayoría de los rotores tiene soportes con cierto grado de anisotropía lo cual implica que los modos de vibración no tengan precesión puramente positiva ni puramente negativa. Los modos de vibración se manifiestan como desplazamientos elípticos de la flecha en diferentes estaciones a lo largo del rotor. Estas órbitas tienes componentes de precesión tanto positiva como negativa y por tanto las fuerzas de desbalance pueden entonces excitar a estos modos.

- La excitación por desbalance es afectada por los momentos giroscópicos debido a las deflexiones angulares de la flecha de un rotor. Lo anterior se debe a que las fuerzas de desbalance pueden actuar en un plano oblicuo al eje de giro del rotor afectando la capacidad de dichas fuerzas para excitar los modos del rotor; la principal razón de esto es porque el desbalance se concentra principalmente en los elementos con altos momentos polares con inercia altos.

Con respecto al efecto de los momentos giroscópicos en el comportamiento de la respuesta:

- El efecto giroscópico provoca cambios en la rigidez aparente de los sistemas, afectando las frecuencias naturales y provocando el desplazamiento sobre el eje de frecuencia de las regiones de la curva de respuesta asociadas con las resonancias del sistema. Así también, las amplitudes de respuesta resonante cambian y/o aparecen resonancias ocasionado por el acoplamiento de los grados de libertad del sistema.

- Los efectos giroscópicos afectan la excitación por desbalance y por consiguiente

su respuesta y los parámetros modales, por tanto deben tomarse en cuenta en el

93

proceso inverso de balancear un rotor, el cual consiste en identificar dichas fuerzas a partir de mediciones de su respuesta.

- La magnitud del efecto giroscópico en la respuesta de un sistema rotatorio es

afectada directamente por las características de los soportes. Si los soportes son muy flexibles los momentos giroscópicos afectan principalmente los modos de vibración con frecuencias naturales más bajas. Para el caso contrario los efectos se presentan para los modos superiores.

- La razón de amortiguamiento en general también es afectada, ya que en la presencia de momentos giroscópicos tienden a cambiar con respecto a la velocidad de rotación provocando en algunos casos inestabilidad. El grado de amortiguamiento es importante en sistemas giroscópicos porque afectan principalmente los modos de precesión negativa, los cuales son más susceptibles a la atenuación o incluso el amortiguamiento puede provocar que este modo llegue a convertirse en un modo de precesión positiva. El efecto de los momentos giroscópicos depende de muchas de las características del sistema rotatorio, por ejemplo: las formas modales, las rigideces de los soportes y el amortiguamiento.

Con respecto a la extracción de los eigenvectores izquierdos de la respuesta del sistema:

- Se concluye que se puede emplear fuerza de desbalance como medio de excitación para extraer los parámetros modales de estructuras rotatorias o rotores usando modelos de respuesta.

- A partir de un modelo numérico de un rotor se puede construir la matriz de respuesta o de FRFs del sistema analizado para después extraer los parámetros modales y así tener un arreglo modal completo.

- Los resultados obtenidos con el método de caracterización modal presentado aquí son especialmente relevantes para casos en los que la identificación correcta de los parámetros modales a las velocidades críticas sea importante, como es el caso del balanceo modal de rotores.

94

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99

Apéndice A. Aplicaciones de ingeniería de los eigenvectores izquierdos Sea un modelo de un sistema no amortiguado, el cual por su simplicidad permite expresar las ideas principales, este modelo obedece la siguiente ecuación de movimiento: 𝑀(𝑡) + 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡) , 𝑥(𝑡),𝑓(𝑡)Є ℛ (A.1)

donde M, K son las matrices de masa y rigidez del sistema, 𝑥(𝑡) es el vector de respuesta, y 𝑓(𝑡) es una excitación externa. La solución para la ecuación (A.1) puede ser expresada usando expansión modal:

𝑥(𝑡) = (𝜙𝑘𝜙𝑘𝑇 1𝜔𝑘

𝑓(𝑡 − 𝜏) 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑘𝜏𝑑𝜏𝑡

0)

𝑛

𝑘=1

(A.2)

La interpretación de los eigenvectores izquierdos como fuerzas modales es usada para mostrar que cada eigenvector derecho puede ser selectivamente controlado mediante su correspondiente eigenvector izquierdo. En particular, se puede seleccionar un vector de fuerza paralelo a los eigenvectores izquierdos para afectar sólo un modo específico, por ejemplo: 𝑓(𝑡) = 𝛼(𝑡)𝐼𝑗 (A.3)

Sustituyendo la ecuación (A.3) en la ecuación (A.2) se obtiene:

𝑥(𝑡) = 𝜙𝑗( 1𝜔𝑗 𝛼(𝑡 − 𝜏) 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑘𝜏𝑑𝜏)𝑡

0 (A.4)

La ecuación anterior puede ser usada para el control de un conjunto seleccionado de modos en un rango de frecuencia deseado. Lo anterior es conocido como control modal. Ahora se tratará el área de modificaciones estructurales. En tales aplicaciones, las modificaciones de masa y rigidez son realizadas para obtener propiedades dinámicas deseables. Se puede reescribir la ecuación de movimiento para aplicar modificaciones de masa y rigidez. Las modificaciones estructurales son en forma de matrices de incremento 𝛥𝑀,𝛥𝐾 y la ecuación para una estructura modificada se expresa de la siguiente manera:

100

(𝑀 + 𝛥𝑀)(𝑡) + (𝐾 + 𝛥𝐾)𝑥(𝑡) = 0 (A.5) definiendo: 𝑓(𝑡) = −(𝛥𝑀(𝑡) + 𝛥𝐾𝑥(𝑡)) (A.6)

La ecuación (A.5) es equivalente a la ecuación (A.1), y la modificación estructural puede ser tratada en forma similar a una excitación externa. En este caso las fuerzas que actúan en la estructura son las fuerzas de inercia de la masa y las fuerzas potenciales de la rigidez añadida. En modificaciones estructurales es deseado el control selectivo de los eigenvectores derechos y frecuencias naturales. Se puede mostrar que un eigenvector derecho específico 𝜙j y su frecuencia natural relacionada ωj pueden ser selectivamente modificados requiriendo: 𝛥𝑀(𝑡) + 𝛥𝐾𝑥(𝑡) ⊂ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝐼𝑗 (A.7)

La ecuación (A.7) es simplificada cuando la respuesta 𝑥(𝑡) es una combinación lineal de m modos medidos. En este caso el resultado de las pruebas experimentales pueden ser usadas para remplazar la ecuación (A.7) por: −𝜔𝑗2𝛥𝑀 + 𝛥𝐾𝑥𝜙𝑖 ⊂ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝐼𝑗 (A.8)

La ecuación (A.8) puede se generalizada para la modificación de algunos eigenvectores derechos y puede ser interpretado como sigue: se obliga a las fuerzas de inercia y potencial afectar modos específicos solamente, dejando los otros modos sin ser afectados. Para esta aplicación el usar los eigenvectores izquierdos permite eliminar alguna influencia de la truncación modal y proveer el control deseado o la modificación exacta de los sistemas dinámicos [9]. En el campo análisis modal dado los eigenvalores y eigenvectores se puede formar la descomposición modal de la respuesta de un sistema. Esto permite transformar el sistema en un conjunto desacoplado de coordenadas donde los eigenvectores izquierdos y derechos están siendo usados. Así, la FRF puede ser expresada como:

𝐻𝑝 = 𝑎𝑟𝜓𝑟𝜙𝑟𝑇

𝑖𝜔 − 𝜆𝑟+𝑎𝑟𝜓𝑟𝜙𝑟𝑇

𝑖𝜔 − 𝑟

𝑛

𝑟=1 (A.9)

La ecuación (A.9) relaciona los eigenvectores derechos e izquierdos 𝜓𝑟 y 𝜙r y la representación gráfica se muestra en la figura A.1, en el lado izquierdo la respuesta y en el lado derecho la descomposición modal. El obtener la descomposición modal de un sistema tiene muchos beneficios como en la extracción de parámetros modal o balanceo modal [1].

101

Fig. A.1. Descomposición modal de la respuesta de un sistema

B. Banco Experimental y Calibración del Modelo FEM La Fig. B.1 muestra el banco experimental que se diseñó para realizar las pruebas para la caracterización dinámica. Éste consiste de un rotor con un disco de inercia a cada lado, el rotor se encuentra montado sobre un soporte construido con vigas flexibles lo que permite tener control sobre la rigidez en cada una de las direcciones mediante el ajuste de la longitud de las vigas.

Fig. B.1. Rotor experimental y su instrumentación.

El objetivo es obtener los eigenvectores izquierdos de forma experimental tomando como referencia el modelo numérico desarrollado para este mismo propósito. Para lo anterior se tiene el siguiente esquema mostrado en la Fig. B2. El esquema consiste de: desarrollo del modelo numérico del rotor, análisis modal experimental, calibración del modelo numérico, extracción de los eigenvectores izquierdos con la técnica desarrollada y la validación con los eigenvectores izquierdos obtenidos de forma experimental en el banco.

102

Fig. B.2. Esquema del proceso de calibración del rotor experimental.

B.1 Calibración de modelos Fem En la Fig. B.3 se muestra en un cuadro sinóptico el proceso para la calibración de los modelos de elemento finito usados para extraer los parámetros modales del rotor experimental.

Fig. B.3. Proceso de calibración del rotor experimental.

El proceso consta de dos etapas: la primera se calibra la flecha del rotor y la segunda se calibra el rotor completo (disco-flechas).

Primera Etapa En la primera etapa se calibra la flecha del rotor usando análisis modal experimental para el ajuste de las propiedades del rotor. Estás propiedades son la dimensiones, elementos de inercia, masas nodales, la rigidez y amortiguamiento. La Fig. B.4 muestra el modelo discreto del rotor, el cual tiene una condición de soporte libre-libre.

103

Fig. B.4. Modelo discreto de la flecha del rotor.

El análisis modal experimental se muestra en la Fig. B5, La condición de soporte es igual a la del modelo discreto libre-libre, esta condición es lograda a través de ligas muy flexibles. En las pruebas modales se utilizó martillo de imparto para obtener las FRFs del rotor y extraer de ellas las frecuencias naturales y formas modales.

Fig. B.5. Arreglo libre-libre para las pruebas experimentales (primera etapa).

En la Fig. B.6 se muestra la respuesta del rotor a la fuerza de impulso proveniente del martillo expresada en tiempo y en frecuencia.

Fig. B.6. Respuesta al impulso obtenida en la prueba experimental (primera etapa).

En la Tabla B.1 se presentan los resultados de las modificaciones hechas al modelo a partir de las pruebas experimentales. Además, se muestran las condiciones iniciales y finales de la calibración. Los resultados se presentan para el primer modo de vibración.

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Tabla B.1. Calibración del primer modo de vibración de la flecha del rotor.

Segunda Etapa En esta etapa se calibra la flecha del rotor completo (disco-flecha), al igual que en la primera etapa, se usa análisis modal experimental para el ajuste de las propiedades del rotor. La Fig. B.7 muestra el modelo discreto del rotor, el cual tiene una condición de soporte libre-libre.

Fig. B.7 Modelo discreto del rotor completo (disco-flecha).

El análisis modal experimental se muestra en la Fig. B.8. La condición de soporte es igual que la del modelo discreto libre-libre, esta condición es lograda a través de ligas muy flexibles. En las pruebas modales se utilizó martillo de imparto para obtener las FRFs del rotor y extraer de ellas las frecuencias naturales y formas modales.

Fig. B.8 Arreglo libre-libre para las pruebas experimentales (segunda etapa).

En la Fig. B.9 se muestra la respuesta del rotor a la fuerza de impulso proveniente del martillo expresada en tiempo y en frecuencia.

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Fig. B.9. Respuesta al impulso obtenida en la prueba experimental (segunda etapa).

En la Tabla B.2 se presentan los resultados de las modificaciones hechas al modelo a partir de las pruebas experimentales. Además, se muestran las condiciones iniciales y finales de la calibración. Los resultados se presentan para el primer modo de vibración.

Tabla B.2. Calibración del primer modo de vibración del rotor completo.