CAPITULO 5 PROCEDIMIENTOS TOPOGRAFICOS 5.Procedimientos topogrficos 5.1.Poligonales 5.1.1.Clculo y compensacin de poligonales 5.1.1.1.Clculoycompensacindelerrordecierre angular 5.1.1.2.Ley de propagacin de los acimutes 5.1.1.3.Clculo de las proyecciones de los lados 5.1.1.4.Clculo del error de cierre lineal 5.1.1.5.Compensacin del error lineal 5.1.1.5.1.Mtodo de la brjula 5.1.1.6.Clculo de las coordenadas de los vrtices 5.2. Triangulacin 5.2.1.Consistencia de los tringulos 5.2.2.Compensacin de tringulos 5.2.2.1.Compensacin de una red de tringulos 5.2.2.1.1.Condicin angular 5.2.2.1.2 Condicin de lado 5.2.2.2Compensacin de un cuadriltero 5.2.2.2.1Condicin angular 5.2.2.2.2Condicin de lado Problemas propuestos 5-1 5-1 5-3 5-4 5-5 5-7 5-8 5-10 5-10 5-11 5-20 5-22 5-22 5-22 5-22 5-22 5-25 5-25 5-25 5-29 Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-1 5.PROCEDIMIENTOS TOPOGRFICOS Es difcil imaginar un proyecto de ingeniera, por sencillo que este sea, en el que no se tenga que recurrir a la topografa en todas y cada una de sus fases. Enlafigura5.1,seobserva,enformaesquemtica,larelacinqueexisteentrelatopografay otras disciplinas de la ingeniera. En la figura 5.2 se puede apreciar la participacin de los procesos topogrficos a lo largo de las distintasfasesdeunproyecto,desdelarecoleccindeinformacinyproduccindeinformes preliminaresenlafasedeplanificacin,hastaelcontroldeoperacionesyplanificacinde mantenimiento en la fase de operacin. Figura 5.1. Relacin de la topografa con otras disciplinas 5.1.Poligonales Lapoligonacinesunodelosprocedimientostopogrficosmscomunes.Laspoligonalesse usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles y elaboracin de planos, para el replanteo de proyectos y para el control de ejecucin de obras. Unapoligonalesunasucesindelneasquebradas,conectadasentresenlosvrtices.Para determinarlaposicindelosvrticesdeunapoligonalenunsistemadecoordenadas rectangularesplanas,esnecesariomedirelngulohorizontalencadaunodelosvrticesyla distancia horizontal entre vrtices consecutivos. Topografa OtrosDeslindesProblemas legalesArqueologa, etc.Urbanismo y planificacinDesarrollos urbansticosDesarrollos tursticosDesarrollos comerciales TransporteCarreteras, calles, autopistasAeropuertos, Puertos, ferrocarriles.Derecho de viaConstruccinCantidades de obraReplanteosControl de desformacionesControl de obrasMov. de tierrasHidrulicaDragado y canalizacin de riosSistemas de riego y drenajeConstruccin de represasExpropiacionesControl de inundacionesElectricaTendido de redesConstruccin de torresExpropiacionesServidumbres Geologa y mineriaUbicacin de formacionesUbicacin y orientacin de fallas y estratos.Inventarios y cont. de cantidadesLeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-2 Figura 5.2. Participacin de los procesos topogrficos en las distintas fases de un proyecto FASESPLANIFICACIONDISEOCONSTRUCCIONOPERACIONTOMA DE DATOS PRODUCCION DE INFORMESY DATOS DE PROYECTOELABORACION Y PROCESAMIENTO DE LA BASE DE DATOSRECOLECCION DE INF. EXISTENTELEVANTAMIENTO TOPOGRAFICOCRITERIOS DE DISEODISEOS PRELIMINARESDISEOS FINALESESQUEMAS DE DISEODATOS DE DISEOINSPECCION Y CONTROL DE OBRASMODIFICACIONES AL DISEOACTUALIZACION DE LA TOPOGRAFIAPROYECTO CONSTRUIDOINVENTARIO DE CONDICIONES ASENTAMIENTOS etc.CONT. DESFORMACIONESCONTROL DE OPERACIONESDE OPERACIONDIBUJO PRELIMINARESQUEMAS DE DISEOMAPAS TOPOGRAFICOSDIBUJOS DE DISEODERECHO DE VIAESTIMADO CANTIDADES CONTROL DE DOCUMENTOS PLANOS DE REPLANTEOPLANIFICACION DE PLANOS DE INVENTARIOREPORTES DE OPERACIONDE OBRAESPECIFICACIONES DE CONSTRUCCIONDE CONSTRUCCIONCANTIDADES DE OBRAACTUALIZACION DE PLANOSMANT. Y OPERACIONPLANIFICADORTOPOGRAFOPROYECTISTACONSTRUCTORINSPECTOROPERADORLeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-3 En forma general, las poligonales pueden ser clasificadas en: Poligonalescerradas(figura5.3.a),enlascualeselpuntodeinicioeselmismopuntode cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal. Poligonales abiertas o de enlace con control de cierre (figura 5.3.b), en las que se conocen lascoordenadasdelospuntosinicialyfinal,ylaorientacindelasalineacionesinicialy final, siendo tambin posible efectuar los controles de cierre angular y lineal. Poligonalesabiertassincontrol(figura5.3.c),enlascualesnoesposibleestablecerlos controles de cierre, ya que no se conocen las coordenadas del punto inicial y/o final, o no se conoce la orientacin de la alineacin inicial y/o final. Figura 5.3.Diferentes tipos de poligonales 5.1.1.Clculo y Compensacin de Poligonales La solucin de una poligonal consiste en el clculo de las coordenadas rectangulares de cada uno de los vrtices o estaciones. En poligonales cerradas y en poligonales abiertas de enlace con control, se realizan las siguientes operaciones: 1.Clculo y compensacin del error de cierre angular. 2.Clculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagacin de los acimutes). 3.Clculo de las proyecciones de los lados. 4.Clculo del error de cierre lineal. 5.Compensacin del error lineal. 6.Clculo de las coordenadas de los vrtices. Enpoligonalesabiertassincontrol,solamenteserealizanlospasos2,3y6yaquenoexiste control angular ni lineal. BCDEACB2AD312 3 A12B123C1Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-4 5.1.1.1.Clculo y compensacin del error de cierre angular En una poligonal cerrada se debe cumplir que la suma de los ngulos internos debe ser _ = Z 180 ) 2 ( int n (5.1) en donde: n = nmero de lados Comoseestablecipreviamenteenelcaptulo4,lamedicindelosngulosdeunapoligonal estarafectadaporlosinevitableserroresinstrumentalesyoperacionales,porloqueelerror angular vendr dado por la diferencia entre el valor medido y el valor terico. _ Z = 180 ) 2 ( int n Ea (5.2) Sedebeverificarqueelerrorangularseamenorquelatoleranciaangular,generalmente especificadaporlasnormasytrminosdereferenciadependiendodeltrabajoarealizaryla apreciacin del instrumento a utilizar, recomendndose los siguientes valores. Poligonales principalesn a Ta =Poligonales secundariasa n a Ta + = en donde Ta = tolerancia angular a = apreciacin del instrumento. Sielerrorangularesmayorquelatoleranciapermitida,sedebeprocederamedirdenuevolos ngulos de la poligonal. Si el error angular es menor que la tolerancia angular, se procede a la correccin de los ngulos, repartiendo por igual el error entre todos los ngulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud del ngulo medido. nEaCa = (5.3) En poligonales abiertas con control, el error angular viene dado por la diferencia entre el acimut final, calculado a partir del acimut inicial conocido y de los ngulos medidos en los vrtices (ver 5.1.1.2.ley de propagacin de los acimutes), y el acimut final conocido. f cf Ea = (5.4) en donde: Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-5 BAB11112Ea= Error angular fc = acimut final calculado f = acimut final conocido Aligualqueenpoligonalescerradas,secomparaelerrorconlatoleranciaangular.De verificarse la condicin, se procede a la correccin angular, repartiendo el error en partes iguales entre los ngulos medidos. Lacorreccintambinsepuedeefectuarsobrelosacimutes,aplicandounacorreccin acumulativa,(mltiplodelacorreccinangular),apartirdelprimerngulomedido.Enotras palabras,elprimeracimutsecorrigeconCa,elsegundocon2Cayassucesivamente,hastael ltimo acimut que se corrige con nCa. 5.1.1.2.Ley de propagacin de los acimutes Los acimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un acimut conocido y de los ngulos medidos, aplicando la ley de propagacin de los acimutes, la cual se puede deducir de la figura 5.3.b. Supongamosqueenlafigura5.3.b,setienencomodatoselacimutABylosngulosenlos vrtices y se desea calcular los acimutes de las alineaciones restantes, para lo cual procedemos de la siguiente manera: El acimut B1 ser B1 = AB - AB siendo AB = 180 - o luego B1 = AB + o - 180 El acimut 12 ser 12 = B1 + A1

siendo A1 = Z 1 180 luego 12 = B1 + Z 1 180 Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-6 Siaplicamoselmismoprocedimientosobrecadaunodelosvrticesrestantes,podremos generalizar el clculo de los acimutes segn la siguiente ecuacin: 1801 Z + =vrticei i (5.5) en donde: i = acimut del lado i-1 = acimut anterior Los criterios para la utilizacin de la ecuacin (5.5) son los siguientes: Si (i-1 + Z vrtice) < 180 se suma 180 Si (i-1 + Z vrtice) > 180 se resta 180 Si (i-1 + Z vrtice) > 540 se resta 540 ya que ningn acimut puede ser mayor de 360 Ejemplo 5.1 Conocido el acimut A1 y los ngulos en los vrtices de la figura E5-1, calcule los acimutes de las alineaciones restantes. Figura E5-1 Solucin Aplicando la ecuacin (5.5) tenemos: Acimut de la alineacin 1-2 12 = (1253012 + 1001830) 180 A123BN=12530'12"12040'32"21025'30"10018'30"Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-7 como (1253012 + 1001830) = 2254842 > 180 12 = 2254842 180 = 454842 12 = 454842 Acimut de la alineacin 2-3 2-3 = (454842 + 1204032) 180 como (454842 + 1204032) = 1662914 < 180 23 = 1662914 + 180 = 3462914 23 = 3462914 Acimut de la alineacin 3-B 3B = (3462914 + 2102530) 180 como (3462914 + 2102530) = 5565444 > 540 3B = 5565444 540 = 165444 3B = 165444 5.1.1.3.Clculo de las proyecciones de los lados Elclculodelasproyeccionesdelosladosdeunapoligonalseestudienelcaptulo1.1.3, correspondiente a las relaciones entre los sistemas de coordenadas polares y rectangulares. Recordemosquelasproyeccionesdelosladosdeunapoligonalsecalculanenfuncindelos acimutesylasdistanciasdelosladosaplicandolasecuaciones(1-3)y(1-4),lascualesse reproducen a continuacin: AN1-2 = D1-2 x cos12(1-3) AE1-2 = D1-2 x sen12(1-4) En la figura 5-4 se representan grficamente las proyecciones de una poligonal cerrada. Figura 5-4.Representacin de las proyecciones de los lados de una poligonal +AEBC+AABEACDE ADAEBC+AN+ANCDANDAANABABCDNELeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-8 5.1.1.4.Clculo del error de cierre lineal En una poligonal cerrada la suma de los proyecciones sobre el eje norte-sur debe ser igual a cero.De igual manera, la suma de las proyecciones sobre el eje este-oeste debe ser igual a cero (figura 5.4). Debidoalosinevitableserroresinstrumentalesyoperacionalespresentesenlamedicinde distancias,lacondicinlinealmencionadanuncasecumple,obtenindosedeestamanerael error de cierre lineal representado en la figura 5.5. Figura 5-5 Error de cierre lineal en poligonales cerradas Enlafigura5.5.,elpuntoArepresentalaposicindelpuntoAunavezcalculadaslas proyecciones con las distancias medidas.Ntese que para que se cumpla la condicin lineal de cierre, el punto A debera coincidir con el punto A. Si hacemos suma de proyecciones a lo largo del eje norte-sur tendremos, S NNEA = A c (5.6) de igual manera, sumando proyecciones sobre el eje este-oeste, tenemos 0 EA = AEE c(5.7) el error lineal vendr dado por 2 2E N L A + A = c c c(5.8) En el caso de una poligonal abierta, con control, como la mostrada en la figura 5.6, la suma de las proyeccionessobreelejenorte-surdebeserigualaladiferenciaentrelascoordenadasnortede los puntos de control inicial y final (ANBC), y la suma de las proyecciones sobre el eje este-oeste debeserigualaladiferenciaentrelascoordenadasestedelospuntosdecontrolinicialyfinal (AEBC); por lo tanto,el error sobre las proyecciones puede ser calculado +AEBC+AABEACDE ADA'EBC+AN+ANCDANDA'ANABABCDNEA'N cADAEDA'A'ADA'NAcLDetalleVer detalleE cALeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-9 Figura 5-6. Poligonal abierta con control N S BCN N cA = EA A(5.9) E O BCE E cA = EA A (5.10) y el error lineal se puede calcular aplicando la ecuacin (5.8). Unavezcalculadoelerrorlineal,sedebeverificarquesteseamenoralatolerancialineal, (generalmente especificada por normas de acuerdo al tipo de importancia del trabajo, condiciones topogrficas y precisin de los instrumentos de medida). Enalgunoscasos,latolerancialineal se relaciona con la precisin obtenida en el levantamiento definido por la siguiente ecuacin. LLPE=c (5.11) en donde: P = precisin de la poligonalEL = suma de los lados de la poligonal en m El error relativo n, generalmente expresado en trminos 1:n, viene dado por el inverso de P. n = 1/P(5.12) Latabla5.1,adaptadadeTorresyVillate1,nospuedeservircomoguaparalaseleccindela tolerancia lineal en funcin del error relativo.

1 Torres A. y Villate E. (1968) Topografa. Colombia: Editorial Norma. p. 81. BADCEB1B1E2CEB1N 12N 2CN12BCENBCC'ENC'ENC2C2N2CELVer detalleDetallePCIPCFPCI=Punto de control inicialPCF=Punto de control finalNELeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-10 Tabla 5.1. Valores guas de tolerancia lineal en funcin de n Tolerancia linealTipo de levantamiento 1:800Levantamientodeterrenosaccidentados,depocovalor, levantamientos de reconocimiento, colonizaciones, etc. 1:1.000 a 1:1.500Levantamientosdeterrenodepocovalorportaquimetracondoble lectura a la mira 1:1.500 a 1:2.500Levantamiento de terrenos agrcolas de valor medio, con cinta. 1:2.500 a 1:5.000Levantamientosurbanosyrurales,demedianoaaltovalor,usode distancimetros electrnicos 1:10.000 ~Levantamientos geodsicos Algunasespecificacionesempleadasenelestudiodecarreteras2establecenlatolerancialineal segn las siguientes expresiones Terreno llano L TL E = 015 , 0 (5.13) Terreno onduladoL TL E = 025 , 0 (5.14) Sielerrorlinealesmayorquelatolerancialineal,esnecesariocomprobarencampolas distancias; en caso de verificarse que el error lineal sea menor que la tolerancia, se procede a la correccin linealsiguiendo un mtodo de compensacin adecuado. 5.1.1.5.Compensacin del error lineal El mtodo adecuado para la compensacin del error lineal depende de la precisin lograda por los instrumentos y procedimientos empleados en la medicin. Al presente, se han desarrollado diferentes mtodos de compensacin:el mtodo de la brjula, el deltrnsito,eldeCrandall,eldelosmnimoscuadrados,etc.;basadostodosendiferentes hiptesis. Recientemente,laevolucindelatecnologaempleadaenlafabricacindeinstrumentosha igualadolaprecisinobtenidaenlamedicindedistanciasconlaprecisinobtenidaenla medicinangular,loquehacealmtododelabrjulaelmtodomsadecuadoparala compensacindelerrorlineal,nosloporasumirestacondicinsinoporlasencillezdelos clculos involucrados. 5.1.1.5.1.Mtodo de la brjula Este mtodo, propuesto por Nathaniel Bowditch alrededor de 1800, es el mtodo ms utilizado en los trabajos normales de topografa.

2 Ministerio de Obras Pblicas.Especificaciones Generales para el Estudio de Carreteras con Poligonal de Precisin, Caracas. (citado por Carciente Jacob en Carreteras Estudio y Proyecto, 1980. P.89). Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-11 El mtodo asume que: Los ngulos y las distancias son medidos con igual precisin El error ocurre en proporcin directa a la distancia Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados Matemticamente tenemos, -CpNi : Li = cAN : ELi -CpEi : Li = cAE : ELi en donde, NCpNi LiLicA | |= |E\ . (5.15) iECpE LiLicA | |= |E\ . (5.16) siendo: CpNi = correccin parcial sobre la proyeccin norte-sur del lado i CpEi =correccin parcial sobre la proyeccin este-oeste del lado i Li = longitud del lado i El signo negativo es debido a que la correccin es de signo contrario al error 5.1.1.6.Clculo de las coordenadas de los vrtices Una vez compensadas las proyecciones, se procede al clculode las coordenadas de los vrtices de la poligonal. Haciendoreferenciaalafigura5.6,lascoordenadasdelpunto1,calculadasenfuncindelas coordenadas del punto B, se obtienen de la siguiente manera N1 = NB + ANB1 E1 = EB +AEB1 y las coordenadas de 2, calculadas a partir de 1, N2 = N1 - AN12 E2 = E1 + AE12 y en forma general Ni = Ni-1 ANi-1:i(5.17) Ei = Ei-1 AEi-1:i (5.18) Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-12 AB CDE =11313'24"El signo de la proyeccin depende de la direccin de la misma Ejemplo 5-2 Siguiendoelprocedimientodeclculodepoligonalesdescrito,calculelascoordenadasdelos vrtices de la poligonal de la figura E5-2. PuntoZ HorizontalDist. A865620 38,20 B1620010 53,40 C1192514 96,20 D744934 102,75 E964832 104,20 Figura E5-2 Coordenadas de A A (1.040,82; 1.340,16) Teodolito Wild T1-A con Ap = 20 Solucin Aunqueescostumbrecalcularlaspoligonalesenformatabulada,esteprimerejemplolo trabajaremos siguiendo paso a paso el procedimiento indicado. Clculo y compensacin del error angular Tabla. TE5.2.1 Correccin Angular Est.Z medidoCaZ Corr. A865620+2865622 B1620010+21620012 C1192514+21192516 D744934+2744936 E964832+2964834 E5395950+105395960 Aplicandolacondicingeomtricadelaecuacin5.2paraunapoligonalcerradade5lados tenemos, ca = (5395950) (5 2) x 180 ca = (5395950) 540 ca = -10 Tolerancia angular " 45 5 " 20 ~ = TaLeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-13 Como ca < Ta procedemos a distribuir el error en partes iguales a cada uno de los ngulos. Ca = -(10)/5 = 2 por vrtice Las correcciones parciales y los ngulos corregidos aparecen en la tabla TE5.2-1. Con los ngulos corregidos procedemos al clculo de los acimutes de los lados. Tabla TE5.2.2 Est. Z Corregido Acimut Z + Acimut Signo A865622 1131324 B16200122751326> 180 951336 C11925162143852> 180 343852 D7449361092828< 180 2892828 E9648343862839> 180 2061702 A8656222932501>180 Control 1131324 LatablaTE5.2.2secalculaporaplicacindelaleydepropagacindelosacimutes,dela siguiente manera:Sumamos el acimut conocido AB =1131324con el ngulo en B Z B =1620012 2751326 Como AB + Z B> 180 -1800000 BC =951336 Colocamos este valor en la columna correspondiente a acimutes entre las filas B y C. Procedemosdelamismamaneraparalosladosrestantesdelapoligonalincluyendo,como control, el clculo del acimut inicial. En la tabla TE5.2.2 se ha incluido, de manera ilustrativa, una columna para la suma del ngulo y elacimutyunacolumnaparaelcontroldelsignodelaecuacin(5.5).Estascolumnasnoson necesarias ya que comnmente estos pasos se hacen en una sola operacin. El clculo y compensacin de las proyecciones de los lados y de las coordenadas de los vrtices se realiza en la forma que se muestra en la tabla TE5.2.3. Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-14 Tabla TE5.2.3 1234567891011 Proyecciones ANAECorrecciones ProyeccionescorregidasCoord. PuntoAcimutDis. D cos Dsen CpNCpEANAENorteEste A1.040,82 1.340,16113132438,20-15,0635,10-0,01+0,00-15,0735,10 B1.025,75 1.375,2695133653,40-4,8653,18-0,01+0,01-4,8753,19 C1.020,88 1.428,4534385296,2079,1454,69-0,01+0,0179,1354,70 D1.100,01 1.483,152892828102,7534,26-96,87-0,01+0,0134,25-96,86 E1.134,26 1.386,292061702104,20-93,43-46,14-0,01+0,01-93,44-46,13 A1.040,82 1.340,16394,75+0,05-0,04-0,05+0,040,000,00E cL 0,06 Area = 9.669,19 m2 EnlatablaTE5.2.3,lacolumna1correspondealaidentificacindelvrticeoestacindela poligonal.La columna 2, a los valores de los acimutes corregidos.La columna 3, a las distancias de los lados. Las columnas 4 y 5, corresponden a las proyecciones norte y este, calculadas con las ecuaciones (1.3) y (1.4), respectivamente. La suma de las proyecciones norte, columna 4, corresponde al cAN = + 0,05.De igual manera, el error cAE = -0,04 resulta de la suma de las proyecciones este, columna 5. Chequeo de la tolerancia lineal ( ) ( ) m L 06 , 0 04 , 0 05 , 02 2= + = c 0001520 , 075 , 39406 , 0= = P 579 . 6 : 11= =Pn m L TL 30 , 0 015 , 0 = = c TL > cL procederemos a la compensacin de las proyecciones Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-15 Compensacin de proyecciones Lascolumnas6y7,correspondientesalascorreccionesdelasproyecciones,secalculan mediante la aplicacin de las ecuaciones (5.15) y (5.16). 0, 05394, 75i iCpN L (= ( 0, 04394, 75i iCpE L(= ( Como chequeo, la suma de las correcciones de la columna 6 debe ser igual a -cAN y la suma de las correcciones de la columna 7 debe ser igual a -cAE. La columna 8 resulta de la suma de las columnas 4 y 6 y la columna 9 de la suma de las columnas 5 y 7. Comochequeo,lasumadelasproyeccionesnorte,columna8,debesercero,ylasumadelas proyecciones este, columna 9, debe ser cero. Lascoordenadasnorteyeste,columnas10y11,secalculansumando,enformasecuencial,las proyecciones corregidas a las coordenadas del punto anterior. Porltimo,encasodesernecesario,secalculaelreadelapoligonalcerradamediantela aplicacin de la ecuacin (1.14), seccin 1.1.6.2. LatablaTE5.2.4muestralaformausualdeordenarlosdatosdecampoyelprocedimientode clculo de poligonales. Leonardo Casanova M. Procedimientos Topogrficos 5-16 Tabla E5.2.4 Clculo de poligonal cerrada Ubicacin:_______________________________ Fecha:__________________ Equipo: Wild T1-A; cinta acero Origen de Coordenadas Levantado por:___________________________ Revisado: _______________ Punto A: (1.040,82; 1.340,16) AB: 1131324 Calculado por:___________________________ Proyecciones AN AE Correcciones Proyecciones corregidas Coordenadas Est. Z Medido Ca Z Corregido Acimut Dist. Dcos Dsen CpN CpE AN AE Norte Este A 865620 +2 865622 1.040,82 1.340,16 113132438,20 -15,06 35,10 -0,01 0,00 -15,07 35,10 B 1620010 +2 1620012 1.025,75 1.375,26 951336 53,40 -4,86 53,18 -0,01 +0,01 -4,87 53,19 C 1192514 +2 1192516 1.020,88 1.428,45 343852 96,20 79,14 54,69 -0,01 +0,01 79,13 54,70 D 744934 +2 744936 1.100,01 1.483,15 2892828102,7534,26 -96,87 -0,01 +0,01 34,25 -96,86 E 964832 +2 964834 1.134,26 1.386,29 2061702104,20-93.43 -46,14 -0,01 +0,01 -93,44 -46,13 A 1.040,82 1.340,16 E 5395950 +10 394,75+0,05 -0,04 -0,05 +0,04 0,00 0,00 Area = 9.669,19 m2 cAN = +0,05 ca = -10 cAE = -0,04 "455"20~=Ta cL = 0,06 Ca = -ca/n = +02 cr = 1:6.579 30,075,394015,0==TL Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-17 Ejemplo 5-3 Calcule las coordenadas de los vrtices de la poligonal de enlace mostrada en la figura E5-3 AB = 2181632 CD = 3093951 PuntoNorteEste B5.013,96915.357,378 C6.045,45218.010,088 PuntoZ horiz..Dist. B523215 728,453 11221647 625,348 22252143 680,745 32151626 420,331 41101307 765,358 C854231 Figura E5-3 Wild T1-A (AP = 20) Dist. Electrnico Solucin Como el procedimiento de clculo de una poligonal abierta es similar al realizado en el clculo de poligonalescerradas,esteejemploseresolverenlaformausual,talycomosemuestraenla tabla TE5-3. En la tabla TE5.3 se han remarcado los datos de campo y los valores conocidos. La columna 1 se utiliza para identificar el vrtice de la estacin, anotando al lado, en la columna 2, el valor del ngulo horizontal medido en campo.En la columna 3 se anotan las distancias de campo. En la columna 4 anotamos los acimutes conocidos, y por medio de la ley de propagacin de acimutes, calculamoslos acimutes de las alineaciones restantes.Ntese que el acimut CD es unacimutconocido,porloquedebecoincidirconelacimutcalculadoconlosdatosdecampo.La diferencia entre el acimut calculado y el conocido nos proporciona el error angular (ecuacin 5.4). ca = (3093921 3093951) = - 00030 Ca = - ca/6 = +05 728,453625,348680,745420,331765,358|1234CDABNNCD=30939'51"AB21816'32" Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-18 Lacorreccinangularsepuedeaplicardirectamentealosngulosmedidoso,paranovolvera calcularlosacimutes,aplicamoslacorreccin,enformaacumulativa(columna5)sobrelos acimutes calculados para obtener los acimutes corregidos (columna 6). Lascolumnas7y8,correspondientesalasproyeccionesnorteyeste,secalculanaplicandolas ecuaciones 1.3 y 1.4, respectivamente. La suma de las proyecciones norte (columna 7), correspondiente a la proyeccin norte entre B y C,debecoincidirconlaproyeccinnorteconocidaentreByC(NCNB).Ladiferenciaentre ambos valores nos proporciona el cAN. De igual manera se procede para las proyecciones este. cAN = (1.031,532 1.031,483) = + 0,049 m cAE = (2.652,826 2.652,710) = + 0,116 m El error y la tolerancia lineal sern, 2 20, 049 0,116 0,126 L m c = + = m TL 851 , 0 235 , 220 . 3 015 , 0 = = siendolatoleranciamayorqueelerrorlineal,procedemosalacorreccindelasproyecciones (columnas 9 y 10) aplicando las ecuaciones (5.15) y (5.16).Como control de clculo, la suma de CpN (columna 9) debe ser igual a -eAN y la suma de CpE (columna 10) debe ser igual a -eAE. Las proyecciones corregidas Norte (columna 11) se obtienen sumando las columnas 7 y 9, y las proyeccionescorregidasEste(columna12)seobtienensumandolascolumnas8y10.Como control,lasumadelasproyeccionesnortecorregidasdebeserigualaladiferenciade coordenadas norte entre B y C, y la suma de las proyecciones Este corregidas debe ser igual a la diferencia de coordenadas este entre B y C. Por ltimo, las coordenadas Norte y Este de los vrtices restantes se calculan en la misma forma realizada en el ejemplo 5.1. Leonardo Casanova M. Procedimientos Topogrficos 5-19 Tabla TE5.3 Clculo de poligonal abierta con control 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Proy. Calc. Correc. Proy. Correg. Coordenadas Est. Ang. Hor. Dist. Acimut CorrAcimut Corr. Norte Este CpN CpE Norte Este Norte Este PuntoA A 218 16 32 B 52 32 15 5 5.013,96915.357,378B 728,453 90 48 47 90 48 52 -10,354 728,379 -0,011-0,026 -10,365 728,353 1 122 16 47 10 5.003,60416.085,7311 635,348 33 5 34 33 5 44 523,892 341,463 -0,010-0,023 523,882 341,440 2 225 21 43 15 5.527,48616.427,1712 680,745 78 27 17 78 27 32 136,197 666,981 -0,010-0,025 136,187 666,957 3 215 16 26 20 5.663,67317.094,1283 420,331 113 43 43 113 44 3 -169,181 384,781 -0,006-0,015 -169,187 384,766 4 110 13 7 25 5.494,48617.478,8944 765,358 43 56 50 43 57 15 550,978 531,222 -0,012-0,028 550,966 531,194 C 85 42 31 30 6.045,45218.010,088C 309 39 21 309 39 51 D 309 39 51 D 3.220,235 1.031,5322.652,826-0,049-0,116 1.031,4832.652,7101.031,4832.652,710 Ea = -000030 Ca = +30/6 = +5 Ta = 20 x SQR(6) = 49 "496"20==Ta cAN = (1.031,532 1.031,483) = +0,049 m cAE = (2.652,826 2.652,710 = + 0,116 m cl = 0,126 m 1/n = 1: 25.275 Tl = 0,015 * SQR (EL) = 0,851 m mLTl851,0015,0=E= Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-20 5.2.Triangulacin Hasta la introduccin de los distancimetros electrnicos, con lo que se hizo posible la medicin dedistanciasenformarpidayprecisa,latriangulacinconstituaunodelosmtodosms importantesparaelcontroldelevantamientosdegrandesreasconvegetacinabundanteode topografamuyaccidentada;enelapoyoterrestreparalevantamientosfotogramtricos;yenel control para el replanteo de obras tales como puentes, tneles, etc. El uso de los distancimetros electrnicos ha incrementado de tal forma la precisin obtenida en poligonales,queactualmentelaspoligonalesestnsiendousadasenelestablecimientoy densificacin de redes de control. Porserlatriangulacinunprocedimientotilenelcontroldereplanteodeobras,yaque proporcionamtodosefectivosenelcontroldelaprecisinobtenidaenloslevantamientos topogrficos, en el presente captulo nos dedicaremos a estudiar los mtodos de triangulacin ms empleados en la ingeniera civil. Latriangulacinconsisteenformarfigurastriangularesenlascualesesnecesariomedir,con precisin, todos los ngulos de una red de tringulos y dos de sus lados.Luego, a partir de estas mediciones aplicandoel teorema del seno, se pueden calcular los dems lados, comprobando la precisin obtenida por comparacin del ltimo lado calculado con el valor medido en campo. Unareddetriangulacinestformadaporunaseriedetringulosconsecutivosunidosentres por un lado comn, como se muestra en la figura 5.6. De acuerdo con la forma de las redes, las triangulaciones se puede clasificar en: Red de tringulos independientes (figura 5.6.a). Red de cuadrilteros (figura 5.6.b). Red de figuras de punto central (figura 5.6.c). Deacuerdoalaprecisinrequeridaenlostrabajosdetriangulacin,laU.S.COASTand GeodeticSurvey1haclasificadolastriangulacionesentriangulacionesdeprimero,segundoo tercer orden, de acuerdo a los criterios de clasificacin de la tabla 5.2. Paralostrabajosnormalesdeingeniera,seutilizanormalmentelareddetringulos independientes,siendosuficientecumplirconloscriteriosparalastriangulacionesde3erorden, conocidas como triangulaciones geodsicas, las cuales salen del alcance de nuestro curso. 1 Kissan P. (1967). Topografa para Ingenieros. New York: McGraw-Hill. p 447.Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-21 Figura 5.6.Tipos de triangulacin Tabla 5.2. Criterios para la clasificacin de las triangulaciones Requisitos mnimos a cumplir Tipo de error 1er orden2do orden3er orden Error lineal Discrepanciaentrelalongitud calculadaylamedidadeuna base 1:25.000 1:10.000 1:5.000 Error angular en tringulos Promedio Mximo por figura 1 3 3 5 5 10 Precisin Error probable en la medicin de la base 1:1.000.000 1:500.000 1:250.000 a. Red de tringulos independientes b. Red de cuadrilterosc. Red de figuras de punto centralLeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-22 bacCBAb=*sen sena5.2.1.Consistencia de los tringulos Comosemencionanteriormente,elclculodelosladosdeuntringulosebasaenelteorema del seno, quedando determinado un lado desconocido por medio de la siguiente expresin: Laecuacinanterioresmuysensibleadiscrepanciasenlasmedidasangularesparangulos menoresa30ymayoresa150,porloqueserecomiendaquelosngulosdelostringulos formados estn comprendidos entre estos dos valores2. 5.2.2.Compensacin de Triangulaciones 5.2.2.1. Compensacin de una red de tringulos Una red de tringulos debe cumplir las siguientes condiciones: 5.2.2.1.1.Condicin angular En la condicin angular se debe cumplir que la suma de los ngulos alrededor de un vrtice sea iguala360yquelasumadelosngulosdecadatringuloseaiguala180.Encadacaso,la discrepanciadebesermenorquelatoleranciapermitidaparatriangulacionesde3erordendela tabla 5.2. 5.2.2.1.2.Condicin de lado Una vez realizada la compensacin angular se procede a calcular los lados desconocidos de cada uno de los tringulos de la red por medio de la ley del seno (ecuacin 1.32). Comoporlogeneralsehamedidounabasefinaldecomprobacin,ladiferenciaentreelvalor medidoyelvalorcalculadodebesermenorquelatoleranciapermitidaparatriangulacionesde 3er orden de la tabla 5.2. Acontinuacinseexplicar,mediantelasolucindeunejemploprctico,elmtodode compensacin de una red de tringulos. 2 Kissan P. (1967). Topografa para Ingenieros. New York: McGraw-Hill. p. 141. Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-23 Ejemplo 5.4 Con los datos de la figura E5-4 calcule: a)Las longitudes compensadas de los lados de la red de tringulos b)Coordenadas topogrficas de los puntos B, C, D, y E. Figura E.5.4 Solucin a)Clculo y compensacin de los lados de la red. Para realizar en forma tabulada el clculo y compensacin de la red de tringulos, se recomienda colocar en la primera fila el vrtice opuesto al lado conocido, luego el vrtice opuesto al lado que no es comn al siguiente tringulo, y en tercer lugar, el vrtice opuesto al lado comn al siguiente tringulo. Tabla E5.4.1 Datos de campo TriangVert.Angulo MedidoCorr. LadoDis. Cal.Corr.Dis. Corr. C-AB B-CA A-BC C B A 471452 722335 602130 53 36 31 +1 +1 +1 AB CA BC 2.532,756 3.287,637 2.997,843 -0,020 -0,026 -0,024 2.532,736 3.287,611 2.997,819 E1795957 E+3 D-CB C-DB B-CD D C B 663517 585559 542847 16 58 46 -1 -1 -1 CB DB CD 2.997,843 2.798,217 2.658,871 -0,024 -0,022 -0,021 2.997,819 2.798,195 2.658,850 E1800003 E-3 E-DC D-EC C-ED E D C 624830 684014 483113 31 15 14 +1 +1 +1 DC EC Ed 2.658,871 2.784,481 2.239,507 -0,021 -0,022 -0,018 2.658,850 2.784,459 2.239,471 E1795957 E+3 EDCBA(10.000,000:10.000,000)2428'36"N6248'30"4831'13"6840'14"6635'17"5855'59"5428'47"7223'354714'52"6021'30"2.532,7562.239,471NOTA: los ngulos dados son los obtenidos despus de la compensacin de vrtice.Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-24 Error = base calculada base medida Error = 2.239,507 2.239,471 = +0,036 m Error relativo = + 0,036/2.239,471 = 1:62.207,5 Tolerancia = 1/5.000 Error < tolerancia Correccin parcial = -1/2 error relativo x lado calculado b)Clculo de las coordenadas de los vrtices Una vez compensada la red de tringulos se procede al clculo de las coordenadas de sus vrtices. Debe tenerse en cuenta que cualquiera sea el camino que se escoja para calcular las coordenadas de uno de los vrtices, el valor obtenido debe ser el mismo. Tabla E5.4.2. Clculo de las coordenadas de los vrtices CoordenadasLadoAcimutDistancia NorteEste Punto AB2428362.532,73612.305,11911.049,370B AC84500723.287,61110.295,94913.274,263C BC13205002.997,81910.295,94913.274,263C BD7736142.798,19512.905.80613.782,330D CD1100582.658,85012.905,80613.782,330D CE5932122.784,45911.707,63315.674,339E DE12220432.239,48911.707,63315.674,339E Figura E5.4.1.Representacin grfica de la red de tringulos calculada 2.239,4712.532,756ABCDE2428'36"12220'43"2.798,1952.658,8502.784,4592.997,8193.287,611 8450'07"5932'11"1100'58"13205'00"7736'14"N 11.000N 12.000N 13.000N 10.000E 10.000 E 11.000 E 12.000 E 13.000 E 14.000 E 15.000Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-25 5.2.2.2 Compensacin de un cuadriltero En la compensacin de un cuadriltero se deben cumplir las siguientes condiciones : 5.2.2.2.1. Condicin de angular La suma de los ngulos alrededor de cada vrtice debe ser igual a 360. En cada cuadriltero se deben satisfacer las siguientes condiciones : Figura 5.7 Compensacin de un cuadriltero. Sloesnecesariochequearlascondiciones5,6y7yaquealcumplirseestas,secumplirn tambin las condiciones 1, 2, 3 y 4 . Ladiscrepanciaencontradaenlacondicin5sereparteenigualmagnitudacadaunodelos ngulos. Elerrorencontradoenlacondicin6sereparteenpartesigualesentreloscuatrongulos, sumandolacorreccinalosnguloscuyasumaseamenoryrestandolacorreccinaaquellos cuya suma sea mayor. Para la condicin 7 se procede de igual manera que para la condicin 6. 5.2.2.2.2. Condicin de lado La condicin de lado o condicin trigonomtrica establece que cualquiera sea el camino utilizado para calcular una longitud su valor debe ser el mismo. Con el apoyo de la figura 5.7 y calculando el valor del lado CD por diferentes rutas, tendremos : 1) 2 + 3 + 4 + 5 = 180 2) 1 + 6 + 7 + 8 = 180 3) 1 + 2 + 3 + 8 = 180 4) 7 + 4 + 5 + 6 = 180 5) 1+2+3+4+5+6+7+8 = 3606) 2 + 3 = 7 + 6 7) 1 + 8 = 4 + 5 D CBA87 654321Lado conocidoLeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-26 Primera ruta 5 sen2 sen2 sen 5 senAB BCBC AB== 7 sen4 sen4 sen 7 senBC CDCD BC== 7 sen 5 sen4 sen 2 sen = AB CD(A) Segunda ruta 8 sen3 sen3 sen 8 senAB ADAD AB== 6 sen1 sen1 sen 6 senAD CDCD AD== 8 sen 6 sen3 sen 1 sen = AB CD(B) Igualando A con B tenemos 8 sen 6 sen3 sen 1 sen7 sen 5 sen4 sen 2 sen= 7 sen 5 sen 3 sen 1 sen 8 sen 6 sen 4 sen 2 sen x x x x x x = Tomando logaritmos y calculando diferencias tendremos el error lineal impares pares w Z E Z E = log log (5.19) Calculando el factor de correccin k) (2dwkE= (5.20) Luego, la correccin angular en segundos ser v= kd (5.21) Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-27 en donde d = Diferencia para 1 en el log sen del ngulo v= Correccin angular en segundos w = Error lineal k =Factor de correccin Teniendoencuentalanumeracinyelordenqueselehadadoalcuadrilterodelafigura5.7 podemos recordar fcilmente la ecuacin (5.19) de la siguiente manera. Lasumadeloslogaritmosdelossenosdelosngulosparesdebeserigualalasumadelos logaritmos de los senos de los ngulos impares. Con el fin de explicar la compensacin de un cuadriltero, resolveremos el ejemplo E5-4. Ejemplo E5-4 Con los datos de la figura E5-4, calcule : a)las longitudes compensadas de los lados del cuadriltero b)coordenadas topogrficas de los vrtices. Figura E5-4 NOTA: los ngulos en los vrtices son los obtenidos despus de la compensacin de vrtices. 2.532,7562759'23"4714'53"7223'36"5428'48"5856'00"4227'02"N2428'36"A(10.000,000:10.000,000)BDC3222'09"2508'17"Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-28 Solucin: Aplicando las condiciones5,6 y 7 tenemos: Tabla E5.4.1Est.Ang. Horizontal com. Vrtice Corr . (5)Z correg.(6) y (7) Correg.(6) y (7) A1 2 3 4 5 6 7 8 322209 275923 722336 542848 250817 412702 585600 471453 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 322208 275922 722335 542847 250816 412701 585559 471452 +0.75 +0.75 +0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 +0.75 322208,75 275922,75 722335,75 542846,25 250815,25 412700,25 585558,25 471452,75 3600008-8360000003600000 Condicin (5) EZint=360Error = + 08Correccin =-1,00 Condicin (6) 2 + 3 = 1002257Error =03Correccin =0,75 6 + 7 = 1002300Condicin (7) 1+ 8=793700Error =03 Correccin =0,75 4+ 5=793703 Condicin de lado o trigonomtrica w =Elog sen Zpares Elog sen Zimpares = 9.39 x 106 d1= log[sen(ngulo)]-log[sen(gulo+1)] ( )1162064878 , 639 , 9=_=EEdwk v=kd Tabla E5.4.2 Vert. Log sen Z pares Log sen Z impares d1 d2 v = kdAng. Comp. 1 2 3 4 5 6 7 8 0,32853825 0,08942477 0,17916358 0,13412727 0,27134489 0,02083642 0,37182252 0,06724065 3,3217E-6 3,9616E-6 0,6682E-6 1,5029E-6 4,4871E-6 2,3840E-6 1,2685E-6 1,9464E-6 1.1034 E-11 1.5694 E-11 4.4646 E-13 2.2589 E-12 2.0134 E-11 5.6835 E-12 1.6090 E-12 3.7886 E-12 0,51 -0,61 0,10 -0,23 0,69 -0,37 0,20 -0,30 322209,26275922,14722335,85542846,02250815,94412659,88585558,45471452,45E0,731253870,7312444819,540508 E-66,06487881E-1103595959,99 por cualquier camino podemos calcular las coordenadas de los vrtices restantes . Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-29 Problemas Propuestos 5.1. y 5.2. Calcule los errores de cierre angular, lineal y las coordenadas compensadas y el rea de las poligonales mostradas en las figuras P5-1 y P5-2. Figura P5-1 Figura P5-2 AB CDEABCDE9115'34"9425'38"10949'40"10223'49"14203'39"369,393283,540284,033230,187214,807EST.ANG.MED. DIST.AABCOORD. A:(10.000,10.000)Ta=1' NTl= 1/10.000ABCDE155,725 6705'47"ABAE224,915EST.ANG.MED. DIST.21619'40" 6512'42"9517'55"9602'46" ADCB187,712242,090280,135COORD. A (10.0000,10.0000)Tl= 1/10.000Ta=1' NLeonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-30 5.3.y5.4.Calculeloserroresdecierreangularylinealylascoordenadascompensadasdelas poligonales mostradas en las figuras P5-3 y P5-4 Figura P5-3 Figura P5-4 452,294ABCDTl= 1/10.000Ta=20" NC10.136,16211.276,122D10.203.23210.630.338B10.000,00010.000,000123695,213637,661582,598Pto. NORTEESTECOORDENADAS452,294ABCDTl= 1/10.000Ta=20" NC10.496,16911.490,106D10.563,23910.844,322B10.000,00010.000,000123695,213637,661A10.359,0289.842,7974418,652Pto.NORTEESTECOORDENADAS582,598Leonardo Casanova M.Procedimientos Topogrficos 5-31 5.5. y 5.6. Con los datos de las figuras P5-5 y P5-6, calcule: a)Longitudes compensadas de los lados de la red. b)Coordenadas topogrficas de los vrtices Figura P5-5 Figura P5-6 ABCDTl= 1/10.000Ta=20" NA:(10.563,239:10.844,322)582,498E508'50"8912'19"4358'41"383'42"7240'08"6113'47"7447'28"4038'57"6916'17"3122'09" 1067.496ABCDEF(BASE)(BASE)COORD. E:(18.000,20.000)EFTl= 1/10.000Ta=20" N