UNIVERSIDAD NACIONALDE SAN CRISTOBAL DE

HUAMANGA

FACULTAD CIENCIAS AGRARIAS

E.F.P. INGENIERIA AGRICOLA

TRABAJO DE CALCULO IICONTINUIDAD DE FUNCIONES

VECTORIALES

INTEGRANTES:ANAYA VELASQUEZ, Willy JhoelFERNANDEZ PERALES, DeivyCARDENAS OTAROLA, Ronald

AYACUCHO - PERU2015

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

VECTORIALES

1. Introduccion

1.1. Funciones Vectoriales

Una funcion vectorial es una aplicacion f : D ⊂ Rn −→ Rm tal que a cada vectorx = (x1, x2, ..., xn) le hace corresponder un vector y = (y1, y2, ..., yn), es decir,y = f(x).

Utilizaremos la siguiente notacion:

y1 = f1(x1, x2, ..., xn)y2 = f2(x1, x2, ..., xn)

...ym = fm(x1, x2, ..., xn)

Con f = (f1, f2, ..., fm) .Cada fi son funciones escalares, fi = Rn −→ R y lesllamaremos funciones componentes o proyecciones de la funcion vectorial f .

Ejemplo:Sea f : D ⊂ R3 −→ R2, con f(x, y, z) = (ln(xz), y2). Las funciones componentes def son:

f1 : D1 ⊂ R3 −→ R; f1(x, y, z) = ln(xz)

f2 : D2 ⊂ R3 −→ R; f2(x, y, z) = y2

El dominio D de la funcion vectorial f , lo obtenemos de los dominios de definicionde cada una de sus funciones comonentes y la interseccio de todos ellos nos dara eldominio buscado.

Ejemplo:

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Obtener el dominio de definicion de la funcion f : D ⊂ R3 −→ R2,f(x, y, z) = (ln(yz),

√x2 − 2).

f1 : D1 ⊂ R3 −→ R; f1(x, y, z) = ln(yz)

por lo tanto D1 = {(x, y, z) ∈ R3�yz > 0

f2 : D2 ⊂ R3 −→ R; f2(x, y, z) =√x2 − 2

por lo tanto D2 = {(x, y, z) ∈ R3�x2 − 2 ≥ 0.

Entonces el dominio de definicion de f es:D = D1 ∩D2 = {(x, y, z) ∈ R3�yz > 0;x2 − 2 ≥ 0

El concepto de lımite es como una adaptacion del concepto de lımite una funcionreal de variable real a funcion vectorial.

2. Lımite

2.1. Definicion

sea f : D ⊂ Rn −→ Rm y sea c un punto de acumulacion de D, decimos que:

lımx→c f (x) = I ∈ Rm, si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si ‖x− c‖ < δ ⇒ ‖f (x)− I‖ < ε

2.2. Teorema

Sea f : D ⊂ Rn −→ Rm y sea c un punto de acumulacion de D. Son equivalentes:

∃ lımx→c f (x) = I = I(I2, I3, ..., Im)

∃ lımx→c f (x) = I = Ii ∈ R i =1, 2, ...,m

Pasamos a definir cuando una funcion vectorial es continua en un punto, estadefinicion es analoga a la dada para funciones escalares.

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3. Continuida

3.1. Definicion

Una funcion vectorial sera continua en un conjunto cuando sea continua en todoslos puntos de ese conjunto.

Sea f : D ⊂ Rn −→ Rm decimos que la funcion es continua en c ∈ D si∃ lımx→c f (x) = f (c). Esta definicion implica que :

� ∃f (c)� ∃ lımx→c f (x) y sea finito� lımx→c f (x) = f (c)

Donde la continuidad de una funcion se da a traves de la continuidad de suscomponentes.

3.2. Teorema

Una funcion vectorial es continua en un punto si y solo sı sus funcionescomponentes son continuas en dicho punto.

Ejemplo: Sea f (t) =(2 sin (t−1)

t3−1 , t3

t2−9 ,t3+8t+2

)∗ Analizar si es continua en f(−2)∗ Analizar si es continua en [0, 2]

solucion:

1.- f (−2) =(2 sin (−3)−9 , 85 ,

00

)f (−2) =

(2 sin (−3)−9 , 85 , @

)no es continua en f(−2)

2.- f (0) =(2 sin (−1)−1 , −09 ,

82

)∧ f (2) =

(2 sin (1)

7 , 8−5 ,

164

)si es continua en f(0) y si es continua en f(2)

luego analizamos: f (1) =(2 sin (1−1)

1−1 , 1−8 ,

1+83

)f (1) =

(2 sin (0)

0 , 1−8 ,

93

)f (1) =

(@, 1−8 ,

93

)por lo tanto no es continua en f(1), entonces no es continua en el intervalo [0, 2]

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¿ Pero en que intervalo sera continua?Analizamos el dominio de la funcion vectorial:

Domf (t) = Domf (1) ∩Domf (2) ∩Domf (3)Domf (t) = R− {1} ∩ 〈−∞,−3〉 ∪ 〈3,∞+〉 ∩R− {−2}

Domf (t) = 〈−∞,−3〉 ∪ 〈3,∞+〉

por lo tanto la funcion vectorial es continua en :〈−∞,−3〉 ∪ 〈3,∞+〉

Ejemplo: Analice la continuidad.f(t) = (

√81− t2, ln(9− t), et−9) para t ∈ d−2, 3〉

Solucion:

Domf (t) = [−9, 9] ∩ 〈−∞, 9〉 ∩RDomf (t) = [−9, 9](

lımx→−9√

81− t2, lımx→−9 ln(9− t), lımx→−9 et−9

)(

lımx→9

√81− t2, lımx→9 ln(9− t), lımx→9 e

t−9)

Por lo tanto f(t) es continua solo en el intervalo d−2, 2e, mas no es t ∈ d−2, 3〉

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