CUADERNILLO-INDUCCION-2015

ELABORADO POR:

Ing. Arturo Velasco Bernal

PC

Texto tecleado

TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLAN

CURSO DE INDUCCION ALGEBRA ELEMENTAL

i

CONTENIDO

Página

Introducción iii Objetivo iiii

TEMA I: OPERACIONES CON FRACCIONES

1.1 Regla de los signos. 2 1.2 Jerarquización de operaciones. 3 1.3 Operaciones aritméticas básicas Fraccionarias. 4

TEMA II: POTENCIACIÓN Y RADICALES

2.1 Leyes de los exponentes. 8

2.2 Productos notables. 10

2.3 Binomio de Newton. 13

2.4 Leyes de los radicales. 15

2.5 Operaciones fundamentales con radicales y Racionalización del denominador. 17

TEMA III: FACTORIZACION

3.1 Factor Común (agrupación de términos). 21

3.2 Factor de un T. C. P 23

3.3 Factorización de una Diferencias de cuadrados. 24

3.4 Combinación de casos. 25

3.5 Casos especiales: Suma de cuadrados y Trinomio de la forma cbxx 2 26

3.6 Factorización de un Trinomios de la forma cbxax 2 29

3.6.1 Factorización de suma o diferencia de cubos perfectos. 31

3.7 Factorización de un polinomio cubo perfecto. 33


ii

TEMA IV: ECUACIONES

Página

4.1 Ecuaciones lineales con 1, 2, 3 incógnitas: Enteras y fraccionarias. 37

4.2 Ecuaciones Cuadráticas: Solución por Factorización y Formula. 47

TEMA V: TRIGOMETRÍA

5.1 Plano cartesiano. 59

5.2 Relaciones trigonométricas. 61

5.3 Teorema de Pitágoras. 71

5.4 Identidades trigonométricas. 75

5.5 Ley de senos y cosenos. 81

Bibliografía 89


iii

INTRODUCCION

El Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán tiene el compromiso de

que los alumnos se desarrollen íntegramente, de tal forma que puedan estar

conel nivel de conocimiento para resolver algunas de las problemáticas que

enfrenta la sociedad y principalmente puedan proponer alternativas lógicas

que fomenten el progreso del mismo.

Tomando en cuenta lo anterior es lógico pensar en las distintas formas de

intervenir como institución y profesionistas siendo una parte estratégica en la

formación y desarrollo académico del alumnado, el cual ya tiene las bases en

cuanto a conocimiento básico se refiere y que busca la aplicación puntual

estando en un nivel superior como es el Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán.

Bajo este esquema se retoma una de las partes mas relacionadas con el

desarrollo de un Ingeniero que son las Ciencias Exactas, hablando

específicamente de las Matemáticas el cual se convierte en la herramienta

fundamental para el desarrollo de otras áreas de tipo Ingenieril. Por lo cual se

hace racional que el curso propedéutico se imparta año con año para todos los

alumnos de nuevo ingreso y así mismo esto da pauta a que se elabore este

cuadernillo de trabajo para facilitar una mejor comprensión y manejo de la información.

Este trabajo comprende temas de algebra donde se aprende a resolver

problemas que se relacionan con las cuatro operaciones fundamentales de la

aritmética que son la suma, resta, multiplicación y división de expresiones

algebraicas, Así también como potencias, radicales, factorización y resolución

de desigualdades.

El cuadernillo esta preparado para los estudiantes de Nivel Medio Superior

con el fin de nivelar sus conocimientos aprendidos en sus escuelas y tener un

buen inicio en el Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán.


iiii

OBJETIVOS

1. Que los alumnos de nuevo ingreso eleven su nivel de conocimiento en

las matemáticas.

2. Incentivar a los estudiantes del curso propedéutico a la mejor

comprensión del algebra y la aplicación que esta tiene.

3. Reconocer la importancia que tienen las matemáticas en especial el

algebra como parte fundamental de las ingenierías.


1

TEMA I

OPERACIONES CON FRACCIONES


2

1.1 REGLA DE LOS SIGNOS

Para producto Para el cociente

Sin calculadora, resuelve correctamente las siguientes operaciones con números naturales.

1 654+8763+19657+17 7 7(28+19) + 8 (18+57)

2 2003+96+35468+1 8 4(16+9+13) + 3 (6+29+32)

3 (6324) (789) 9 (5+12)(11+6)(10+7)

4 (19698) (2754) 10 11)27( )713(5

5 (15+8) 4 + 9 (27+19) 11 )1518(12 33)627(

6 7834 + 0 12 (15879) (1)

Resuelve las siguientes operaciones y escribe las respuestas en la columna del lado derecho.

1 27 +48

2 12 + (-5)

3 (-17) + 13

4 (-14) + (-8)

5 76 + (-103)

6 (-120) + 37

7 (-135) + (-93)

8 68 – (49)

9 (59) – (-37)

10 (-74) – (-48)

*

*

*

*


3

1.2 JERARQUIZACION DE OPERACIONES.

Al preguntarle la operación 2+3x4 a cualquier persona por lo general todos responden que el

resultado es 20, porque lo resuelven como lo van leyendo de izquierda a derecha, sin embargo el

resultado correcto es 14.

ORDEN DE LAS OPERACIONES

Se hace todos los paréntesis: ( ), .y

Todas las potencias y raíces: 2 3( , ) y

Todas las multiplicaciones y divisiones: x y

Todas las sumas y restas: + y – Cuando tengamos que resolver entre que hacer primero, una potencia o una raíz que esta al

mismo nivel, una multiplicación o una división, generalmente es indistinto pero se debe realizar

de izquierda a derecha.

Ejemplos:

2 3 4 14x

2 2 2 2 2 2 28 2 3 3 8 4x xy y x xy y x xy x y

(2 3) 4 20x

2 22 3 2/9 6x

Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas considerando la jerarquización de operaciones.

1 3 2x x y x y

2 2m m n m n

3 2 2 2 2 24 3 2 3x x xy y xy x y

4 2a a b a b c a

5 4 2 3m m n a b c a

6 2 2 2 7 3 2x xy y x yx y

7 2 2 2 27 3 2x xy y x yx y

8 - 3 2 2a b a b a b a b a

9 - x x y x y z x y y

10 - a a a b a b c a b


4

1.3 OPERACIONES ARITMETICAS BASICAS FRACCIONARIAS.

Las operaciones con expresiones algebraicas racionales responden esencialmente a los mismos

principios de suma, resta, multiplicación y división de racionales. Por eso para resolverlas

procedemos de manera similar, amén de aplicar algunos otros conocimientos que ya sabemos.

Suma y resta.

Si el denominado es el mismo, se procede de la siguiente manera:

1) Recorremos el mismo denominador.

2) Sumamos los numeradores.

3) Si es posible se simplifica.

Ejemplos:

2b

a -

2

23

b

a +

2 3

2

a

b

2

323 2

b

aaa

23 2 3

2

a a a

b

2 2 5

2

a a

b

ba

a

2+

ba

b

2 -

ba

ba

66

ba

baba

6622

ba

ba

44

44

a b

a b

Si los denominadores son diferentes se procede así:

1) Multiplicamos los denominadores

2) Aplicamos productos cruzados

3) Resolvemos las operaciones indicadas

4) Si es posible se simplifica

Ejemplos:

1

3

x

x +

1

5

x

x

)1)(1(

)1(5)1(3

xx

xxxx

1

55332

22

x

xxxx

1

282

2

x

xx

1

)14(22

x

xx


5

2

2

1

4

x

x

x x

)4(

2)4)(1(

2

2

xx

x

xxx

)4(

242

2

xx

xx

)4(

22

2

xx

xx

)2)(2(

)1)(2(

xxx

xx

)2(

1

xx

x

2

3

x

x +

2

2

x

x -

4

52 x

Observamos que x+2 y x-2 están contenidos en x2- 4, por lo tanto éste es el común

denominador, entonces.

2

3

x

x +

2

2

x

x -

4

52 x

= 4

5)2(2)2(32

x

xxxx

2 2 2

2 2

3 6 2 4 5 5 2 5

4 4

x x x x x x

x x

Multiplicación.

Para obtener el producto de dos o más expresiones algebraicas racionales, multiplicamos

numerador por numerador y denominador por denominador, finalmente simplificamos en caso

de que sea posible.

Ejemplos:

2

3

x

x

5 =

)2(

)5)(3(

xx =

)2(

15

xx

23

12

x

x

1

5

x

x =

2233

51022

2

xxx

xxx

253

5922

2

xx

xx

)1)(23(

)5)(12(

xx

xx

El común denominador

es el mínimo común

múltiplo


6

División

Para resolver una división de expresiones algebraicas, multiplicamos el dividendo por el

recíproco del divisor y simplificamos cuando sea posible:

Ejemplos:

2

5 10

3 9x x

El recíproco del divisor es 10

92 x, entonces:

2

5 10

3 9x x

=

2 25 9 (5)( 9) 5( 3)( 3) 3

3 10 (10)( 3) (2)(5) ( 3) 2

x x x x x

x x x

4 2

32 1

6

x

x

Aplicando productos de extremos entre medios, tenemos

4 2

6(4 2) (2)(3)(2)(2 1)3 42 1 3(2 1) 3(2 1)

6

x

x x

x x x

Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones (deja el resultado en forma de cociente)

1 1

2

x-

1

3

x

x +

1

2

x

x 6

2x

x

2

12

x

x

1

3

x

x

2 3

5

x -

2)3(

6

x +

3)3(

7

x 7

2

1

x

x +

1

3

x -

2

4

x

x

3 3

2

x

x -

3

4

x

x +

3

3

x 8 2

3 6 2x x

x x

4

1

2

x

x

x

x

4

2 9

5 2 2 1

3 1 4

x x

x x

5 5

2x +

2

1

x

x 10

2

5

1

3

xx

x

4

52

x

x


7

UNIDAD II

POTENCIACIÓN Y RADICALES


8

2.1 LEYES DE EXPONENTES Las principales leyes o propiedades de los exponentes enteros son las siguientes:

1).- Multiplicación de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se suman, esto

es:

nmnm aaa

Ejemplos:

31255555 52323

437)3(737 xxxxx

2).- División de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se restan, esto es:

nm

n

m

aa

a 0aSi

Ejemplos:

64444

4 325

2

5

2

253

5

3 1

xxx

x

x

3).- Una potencia elevada a otra potencia. En este caso los exponentes se multiplican, esto es:

nmnm aa )(

Ejemplos:

(52)3 = 5

(2)(3) = 5

6 = 15625

12

12)3)(4(34 1)(

xxxx

10)5)(2(52)( www

4).- El producto de dos bases distintas elevado a una potencia. En este caso el exponente

afecta a ambas bases, esto es:

mmm baba )(


9

Ejemplos:

225)9)(25(35)3)(5( 222

333)( yxxy

5).- Un racional (fracción) elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta tanto al

numerador como al denominador, esto es: 0

bSi

b

a

b

am

mm

Ejemplos:

1975.081

16

)3)(3)(3)(3(

)2)(2)(2)(2(

3

2

3

24

44

3

3

3

333

822

y

x

y

x

y

x

Ahora bien, si la propiedad “2” es válida cuando m=n, entonces:

0aaa

a nn

n

n

Esta división da como resultado un exponente nulo, sin embargo, también sabemos que todo

número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a la unidad. Esto nos conduce a definir

al exponente nulo de la siguiente manera: 010 acona

Por otro lado, si la propiedad “1” es válida para m=-n, entonces: 10 aaaa nnnn

Dividiendo a ambos miembros de la igualdad por “an”, tenemos:

nn

nn

aa

aa 1

, 01

acona

an

n

Ejercicios: Aplicando las leyes de los exponentes, obtén el valor de las siguientes expresiones.

1 352 333 5

325 )2()2()2(

2 23)4( 6 0)9)(3(

3 41)3( 7 2

)3)(2(

4 4

7

3

3 8

2

5

4


10

Simplifica a su mínima expresión cada uno de los siguientes reactivos, dejando el resultado sin

exponentes negativos o nulos.

1 422 43 xyyx

8

52

54

23

2

4

2

3

5

bca

cba

cab

bca

2

1

53

32

2

4

cb

cb 9 45

2

23 42

1

yxyx

3 232 43 baab 10

532

3

2

mn

nm

4 72

45

nm

nm 11

3

1

41

2

32

2

2

3

4

x

y

y

x

y

x

5 245

832

2

4

nm

nm 12

3

1

2

3

4

x

x

6 00

00

42

53

13

4

44

3

32

7

2

4

3

3

2

x

x 14

ba

ba1

23

2.2 PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables solo sirven para simplificar o ahorrarnos hacer la operación. Por ejemplo,

me dan una multiplicación y si se parece a alguna fórmula de los productos notables, la sigo

como receta de cocina y obtengo directamente el resultado.

Binomio al cuadrado: Un binomio elevado al cuadrado es aquel que se multiplica dos veces por sí mismo, su regla es:

Cuadrado del Dos veces el producto Cuadrado del

1er. término de ambos términos 2do. Término

2222 bababa El resultado es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:

222 2)2()3(2)3(23 xxx = 9x2 + 12x + 4

(2x – 5)2 = (2x)

2 + 2(2x) (-5) + (-5)

2 = 4x

2 – 20x + 25


11

2

2

2

3

2

3

2525

3

25

xxx

9

4

3

2025 2 xx

22

3

1

3

1

2

12

2

1

3

1

2

1

yyxxyx 22

9

1

3

1

4

1yxyx

Existe también la siguiente regla: 222 2)( bababa

Binomios conjugados: Son binomios conjugados aquellos cuyos términos en un binomio se

están sumando y en el otro se están restando. Así el conjugado de a + b es a – b y viceversa. Su

producto es:

Cuadrado del Cuadrado del

1er. término 2do. Término

22 bababa

El resultado es una diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

(5x+3) (5x-3) = (5x)2 – (3)

2 = 25x

2 – 9

(2x2 – b) (2x

2+b) = (2x

2)2 – b

2 = 4x

4 – b

2

22

4

3

3

2

4

3

3

2

4

3

3

2

yxyxyx 22

16

9

9

4yx

Binomios con término común: Son aquellos que tienen un término igual mientras que el otro es

diferente; así x a y x b, donde a, b R, son binomios con término común, su producto

total es:

Cuadrado del La suma algebraica de Producto de los

Término común los términos no Comunes multiplicada términos no comunes

Por el término común

abxbaxbxax 2


12

Ejemplos:

(x+2) (x+3) = x2 + (2+3) x + (2) (3) = x

2 + 5x + 6

(x+4) (x-7) = x2 + (4-7) x + (4) (-7) = x

2 – 3x – 28

(x-5)(x-4) = x2 + (-5-4) x + (-5) (-4) = x

2 – 9x + 20

(3x+2) (3x-5) = 3(x)2 + (2-5) 3x + (2) (-5) = 9x

2 – 9x – 10

4

3

3

12

4

3

3

12

4

32

3

12

2xxxx

4

1

6

54 2 xx

Binomio al cubo: Un binomio elevado al cubo es aquel que se multiplica tres veces por sí

mismo, su producto total es:

Cubo del Tres veces el 1er. Tres veces el 1er. Cubo del

1er. término término al cuadrado término por el segundo

por el segundo cuadrado del 2do. Término

3223333 babbaaba

El resultado es un polinomio cubo perfecto

Ejemplos:

322333323323232 xxxx

2754368 23 xxx

322332243243424 xxxx

8489664 23 xxx

32

23

3

3

2

3

253

3

2535

3

25

xxxx

27

8

3

2050125 23 xxx


13

Ejercicios: Aplicando la regla de los productos notables, resuelve las siguientes

multiplicaciones.

1 ( x + 11)2 12 ( z + 14)

2

2 ( 3a2 – 7)

2 13 ( y – 14)

2

3 ( 2a2b

3 – 4ab

2)2 14 (4a +

5

2 )

2

4 (5m2 +

2

3 n )

2 15 (2a

2 + 3b)

2

5 (7a2 b

3 - 4 ab

3) (7 a

2 b

3 + 4ab

3) 16 ( x

n – x

o ) x ≠ 0

6 ( xw + y

w )

2 17 (x+4)(x-13)

7 (xa-1

– ya+3

)2 18 (y-13)(y+13)

8 cba )(2 19 (z +

3

1) (z-

3

1)

9 (4a - 5

2) (4a +

5

2) 20 (2a

2 +3b)(2a

2 –3b)

10 (x+1)3 21 (3a

2-

6

7)(3a

2+

3

2)

11 (y-4)3 22 (m

8 -

5

1n

3)3

2.3 BINOMIO DE NEWTON

Elevar un Binomio a una potencia Entera y positiva.

Sea el binomio a + b la multiplicación dada que:

222 2)( bababa

4322344 464)( babbabaaba

En este desarrollo se cumple la siguiente regla.

1.- Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2.- El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y

en cada término posterior al primero disminuye 1.

3.-El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1 y en cada término posterior a

este, aumenta 1.


14

4.-El coeficiente del primer término del desarrollo es uno y el coeficiente del segundo término

es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.

5.-El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término

anterior por el exponente de a en dicho termino anterior y dividiendo este producto por el

exponente de b en ese mismo terminando en 1.

6.-el último término del desarrollo es b elevada al exponente del binomio.

Los resultados anteriores constituyen la ley del binomio que se cumple para cualquier

exponente entero y positivo, como probaremos en seguida. Esta ley general se representa por

medio de la siguiente formula

nnnnnnn bbannnn

bannn

bann

bnaaba

..........4.3.2.1

)3)(2)(1(

3.2.1

)2)(1(

2.1

)1()( 4433221

Esta fórmula descubierta por newton nos permite elevar un binomio a una potencia cualquiera,

directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores.

Ejemplos:

(a + b)2

= a2

+ 2 a b + b2

(a − b)2

= a2

− 2 a b + b2

(a + b)3

= a3

+ 3 a2

b + 3 a b2

+ b3

(a − b)3

= a3

− 3 a2

b + 3a b2

− b3

(a + b)4

= a4

+ 4a3

b + 6a2

b2

+ 4a b3

+ b4

(a − b)4

= a4

− 4a3

b + 6a2

b2

− 4a b3

+ b4

(a + b)5

= a5

+ 5a4

b + 10a3

b2

+ 10a2

b3

+ 5a b4

+ b5

(a−b)5

=a5

−5a4

b+10a3

b2

−10a2

b3

+5ab4

−b5

Ejercicio: Resolver los siguientes problemas utilizando el binomio de Newton.

1. (2+3x)4

2. (2-3y)

4

3. (4-x)7

4. Encontrar el término cuarto del desarrollo de (x+2y)

5

5. Encontrar el término cuarto del desarrollo de (2-3y)4


15

2.4 LEYES DE LOS RADICALES

Exponentes racionales y su operatividad.

Cuando en una potencia el exponente es racional b

a con “a” y “b” es entero positivo, nos

adentramos al campo de los radicales, es decir, a la operación conocida como radicación. Para

iniciar, hagamos el siguiente análisis:

De las leyes de los exponentes, sabemos que (am

)n = a

m.n, si ahora m =

n1 , tenemos:

aaa n

nn

n

1

aa

n

n

1

La ecuación muestra que la n-ésima potencia de na

1

es igual a “a”, o bien, que na

1

es una n-ésima

raíz de “a”. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de “a”, tenemos, por

definición: nn aa

1

Ahora bien, si tenemos la expresión nm

a , la podemos ver como: nma1

Luego entonces: n mn

mn

m

aaa 1

El numerador es el exponente de la base y el denominador es el índice de la raíz.

En cualquiera de estas expresiones, la base pude ser cualquier número real si “n” es impar, pero

si “n” es par la base sólo puede ser positiva, ya que los números negativos no tienen raíz real

cuando el índice es número par.

Ejemplos:

86444 2 32

3

6299.05874.1

1

4

1

2

1

2

12

33 2

3

23

2

3 103

10

2

5

6

1

3

2

2

5

6

1

3

2

xxxxxx

..27)27( 2

1

EN

327)27( 33

1

Concluimos entonces que de las leyes de los exponentes, se derivan las siguientes propiedades de

los radicales.

1.- aan n

Porque no hay un R que multiplicado por sí

mismo sea igual a –27

Porque (-3)3 = -27


16

Ejemplos:

333 5

5

5 5

xxx 3

3

3 3

2.- nnn baba

Ejemplos:

6)2)(3(827)8)(27( 333

4 34 24 32 yxyx

3.- n

n

n

b

a

b

a

Ejemplos:

8.05

4

25

16

25

16

5

3

5

9

5

9

4.- n mcn cm aa

Ejemplos:

39.13240177 33 4)3)(2( )4)(2(

5 4)3)(5( )3)(4( xx

5.- nmn m aa

Ejemplos:

2256256256 8)4)(2(2 4

2057.1292929 18)2)(3)(3(3 3


17

6.- nq npmqq pn m aaa

Ejemplos:

8385.6333333 4 78 148 212)4)(2( )1)(2()4)(3(42 3

El mismo ejemplo:

8385.633333333 4 74

7

8

14

8

212

4

1

2

3

42 3

Ejercicio: Aplica las propiedades de los radicales para obtener el valor de:

1 3 62 5 10 71 9 3

1000

48

2 33 6 3 )6)(4)(9( 10 3 45 33

3 5 3 82 7 3 729 11 5 564 222

4 6 69 8 65536 12 4

24

25

33

333

2.5 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON RADICALES Y

RACIONALIZACION DEL DENOMINADOR.

Existen fracciones que contienen en su numerador, denominador o en ambos radicales

irracionales. En este caso se hace necesario transformar la expresión en otra equivalente de tal

manera que convenga presentar a cualquiera de sus partes (numerador o denominador) como un

racional. Para lograrlo se utiliza el proceso conocido como racionalización el cual consiste en lo

siguiente.

1. Se multiplica tanto al numerador como al denominado por el radical existente.

2. Se resuelven las operaciones indicadas.

3. Si es posible se simplifica.


18

Ejemplos:

2

3

2

3

3

3 =

32

3 =

32

3,

2

3 =

32

3

2

2

2

2

2

2 =

2

22 =

2

22 = 2

2

2 = 2

3

2 racionaliza el denominador.

3

2

3

3 =

3

6 =

3

6,

3

2 =

3

6

Si el radical irracional es parte de un binomio.

1) Se multiplica tanto al numerador como al denominador por el conjugado del binomio que

contiene al radical.

2) Se resuelven las operaciones indicadas.

3) Si es posible se simplifica.

2

2

2

Lo más común

es racionalizar el

denominador


19

Ejemplos:

23

4

El conjugado de 3 + 2 es 3 - 2 , entonces:

23

4

23

23 = =

22 23

234

=

29

234

23

4

=

7

)23(4

52

33

racionaliza el denominador

El conjugado de 2- 5 es 2+ 5 , entonces:

52

33

52

52 =

5252

5233

=

22 52

5233

54

5233

=

1

5233

.

52

33

= - (3+ 3 ) (2+ 5 )

Ejercicio: En todos los casos, racionaliza el denominador.

1 5

3 6

2

4

a

2 6

7 7

1

1

b

b

3 1

1

a 8

63

5

4 83

2

9

25

25

5 25

36

10

11

11

a

a

4(3- )2

(3+ 2 ) (3+ 2 )

PC

Texto tecleado


20

TEMA III

FACTORIZACION


21

FACTORIZACIÓN.

La factorización es el proceso inverso de los productos notables es decir, ahora tendremos que

obtener los factores dados el producto.

Recordemos cómo se factoriza un número.

12 2

6 2

3 3

1

La factorización de 12 es (22) (3) y es única.

Como existe gran variedad de expresión algebraica, se hace necesario conocer diferentes tipos

de factorización. En el caso que nos ocupa, solo abordaremos siete de ellos sin embargo, si el

lector desea profundizarse más sobre el tema puede consultar la bibliografía a la que hacemos

referencia al final de esta obra.

3.1 FACTOR COMÚN.

Este método se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen algo en común. Para

obtener el factor común es necesario observar si los coeficientes son divisibles entre un mismo

número, también se debe identificar la o las variables que estén en todos los términos de dicho

polinomio.

Ejemplos:

12a2b

3+15a

3b

2-21ab

4c=

Observamos que 12, 15, 21 son divisibles por 3 , las variables comunes a todos los términos

son a y b2, entonces el factor común es 3ab

2 y el otro factor es el polinomio formado por lo que

queda en cada término.

12a2b

3+15a

3b

2-21ab

4c= (3ab

2) (4ab+5a

2-7b

2c)

6w-4y+10z-2=

El factor común es 2, entonces la factorización es

(2) (3w-2y+5z-1)


22

72x3y

5-18x

2+48x

4y

4 =

72, 18, 48 2

36, 9, 24 2

18, 9, 12 2 m.c.m=6

9, 9, 6 2 factor común 6x2

9, 9, 3 3 la factorización es (6x2) (12xy

5-3+6x

2y)

3, 3, 1 3

1 1

2m2n – mn

2n+

3

1mn=

Podemos ver a 2 como 6

3

1 y al 1 como (3)

3

1, entonces el factor común es

3

1mn

2m2n-mn

2+

3

1mn = (

3

1mn) (6m-3n+1)

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

La factorización por agrupamiento se obtiene a través de la sucesión de factores comunes, hasta

llegar al resultado final.

En general ac +b c + ad + b d = a (c + d) + b (c + d)

= (a + b) (c + d)

Ejemplos:

2ax+10a+3bx+15 Agrupando y factorizando

2ax + 10a= 2a(x+5)

3bx + 15= 3b(x+5)

Entonces: 2ax + 10a + 3bx + 15 = 2a(x+5)+3b(x+5)

Ahora el factor común es (x+5) la factorización total es (2a+3b) (x+5)

8x3+4x

2y-18x-9y Agrupando y factorizando

8x3+4x

2y = 4x

2(2x+y)

-18x-9y = -9(2x+y)

Entonces: 8x3+4x

2y-18x-9y= 4x

2(2x+y)-9(2x+y)

= (2x+y) (4x2-9)

Sin embargo 4x2-9 es una diferencia de cuadrados, así que al factorizarla obtenemos la

factorización total del polinomio, entonces:

8x3+4x

2y-18x-9y = (2x+y) (2x+3) (2x-3)


23

2ax2 +12ax+18a- bx

2- 6bx - 9b Agrupando y factorizando

2ax3 + 12ax + 18a= 2a(x

2 + 6x + 9)

-bx2- 6bx - 9b = -b(x

2+6x+9)

Entonces: 2ax2+12ax+18a-bx

2-6bx-9b= 2a(x

2+6x+9)-b(x

2+6x+9)

Ahora el factor común es un trinomio cuadrado perfecto.

La factorización total del polinomio es (2a - b) (x + 3)2

3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(T.C.P)

Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto procedemos de la siguiente manera.

a) Obtenemos la raíz de los términos que se localizan en los extremos.

b) Multiplicamos ambas raíces y si su producto es la mitad del término

intermedio, si es un trinomio cuadrado perfecto, en caso contrario no lo es.

Ejemplos:

x2 –10x +25

x 2 = x 25 = 5

5x es la mitad de 10x, entonces sí es un T.C.P.

x2 - 10x +16

x 2 = x 16 = 4

4x no es la mitad de 10x, entonces no es un T.C.P.

Ahora bien, recordemos que el trinomio cuadrado perfecto resulta de elevar un binomio el

cuadrado, lo cual nos conduce a pensar que dicho binomio debe ser su factorización, entonces:

a2+ 2ab+b

2=(a + b)

2

Estructura del binomio:

Raíz del 1er Signo del 2do Raíz del 3er 2

Término Término Término


24

Ejemplos:

x2-10x+25 =

x = x 25 = 5

La factorización es (x-5)2

4a2 +24a+36 =

a4 2 = 2ª 36 = 6

La Factorización es (2a + 6)2

x4

+2x2y+y

2=

x 4 = x

2 y

2 = y

La factorización es (x2 + y)

2

4

2m -

3

2mn +

2

9

4n=

4

m =

2

m

9

4 2n=

3

2n

La factorización es

2

3

2

2

nm

3.3 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Es fácil identificar una diferencia de cuadrados ya que sólo tiene dos términos los cuales están

separados por el signo de la resta. Como ya sabemos una diferencia de cuadrados resulta de

multiplicar binomios conjugados, por eso deducimos que éstos deben ser su factorización,

entonces:

a2 - b

2= (a + b) (a-b)

2

2

Debemos verificar

que se trate de un

T.C.P.


25

Ejemplos:

x2-144=

x2=x 144 =12

x2 – 144 = (x + 12) (x – 12)

49a4-16b

2=

449a

= 7a

2 b16

2 = 4b

49a4-16b

2 = (7a

2 – 4b) (7a

2 + 4b)

4x2-8=

24x

= 2x

8 = 8

)82()82(84 2 xxx

25

16 2m -

2

4

n

25

16 2m =

5

4m

4

2n =

2

n

25

4

25

4

425

16 22 nmnmnm

3.4 COMBINACIÓN DE CASOS En este caso se intenta transformar una expresión compuesta mediante un arreglo conveniente de

sus términos obteniendo uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos

trinomios se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

Resolviéndolo nos queda:

Las raíces separadas por signos contrarios

forman los factores


26

Factorizando el trinomio:

Factorizando la diferencia de cuadrados:

:12 22 bxbx

Resolviendo 22 2 bxbx observamos que es un trinomio cuadrado perfecto

:12 22 bxbx 1)2( 22 bxbx

Factorizando el trinomio: 1)( 2 bx

Factorizando la diferencia de cuadrado: )1)(1( babx

:24 222 xymyx

222222 4)2(:42 myxyxmyxyx

Factorizando el trinomio: 22 4)( myx

Factorizando la diferencia de cuadrado: )2)(2( myxmyx

:129 22 xxy

)12(9:129 2222 xxyxxy

Factorizando el trinomio: )1(9 2 xy

Factorizando la diferencia de cuadrado: )13)(13( xyxy

3.5 CASOS ESPECIALES: SUMAS DE CUADRADOS Y TRINOMIOS DE

LA FORMA x2+bx+c

SUMAS DE CUADRADOS.

Para este caso una suma de dos cuadrados no tienen descomposición en factores racionales, es

decir factores que no haya raíz, pero hay sumas de cuadrados que, sumándoles y restándoles una

misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse.

Ejemplos:

44 4yx

24 xx

24 24 yy

Para que sea trinomio cuadrado perfecto hace falta: 2222 4)2)()(2( yxyx

Ha completando la expresión: 224224 4)44( yxyyxx


27

)22)(22(4)44(

)22)(22(4)44(

4)2(4)44(

2222224224

2222224224

22222224224

yxyxyxyxyxyyxx

xyyxxyyxyxyyxx

yxyxyxyyxx

441 n

11 24 24 nn

Para que sea trinomio cuadrado perfecto hace falta: 22 4)2)(1)(2( nn

Ha completando la expresión: 224 4)144( nnn

)122)(122(4)144(

)212)(212(4)144(

4)12(4)144(

22224

22224

222224

nnnnnnn

nnnnnnn

nnnnn

44 814 nm

24 24 mm

24 981 nn

Para que sea trinomio cuadrado perfecto hace falta: 2222 36)9)(2)(2( nmnm

Ha completando la expresión: 224224 36)81364( nmnnmm

)962)(962(36)81364(

)692)(692(36)81364(

36)92(36)81364(

2222224224

2222224224

22222224224

nmnmnmnmnmnnmm

mnnmmnnmnmnnmm

nmnmnmnnmm

TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + b x +c

Estos trinomios son como: 145;65 22 mmxx

Cumplen las siguientes condiciones:

El coeficiente del primer término es 1

El primer termino es una variable elevada al cuadrado

El segundo término tiene la misma variable con un exponente 1 y su coeficiente es la

cantidad cualquiera.

El tercer término es independiente del 1ro

y 2do

término.

Para Factorizar se aplica la siguiente regla:

El trinomio se descompone en dos binomio cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio.


28

En el primer binomio lleva el signo del segundo término del trinomio y en segundo

binomio lleva el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el del

tercero del trinomio.

Si los dos binomios tienen signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercero.

Cuando los binomios tienen signos distintos se buscan números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del

tercero. El mayor de estos números es el que se le asigna al primer binomio y el menor al

segundo binomio.

Ejemplos:

652 xx

Descomponer en dos binomios: )()( xx

Los signos de los binomios: )()( xx

Los números son: 2 + 3= 5 y (2) (3)= 6

Resultado final es: )3()2( xx

505 24 xx

Descomponer en dos binomios: )()( 22 xx

Los signos de los binomios: )()( xx

Los números son: 10 - 5= 5 y (10) (5)= 50


40132 aa

Descomponer en dos binomios: )()( 22 aa

Los signos de los binomios: )()( aa

Los números son: -8 - 5= -13 y (-8) (-5)= +40


447 36 aa

Descomponer en dos binomios: )()( 33 aa

Los signos de los binomios: )()( aa

Los números son: 11 - 4= +7 y (11) (-4)= -44


El primer signo es el +5

El segundo signo es el

producto de (+5)(+6)=+


29

3.6 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c

En la sección anterior observamos que x2 – 10x + 16 no es trinomio cuadrado perfecto. Ahora

podemos decir que se trata de un trinomio de la forma ax2+bx+c.

Recordemos también que esté tipo de trinomios resulta de multiplicar dos binomios con

términos común, luego entonces, éstos deben ser su factorización.

Cuando en el trinomio a=1, obtenemos la factorización de la siguiente manera:

1) Sacamos raíz al término cuadrático y escribimos en ambos paréntesis.

2) Buscamos dos números de tal manera que su producto sea el término independiente

y la suma sea el coeficiente del término lineal.

3) Con su respectivo signo los escribimos uno en cada paréntesis.

Ejemplos:

x2 – 10x + 16

x 2 = x

Las parejas de números cuyo producto es 16 son: (4) (4); (-4) (-4); (2) (8); (-2) (-8); (1) (16); (-1)(-

16), observando el término intermedio tenemos que sólo (-2)(-8)= -10, por lo tanto la

factorización es :

(x-2) (x-8)

x2 + 3x - 4=

x 2 = x

Números multiplicados = -4 son (1) (-4); (2) (-2); (-1) (4); (1) (4)

Números sumados = 3 sólo (-1) (+4)

x2 + 3x - 4 = (x-1) (x+4)

x2 +

2

1x - 3=

x 2 = x

Números multiplicados = -3 son (1) (-3); (-1) (3); (2) (-2

3); (-2) (

2

3)

Números sumados= 2

1 sólo (2)

2

3

x2 +

2

1x –3 = (x+2)

2

3x

La raíz del término

cuadrático es el término

común.


30

Cuando en el trinomio a 1, obtenemos la factorización procediendo como se indica a

continuación.

Factorizar 3x2 – 11x –4:

1).-“Descomponemos” el término cuadrático en dos factores y lo colocamos como indica la

tabla.

3x x

2).- Buscamos todas las parejas de números cuyo producto sea el término independiente.

3x x

-1 4

4 -1

-4 1

1 -4

-2 2

2 -2

3).- Multiplicamos cada pareja con su correspondiente coeficiente de la variable y sumamos

sus productos.

3x x

Así (-1) (3) + (4) (1) = 1

-1 4 (4) (3) + (-1) (1) = 11

4 -1 (-4) (3) + (1) (1) = -11

-4 1 (1) (3) + (-4) (1) = -1

1 -4

-2 2

2 -2

4).- Seleccionamos la pareja cuya suma de productos sea el coeficiente del término lineal.

3x x

La pareja seleccionada es (-4) y (1)

-4 1


31

5).- Formamos los paréntesis escribiendo los términos en forma cruzada.

3x x

-4 1 3x2 –11x-4= (3x+1) (x-4)

Factorizar 6x2 + 19x + 10

En este caso 6x2 se puede “descomponer” como (6x) (x) y (2x) (3x), probemos con (6x) (x)

6x x

(1) (6) + (10) (1)=16

1 10 (10) (6) + (1) (1)= 61

10 1 (2) (6) + (5) (1)= 17

2 5 (5) (6) + (2) (1)= 32

5 2

Observamos que ninguna pareja puede seleccionarse ahora probemos con (2x) (3x)

2x 3x

(1) (2) + (10) (3) =32

1 10 (10) (2) + (1) (3) = 23

10 1 (2) (2) + (5) (3) = 19

2 5 (5) (2) + (2) (3) = 16

5 2

La pareja seleccionada es (2) y (5)

2x 3 x

2 5 6x2+19x+10 = (2x+5) (3x+2)

3.6.1 FACTORIZACIÓN DE SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

PERFECTOS.

Una expresión de la forma a3 + b

3 se conoce como la suma de dos cubos y su factorización se

obtiene de la siguiente manera.

1) El primer factor se forma con la suma de las raíces cúbicas de ambos términos.

2) El segundo factor es un trinomio cuya estructura se da a continuación.

Cuadrado del - Producto de + Cuadrado del

Primer término Ambos términos Segundo término

Omitimos las parejas

con signo negativo ya

que todo el trinomio es

positivo


32

En general: a3 +b

3 = (a + b) (a

2 – ab + b

2)

Ejemplos:

64x3+125y

3

3 364x = 4x 3 3125y = 5y

64x3+125y

3= (4x + 5y) (16x

2 - 20xy + 25y

2)

278

33 nm

3

3

8

m=

2

m

3

3

27

n=

3

n

8

3m +

27

3n=

2

m +

3

n

4

2m -

6

mn +

9

2n

1)( 3 ba

)()(3 3 baba

113

1)()(1)(1)( 23 babababa

nota: pueden desarrollarlo.

33 )2()1( xx

)1()1(3 3 xx

)2()2(3 3 xx

712

4421221

)2()2)(1()1()2()1()2()1(

2

222

2233

xxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Una expresión de la forma a3-b

3 se conoce como la diferencia de cubos y su factorización se

obtiene de la siguiente manera.

1) El primer factor se forma con la diferencia de las raíces cúbicas de ambos términos.

2) El segundo factor es un trinomio cuya estructura se da a continuación.

Cuadrado del + Producto de + Cuadrado del

Primer término Ambos términos Segundo término

En general: a3- b

3= (a-b) (a

2+ab+b

2)

3


33

Ejemplos:

216x3-y

6z

3

3 3216x =6x zyzy 23 36

216x3-y

6z

3= (6x-y

2z) (36x

2+6xy

2z+y

4z

2)

1252

33 nm

3

3

2

m =

3 2

m

3

3

125

n=

5

n

1252

33 nm =

3 2

m -

5

n

3

2

4

m +

3 25

mn +

25

2n

1258 3 x

xx 283 3

51253

)25104)(52()1258( 23 xxxx

3.7 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO CUBO PERFECTO.

Recordamos que un polinomio cubo perfecto se obtiene al elevar un binomio a la tercera

potencia, luego entonces este debe ser su factorización y se estructura de la siguiente manera.

Raíz cúbica del Signo del Raíz cúbica del 3

Primer término Segundo término Último término

Ejemplos:

8x3 + 36x

2+54x+27

3 8x 3

= 2x

Signo del 2do término (+)

3 27 = 3

La factorización es (2x+3)3


34

a3 - 12a

2b + 48ab

2 - 64b

3

3 a

3 = a

Signo del 2do término (-)

3 64b

3 = 4b

La factorización es (a - 4b)3

EJERCICIOS DEL TEMA 3

Factorizar las siguientes expresiones.

1 3x3+18x-33 2 y

4-y

3+y

2

3 10z3-5z

2+15z 4 2x

2y+5xy

2+3xy

5 42x3y

2+28x

3y

4-56x

2y

2 6 14a

4b

4c

4+8a

3b

3c

3

7 x (a+4)-y(a+4)+2(a+4) 8 m(8-a)+n(8-a)+2

1 (8-a)

9 3

4 a

3 -

3

2 a +

3

5 10

2

3 3b+

2

5 2b - 2b

11 x2-25 12 36-x

2

13 x4y

2 – 12 14 x

4-y

6

15 x2y

6-z

2 16 4a

2-9b

4

17 121a4-1 18 (2a+3)

2 – 169b

2

19 125144

81 422 cba

20

16

2ba

-

25

2dc

21 x2+10x+25 22 x

2-12x+36

23 x2-2x+1 24 x

2+x+

4

1

25 49x2-14xy+y

2 26 64a

2b

4-16ab

2c

3+c

6

27 9

2a -

6

a +

16

1 28 16x

4+16x

2y+4y

2

29 a4b

4+

3

4a

2b

2c+

9

4 c

2

30

36

1a

6b

4-

4

1a

3b

2cd

4+

16

9c

2d

8

31 x2 + 5x+6 32 x

2-3x-40

33 x4-8x

2+15 34 x

4-6x

2y+9y

2

Necesitas ser buen

observador para saber el

tipo de factorización que

debes usar.


35

EJERCICIOS DEL TEMA 3

35 x2-

2

7x-2 36 x

2-

3

17x-2

37 2a2-5a-12 38 3b

2-b-10

39 4a2+2a-2 40 4a

2+6a+2

41 6b2+4b-10 42 6b2-27b-15

43 8a2-20a-12 44 8a

2+12a-8

45 9b2-12b-5 46 9b

2-61b +14

47 x w + x z + y w + y z 48 12xy –3xz+4wy-wz

49 xy+2y-xz-2z 50 6xw+4xz+9wy+6yz

51 2x3+x

2-2xz

2-z

2 52 12a

2b

2-18a

2d

2+20cb

2-30cd

2

53 3a3-b

3+a

2b-3ab

2 54 8a3+12a2b-2ab4-3b5

55 3a2-6ab+3b

2+ab

2-2a

2b+a

3 56 x

3+3x

2y +3xy

2+y

3

57 x3+3x

2y +3xy

2+y

3 58 9x

3-108x

2+144x-64

59 8x2-36x

2y+54xy

2-27y

3 60

8

1 x

3 +

20

3x

2 +

50

3x+

125

1

61 216a3+8b

3 62 64a

6+b

9

63 8

1

a9 + 27

8

b3

64 343m3-1

Mucha Suerte


36

TEMA IV

ECUACIONES


37

4.1 ECUACIONES LINEALES CON 1, 2, 3 INCÓGNITAS: ENTERAS Y

FRACCIONARIAS.

ECUACION: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas

incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

ECUACION LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA, ENTERAS.

REGLA GENERAL.

Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

Se reducen términos semejantes en cada miembro.

Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplos:

2x – 14 = 19 – 9x

Se agrupan términos con la incógnita: 2x+9x=19+14

Se efectúen las operaciones indicadas: 11x=33

Dividimos la expresión por el coeficiente de la variable: 11x 33

=11 11

Resultado: 3x Nota: Compruebe el resultado

15x - 6 + 3x +5 = 8x - 9

Se agrupan términos con la incógnita: 15x+3x-8x=6-5-9

Se efectúen las operaciones indicadas: 10x=-8

Dividimos la expresión por el coeficiente de la variable: 10x -8

=10 10

Resultado: -4

5x Nota: Compruebe el resultado

3x - 9 - 6x = 12 + 9 +2x

Se agrupan términos con la incógnita: 3x- 6x-2x=12+9+9

Se efectúen las operaciones indicadas: -5x=30

Dividimos la expresión por el coeficiente de la variable: -5x 30

=-5 -5

Resultado: x=-6 Nota: Compruebe el resultado


38

ECUACION LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA,

FRACCIONARIA.

REGLA GENERAL.

Se suprime los denominadores de la ecuación multiplicando todos los términos de la

ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Se aplica las reglas de la ecuación lineal de primer grado con una incógnita

enteras.

Ejemplos:

x x 1

2 6 4

El mínimo común múltiplo de 2, 6, y 4 es: 12

Multiplicamos 12 por la ecuación: 12x 12x 12(1)

2 6 4

Se efectúan las operaciones indicadas: 6 2 3x x

Se agrupan términos con la incógnita: 6 2 3x x

Se efectúen las operaciones indicadas: 4 3x

Dividimos la expresión por el coeficiente de la variable: 4 3

4 4

x

Resultado: 3

4x

Nota: Compruebe el resultado

1 2 1 4 5

240 4 8

x x x

El mínimo común múltiplo de 1, 40, 4, y 8 es: 40

Multiplicamos 40 por la ecuación: (40)( 1) (40)(2 1) (40)(4 5)

(40)240 4 8

x x x

Se efectúan las operaciones indicadas: 80 ( 1) (10)(2 1) (5)(4 5)

80 1 20 10 20 25

x x x

x x x

Se agrupan términos con la incógnita: 20 20 10 25 80 1x x x

Se efectúen las operaciones indicadas: 64x

Dividimos la expresión por el coeficiente de la variable: 64

1 1

x

Resultado: 64x Nota: Compruebe el resultado


39

6 5 5 2 2 3

115 3 4 5

x x x

x

El mínimo común múltiplo de 1, (3x+4), 5, y 15 es: 15(3x+4)

Multiplicamos 15(3x+4) por la ecuación:

15(3 4) (6 5) 15(3 4) (5 2) 15(3 4) (2 3)15(3 4) 1

15 3 4 5

x x x x x xx

x

Se efectúan las operaciones indicadas:

2 2

(3 4)(6 5) 15(5 2) 3(3 4)(2 3) 15(3 4)

18 39 20 75 30 18 51 36 45 60

x x x x x x

x x x x x x

Se agrupan términos con la incógnita:

2 218 39 75 18 51 45 30 36 60 20x x x x x x

Se efectúen las operaciones indicadas: 42 14x

Dividimos la expresión por el coeficiente de la variable: 42 14

42 42

x

Resultado: 1

3x Nota: Compruebe el resultado

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS.

Estos sistemas están formados por dos ecuaciones que se satisfacen para los mismos valores de

sus incógnitas. Resolver el sistema consiste en obtener el conjunto de valores que satisfacen

simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Existen diferentes métodos para resolver sistemas

de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, tales como:

Eliminación por Igualación.

Eliminación por Sustitución.

Reducción o También llamado (Suma o Resta)


40

Regla de Eliminación por Igualación:

a) Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones (que sea la misma en las dos

ecuaciones).

b) Se igualan las dos expresiones obtenidas y se tiene una ecuación de una sola incógnita.

c) Obtenemos el valor de la primera variable, esto como resultado de la igualación anterior.

d) Se sustituye el valor de la variable obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones

despejadas en el primer paso, obteniendo el valor de esa incógnita.

Ejemplos:

2 3 10

4 6

x y

x y

a). 10 3 6

;2 4

y yx x

b).

10 3 6

2 4

y y

c). 2y d).

10 3(2) 4

2 2

2

x

x

Resultado: 2 ; 2x y

2 6

3 4 12

x y

x y

a). 6 12 4

;2 3

y yx x

b).

6 12 4

2 3

y y

c). 6

5y d).

6 246

245 5

2 2 10

12

5

x

x

Resultado: 12 6

;5 5

x y


41

Regla de Eliminación por Sustitución:

a) Despejamos una de las variables en la ecuación 1.

b) El resultado de variable despejada se sustituye en la ecuación 2 y se tiene una ecuación

de una sola incógnita.

c) Resolvemos, para obtener el valor de la incógnita presente.

d) Se sustituye el valor de la variable obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones,

obteniendo el valor de la otra incógnita.

Ejemplos:

3 4 24 (1)

5 7 1 (2)

x y

x y

a).

3 4 24 (1)

24 4

3

x y

yx

b). (24 4 )

5 7 1 (2)3

yy

c).

120 207 1

3

2040 7 1

3

207 1 40

3

20 2141

3

41 123

1233

41

yy

yy

yy

y y

y

y

d).

3 4 24 (1); 3

3 4(3) 24

3 12 24

24 12 124

3 3

x y y

x

x

x

Resultado: 4 ; 3x y

5 3 30 (1)

7 2 31 (2)

x y

x y

a).

5 3 30 (1)

30 3

5

x y

yx

b). (30 3 )

7 2 31 (2)5

yy


42

c).

(30 3 )7 2 31

5

210 212 31

5

2142 2 31

5

212 31 42

5

21 1011

5

1111

5

11(5)5

11

yy

yy

yy

yy

y y

y

y

d).

5 3 30 (1) ; 5

5 3(5) 30

5 15 30

30 15 153

5 5

x y y

x

x

x

Resultado: 3 ; 5x y

Método de Reducción o También llamado (Suma o Resta):

Ejemplo: 2 6 1

4 4 12 2

x y

x y

............... ( )

............ ( )

Aplicamos los siguientes pasos:

A. Multiplicar la ecuación 1 y 2 por el coeficiente de la variable que deseamos eliminar, de

tal manera que se obtenga igualaciones en ambas ecuaciones en esa variable y

considerando que el signo de la variable a eliminar debe ser opuesto en las ecuaciones.

2 6 (4)

4 4 12 ( 2)

8 4 24

8 8 24

x y

x y

x y

x y

B. Sumar o restar las 2 ecuaciones resultantes, de tal manera que se elimine una incógnita

obteniendo el valor de la variable presente.

8 4 24

8 8 24

12 0

0

x y

x y

y

y


43

C. Sustituir el valor obtenido de la variable no eliminada en una de las ecuaciones originales

y resolverla para obtener el valor de la otra incógnita.

2 6...............(1) ; 0

2 6

3

x y y

x

x

D. Resultados.

3 ; 0x y

Nota: Repetimos los pasos anteriores para el siguiente ejemplo.

4 3 5 (1)

3 5 11 (2)

x y

x y

A).

4 3 5 (3)

3 5 11 ( 4)

12 9 15

12 20 44

x y

x y

x y

x y

B).

12 9 15

12 20 44

29 29

1

x y

x y

y

y

C).

4 3 5 (1) ; 1

4 3 5

5 32

4

x y y

x

x

d). 2 ; 1x y

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS FRACCIONARIAS.

Ejemplos:

3 4 2(1)

7 3

5 4 242 (2)

11 2

x yx

x xy

A. Suprimimos denominadores.

21 3(3 4) 7( 2) (1)

44 2(5 4) 11( 24) (2)

x x y

y x x


44

B. Efectuamos operaciones.

21 9 12 7 14 (1)

44 10 8 11 264 (2)

x x y

y x x

C. Agrupamos términos y reducimos.

21 9 7 12 14 (1)

10 11 44 264 8 (2)

12 7 26 (1)

21 44 272 (2)

x x y

x x y

ECUACIONES RESULTANTES

x y

x y

D. Resolvemos las ecuaciones por cualquiera de los métodos anteriores.

12 7 26 (21)

21 44 272 (12)

252 147 546

252 528 3264

381 3810

10

x y

x y

x y

x y

y

y

E. Sustituyendo el resultado de y=10 en la ecuación 1

12 7 26 (1) ; 10

12 70 26

26 708

12

x y y

x

x

F. Resultado.

8 ; 10x y

311 (1)

2

7 (2)2

xy

yx

A. Suprimimos denominadores.

3 2 22 (1)

2 14 (2)

x y

x y

B. Efectuamos operaciones.

3 2 22 (1)

2 14 (2)

x y

x y

Nota: No hay cambios


45

C. Agrupamos términos y reducimos.

3 2 22 (1)

2 14 (2)

x y

x y

Nota: No hay cambios

D. Resolvemos las ecuaciones por cualquiera de los métodos anteriores.

3 2 22 (2)

2 14 ( 3)

6 4 44

6 3 42

2

x y

x y

x y

x y

y

E. Sustituyendo el resultado de y=2 en la ecuación 1

3 2 22 (1) ; 2

3 4 22

22 46

3

x y y

x

x

F. Resultado.

6 ; 2x y

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS.

Para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se pueden realizar los

siguientes pasos:

1. Se combinan dos ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, por algún método

de eliminación, de esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas.

2. Se combina la ecuación restante con alguna de las dos ecuaciones empleadas en el paso

anterior, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

3. Con las dos ecuaciones obtenidas en los pasos anteriores se forma un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas.

4. Se resuelve el sistema establecido para determinar el valor de las dos incógnitas.

5. Se sustituyen los valores obtenidos en alguna de las tres ecuaciones originales para

obtener el valor de la tercera incógnita.


46

Ejemplos:

3 5 14 1

2 2 10 2

2 3 6 3

x y z

x y z

x y z

........( )

........( )

..........( )

Para eliminar a x en las ecuaciones (1) y (2), se multiplica la ecuación (2) por – 3 y se suma

con la ecuación (1).

....3 5 14

3 6 6 30

x y z

x y z

7 11 16y z ………. (4)

Para eliminar a x en las ecuaciones (2) y (3) se multiplica la ecuación (2) por – 2 y se suma con

la ecuación (3).

2 4 4 20

2 3 6

x y z

x y z....

5 7 14y z …..….. (5)

Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando (4) y (5).

7 11 16 4

5 7 14 5

y z

y z

...........( )

............( )

Para eliminar a y en ecuaciones (4) y (5) se multiplica la ecuación (4) por 5 y la ecuación (5) por

– 7 y se suman ambas.

35 55 80

35 49 98

y z

y z

6 18z 18

36

z

Sustituyendo z = 3 en ecuación (5).

-5y + 7 (3) = –14 -5y + 21 = -14 -5y = -14 – 21

-5y = -35 y = 35

75


47

Sustituyendo z = 3, y = 7 en ecuación (1).

3x – 7 + 5 (3) = 14 3x – 7 + 15 = 14 3x + 8 = 14

3x = 14 – 8 3x = 6

x = 6

23 Resultado: (2, 7, 3)

4.2 ECUACIONES CUADRÁTICAS: SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

Y FORMULA.

Una ecuación que contiene una sola incógnita es cuadrática o de segundo grado, cuando el

exponente de la incógnita es 2, una vez realizadas las reducciones posibles. Los valores de x que

satisfacen la ecuación son las raíces de la ecuación o soluciones.

FACTORIZACIÓN.

En este método es importante distinguir los tipos de ecuaciones cuadráticas. Recordemos que la

ecuación es completa cuando tiene la forma: ax bx c2 0 , es incompleta cuando tiene las

formas ax bx2 0 ó ax c2 0 .

Para resolver las ecuaciones incompletas se utilizan los procesos de factorización por factor

común y por diferencia de cuadrados, mientras que para las completas se usa el proceso de

factorización de trinomios cuadráticos.

Ecuaciones cuadráticas Incompletas:

Ejemplos:

3 5 02x x

Factorizando por término común: x ( )3 5 0x

Igualando con cero ambos factores: x = 0 ó 3x + 5 = 0

Despejando a la incógnita: x = 0 ó x = 5

3

Las raíces de la ecuación son: x1 0 x2

5

3


48

Comprobación de Resultados:

Para x1 = 0 Para x2 = 5

3

3(0) 2 + 5(0) = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

3

5

35

5

30

2

325

9

25

30

75

9

25

30

0 – 0 = 0

0 = 0

2 10 02x x

Factorizando por término común: 2x (x – 5) = 0

Igualando con cero ambos factores: 2x = 0 ó x – 5 = 0

Despejando la incógnita: x = 0

2 ó x = 5

Las soluciones de la ecuación son: x1 0 y x2 5



2 (0) 2 - 10 (0) = 0

0 – 0 =0

2 (5) 2 - 10 (5) = 0

2 (25) – 50 = 0

50 – 50 = 0

0 = 0

2 18 02x

Dividiendo entre 2: x2 9 0

Factorizando la diferencia de cuadrados: (x + 3) (x – 3) = 0

Igualando con cero ambos factores: x + 3 = 0 ó x – 3 = 0


49

Despejando la incógnita: x = – 3 ó x = 3

Las raíces de la ecuación son: x1 3 y x2 3


Para x1 = -3 Para x2 = 3

2 (– 3) 2 – 18 = 0

2 ( 9 ) – 18 = 0

18 – 18 = 0

0 = 0

2 (3) 2 – 18 = 0

2 ( 9 ) – 18 = 0

18 – 18 = 0

0 = 0

9 16 02x

Como el coeficiente de x2 es un cuadrado se factoriza directamente:

(3x + 4) (3x – 4) = 0

Igualando con cero ambos factores: 3x + 4 = 0 ó 3x – 4 = 0


3 ó x =

4

3

Las soluciones de la ecuación son: x1

4

3

y x2

4

3

Nota: Comprobar los resultados.

4 7 02x

Factorizando como diferencia de cuadrados: (2x + 7 ) (2x – 7 ) = 0

Igualando con cero ambos factores: 2x + 7 = 0 ó 2x – 7 = 0


2 ó x =

7

2

Las soluciones son: 7

2xx

y x2

7

2


50


Para 7

2xx

Para x2

7

2

4

7

27 0

2

4 7

47 0

0 = 0

4 7

27 0

2

4 7

47 0

7 – 7 = 0

7 – 7 = 0

0 = 0

Ecuaciones cuadráticas completas:

Ejemplo:

x x2 5 6 0

Factorizando el trinomio correspondiente: (x – 3) (x – 2) = 0

Igualando con cero cada factor: x – 3 = 0 ó x – 2 = 0

Despejando en cada caso: x = 3 ó x = 2

Las raíces de la ecuación son: x1 2 y x2 3

Comprobación:


( 2 ) 2 – 5 ( 2 ) + 6 = 0

4 –10 + 6 = 0

– 6 + 6 = 0

0 = 0

( 3 ) 2 – 5 ( 3 ) + 6 = 0

9 – 15 + 6 = 0

– 6 + 6 = 0

0 = 0

5 4 12 02x x

Factorizando el trinomio cuadrático: (5x – 6) (x + 2) = 0

Igualando con cero ambos factores: 5x – 6 = 0 ó x + 2 = 0

Despejando la incógnita: x 6

5 ó x = – 2


51

Las raíces son: x1

6

5 y x2 2

Comprobación:

Para x1 = 6

5 Para x2 = – 2

5 6

5

2

+ 4

6

5

–12 = 0

5 36

25

+

24

5 –12 = 0

180

25

36

50

0 = 0

5 (– 2) 2 + 4 (– 2 ) – 12 = 0

5 (4) – 8 – 12 = 0

20 – 20 = 0

0 = 0

Completando el trinomio cuadrado perfecto.

Para completar el T.C.P. en expresiones cuadráticas, como x bx2 , se suma el cuadrado de la

mitad de b (coeficiente de x), quedando de la siguiente forma: b

2

2

por consiguiente la

ecuación nos queda: x bxb

xb

2

2 2

2 2

Recordemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto, es decir:

x y x xy y 2 2 22

x y x xy y 2 2 22

De acuerdo a lo anterior, el método de completar el T.C.P. consiste en verificar que el primer

término sea cuadrado, después se pasa al segundo miembro de la ecuación el término

independiente y se suma en ambos miembros la mitad del segundo término elevado al cuadrado.

Finalmente se factoriza como binomio al cuadrado y se despeja la incógnita.

Ejemplos:

x x2 8 15 0 completando el T.C.P.

Se pasa el 15 al segundo miembro de la ecuación: x x2 8 0 15

Se agrega el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término en ambos miembros para

completar el T.C.P.


52

x x2

2

88

2

=

15

8

2

2

Simplificando las expresiones racionales se obtiene: x x2 28 4 = -15 + 16

Realizando operaciones y factorizando: x 42 = 1

Sacando raíz cuadrada para eliminar el cuadrado:

x 42

= 1

x 4 = 1

Despejando la incógnita: x = 1 – 4

x1 = +1 – 4 = -3

x2 = -1- 4 = - 5

Por lo tanto el conjunto solución es: - 5, - 3

x x2 7 10 0 completando el T.C.P.

Se pasa el 10 al segundo miembro: x x2 7 = 0 – 10

Agregando el cuadrado a ambos miembros la mitad del coeficiente del segundo término:

x x2

2

77

2

= -10 +

7

2

2

Factorizando y realizando operaciones:

x

7

2

2

= -10 + 49

4 x

7

2

2

= 9

4

Sacando raíz cuadrada para eliminar el cuadrado:

x

7

2

2

= 9

4 x

7

2 =

3

2


2 +

7

2

x1 = 3

2

7

2 =

10

2 = 5

x2 = 3

2 +

7

2 =

4

2 = 2

Por lo tanto, el conjunto solución es: 2, 5


53

2 3 2 02x x completando el T.C.P.

Como el coeficiente del término cuadrático es diferente de uno, es necesario dividir toda la

ecuación entre el valor de dicho coeficiente:

2

2

3

2

2

2

0

2

2x x

Reduciendo la expresión: xx

23

21 0

Pasando el término independiente al segundo miembro: xx

23

2 = 0 + 1

Agregando la mitad del coeficiente del término lineal:

xx

2

23

2

1

2

3

2

= 1 +

1

2

3

2

2

Reduciendo se obtiene:

2

2 3 3

2 4

xx

= 1 +

3

4

2

Factorizando y realizando operaciones:

x

3

4

2

= 1 + 9

16 x

3

4

2

= 25

16

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros: x

3

4

2

= 25

16

x 3

4 =

5

4


4

5

4

x1 = 3

4

5

4 =

8

42 x2 =

3

4

5

4 =

2

4=

1

2

Por lo tanto, el conjunto solución es: 1

2, 2


54

FÓRMULA GENERAL

La fórmula general o cuadrática sirve para determinar las raíces de cualquier ecuación cuadrática.

Se obtiene completando el trinomio cuadrado perfecto en la ecuación general ax bx c2 0 ,

como se muestra a continuación:

Sea la ecuación general: ax bx c2 0

Pasando el término independiente al segundo miembro: ax bx c2

Dividiendo ambos miembros entre a : xb

ax

c

a

2

Sumando a cada miembro: 1

2

2

b

a =

b

a

2

24

Para completar el trinomio cuadrado perfecto:

xb

ax

b

a

2

2

24 =

b

a

c

a

2

24

Factorizando y poniendo en común denominador: xb

a

2

2

= b ac

a

2

2

4

4

Sacando raíz cuadrada a ambos miembros: xb

a

2 =

b a

a

2

2

4

4

Simplificando el radical y despejando a x: x =

b

a

b ac

a2

4

2

2

Escribiendo los términos con común denominador: x = b b ac

a

2 4

2

Por lo tanto, las raíces de toda ecuación cuadrática son:

x = b b ac

a

2 4

2 y x =

b b ac

a

2 4

2

Ejemplos:

3 2 5 02x x por fórmula general.

Los valores de los coeficientes son: a = 3 b = – 2 c = – 5

Sustituyendo en la fórmula cuadrática: x = ( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 4 3 7

2 3

2


55

Realizando operaciones:

x = 2 4 60

6

x =

2 64

6

x =

2 8

6

x1 = 2 8

6

=

6

6 = –1 x2 =

2 8

6

=

10

6 =

5

3

Por lo tanto, el conjunto solución es: -1, 5

3

2 5 1 02x x por fórmula general.

Los valores de los coeficientes son: a = 2 b = – 5 c = 1

Sustituyendo en la fórmula general: x = ( ) ( ) ( )

( )

5 5 4 2 1

2 2

2

Realizando operaciones:

x = 5 25 8

4

x =

5 17

4

Por lo tanto las soluciones son:

x1 = 5 17

4

x2 =

5 17

4

EJERCICIO DEL TEMA 4.1

I.- RESUELVE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CON UNA

INCOGNITA.

1 61147 x 2 2 2 2( )( ) ( )a b x b x ab

3 732 x 4 1

32

1

2

xx

x

5 xx 2323 6 8 – 5x = 2x – 20

7 2

6

5

3

2

xxx 8

x x

2

3

8 4

5

4

9 4)3(3 xxx 10 1

21

3

1

xxx

11 x- 154)1(4 xx 12 bx

x

bx

bx

13 xxaax 3)2()2(2 14 4( x + 2) = 7( 3 – x)

15 x x

5

1

10 2

1

20 16 4( 2x – 1) – (3x + 2) = 0


56

II.- RESUELVE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE DOS Y TRES

INCOGNITAS.

1 ,23 yx 532 yx

2 932 yx 3x+4y=5

3 74 yx 432 yx

4 023 yx 1152 yx

5 079 yx 5x-9y=0

6 2 3 5x y z 3 2 15x y z 3 4 5 14x y z

7 2 3 7x y z 2 11x y z 3 2 4x y z

8 3 4 2 53x y z 2 3 4 20x y z 4 2 3 11x y z

III.- RESUELVE LOS SIGUIENTES CUESTIONAMIENTOS.

Si al doble de un número se le agrega el triple de otro se obtiene 22; si al doble del

primero se le resta el segundo, se obtiene 2. Hallar ambos números.

La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 37 años; hallar la edad de cada uno

sabiendo que 2 años después, la edad del padre es 5 años mayor que el triple de la edad

del hijo.

Si a 3 veces un número se agrega 4 veces otro resulta –1; si a 6 veces el primero se resta 2

veces el segundo, resulta 3. Encontrar ambos números.

EJERCICIO DEL TEMA 4.2

I.- RESUELVE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS

POR FACTORIZACIÓN.

1 5 10 02x x 2 3 14 8 02x x

3 3 02x x 4 4 13 3 02x x

5 x2 49 0 6 x x2 7 18 0

7 3 108 02x 8 6 31 35 02x x

9 x x2 11 30 0 10 x x2 4 21 0


57

II.- RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

1 x x2 15 56 0 2 x x2 12 32 0

3 9 3 2 02x x 4 x x2 9 20 0

5 x x2 9 22 0 6 3 2 7 02x x

7 x x2 12 20 0 8 2 5 2 02x x

9 x x2 10 11 0 10 x x2 7 18 0

III.- RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA

GENERAL:

1 4 12 9 02x x 2 8 6 9 02x x

3 x x2 11 12 0 4 2 11 12 02x x

5 8 6 12x x = 0 6 3 5 1 02x x

7 3 7 22x x = 0 8 5 4 122x x = 0

9 3 5 82x x = 0 10 5 2 12x x = 0


58

TEMA V

TRIGONOMETRIA


59

5.1 PLANO CARTESIANO.

Recta Numérica.

Consideramos sobre un segmento dirigido hacia dos polos opuestos (derecha e izquierda),

señalando un punto situado arbitrariamente denotado con el “0” al que se llama origen; los

puntos a la derecha del origen están asociados a números positivos ( 1,2,3,...... ) y los situados a

la izquierda a números negativos ( -1, -2, -3, ......).

Al interceptarse dos rectas en un punto en forma perpendicular, se tendría una recta XX’ y otra

YY’, recibiendo el nombre de ejes. De tal manera que la recta XX’ se denomina ejes de las

abscisas y la recta YY’ se denomina eje de las ordenas; el punto de intercepción de ambos ejes es

el origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas

cuadrantes y que se numeran en el orden indicado en la siguiente figura:

Coordenadas.

Cada punto P del plano tiene asociado un par de números e inversamente a cada par ordenado de

números le corresponde un punto denotado P (x, y). En donde “x” representa la distancia del

punto P al eje vertical de la abscisa y “y” representa la distancia del eje horizontal de la ordenada

denominado plano cartesiano.


60

Localización de un punto en el plano:

Ejercicios: Localiza los siguientes puntos en un plano cartesiano, indicando en que cuadrante se

encuentra.

A (3,2) B(-1,-1)

C(1/3, -2) D(2,7)

E(0,-1) F(-5 ¾ , 4)

G(-9/2 , -7/3) H(O, )

1. Unir los puntos M (4, 7), N (-1, 3), P(-6, -1) demostrando que se encuentran en línea recta.

2. Los puntos A (-9, -2), B(2, -2), C(5, 5), D(-6, 5) son vértices de un paralelogramo.

3. Qué el punto 0’ (-2, -3) es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos a(-6, 1), D(2,

1), C(-6, -7).

4. Localiza en un plano cartesiano tres puntos arbitrarios que formen los vértices de un

triángulo isósceles.


61

5.2 RELACIONES TRIGONOMETRICAS.

Definición de las razones trigonométricas

En geometría Euclidiana encontramos que existen, respecto al estudio de los triángulos, tres

relaciones significativas.

1.- Relación entre los ángulos interiores de un triángulo: “Para todo triángulo la suma de sus

ángulos interiores es siempre igual a dos ángulos rectos o 180°

2.-Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: Es aplicable solo a “Triángulos

rectángulos”, y se conoce como el Teorema de Pitágoras.

3.-Relación entre un ángulo y lados de un triángulo rectángulo: Esta tercera relación

también es aplicable al triángulo rectángulo. Se conoce con el nombre de Razón Trigonométrica.

Dicha relación, que se da entre los ángulos interiores de un triángulo rectángulo y los lados del

mismo, es la que permite construir razones trigonométricas.

Si se considera el triángulo rectángulo ABC, las razones que se pueden formar con las

longitudes de los lados del triángulo son las siguientes:

Estas razones reciben el nombre de Razones Trigonométricas. Para distinguir cada una de

ellas se ha convenido en asignarles un nombre en especial, en donde se toma como

referencia a uno de los ángulos agudos. Así se tiene que:

Si se considera el ángulo A

b

a,

c

a,

c

b,

a

b,

a

c,

b

c


62

RAZON RAZON TRIGONOMETRICA NOMBRE

c

a

cateto opuesto

hipotenusa Seno A

c

b

hipotenusa

adyacentecateto

Coseno A

b

a

adyacentecateto

opuestocateto

Tangente A

a

b

stocatetoopue

adyacentecateto

Cotangente A

b

c

adyacentecateto

hipotenusa

Secante A

a

c

opuestocateto

hipotenusa

Cosecante A

Ejercicio 1. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B) de

cada triángulo rectángulo que aparecen abajo.


63

Ejercicio 2.

Determina cuánto mide el ángulo A y el

lado c.

Determina cuánto mide el lado “b” y el

ángulo Φ

Determina el valor del ángulo Φ Determina el valor de los ángulos.

Razones trigonométricas en un ángulo en posición normal.

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje

positivo de las “x” y el radio vector que va del punto P al origen del sistema de referencia. El

vértice del ángulo es el punto llamado origen, la hipotenusa del triángulo es la distancia virtual

entre el punto P y el origen del sistema, la cual se llama “Radio vector”. Los catetos del

triángulo son las distancias del punto P a los ejes coordenados, llamadas abscisa (x) y ordenada

(y) de P.


64

Valores exactos de las Razones Trigonométricas para los ángulos de 0, π / 6, π / 3, π / 2.

En el trabajo cotidiano con las matemáticas muchas de las veces hay que utilizar valores exactos

de las relaciones trigonométricas, a continuación se presenta de manera breve y práctica, la

forma en cómo se pueden obtener los valores fácilmente.

Si utilizamos un cuadrado de lado 1 y trazamos una de sus diagonales podemos obtener los

valores para el ángulo de 45° = π /4

Para obtener la hipotenusa utilizamos el teorema de Pitágoras:

c² = a ² + b² c ² = (1)² + (1)² c ² = 1 + 1 c = 2

Sustituyendo en las relaciones trigonométricas:

Sen 45° = 2

1

2

2 • =

2

2 Cos 45° =

2

1

2

2 =

2

2 •

Cot 45° = 1

1 = 1 Sec 45° =

1

2 = 2

Tan 45° = 1

1 = 1 Csc 45° =

1

2 = 2

Para obtener los valores de 60° = 3

π utilizaremos un triángulo equilátero y trazaremos

una de sus alturas.

Nota: el cuadrado es la única figura plana

en la que al trazar una de sus diagonales

el ángulo se divide en dos iguales.


65

Para obtener el valor del cateto utilizamos el teorema de Pitágoras:

c² = a ² + b ² (1) ² = ( 2

1 ) ² + b ² 1 =

4

1 + b²

b = 4/3 b ² = 1

1 -

4

1 =

2

3

Sustituyendo en las razones trigonométricas

Sen 60° = 12

3

= 2

3

Cos 60° = 2

1=

1

12

1

Tan 60° = 3=2

32=

2

12

3

Cot 60°= 3

3=

3

3.

3

1=

32

2=

2

3

2

1

Sec 60°= 2=1

2=

2

11

1

Csc 60° =

2

3

1=

3

32=

3

3.

3

2

Para obtener los valores de 30° = 6

π utilizamos el mismo triángulo sólo que invertido.


66

Sustituyendo los valores en las relaciones trigonométricas.

°30Sen =2

1=

1

12

1

2=1

2=

2

11

1

=°30Csc

3

32=

3

3•

3

2=

2

3

1

1

=°30Sec 3=2

32=

2

12

3

=°30cot

Tabla de valores exactos de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

VALORES

DE LOS

ANGULOS

EN

RADIANES

NOMBRE DE LA FUNCION

SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

6

π

2

1

2

3

3

3 3

3

32 2

4

π

2

2

2

2 1 1 2 2

3

π

2

3

2

1 3

3

3 2

3

32

Determinación de las razones trigonométricas, a partir de un punto en el plano.

Primer cuadrante: En este cuadrante x, y, r son números positivos, entonces las razones

trigonométricas del ángulo α son positivas.


67

Ejemplo:

Determinar las razones trigonométricas de un ángulo” α “si un punto de su lado terminal es P

(4, 7).

Calculando el valor de r por el teorema de Pitágoras: 2 2r x y

r = 2 24 7 r = 65 r = 8.01

x= 4 y=7 r=8.01

Sen α = 8

7 Cos α =

8

4 Tan α =

4

7

Sec α = 4

8 csc α =

7

8 Cot α =

7

4

Segundo cuadrante:

Si el punto “P” del lado terminal del ángulo “β” y pertenece al segundo cuadrante, entonces:

Ejemplo:

Determine las razones trigonométricas del ángulo β, si un punto de su lado terminal es P

(-4, 6).

Calculando el valor de r por el teorema de Pitágoras: 2 2r x y

r = 2 2( 4) (6) r = 52 r = 7.21

x = - 4, y = 6, r = 7.21


68

Sen β = 8

6 Cos β =

4

8

Tan β =

4

6

Csc β = 6

8 Sec β =

8

4 Cot β =

4

6

Tercer cuadrante:

Si el punto P del lado terminal de ángulo Φ y pertenece al tercer cuadrante entonces:

Ejemplo:

Determine las razones trigonométricas del ángulo, si el punto en su lado terminal es (-9,

-12).

x= -9, y = -12, r = 15

Nota: realiza el cálculo del valor de r y compara.

Sen Φ = 15

12- Cos Φ =

15

9- TanΦ =

9

12

-

-

Csc Φ = 12 -

15 Sec Φ =

9

15

- Cot Φ =

12

9

-

-


69

Cuarto cuadrante. (RESUELVE EL EJERCICIO PARA ESTE CUADRANTE)

Ejercicio: Determine las razones trigonométricas del ángulo β si su punto terminal es P (8, -6).

x= y= r=

Sen Φ = 15

12- Cos Φ =

15

9- TanΦ =

9

12

-

-

Csc Φ = 12 -

15 Sec Φ =

9

15

- Cot Φ =

12

9

-

-

Ejercicios.

1.- Si sen α = 5/13, encontrar el valor del lado desconocido y obtener las demás funciones.

2.- Calcular los ángulos interiores del siguiente triángulo.

Las relaciones trigonométricas también son muy importantes ya que se

utilizan mucho para resolver problemas de aplicación real.


70

3.- Un silvicultor de 1.65 m de altura se encuentra a 50 m de la base de un árbol y observa que el

ángulo entre el suelo y la punta del árbol es de 55°. Estime la altura del árbol.

50 m

4.- Un cohete se dispara a nivel del mar y sube a un ángulo constante de 75° a una distancia de

5000 m. Calcule la altura que alcanza.

5.- Un aeroplano despega formando un ángulo de 10° y viaja a una velocidad de 225 m/s ¿qué

tiempo tarda aproximadamente en llegar a una altura de 15000 m.

6.- Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación visto por una

persona en el suelo es de 19° 20’ y por otra en el lado contrario es de 48° 55’ y la distancia que

separa a estas dos personas es de 500 m. Calcular la altura del globo.

7.- Una caja rectangular tiene las dimensiones 8 cm x 6 cm x 4 cm. Calcule con exactitud el

ángulo θ que forma una diagonal de la base y la diagonal de la caja, como se ve en la figura.

h =

55°


71

5.3 TEOREMA DE PITAGORAS

Pitágoras matemático griego, demostró uno de los teoremas más importantes en las matemáticas,

mismo que lleva su nombre. El teorema de Pitágoras señala textualmente “En todo triángulo

rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Y en

forma algebraica se representa:

c2 = a

2 + b

2

Donde:

c = Hipotenusa

a , b = Catetos

Recuerda que los catetos son los lados que forman el ángulo recto (90°) y la hipotenusa el lado

opuesto ó el más largo.

Demostraciones.

A la fecha se han descubierto un gran número de formas de demostrar el teorema de Pitágoras,

pero las más conocidas y de fácil comprensión para el alumno son las siguientes:

1ª. Demostración:

El área de un cuadrado grande (figura 1) es igual al área del cuadrado chico (o sea que está

dentro del grande) más el área de los cuatro triángulos.


72

Cómo el área del cuadrado grande es: (a + b)²

El área del cuadrado chico es: (c)²

El área de los cuatro triángulos es: 2

)b.a(4

El lado del cuadrado grande es: a + b

Lado cuadrado chic: c

Entonces, según lo dicho, el área del cuadrado grande es:

(a + b)² = (c)² + 2

)ab(4

De donde, si despejamos c: c² = (a + b)² - 2

)ab(4

Desarrollando: c² = a ² + 2ab + b ² - 2ab

Reduciendo: c² = a ² + b ²

La demostración anterior se debe al Inglés H.E. Dudeney (1857- 1931), extraordinario perito

en la disección geométrica. Para todos los triángulos rectángulos, los cuadrados construidos

sobre los catetos, al sumar sus áreas, se tiene un valor igual al área del cuadrado, construido en la

hipotenusa.

Para que se comprenda esta demostración, realiza la siguiente actividad:

1.- Traza un triángulo rectángulo con las siguientes medidas: 6 cm. de base, 8 cm. de altura y 10

cm. de hipotenusa. Sigue las instrucciones:

El cateto a, es el lado del cuadrado cuya medida es 8 cm., el área del cuadrado es:

El cateto b, es el lado del cuadrado que mide 6 cm., el área del cuadrado es:

La hipotenusa mide 10 cm., esta medida es el lado del cuadrado que tiene un área de:

Compara el área del cuadrado de la hipotenusa con la suma de las áreas de los otros dos

cuadrados, mediante el siguiente procedimiento:

1. Traza sobre cualquier tipo de papel, dos triángulos rectángulos con los cuadrados de sus

catetos y el de la hipotenusa, con las medidas de la figura anterior.

2. En ambas figuras cuadrícula los cuadrados de los catetos y de la hipotenusa.

3. Pinta los cuadritos de las figuras como se indica

4. Recorta los cuadritos rojos del cuadrado de la hipotenusa de la figura A y colócalos

sobre los cuadrados de los catetos del la figura B. ¿Qué ocurre?


73

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

__________________________________________________________

5. Ahora recorta los cuadritos rojos de los cuadrados de los catetos de la figura A y colócalos

sobre el cuadrado de la hipotenusa de la figura B, ¿Qué observas al respecto?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

__________________________________________________________

Pudiste darte cuenta que, el número de cuadritos que componen los cuadrados de los catetos, es

igual al total de cuadritos que forma el cuadrado de la hipotenusa y viceversa.

Entonces en el triángulo rectángulo cuyas medidas son: 6 cm. y 8 cm. de los catetos y 10 cm. de

la hipotenusa, se establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa. En forma general establecemos que:

c 2 = a 2 + b 2

Ejemplos:

La siguiente figura, muestra la forma de un jardín rectangular, se requiere

cubrir la mitad de la superficie con pasto, trazando una diagonal de extremo

a extremo de la superficie de la misma. Calcular la diagonal que divide el

área del jardín.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

25 ; 18

(25 ) (18 )

625 324

949 30.48

a m b m

c a b

c m m

c m m

c m m


74

La sombra de una torre es de 80 pies, y la distancia del punto más alto de la

torre al punto donde termina la sombra que se proyecta es de 230 pies.

¿Cuál es la altura de la torre?

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

230 ; 80

;

(230 ) (80 )

52900 6400

59300 243.51

c ft b ft

c a b a c b

a ft ft

a ft ft

a ft ft

Michael Jordán mide 2.10 m de estatura, si se encuentra en la Alameda

Central, y en ese momento la proyección de su sombra es de 3.75 m, ¿cuál

es la distancia del punto más alto de Jordán a donde termina su sombra es?

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2.10 ; 3.75

(2.10 ) (3.75 )

4.41 14.06

18.47 4.29

a m b m

c a b

c m m

c m m

c m m


75

Ejercicios.

RESUELVE CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1. Calcular el valor de la hipotenusa o el cateto según sea el caso y colocarlo en la tabla.

No. a b c

1 5cm 12cm

2 7cm 25cm

3 29.4Mm 57.1Mm

4 15cm 17cm

5 49m 69m

6 1.5 Km 0.5Km

2. Calcular la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 6 cm. y cada uno de los lados

iguales mide 4 cm.

3. Calcular la altura de un triángulo equilátero que mide 8 cm. de lado.

4. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1 cm?

5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal es igual a 9 cm?

6. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 15 m de altura se desea poner

4 tirantes, la base de los tirantes se encuentra a una distancia de 9 m de la base de la antena,

¿cuántos metros cable de acero se necesitan?

5.4 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Concepto de identidad: Una identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones de

un mismo ángulo que son válidas para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. También

se conoce como identidad aquella igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo que

aparece en la igualdad.

Ejemplo:

Consideremos la identidad 1cos22 xxsen , el valor del ángulo x , puede ser cualquiera

(10°,26°,-57°,270°,896°, etc), en este ejemplo el ángulo 30x , tenemos que:

1cos22 xxsen

230sen 130cos

2 2

5.0 18660.02

175.025.0 11


76

Identidades fundamentales que se abordan en este tema son:

Identidades Reciprocas.

Identidades de Cociente. Identidades Pitagóricas.

Identidades de argumento compuesto: suma y resta de ángulos, ángulo doble y ángulo

mitad.

Identidades recíprocas.

Dos números son recíprocos cuando la multiplicación de ellos nos da por resultado la unidad, por

ejemplo:

128

28

4

7

7

4

1

30

30

5

6

6

5

De manera general: 1

ab

ab

a

b

b

a

Recordemos que las funciones seno

h

oc. y cosecante

oc

h

.son recíprocas, esto quiere decir

que el producto de ambas es la unidad.

I. 1csc sen , consideremos que 5

3sen y la

3

5csc , sustituyendo en (I),

115

15

35

53

3

5

5

3

De tal forma que las identidades recíprocas son:

I. 1csc sen

csc

1sen

sen

1csc

II. 1seccos

sec

1cos

cos

1sec

III. 1cottan

cot

1tan

tan

1cot

Identidades de cociente.

Estas identidades de cociente se obtienen al dividir las funciones trigonométricas seno

h

oc. y

coseno

h

ac., de la siguiente manera:


77

tan

.

.

.

..

.

.

cos

ac

oc

ach

hoc

h

ac

h

oc

sen

De manera análoga, al dividir coseno entre seno, el resultado que se obtiene es la cotangente.

cot

.

.

.

..

.

cos

oc

ac

och

hac

h

och

ca

sen

IV.

costan

sen

costansen

tancos

sen

V.

sen

coscot

sencotcos

cot

cossen

Identidades pitagóricas.

Las identidades pitagóricas son llamadas así debido a que se construyen a partir del teorema de

Pitágoras, como se muestra en la siguiente figura:

Observe que en este triángulo la hipotenusa tiene un valor de 1, para construir las identidades

pitagóricas se necesita obtener el senA y el Acos .

senAa

aa

h

ocsenA

1

.

Ab

bb

h

acA

cos

1

.cos

Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene la primera identidad pitagórica fundamental,

considerando que senAa , Ab cos y 1c . 222 cba


78

Sustituyendo: 2221cos AsenA

Se obtiene la identidad VI 1cos22 AAsen …………….…VI

AsenA

AsenA

AsenA

AAsen

2

22

2

22

1cos

1cos

cos1

cos1

Para obtener la identidad VII se divide la identidad VI entre Asen2

AsenAsen

A

Asen

Asen22

2

2

2 1cos

Efectuando los cocientes tenemos: AA 22 csccot1 ……………….VII

Despejando

AA

AA

AA

AA

22

2

22

2

cotcsc1

1csccot

1csccot

cot1csc

Para obtener la identidad VIII se divide la identidad VI entre A2cos

AA

A

A

Asen22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

Efectuando los cocientes AA 22 sec1tan ………………….VIII

Despejando

AA

AA

AA

AA

22

2

22

2

tansec1

1sectan

1sectan

1tansec

Las identidades trigonométricas vistas hasta ahora, normalmente se emplean junto con

procedimientos algebraicos para demostrar que dos expresiones son iguales. El método más

adecuado para verificar que una igualdad es una identidad, consiste en transformar un miembro

de la igualdad en la forma que tiene el otro. No existe un método general para realizar estas

transformaciones, pero las siguientes recomendaciones podrán ser útiles para la demostración de

identidades.

Generalmente, es preferible elegir el miembro de apariencia más complicado.

Sustituir, de ser necesario, algunas identidades fundamentales.

Si no es posible aplicar las indicaciones anteriores, el miembro más complicado se transforma a senos y cosenos y se simplifica hasta obtener la demostración

correspondiente.

Se recomienda, no perder de vista al efectuar las operaciones, los términos a los que se quiere llegar en la demostración.


79

Ejemplos:

Demostrar la identidad.

cotsec

costan

sen

Se elige el primer miembro de la igualdad, por ser el más complicado y se transforma el primer

miembro a senos y cosenos, sabiendo que:

costan

sen

cotsec

coscos

sen

sen

Resolviendo la fracción del numerador:

cos

coscos

cos

2

sensen

cotsec

1

cos

cos 2

sen

sen

Aplicando la regla del sándwich se obtiene:

cotsec

cos

cos1 2

sen

sen

Efectuando operaciones:

cotsec

cos

cos 2

sen

sen

Asignándole el divisor a cada término del Numerador:

cotsec

cos

cos

cos

2

sensen

sen

Simplificando:

cotsec

cos

cos

1

sen

Sabiendo que

cos

1sec y

sen

coscot

Sustituyendo, se obtiene la demostración: cotseccotsec

de que ambos términos son iguales

Demostrar la identidad coscot sen

Sustituimos:

sen

coscot

cos

cos

sensen

cos = cos


80

Ejercicios.

DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1. tgxxsenx sec 2. xtgxx 2)1)(sec1(sec

3. xxx cotcsccos 4. xsenxx 2)cos1)(cos1(

5. xxx csccotsec 6. xxsen 22 cos43

7. xxtg 22 sec32 8. xx

x 2cossec

cos

9. xx

x

cos

1

cot

csc 10.

xtgx

senxxtgx

sec

2cos

11. senxxtgx

x

cot

sec 12. senx

tgxx

x

1

sec

cos

13. x

xxsen

2

24

csc

cos1 14.

senxx

tgx

x

tgx 2

sec1sec1

15. xsenx

xtgxcos

1cot 16. x

xtgx

xcos

cot

csc

17. 1sec

cos

csc

x

x

x

senx 18.

senx

xx

x

senx seccot

cos

19. 1cotcotsec 222 xxx 20. xxsenx cos)1(sec 2

21. 1)1)(1( 22 xtgxsen 22. xsenxsenx 222 21cos

23. 1cos2cos 244 xxsenx 24. xxxx 2222 cotcos1coscsc

25. xx

xsenxcos3

cos

1cos2 22

26. senx

x

x

senx

1

cos

cos

1

27. x

x

xsen

senxtgx

cos1

sec3

28. x

x

xsen

xxx

cos1

csccotcsccsc 2

2

2


81

5.5 LEY DEL SENO Y COSENO.

Ley de senos y cosenos Como ya vimos anteriormente, la solución de triángulos rectángulos es única y exclusivamente

por el Teorema de Pitágoras, y si se conoce un ángulo y un lado se puede resolver con la

relaciones trigonométricas (senos, cosenos, tangentes, etc.). Para los triángulos que no son

rectángulos (escalenos, acutángulos y oblicuángulos, equiláteros e isósceles); se utilizan métodos

diferentes, llamadas comúnmente LEY DE SENOS Y COSENOS. Estas no son más que

formulas con cuatro incógnitas en donde para poder utilizarlas mínimo se debe conocer el valor

de tres y para obtener el valor de la cuarta incógnita únicamente se sustituye o se obtiene con un

simple despeje.

Deducción de la ley de senos y cosenos.

Ley de senos: Si tenemos el siguiente triángulo ABC, como no tiene ángulo recto no

podemos aplicar las funciones conocidas, pero si le trazamos una altura sobre el lado que

sirve de base, observaremos que se convierte en dos triángulos rectángulos.

Entonces utilizaremos la función seno para el ángulo α y β.

Despejando el valor de las alturas: h1 = b Sen α h2 = a Sen β

Igualando las Alturas tenemos: h1 = h2 b Sen α = a Sen β

Si dividimos ambos lados de la igualdad entre ab:

Tomando la altura sobre BC y usando el mismo razonamiento obtendremos:

Así obtendremos la igualdad conocida como Ley de Senos, y la representamos de la siguiente

manera:


82

La Ley de los Senos se utiliza para resolver triángulos (escalenos, isósceles equiláteros, etc.), en

los siguientes casos:

A) Cuando conoces dos ángulos y un lado adyacentes a uno de ellos.

B) Cuando conoces dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Ejemplo del caso 1: Calcular los lados y ángulo que falta en el siguiente triángulo.

El valor de γ lo encontramos por la diferencia: 24° + 132° + γ = 180°

γ = 180° - 24° - 132° γ = 24°

Para calcular el lado a, buscamos un lado y un ángulo conocidos que se correspondan, en este

caso pueden ser el lado c y el ángulo C.

a = 350 cm

Para calcular el lado b se utiliza el mismo procedimiento.


83

Ejercicio del caso 2: calcular los lados y ángulos que faltan en el siguiente triángulo.

Para obtener el ángulo α utilizamos:

Sustituyendo los datos que tenemos:

Para obtener el ángulo β despejamos:

α + β + γ = 180° β = 180° - α - γ

β = 180° - 50° 25’ 45.27’’ - 42°

β = 87° 34’ 14.73’’

Para obtener el lado b:

Sustituyendo datos y despejando el lado b:

Trazo correcto del triángulo con todos sus lados y ángulos:


84

Ley de cosenos: La ley de los senos no es suficiente para resolver el problema planteado porque

faltan datos. Por ejemplo imaginemos, que se conocen los tres lados: así al sustituir en la Ley de

los senos, tendríamos dos incógnitas: los dos ángulos. Para resolver este tipo de problemas se

aplica la Ley de los Cosenos. Si tenemos el triángulo ABC

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triangulo ACD tenemos: (h1)2 = b

2 x

2

Para el triángulo BCD: (h2)2 = a

2 (c x)

2

Si igualamos las dos expresiones para h1 y h2 tenemos: (h1) 2 = (h2)

2

b 2 x

2 = a

2 ( c x )

2 a

2 = b

2 x

2 + ( c x )

2

a2 = b

2 x

2 + c

2 2 c x + x

2 a

2 = b

2 + c

2 2 c x

Como:

Entonces: b cos α = x

Y sustituimos x por su valor, tendremos: a2 = b

2 + c

2 2 b c cos α

Ésta es la Ley de los cosenos, si despejamos cos α queda:

Otras formas de la ley de los cosenos:

Casos de aplicación de la ley:

Caso 1. Cuando conoces sus tres lados.

Caso 2. Cuando conoces dos lados y el ángulo comprendido.


85

Ejemplo del caso 1: Calcular los ángulos, conociendo sus tres lados del siguiente triángulo.

En este caso se conocen los tres lados y no sabemos cuanto miden los ángulos, por los tanto

aplicamos la fórmula para calcular ángulos.

Cos α = b2 + c

2 a

2

2 bc

Sustituyendo, tenemos:

Cos α = 182 + 15

2 14

2

2 (18) (15)

α = Cos –1

0.6537 α = 49.1785 α = 49° 10 42

NOTA: Con este procedimiento, encuentra el valor de los otros dos ángulos β y γ; luego verifica

que los ángulos interiores sumen 180°, además con todos los lados y ángulos traza

correctamente el triángulo para comprobar.

Ejemplo del caso 2: Calcular los lados y ángulos del siguiente triángulo si conocemos o dos

lados y el ángulo entre ellos.

Utilizando la segunda ley de los cosenos: b

2 = a

2 + c

2 2 a c cos β ....... 2

b2 = (3.6 cm.)

2 + (2.55 cm.)

2 - 2 (3.6 cm.) (2.55 cm.) cos 112° 36’

b2

= 12.96 cm2 + 6.5025 cm

2 - 18.36 cm

2 (- 0.3843)

b2 = 19.4625 cm

2 + 7.0557 cm

2

b2 = 26.5182 cm

2

b = 5.1496 cm.


86

Para obtener el ángulo β, tenemos:

Sustituyendo datos y realizando operaciones:

Despejando γ:

Para obtener α: α + β + γ = 180° α = 180° - β - γ

Sustituyendo el valor de β y γ:

α = 180° - 112° 36’ – 27° 12’ 13.14’’ α = 40° 11’ 46.86’

Trazo correcto del triángulo resuelto:

Ejercicio 1: Calcular el área del siguiente triángulo escaleno.

Si conocemos dos lados del triángulo y el ángulo que forman estos dos lados el área del triángulo

la podemos calcular con las siguientes fórmulas.


87

Ejemplo: Obtener el área del triángulo de la siguiente figura.

Utilizando la fórmula 1 tenemos:

Sustituyendo datos y realizando operaciones:

Ejercicio.

I.- CALCULA LOS LADOS Y ÁNGULOS QUE FALTAN Y TRÁZALOS

CORRECTAMENTE ATRAVES DE LA LEY DE LO SENOS.

1 α = 83° β = 5° 15' b = 81 cm.

2 α = 41° β = 60° 40' a = 13.5 cm.

3 α = 51° 40' β = 62° b = 24 m

4 α = 41° γ = 76° a = 10.5 m

5 β = 27° 40' γ = 52° 10' a = 32.6 m

6 β = 50° 40' γ = 70° 40' c = 537 m


88

7 γ = 81° c = 11 m b = 12.5 m

8 α = 32.32° c = 574.3 cm. a = 263.4 cm

9 β = 113° 40' b = 248 cm. c = 195 cm.

10 β = 121.624° b = 0.283 mm c = 0.178 mm

II.- PROBLEMAS REALES QUE SE RESUELVEN CON LA LEY DE LOS SENOS.

1. Calcular el área y el perímetro de un paralelogramo, si una de sus diagonales mide 5.4 cm. y

los ángulos que forma ésta con los lados del paralelogramo son de 49° 36’ y 20° 2’.

2. Dos hombres que están el campo en un llano separados 70 m uno del otro, observan un

helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 45° y 59°.

Determinar la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero.

3. Una carretera recta forma un ángulo de 18° con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación

del sol es 63°, un poste vertical al lado de la carretera forma una sombra de 68 m de longitud

pendiente abajo. Calcule la longitud del poste.

III.- CALCULAR EL ÁREA DE LOS SIGUIENTES Y TRIÁNGULOS SEGÚN LOS DATOS

QUE SE PROPORCIONAN UTILIZAR LA EL PROCEDIMIENTO CORRECTO.

1.

2.

3.

4.

a = 4 cm.

a = 12 Km.

α = 60°

β = 150°

b = 5 cm.

b = 18 Km.

b = 20 cm.

a = 160 Km.

c = 6 cm.

c = 20 Km.

c = 30 cm.

c = 45.3 Km.

5. a = 5.6 cm.

6. a = 3.2 mm

7. γ = 48°

8. β = 110.2°

b = 8.3 cm.

b = 4.8 mm

b = 10 m

a = 3 cm.

c = 10.6 cm.

c = 6.3 mm

c = 15 m

c = 7 cm.

1. El ángulo en una esquina de un terreno triangular es 72° 40’, y los lados que se cortan en esa

esquina tienen 175 pies y 150 pies de longitud calcular el área del terreno en m2.

2. Calcular el área del paralelogramo de la

siguiente figura de tres formas diferentes y

demostrar que es la misma.

3. Calcular el volumen de la caja rectangular

que se ve en la figura en cm3. Si las

dimensiones son (en pulgadas 8 x 6 x 4).


89

BIBLIOGRAFIA

1. BALDOR, J. A., Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría, 11ª reimpresión,

México, 1996, edit. Publicaciones Culturales.

2. SWOKOSKI, E. W, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 3ª ed., Colombia,

1996, edit. Iberoamérica, S. A. de C. V.

3. BARNETT, A. R. y otros., Trigonometría Analítica, 7ª ed., México, 2001, edit.

Internacional Thompson Editores, S. A. de C. V.

4. SWOKOSKI y COLE., Trigonometría, 9ª ed., México, 2001, edit. Internacional Thomson

Editores, S. A. de C. V.

Documents

CUADERNILLO-INDUCCION-2015