Fundamentos de Anlisis Estructural Segundo Semestre 2009-
Deformaciones
Deformaciones en vigas
Ecuacin de la Elstica, Teoremas de Mohr
Figura 1.- Elstica.
Figura 2.- Tensiones y acortamientos unitarios en una seccin
transversal de la viga.
Al analizar un tramo x de una viga deformada, el ngulo que
forman las normales a la elstica es (. La tangente a la curva en x
forma con la horizontal un ngulo ( (x), y en x+ x, un ngulo ( (x+
x). R es el radio de curvatura.
La curvatura se define como
La definicin geomtrica de derivada es= y
Como las deformaciones son pequeas, la deformada es prcticamente
igual a la posicin no deformada,
Si ( es pequeo,
=y
como ( es pequeo, Sino se aproxima la tangente al ngulo,
entonces, para grandes deforamciones,
Por equilibrio, M= -EI y
Si EI = cte V = EI y
Q(x) = EI EI y = -M EI y = -V EI yIV = q Son las ecuaciones
diferenciales de vigas.Ejemplo, Viga en voladizo de largo L, con
carga puntual P, en el extremo libre.
Figura 3.- Viga en voladizo con carga puntual en el extremo.EI y
= -M Condiciones de borde:
implica C1=0
Para toda la viga la derivada es entonces, positivo en toda la
viga.
implica C2=0La ecuacin de la elstica es entonces,
que es una parbola cbica.
en x = L ;Ejemplo.- Carga puntual en una viga simplemente
apoyada a una distancia a del apoyo izquierdo.El mtodo se complica
porque las ecuaciones son vlidas slo en algunos tramos.0 < x
< a entonces, a < x < L entonces, Hay cuatro constantes
que determinar, dos condiciones de borde, ,
y dos condiciones de continuidad, y(a) e y(a).Un caso particular
lo constituye la carga aplicada al centro de la viga, en este
caso:0 < x < L/2 entonces,
L/2 < x < L entonces,
implica C2=0 implica
Como la deformada en a es la misma si se evala por la izquierda
o por la derecha, = = Se llega a en x = L/2;Ejemplo, para una viga
simplemente apoyada sometida a una carga uniforme,
Figura 4.- Viga simplemente apoyada bajo carga uniformeEI y = -M
= entonces, como yx=L/2 = 0,
Por lo tanto,
En x=0, y=0, entonces, C2=0, y la ecuacin queda como: en x =
L/2;
Primer Teorema de Mohr
Figura 5.- Tangentes a la elstica
El ngulo formado por dos tangentes a la elstica en dos puntos A
y B, es igual al rea interceptada sobre el diagrama M/EI por las
ordenadas trazadas por A y B.Segundo Teorema de Mohr
Figura 6.-Segundo teorema de Mohr.La distancia de un punto B de
la elstica a la tangente a la elstica trazada por otro punto A,
medida segn la vertical hacia abajo, es igual al momento esttico
del rea parcial del diagrama M/EI (entre las ordenadas A y B)
respecto al eje vertical trazado por el primer punto. A y B se
pueden intercambiar.
Figura 7.- Deduccin del segundo teorema de MohrPor A se traza la
tangente a la elstica. La interseccin con la vertical trazada por B
determina el punto E. La tangente en D, determina B.Se trata de
encontrar una expresin para BE = (bSe elije un punto C en la
elstica, a una distancia x, variable, desde el origen. La tangente
en C determina G. A una distancia pequea de C se elije un punto D y
se traza la tangente en D originando el punto F.(b = FG
FG = HG HI IF(b = CH tg( - y DI (tg( + ()(b = s - y (s - s) (b =
- y s s + s (b = s s
(b = = representa el momento esttico del rea elemental con
respecto a la vertical trazada por B .Es el segundo teorema de
Mohr.(b = = Ejemplos.- Viga en voladizo con carga puntual en el
extreme libre, Figura 3.
tg(A=0
Viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro de la
luz.
En el punto medio, la tangente es horizontal, por simetra, tg(C
= 0 (A es la distancia entre el apoyo A y la interseccin de la
tangente en C con la lnea vertical que pasa por A.
Viga simplemente apoyada con carga puntual en C, a una distancia
a del apoyo izquierdo A, y b desde el apoyo derecho B.
Aplicando el primer teorema,
(C=0 (B( tg(B = AD = (A (Segundo teorema)
La posicin de C queda determinada por , ,
Nota: remplazando b=L-a,
( )Ejercicios.Calcular los desplazamientos y rotaciones
indicados en las figuras siguientes.
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