MARCOS Y ANILLOSProf. Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras

Resolver el marco cuadrado (lado L) de la figura sometido a las cargas indicadas.Supóngase conocida la rigidez EI de las barras.

P

P

A

BC

D

¡Por supuesto despreciamos los movimientos inducidos por los esfuerzosAxil y cortante!

P

P

El marco tiene los dos ejes de simetría indicados en la figura:

A

BC

D

P

N

N

M

M

Por equilibrio: N=P/2

A

B

D

P

P

A

BC

D

¿Cómo se deforma el marco ? Hay que tener en cuenta que las barras ni seacortan ni se alargan:

A*

B*

C*

D*

a a

a

a

a

a

a

a

Las secciones A, B, C y D no giran por ser secciones de corte con un eje de simetría

P

P

A

BC

D

A*

B*

C*

D*

a a

a

a

a

a

a

a

Si, una vez deformado el marco, empotramos en A* y cortamos por B* (liberandolos esfuerzos internos):

B**

Si sobre B** actuase, de nuevo, N=P/2 y M, B** pasaría a la posición B*sin experimentar ningún giro.

B*

N

MB**

A*

2a( ) 0

2452 2

=−⋅

=EIML

EILcos/P

**Bθ

ºcosLPM 454

⋅=

ºsenPN

MMLºcosPM

A

A

452

452

=

=−⋅=

MA

NA

EILºcosPa

EILºcosP

EILºcosP

EILºcosP

EIML

EI

LºcosP

a

4845

2445

845

645

23

4522

3

333

23

⋅=

⋅=

⋅−

⋅=

=−⋅

=

Ley de momentos flectores:

P

P

A

B C

D M

M

M

M

M

M

M

M

P

P

A

B

C D

Resolver el anillo de la figura sometido a las cargas indicadas

P

P

La estructura tiene dos ejes de simetría

A

B

C D

Por razones de simetría, en las secciones C y D sólo existen axil y flector y en lassecciones A y B axil(=0), cortante (P/2) y flector.

PA

C D

Cortemos la estructura por la línea CD:

NCMC ND

MD

Planteando el equilibrio de fuerzas verticales:

NC=ND=P/2

P

P

A

A*

B

B*

CC* D D*

Las secciones A, B, C y D pasan, respectivamente, a A*, B*, C* y D* sin girar

P

P

A

A*

B

B*

CC* D D*

Demos un corte a la estructura deformada por la sección C* manteniendo fija la sección A* y retiremos todos los esfuerzos que actúan en C:

C**

NCMC

C** pasaría a C*

NC=P/2MC

Condición: C** no gira!!!!

C**

A*

C*

C**

NC=P/2MC

C**

1

Estado 0 Estado I

Ley de momentos flectores:

)cos1(2

0 θ−−= RPMM C 1=IM

Rθ

01))cos1(2

(1 2/

0

2/

0

0** =⋅⋅−−=⋅⋅= ∫∫

ππθθθ RdRPMdsMM

EI CI

C

Esta última ecuación nos proporciona el valor de MC

Nótese que los valores de los esfuerzos en C son independientes del valor de EI

Demos valores numéricos a las magnitudes que aparecen en este problema:P=100 kN, R=2m y EI=105 kN.m2

MC=3,64 kN.m

Las leyes de axiles, cortantes y flectores son:

5 kN

3,64 kN.m3,64 kN.m

6,36 kN.m

6,36 kN.m

5 kN

5 kN

5 kN

5 kN

Supongamos que nos piden el desplazamiento (corrimiento) relativo entre A y B

P

P

A

A*

B

B*

CC* D D*

C**

AA*(hacia abajo)=desplazamiento vertical ascendente de C**

Desplazamiento relativo entre A y B=2 AA*

C**

NC= 5 kNMC=3,64 kN.m

Estado 0

Rθ

Luego el problema queda reducido a calcular el desplazamiento vertical de C**

C**

NC= 1 kN

Rθ

Estado 1

Leyes de momentos flectores:

)( θcosRPMM C −−= 12

0 )( θcosRM I −−= 1

m,RdMMEI

v I/

C42

0

0 109551 −⋅=↑= ∫ θπ

Desplazamiento relativo entre A y B=10,90.10-4 m de acercamiento

De manera similar podríamos calcular el desplazamiento relativo entre C y D (elcual se deja para que lo calcule el alumno):

Desplazamiento relativo entre C y D=10,92.10-4 m de separación

PROBLEMA PROPUESTO

Para el anillo de la figura, en el que R=2 m y EI=105 kN.m, determinar las leyes deesfuerzos y los desplazamiento relativos entre cualquier par de puntos diametralmenteopuestos para cualquier valor de la sobrecarga uniformemente distribuida q.

Solución: Ningún diámetro del anillo cambia de longitud. Las leyes de esfuerzoscortantes y de momentos flectores son nula y sólo existe esfuerzo axil constantea lo largo de toda la directriz de la pieza y su valor es qR

q

Como todos los ejes diametrales son de simetría, cualquier sección sólopodría desplazarse según el diámetro (sin girar) y, entonces, el anillo se Acortaría. Como estamos despreciando las deformaciones por efecto delesfuerzo axil, esto no podría suceder y, por tanto, el anillo no cambia deforma.

N N

q

N N

q

qq

2N=q(2R)

N=qR

¡Cuando los árboles no nos dejan ver el bosque!

=

P

A

BC

D

P

A

BC

D

P P

A

BC

D

P

=

P

A

BC

D

P

P

A

B

C D =

PA

B

C D

ó

P

P

A

B

C D =

PA

B

C D

q

q

PROBLEMA PROPUESTO

Para el marco cuadrado de la figura, en el que su lado es L y la rigidez es EI, determinar las leyes de esfuerzos cuando actúa la sobrecarga uniformemente distribuida q.

q

q

A

B

C D

La estructura presenta dos ejes de simetría

q

q

A

B

C DC* D*

A*

B*

¿Cómo se deforma la estructura?

q

q

A

B

C DC* D*

A*

B*

Empotramos en A*, cortamos por D* y retiramos todas las cargas ylos esfuerzos que aparezcan en esta última sección

q

q

A

B

C DC* D*

A*

B*

NM

D**

Al volver a considerar los esfuerzos en D y las cargas exteriores, D** pasa a D*sin que la sección D** gire

Luego nuestro problema a quedado reducido a, en la estructura de la figura,obtener M con la condición de que D** no gire

N la conocemos por equilibrio de medio marco:

NM

NM

D**

NM

DC

q

qL=2N

N=qL/2

NM

D**

D**

N

D**M

D**

024

122222

1823

11 32

=+−=++−= ][][(horario) MLqLEI

MLMLNLLqLLEI**Dθ

D**

N

D**M

D**

D**

qL2/8

N

D**NL/2

MD**

MM

q

24

2qLM =

¿Y si calculásemos la estructura como intraslacional?

q

q

A

B

C D

E

E1M M

M

M

E2

21 EE θθ =

EIML

EIqL

E 224

3

1−=(horario)θ

EIML

E 22−=(horario)θ

21 EE θθ =

24

2qLM =

Moraleja: si la estructura es intranslacional, lo mejor es resolverla dividiéndolaen vigas e igualando giros, aunque se trate de un marco, como sucede en este problema

q

q

A

B

C D

Ley de momentos flectores:

24

2qL

24

2qL

24

2qL24

2qL

q

q

A

B

C D

Ley de esfuerzos axiles:

2qL

2qL

q

q

A

B

C D

Ley de esfuerzos cortantes:

2qL

2qL

2qL

2qL