Capitulo 10Preliminares en la solucin de Eigen problemas El
Objetivo de este y el siguiente captulo es para describir los
actuales procedimientos de solucin que solan solucionar el
eigenproblemas de inters. Antes de presentar losalgoritmos,
hablamos en este captulo de algunas consideraciones bsicas
importantes para la solucin de eigenproblemas.
resumiemdo los eigenproblemas que queremos solucionar. Podemos
llegar al ms simpleproblema encontrado el estndar en el siguiente
eigenproblema:K = (10.1)donde K es la matriz de rigidez de un
elemento finito solo o de un ensamblaje de elemento. K tiene la
orden n, y para un ensamblaje de elemento en media amplitud de
banda/Mk (es decir, la amplitud de banda total es+1), y que K es
positivo semi definido o positivo definido. All
son n eigenvalores y eigenvectores correspondientes (10.1). El
ith eigenpair es
denotado como (, ) donde los eigenvalues son ordenados acorde a
sus magnitudes:
0 .. n-1 n (10.2)
La solucin para p eigenpairs puede ser escrita K = donde es una
n x p matriz con sus columnas iguales a los p eigenvectores y es p
x p una matriz diagonal que pone eigenvalues correspondiente en una
lista. Como un ejemplo, (10.3) puede representar
la solucin de p ms baja de los eigenvalores y eigenvectores
correspondiente de K, en cuyo caso = [11.. p] y = diagonal ()
i=1.., p
Recordamos esto si K es un positivo definido, 0 , i=1..,n y si K
es positivo semidefinido 0 , i=1..,n
donde el nmero del cero eigenvaores es igual al nmero de modos
de cuerpo rgido en el sistema.La solucin del problema eigenvalue en
(10.1) es, por ejemplo, busca laevaluacin de una matriz de rigidez
de un elemento o en el clculo del nmero de condicines de una matriz
de rigidez de una estructura. Hablamos en el Artculo 4.3.2 que la
representacin de la matriz de rigidez de elemento en su forma
cannica (es decir, i.e en la base del eigenvector) es usada para
evalar la eficacia del elemento. En este caso todos los
eigenvalores y los vectores de K deben ser calculados. Por otra
parte, para evaluar el nmero de condicin de una matriz de rigidez,
slo los eigenvalores ms pequeos y ms grandes se requieren (ver el
Artculo 8.2.6).Antes de seguir generalizado los eigenproblemas,
deberamos mencionar que otroestndar eigenproblemas tambin tendra
que ser solucionado. Por ejemplo, podemos requerir los eigenvalores
de la matriz M de masas, en cuyo caso M sustituye K (10.1). Del
mismo modo, podemos usarlo para los eigenvalores de conductividad o
una matriz de capacidad de calor en el flujo de calor.
En el anlisis (ver el Artculo 7.2).Es muy muy frecuente
considerar Eigenproblemas para ser solucionado en el modo de
vibracin en el anlisis de superposicin (ver el Artculo 9.3). En
este caso consideramos generalizado el eigen problema,
K =M
(10.4)
donde K y el M son, respectivamente, la matriz de rigidez y la
matriz de masas del elemento finito
ensamblaje. Los eigenvalores , y eigenvectores son las
frecuencias de vibracines libres.
Los ( radianes/segundos) cuadr, w2 , y vectores de forma y modo
correspondientes respectivos. El
las de propiedades de K. La matriz de masas puede ser dividida
en bandas, en cuyo caso su
media amplitud de banda mM es igual a mK, o M puede ser diagonal
con m 0; es decir, alguna diagonal de los elementos pueden ser
posiblemente cero. Una matriz de masas dividida en bandas,
obteniendo en consecuencia una masa , siempre sera definido como
positivo, mientras que una matriz de masas concentrada es positiva
definido slo si todos los elementos diagonales son ms grandes que
cero. En general, una matriz de masas diagonal es positiva
semidefinida.
En analoga con (10.3), la solucin para p eigenvalores y
eigenvectors correspondientes de(10.4) pueden ser escritosKO = MOA
K =M
(10.5)donde las columnas en son loseigenvectores y es una matriz
diagonal que pone losEigenvalores correspondientes.
Por supuesto, eigenproblemas generalizados en (10.4) reduce al
estndar de los eigenproblemas
en (10.1) si el M es una matriz de identidad. En otras palabras,
el eigenvalues y eigenvectoresen (10.3) tambin puede ser pensado
como frecuencias cuadradas y formas de modo de vibracin del el
sistema cuando la masa de unidad es especificada en cada nivel de
la libertad. Correspondiente al posible eigenvalores en la solucin
de (10.1), el eigenproblema generalizado en (10.4) tiene
eigenvalores 0 , i=1..,n donde el nmero de cero eigenvalores es
otra vez igual al nmero de modos del cuerpo rgido en el
sistema.
Dos adicional generalizando eigenproblemss debera ser mencionado
brevemente. Un segundoel problema es solucionado en anlisis lineal
que se tuerce, en cuyo caso consideramos (ver la seccion (6.8.2)tK
= t- t K (10.6)
Preliminares de la Solucin de Eigenproblems Captulo. 10
Donde t- r K rK son la rigidez matrices correspondiente a
tiempos (es decir, niveles de carga)
t - t y t, respectivamente.
Un tercero generaliza que un eigenproblema es encontrado en el
anlisis de transferencia de calor, donde Se considera la ecuacinK =
C (10.7)
donde K es la matriz de conductividad de calor y C es la matriz
de capacidad de calor. Los eigenvalores y los eigenvectors son
eigenvalores termicos y sus formas de modo, respectivamente. La
solucin de (10.7) se requiere en el anlisis de transferencia de
calor usando la superposicin de modo (ver el Ejercicio 9.25).
El matrices K y C en (10.7) son positivos definido o positivo
semidefinido, de modo que los eigenvalores de (10.7) son 0 ,
i=1..,n En esto y el siguiente captulo hablamos de la solucin del
eigenproblemas K = y K K =M en (10.1) y (10.4). Encuentran con
frecuencia en estos eigenproblemas
prctica. Sin embargo, hay que realizar que todos los algoritmos
para ser presentados tambin son aplicables a la solucin de otros
eigenproblemas, a condicin de que ellos sean de la misma forma y
las matrices satisfazcan las condiciones apropiadas de carcter
decisivo positivo, de semicarcter decisivo, y etceteraPor ejemplo,
para solucionar el problema en (10.7), el M de la matriz de masas
simplemente tiene que ser sustituido por la matriz de capacidad de
calor C, y la matriz K es la matriz de conductividad de calor.
Considerando la solucin de ordenador actual de eigenproblemas
requerido, recordamosesto en la introduccin a procedimientos de
solucin de ecuacin en el anlisis esttico (ver el Artculo
8.1),observamos la importancia de usar procedimientos de clculos
eficaces. Esto es hasta ms riguroso en clculos de eigensistemas
porque la solucin de eigenvalores y sus eigenvectores
correspondientes requieren, en general, mucho ms esfuerzo de
ordenador que la solucin de ecuaciones de equilibrio esttico
Una consideracin particularmente importante consiste en que los
algoritmos de solucindebe ser estables, que es ms difcil de
conseguir en las eigensoluciones.Una variedad de mtodos de solucin
de eigensistemas ha sido desarrollada y es relatada enla literatura
(ver, por ejemplo, a J. H. Wilkinson). La mayor parte de las
tcnicas han sidoideadas para matrices bastante generales. Sin
embargo, en el anlisis de elemento finito estamos preocupados con
la solucin de eigenproblemas especficos resumido encima, las
matrices tiene propiedades especficas tal como ser divisibles en
bandas, positivas y as sucesivamente los algoritmos de solucin de
eigensistemas deberan aprovechar estas propiedades a fin de hacer
una solucin posible ms econmica.El objetivo en este captulo es
poner la fundacin para un entendimiento cuidadoso demtodos de
eigensoluciones eficaces. Esto es llevado a cabo por la primera
discusin de las propiedades de las matrices, eigenvalores, y
eigenvectores de los problemas de inters y luego presenta algunas
tcnicas de solucin aproximadas. Los mtodos de solucin actuales
recomendados para el uso son presentados en el Captulo 11.
10.2 HECHOS FUNDAMENTALES USADOS EN LA SOLUCINDE
EIGENSISTEMAS
Antes de que el funcionamiento de cualquier procedimiento de
solucin eigensistema puede ser correctamente estudiado, es
necesario primero para entender a fondo las propiedades
diferentes de las matrices y eigen
valores y eigenvectores se consideran. En particular,
encontraremos que todos los mtodos de solucin son,
esencia, basada en estas propiedades fundamentales. Por lo tanto
queremos resumir en esta
seccin las propiedades importantes del matrices y sus
eigensistemas, aunque algunos de
Segundo. 10.2Hechos fundamentales Usados en la Solucin de
Eigensystems
El material ha sido presentado ya en otras secciones del libro.
Como indicado enEl artculo 10.1, consideramos el eigenproblema K =
M que reduce a K = cuando M = I, pero las observaciones hechas soy
igualmente aplicables a otro eigenproblemas de inters.
10.2.1 Propiedades de Eigenvectors
la solucin de eigenproblem generalizado K = de la maana cede
n
eigenvalues Ai..., un", como el mostrado en (10.2), y
eigenvectores correspondientes
yo..., Cada eigenpair (A, ,) satisface (10.4); es decir;
tenemos
K , tambin es un eigenvector, y decimos que un eigenvector slo
es definido por su direccin en el n-el espacio dimensional se
considera. Sin embargo, en nuestra discusin nos referimos a los
eigenvectores satisfacen (10.8) y tambin su relacin= 1, que fija
las longitudes de loseigenvectores, es decir, la magnitud absoluta
de los elementos en cada eigenvector. Sin embargo, nosotros puede
notar que los eigenvectors slo todava son definidos dentro de un
multiplo de-1.Una relacin importante que los eigenvectors
satisfacen es la del M orto normalidad; es decir,Tenemos =
8ij(10.10)
donde dij es el delta de Kronecker. Esta relacin sigue de la
orto normalidad
De los eigenvectors y de los eigenproblemas estndar (ver el
Artculo 2.5) y adelante en el Segundo
tion 10.2.5. Pre multiplicndose (10.8) por j transportado y
utilizando la condicin en (10.10), para
obtener
jKj = \Aj(10.11)
Significa que los eigenvectores tambin son K-ortogonal. Usando
las relaciones en (10.10)y (10.11) hay que tener presente que el
M-y K-ortogonalidad siguen de (10.8)y (10.8) es la ecuacin bsica
para estar satisfecha. En otras palabras, si creemos que
nosotrostenenmos un eigenvector y eigenvalor, luego como un control
substituirlos en (10.8)(ver el Ejemplo 10.3).
Hasta ahora no hemos hecho ninguna mencin de eigenvalores
mltiples y eigenvectores correspondientes
Es importante tomar en cuenta que en este caso los eigenvectores
no son nicos, pero que
siempre puede elegir un juego de la M ortonormal eigenvectores
que atraviesan el subespacio esto
equivale a un eigenvalor mltiple (ver el Artculo 2.5). En otras
palabras, asuma esto A,
tiene la multiplicidad m (es decir. A, = A, +i = = Ai +, -i);
entonces podemos elegir el m eigenvector
842
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
/..., aquella envergadura el m de subespacio dimensin
correspondiente al eigenvalues
de la magnitud A, y que satisfacen la relacin orthogonality en
(10.10) y (10.11). Como
alguna vez, los eigenvectors no son nicos; en cambio, el
eigenspace correspondiente a A, es nico.
Demostramos los resultados por medio de algunos ejemplos.
EJEMPLO 10.1:La matriz de rigidez y la matriz de masas de un dos
nivel del sistema de libertad son
- [U]
Se cree que dos eigenpairs del problema K = Ac |) son
1
2
(di, Vi) = (1,
V5
);
{di, V2) = (6,
V5
(a)
2
V5
y dos eigenpairs del problema K = AMcf)
y de Sus problemas de Coaccin Asociados
Una propiedad importante del eigenvalues del problema K = de la
maana consiste en que ellos son el
races del polinomio caracterstico,
p (A) - det (K - de la maana)
(10.16)
846
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblenns. 10
Podemos mostrar que esta propiedad se deriva de la relacin bsica
en (10.8). Volviendo a escribir (10.8)
en la forma
(K - A.M) yo no ser igual a a
vector nulo) a condicin de que la matriz K - A, el M es
singular. Esto significa esto si descomponemos en factores
K - A, el M en una unidad baja la matriz triangular L y una
matriz triangular superior S utilizacin
Eliminacin de Gauss, tenemos s n = 0. Sin embargo, desde
entonces
p (A), = det LS = n Sii(10.18)
1=1
resulta que p {\), = 0. Adems, si A, tiene la multiplicidad m,
tambin tenemos
s-i, n-i = = s ~m+i, n-m+i = 0. Wc debera notar esto en el
factorization de K - A, M,
los intercambios pueden ser necesarios, en cuyo caso el
factorization de K - A, M con sus filas y
posiblemente sus columnas intercambiadas son obtenidas (cada
fila y cada intercambio de columna entonces
introduce un cambio de signo del determinante que debe ser
considerado; ver la Seccin
2.2). Si ningunos intercambios son realizados, o la fila y los
intercambios de columna correspondientes son
realizado, que en la prctica siempre es casi posible (pero ver
el Ejemplo 10.4 para un caso
donde no es posible), la matriz de coeficiente permanece
simtrica. En este caso podemos escribir
para (10.18)
p (A), = det LDL = pies du(10.19)
1 = 1
donde LDL es el factorization de K - AiM o de la matriz sacada
de ello por interchang
filas de ing y columnas correspondientes, es decir, usando un
pedido diferente para los grados de sistema
de la libertad (ver el Artculo 8.2.5). La condicin 5 = 0 es
ahora d = 0, y cuando A, tiene
multiplicidad m, el ltimo m de elementos en D es el cero.
En el Artculo 8.2.5 hablamos de la propiedad de secuencia de
Sturm de la caracterstica
los polinomios de los problemas de coaccin se asociaron con el
problema K = . El mismo
las propiedades que observamos en aquella discusin tambin son
aplicables a la caracterstica
los polinomios de los problemas de coaccin se asociaron con el
problema K = de la maana . El
la prueba sigue del hecho que eigenproblem generalizado K = de
la maana puede ser la transaccin
formado a un estndar eigenproblem para cual la propiedad de
secuencia de Sturm del carcter
los polinomios de istic sostienen. Mandando la prueba al Artculo
10.2.5, Ejemplo 10.11, nos deja
resuma el resultado importante.
El eigenproblem del rth asoci el problema de coaccin
correspondiente a
K = de la maana es dado por
K '-"* 3 = 1. De ah,
3 - 0
i =
fJ ___ J_1
VZ V2 vzJ
Los eigenvalues del primer problema de coaccin asociado son
obtenidos de la solucin de
r2-r
1-14
-9 - 9 de ah, 2 =
V2
1
(c)
~V2
Imponiendo un cambio de p =-2, obtenemos el problema
[-:> - 'K
Siguiendo como antes, tenemos
(d)
p {K) = A - lOA + 16
y obtenga como las races A1 = 2, A2 = 8. De ah los eigenvalues
han aumentado en 2; es decir, ellos tienen
disminuido por p.
El eigenvectors sera calculado usando (10.17). Sin embargo,
notamos que esta relacin
otra vez cede las ecuaciones en (b) y (c), y por lo tanto los
eigenvectors del problema en (d) son
aquellos del problema en (a).
Una observacin importante que resulta de la susodicha discusin
consiste en que, en principio, nosotros
slo necesito algoritmos de solucin para calcular el eigenvalues
y eigenvectors correspondiente
del problema K ()> = de la maana = de la maana tiene el
eigenvalues un" = un"-i =
= un"-r+i = oo y tambin puede construir eigenvectors
correspondiente por la inspeccin.
Para obtener el susodicho resultado, djenos recordar el objetivo
fundamental en un eigensolution.
Es importante recordar que todo que requerimos es un vector y
escalar un que satisfacen el
ecuacin
K = DE LA MAANA ()>(10.4)
donde 4> es no trivial; es decir, es un vector con al menos
un elemento en ello distinto a cero. En otro
las palabras, si tenemos un vector c)> y escalar un que
satisfacen (10.4), entonces A y c)> son un eigenvalue
A, y eigenvectorrespectivamente, donde hay que notar que esto no
importa como
y A han sido obtenidos. Si, por ejemplo, podemos adivinar y A,
deberamos tomar seguramente
ventaja de ello. Esto puede ser el caso cuando los modos de
cuerpo rgido estn presentes en el estructural
ensamblaje de elemento. As, si sabemos que el ensamblaje de
elemento puede someterse a un rgido
modo de cuerpo, tenemos Ai = 0 y tenemos que buscar c)> yo
para satisfacer la ecuacin K = de la maana un =(10.54)
F = My'F.My'(10.55)
Una vez los desplazamientos d
V2
1
V2
4*0,
V2
(c)
4> c,
(d)
ple 10.12.
La consideracin de los procedimientos diferentes de eliminar los
niveles sin masa de libertad,
los resultados del anlisis eigensystem son el mismo
independientemente del procedimiento seguido,
es decir, oo la Fa es establecida y si el eigenproblem en
(10.45) o en (10.52)
es solucionado. La asuncin bsica en el anlisis es esto que
resulta de la masa lumping. Como nosotros
hablado en el Artculo 10.2.4, cada masa cero equivale a una
frecuencia infinita en el
2
-1
0 ~
'0
1
4
-1
2
0
-1
2_
0_
Segundo. 10.3Tcnicas de Solucin aproximadas
867
sistema. Por lo tanto, en acercamiento de la ecuacin de sistema
original Kc () = de la maana
i =, los q, porque el x, son las nicas variables. Sin
embargo,
dp ($) _~
dXirh
(10.64)
y usando p = k/m, la condicin para mnimo de p () es
2 (icij - prhiXj = 0para J = 1..., g (10.65)
En el anlisis actual escribimos las ecuaciones q en (10.65) en
la forma de la matriz, as obteniendo el
eigenproblem
Kx = pMx(10.66)
donde K y el M son 9 X matrices con elementos tpicos definidos
en (10.62) y (10.63),
respectivamente, y x es un vector de las coordenadas de Ritz
buscadas:
= [xiX2... (10.67)
La solucin de (10.66) producciones q eigenvalues pi..., p que
son aproximaciones a
Ai..., un" y q eigenvectors,
xf = [j:|X2... Jc
X2 = [j:?xl... a:]
(10.68)
xj = [x1xt...
870
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
El eigenvectors x, son usados para evaluar los vectores c |>
yo..., que son aproximaciones
al eigenvectors yo..., . Usando (10.68) y (10.60), tenemos
son entonces
= X(10.84)
Hasta ahora hemos supuesto que la matriz de masas del sistema de
elemento finito sea positiva
definido; es decir, el M no es una masa diagonal matriwitlome
elementos diagonales cero. La razn
ya que esta asuncin deba evitar el caso tigual a cero en el
clculo del
El cociente de Rayleigh, en cuyo caso p () da eigenvalue
infinito. Sin embargo, el Rayleigh-
El anlisis de Ritz puede ser realizado como descrito encima
cuando el M es una matriz diagonal con unos
los elementos diagonales cero, a condicin de que los vectores de
base de Ritz sean seleccionados para estar en el subespacio
esto equivale a eigenvalues finito. Adems, los vectores de base
de Ritz deben ser en lnea recta
independiente considerando slo los niveles de masas de la
libertad a fin de obtener un positivo
M de la matriz definido. Un modo de conseguir esto en la prctica
es excitar grados de masas diferentes
de la libertad en cada uno de los vectores de carga en R en
(10.79) (ver el Artculo 11.6.3 y Examen
ple 10.16).
Del particular inters son los errores que podemos esperar en la
solucin. Aunque nosotros
han mostrado que un eigenvalue calculatedfrom el anlisis de Ritz
es un lmite superior en el
1
0
-1
2
4
-1
; M =
1
1
2
1
2_
2
-1
0"
"1
0"
1
4
-1
V =
0
0
0
-1
2
0
1
872
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
eigenvalue exacto correspondiente del sistema, no establecimos
nada sobre el
error actual en el eigenvalue. Este error depende de los
vectores de base de Ritz usados porque el
los vectores son combinaciones hnear de los vectores de base de
Ritz i|#, yo = 1..., podemos obtener
los resultados buenos slo si los vectores i|i, atraviese un
subespacio V, que est cerca del menos dominante
el subespacio de K y M atraves por c |> yo..., hay que notar
que esto no significa
que los vectores de base de Ritz debieran estar cada uno cerca
de un eigenvector buscado, pero mejor dicho que lineales
las combinaciones de los vectores de base de Ritz pueden
aproximaciones buenas estabUsh del requerido
eigenvectors de K = AMc)>. Adelante hablamos de la seleccin
de vectores de base de Ritz buenos y
las aproximaciones implicaron en el anlisis en el Artculo 11.6
cuando presentamos el subespacio
el mtodo de iteracin, porque este mtodo usa la tcnica de anlisis
de Ritz.
Para demostrar el procedimiento de anlisis de Rayleigh-Ritz,
considere el examen siguiente
ples.
EJEMPLO 10.15: Obtenga soluciones aproximadas del eigenproblem K
= de la maana consid
ered en Ejemplo 10.4, donde
2
K =
-1
0
1. Use los vectores de carga siguientes para generar los
vectores de base de Ritz
"10"
00
01
2. Entonces use un juego diferente de vectores de carga para
generar los vectores de base de Ritz
10"
11
10_
De ah,
ri
12
1
6
J,
12
_1 _"
12
1
6
J_
12
y
"= 12
.1 7J'
M =
1
144
29
11
29J
La solucin de Kx eigenproblem = pMx es
.3418"
(pi, x.) = (2.4004
.3418
(P2, X2) = (4.0032
r el 01/02/08
'L-2.10008
7
1 -
12
12
1
1
6
6
1
7
12
T5_
'0.895
1.00
0.447
0
0.895
-1.00
1.00"
0.00
-1.00
-1 0"
"1 0
4 - 1
1 1
-1 2
1 0
Segundo. 10.3Tcnicas de Solucin aproximadas
873
0.895"
tenemos
|>, =
0.447
0.895
Despus asumimos los vectores de carga por si 2 y solucionen
-1
De ah,
=
y
K
= B!]
M =
36
41
13
13
La solucin de Kx eigenproblem = pMx da
(pi, X,) = (2.000,
"0.70711
0.70711
);
(p2, X2) = (6.0000,
-2.1213
6.3640
De ah, tenemos como eigenvalue pi de aproximaciones = 2.00, p2 =
6.00, y evaluacin
r5
6
2
3
5
6
en
6
1
3
1
6
.....r0.70711 - 0.70708"
0.70711 0.70713
0.70711 - 0.70708
"0.70711
-0.70708"
tenemos
c |>, =
0.70711
2 -
0.70713
0.70711
-0.70708
Comparando los resultados con la solucin exacta, es interesante
notar esto por si 1,
pi> un | y p2 = A2, mientras que por si 2, pj = Aj y p2 = A3.
En ambos casos no obtuvimos
aproximaciones buenas a dos eigenvalues ms bajos, y se demuestra
claramente que los resultados
dependa completamente de los vectores de base de Ritz iniciales
elegidos.
EJEMPLO 10.16:Use el anlisis de Rayleigh-Ritz para calcular una
aproximacin a Ai y , nosotros
obtenido el problema siguiente:
Lk.
K eir4>.i rM 0
k. Jl ii =
877
(10.94)
KmM ~ MmmAm
dondey Al es el matrices de eigenvectors deliberado y
eigenvalues de Lth
estructura componente.
En una sntesis de modo componente, las formas de modo
aproximadas y las frecuencias pueden ser
obtenido realizando un anlisis de Rayleigh-Ritz con las cargas
asumidas siguientes en el
lado derecho de (10.79),
00
R =
0
4 n
0
Ii.n
0
0
0
0
En, en
(10.95)
Om0
dondees una matriz de unidad del pedido igual a los niveles de
conexin de la libertad entre
estructuras componentes L - \y L. La unidad matrices equivale a
cargas que son aplicadas
a los niveles de conexin de libertad de las estructuras
componentes. Desde en la derivacin
de matrices de forma de modo usado en (10.95) las estructuras
componentes fueron fijadas en su
lmites, las cargas de unidad tienen el efecto de soltar estos
niveles de conexin de la libertad.
Si, por otra parte, los niveles de conexin de la libertad han
sido incluidos en el anlisis
de las estructuras componentes, podemos prescindir de la unidad
matrices en R.
Una consideracin importante es la exactitud que puede ser
esperada en el susodicho compo
sntesis de modo de nent. Ya que un anlisis de Ritz es realizado,
todas las consideraciones de exactitud dis
obstinado en el Artculo 10.3.2 son directamente aplicables; es
decir, el anlisis cede lmites superiores del
eigenvalues exacto del problema K = de la maana ()). Sin
embargo, la exactitud actual conseguida en
la solucin no es conocida, aunque ella pueda ser evaluada, por
ejemplo, como descrito en
El artculo 10.4. El hecho que la exactitud de solucin es muy
dependiente de los vectores usados en
R (es decir, los vectores de base de Ritz) es, como en todos los
anlisis de Ritz, el defecto principal del mtodo.
Sin embargo, en la prctica, la exactitud razonable a menudo
puede ser obtenida porque el eigenvectors
correspondiente a eigenvalues ms pequeo de las estructuras
componentes son usados en R. Nosotros
demuestre el procedimiento de anlisis en el ejemplo
siguiente.
V2
V2
2
2
V2
V2
2
2
0
0
\/2
V2
2
2
1
1
"22.40 5.328 7.243"
K =
5.328 2.257 1.586
7.243 1.586 3
222.4 50.69 77.69"
M =
50.69 11.94 17.59
77.69 17.59 27,5
"0.098
P =
2.83
1.82_
0.207 - 0.773
0.00690'
0.181 0.0984 -
0.0655
$ =
0.509 1.47
0.443
0.594 - 0.385 -
0.166
0.655 0.574 -
0.978
878
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
matriz dada en (10.95) para un anlisis de sntesis de modo
componente. Entonces calcule eigenvalue y
aproximaciones de eigenvector.
Aqu tenemos para la subestructura I,
2
K, =
-1
con el eigensolution
A] = 1,A2 = 3; yo
2
2
2 -
_y2
2
2
y para subestructura II,
"[-1i]'
M =
1 0
0 yo
con el eigensolution
"V2"
V2"
Ai = 2 - V2,A2 - 2 + V2;
aproximado el eigenpair. Dan los resultados en (10.101) a
(10.104). Nosotros entonces
tambin presente los clculos ligados del error tiles en
soluciones basadas en iteraciones inversas y a
medida de error simple.
Elgenproblem estndar
Considere primero que M = yo. En este caso podemos escribir
r =(10.97)
y usando las relaciones en (10.12) y (10.13), tenemos
r = se acerca un eigenvector y luego
demuestre los resultados por medio de ejemplos.
EJEMPLO 10.20:Suponga que tengamos cajculated A, , con || II2 =
1, como eigenvalue y
aproximaciones de eigenvector y that_K - Un son un exactosolucin
de un eigenpair.Si M = yo, hay que notar que podemos escribir
Ae = || r || 2(10.109)
y de ah,minuto de e> (10.110)
'A
EJEMPLO 10,23:Considere el eigenproblem KO;es
decir,sorneelementos de la
diagonalmayoprobablementesercero.Labandasmasamatriz,obtenidoenunconsistenteanlisis
de masas,es
siemprepositivodefinido,mientrasunagrupadomasamatrizesdefinida
positivaslo sitodosdiagonalelementossonmayordecero.Enen
general,undiagonalmasamatrizessemidefinida
positiva.Enanalogaa(10.3),lasolucinparapvalores
propiosycorrespondientevectores propiosde
(10.4)lataserescrito(10.5)dondelacolumnasenfPsonlavectores
propiosyLaesundiagonalmatrizlistadolacorre corres-valores
propios.DePor
supuesto,lageneralizadaeigenproblemaen(10.4)reducealaestndareigenproblemen(10.1)siMisunaidentidadmatriz.Enotropalabras,lavalores
propiosyvectores
propiosen(10.3)latatambinserpensamientodecomofrecuenciascuadradoyvibracinmodoformasdeel
sistema
decundounidadmasaesespecificadoencadagradodelibertad.Correspondientealaposibles
valores
propiosenlasolucinde(10.1),lageneralizadaeigenproblemaen(10.4)tieneautovalores
A;>O,yo=1,...,n,dondelanmerodecerovalores propiosesde
nuevoigualalanmero
dergidocuerpomodosenlasistema.Dosadicionalgeneralizadaeigenproblemsdeberasermencionadobriefty.Lasegundo
problemaesresueltoenlinealizadopandeoanlisis,enquecasonosotrosconsiderar(VerSeccin6.8.2)(10.6)
donde-'Ky'Ksonlarigidezmatrices correspondientesaveces(Es
decir,carganiveles)t-fl.tyt,respectivamente.Latercerageneralizadaeigenproblemaesencontradoencalortransferenciaanlisis,donde
consideramoslaecuacinK yK prctica.Sin
embargo,elladeberaserrealizadoquetodosalgoritmosaserpresentadosontambinApplicablealasolucindeotroeigenproblems,previstoellossondelamismoformaylas
matricessatisfacerlaapropiadocondicionesdepositivodefinitud,semidefiniteness,yas
sucesivamente.Paraejemplo,para resolverlaproblemaen
(10.7),lamasamatrizMsimplementenEDSaserreemplazadoporlacalorcapacidadmatrize,ylamatrizKeslacalorconductividadmatriz.En
vista
delarealcomputadorasolucindelanecesarioeigenproblems,nosotrosretiradaqueenlaintroduccinaecuacinsolucinprocedimientosenanlisis
esttico(VerSeccin8.1),
queobservadolaimportancedeusoeficazclculoprocedimientos.Esteesinclusomspor
lo que eneigensystemClculosporquelasolucindevalores
propiosycorrespondientevectores eigenrequiere,enen
general,muchomscomputadoraesfuerzodelasolucindeestticoequi
librioecuaciones.Laparticularmenteimportanteconsideracinesquelasolucinalgoritmos
debenserestable,queesmsdifcilalograreneigensolutions.Lavariedaddeeigensystemsolucinmtodostenerestadodesarrolladoysonreportadoen
elliteratura(Vase,paraejemplo,J.H.Wilkinson[A]).Msdelatcnicastenerhan
ideadoparams biengeneralmatrices.Sin
embargo,enfinitoelementoanlisisnosotrostienen que ver
conlasolucindelaespecficoeigenproblemsresumidoanteriormente,enquecadadelas
matricestieneespecficopropiedadestalcomoserbandas,positivodefinido,yasen.El
eigensystemsolucinalgoritmosdeberatomarventajadeestospropiedadesenordenahacer
unamseconmicosolucinposible.Laobjetivoenestecaptuloesaponerlafundacinparaunminuciosocomprensinde
efectivoeigensolutionmtodos.Esteesrealizadoporprimerodiscutirlapropiedadesde
losmatrices,valores propios,yvectores
propiosdelaproblemasdeintersyentoncessorne
presentaraproximadosolucintcnicas.Larealsolucinmtodosrecomendadoparautilizar
sonpresentadoenCaptulo11.2.
FUNDAMENTALHECHOSUSADOENLASOLUCINDEEIGENSYSTEMSAnteslalaboraldecualquiereigensystemsolucinprocedimientolatasercorrectamenteestudiado,ellaes
necesarioprimeroaa
fondoentenderladiferentepropiedadesdelamatricesyvalores
eigenyvectores propiosconsiderado.Enen
particular,nosotrosvoluntadencontrarquetodossolucinmtodosson,
enesencia,basadoenestosfundamentalpropiedades.Nosotrospor lo
tantoquereraresumirenesta
seccinlaimportantepropiedadesdelamatricesysueigensystems,aunquesornede
Sec.10.2FundamentalDatosUsadoenlaSolucindeEigensystems841lamaterialtieneyaestadopresentadoenotroseccionesdelalibro.Comopuntiagudofueraen
la Seccin10.1,nosotrosconsiderarlaeigenproblemaK
cundoM=1,perolaobservacioneshechosonigualmenteaplicableaotroeigenproblemsdeinters.1.
PropiedadesdelaEigenvectoresEllase ha
sealadoquelaso1utiondelaeigenprob1em generalizadaK valores propios,
\ ,...,An,ordenadocomose muestraen(10.2),ycorrespondientevectores
propios
K Laecuacinen(10.8)unlpor loespectculosqueunavector
propioesdefinidaslodentrounmltipledeen s;es
decir,nosotrostambintener(10.9)dondeaesundistinto de
ceroConstant.Por lo tanto,con!
comosatisfactorio(10.8)ytambinlarelacin!! significadoquelavectores
propiossontambinK-ortogonal.Cundousolarelacionesen(10.10)
y(10.11)elladeberasermantenidoenmentequelaM-yK-ortogonalidadseguirdesde(10.8)
yque(10.8)eslabsicoecuacinasersatisfecho.Enotropalabras,sinosotroscreerquetenemosun
vector propioyvalor propio,entoncescomoun
chequenosotrosdeberasustitutoellosen(10.8)
(vaseEjemplo10.3).Aslejosnosotrostenerhechonomencionardemltiplevalores
propiosycorrespondienteres
eigenvec.Ellaesimportantearealizarqueenestecasolavectores
propiossonnonicoperoquepodemossiempreelegirunconjuntodeM-orthonormalvectores
propiosquelapsolasubespacioque correspondeaunmltiplevalor
propio(VerSeccin2.5).Enotropalabras,asumirqueA;tienemultiplicidadm(Es
decir,A;=; + J= =Ai + mJ);entoncesnosotrospuede elegirmvectores
propios
Ejemplo.10 1:Larigidezmatrizymasamatrizdeundos
gradosdelibertadsistemason[5 -2] -2
2'EllaescredoqueladoseigenpairsdelaproblemaK
w2rMW2=[5-2febJ[O!][=_1wfMw2=wfMw1=OPor lo
tanto,larelacionesen(10.5)y(10.10)sonsatisfechoynosotrostener
Ejemplo10.2:ConsiderelaeigenproblemaK 11--V'2 V'2
yencalortransferenciaanlisis,usolanotacinen(.10
7),nosotrostener
Unaimportantepropiedaddelavalores propiosdelaproblemaK p (A)=det
(K-AM)(10,16)
Nosotroslatashowqueestepropiedadderivadesdelabsicorelacinen(10.8).Reescribiendo(10.8)
enlaforma(K-A; M)
formadoaunestndareigenproblemaparaquelaSturmsecuenciapropiedaddelapersonajeisticpolinomiossostiene.ReferentelapruebaaSeccin10.2.5,Ejemplo10,11,dejarResumamoslaimportanteresultado.LaeigenproblemadelarthasociadorestriccinproblemacorrespondienteaK
K (r) [o-1JJ-} = o- 11(B)Nosotrosnotaqued33=0.0.Aeva1uar_J7Il7f.]
['3-nDesdetodoselementos enDsonmayordecero,nosotrostenerA1>l.2.
Nosotrosahoraintentar.t=8,dondeyDesdetodostresdiagonalelementossonmenordecero,ellasiguienteque,
\ 3yusop=k / ra ,lacondicinparaunmnimodep
(c,)esqL(K1-pmij)x1=oparayo=1,...,q(10,65)j
=!Enrealanlisisnosotrosescribirlaqecuacionesen(10.65)enmatrizforma,asobtencinla
eigenproblemaKx=PMX(10.66)dondeKyMsonqXqmatricescontpicoelementosdefinidaen(10.62)y(10,63),
respectivamente,yxesunvectordelaCoordenadas
Ritzbuscado:(10.67)Lasolucina(10.66)rendimientosqvalores
propiosp,...,pq,que sonaproximacionesaA ,,...,Q ,yqvectores
propios,(10.68)
Lavectores
propiosX;sonuSEDaevaluarlavectores,...,q,quesonaproximaciones
alavectores propios ...,qa
Uso(10.68)y(10,60),nosotrostenerqcf>;=Lx;tllj;j =
lyo=1,...,q(10,69)Unaimportantecaractersticadelavalor
propioaproximacionescalculadoenlaanlisises
queellossonsuperiorencuadernadoaproximacionesalavalores
propiosdeinters;es
decir,(10.70)significadoquedesdeKyMsonasumidoaserpositivodefinido,KyMsontambindefinida
positivamatrices.Lapruebadeladesigualdaden(10.70)espectculoslarealmecanismoes
decirusadoparaobtenerlavalor propioaproximacionesp
;.Acalcularpnosotrosbsquedaparalarninimumdep
()quelataseralcanzadoporlinealmentecombinandotodosdisponibleRitzbasevectores.LadesigualdadA1)(10.71)dondelarninimumesahoratomadoencimatodosposiblevectoresenVnquesatisfacerlaorthog
onalitycondicin(VerSeccin2.6)(10.72)En vista delaaproximadovectores
propios;obtenidoenlaRayleigh-Ritzanlisis,observarque(10.73)donde5;
jeslaKroneckerdelta,yque,Por lo
tanto,enlaarribaRayleigh-RitzanlisisobtuvimospzporevaluacinP2=minp
(cf>)(10.74)dondelarninimumfuetomadoencimatodosposiblevectores
enVqquesatisfacerlacondicin de ortogonalidad(10.75)AshowqueArizona
TMcf> =0(10.76)(10.77)Laproblemadefinidaen
(10.76)y(10.77)eslamismocomolaproblemaen(10.71)y
(10,72),exceptoqueenlaltimocasolamnimoestomadoencimatodos.mientrasenel
problemaen(10.76)y(10.77)consideramostodosvectoresenVq.EntoncesdesdeVqescontenida
enVn,nosotrostenerArizona 1=0,70711;[0.70711-0,70708]4>
2=O.70713[-0.70708
Comparandolaresu1tadosconlaexactosolucin,ellaesinteresanteanotaqueencaso1,P1>A1yP2=A2,mientrasencaso2,P1=A1yP2=
3.Enamboscasosnosotroshizonoobtener una buenaaproximacionesalams
bajodos valores
propios,yellaesclaramentedemostradoquelaresultadosdependercompletamenteenlainicialRitzbasevectoreselegido.Ejemplo10.16:UsolaRay1eigh-RitzanlisisacalcularunaaproximacinaA1ycf>
1delaeigenproblemaconsideradoenEjemplo
10.12.NosotrosnotaqueenestecasoMespositivosernidefinite.Por lo
tanto,allevarfueralaAnlisis
RitznosotrosnecesitaraelegiruncargavectorenRqueexcitaenmenosunomasa.AsumirquenosotrosusoRT=[O
1oO]Entonceslasolucinde(10.79)rendimientos(VerEjemplo10.13)wr=[1 2
2 2]
Por lo tanto,K =[2];p=61;M =[12]X =[2]yPor lo
tantonosotrostener,comoera de
esperar,p,>A,.LaRitzanlisisprocedimientopresentadoarribaesunmuygeneralherramienta,
y,comopuntiagudoanteriormente,varioanlisismtodosconocidobajodiferentenombreslataen
realidadserse
muestraparaserRitzanlisis.EnSeccin10.3.3nosotrospresentelacomponentemodosntesiscomounAnlisis
Ritz.Enlasiguientenosotrosbrevementequererashowquelatcnicadeestticocondensacin
comodescritoenSeccin10.3.1es decir,enDe
hecho,tambinunRitzanlisis.Enlaestticocondensacinanlisisnosotrosasumidoquetodosmasalataseragrupadoenqgradosdelibertad.Por
lo
tanto,comounaaproximacinalaeigenproblemaK=AM.obtuvimoslasiguienteproblema:KaaKae][E!>
]="- [MA O][E!> ]Kea Kee cf> eO Ocf>
e(10.42)conqfinitoyn-qinfinitovalores propios,quecorresponderalasin
masagradosde libertad(VerSeccin10.2.4).Para calcularlo
finitovalores propios,nosotrosusadoestticola condensacinenlasin
masagradosdelibertadyllegadoenlaeigenproblema(10.45)dondeK.esdefinidaen(10,46).Sin
embargo,estesolucinesen realidadunRitzanlisisdela
agrupadomasamodeloconsideradoen(10,42).LaBase
Ritzvectoressonlapatrones de
desplazamientoasociadoconla.gradosdelibertadcundolaegradosdelibertadson
liberados.ResolverlaecuacionesKaa Kae][Fa ]=[1]Kea Kee
FeO(10.51)enqueF.=K ;;
',nosotrosencontrarquelaRitzbasevectoresaserusadoen(10,80),(10,81),y
(10.84)son(10.85)AverificarqueunRitzanlisisconlabasevectoresen(10.85)rendimientosenhecho(10.45),
queevaluar(10.80)y(10,81).Sustituyendopara'\}
FyKen(10,80),nosotrosobtenerK =[1(FeKaYJ [:: J
[FeJ(10,86)que,uso(10,51),reduceaK =K.Sirnilarly,sustitucinpara'\}
FyMen(10,81),nosotrostenerM =[1(FeK.Y] [ ] [FeJ(10.87)(10.88)
oM = Ma(10.89)Por lo tanto,enlaestticocondensacinnosotrosen
realidadrealizarunRitzanlisisdelamasa
concentradamodelo.ltdeberaserconocidoqueenlaanlisisnosotroscalcularlaqfinitovalores
propiosexactamente(Es
decir,p;=A;parayo=1,...,q)porquelaRitzbasevectoreslapsolaqdimensionalsubespaciocorrespondientealo
finitovalores propios.Enla prctica,laevaluacindelavectores'\}
Fen(10.85)esnonecesario(Yharasercostosa),yen lugarlaAnlisis
Ritzesmejorrealizadofuerauso\
Fl=[:](10.90)Desdelavectoresen(10.90)lapsolamismosubespaciocomolavectoresen(10,85),lamismos
valores propiosyvectores propiossoncalculadoempleandocualquiera de
los
dosconjuntodebasevectores.Especficamente,uso(10,90),nosotrosobtenerenlaRitzanlisislareducidoeigenproblema(10.91)Para
mostrarqueesteeigenproblemaesen
efectoequivalentealaproblemaen(10.45),nosotrosPremul
tiplyambosladosen(10,91)porK.yusolatransformacinx=Kai,dandoKai=Amai,
es
decir,laproblemaen(10.45).Ejemplo10.17:UsolaRitzana1ysisprocedimientoarealizarestticocondensacin
dela
mass1essgradosdelibertadenlaproblemaKcf>=ACCM>consideradoenEjemplo10.12.Nosotrosprimeronecesitaraevaluar
laRitzbasevectoresdadoen
(10,90).EstefuehechoenEjemplo10.13,dondenosotrosfundarque
LaRitzreduccindadoen(10.91)asrendimientoslaeigenprob1em2 2] -, \
[12 16]2 4X-16
24XFinalmente,nosotrosdeberanotaquelausodeElRitzbasevectoresen(10.85)[(Oen(10.90)]
estambinconocidocomolaGuyanreduccin(VerR.J.Guyan[A]).EnlaGuyanesquemalaVectores
Ritzsonusadoafuncionarenunagrupadomasamatrizconceroelementosenladiagonalcomo
en(10.88)oenfulllumped general
oconsistentemasamatrices.Enestereduccinlaunosgradosdelibertadsonfrecuentementereferidoacomodinmicagradosdelibertad.3.
ComponenteModoSntesisComoparalaestticocondensacinprocedimiento,lacomponentemodosntesises
decir,enDe hecho,un anlisis
Ritz,ylamtodofuerzatenerestadopresentadoenlaanteriorseccincomounaplicacin
especfica.Sin
embargo,comofuerepetidamentepuntiagudofuera,lamsimportanteaspectoenunAnlisis
RitzeslaseleccindeapropiadoRitzbasevectoresporquelaresultadoslataserslotan
buenocomolaRitzbasevectorespermitirellosaser.Laespecficoesquemausadoenlamodo
de
componentesntesisesdeparticularinters,queeslaraznnosotrosquereradedicarunseccin
separadaaladiscusindelamtodo.
Lacomponentemodosntesistieneestadodesarrolladoaungrandegradocomounconsecuencia
naturaldelaanlisisprocedimientoseguidoenprcticacundograndeycomplejoturas
estrucsonanalizada.Lageneralpractica!procedimientoesquediferentegruposrealizarlos
anlisisdediferentecomponentesdelaestructurabajoconsideracin.Paraejemplo,enuna
plantaanlisis,unogrupomayoanalizarunprincipalpipayotrogrupountuberasistema
conectadoaella.Enunprimeropreliminaranlisis,ambosgrupostrabajopor
separadoymodelolos efectosdeel otrocomponentesenlacomponente
especficoqueellosconsiderarenunaaprox
imatemanera.Paraejemplo,enlaanlisisdeladostuberasistemasreferidoaanteriormente,el
anlisis grupo delaladoramamayoasumircompleto fijezaenel
puntodeinterseccinconla principaltubera,yel
grupoanlisislaprincipalpipamayointroducirunconcentradoprimaveray la
masaapermitirparalaladorama.Laventajadeen vista delacomponentesdela
estructurapor separadoesante todounodetiempoprogramacin;es
decir,laseparadogruposlatatrabajar
enlaanlisisydiseosdelacomponentesenlamismotiempo.ltesante
todoparaesta
raznquelacomponentemodosntesisesmuyatractivoenlaanlisisydiseode
granestructuralsistemas.Asumirquelapreliminaranlisisdelacomponentestenerestadorealizadofueray
quelacompletoestructuradeberahoraseranalizada.ltesenesteetapaquelamodo
de componentesntesisesunnaturalprocedimientoausar.A
saber,conlamodoformacaractersticas
decadacomponenteconocido,ellaaparecenaturalausoesteinformacinenestimarlas
frecuenciasymodoformasdelacompletoestructura.Laespecficoprocedimientomayovaran
(vaseR.R.Craig,Jr.[A]),pero,enesencia,lamodoformasdelacomponentessonusadoenunaRayleigh-Ritzanlisisacalcularaproximadomodoformasyfrecuenciasdela
completaestructura.Considerarparailustracinquecadacomponenteestructurafueobtenidoporfijacina11su
lmitegradosdelibertadydenotarlarigidezmatricesdelacomponenteestructuras
deK1,Kn,...,KM(VerEjemplo10,18).AsumirqueslocomponenteestructurasL-1yLconectar,L=2,...,M;entoncesnosotroslataescribirparalarigidezmatrizdelacompletoestructura,
KNA K =(10.92)Usounaanlogonotacinpara
lamasamatrices,nosotrostambintenerM. Mn M =(10.93)Asumirquelams
bajovalores propiosycorrespondientevectores
propiosdecadacomponente
estructuratenerestadocalculado;es
decir,nosotrostenerparacadacomponenteestructura,K,ELA ,=M, 11A,Kn
,donde2 -1:-12:...-1K =-1 2 -1-1: --T--_: _- 1:-l 11 I_j'M = 1r
-----:112Usola
subestructuraeigenproblemsindicadoporladiscontinualneasenKyMaestablecerlacarga
matrizdadoen(10.95)parauncomponentemodosntesisanlisis.Entoncescalcularvalor
propioy vector
propioaproximaciones.Aqunosotrostenerparainfraestructura1,conlaeigensolutionLa1=1,K,
=[-1febrero a 1febrero];M1=[1o
o]yparainfraestructura11,conlaeigensolutionKn=[-En2a1l];=
Mu1o_J0
A, =2-V2,A2=2+V2;AsnosotrostenerparalamatrizRen(10,95),V2
V2o22V2 V2oR =22o o1V2 V2o2 21
1OAhorarealizarlaRitzanlisiscomodadoen(10.79)a(10,84),nosotrosobtener[22.405.3287.243]7.243
1.5863[222,450,6977,69]M = 50.6911.94 17.5977.69 17.59 27.5yPor lo
tanto,p["" 0982.83LBJ0,207-0.7730.00690
0,1810.0984-0.0655
4J) =0,5091.470,443
0,594-0.385-0.166
0,6550,574-0.978
Laexactovalores propiossonLa1=0.09789A2=0,824;A3=2,00;,\
.=3.18,As:3.90ypor lo
tantonosotrosnotaquenosotrosobtenidoenp1unbuenoaproximacinaA,perop2yp3hacerno
representanaproximacionesavalores propios.10.3.4Ejercicios7.
Considerarlaeigenproblema-14-1-1 !> = AO21 f>2o1
1Realizarlaestticocondensacincomoen
generalrealizado[Ver(10.46)]yentoncesporlaRayleigh
Ritzanlisisprocedimiento[Ver(10,51)].8.
ConsiderarlaeigenproblemaenEjercicio10.1.RealizarunRayleigh-Ritzanlisisconladosvectores
acalcularunaaproximacinalams pequeovalor
propioycorrespondientevector propio.9.
EllaesserreclamadoqueSi,enlasolucindelageneralizadaeigenproblemaK
f>=AM f>,laRitzvectoresson"'1= !> T+2 1> 2"'2=3 f>
t- 1> 2donde f> ty !> 2sonlavectores
propioscorrespondienteaEnyA2,entonceslaAnlisis de
Rayleigh-Ritzvoluntaddarlaexactovalores
propiosEnyA2ylacorrespondientevectores propios f>1y 1>
2.Mostrarexplcitamentequeesteresultadoesen efectoobtenido.10.
Considerarlasiguienteprimaverasistema.a. Evaluarlaexactoms
pequeofrecuenciadelasistema.(B)Evaluarunaaproximacindelams
pequeofrecuenciaporusolacomponentemodosynthe
sistcnicaenSeccin10.3.3.Usoslolavector propiodelams
pequeofrecuenciadecada
componenteenlasistema.Componente1-------------,/Km *
\l1...._------------ ""K =10k =1m = 2 m * =1
4. SOLUCINERRORESUnaimportantepartedeunavalor
propioyvectorsolucinesaestimacinlaprecisincon la
cuallanecesarioeigensystemtieneestadocalculado.Desdeunaeigensystemsolucines
necesariamenteiterativo,lasolucindeberaserfinalizadouna
vezconvergenciadentroladescri-
pretoleranciasdandolarealprecisintieneestadoobtenido.Cundounodelaaprox
imatesolucintcnicasesbozadoenSeccin10.3esutilizado,unaestimacindeElrealprecisin
de la solucinobtenidoesdecursotambinimportante.1.
ErrorLmitesEnordenaidentificarlaprecisinquetieneestadoobtenidoenunaeigensolution,nosotrosretiradaque
laecuacinaserresueltoesK=AM(10.96)DejarnosotrosprimeroasumirqueusocualquierunosolucinprocedimientoobtuvimosunaaproximacinXyToaneigenpair.Entoncessinrespectoacmolavalorestenerestadoobtenido,nosotrospuede
evaluarunresidualvectorquedaimportanteinformacinacerca
delaprecisinconqueXyaproximadolaeigenpair.Laresultadossondadoen(10.101)a(10.104).NosotrosentoncespresentetambinerrorencuadernadoClculostilensolucionesbasadoeninversoiteracionesyunsimpleerrormedir.EstndarEigenproblemaConsiderarprimeroqueM=l.Enquecasonosotroslataescribirr=
K-Xyusolarelacionesen(10.12)y(10,13),nosotrostenerr=CIA (A-XI) CLA
r (i)oporqueXesnoigualperoslocercaaunavalor
propio,nosotrostenerCi)=CIA (A-Xlt1cl rrPor lo
tanto,porque11llz=1,tomanormasnosotrosobtener1: S;II se
aproximaf>2.Paralaestimacinnosotrosusolarelacinen(10.102).Enestecasonosotrostener
conmin! Al-1 = 1,3Por lo
tanto,desdeX=3,1,nosotrosteners=0.9y11(J)-A2A !> 2ll2:
50.3744Evaluacin11 !>- !> 2ll2exactamente,nosotrostener11a
> - 1> 2112=[(O.7-y
+(0.1414-0)2+(-0.7+Ao=0.1418Ejemplo10.22:ConsiderarlaeigenproblemaKa
f>=AA f>,dondeK =[JLavalores propiosyvectores
propiosdelaproblemason1 1A2=101, 1>
2=v-'2[-1JAsumirquenosotrostenercalculadovalor propioyvector
propioaproximacionesA-=100,!->=[1]
0Evaluarryasestablecerlarelacionesdadoen(10.101)y(10.102).En primer
lugar,nosotroscalcularrcomodadoen(10,97),
Por lo tanto,llrll2=1y(10.101)rendimientosminiA-XI: 511(A)Por lo
tanto,nosotroslataconcluirqueunavalor
propiotieneestadoaproximadaconacerca de1por cientoo
menoserror.DesdesabemosEnyA2,nosotroslatacompararXconEnoA2yencontrarque(A)haceen
efectobold.En vista deahoralavector propioaproximacin
f>,nosotrosnotaque f>hacenoaproximar cualquiera f> to
!> 2
Esteestambinreflejadaporevaluacinlarelacin(10.102).Suponiendoque
f>esunaaproximacina !> T.quedas=1,nosotrostener11(J)-un1
!> tlb: 51
Del mismo modo,asumiendoes
decirunaaproximacina2.nosotrosobtener11-a22ll2S:1yenamboscasoslaencuadernadoobtenidoesmuygrande(Notaquell1ll2=1yll2
libras=1),indicandoque hacenoaproximadounavector
propio.GeneralizadEigenproblemaConsiderarahoraquenosotrosdesearaestimacinlaprecisinobtenidoenlasolucin
deuneigenproblema generalizadaK =AM
.Asumirquenosotrostenercalculadocomounaaproximacina;y;lavaloresXy.Luego,enanalogaalaClculosrealizadoanteriormente,nosotroslatacalcularunaerrorvectorRM,donderM=K-XM(i)
(10.103)Enordenarelacionarlaerrorvectoren(10.103)alaerrorvectorquecorrespondeala
normaeigenproblema,nosotrosusoM=Ssr,y
luegor=icf,-Xcf,(10.104)donder=s- RM, rMcl>/rM
consistededosnmerosquesonfcilmentecalculadoenlaiteraciones.Mientraslaarribaerrorlmitessonmuyefectiva,ellaesfinalmente
tambindeintersaconsiderar lasiguientesimpleerrormedir:IIK (i) -XM
(i) ll2E=IIK112(10.lOS)1Aevitarla factorizacindeMnosotros podemosen
lugarconsiderarlaproblemaMe,=A-1Kc,sila factorizacin
deKesyadisponible,yentoncesestablecerlmitesenA-1
Dado que,fsicamente,K
representalaelsticonodalpuntofuerzasyAMrepresentala
inercianodalpuntofuerzascundolafinitoelementomontajeesvibrandoenlamodo,
queevaluaren(10.108)lanormadefuera de
equilibrionodalpuntofuerzasdivididoporlanormadenodal
elsticapuntofuerzas.EstecantidaddeberaserpequeosiXysonunaexactosolucindeunaeigenpair.SiM=1,elladeberaDebe
observarsequenosotroslataescribiryPor lo tanto,XE=/ Lrll2E2
::mm.1A; -XI(10.109);'---'-A=
----'(10.110)Ejemplo10.23:ConsiderelaeigenproblemaK=AM,dondeK=[10
-Lo] M=[2 1]-10 100'14Laexactovalores propiosyvectores propiosa12
dgitosprecisinsonA1=3.863385512876;0.640776011246]1=[,105070337503-0.401041
986 380]A2=33,279471629982;2=[0.524093989558Asumirque(Yo)=(1+s2)
c,dondeeestalque(I) TM=1yS =10-1,10-3,y10-6
ParacadavalordeSevaluarXcomolaRay1eighcocientede(Yo)ycalcu1atelalmites
de
errorbasadoen(10.104),(10.106),ylaerrormedirEdadoen(10,108).Lasiguientetab1eresumelaresu1tadosobtenido.Laecuacionesusadoaevaluarlas
cantidadessondadoen(10.103)a(10.108).Laresultadosenlatab1eshowqueparacadavalorde
SlaerrorlmitessonsatisfechoyqueEestambinpequeoparaunaexactosolucin.S10-1
10-310-60.597690792656 ,6403746490730,6407756102040.156698194481
,105594378695 0,1050708615974LK4,154633890275 3,863414928932
3,863385512905X 4,154633890275 3,863414928932
3,863385512905-1.207470493734 -0,008218153965
-0,000008177422rM4,605630581124,049838803226
,0000498700851.634419466242
0,0211067436170,0000211523641.411679295681
,0150425453270,000015049775JA1-XJ0,291248377399 0,000029416056
,000000000029Bound 2,159667897036 ,025918580132 ,000025959936
(10.101 / 10.104)Bound 2,912483773983 ,029416056744
0,000029433139(10.106)Mida 0,447113235813 0,007458208660
0,000007491764(10.108)
886PreliminaresalaSolucionesdeEigenproblems Cap.102.
Ejercicios11.
LasiguienteerrorencuadernadoesdiscutidoporJ.StoeryR.Bulirsch[A].DejarLaserunsimtricomatrizyA;serunavalor
propiodeA;entoncesminlA; -xrAx1:
5iXTXparacualquiervectorx*O.Showque(10.105)a(10.107)seguirdesdeestefrmula.12.
ConsiderarlaeigenproblemaenEjercicio10.1.Dejar
Calcula utilizando(10.105)yp ().Estosvalores,p
(Ci))yCi),sonahoralamejorlas approximaaunavalor propioyvector
propio.Establecerlaerrorlmites(10.101)[con(10.103)]y(10,106).Tambinevaluarlaerrormedir(10,108).
