DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1/6

Concepto de variable aleatoria.

Es una ley que asocia a cada suceso (o elemento) del espacio muestral de un experimento aleatorio, un número real.

EJEMPLO:

Si lanzamos una moneda dos veces, los sucesos que pueden salir son, {cc, c+, +c ++}, que es su espacio muestral. La variable aleatoria que definimos es:

X = “anotar el número de caras que sale”, por lo tanto, la ley que asocia a cada “pareja “, el número de caras que sale, es: X = {0,1,2}, donde 0 corresponde al suceso “salir cero

Distribuciones de probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2/6

caras”, el 1 corresponde al suceso “salir una cara”, el 2 corresponde al suceso “salir dos caras”.

EJEMPLO

Repetir el experimento anterior lanzando una moneda tres veces.

Los sucesos que pueden salir son: {ccc, cc+, c+c, c++, +cc, +c+, ++c, +++}; por lo tanto la variable aleatoria toma los valores, X = {0,1,2,3}

Tipos de variables

Una variable diremos que es discreta cuando sólo puede tomar determinados valores enteros.

Ejemplos; lanzar una moneda dos veces, y anotar el nº de caras obtenida. Lanzar dos dados y anotar la suma de sus caras superiores. Número de hijos de 10 familias

Una variable es continua cuando, en teoría, puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, (a, b).

Ejemplo: El peso de los tomates de una cosecha. Ejemplo: La longitud del fémur de una serie de personas.

Función de probabilidad de una variable discreta. Gráfica

La función de probabilidad de una variable aleatoria X es aquella que hace corresponder a cada valor x de la variable, su probabilidad p(x).

Se puede hacer uso de esta tabla :

xi x1 x2 ........ ...... xn pi p1 p2 ............ pn

La suma de las probabilidades tiene que ser la unidad, ( ∑ =n

ip1

1)

Se representa mediante un diagrama de barras no acumulativo

EJEMPLO 1

La tabla siguiente corresponde a una variable aleatoria discreta. Comprobar que se trata de una función de probabilidad. Representación gráfica.

xi 5 6 7 8 9

pi 0´2 0`4 0´2 0´1 0´1

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Solución:

En efecto, si sumamos las probabilidades, resulta, 0´2 + 0´4 + 0´2 + 0´1 + 0´1 = 1 y se trata por tanto de una función de probabilidad.

Gráfica

EJEMPLO 2

Hallar el valor de m para que la tabla siguiente corresponda a una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Representación gráfica

xi 5 6 7 8 9

pi 0´2 m 0´2 0´1 0´2

Solución:

Para que sea una función de probabilidad , la suma de éstas es uno y resulta que:

0´2 +m +0´2 + 0´1 + 0´2 = 1 , de donde

m = 1 – 0´2 –0´2 – 0´1 – 0´2 = 1 – 0´7 = 0´3

m = 0´3

Gráfica:

5 6 7 8 9

p(xi)

xi

0,1

0,4

5 6 7 8 9

p(xi)

xi

0,1

0,4

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4/6

Función de distribución de una variable discreta. Gráfica

Supuestos ordenados los valores de la variable de menor a mayor, llamamos función de distribución F(x) a aquella que asocia a cada valor la probabilidad acumulada hasta ése valor.

Propiedades de la función de distribución

1ª. La función de distribución F(x) toma el valor nulo para valores anteriores al menor de los valores de la variable y uno para valores superiores al mayor de los valores de la variable.

2ª. Se verifica que 1)x(F0 ≤≤ , por tratarse de una probabilidad

3ª. En cada intervalo, entre cada dos valores consecutivos, la F(x) es constante, por eso la gráfica se corresponde a la de una función escalonada.

4ª. Se trata de una función creciente

EJEMPLO 1

La tabla siguiente corresponde a una variable aleatoria discreta. Halla su función de distribución y su representación gráfica.

xi 5 6 7 8 9

pi 0´2 0`4 0´2 0´1 0´1

Solución:

Según la definición, su función de distribución es,

F(x)=

≥<≤<≤<≤<≤

<

9xpara,1

9x8para,9́0

8x7para,8́0

7x6para,6́0

6x5para,2́0

5xpara,0

Gráfica [observa la veracidad de las propiedades de la F(x)]

5 6 7 8 9

F(x)

x

0,2

0,8

1

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 5/6

EJEMPLO 2

La tabla siguiente corresponde a una variable aleatoria discreta. Halla su función de distribución y su representación gráfica.

xi -1 0 2 8 9

pi 0´2 0´3 0´2 0´1 0´2

Solución:

Su función de distribución, F(x)=

≥<≤<≤<≤<≤−

−<

9xpara,1

9x8para,8́0

8x2para,7́0

2x0para,5́0

0x1para,2́0

1xpara,0

Gráfica:

Parámetros de una distribución discreta

Son, la media o esperanza matemática ( µ ), la varianza σ 2, y la desviación típica σ .

La media se define así: =µ x1�p1 + x2�p2+..........................+ xn�pn = ∑=

n

iii px

1

· (es decir, la media es la

suma de los productos de cada valor de la variable por su correspondiente probabilidad).

La varianza σ 2, se define así: σ 2 = (x1- µ )2�p1 + (x2- µ )2�p2 +........+(xn- µ )2�pn =

= ∑=

n

i 1

(xi- µ )2�pi , o desarrollando, σ 2 = ∑=

n

i 1

xi2�pi - µ 2

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, ianzavar=σ

5 6 7 8 9

F(x)

x

0,2

0,8

1

2

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EJEMPLO

La tabla siguiente corresponde a una variable aleatoria discreta. Calcula sus parámetros.

xi -1 0 2 8 9

pi 0´2 0´3 0´2 0´1 0´2

Usando una tabla como ésta:

xi pi xi� pi xi2� pi

-1 0´2 -0´2 0´2

0 0´3 0 0

2 0´2 0´4 0´8

8 0´1 0´8 6´4

9 0´2 1´8 16´2

∑ xi�pi=2´8 ∑ xi2� pi=23´6

Entonces, la media es 8´2=µ .

La varianza: σ 2 = 23´6 – 2´82 = 15´76

La desviación típica: ianzavar=σ = 973́76´15 =

Elevando al cuadrado la desviación típica, tenemos la varianza (puesto que ianzavar=σ )