Resumen del Capítulo 10-15

Universidad Interamerica de Puerto RicoRecinto de San Germán

Por: Kenneth Robles Ramos,Jose A. Valentín Montalvo y

Luis A. Pons PerezCurso: MATH 5400 Probabilidad

Dr. Balbino García

Objetivos de la presentación: Introducir el tema: Distribución Doble Exponencial. Quién invento la Distribución Doble Exponencial . Discutir las características de la Distribución Doble Exponencial . Discutir la Distribución- F No Central Doubly. Discutir las características de la Distribución- F No Central Doubly.

Distribución Doble Exponencial:La distribución de doble exponencial está dada

por la ecuación:

Donde la variable x es un número real que es el parámetro de ubicación de μ, mientras que el parámetro de λ es un número real positivo.

Esta distribución a veces es llamada la Distribución de Laplace, esto en honor al astrónomo francés, matemático y físico Marqués Pierre Simón de Laplace (1749-1827).

Momento:

Para la distribución de doble exponencial el momento central es más fácil de determinar que el momento algebraico (la media es . Esto esta dado por

Función de Característica:

La función de característica que genera momentos centrales se da por:

De la que podemos encontrar la función característica que genera momento algebraico.

Función de Característica:

A veces una alternativa que genera la secuencia está dada como:

Función Acumulativa

La función acumulativa para distribución de doble exponencial está dada por:

Generación de números aleatorios

Dado un número aleatorio uniforme entre cero y uno en ξ un número aleatorio a partir de una distribución de doble exponencial esta dada por la solución de la ecuación F(x) = ξ para x dado:

Distribución- F No Central Doubly

Introducción:

Sean X1 y X2 variables aleatorias chi cuadradas con v1 y v2 grados de libertad respectivamente. Si X1 y X2 son independiente la variable aleatoria

Se dice que tiene una distribución de probabilidad F con v1 grados de libertad en el numerado y v2 grados de libertad en el denominador.

1 1

2 2

X vF

X v=

Esta distribución se puede expresar como:

En donde n = n1+n2 y λ=λ1+λ2.

Con una variedad de cuatro parámetros hay unas figuras posibles. Si observamos la figura de abajo que es una Distribución F no central doubly para los casos con n1= 10, n2=5 y λ1= 10 diferente λ2 de 0 (una distribución F no central ordinaria) para 5.

Momento:

Momento algebraico de esta distribución esta dado por:

Distribución acumulada

Doubly Non-Central t-Distribution

• Si x y y son independientes y x esta normalmente distribuida con media y unidad varianza mientras que y se distribuye de acuerdo con una distribución Chi2 no central con n grados de libertad y un parámetro λ no central, entonces la variable

• Se dice que tiene una distribución-t doble no central con n grados de libertad de enteros positivos y un parámetro δ no central y un λ ≥0.

ny

xt =

• Esta distribución se expresa del siguiente modo:

• Para λ=0 obtenemos la distribución-t no central sencilla y si δ=0 regresamos a la distribución-t común.

Momentos• Los momentos algebraicos pueden deducirse

de la expresión:

• Donde la suma debe tomarse para valores pares de s+k i.e.

• Diferenciar entre momentos de orden pares o impar, datos algebraicos de una “doubly non-central t-distribution” podría expresarse en términos de la función hyper-geométrica confluente M(a,b,x).

Distribución Agregada• La función de distribución agregada es dada por:

• Donde q= (t2/n)/(1 + t2/n) y s1, s2 son signos que diferencian entre los casos con t positivo o negativo a si como pares o impares por s en la sumatoria. De forma mas especifica, el signo s1 es −1 si s es impar y +1 si es par mientras que s2 es +1 a menos que t < 0 y s es par en cual caso es -1.

Generación De Números Aleatorios

• Un Generador de números aleatorios es un componente o funcionalidad que crea números o símbolos para un software en una forma que carezca de un patrón evidente, y que así parezcan ser números aleatorios.

• La mayor parte de los generadores de números aleatorios son, en realidad, pseudo-aleatorios: se calcula (o introduce internamente) un valor X0, que llamaremos semilla, y, a partir de él, se van generando X1, X2, X3, ...

• Siempre que se parta de la misma semilla, se obtendrá la misma secuencia de valores.

• Verdaderos generadores de números aleatorios en la práctica son instrumentos que usan, por ejemplo, el decaimiento radiactivo aleatorio de un elemento.

• Números aleatorios de una “doubly non-central t-distribution” son fáciles de obtener con la definición dada anteriormente de donde se pueden utilizar números aleatorios provenientes de una distribución normal y una distribución Chi2 no central.

Función Error

• La función error es usada en teoría de medidas ( en probabilidad y estadística), y es usada en ramas de la matemática en asuntos no relacionados a la medición de error, pero aun así su nombre se a quedado.

• Define: Como una función, relacionada al contexto de la probabilidad de una distribución normal, que por lo regular se le nombra “Función Error”

y su complemento

• Estas funciones se definen para argumentos complejos, para muchas relaciones concernientes con la función error, pero primordialmente estamos interesados en la función para valores de z reales positivos.

• Pero siempre es buen definir la función para valores de z reales negativos utilizando relaciones simétricas

• La función error es la probabilidad de que el error de una medición individual se encuentre comprendido en el intervalo −a y +a.

• Las funciones error y complementaria del error, también se utilizan al buscar soluciones a problemas de resolución de la ecuación de calor con condiciones de borde expresadas por la función escalón de Heaviside.

• Esta función es usada en estadísticas para predecir el comportamiento de cualquier muestra con respecto a la media de una población.

Función De Densidad De Probabilidad

• La Función de Densidad de Probabilidad es una medida estadística que define una distribución probabilística por una variable aleatoria y es comúnmente conocida como f(x). Cuando esta f(x) es representada en grafica , el área debajo de la grafica indica el intervalo en el que la variable se encuentra.

• La Función de Densidad de Probabilidad es comúnmente usada en la creación de modelos financieros y económico con propósitos de predicción. Específicamente, esta función f(x) de las futuras tazas de intercambio y de los precios de propiedad puede ser empleada para analizar modelos de obtención de una imagen mas abarcadora de las inclinaciones del mercado

• Como se ve la función error er f es una función de distribución y la densidad de probabilidad correspondiente es dada por:

• Si hacemos una transformación z = (x−μ)/σ√2 obtenemos “a folded normal distribution”

• Donde la función esta definida para x > μ correspondiendo a z > 0, donde μ puede ser cualquier numero real mientras σ > 0.

• Esto implica que er f(z /√2) es igual a una integral simétrica de una distribución normal estándar entre −z y z.

• La función error puede también expresarse en términos de la incompleta “Función Gamma”

definida para x≥0.

Capitulos 14 y 15

Distribución Exponencial

• Podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.

• Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido

Ejemplos

• El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;

• El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente

Propiedad fundamental de la distribución exponencial

• La distribución exponencial no tiene memoria.

• La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando.

• No existen envejecimiento ni mayor probabilidad de fallos al principio del funcionamiento

Distribución de Valores Extremos

• La teoría de valores extremos está relacionada con aspectos probabilísticos y estadísticos relacionados con valores muy altos o muy bajos en una sucesión de variables aleatorias.

• En la teoría de los valores extremos el interés principal no está en el promedio, sino en los valores más bajos o más altos de la variable bajo estudio, es decir, el interés está en los eventos asociados a la cola de la distribución.

Ejemplos• En estudios de oceanografía, es necesario estudiar el

comportamiento de corrientes marinas extremas.• En estadística ambiental es necesario analizar niveles

altos de ozono en determinada región.• En climatología es necesario conocer el

comportamiento de velocidades extremas de huracanes.• En ingeniería, el aumento del flujo de un río.• En finanzas, un gran decremento o aumento del valor

de una acción en el mercado.• valores máximos o mínimos en un portafolio de

inversión.

Generador de Variables Aleatorias

• En estadística, un numero aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una distribución. Los algoritmos para la generación de valores uniformemente distribuidos están presentes en todas las calculadoras y lenguaje de programación.

http://nosetup.org/php_on_line/numero_aleatorio_2

Utilizando Excel para generar números aleatorios

Referencias

Distribución Exponencial, Recuperado en http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencialhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node78.htmhttp://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm

Referencias:Walck, C. (2007). Hand-book on statistical distribution for experimental. Stockholm.

Bibliografía

• Hand-book on STATISTICAL DISTRIBUTIONS for experimentalists, by Christian Walck, Particle Physics Group, Fysikum University of Stockholm.

• ECONOMETRICS, Bruce E. Hansen, 2000, 2012 University of Wisconsin.