Transformandas de Laplace

TRANSFORMADAS DE LAPACETRANSFORMANDAS DE LAPLACE

Introduccin

En el mtodo matemtico de lineal de un sistema fsico, como el de una masa y resorte o de un circuito elctrico de serie, el lado derecho de la ecuacin diferencial

Es una funcin forzada, y puede representar a una fuerza externa o a un voltaje aplicado E(t). DEFINICION DE TRANSFORMADAS DE LAPLACEPROPIEDAD DE LINEALIDAD: En el curso elemental de clculo aprendimos que la diferenciacin y la integracin transforman una funcin en otra funcin; por ejemplo, la funcin f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una funcin lineal, una familia de funciones. Polinomiales cbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciacin, integracin indefinida e integracin definida:

Adems, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes y ,

Siempre y cuando exista cada derivada e integral.Si (x, y) es una funcin de dos variables, una integral definida de con respecto a una de las variables produce una funcin de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante,De igual forma, una integral definida comotransforma una funcin (t) en una funcin de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este ltimo tipo, cuando el intervalo de integracin es [0, -) no acotado.

Definicin bsica Si (t) est definida cuando t 0, la integral impropia Se define como un lmite:

Si existe el lmite, se dice que la integral existe 0 que es convergente; si no existe el lmite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el lmite anterior existe solo para ciertos valores de la variable s. La proporciona una transformacin integral muy importante.

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una funcin de s. En la descripcin general emplearemos letras minsculas para representar la funcin que se va a transformar y la mayscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo,

EJEMPLO 1 Aplicacin de la definicin

Siempre que s > 0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e-sb 0 cuando b . Cuando s < 0, la integral es divergente

El empleo del signo de lmite se vuelve tedioso, as que adoptaremos la notacin como versin taquigrfica de lmb ( ) por ejemplo,

Se sobreentiende que en el lmite superior queremos decir que e-st 0 cuando t y cuando s > 0.

L es una transformacin lineal Para una suma de funciones se puede escribir

siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad sealada.

Condiciones suficientes para la existencia de No es necesario que converjala integral que define ala transformada de Laplace; por ejemplo, ni ni existen.Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de L (f(t)} son que f sea continua por tramos en [0, ), y que f sea de orden exponencial cuando t > T. Recurdese que una funcin es continua por tramos en [0,) si, en cualquier intervalo 0 a t b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos kt, k = 1,2, . . . , n (tk-1 < tk) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk-1 < f < tk. (Fig. 7.2). A continuacin definiremos el concepto de orden exponencial.

ORDEN EXPONENCIAL Se dice que una funcin f es de orden exponencial c si existe constantes c, M 0 y T 0, tales que

Si f es una funcin creciente, la condicin f(t) Mect, t > T tan slo expresa que la grfica de f en el intervalo (T, ) no crece con ms rapidez que la grfica de la funcin exponencial Mect, donde c es una constante positiva (Fig. 7.3). Las funciones f(t) = t, f(t) = e-r y f(t) = 2cos t son de orden exponencial c = 1, para t > 0 porque, respectivamente,

En la figura 7.4 se comparan la? grficas en el intervalo [0, -). Una funcin como f(t) = et no es de orden exponencial porque, como vemos en la figura 7.5, su grfica crece ms rpido que cualquier potencia lineal positiva de e en t > c > 0. Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0,

equivale a demostrar que lmt + oo t/eC es finito para n = 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene con n aplicaciones de la regla de LHpital.

CONDICIONES NECESARIAS PARA LA EXISTENCIA

Si f(t) es continua en tramos de intervalo [0, ), y de orden exponencial c para t 0 T, entonces existe para s c.

La integral Ii existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que e-st f(t) es continua. Ahora

Cuando s > c. Como Me-(s-c)t dt converge, la integralT e-st f(t) dt converge, de acuerdo con la prueba de comparacin para integrales impropias. Esto, a su vez, implica que I2 existe para s > c. La existencia de I1 e I2 implica que existe cuando s > c.

En todo el captulo nos ocuparemos solo de las funciones que son, a la vez, continuas por tramos y de orden exponencial; sin embargo, debemos notar que esas condiciones son suficientes, pero no necesarias, para la existencia de una transformada de Laplace. Ahora, la funcin f(t) = t-1/2 no es continua por tramos en el intervalo [0, ), pero s existe su transformada de Laplace. Vase el problema 40 de los ejercicios 7.1.


Evale L (t).

SOLUCIN De acuerdo con la definicin 7.1,. Al integrar por partes y con lim te= 0, s > 0 y el resultado del ejemplo 1, llegamos a t


Evale L { e-3t}.

SOLUCIN De acuerdo con esa definicin,

El resultado se desprende del hecho de que Imt e-(s +3)t = 0 para s + 3 > 0 o bien s > -3.


SOLUCIN De acuerdo con la definicin 7.1 e integrando por partes, tenemos

Hemos llegado a una ecuacin con L {sen 2t) en ambos lados del signo igual. Despejamosesa cantidad y llegamos al resultado

EJEMPLO 5 Empleo de la linealidad

Evale L {3t - 5 sen 2t).

SOLUCIN De acuerdo con los ejemplos 2 y 4, y la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, podemos escribir


Evale a) L{te-2t } b) L {t2 e-2t }

SOLUCIN a) Segn la definicin 7.1, e integrando por partes,

b) De nuevo, integrando por partes llegamos al resultado

EJEMPLO 7 Transformada de una funcin definida por tramos

Evale L{f(t)} cuando f(t) =

SOLUCIN En la figura 7.6 se ilustra esta funcin continua por tramos. Puesto que f est definida en dos partes, expresamos L { f(t)} como la suma de dos integrales:

Presentaremos la generalizacin de algunos de los ejemplos anteriores en forma del teorema siguiente. De aqu en adelante no citaremos las restricciones en s; se sobreentiende que s tiene las restricciones suficientes para garantizar la convergencia de la transformada de Laplace correspondiente.

TEOREMA: TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES BASICAS

La parte b) del teorema anterior se puede justificar como sigue: al integrar por partes se obtiene

O sea Pero L{ 1) = l/s, as que, por iteracin,

Aunque para una demostracin rigurosa se requiere la induccin matemtica, de los resultados anteriores parece razonable concluir que, en general

Dejamos al lector la demostracin de las partes f) y g) del teorema 7.2. Vanse los problemas 33 y 34, en los ejercicios 7.1.

EJEMPLO 8 Identidad trigonomtrica y linealidad

Evale L{ sen2 t}.

SOLUCIN Con ayuda de una identidad trigonomtrica, de la linealidad y de las partesa) y e) del teorema 7.2, llegamos a

TRANSFORMADAS INVERSAS

En la seccin anterior nos ocupamos del problema de transformar una funcin f(t) en otra funcin F(s) mediante la integral La representamos simblicamente de la siguiente manera: L{f(t)} = F(s). Ahora invertiremos el problema; es decir, da& F(s), hallar la funcin f(t) que corresponde a esa transformacin. Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa: f(t) = L1 {F(s)}.El anlogo del teorema 7.2 para la transformada inversa es el teorema 7.3, que presentamos en seguida.

TEOREMA ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS

L-1 es una transformacin lineal Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en s, una transformacin lineal; esto es, si Y son constantes,

L-1 {F(s) + G(s)} = L-1 {F(s)} + @{G(s)},

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.La transformada inversa de Laplace de una funcin F(s) puede no ser nica. Es posible que L{f1 (t)} = L{ f2 (t)} y, sin embargo, f1 f2. Pero para nuestros fines no nos ocuparemos de este caso. Si f1 Y f2 son continuas por tramos en [0,) y de orden exponencial cuando t > 0, y si L{f1 (t)} = L{ f2 (t)}, las funciones f1 Y f2 son esencialmente iguales. Vase el problema35, ejercicios 7.2. Sin embargo, si f1 y f2 son continuas en [0, ) y L {f1 (t)} = L{ f2 (t)} entoncesf1 = f2 en dicho intervalo.

EJEMPLO 1 Aplicacin del teorema

SOLUCION Para coincidir con la forma que aparece en la parte b) del teorema 7.3, vemos I que n = 4, y despus multiplicamos y dividimos entre 4. En consecuencia,


SOLUCIN Como k2 = 64, arreglamos la expresin multiplicndola y dividindola entre 8. Segn la parte d) del teorema 7.3,

EJEMPLO 3 Divisin trmino a trmino y linealidad

SOLUCIN La funcin dada de s se puede expresar en dos partes, con un comn denominador:

De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada inversa y las partes e) y d) del teorema 7.3, tenemos que

Fracciones parciales Las fracciones parciales desempean un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace. Como dijimos en la seccin 2.1, esta descomposicin en fracciones se puede efectuar con rapidez ~610 con un comando en algunos sistemas algebraicos computacionales. En realidad, algunos paquetes cuentan con dotados con comandos para la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace. Para los lectores que no tienen acceso a estos programas, en los tres ejemplos siguientes repasaremos las operaciones algebraicas bsicas para los tres casos de descomposicin en fracciones parciales; por ejemplo, los denominadores de

Contienen, respectivamente, factores lineales distintos, factores lineales repetidos y una expresin cuadrtica sin factores reales. Consltese la descripcin ms completa de esta teora en un libro de clculo infinitesimal.

EJEMPLO 4 Fracciones parciales y linealidad

SOLUCIN Existen constantes A, B y C nicas, tales que

Dado que los denominadores son idnticos, los numeradores deben ser idnticos:

Comparamos los coeficientes de las potencias des en ambos lados de la igualdad y tenemos que esta ecuacin equivale a un sistema de tres ecuaciones con las tres incgnitas A, B y C, sin embargo, debemos recordar el mtodo siguiente para determinarlas. Si hacemos s = 1, s = -2 y s = -4, que son los ceros del comn denominador (s - 1) (s + 2) (s + 4), obtenemos, a su vez,

y as, segn la parte c) del teorema 7.3,


SOLUCIN Suponemos que

de modo que

Cons = Oys = -2 se obtienen B= y E= - , de s4, s3 y s llegamos a

O = A + C , 0 = 6A + B + 4C + D, 1 = 8A + 12B,

De donde se sigue que A = -, C = y D = 0; por consiguiente, de acuerdo con las partesa), b) y c) del teorema 7.3,

En lo anterior tambin aplicamos L-1 { 2/(s + 2)3 } = t 2 e-2t del ejemplo 6, seccin 7.1.


SOLUCIN Suponemos que

de modo que

Con s = 0 se obtiene de inmediato C = - . Ahora bien, los coeficientes de s4 , s3 , s2 y s son, respectivamente,

O=A+D, O = B + E , 0 = 4A + C, 3 = 4B,

de donde obtenemos B = E = - , A = y D = - ; as pues de acuerdo con las partes a), b), e) y d) del teorema 7.3,

Segn seala el teorema siguiente, no toda funcin arbitraria de s es una transformada deLaplace de una funcin contina por tramos de orden exponencial.

TEOREMA comportamiento de F(s) s

De acuerdo con el teorema 7.4 podemos decir que F1 (s) = 1 y F2 (s) = S/(S + 1) no son transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial en virtud de que F1 (s) 0 y F2 0 cuando s . El lector no debe sacar como conclusin, por ejemplo, que no existe L {F,(s)}. Hay otros tipos de funciones.

Observaciones

Esta observacin va dirigida a quienes se les pidan descomposiciones en fracciones parciales a mano. Hay otra forma de determinar los coeficientes en esas descomposiciones, en el caso especial cuando L {f(t)} = P(S)/Q(S), donde P y Q son polinomios, y Q es un producto de factores distintos:

Veamos un ejemplo especfico. De acuerdo con la teora de las fracciones parciales, sabemos que existen constantes A, B y C nicas tales que

Supongamos que multiplicamos ambos lados de esta ecuacin por, digamos, s - 1, simplificamos e igualamos s = 1. Como los coeficientes de B y c son cero, obtenemos

Expresado de otro modo,

en donde hemos sombreado, o cubierto, el factor que se anul cuando el lado izquierdo de (1) fue multiplicado por s - 1. No evaluamos este factor cubierto en s = 1. Para obtener B y C, tan slo evaluamos el lado izquierdo de (1) cubriendo, en Su turno, a s - 2 y a s + 3:

Obsrvese con cuidado que en el clculo de c evaluamos en s = -3. Si reconstruye los detalles de la llegada a esta ltima expresin, el lector descubrir por qu es as. Tambin debe comprobar con otros mtodos que

Este mtodo de cubierta es una versin simplificada de algo que se conoce como teorema de desarrollo de Heaviside.

TEOREMAS DE TRASLACIN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADANo conviene aplicar la definicin 7.1 cada vez que se desea hallar la transformada de Laplace de una funcin f(t); por ejemplo, la integracin por partes que se usa para evaluar, digamos L{et t2 sen 3t) es imponente, y el calificativo es modesto. En la descripcin siguiente presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definicin de la transformada de Laplace. En realidad, es relativamente fcil evaluar transformadas como digamos L{e4t cos 6t), L{ t3 sen 2t) y L{ t10 e-t), siempre y cuando conozcamos L{ cos 6t), L{ sen 2t) y L {t10 }, respectivamente. Si bien se pueden formar tablas extensas se aconseja conocer las transformadas de Laplace de las funciones bsicas como tn , eat, sen kt, cos kt, sen h kt y cos h kt.Si conocemos L {f(t) }, = F(s), podemos hallar la transformada de Laplace L{ eat f(t) sin ms que trasladar, o desplazar, F(s) a F(s - u). Este resultado se llama primer teorema de traslacin.

TEOREMA Primer Teorema de Traslacin

DEMOSTRACIN La demostracin es inmediata porque, segn la definicin

Si s es una variable real, la grfica de F(s - u) es la grfica de F(s) desplazada a unidades sobre el eje s. Si u > 0, el desplazamiento de F(s) es u unidades hacia la derecha, mientras que si u < 0, es hacia la izquierda.A veces es til, para enfatizar, emplear el simbolismo

en donde s s - u indica que reemplazamos s en F(s) con s - u.

EJEMPLO 1 Primer teorema de traslacin

SOLUCIN Los resultados son consecuencia del teorema

Forma inversa del primer teorema de traslacin Si f(t) = (e-(F(S)}, la forma inversa del teorema es

EJEMPLO 2 Completar el cuadrado para determinar L-1

SOLUCIN Si s2 + 6s + ll tuviera factores reales, emplearamos fracciones parciales;pero como este trmino cuadrtico no se factoriza, completamos su cuadrado.

EJEMPLO 3 Completar el cuadrado y linealidad

SOLUCIN Completamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la linealidad como sigue:

Funcin escaln unitario En ingeniera se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar encendidas o apagadas. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema mecnico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar despus de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una funcin especial, llamada funcin escaln unitario.

DEFINIION FUNCIN ESCALON UNITARIO

Obsrvese que definimos a U(t - a) slo en la parte no negativa del eje t porque es todo lo que interesa al estudiar la transformada de Laplace. En sentido ms amplio, U (t - a) = 0 cuando t < a.

EJEMPLO 4 Grficas de funciones escaln unitario

Grafique a) U(t) b) U(t - 2)

SOLUCIN a)U(t)=1, t 0 b) U(t - 2) =

Las grficas respectivas estn en la figura

Cuando se multiplica por otra funcin definida para t 0, la funcin escaln unitario apaga una parte de la grfica de esa funcin; por ejemplo, en la figura vemos la grfica de sen t, t 0, multiplicada por U(t - 2):

equivale a

De igual forma, una funcin del tipo

EJEMPLO 5 Funcin expresada en trminos de una funcin escaln unitarioEl voltaje de un circuito est definido por E (t) =

Exprese E (t) en trminos de funciones escaln unitario.

SOLUCIN La grfica de esta funcin definida parte por parte aparece en la figura De acuerdo con (2) y (3), y con g(t) = 20t y h(t) = 0, llegamos a

E(t)= 20t-20tU(t-5).

EJMEPLO 6 Comparacin de funciones

Para la funcin y =f(t), definida por f(t) = t3 , compare las grficas de

SOLUCIN En la figura se muestran las grficas respectivas.

En general, si a > 0, la grfica dey =f(t - u) es la dey =f(t), t 0 desplazada unidades hacia la derecha, sobre el eje t; sin embargo, cuando se multiplica a y =f(t - u) por la funcin escaln unitario U(t - u) como en la parte d) del ejemplo 6, la grfica de la funcin

y = f(t - a) U(t - u)

coincide con la de y = f(t - u) cuando t , pero es idntica a cero cuando 0 t < . En el teorema dijimos que un mltiplo exponencial de y(t) origina una traslacin, o desplazamiento, de la transformada F(s) sobre el eje S. En el teorema que sigue veremos que

siempre que F(s) se multiplica por una funcin exponencial adecuada, la transformada inversa de este producto es la funcin desplazada de la ecuacin . Este resultado se llama segundo teorema de traslacin.TRANSFORMADAS DE DERIVADAS, INTEGRALES Y FUNCIONES PERIDICAS

Nuestra meta es aplicar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Para ello necesitamos evaluar cantidades como L{ dy/dt} y U{ dy2 /dt2 }; por ejemplo, si f es continua para t 2 0, al integrar por partes obtenemos

O sea

Para ello hemos supuesto que e-y(t) + 0 cuando t + 00. De igual forma, la transformada de la segunda derivada es

O sea

De manera anloga se puede demostrar que

Por los resultados en (l), (2) y (3), se ve que la transformada de Laplace de las derivadas de una funcin f es de naturaleza recursiva. El siguiente teorema determina la transformada de Laplace de la ensima derivada de f: Omitiremos su demostracin.

TEOREMA TRANSFORMADAS DE UNA DERIVADA


Obsrvese que la suma kt cos kt + sen kt es la derivada de t sen kt. En consecuencia,

Convolucin Si las funcin es f y g son continuas parte por parte en [0, ), la Convolucin de f y g se representa por f * g y se define con la integral Convolucin Si las funcin es f y g son continuas parte por parte en [0,), la Convolucin de f y g se representa por f * g y se define con la integral

Por ejemplo, la Convolucin de f(t) = et y g(t) = sen t es

Se deja como ejercicio demostrar que

Esto es, que f*g=g*f.

. Esto significa que la Convolucin de dos funciones es conmutativa.Es posible determinar la transformada de Laplace de la Convolucin de dos funciones sin tener que evaluar la integral como lo hicimos para la ecuacin (4). El resultado que veremos se conoce como teorema de la Convolucin.

TEOREMA TEOREMA DE LA CONVOLACION

DEMOSTRACIN Sean

Al proceder formalmente obtenemos

Mantenemos fija Ty escribimos t = T + , dt = d, de modo que

Estamos integrando en el plano tT sobre la parte sombreada de la figura Puesto que f y g son continuas por tramos en [0, ) y son de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integracin:

EJEMPLO 2 TRANSFORMADA DE UNA CONVOLUCIN

SOLUCIN Si f(t) = e y g(t) = sen t, el teorema de la Convolucin establece que la transformada de Laplace de la Convolucin de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace:

Forma inversa del teorema de Convolucin A veces, el teorema de la Convolucin es til para determinar la transformada inversa de Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace.

Transformada de una integral cuando g(t) = 1 y L{g(t)} = G(s) = l/s, el teorema de la Convolucin implica que la transformada de Laplace de la integral de f es

Se puede usar en algunas ocasiones en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denominador y f(t) = L-1 {F(s)} sea fcil de integrar; por ejemplo, sabemos que cuando f(t) = sen t, entonces F(s) = l/(s2 + l),

Transformada de una funcin peridica si el periodo de una funcin peridica esT > 0, entonces f(t + T) =f(t). Se puede determinar la transformada de Laplace de una funcin peridica por una integracin sobre un periodo.

TEOREMA TRANSFORMADA DE UNA FUNCION PERIODICA

DEMOSTRACIN Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

Escribiendo t = u + T, la ltima de las integrales se transforma en

EJEMPLO 5 Transformada de Laplace de una funcin peridica

Determine la transformada de Laplace de la funcin peridica que muestra la figura

SOLUCIN La funcin se puede definir en el intervalo 0 t < 2 como sigue:

y fuera del intervalo mediante f(t + 2) = f(t), Con T = 2 aplicamos la ecuacin y la integracin por partes:

El resultado en la ecuacin (ll) del ejemplo anterior se puede obtener sin necesidad de integrar, aplicando el segundo teorema de traslacin. Si definimos

Entonces f(t) = g(t) en el intervalo [0, T], donde T = 2. Pero podemos expresar g en trminos de una funcin escaln unitario, en forma g(t) = t - t U(t - 1). Asi,

Al examinar la expresin dentro de los parntesis rectangulares vemos que es idntica.

FUNCIN DELTA DE DIRAC

Impulso unitario Con frecuencia, sobre los sistemas mecnicos actan fuerzas externas (o fem sobre los circuitos elctricos) de gran magnitud solo durante un lapso muy breve; por ejemplo, en un ala de aeroplano que se encuentre oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo de bola, o una bola de bisbol (golf o tenis), podra mandarse volando golpendola violentamente con algn tipo de garrote, como un bate, un palo de golf o una raqueta. La funcin.

Cuando a > 0, to > 0 se ven en la figura), y podran servir como modelo matemtico de este tipo de fuerzas. Para valores pequeos de a, a (t to) es, esencialmente, una funci6n constante de gran magnitud que se encuentra encendida solo durante un lapso muy pequeo, alrededor de to . El comportamiento de a (t to) cuando a + 0 se muestra en la figura 75lb).Esta funcin, a (t to), se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integracin,a (t to)dt= 1.

Funcin delta de Dirac En la prctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una funcin que aproxima a (t to), definida con el lmite

Esta ltima expresin, que por ningn motivo es una funcin, se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes:

Impulso unitario a (t to), se denomina funcin delta de Dirac.

Es posible obtener la transformada de Laplace de la funcin delta de Dirac con la hiptesisformalde que L{ (t to),} = lma L{ a (t to),}.

TEOREMA TRANSFORMADA DE LA FUNCION DELTA DE DIREC

DEMOSTRACIN Comenzaremos expresando a a (t to) en trminos de la Funcin escaln unitario.

Segn la linealidad y la ecuacin (7) de la seccin 7.3, la transformada de Laplace de esta expresin es

Como esta ecuacin tiene la forma indeterminada O/O cuando a 0, aplicamos la regla de LHpital:

Cuando t0 = 0, parece lgico suponer, de acuerdo con la ecuacin

Este resultado subraya el hecho de que a(t) no es el tipo normal de funcin que hemos manejado porque, de acuerdo con el teorema, esperaramos que L{ f(t)} 0 cuando s .

EJEMPLO 1 Dos problemas de valor inicial

Resuelva y + y = 4(t - 2), sujeta a

a) y(O) =I 1, y(O) = 0; b) y(O) = O,/(O) = 0.

Estos dos problemas de valor inicial podran servir de modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte en un medio en que el amortiguamiento sea insignificante. Cuando t = 2, se imparte un fuerte golpe a la masa. En a), la masa parte del reposo a una unidad abajo de la posicin de equilibrio. En b), la masa se encuentra en reposo en la posicin de equilibrio.

SOLUCIN a) Segn (3), la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial es

Aplicamos la forma inversa del segundo teorema de traslacin para obtener

Como sen(t - 2) = sen t, la solucin anterior se puede expresar

En la figura la grfica vemos que la masa tena movimiento armnico simple hasta que fue golpeada cuando t = 2. La influencia del impulso unitario es aumentar la amplitud de oscilacin hasta , cuando t > 2. b) En este caso, la transformada de la ecuacin es, sencillamente,

Y as

La grfica de esta ecuacin muestra que, como era de esperarse por las condiciones iniciales, la masa no se mueve sino hasta que se le golpea cuando t = 2.

Observaciones i) Si (t to) fuera una funcin en el sentido normal, la propiedad i) de la pgina 350 significara que a (t to)dt= 0. y no = 1. Dado que la funcin delta de Dirac no se comporta como una funcin ordinaria, aunque su aplicacin produce resultados correctos, al principio slo mereci el desdn de los matemticos; sin embargo, en la dcada de los 40, Laurent Schwartz, matemtico francs, coloc esta controvertida funcin sobre una base rigurosa en su libro La Thorie de distribution que, a su vez, abri una nueva rama de las matemticas, la teora de distribuciones o funciones generalizadas. En esa teora, la ecuacin (2) no es la definicin aceptada de (t to), ni se habla de una funcin cuyos valores no sean = ni 0. Aunque no desarrollaremos ms este tema, baste sealar que la funcin delta de Dirac se caracteriza mejor por su efecto sobre otras funciones. Entonces, si f es una funcin continua,

Aplicamos la transformada de Laplace L{(t)} = 1, con la cual vemos que la transformada de la respuesta y, en este caso, es la funcin de transferencia

Segn lo anterior -y en trminos generales- la funcin peso y = w(t) de un sistema lineal de orden n es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario. Por este motivo, w(t) tambin se llama respuesta al impulso del sistema.ECUACINES DIFERENCIALES 1

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