DISTRIBUCIONES BIDIMENCIONALES

5/10/2018 DISTRIBUCIONES BIDIMENCIONALES - slidepdf.com

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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Es de interés considerar experimentos aleatorios a los cuales se les asignan dos

variables aleatorias de entrada, relacionadas o no, que permiten definir las

Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales o Bivariadas

Variable Aleatoria Bidimensional

Definición: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio dado.

Sean X = X(s) y Y = Y(s) dos funciones que asignan un número real a cada

resultado s∈ S. Llamaremos a (X,Y) variable aleatoria bidimensional –vab-.

Simbólicamente tenemos

Observaciones

1. Interesan más que la naturaleza de las funciones X y Y los valores que asumen

así:

(X[s], Y[s]) ≡ (X,Y)

2. El recorrido de la v a b (X,Y) es R ℜ⊂ 2

3. P (X[s] ≤ a, Y[s] ≤ b) ≡ P (X ≤ a, Y ≤ b)

4. (X,Y) es

n u m en oi n f i n i t oe sRs ic o n t i n u abav

n u m e r a b l ee sRs id i s c r e t abav

(X,Y) puede ser vab mixta, o sea, continua y discreta por tramos.

Función De Probabilidad Conjunta Bivariada



2. 1 =

( ) ( )

( ) ( )

∫ ∫

∑ ∑

∞

∞−

∞

∞−

∞

=

∞

=

c o n t i ne sYX ,s id x d yyx ,f

d i s c r ee sYX ,s iy,xf 1i 1 j

ji

Observaciones

- El volumen acotado por la superficie z = f(x,y) y la región R vale 1

- La proyección de z = f(x,y) sobre el plano x,y es la región dominio R 2ℜ⊂

donde f(x, y)>0 así es claro que

0

∉

∈

R y )( x ,s i y )f ( x ,=

R y )( x ,s i y )f ( x ,<

Ejemplo

Si f(x, y) es una fdp divariada definida positivamente para todo

(x,y)ЄR=[5,10]X[4,9] en la figura siguiente, Halle c y P(X≤Y).



P(X≤Y) =25

1 ∫ ∫

9

5

y

5dxdy ó

25

1 ∫ ∫

9

5

9

xdydx

=25

1 ( )∫ −

9

55y dy ó

25

1 ( )∫ −

9

5x9 dx

=25

1

9

5

2

5y2

y

− ó

25

1

9

5

2

2

x9x

−

P(X Y≤ ) =25

8



Obteniendo el mismo resultado.

Función De Probabilidad Acumulativa Bidimensional

Sea (X,Y) una v a b con fdp f(x,y), entonces su función de distribución acumulada

es:

F (X,Y) = P (X≤x, Y≤y)

Observación

Asi como( )

dx

xdF= f(x) para X v a c unidimensional se tiene que

( )

yx

yx,F2

∂∂

∂=

f(x,y) donde quiera que F(x,y) es diferenciable.

Distribución Uniforme Bivariada

Decimos que (X,Y) v a b se distribuye uniformemente en R 2ℜ⊂ si

f(x,y) =

∉

∈

R y )( x ,s i 0

R y )( x ,s i K

1

Es claro que: K es el número finito de puntos de R si (X, Y) es una v a b discreta

ó K es el inverso del área finita de la región R si (X, Y) es una vab

continua

Ejercicio

Sea R = {(x,y) : 0≤ x ≤ 1 Λ x2 ≤ y≤ x } si f(x,y) es una fdp uniforme

bidimensional definida en R. Halle f y pruebe que:

a. ∫ 1

0y)f(x, dy = g(x) = 6 (x-x2), 0 ≤ x ≤ 1

b. ∫ 1

0y)f(x, dx = h(y) = 6 ( y - y ), 0 ≤ y ≤ 1

¿Cómo es la gráfica de f, g y h?



Función De Probabilidad Marginal

En el ejercicio anterior a g(x) y h(y) se les denomina fdp marginales de las vac

unidimensionales X y Y, diremos en general que si f(x,y) es la fdp conjunta de una

vac bibimensional (x,y) entonces

g(x) = ∫ ∞

∞−y)f(x, dy y h(y) = ∫

∞

∞−y)f(x, dx

son la fdp marginales de las va unidimensionales x y y.

Asi P (c ≤ x ≤ d) = P (c ≤ x ≤ d, -∞ ≤ Y ≤ ∞ )

= ∫ ∫ ∞

∞−

d

c y)f(x, dydx = ∫

d

c g(x) dx

Ejercicio

Sea f(x,y) = 2 (x+y-2xy) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Halle las fdp marginales de las

vac X y Y, y pruebe que son fdp.

En efecto 1dyh(y)dxg(x)1

0

1

0

==∫ ∫

Ejercicio

Sea f(x,y) = x2 +3

xy0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.

Grafique la región R donde f es positiva, demuestre que f es una fdp, pruebe que

P (X + Y ≥ 1) =72

65y halle las fdp marginales de X y Y.

Funciones De Probabilidad Condicional

Sea (X,Y) una v a b c con una fdp conjunta f. Sean g(x) y h(y) las fdp marginales

de las v a c X y Y entonces las fdp condicionales de X dado Y = y, y de Y dado

X = x

Son



g(x/y) =h(y)

y)f(x,, h(y) > 0

h(y/x) =g(x)

y)f(x,, g(x) > 0

Observe que:

1. ∫ ∞

∞−g(x/y) dx = ∫

∞

∞h(y/x) dy = 1

es decir g y h marginales son fdp.

2. g(x/y) es la intercepción de f con el plano Y=C. Observe que la gráfica siguiente

Funciones De Probabilidad Bivariada Discreta

Basta, por analogía sustituir, en las definiciones del caso bidimensional continuo

las integrales por sumatorias.

Ejemplo

Supóngase una fdp conjunta bivariada que asume valores de probabilidad

conjunta según la siguiente tabla:

X1=2 X2=3 X3=4 X4=5 X5=6

Y1=2 1 2 3 0 1 7

Y2=3 4 1 4 2 0 11



Y3=4 3 2 1 0 1 7

8 5 8 2 2 25

Podemos calcular algunas probabilidades así:

a) P (X = Y) = f(x1,y1) + f(x2, y2) + f(x3, y3) =25

3

b) P (X ≤ 3, Y≤ 3) = ∑∑= =

=2

1i

2

1 j

ji25

8)y,f(x

c) P (X ≤ Y) = ∑≤

= ji yx

ji25

12)y,f(x

d) P (X = 3) = P (X = 3 ; Y = 2,3,4) =25

5

Es decir g(xi ) = P (X = xi, Y = y1,y2,…,yk)

g(xi ) = ∑∞

=1 j

ji )y,f(x

h(y j ) =∑∞

=1i

ji )y,f(x

De nuevo g y h son las fdp marginales de X y Y respectivamente

g (x / Y = 3) =h(3)

f(x,3)

= ( )0,2,4,1,411

1

Aquí g (x / 1) es la probabilidad condicional de X dado Y = 1.

Análogamente: h (y / X = 4) =g(4)

y)f(4,



=

1

4

3

81

Ejercicio

Calcular en la misma tabla g (x / Y = 4) y h (y / X = 5)

Variables Aleatorias Independientes

Sea ( X, Y) una vab las siguientes son afirmaciones equivalentes:

X es independiente de y sii f(x, y) = g (x) h(y)

h(y)x) /h(y sii

g(x) / y)g(x sii

=

=, 0

h ( y )

g ( x )>

Observe que

Ejercicio

Asignar en la siguiente tabla probabilidades conjuntas f(x, y) de forma que X y Y

sean variables aleatorias independientes



y X 7 8 9

3 40

5 60

40 20

Ejercicio

Supóngase que f(x, y) = 8xy, para 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 son X y Y variables aleatorias

independientes?.

Covarianza

Sea X, Y una v a b con rango R2

ℜ⊂ y fdp conjunta f(x, y), con E (X) = µx y

E (Y) = µy

Definimos la covarianza de las v a X y Y asi:

C (X, Y) = xy

σ

= E [ (X - µx) (Y - µy) ] o sea

xyσ =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−−

∫ ∫

∑ ∑

RYX

R YX

v a be sYX ,s i yx ,f μ-yμ-x

v a be sYX ,s iyx ,f μyμx

Observaciones

1) Las propiedades de operador lineal de la esperanza E permiten una definición

alternativa para xyσ , veamos:

xyσ = E [ (X - µx) (Y - µy) ]

= E [XY - Xµy - Yµx + µxµy ]



= E (XY) - µyµx - µxµy + µxµy , asi:

C (X, Y) = E (XY) - µxµy

2) C (X, Y) es la medida de la relacion lineal entre las v a X y Y , en efecto

Si C (X, Y) > 0 entonces

(X - µx) > 0 ∆ (Y - µy) > 0 ó (X - µx) < 0 ∆ (Y - µy) < 0.

Que corresponde a la grafica lineal (1) de pendiente positiva

Puede ser también, C (X, Y) < 0, o sea

(X - µx) > 0 ∆ (Y - µy) < 0 ó (X - µx) < 0 ∆ (Y - µy) < 0.

que corresponde a la línea de pendiente negativa, grafica (2)

También puede ser C (X, Y) = 0 para distribuciones simétricas respecto al punto (

µ x,μ y) como en las graficas (3) y (4)



Correlación

Sean X y Y dos v a de forma que se pueden calcular V(X), V(Y) y C(X, Y).

Definimos el coeficiente de correlación de las v a X y Y como

Corr (X, Y) = ρXY = ρ =Y X

XY

σσ

σ

Como se puede observar en la definición la correlación permite escalar la

covarianza en unidades de la desviación estándar de cada variable, precisando la

comparación de la linealidad para v a de unidades distintas.

Para a,b,c y d constantes reales, a y c con el mismo signo, se puede probar

mediante las propiedades de la esperanza, la varianza y la covarianza que:

a) Corr (aX + b, cY + d) = Corr (X, Y). Es decir que el coeficiente de correlación

es invariante ante un cambio de origen y escala de las variables aleatorias.

b) Para dos v a X y Y cualquiera

-1 ≤ Corr (X, Y) ≤ 1

es decir que la fuerza de la linealidad entre las v a X y Y se mueve entre -1 y 1 y

definimos el siguiente criterio.

Criterio De Correlación Lineal

Diremos que la relación lineal entre las v a X y Y es:

Inexistente si XY ρ = 0



Débil si 0 < XY ρ ≤ 0.5

Moderada si 0.5 < XY ρ < 0.8

Fuerte si 0.8 ≤ XY ρ

Observaciones.

La relación entre dos variables X y Y no está completamente explicada por

Corr(X,Y), solo su relación lineal.

Si X y Y son independientes entonces la independencia implica que ρXY = 0. Pero

ρXY = 0 no implica que X y Y sean independientes

ρXY = ± 1 sii Y = aX + b a y b reales a ≠ 0, o sea, todos los puntos están sobre la

recta.

Ejemplo

Sea f( X, Y) =41

( X, Y) =

( )( )( )( )

2−2−

22

1−4

14−

,

,

,

,

y sea f(x,y)=12

1, (x,y) Є Z2 x2+y2=25

Observe que E(X) = E(Y) = C(X, Y) = 0. pero X y Y no son independientes. X no serelaciona linealmente con Y

¿Cómo es la simetría respecto a (µ x,μ y)?



En estos caso por la simetría ρXY = 0 pero no se puede afirmar que X y Y sean

independientes, solo que no están relacionadas linealmente.

PROBLEMAS SELECCIONADOS

1. Una pareja se cita entre las 7 y las 8 de la tarde y llegan a la cita con

distribución uniforme en dicho intervalo. Deciden esperarse un máximo de 15

minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren.

2. La variable bidimensional (x, y) tiene como función de densidad

y)(xey)f(x, +−= en el primer cuadrante; f(x, y)=0 en los otros tres. Si se toman

al azar tres puntos en el primer cuadrante calcular la probabilidad de que uno

al menos pertenezca al cuadrado ( )1y1;0x0 ≤≤≤≤ .



3. El tiempo total que un camión permanece en un almacén está definido por una

variable aleatoria x. Sea y la variable tiempo de espera en la cola, y z el tiempo

de descarga (x = y + z). La distribución conjunta de x e y es:

∞<≤≤

=−

c ao t r oe n 0

xy0 e4

1

y )f ( x ,2x

Se pide:

a. Calcular el tiempo medio total que permanece un camión en la estación.

b. Calcular el tiempo medio de descarga.

c. Calcular el coeficiente de correlación entre el tiempo total y el tiempo de

espera en la cola.

4. Una máquina de empacado automático deposita en cada paquete 81.5g, por

término medio, de cierto producto, con σ=8g. El peso medio del paquete vacío

es 14.5g, con σ=6g. Ambas distribuciones son normales e independientes. Se

pide:

a. Calcular la distribución del peso de los paquetes llenos.

b. Escribir la distribución conjunta del peso del paquete y el producto quecontiene.

5. En el problema anterior los paquetes se distribuyen en cajas de 40, cuyo peso

medio vacías es 520g, con σ=50g. Calcular:

a. La distribución del peso de las cajas llenas.

b. La probabilidad de que un cajón vacío pese menos que 5 paquetes llenos.

6. Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la

línea. Si la tensión es N(100, 20) y la capacidad N(140, 10), calcular la

probabilidad de avería. Suponiendo que la tensión y la capacidad varían

independientemente.

7. Dada f(x, y)=3x (0<y<x; 0<x<1), obtener las distribuciones marginales y la

condicionada f(x/y).



8. La función de probabilidad de (x, y) es p(x,y)=1/30 para x=0, 1, 2, 3, 4, 5 e y=0,

1, 2, 3, 4; p(x,y)=0 en puntos distintos de los anteriores. Calcular la función de

distribución en los puntos de la recta x-2y+2=0.

9. En un aparato de control actúan dos variables x1, x2 independientes, ambas

con distribución uniforme, la primera entre 1 y 9, la segunda entre 1 y a. El

aparato funciona bien cuando x1<4x22. Calcular el valor de a para que

p(x1>4x22)≤0.01.

10.Se toman tres mediciones independientes y1, y2, y3 de la tensión en un circuito

con tres aparatos, cuyas varianzas son 1, 2 y 3. SDe forman dos índices del

circuito por:

3212

3211

y3

1y

3

1y

3

1z

5y2y3yz

++=

++=

Calcular el coeficiente de correlación entre z1 y z2.

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