Página 1 de 32

DISTRIBUCIONES MUESTRALES 3.1 Población y Muestra Aleatoria

3.1.1 Población 3.1.2 Muestra Aleatoria

3.2 Parámetros y Estadísticos o Estadígrafos

3.2.1 Parámetros 3.2.2 Estadísticos o Estadígrafos

Media Muestral Varianza Muestral Desviación Estándar Mínimo y Máximo Muestral Rango

3.3 Distribución de Medias Muestrales con Varianza Conocida

3.3.1 Introducción 3.3.2 Esperanza y Varianza de la Media Muestral 3.3.3 Teorema Central del Límite. Ejemplos 3.3.4 Distribución Muestral de la Suma o Diferencia de dos Medias, Estadísticamente Independientes con Varianzas Conocidas. 3.3.5 Problemas

3.4 Varianza Muestral

3.4.1 Distribución Chi Cuadrado Introducción Definición Notación Teorema de la adición para la distribución Chi-Cuadrado Grados de libertad Observaciones Uso de la tabla de distribución Chi-Cuadrado y de su inversa. Ejemplos.

3.4.2 Distribución de la Varianza Muestral Introducción Teorema. Ejemplo

3.5 Media Muestal y Varianza Desconocida 3.5.1 Distribución t de Student

Introducción Definición Uso de la tabla de la distribución y de su inversa. Ejemplos

3.5.2 Distribución de la Media Muestral con Varianza Desconocida 3.6 Mínimo y Máximo Muestrales

3.6.1 Teorema 1 3.6.2 Teorema 2

Página 2 de 32

3.1 Población y Muestra Aleatoria 3.1.1 Población. Es el conjunto con referencia al cual se desea hacer alguna investigación determinada.

El número de elementos que forman la población y que indicaremos con la letra N, se

llama tamaño de la población. Recordemos que la población puede ser finita o infinita.

Si el número de elementos de una población es elevado se la considera para el

tratamiento estadístico, en algunos casos como infinita.

3.1.2 Muestra aleatoria. El requisito fundamental de una buena muestra es que sea representativa de la

población que trata de describir. La palabra representativa es la clave de esta idea.

El objetivo de los técnicos de muestreo es que cada elemento de la población tenga una

oportunidad igual e independiente de ser incluido en la muestra. Estos procesos de

muestreo conducen a una muestra aleatoria.

Veamos aquí una definición precisa de muestra aleatoria.

3.2 Parámetros y Estadísticos o Estadígrafos

3.2.1 Parámetros

Definición Un parámetro es una caracterización numérica de la distribución de la

población de manera que describe, parcial o completamente, la función de densidad

de probabilidad de la característica de interés.

Definición. Sea X una variable aleatoria con función de

distribución de probabilidad f(x).

Sean X1, X2,…, Xn n variables aleatorias tales que:

1. Son independientes entre si.

2. Todas ellas están idénticamente distribuidas y tienen la

misma función de distribución de probabilidad que X,

f(x).

Decimos entonces que (X1, X2,…, Xn) es una muestra aleatoria

de la variable aleatoria X.

Página 3 de 32

Ejemplo. Cuando se especifica el parámetro de una distribución exponencial se describe

de manera completa la función de densidad de probabilidad como:

contrario casoen 0

0 x si /);(

xexf

Una vez que se conoce el parámetro θ, puede formularse cualquier proposición

probabilística de interés. Por ejemplo:

Si θ = 2 entonces P(X > 4)= x/24

e dx = 0,1053

Observación. El o los parámetros inherentes a un modelo de probabilidad, son

desconocidos y por tanto es imposible calcular las probabilidades deseadas.

Por esta razón los parámetros se estiman en base a los llamados estadísticos o

estadígrafos que, a su vez, se obtienen a partir de la información contenida en una

muestra aleatoria.

Antes de dar la definición de estadístico, debe notarse que un parámetro es una

constante fija cuyo valor se desconoce.

3.2.2 Estadísticos o Estadígrafos

Definición. Sea (X1, X2,…, Xn) una muestra aleatoria de una variable aleatoria

X. Cualquier función real Y = H(X1, X2,…, Xn) de las observaciones de la muestra se

llama estadístico o estadígrafo.

Algunos estadísticos importantes Sea (X1, X2,…, Xn) una muestra aleatoria de la v.a. X. Definiremos algunos estadísticos

importantes.

Media Muestral

ni

i=1

1X= Xn

Es estadístico X toma el valor 1

1 n

ii

x xn

cuando:

X1 = x1, X2 =x2,…, Xn = xn

En la práctica el término media muestral se aplica tanto al estadístico

X como a su valor calculado x . Varianza Muestral

Página 4 de 32

2 2

1

1 ( )1

n

ii

S X Xn

La razón para dividir por n-1 es que de esta forma, como veremos más adelante (cuando

se estudien los procedimientos de estimación), la medida de variabilidad resultante es el

mejor estimador de la varianza poblacional (desconocida).

Desviación Estándar

2

1

1 ( )1

n

ii

S X Xn

Observar que la varianza muestral S2 se mide en término del cuadrado de las unidades

originales de las mediciones.

Así, si la varianza muestral se expresa en “kilogramos al cuadrado para datos originales

en kilogramos, al extraer la raíz cuadrada positiva de S2, obtenemos la desviación

estándar muestral, que regresa la medida de variabilidad a las unidades originales de las

mediciones.

Mínimo Muestral ( )

1 2( , ,..., )mnX mín X X X

Máximo Muestral ( )

1 2( , ,..., )MnX máx X X X

Rango Muestral ( ) ( )M mR X X

3.3 Distribución Muestral de Estadísticos

3.3.1 Introducción Usaremos los estadísticos para estimar los parámetros de una distribución. Dado que un

estadístico es una variable aleatoria por ser una función de n variables aleatorias, tiene

sentido hallar su distribución.

Como ya sabemos uno de los principales objetivos de la Estadística es el aprendizaje a

partir de las observaciones. La Estadística proporciona el método para poder conocer

como es el fenómeno real que ha generado los datos observados y que generará los

futuros.

Página 5 de 32

Supongamos por ejemplo que queremos saber cómo son los artículos fabricados

mediante un determinado proceso. Para ello tendremos en cuenta un conjunto de

variables medibles que sean representativas de las características de dicho artículo, por

ejemplo la longitud de alguna de sus dimensiones.

La longitud de los posibles artículos fabricados será una variable aleatoria, dado que

todo proceso productivo siempre tiene variabilidad, ya sea grande o pequeña.

Las longitudes de los distintos artículos serán, en general, distintas.

Llamaremos X = longitud de un artículo genérico.

X es una variable aleatoria cuya distribución desconocemos.

Para poder conocer algo sobre la distribución de X tomaremos una muestra aleatoria

simple de los artículos, y a partir de ella haremos un ejercicio de inducción, para

extrapolar las características de la muestra a toda la población.

En Estadística, este ejercicio de inducción por el cual a partir de la muestra intentamos

predecir o pronosticar cómo será el resto de la población que no se ha observado se

llama Inferencia estadística.

Supongamos que tenemos una muestra de n = 100 artículos y hemos medido sus

longitudes. Supongamos también que calculamos un conjunto de medidas

características de dicha muestra: la media, la varianza, etc.

¿Los valores de la media muestral, la varianza muestra, etc. calculados a partir de los

datos de la muestra, coinciden con la media poblacional, la varianza poblacional, etc.

es decir con los parámetros que caracterizan la distribución?

Para que coincidan necesitamos los datos necesarios (en este caso longitudes) de

TODOS los elementos de la población. Por tanto no tienen que coincidir.

Conclusión 1. Los valores de las medidas características que se obtienen de una

muestra serán sólo una aproximación de los valores de las medidas

características de la población.

Nos preguntamos ahora: ¿los valores de la media muestral, la varianza muestral, etc.

dependen de la muestra aleatoria utilizada?

Página 6 de 32

Efectivamente los valores obtenidos dependerán de la muestra. Será mucha casualidad

que dos muestras distintas nos den exactamente la misma media muestral, la misma

varianza muestral, etc. La medidas obtenidas serán más o menos similares, porque las

muestras provienen de la misma población, pero no tienen porqué coincidir.

Conclusión 2. Los valores obtenidos de las medidas características que se

obtienen dependerán de la muestra utilizada. Muestras diferentes darán valores

diferentes.

Conclusión 3. De acuerdo a la conclusión 2 un estadístico tomará un valor

diferente para cada muestra, diremos que obtenemos una realización diferente

del estadístico.

Siempre que estimemos un parámetro poblacional nos haremos preguntas tales como:

1. ¿Qué calidad tiene la estimación obtenida?

2. ¿Cuál es la magnitud de la diferencia entre el parámetro poblacional y el

estadístico muestral?

3. ¿Con que muestra, por ejemplo, de dos utilizadas se obtiene un mejor estimador

del parámetro poblacional?

4. ¿Cómo es la distribución de un estadístico particular?

3.3.2 Esperanza y Varianza de la Media Muestral Supongamos que (X1, X2,…,Xn) es una muestra aleatoria de la v.a. X. La media muestral

de esas n observaciones será:

1 2 ... nX X XXn

Queremos saber cual es la distribución de X , dado que se trata de una variable aleatoria

y podemos hallar su distribución.

1. Calcularemos primero la esperanza matemática de X . Si llamamos E(X) = µ

tendremos que E(Xi) = µ, i = 1, 2,…, n; dado que cada Xi (i = 1, 2,…, n) es una

v.a. idéntica a X (por definición de muestra aleatoria). Entonces:

1 2 1 2... ( ) ( ) ... ( )( ) ( )n nX X X E X E X E X nE X En n n

Página 7 de 32

2. Calcularemos ahora la varianza de X para ver la dispersión de los distintos

valores de medias muestrales, alrededor de µ. Llamaremos 2( )Var X por

tanto Var (Xi) = σ2, i= 1, 2,…, n. Entonces:

1 2

2 21 2

2 2

...( )

( ) ( ) ... ( )

( )n

n

X X XVar X Varn

Var X Var X Var X nn n n

(usando propiedades de la varianza y definición de muestra aleatoria).

3.3.3 Teorema Central del Límite. Distribución de la Media Muestral

Conociendo la Varianza. Ejemplos

Sean:

X1, X2,…,Xn una sucesión de variables aleatorias independientes con

E(Xi) = µi y V(Xi) = (σi)2 (i = 1, 2,…,n).

1

n

i ii

X c X

, X variable aleatoria, ci constantes reales (i = 1, 2,…,n)

Entonces:

1

n

i ii

c X para n grande tiene distribución 2 2

1 1 1( , )

n n n

i i i i i ii i i

X c X N c c

O bien:

1 1

2 2

1

n n

i i i ii i

n

i ii

c X cZ

c

para n grande tiene distribución (0,1)Z N

Podemos escribir (0,1)nZ N Consideraremos como grande a “n” cuando n ≥ 30. Observación 1. Si consideramos: todas las constantes ci = 1(i = 1, 2,…, n)

Todas las esperanzas µi = 1 (i = 1,2,…,n)

todas las varianzas (σi)2 = σ2 (i = 1,2,…,n)

el enunciado del teorema se reduce a: Sean:

X1, X2,…,Xn una sucesión de variables aleatorias independientes con E(Xi) = µ y

V(Xi) = σ2 (i = 1, 2,…,n).

Página 8 de 32

1

n

ii

X X

variable aleatoria

Entonces:

1

n

ii

X X

para n grande tiene distribución 2

1( , )

n

ii

X X N n n

�

O bien:

1 12

n n

i ii i

X n X nZ

nn

para n grande tiene distribución (0,1)Z N

Podemos escribir: (0,1)nZ N �

Observación 2. Como vemos este teorema trata de la normalidad aproximada de una

suma de “n” variables aleatorias, donde n es grande.

Aplicaremos este teorema para obtener la distribución de la media muestral. Para ello lo

enunciamos en forma equivalente a la vista en segundo lugar, como sigue:

El hecho sobresaliente de este teorema es que aún si la población original no es

normal, la media estandarizada es aproximadamente normal si n es grande (n≥ 30).

Ambas formas de enunciar el teorema son equivalentes, pues:

Sea (X1, X2,…,Xn) una muestra aleatoria de tamaño n de una

población con media μ y varianza σ2. Si n es grande,

entonces:

1

1 n

ii

X Xn

tiene aproximadamente una distribución normal con:

media X

desviación estándar X n

Equivalentemente:

XZn

tiene distribución aproximadamente N(0,1)

Página 9 de 32

1 1

1( )( )n n

i ii i

X X nnXZ Zn

n n

En el siguiente cuadro resumimos lo dicho sobre la distribución de muestreo de X

La Fig.1 sugiere que las distribuciones muestrales de X serán aproximadamente

normales para tamaños de muestra n = 25, para la mayoría de las poblaciones.

Distribución de la media muestral X

1. Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n (n grande, n ≥ 30)

de la v.a. X (con cualquier distribución) con media µ y desviación

estándar σ, la distribución de muestreo de la media muestral X será

aproximadamente normal con:

Media: X

Desviación Estándar: X n

2. Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de una v.a. con

distribución normal con media µ y desviación estándar σ, la

distribución de muestreo de la media muestral X tendrá exactamente

distribución normal con:

Media: X

Desviación Estándar: X n

En este caso n es grande o chico.

Página 10 de 32

Fig.1

Error estándar de la media

El error estándar o típico de la media juega un papel fundamental en la Estadística, ya

que mide la variabilidad de la distribución muestral de X ; esto es las variaciones

aleatorias de la media muestral con respecto a la verdadera media µ.

1. Si las observaciones se seleccionan aleatoriamente de una población grande

(infinita) o de una población finita pero con reemplazo el error estándar (o

típico) de la media es X n

Página 11 de 32

Del error típico X n obtenemos dos conclusiones importantes:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor será el error estándar,

entonces las variaciones aleatorias de la media muestral serán menores y puede

esperarse que ésta esté más cercana a la media de la población.

Si σ es grande, indica gran variabilidad en la población, entonces es de esperar

que la distribución muestral de X tenga una variación proporcional bastante

grande, reflejada por un error típico grande.

2. Cuando la población es finita y se hacen las extracciones sin reposición el error

estándar no es X n sino una cantidad menor. Esto es evidente por el

hecho lógico que la desviación estándar de X debe tender a cero a medida que

el tamaño muestral “n” se aproxima al tamaño poblacional “N”. En este caso el

error estándar (o típico) de la media es 1X

N nn N

. Al factor 1

N nN

se

lo denomina factor de corrección para una población finita (observar que

siempre será un número menor que 1). Convendremos en usar ésta corrección

cuando la población es finita y se hace un muestreo sin reemplazo; restringiendo

más aún cuando N ≥ 20n.

Como vemos es posible controlar las variaciones aleatorias haciendo variar el tamaño de

la muestra.

Ejemplo 1. Producción de petróleo crudo

Supóngase que el número de barriles de petróleo crudo que produce un pozo

diariamente es una variable aleatoria con una distribución no especificada. Si se observa

la producción de 64 días, seleccionados en forma aleatoria, y si se sabe que la

desviación estándar del número de barriles por día es σ = 16; determínese la

probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 4 barriles del verdadero

valor de la producción por día.

Solución

n = 64; puesto que n es suficientemente grande, la distribución de X es, en forma

aproximada, normal con:

media= X

Página 12 de 32

desviación estándar= 16 264X n

Luego la v.a. XZn

tiene distribución aproximadamente N(0,1).

La probabilidad pedida es:

( 4) ( 4 4)

( 2 2) ( 2 2)2

(2) ( 2) 0,9772 0,0228 0,9544

X X

X

P X P X

XP P Z

Ejemplo 2. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en

forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9

centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta

población, determinar:

a) ¿Cuántas medias muestrales caen entre 172,5 y 175,8 centímetros?

b) ¿Cuántas medias muestrales caen por debajo de 172 centímetros?

Solución

En este ejercicio contamos con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por

tanto agregamos el factor de corrección.

a)

(172,5 175,8)172,5 174,5 174,5 175,8 174,5( )

6,9 1000 25 6,9 1000 25 6,9 1000 251000 1 1000 1 1000 125 25 25

( 1, 47 0,96) 0,7607

P XXP

P Z

Gráficamente:

Rta. (0,7607)(200) = 152 medias muestrales.

b) Se calcula en forma similar que: ( 172) 0,0336P X

Gráficamente:

Página 13 de 32

Rta. (0,0336)(200) = 7 medias muestrales

3.3.4 Distribución Muestral de la Suma o la Diferencia de Dos Medias,

Estadísticamente Independientes con Varianzas Conocidas Respectivamente.

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones,

discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y desviaciones estándar σ1 y σ2

respectivamente, entonces las distribuciones de muestreo de 1X + 2X y de 1X - 2X

tendrán las siguientes propiedades:

1) Las media de las distribuciones muestrales son:

2121

XX y 21

21

XX

2) Las varianzas de las distribuciones muestrales para la suma y la diferencia son:

2

22

1

21

2121 nnXXXX

3) a) Si ambas distribuciones son normales entonces 1X + 2X y

1X - 2X tienen distribución normal in importar que valores

tengan n1 y n2.

b) Si n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30 la aproximación normal para la distribución de 21 XX es

muy buena sin importar las distribuciones de las dos poblaciones.

c) Si n1 < 30 y n2 < 30 la aproximación normal es razonablemente buena, excepto

cuando las poblaciones no son normales.

d) En el caso de aproximaciones normales, las variables aleatorias

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXZ

y

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXZ

Tienen distribución N(0,1).

Página 14 de 32

Ejemplo. Se extraen aleatoriamente:

a) una muestra de tamaño n1 = 5 de una población normalmente distribuida con

media µ1 = 50 y desviación estándar σ1= 3, y se registra la media muestral 1X .

b) Una segunda muestra de tamaño n2 = 4, independientemente de la primera, de

una población diferente que también está normalmente distribuida, con media µ2

= 40 y desviación estándar σ2= 2 y se registra la media muestral 2X .

Hallar P( 1X - 2X < 8,2).

Solución

1401,008.18,2

10

44

59

102,8)()()2,8(

)(

)(

21

2

22

1

21

212121

XXP

nn

XXPXXP

3.3.5 Problemas

Problema 1

Una empresa fabrica elementos con una duración que se distribuye aproximadamente en

forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la

probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 de tales elementos tenga una vida

promedio de por lo menos de 775 horas.

Solución

0062,0)75,2()

1640

800775

1640

800()775(

ZPXPXP

Página 15 de 32

Problema 2 Uno de los principales fabricantes de televisores compra cables a dos

compañías. Los cables de la compañía A tienen una vida media de 7,2 años con una

desviación estándar de 0,8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6,7

años con una desviación estándar de 0,7.Determine la probabilidad de que una muestra

aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos 1 año más

que la de una muestra aleatoria de 40 cables de la compañía B.

Solución

Datos

µA=7,2 µB=6,7

σA=0,8 σB=0,7

nA=34 nB=40

0023,09977,01)84,2(1)84,2(

]

407,0

348,0

)7,62,7(1)()([)1(2222

ZPZPnn

XXPXXP

BB

AA

BABABA

3.4 Varianza Muestral

3.4.1 Distribución Chi-Cuadrado

Introducción

La distribución Normal se usa en Estadística por dos razones fundamentales:

1. se trata de una distribución importante en si misma, ya que proporciona una

descripción de gran cantidad de poblaciones.

Página 16 de 32

2. describe algunas distribuciones muestrales muy importante, en particular la de la

media de la muestra.

Por tanto la distribución Normal puede usarse para describir una población o una

muestra.

Por el contrario a la distribución Chi-Cuadrado (o Ji Cuadrado), solo la usaremos para

describir algunas distribuciones muestrales, una de las cuales es la de la varianza

muestral.

Por ahora, nos será útil para determinar si una distribución muestral y otra teórica son

lo suficientemente similares como para justificar la conclusión de que la población de

la que se extrajo la muestra tiene una determinada distribución.

Definición. Si Z1, Z2,…,Zn son variables aleatorias N(0,1) independientes, entonces

decimos que:

222

21 ... nZZZX

Tiene una distribución Chi Cuadrado con n grados de libertad.

Notación. Si X es una variable aleatoria continua con distribución Chi-Cuadrado y ν

grados de libertad, lo indicaremos X~ 2 .

El subíndice “ν” de la v.a. 2 corresponde al número de variables aleatorias

independientes de las que 2 es suma y es lo que llamamos “grados de libertad” de la

v.a. 2 .

Teorema de la adición para la distribución Chi Cuadrado

Si 21 y 2

2 son variables aleatorias independientes con distribución Chi Cuadrado

con ν1 y ν2 grados de libertad, respectivamente, entonces:

2 = 2

1 + 2

2

también tiene una distribución chi-cuadrado con ν = ν1+ν2 grados de libertad.

Grados de libertad

Página 17 de 32

¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que

podemos elegir libremente.

Por ejemplo, supongamos que estamos tratando con una muestra de tamaño 2, los

valores de muestra son a y b, y sabemos que tienen una media de 18. Simbólicamente la

situación es:

182

ba

¿Cómo podemos encontrar los valores que a y b pueden tomar en esta situación? La

respuesta es que a y b pueden ser cualquier valor cuya suma entre los dos sea 36, ya que

36 dividido 2 es 18.

Suponga que sabemos que a tiene el valor 10. Ahora b ya no es libre de tomar cualquier

valor, sino que debe de tomar el valor 26, ya que:

si a = 10

entonces 182

10

b

de modo que. 10+b = 36

por tanto: b = 26

La situación de este ejemplo se puede generalizar para cualquier (n) en donde dada la

media de los valores sólo quedan (n-1) elementos que pueden definirse libremente y uno

es función de la media y el resto de los elementos.

Observaciones.

1. 2 es una v.a. por ser una función de variable aleatoria.

2. Puesto que 2 es una suma de variables aleatorias elevadas al cuadrado, su

rango es el intervalo [0,+∞).

3. La forma de una distribución Chi cuadrado depende de los grados de libertad,

por tanto hay un número infinito de distribuciones 2 .

4. Las distribuciones 2 no son simétricas, tienen colas estrechas que se

extienden a la derecha, decimos que están “sesgadas” a la derecha.

5. La media y la varianza de una v.a. con distribución Chi Cuadrado con ν grados

de libertad son:

Página 18 de 32

2ν)2νVar(χy ν)2

νE(χ

La siguiente figura ilustra distribuciones 2 para distintos valores de ν.

La función de densidad de probabilidad de la distribución Chi Cuadrado está dada por:

contrario casoen 0

0 xsi x/2e2)/2(νxΓ(ν/2)

1

2ν

2

1(x)2)( xf

donde el parámetro ν de 2 son los grados de libertad.

Tener en cuenta que para ν=1 y ν=2 la función de densidad para x=0 se hace

infinito: 022y 02

1χ .

Para el resto de los valores de ν, para x=0, la función vale 0.

La función de densidad de probabilidad acumulada es:

dux ueux

duxPxF

0 )2/(2/2

2/2/)2(

0

2)2()(

Esta integral no tiene primitiva, se resuelve por métodos numéricos. Igualmente en este

curso nos manejaremos con tablas de probabilidad.

Uso de la tabla de la distribución Chi-Cuadrado. Ejemplos

Veamos como usar una tabla de probabilidad acumulada para esta distribución.

La tabla que puede verse en el Anexo presenta la densidad de probabilidad de una v.a.

Chi Cuadrado para distintos grados de libertad (ν=1,2,…,10) y distintos valores de x (de

0 a 20 con incremento 0,2). En la fila superior están los valores de ν y en la columna de

la izquierda los de x; donde se cruzan la columna de la ν buscada y la fila de la x, se

encuentra el valor de la probabilidad a cumulada desde 0 a la x buscada.

Página 19 de 32

Veamos algunos ejemplos que muestran como debe usarse la tabla Chi Cuadrado que

aparece en el Anexo.

Ejemplos. Hallar:

1. )2,124( P

121901,0)2,124( P

2. )4,32( 6 P

757223,0242777,01)4,326(1)4,32

6( PP

3. )6,5284,3( P

214874,0

)093189,0308063,0)4,328()6,52

8()6,5284,3(

PPP

Interpolación lineal. La función chi cuadrado es continua para x>0, pero en la tabla

solo se recogen algunos de sus valores (el número de valores existentes en la tabla

siempre es finito), para calcular los valores no encontrados en la tabla podemos usar

interpolación lineal.

La interpolación lineal parte de dos puntos conocidos e la función, y los valores

intermedios los determina por la recta que une estos dos puntos. Este método siempre

Página 20 de 32

añade un cierto error al sustituir la función y=f(x) por la recta r(x) que une los dos

puntos en cuestión.

La expresión:

1)1212

1 ( yyyxxxxy

determina la ecuación de la recta y=r(x) que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) siendo

x1<x< x2.

Ejemplo. Hallar: )75,125( P

El valor 1,75 no está en la tabla, pero si encontramos los más próximos: 1,6<1,75<1,8 y

se observa:

123932,0)8,125(

098751,0)6,125(

P

P

sustituyendo en la expresión: 1)12(12

1 yyyxx

xxy

se obtiene:

117637,0098751,0)098751,0123932,0(6,18,16,175,1

y

por tanto: 117637,0)75,125( P

Tabla inversa de la distribución Chi Cuadrado

Página 21 de 32

Partiendo de: px)2kP(χ nos preguntamos:

¿Para una distribución Chi Cuadrado con k grados de libertad, cual es el valor de x que

deja a su izquierda una probabilidad p?

En la tabla inversa tenemos en la fila superior las probabilidades P, en la columna de la

izquierda los grados de libertad k, donde se cruzan la fila y la columna

correspondientes, se encuentra el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad P.

Ejemplo. Hallar el valor de x tal que 80,0)( 26 xP

Consultando la tabla inversa se obtiene: x=8,558.

Cálculo de la probabilidad con la tabla inversa.

Ejemplo. Calcular con la tabla inversa )2,124( P

El valor 1,2 no figura en la tabla, pero en la fila de ν=4, tenemos:

1,064<1,2<1,649

además encontramos que: 20,0)649,12

4P(χ

10,0)064,124P(χ

usando la expresión de interpolación lineal: 1)1212

1 ( yyyxxxxy

resulta: 1232,01,0)1,02,0(064,1649,1

064,12,1

y

por tanto: 1232,0)2,1P(χ 24

Puede verse que hay una diferencia del orden de la tercera cifra decimal, respecto a la

búsqueda directa en la tabla, esta diferencia se debe a la interpolación lineal y la

relativamente gran diferencia entre x1 y x2.

Página 22 de 32

Función Gamma. En la función de densidad de probabilidad de esta distribución

aparece la función gamma, que se define:

0

1)1( 0n para econvergent es que .)( dxexn xn

Algunas propiedades de esta función

)()1( nnn

1)1(

Si n es un entero positivo ... 2, 1, n n!1)(n

)2/1(

Tomando (1) como la definición de )(n para n > 0, podemos generalizar la

función gamma para n < 0.

Existen tablas de valores para la función gamma. Actualmente es útil buscar

un valor de gamma en una calculadora científica.

3.4.2 Distribución de la Varianza Muestral

Introducción

Como definimos la varianza muestral por:

2)1

(1

12 Xn

i iXn

S

es natural esperar que se use esta v.a. como un estimador de la varianza poblacional σ2,

de una distribución normal, cuando no se conoce σ2.

El proceso de estimación puede considerarse como sigue:

la varianza de una distribución normal se desconoce, entonces se toma una muestra

aleatoria de n observaciones, se calcula la v.a. S2 y se usa este valor como un estimador

de σ2.

¿Se encuentra σ2 bien estimado por S2?

Una medida de la aproximación de S2 a σ2 está dada por:

positivos. reales números by a sindo b)2σ

2SP(a

Se usa S2/σ2 como una medida de aproximación, en vez de S2-σ2, porque la distribución

de S2/σ2 se obtiene fácilmente, mientras la distribución de S2-σ2 es difícil de obtener.

Página 23 de 32

Así como en el caso de una v.a. X con distribución N(μ,σ2) usamos una transformación

para obtener otra v.a. Z con distribución N(0,1), cuyos valores de probabilidad se

encuentran tabulados; en el caso de la v.a. S2 hacemos algo similar.

La transformación, en este caso, se hace pasando a la variable:

cuadrado)-(chi 2σ

21)S(n2χ (1)

cuyas probabilidades están tabuladas.

Sin embargo, contrariamente a lo que ocurre con la distribución normal estándar; la

forma de la curva que representa la f.d.p de 2 varía al cambiar el tamaño de la

muestra.

Debido a esta dependencia respecto al tamaño de la muestra, normalmente se usa un

subíndice para identificarla. Por ejemplo, la (1) se escribiría normalmente en la forma:

2σ

21).S(n21nχ (2)

Una forma equivalente de escribir esta ecuación es:

2σ

n

1i2)Xi(X

21nχ

(3)

El subíndice de 2 , que es igual al tamaño de la muestra menos uno, recordemos que

son los llamados “grados de libertad”, que representaremos comúnmente por ν (nu).

La expresión grados de libertad hace referencia, aquí, al número de cuadrados

independientes en el numerados de (3), es decir en

n

iXiX

12)( . El número total de

cuadrados en esta expresión es “n”, pero sólo hay “n-1” cuadrados independientes,

porque una vez calculados los “n-1” primeros, el valor del último queda determinado

automáticamente.

Teorema. Si X1, X2,…, Xn son variables aleatorias independientes cada una con

distribución N(μ, σ2) entonces la v.a. 2σ

21).S(n21nχ tiene una distribución chi

cuadrado con “n-1” grados de libertad.

Página 24 de 32

Este teorema no se prueba fácilmente, se omite la demostración. sólo presentaremos un

argumento empírico.

Si a y b son dos constantes cualesquiera, tales que: 0≤ a ≤ b, tenemos:

])1(

22)1(

2[]2

2)1([)21(

nbS

naPbSnaPbnaP

Como vemos una afirmación de tipo probabilístico respecto a 2 se puede transformar

fácilmente en otra equivalente a S2.

Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones

de una población con varianza σ2=6, tenga una varianza muestral:

1. mayor que 9,1.

2. entre 3,462 y 10,745.

Solución

1. 4,366

)1,9)(125().1(2

22

Sn

al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la

derecha de 0,05, entonces: 05,0)1,92( SP

0,940,050,99

13,462)P(χ42,98)P(χ42,98)χP(13,847

]6

5)(24)(10,746

224.S6

2)(24).(3,46P[10,745)2SP(3,462

224

224

224

3.5 Distribución de la Media siendo la Varianza

Desconocida

3.5.1 Distribución t de Student

Introducción

La distribución t de Student o simplemente distribución t, surge del problema de

estimar la media de una población normalmente distribuida y se desconoce la

desviación típica σ, de la población.

Sabemos que el estadístico X (función de una muestra aleatoria) se distribuye para n

suficientemente grande, normalmente con:

media X

Página 25 de 32

desviación estándar nX

o lo que es lo mismo: )1,0(N

n

XZ

Para calcular Z se requiere que σ sea conocida. Si σ no se conoce y tratamos con una

muestra pequeña se requiere un estadístico distinto de Z.

Es así que definimos:

nS

XT

Como vemos estamos introduciendo aquí más incertidumbre, dado que S es estimador

de σ. Esto nos indica que la distribución de T será más dispersa que la de Z.

T tiene distribución t de Student. Esta distribución tiene por función de densidad:

21)(

)2x(1 .

)2

Γ(

)21Γ(

π1(x)t

donde el parámetro ν de tν son los grados de libertad de la distribución.

Las principales características de la distribución t son:

1. Es una distribución continua.

2. E(T)=0

2 para 2

)(

TV

3. La distribución tiene forma acampanada y es simétrica respecto de la media

E(T)=µ=0, -∞<t<+∞.

4. La V(T) es ligeramente mayor que 1, es decir es ligeramente mayor que la de la

distribución normal estandarizada. Cuando los grados de libertad son

suficientemente grandes la varianza de la distribución t tiendo a 1.

5. No hay una distribución t sino una “familia” de distribuciones t; todas con la

misma media 0, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo

con el tamaño de la muestra. Existe una distribución t para una muestra de

tamaño 20, otra para una muestra de tamaño 22 y así sucesivamente.

6. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución

normal estándar como resultado de ello se obtiene una mayor variabilidad en las

Página 26 de 32

medias muestrales calculadas a partir de muestras más pequeñas. sin embargo a

medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la

distribución N(0,1).

7. Para n≥30 la distribución t tiende a la N(0,1).

Gráficamente:

Definición. Formalmente una variable aleatoria T con distribución t de Student se

define de la forma siguiente:

Sea Z una variable aleatoria con distribución N(0,1) y sea 2 una variable Chi

Cuadrado con n grados de libertad, entonces:

(1)

n

2χ

ZT

donde:

2

2)1(2y

Sn

n

XZ

Al sustituir en la fórmula (1):

nSX

SXn

S

Xn

Sn

X

S

n

X

n

Sn

n

X

T

)(

)(

2

2

1

2

2)1(

Por tanto:

nSXT

con ν = n-1 grados de libertad.

Observación aparece X porque estudiaremos con esta distribución la media muestral.

Página 27 de 32

La distribución de densidad acumulada de la distribución t será:

x duutxtPxF )()()(

donde:

xduut primitiva tieneno )(

Para el cálculo de la integral anterior existen distintos tipos de tablas de esta

distribución, en las que para distintos valores de ν y de x, se puede buscar su

probabilidad acumulada p.

Uso de tablas de la distribución t. Ejemplos

En la tabla, que se encuentra en el Anexo, hay dos entradas, en la fila superior están los

valores de ν y en la columna de la izquierda los de x, para x≥0, con incrementos de

0,05. Para cada valor de ν y de x correspondiente se obtiene la probabilidad acumulada

expresada con 3 cifras decimales.

Observación. Se acostumbra representar con tα el valor t por arriba del cual se encuentra

un área igual a . Como la distribución t es simétrica alrededor de E(T)=0, tenemos

tt 1 ; es decir, el valor t que deja un área de α1 a la derecha y por tanto un

área de a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un área de en la cola

derecha de la distribución.

Esto es: etc. ;0,01t0,99 t;0,05t0,95t

Ejemplos.

1. Calcular: )25,09( tP

Solución

Buscando en la tabla en la columna del 9, y la fila de 0,25 se obtiene:

596,0)25,09( tP

2. Hallar: )45,16( tP

Solución

Página 28 de 32

0,0990,9011

1,45)6P(t11,45)6P(t 11,45)6P(t1,45)6P(t

Debemos tener en cuenta aquí que: para conocer x)P(t n siendo x>0, teniendo en cuenta los dos principios:

La suma de probabilidades acumuladas menor y mayor que x es 1

La simetría de la distribución t de Student.

Por tanto: 1x)nP(tx)nP(t

despejando: )xnP(t1x)nP(t

Además por simetría de la distribución t respecto al eje y, la probabilidad acumulada

a la izquierda de –x es igual a la probabilidad acumulada a la derecha de x:

x)nP(tx)nP(t

sustituyendo en la expresión anterior: x)nP(t1x)nP(t donde el valor

x)P(t n se busca en la tabla.

3. Calcular: 2,45)15P(t

Se trata de calcular 0 xsiendo x)nP(t , se lo indica en la figura siguiente:

Página 29 de 32

0,0140,98612,45)15P(t12,45)15P(t

4. Calcular: 1,95)9P(t

Aquí se trata de calcular 0 xsiendo x)nP(t , o sea el área de la región amarilla

en la siguiente figura:

959,0)95,1P(t1,95)P(t 9)1(9

(1) por la simetría de la función t de Student.

5. Calcular: 1,25)25tP(0,75

119,0770,0889,0)75,025()25,125P(t1,25)25tP(0,75 tP

En la figura siguiente se esquematiza este problema:

El área de la zona amarilla representa el valor de probabilidad hallado.

6. Hallar: 0,87)P(t10

El valor 0,87 no se encuentra en la tabla, se observa que:

0,85<0,87<0,90

por tanto debemos aplicar interpolación lineal.

Página 30 de 32

Encontramos: 50,800,90)10P(ty 0,7920,85)10P(t

Por tanto: 7972,0792,0)792,0805,0(85,090,085,087,0

y

Tabla inversa de la distribución t de Student

Partiendo de: pxtP n )( nos preguntamos:

¿para una distribución t de Student con n grados de libertad, cuál es el valor de x que

deja a su izquierda una probabilidad p?

La siguiente figura ilustra este problema:

En la tabla tenemos en la fila superior las probabilidades p, en la columna de la

izquierda los grados de libertad n; donde se cruzan la fila y la columna correspondientes

se encuentra el valor de x correspondiente con 6 cifras decimales.

Ejemplo. Hallar x tal que: 0,85x)P(t5

Como puede verse en la tabla: 155768,1 x 0,85x)5P(t .

3.5.2 Distribución de la Media Muestral desconociendo la Varianza

Hemos visto hasta ahora la importancia que tiene la estandarización:

nσ

µXZ

Habitualmente: el objetivo que se persigue al recurrir a esta estandarización es

determinar la probabilidad de algún valor específico X , suponiendo que la media

poblacional es µ, para luego usar esta probabilidad en la toma de decisiones.

Página 31 de 32

Hasta ahora para efectuar la estandarización dispusimos de un valor de la media

poblacional µ y de la desviación estándar poblacional σ.

¿Qué ocurre cuando se desconoce σ?

En este caso puede usarse el estadístico muestral S, y la estandarización adoptará la

forma:

nSXT

Como vimos la distribución del estadístico T, recibe el nombre de distribución t de

student. En este caso se usará a T para estimar a X

Recordar que ν=n-1recibe el nombre de grados de libertad, y representa una medida del

número de observaciones independientes en la muestra.

Ejemplo Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de

cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima.

Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t

calculado cae entre –t0,05 y t0,05, queda conforme con su afirmación. ¿Qué conclusión

extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una

desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es

aproximadamente normal.

Solución

De la tabla encontramos que y t0,05 para 24 grados de libertad es de 1,711. Por tanto, el

fabricante queda conforme con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor

t entre -1,711 y 1,711.

Calculando el valor de t:

2,25

2540

500518

nS

µXt

Página 32 de 32

Este es un valor muy por encima de 1,711. Si se desea obtener un valor de t con 24

grados de libertad igual o mayor a 2,25 e busca en la tabla y es aproximadamente igual a

0,02. Por tanto es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor

producto del que piensa.

3.6 Mínimo y Máximo Muestrales

3.6.1 Teorema 1

Sean:

X una v.a. con f.d.p. f(x) y F.d.a. F(x). (X1, X2,…, Xn) muestra aleatoria de tamaño n de la v.a. X. X(m)=mín(X1, X2,…, Xn) el mínimo muestral.

Entonces: gm(x)=n[1-F(x)]n-1.f(x) es la f.d.p. de X(m).

Demost.

1. Calculamos la F.d.a. de X(m), que llamaremos Gm(x).

)n 1,2,...,i(X v.a.las todaspara misma la , F.d.a la es F(x) donde

F(x)][11F(x)]F(x)]...[1F(x)][1[11x)Xx)......P(x).P(XP(X1

x)](X...x)(Xx)P[(X1x)P(X1x)P(X(x)G

i

nn21

(1)n21(m)(m)

m

(1) por independencia

2. Derivando respecto de x:

).f(x1nF(x)]n[1F´(x)1nF(x)]n[1(x)mg

3.6.2 Teorema 2

Sean:

X una v.a. con f.d.p. f(x) y F.d.a. F(x). (X1, X2,…, Xn) muestra aleatoria de tamaño n de la v.a. X. X(M)=máx(X1, X2,…, Xn) el máximo muestral.

Entonces: gM(x)=n[F(x)]n-1.f(x) es la f.d.p. de X(M).

Demost

Basarse en la demostración del Teorema 1.