DISTRIBUCIONES BIVARIADAS

8/14/2019 DISTRIBUCIONES BIVARIADAS

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CAPITULO III

Distribuciones Bivariadas. Muchos de los fenmenos que aparecen en la naturaleza y en la vidadiaria, involucran diferentes y diversos factores. Cada factor puede ser identificado por medio deuna variable. En ste sentido un fenmeno de inters estar regido por el comportamiento

conjunto de muchas variables. Si X y Y son variables aleatorias (discretas o continuas), ladistribucin que rige el comportamiento conjunto de ambas variable se conoce como distribucinBivariable o Conjunta. Si se tienen ms de dos variables le llamaremos distribucin multivariable(Multivariada).

Ejemplo: De un gran lote de impresoras descompuestas se escogen al azar cuatro. Se clasificacada impresora segn el dao, leve o severo. Sea X el nmero de impresoras con dao leve y

sea Y el nmero de impresoras con dao severo. Es claro que ( )4 0 1 2 3 4X bin , p , x , , , ,= y

( )24 0 1 2 3 4Y bin , p , y , , , ,= .Si x 0 y 4 Si x 1 y 3 Si x 2 y 2

Si x 3 y 1 Si x 4 y 0 As X Y 4

; ; ;

; .

= = = = = =

= = = = + = De manera natural el espacio de las variables aleatorias X e Y estar conformado ppor el

conjunto de pares ( )x , y tal que 4x y+ = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }x y 4 x 0 1 2 3 4

x, y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0y 0 1 2 3 4

; , , , ,, , , , , , , , ,

, , , ,

+ = = = =

= El par ( )x , y ser llamado vector aleatorio.

Caso discreto: Sean X e Y variables aleatorias. La distribucin de probabilidad conjunta de X e

Y , la cul denotaremos xyf est dada por ( ) ( )xyf x , y P X x , Y y= = = .

Propiedades:

1) ( ) ( )0xyf x , y , x , y A

2) ( ) 1x yx y

f x , y =

3) Si ( )( ) ( )( )

x y

x , y A

A A P x , y A f x , y

= .

La distribucin acumulada para X e Y ,xy

F , est dada por

( ) ( ) ( ) 2x yF x, y X x, Y y x, yP .= R .

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribucin de probabilidadxy

F dada por

Calcule ( )P x , y A donde

Solucin:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )x y x y x y x yx, y A

6x, y A F x, y F 0 0 F 1 1 F 2 2

8P , , ,

= = + + =

X 0 1 1 2 2

Y 0 1 2 1 2

x yF 1/8 1/8 1/8 3/8 ( ){ } ( ) ( )A x, y x y x 1 y 1 x 1 y 2, P , , P .= = >


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( ) ( ) ( ) ( )x y x y x yx 1 y 1

3x 1 y 1 F x, y F 0 0 F 1 1

8P , ,

= = + =

( ) ( ) ( )x y x yx 2 y 2

1x 1 y 2 F x, y F 2 1

8P ,

> < = = =

Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas, 4bolas blancas y 2 azules. Se extraen al azar ysin reemplazo 3 bolas de la urna. Sea X : elnmero de bolas blancas en la muestra y sea Y :el nmero de bolas rojas en la muestra. Halle

xyF .

Solucin: (((( )))){{{{ }}}}1 3A x , y x y= +


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Solucin:

( ) ( )

( )

2

3 x 2

x y0 x

x 22

3 3 32

00 0x

F x y dA 1 c x y dy dx

y

c xy dx c 4x 2 dx c 2x 2x2

124 c 1 c24

, ,

,

+

+

= (

= + = + = +)

= = =

' ' ' '

' '

R

Calcule:

a)

b)

c)

Ejemplo: Se est interesado en el comportamiento conjunto de dos variables aleatorias X : eltiempo total empleado por una persona al ingresar a un banco hasta ser atendido y Y : el tiempoen fila. La f.d.p conjunta de X e Y est dada por:

Calcule( ) ( )x 2 y 1 x y 1P , , P> > ! = = !

= ! =

' ' '

( )

( )

( )

1 yx

0 y

1 y -y

0

1 y -y

0

X Y 1 dx dy

dy

11

P e

e e

e ee

+& + !

+& ! +

+&! +

! < =

= ! !

= ! ! = !

' ''


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Valor Esperado: Sean X e Y variable aleatoria (discretas o continuas) con distribucin de

probabilidades (o f.d.p) conjuntaxy

F .

[ ]( )

( ) ( )

xy

xy

x f x y si X e Y variables aleatorias discretasX

g x y f x y dA si X e Y variables contnuas

, ,E

, , ,

=

' ' Ejemplo: Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribucin de probabilidad conjunta

x yF

dada por:Halle

[ ] ( )( )

xy

x y

X x f x y,

E ,=

Solucin:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy xy xy xy xy11

X 0 f 0 0 1 f 1 1 1 f 1 2 2 f 2 1 2 f 2 28

E , , , , ,= + + + + =

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy xy xy xy xy11

Y 0 f 0 0 1 f 1 1 2 f 1 2 1 f 2 1 2 f 2 28

E , , , , ,= + + + + =

[ ] ( ) ( )xX x f x y x f x!E , != =

( ) [ ]2

2 2

x y

19 19 11 31X x f x y X

8 8 8 64E , V

= = = ! = " #

( ) [ ]2 2x y

19 31Y y f x y Y

8 64E , V = = =

[ ] ( )x y

18 9X Y x y f x y

8 4E ,= = =

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por

( )x

xy

0 y xf x y

0 otro caso

e ,,

,

!

(Anlogamente se defineY|x

f ).

Ejemplo: Para el ejercicio anterior:

( )( )

( ) ( )x y

Y|x

x

x yf x y x y36f y y 1 2 3

x 2f x 3 x 2

12

,, , ,

+

+= = = =

+ +

( )( )

( ) ( )x y

X|y

y

x yf x y x y36f x x 1 2 3

y 2f y 3 y 2

12

,, , ,

+

+= = = =

+ +

( )( )

( ) ( )Y|1

x

f 1 y 1 y y 1f y y 1 2 3

f 1 3 1 2 9

,, , ,

+ += = = =

+

( ) ( )( ) ( )

xyX|2

y

f x 2 x 2 x 2f x x 1 2 3f 2 3 2 2 12

, , , ,+ += = = =+

Observe que para cualquier caso

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x Y|X y X|Y

x Y|X y X|Y

P x , y P x P y | x P y P x | y

o

F x , y F x F y | x F y F x | y

= =

= =

Diremos que X e Y son v.a Estadsticamente independientes si

( )x

xy

0 y xf x y

0 otro caso

e ,,

,

! '

( )+

x y

yy

f y dx y 0e e ,& ! !

= = >'

( )x y

x 1 2 3x y

f x y 36 y 1 2 3

0 otro caso

, ,,

, , ,

,

= +

= =

( )

( )

x

y

x 2f x x 1 2 3

12

y 2f y y 1 2 3

12

, , ,

, , ,

+= =

+= =


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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x y

x y

P x , y P x P y x , y

o

F x , y F x F y x , y

=

=

Si existe algn par ( )x , y para el cual no se cumple esta igualdad, diremos que X e Y son

Estadsticamente dependientes.

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjuntaxy

f .dada por:

( )

( )

x

x

y

x

f x x x 0

f y y 0

e ,

e ,

!

!

= >

= >

( ) ( )( )x

Y|x x

1f y 0 y x uniforme en 0, x

x x

e,

e

!

!= = =

Solucin:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )3

Y 1 Y 1 Y 1 Y 1 1

y 1

2 6 12 20Y X 1 y f y 1f 1 2f 2 3f 3

9 9 9 9| | | | Y|

E | U=

= = = + + = + + = =

[ ] ( )3

X 2 2

X 1

3 8 15 26 13X Y 2 x f x

12 12 12 12 6| X|

E | U=

= = = + + = = =

( ) ( ) ( ) ( )1

X 2 X 2

X 1

3 1X 2 Y 2 X 1 Y 2 f x f 1

12 4| |

P | P |=

< = = = = = = =

( ) ( ) ( )3

Y 1

Y 2

3 4 7Y 1 X 1 Y 2 X 1 f y

9 9 9|

P | P |=

> = = = = = + =

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por:

Hallar[ ]X Y 1E | =

,[ ]Y X 2E | =

[ ] ( )( )x 1

X |111

1

1X Y 1 x dx 2

x

xE | e U

e

+&+& ! !

!

! += = = = ='

( )x

x y

0 y xf x y

0 otro caso

e ,,

,

! = ! +

Sugerencia.

Solucin: ( ) ( ) ( )1 2 2

n 1 1 n 2 4 x n 2 x 1 43 1 3

X , , Y , , Y | ,

+ ! " # " #" #

, ,

( ) ( )X 1 2 1

a) X 2 Z 1 0 84131 1

P P P .! !

< = < = < = " #

( ) Y 2 1 2 1 1 b) Y 1 Z Z 0 69152 2 2 2P P P P .! ! > = < = > ! = < = " # " # " #

[ ] ( )1 2

c) Y X 1 2 1 1 23 1

E |

= = + ! = " #

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

[ ] ( )( ) ( )( )

x y x y

x y

x y x y x y x y

cov X Yd) X Y cov X Y X Y y

X Y cov X Y

1 2 8X Y 1 2 1 2 23 3 3

,E ? , E

E ,

E

= = ! 0 =/ /

1 = + = / / 0 +

= + = + = " #

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

e) 5X 2Y 1 25 X 4 Y 20 COV X Y

125 1 4 4 20 1 2

3

40 8325 16

3 3

V V V ,! + = + !

= + !

" #

= + ! =

Combinaciones de variables aleatorias: Esperanza y varianza

Sean 1 pX , , X variables aleatorias (discretas o continuas) y sean1 2 p

c c c, , ... , .

Sea

p

i i

i 1

c XY=

= Y es una combinacin lineal de las variables aleatorias 1 pX , , X .

[ ]

[ ]

p

i i

i 1

p2

i i i j i j

i 1 i j

Y c X

Y c X 2 c c cov X X

I) E E

V V ,

=

=

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