Distribuciones Continuas321

8/19/2019 Distribuciones Continuas321

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Distribuciones Continuas


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Normal t-Student

Chi-cuadrado Fischer


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ASIMETRÍA

Esta medida nos permite identificar si los datos sedistribuyen de forma uniforme alrededor del puntocentral promedio!"

#a asimetr$a presenta tres estados diferentes% cada unode los cuales define de forma concisa como est&ndistribuidos los datos respecto al e'e de asimetr$a"


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Asimetr$a positi(a) cuando la mayoría de los datos se encuentran porencima del promedio. La curva es asimétricamente positiva por lo que los

valores se tienden a reunir más en la parte izquierda que en la derecha de lamedia Coeficiente de asimetría mayor a cero.

Sim*trica) cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados del promedio. Coeficiente de asimetría cercano acero, este valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean de !." o !.".


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C,RTSIS

•Esta medida determina el +rado de concentraci.n/ue presentan los (alores en la re+i.n central de ladistribuci.n"


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#eptoc0rtica$ %ran concentraci&n de valores en la regi&n central de la distribuci&n.

Coeficiente de curtosis mayor a cero.

Mesoc0rtica) Cuando hay una normal concentraci&n de valores en la regi&ncentral de la distribuci&n. Coeficiente de curtosis cercano a cero,este valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean de !." o !.".


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1latic0rtica) cuando hay una ba'a concentraci&n de valores en laregi&n central de la distribuci&n. Coeficiente de curtosis menor a cero.

.

Cuando la distribuci.n de los datos cuenta con uncoeficiente de asimetr$a 23"4! y un coeficiente deCurtosis de 23"4!% se le denomina Cur(a Normal"


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5ISTRI6,CI7N NRMA# 8A,SSIANA

•La mayoría de las v.a continuas de la naturaleza siguen esta distribución.

•Se dice que una v.a. Xsigue una distribución normal de parámetros y

lo que representamos del modo si su función de densidad es:

( $ )edia

σ$ *esviaci&n estándarσ+$ arianza

π$ -,/"0e$ +,12+0


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3rea4


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91R :,; NS INTERESAMS 1R ESTA

5ISTRI6,CI7N<

#a mayor$a de las pruebas estad$sticas /ue (amos aestudiar dan por supuestos /ue los datos pro(ienen de

una distribuci.n normal"

Con datos normalmente distribuidos% la media y la =>

(arian?a no dependen una de otra"

Cuando los datos no sean normales% podremos o bientransformarlos o emplear otros m*todos estad$sticos /ue

no e@i'an este tipo de restricciones los llamados m*todosno param*tricos!"


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Caracteri?aci.n de la Cur(a Normal

Media)

5es(" Est&ndar o T$pica) =

Normal con media y (arian?a =>)

N%=>! 1ara cada (alor de y => tendremos una funci.n dedensidad distinta"

1or lo tanto% N% =>!)

Familia de distribuci.n Normales con media y (arian?a =>


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1ropiedades de la Cur(a Normal

B" Tiene una 0nica moda% /ue coincide con su media ysu mediana"

>" #a cur(a normal es asint.tica al e'e de abscisas e'e@!" 1or ello% cual/uier (alor entre - y D es

te.ricamente posible"

" El &rea total ba'o la cur(a es% por tanto% i+ual a B"

" Es sim*trica con respecto a su media "

4" #a distribuci.n /ueda completamente definida por lamedia y la des(iaci.n est&ndar ="

G" #a media indica la posici.n de la campana y lades(iaci.n est&ndar determina la dispersi.n de los

(alores con respecto a la media"


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El &rea ba'o la cur(a situados apro@imadamente a > des(iacionesest&ndar de la media es i+ual al 3%H4" En concreto e@iste unaprobabilidad de un H4 de obser(ar un (alor en el inter(alo -B%HG σJ

DB%HG σ!


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No e@iste una 0nica 5istribuci.n Normal% sino una familia dedistribuciones con una forma com0n% diferenciadas por los

(alores de su media y su des(iaci.n est&ndar"

5istribuciones +aussianas con i+ual media pero (arian?a diferente"

La forma de la campana de %auss depende de los parámetros µ y σ

• µ indica la posici&n de la campana ( parámetro de centralización )5


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5istribuciones +aussianas con diferentes medias e i+ual dispersi.n"

*e todas las distribuciones normales, la más utilizada es la5ISTRI6,CIN NRMA# ESTKN5AR , que corresponde auna distribuci&n de media ! y varianza .

• será el parámetro de dispersi&n. Cuanto menor sea, mayor cantidadde masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media.


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5istribuci.n Normal Est&ndar

6(4!, 748

9unci&n de densidad$

a

: 6; ≥ a8 → tablas

L


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Tabla) 5istribuci.n L


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Si la (ariable O es N% =>! entonces la (ariabletipificada estandari?ada! de O es)

O) (alor obser(ado ) (alor promedio est&ndarσ) des(iaci.n est&ndar del (alor promedio

P si+ue tambi*n una distribuci.n normal perode 3 y = B% es decir% N3%B!"


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Cur(a Normal NQ% =>!

D D D


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II"- 5istribuci.n t-student

γ $ 9unci&n %amma K $ %rados de Libertadπ$ -,/"0x$ abscisa


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Caracter$sticas)

Es m&s ancha y plana /ue la distribuci.n normal"

Sim*trica con respecto a la media"

#os (alores de t dependen del n0mero de +rados delibertad% /ue son el n0mero de (alores ele+idos libremente"

1ara un n infinito la distribuci.n t de Student se apro@imaa la distribuci.n normal"


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> >

-t > t >

Lona de recha?o Lona de recha?o


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8rados de #ibertad +"l"!

E@iste una distribuci.n t distinta para cada uno de losposibles +rados de libertad"

9:u* son los +rados de libertad<

1odemos definirlos como el n0mero de (alores /uepodemos ele+ir libremente" S.lo el (alor de una muestrapuede (ariar

:or lo tanto, para una muestra de tama?o @nA, los grados delibertad queda determinado por n-B"


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III"- 5istribuci.n Chi-cuadrado

γ $ 9unci&n %amma K $ %rados de Libertade$ +,12+0

x$ abscisa


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8r&fico de la distribuci.n Chi-cuadrado

B-

Re+i.n deaceptaci.n Re+i.n de

recha?o

X>

+l%


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Es una distribuci.n asim*trica"

Solo toma (alores positi(os y es asint.tica con

respecto al e'e de las @ positi(as 3 U V> U D!"

Est& caracteri?ada por un 0nico par&metro llamado)+rados de libertad +"l"!

El &rea comprendida entre la cur(a y el e'e de las @ esB o B33"

Caracter$sticas)


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8rados de #ibertad +"l"!

#os +rados de libertad para la prueba de V> de independenciase relacionan con el n0mero de celdas de la tabla

bidimensional /ue son libres de (ariar mientras /ue lostotales mar+inales permanecen fi'os"

1or e'emplo) B >H

"b4D, o sea, b4

"c4+, o sea, c4D

d4+>, o sea, d42+"l"B


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En una tabla de >@ > filas% columnas!

+ - Eotal ! + a ->

+ b c d "+

Eotal +2 / ++

!+a4->, o sea, a42!b4+2, o sea, b42

+c4/, o sea, c4+!2d4++, o sea, d4/

+"l">


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I"- 5istribuci.n F

γ $ 9unci&n %amma v$ %rados de Libertadx$ abscisa


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>

>

f B- > f >


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9 no puede ser negativa

La distribuci&n 9 tiene un sesgo positivo

H medida que aumentan los valores, la curva se aproxima al e'e x,pero nunca lo toca.

Ii B y J son dos variables aleatorias independientes, cada una con

distribuci&n Chi Cuadrado con n y n+ grados de libertad,respectivamente, entonces$

Caracter$sticas)

:uesto que las varianzas esperadas de muestras de una mismapoblaci&n deben ser iguales, la raz&n entre varianzas de una mismapoblaci&n debe ser cercana a BK.La distribuci&n 9 esta caracterizada por los grados de libertad delnumerador, en las columnas y, del denominador, en las filas de la tabla.


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Los pesos de 2+! estudiantes distribuye normal con ( 4 "- Pg y 7+ 4 D PgQCuántos estudiantes tendrán0

a8 peso mayor que "> Pg.R

Sespuesta$


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N8 peso menor que "! Pg.R

: 6; a8

Sespuesta$mayor que ">


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C8 peso mayor que /" Pg.R

:6; > a84:6; > a8

Sespuesta$ Sespuesta$1.1+T, o sea, 2! estudiantes pesanmás de /" Pg.


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*8 peso entre /" y "" Pg.R

:6a b8V

Sespuesta$


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. Nuscar el !,D !,>>

W4 6/x!,>>8 "- 4 "D,>D

W+4 6/x!,>>8 "- 4 />,!/

"D,>D/>,!/


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N8 *etermine el nFmero de las medias de los estudiantes que caen entre 1+," y 1",2 cm.

P 61+,"


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Sesp.$ /T de los estudiantes se encontrarán con la estaturaentre 1+," y 1",2 cm.

:or lo tanto, de los !!! estudiantes, tenemos$

∴ ≈ >! estudiantes

caerían entre 1+," y1",2 cm de estatura.

!,2>/ x !!! 4 2>,/

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