FISICA GENERAL III

MATRICULA:_________________NOMBRE:___________________________________SECCION:____PROFESOR:_________________________________________________

LAS ECUACIONES DE MAXWELL

La ley del Gauss de la electricidad , establece que el flujo eléctrico total a

través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de esa superficie divida entre la constante de permitividad o permisividad del espacio vacío . Esta ley relaciona el campo eléctrico con la distribución de carga, donde las líneas de campo eléctrico se originan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.

La ley de Gauss del magnetismo , establece que el flujo magnético total a

través de una superficie cerrada es cero. Es decir, el número de líneas de campo magnético que entran en un volumen cerrado debe ser igual al número que abandonan el volumen. Esto implica que las líneas de campo magnético no pueden empezar o terminar en ningún punto. Si lo hicieran esto significaría que existirían monopolos magnéticos aislados en esos puntos. El hecho de que hasta el momento no se han observado polos aislados es una confirmación de esta ley.

La ley de inducción de Faraday , la cual describe la relación entre un

campo eléctrico y un flujo magnético variable. La ley enuncia que la integral de línea del campo eléctrico alrededor de cualquier trayectoria cerrada (la cual es igual a la fem = ) es igual a la razón de variación del flujo magnético a través de cualquier área superficial limitada por esa trayectoria. Una consecuencia de la ley de Faraday es la corriente inducida en una espira conductora colocada en un campo magnético variable con el tiempo.

La ley de Ampere-Maxwell = µo (Id + I ), la cual describe

la relación entre los campos eléctrico y magnético y las corrientes eléctricas. Esto es, la integral de línea del campo magnético alrededor de cualquier trayectoria cerrada se determina mediante la suma de la corriente de conducción y desplazamiento a través de la trayectoria y la razón de variación del flujo eléctrico a través de cualquier superficie limitada por esa trayectoria.

LAS ECUACIONES DE MAXWELLNo Nombre Forma Integral Forma diferencial Lo que describe Experimento crucial1 Ley de Gauss de la

electricidad La carga y el campo

eléctrico1.- Cargas de iguales signos se repelen y cargas de signos contrarios se atraen inversamente proporcional al cuadrado de la separación entre ella.2.- Una carga en un conductor aislado se mueve hacia su superficie externa.

2 Ley de Gauss del magnetismo

El campo magnético Hasta ahora no se ha podido verificar la existencia del monopolo magnético.

3 Ley de la inducción de Faraday

El efecto eléctrico de campos magnéticos variables

Un imán en barra, que atraviesa a una espira o bobina cerrada de alambre, establecerá una corriente en la espira o bobina.

4 Ley de Ampere (con la generalización de Maxwell) o ley de Ampere-Maxwell

= µo (Id + Ic ). Donde

Id = , corriente de

desplazamiento y Ic = corriente de conducción

Donde J = I/A = i/A o en forma general

El efecto magnético de campos eléctricos variables o de corrientes

4.1 La rapidez de la luz c puede calcularse de medidas puramente electromagnéticas.4.2 Una corriente en un alambre establece un campo magnético en las vecindades del alambre.

La ley de Gauss del magnetismo se escribe, donde dS es un diferencial de superficie o área y dL es un diferencial de longitud a través de un lazo cerrado:

a)

b)

c)

d)

Ley de la inducción de Faraday, donde dS es un diferencial de superficie o área y dL es un diferencial de longitud a través de un lazo cerrado:

a)

b)

c)

d)

Ley de Gauss de la electricidad, donde dS es un diferencial de superficie o área y dL es un diferencial de longitud a través de un lazo cerrado:

a)

b)

c)

d)

Ley de Ampere (con la generalización de Maxwell) o ley de Ampere-Maxwell, donde dS es un diferencial de superficie o área y dL es un diferencial de longitud a través de un lazo cerrado:

a)

b)

c)

d)

La forma diferencial de la ley de Ampere (tal como la desarrolló Maxwell) es:a) ó

b) ó

c) ó

d) ó

La forma diferencial de la ley de Gauss de la electricidad esta dada por:a) ó

b) ó

c) ó

d) ó

La forma diferencial de la ley de Gauss del magnetismo esta dada por:a) ó

b) ó

c) ó

d) ó

La forma diferencial de la ley de inducción de Faraday esta dada por:a) ó

b) ó

c) ó

d) ó

La forma diferencial de la ley de Ampere (con la generalización de Maxwell) o ley de Ampere-Maxwell esta dada por:

a) ó

b) ó

c) ó

d) ó

De las ecuaciones de Maxwell, en forma integral, la que corresponde a la ley de Ampere generalizada es la:

a)

b)

c)

d)

El valor promedio del vector de Poynting es , donde Eo y Bo son los valores

máximos de las magnitudes de los vectores de campo eléctrico y campo magnético. S también se puede expresar como:

a) b)

c) d)

La ecuación generalizada Maxwell-Ampere es ,

entonces se deduce que la parte del primer término del segundo miembro que tiene dimensiones de corriente es:

a) b)

c) d)

DERIVADA DIRECCIONALSea una función

en una dirección o en la dirección de s

EL GRADIENTE

f es una función escalar

El operador “nabla” es un operador vectorial

que se lee gradiente de f

LAPLACIANO U OPERADOR DELTAOperador nabla al cuadrado o delta es el operador de Laplace

Actuando sobre una función escalar se obtiene:

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALSea una función vectorial

La divergencia es un escalar

Divergencia del gradiente de la función es igual al operador nabla al cuadrado o operador de Laplace y se llama laplaciano de la función.

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIALSea una función vectorial

El rotacional se define de la siguiente manera:

El rotacional de una función vectorial es un vector.

Para cualquier función escalar f susceptible de derivarse continuamente dos veces el rotacional del gradiente de la función es igual a cero.

que se lee: “Si una función vectorial es el gradiente de una función escalar, su rotacional es cero”.

Los campos de gradientes que describen movimientos son irrotacionales.

Si una función vectorial es el rotacional de otra vectorial, su divergencia es cero.

Algunos Teoremas

Relación entre el laplaciono y el rotacional,

TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada en el espacio y seccionalmente suave y sea la frontera de s una curva C cerrada, sencilla y seccionalmente suave. Sea una función vectorial continua y con primera derivada parciales continuas en una región del espacio que contiene a S en su interior. Entonces:

donde donde es un vector unitario

normal o perpendicular a la superficie S.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSSSea T una región en el espacio cerrada y acotada cuya frontera es una superficie S

orientable y seccionalmente suave. Sea una función vectorial continua y que tiene primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que contiene a T. Entonces:

donde es una función vectorial y v es el volumen.

TRANSFORMACION DE LAS ECUACIONES INTEGRALES DE MAXWELL EN ECUACIONES DIFERENCIALES

La ley de Gauss

como v = volumen y es la densidad de carga por unidad

de volumenPara el primer miembro hagamos la siguiente transformación;

La ley de Gauss del magnetismo

entonces

Para el primer miembro

Para el segundo miembro

Igualando los dos miembros

Como la corriente es: y el flujo eléctrico es:

En el primer miembro

Para el segundo miembro

Igualando el primer miembro al segundo miembro, se obtiene:

Una onda electromagnética viaja en la dirección negativa del eje y. En una posición y en un tiempo determinado, el campo eléctrico está a lo largo de la dirección positiva del eje z y tiene una magnitud de 100 V/m. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético?

Como la onda viaja hacia la parte negativa del eje y, entonces el campo magnético debe apuntar hacia la parte negativa del eje x.

La magnitud es: B = E/c = (100V/m)/(3x108m/s) = 3.3 x 10-7 Tesla.El vector campo magnético es:

Si en una onda electromagnética las ecuaciones del campo eléctrico y el campo magnético son: , la dirección de propagación de la onda es:

a) Sentido positivo del eje xb) Sentido positivo del eje yc) Sentido negativo del eje zd) Sentido negativo del eje xe) Sentido positivo del eje z

Si en una onda electromagnética las ecuaciones del campo eléctrico y el campo magnético son: , la dirección de propagación de la onda es:

a) Sentido positivo del eje xb) Sentido positivo del eje yc) Sentido negativo del eje zd) Sentido negativo del eje xe) Sentido positivo del eje z

Una onda electromagnética plana de manera que las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético son: . La dirección de propagación de la onda es:a) Sentido positivo del eje xb) Sentido positivo del eje yc) Sentido negativo del eje zd) Sentido negativo del eje xe) Sentido positivo del eje z

Dos ondas electromagnéticas vibran de acuerdo a la figura. La dirección de propagación de la onda es:a) Sentido positivo del eje xb) Sentido positivo del eje yc) Sentido negativo del eje zd) Sentido negativo del eje xe) Sentido positivo del eje z

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son:

A partir de la ecuación de Maxwell, , demostrar que E = cB o Emáx = c Bmáx

Comparando los dos segundos miembros se obtiene:

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son:

Obtener la expresión de la densidad de energía total media en función de los campos eléctrico y magnético.

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son:

Obtener la expresión del valor instantáneo del vector de Poynting y decir la dirección de propagación de la energía.

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son: . Obtener el valor medio del vector de Poynting. El valor medio del vector de Poynting se obtiene:Como el valor medio del seno al cuadrado de la función trigonométrica es ½, entonces el valor medio

del vector de Poynting es:

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son: . Obtener la intensidad promedio.La intensidad promedio es igual que el valor promedio del vector de Poynting.

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son: . Obtener la potencia promedio de la onda.

Las componentes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética son: . Probar que las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético satisfacen la ecuación de onda. La

ecuación de onda es:

Consideremos , derivemos parcialmente con relación al tiempo y con relación a x y recordemos que c = w/k por lo que c2 = (w/k)2

Un capacitor circular de placas paralelas de radio R se carga como se muestra en la figura (a) Obtener una expresión para el campo magnético inducido para valores diferentes de radio r. Considere que r<<R y r >> R.

Aplicando la ecuación de Maxwell B • d L = µo I, cuando r R, se puede escribir

B (2 r) = [E ( r²)] = r² , despejando a B, se obtiene

B = ½ r para r R

Aplicando la ecuación de Maxwell B • d L = µo I, cuando r R, se puede escribir

B (2 r) = [E ( R²)] = R² , despejando a B, se obtiene

B = ½ para r R

b) Encontrar B en r = R cuando = 1012 V/m x s y para R = 0.05 m.

Para r = R las dos expresiones anteriores dan el mismo resultado, por lo tanto

B = ½ r = 2.8 x 10-7 T = 0.0028 gauss, donde 1 T = 104 gauss

La corriente de desplazamiento (Id o id)

La ecuación B • d L = + µo I = µo (Id + I). Esta ecuación demuestra que el

término tiene dimensiones de corriente. Aunque no existe un movimiento de

carga, resulta conveniente llamar a este término corriente de desplazamiento. El concepto de corriente de desplazamiento permite mantener la noción de que la corriente es continua; este principio se estableció para corrientes I de conducción estacionaria. Por ejemplo, una

corriente I entra a la placa positiva y abandona la negativa. La corriente de conducción no es continua a través de la separación entre las placas debido a que no hay transporte de carga a través de ella. Sin embargo, la corriente de desplazamiento Id en este espacio es exactamente I, manteniéndose entonces el concepto de continuidad de la corriente.

Para calcular la corriente de desplazamiento, se efectúa de la siguiente manera, dependiendo de los datos.

Id = = A

Analizar las corrientes en la figura siguiente (tanto la de conducción como la de

desplazamiento) que se producen en la cavidad (en las paredes conductoras y dentro de su volumen). Encontrar la relación entre estas corrientes y los campos eléctrico y magnético; también demostrar que se puede concluir, en forma razonable, que la corriente es continua en espiras cerradas si se consideran conjuntamente las corrientes de conducción y desplazamiento.

La figura muestra la cavidad de la figura. En (a) la corriente de conducción sobre la pared lateral y la corriente de desplazamiento de regreso por el volumen de la cavidad.En (b) la corriente de desplazamiento (flechas con las puntas negras) en el volumen de la cavidad y las corrientes de conducción (flechas con la puntas blancas) sobre las paredes. En cada caso las flechas representan densidades de corriente. Nótese la continuidad de la corriente (conducción + desplazamiento); es decir, se pueden formar espiras cerradas de corriente.

La figura muestra el extremo final de la cavidad; las líneas de fuerza eléctricas penetran perpendicularmente a la página y las líneas magnéticas son círculos dirigidos en el sentido de las manecillas del reloj. Se aplicara la ley de Ampere en la forma: B • d L =

+ µo I = µo (Id + I ), a la trayectoria circular de radio r mostrada en la figura. A través

del anillo no hay transporte de carga, así que la corriente de conducción i de la ec. es cero.

La integral de línea de la izquierda es B(2 r) así que la ecuación se reduce a

B(r) = . Recordando que Id = = A es la corriente de

desplazamiento, la ecuación se puede escribir como: B(r) = . Esta ecuación recalca

que el campo magnético B es la cavidad esta asociada con una corriente de desplazamiento. Aplicando la regla de la mano derecha a la situación de la figura (a) se demuestra que la corriente de desplazamiento debe estar dirigida en el plano de la figura para que se puede asociar con las líneas de B, las cuales están en el mismo sentido que el de las manecillas del reloj.

En la figura (b) la corriente de desplazamiento se representa mediante flechas que apuntan hacia la derecha y en la figura (a) mediante cruces que representan flechas que penetran en la página. El estudio demuestra que la corriente es continua; esta formada por una corriente de conducción sobre la pared lateral, que después regresa en forma de corriente de desplazamiento a través del volumen a la cavidad.

ONDAS ELECTROMAGNETICA O RADIACION ELECTROMAGNETICARadiación electromagnética, ondas producidas por la oscilación o la aceleración de una carga eléctrica. Las ondas electromagnéticas tienen componentes eléctricos y magnéticos. La radiación electromagnética se puede ordenar en un espectro que se extiende desde ondas de frecuencias muy elevadas (longitudes de onda pequeñas) hasta frecuencias muy bajas

(longitudes de onda altas). La luz visible es sólo una pequeña parte del espectro electromagnético. Por orden decreciente de frecuencias (o creciente de longitudes de onda), el espectro electromagnético está compuesto por rayos gamma, rayos X duros y blandos, radiación ultravioleta, luz visible, rayos infrarrojos, microondas y ondas de radio. Los rayos gamma y los rayos X duros tienen una longitud de onda de entre 0,005 y 0,5 nanómetros (un nanómetro, o nm, es una millonésima de milímetro). Los rayos X blandos se solapan con la radiación ultravioleta en longitudes de onda próximas a los 50 nm. La región ultravioleta, a su vez, da paso a la luz visible, que va aproximadamente desde 400 hasta 800 nm. Los rayos infrarrojos o ‘radiación de calor’ (véase Transferencia de calor) se solapan con las frecuencias de radio de microondas, entre los 100.000 y 400.000 nm. Desde esta longitud de onda hasta unos 15.000 m, el espectro está ocupado por las diferentes ondas de radio; más allá de la zona de radio, el espectro entra en las bajas frecuencias, cuyas longitudes de onda llegan a medirse en decenas de miles de kilómetros.

2 PROPIEDADES

Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio material para propagarse. Así, estas ondas pueden atravesar el espacio interplanetario e interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas. Independientemente de su frecuencia y longitud de onda, todas las ondas electromagnéticas se desplazan en el vacío a una velocidad c = 299.792 km/s. Todas las radiaciones del espectro electromagnético presentan las propiedades típicas del movimiento ondulatorio, como la difracción y la interferencia. Las longitudes de onda van desde billonésimas de metro hasta muchos kilómetros. La longitud de onda (λ) y la frecuencia (f) de las ondas electromagnéticas, relacionadas mediante la expresión λ·f = c, son importantes para determinar su energía, su visibilidad, su poder de penetración y otras características.

TEORIAEl físico británico James Clerk Maxwell estableció la teoría de las ondas electromagnéticas en una serie de artículos publicados en la década de 1860. Maxwell analizó matemáticamente la teoría de los campos electromagnéticos y afirmó que la luz visible era una onda electromagnética.

Los físicos sabían desde principios del siglo XIX que la luz se propaga como una onda transversal (una onda en la que las vibraciones son perpendiculares a la dirección de avance del frente de ondas). Sin embargo, suponían que las ondas de luz requerían algún medio material para transmitirse, por lo que postulaban la existencia de una sustancia difusa, llamada éter, que constituía el medio no observable. La teoría de Maxwell hacía innecesaria esa suposición, pero el concepto de éter no se abandonó inmediatamente, porque encajaba con el concepto newtoniano de un marco absoluto de referencia espaciotemporal. Un famoso experimento realizado por el físico estadounidense Albert Abraham Michelson y el químico de la misma nacionalidad Edward Williams Morley a finales del siglo XIX socavó el concepto del éter, y fue muy importante en el desarrollo de la teoría de la relatividad. De este trabajo concluyó que la velocidad de la radiación electromagnética en el vacío es una

cantidad invariante, que no depende de la velocidad de la fuente de radiación o del observador.

4 CUANTOS DE RADIACIÓN

No obstante, a principios del siglo XX los físicos se dieron cuenta de que la teoría ondulatoria no explicaba todas las propiedades de la radiación. En 1900, el físico alemán Max Planck demostró que la emisión y absorción de radiación se produce en unidades finitas de energía denominadas ‘cuantos’. En 1904, Albert Einstein consiguió explicar algunos resultados experimentales sorprendentes en relación con el efecto fotoeléctrico externo postulando que la radiación electromagnética puede comportarse como un chorro de partículas.

Hay otros fenómenos de la interacción entre radiación y materia que sólo la teoría cuántica explica. Así, los físicos modernos se vieron obligados a reconocer que la radiación electromagnética se comporta unas veces como partículas y otras como ondas. El concepto paralelo que implica que la materia también puede presentar características ondulatorias además de corpusculares fue desarrollado en 1925 por el físico francés Louis de Broglie.

ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS Y LA RAPIDEZ DE LA LUZLos campos eléctricos y magnéticos oscilan en planos perpendiculares entre si. Si el campo eléctrico oscila a lo largo del eje y, y el campo magnético oscila a lo largo del eje z, la onda se propaga con el vector de Poynting o la rapidez de la luz a lo largo del eje x.

E 32.1Un láser de dióxido de carbono emite una onda electromagnética sinusoidal que viaja en un vacío en la dirección x negativa. La longitud de onda es de 10.6 m y el campo eléctrico es paralelo al eje de las z,

con magnitud máxima de 1.5 MV/m. Escriba ecuaciones vectoriales de los campos en función del tiempo y la posición.

y

La longitud de onda es = 10.6 x 10-6 m y el numero de onda k = 2/= 5.93 x 105 rad/m

La frecuencia angular w = 2f = 2/T = ck = 3.0 x 108 x 5.93 x 105 rad/s = 1.78 x 1014 rad/s .