1-Ecuaciones de Maxwell

Electromagnetismo - 20041-1

1 - Ecuaciones de Maxwell

Introduccin

En este Captulo haremos una introduccin general a los problemas que se desarrollarn a lo lar-go del texto. Muchas descripciones sern necesariamente cualitativas ya que los detalles y apli-caciones a la ingeniera sern material de Captulos posteriores.

El electromagnetismo ha sido la base de la llamada Segunda Revolucin Industrial, fundamen-talmente en los aspectos de la conversin electromecnica de energa y las comunicaciones. Ac-tualmente las aplicaciones electromagnticas dominan toda la tcnica moderna y la miniaturiza-cin y creciente velocidad de los circuitos electrnicos hacen cada vez ms necesaria la modela-cin de estos fenmenos mediante la teora de campos.

El electromagnetismo es una teora de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes fsicas cuya descripcin matemtica son campos vectoriales de-pendientes de la posicin en el espacio y del tiempo. La caracterstica vectorial dificulta nota-blemente las resolucin de las ecuaciones que describen el comportamiento, por lo que se trata en la medida de lo posible de simplificar el problema a ecuaciones escalares, y si no es posible, se utilizan sofisticados mtodos numricos que han explotado en nmero y variedad en los lti-mos aos. Este texto presentar formulaciones analticas en casos simples que brindan un tras-fondo conceptual y modelos simplificados cuando sea posible, y finalmente daremos una breve introduccin a los mtodos numricos de mayor uso en bajas y altas frecuencias.

El objetivo es que el lector adquiera la comprensin conceptual de los problemas que deber enfrentar en aplicaciones de la ingeniera electromagntica as como las herramientas de modela-cin ms adecuadas para las variadas situaciones. Por otra parte, se dar nfasis a las aplicacio-nes a la ingeniera y, cuando sea el caso, a las normas de diseo y seguridad vigentes en la explo-tacin de sistemas y equipos electromagnticos.

Una vez analizados los modelos y problemas generales, cada Captulo siguiente analizar en detalle teora, modelos y aplicaciones en cada caso particular, desde los casos ms sencillos hasta los ms elaborados. Esta organizacin permite profundizar en los temas de mayor inters y pasar por alto temas y aplicaciones que no son prioritarios, y al lector, una vez que ha dominado las ideas fundamentales, estudiar en detalle las aplicaciones de su inters.

As, una primera parte se ocupa de los campos estticos y/o de baja frecuencia, que pueden mo-delarse mediante circuitos de constantes concentradas, una segunda parte presenta teora y apli-caciones de los sistemas descriptos por circuitos de parmetros distribuidos (lneas de transmi-sin) y una tercera parte presenta los sistemas donde es necesaria la teora de campos, como la propagacin libre y guiada y la generacin de ondas electromagnticas. Finalmente se destina un ltimo Captulo a problemas de compatibilidad electromagntica y a analizar los posibles riesgos de los campos electromagnticos sobre la salud humana.

Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arElectromagnetismo - 20041-2

Ecuaciones de Maxwell

Todos los fenmenos electromagnticos clsicos (no cunticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell1:

D(r,t) = (r,t)

(ley de Gauss elctrica)

B(r, t) = 0

(ley de Gauss magntica)

E(r,t) +

B(r,t) = 0

(ley de Faraday)

t

H(r,t)

D(r,t) = j(r,t)(ley de Maxwell-Ampre)

t

donde generalmente las incgnitas son los campos vectoriales: o E: campo elctrico (V/m),

o D: campo de desplazamiento (C/m2), o H: campo magntico(A/m) y

o B: campo de induccin magntica (T).

Estos campos conforman el campo electromagntico. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y Maxwell-Ampre) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos elctricos y magn-ticos variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos estn interrelacionados. Slo en el caso de campos estticos (que no varan en el tiempo) campo elctrico y magntico son independientes entre s.

Llamamos fuentes de campo a los sistemas fsicos que crean campos en el espacio. En el caso electromagntico, cargas y corrientes elctricas crean campo2. En las ecuaciones de Maxwell las fuentes de campo son entonces:

o : la densidad de carga elctrica (C/m3) y o j: la densidad de corriente (A/m2).

En nuestra descripcin consideramos a cargas y corrientes como funciones continuas de la posi-cin. Sin embargo, se conoce que la carga elctrica se presenta en unidades elementales (a las energas de inters en las aplicaciones tecnolgicas actuales) cuyo valor es la carga del electrn:

e 1.602 1019 C

Esta estructura granular de la carga elctrica no admitira la descripcin de su distribucin como una funcin continua de la posicin, pero la extrema pequeez de los portadores elementales de carga, en relacin al tamao de los objetos de inters tecnolgico, permite usar funciones conti-nuas entendidas como un promedio sobre un gran nmero de entes discretos, en volmenes pe-queos frente al tamao de esos objetos, pero grandes en relacin al tamao de los portadores de carga elementales. Podemos escribir entonces:

(r , t) = N (r , t)e donde N(r,t) es el nmero de portadores ele-mentales de carga por unidad de volumen.

El mismo razonamiento se aplica a las funciones continuas que describen la distribucin de co-rrientes, que son en ltima instancia grupos de cargas elementales en movimiento.

Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posicin espacial y del tiempo.

En el Apndice 1 se presenta un resumen de los operadores vectoriales usados en las ecuaciones de Maxwell.

Hay otras fuentes de campo electromagntico que no se describen en las ecuaciones de Maxwell ya que dependen de fenmenos no electromagnticos "puros", como bateras, pilas solares, etc.


Este es un conjunto de ecuaciones diferenciales vectoriales lineales acopladas inhomogneas. En general su resolucin es bastante difcil, por lo que gran parte de nuestra presentacin se de-dicar a presentar modelos simplificados que permitan soluciones sencillas.

Una primera propiedad que se deduce de las ecuaciones de Maxwell es que las fuentes de campo (cargas y corrientes) estn generalmente ligadas entre s.

Si tomamos la divergencia de la ley de Maxwell-Ampre obtenemos:

H(r,t)

D(r,t)

= j(r,t) j(r,t) = ( H(r,t))

D(r,t)

t

t

Pero la divergencia de un rotor siempre es cero, con lo que queda:

j(r,t) =

D(r, t)

t

La expresin del segundo miembro dice que hay que realizar primero la derivada temporal de D y luego las derivadas espaciales. Pero como el tiempo y las variables espaciales son independien-tes entre s se puede cambiar el orden de la derivacin: j(r,t) = ( D(r,t))

t

Usamos ahora la ley de Gauss elctrica para escribir: j(r,t) =

( (r,t))

t

de donde finalmente nos queda la llamada ecuacin de continuidad:

j + t = 0

Esta ecuacin indica que las fuentes de campo (cargas y corrientes elctricas) estn interrelacio-nadas en el caso dependiente del tiempo. Como veremos en el Captulo de corrientes elctricas, esta ecuacin representa el principio de conservacin de la carga elctrica.

Soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Potenciales retardados

En el vaco es posible hallar una solucin general de las ecuaciones de Maxwell en trminos de los potenciales electrodinmicos o potenciales retardados vectorial A y escalar 3, que se pue-den deducir de las ecuaciones de Maxwell:

E(r, t) = (r, t) A(r, t)B(r, t) = A(r, t)

t

Estos potenciales no son independientes entre s4, sino que estn relacionados por la llamadacondicin de Lorentz: A + 1 = 000 t

Con la introduccin de los potenciales electrodinmicos, las ecuaciones de Maxwell llevan a las siguientes ecuaciones de onda vectoriales inhomogneas:

2

1 2

(r, t)

2

1

2

(r, t) c 2

t 2(r, t) = 0

A(r, t) c 2

A(r, t) = 0 j(r, t)

t 2

donde c =1 00 . Estas ecuaciones tienen las soluciones particulares:

1

0

(r, t) =

V(r , t )dV A(r, t) =

Vj(r , t )dV

40

4

R

R

La figura ilustra el significado de los smbolos. Los campos se miden u observan en el punto campo, definido por sus coordenadas espacio-temporales (r, t), mientras que las integrales se

Captulo 10.

Esta relacin surge de la relacin entre las fuentes de campo, que se explicita en la ecuacin de continuidad.


realizan sobre los puntos fuentes, de coordenadas (r', t'). (r,t) Se usa esta doble notacin porque el denominador de los

integrandos usa la distancia entre punto fuente y punto campo R = R = r r .

(r',t')rLa particularidad fundamental de estas expresiones es que

V

el tiempo en el punto fuente y el tiempo en el punto campo

rno son iguales: t = t R / c . Por lo tanto, las variaciones

en la fuente en el instante t' se reflejan en un instante pos-

terior t en el campo observado. Hay un retardo entre

causa y efecto, por lo que estos potenciales se llaman po-

tenciales retardados. Este retardo se explica por el prin-

cipio de que existe una velocidad mxima de propagacin de las interacciones (principio de relatividad), que es la velocidad de la luz en el vaco. El intervalo t = R / c es el tiempo que tarda la interaccin en trasladarse desde el punto fuente al punto campo. Maxwell obtuvo este

resultado en 1864 y como c =1 00 3 108 m / s , que es un valor similar al valor medido de

la velocidad de la luz en el vaco, formul la tesis que la luz era un fenmeno electromagntico, tesis recin corroborada experimentalmente por Hertz en 1887.

El retardo de tiempo entre la seal fuente y el campo producido es un hecho fundamental en la modelacin de los fenmenos de radiacin, como se muestra en el Captulo 10.

El modelo de campo presentado en esta seccin es el modelo ms general, aplicable a todas las situaciones5, aunque en situaciones prcticas slo es posible obtener las soluciones mediante mtodos numricos.

Punto fuente y punto campo

La notacin de punto fuente (posicin donde hay fuente de campo - va-riables primadas descriptas por el vector posicin r' ) y punto campo (posicin donde se desea calcular el campo - variables no primadas des-criptas por el vector posicin r) que introdujimos en esta seccin es bsi-ca en muchos clculos del electromagnetismo y ser usada consecuente-mente a lo largo del texto.

Representacin en los dominios del tiempo y de la frecuencia

Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son campos vectoriales cuyas componentes son funciones de la posicin y del tiempo. Decimos en este caso que los campos estn representados en el dominio del tiempo:

En la representacin en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posicin y del tiempo: F = F (r,t) = F ( x, y, z,t)

donde F es una componente cualquiera de los campos. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, una forma de simplificar su resolucin es utilizar la representacin en el dominio de la frecuencia. En esta tcnica se usa la representacin de Fourier6 (transformada de Fou-rier) de las componentes de los campos:

F (r,t) (r,) F (r,t) = (r,) eitd

Eventualmente en medios donde los parmetros dependen de la frecuencia se desarrolla la funcin temporal fuente en una integral de Fourier y se calculan los campos para cada armnica, como se describe en la siguiente seccin.

En el Apndice 1 se presenta un breve resumen sobre sistemas lineales y la representacin de Fourier. Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arElectromagnetismo - 20041-5

(salvo un factor de normalizacin). Se ve fcilmente que:

F (r, t) (r, ) Ft i (r, ) y las ecuaciones de Maxwell quedan:

D(r,) = (r,) B(r,) = 0

E(r,) + iB(r,) = 0 H(r,) - iD(r,) = j(r,)

donde todos los campos son las transformadas de los campos electromagnticos. Como el con-texto evita habitualmente confusiones, usamos la misma notacin para el campo en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

Parmetros dependientes de la frecuencia

En la representacin en el dominio de la frecuencia es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolucin. Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen del medio en el que se desarrollan los fenmenos y de la frecuencia:

D(r,) = E(r,) : permitividad (dielctrica)

j(r,) = E(r,) : conductividad

B(r,) = H(r,) : permeabilidad (magntica)

En general estos parmetros son tensores (matrices) que relaciones dos campos vectoriales, de-pendientes de la posicin en medios inhomogneos y de la direccin en el espacio para medios anistropos. En este texto analizaremos fundamentalmente medios istropos y que se pueden dividir en regiones macroscpicas donde las propiedades son homogneas. En estos casos los parmetros materiales se reducen a escalares funciones de la frecuencia7.

Un caso particular importante es el medio vaco (el aire puede considerarse como vaco, desde el punto de vista electromagntico) donde los parmetros constitutivos son constantes:

= 0 8.8510-12 F/m = 0 = 4 10-7 Hy/m = 0

lo que simplifica an ms la resolucin de las ecuaciones de Maxwell.

Con estas relaciones, y si se conocen las fuentes, las ecuaciones de Maxwell tienen dos incgni-tas: el campo E y el campo H. Las aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell pueden clasificar-se en dos tipos:

o dadas las fuentes, hallar los campos (problema directo); o dados los campos, hallar las fuentes (problema inverso).

Los problemas directos son los ms comunes y sencillos para resolver, y surgen en todo tipo de situaciones tecnolgicas.

Los problemas inversos ocurren en situaciones donde se desea hallar la fuente de perturbaciones y son habitualmente mucho ms difciles que los problemas directos.

Analizamos algunos modelos sencillos de la respuesta de medios materiales a los campos electromagnticos en el Captulo 8, modelos que llevan a parmetros dependientes de la frecuencia.

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Fasores

Im

t+0

g0

0

de donde vemos que: Electromagnetismo - 20041-6

La integral de Fourier representa la superposicin o adicin de un nmero indefinido de funciones armnicas elementales (r,) eit. Para distintos valores de estas funciones son independientes y ortogonales, porque forman un conjunto base (ver el Apndice 1). Cada uno de estos trminos es en general

Reuna cantidad compleja, pero su suma debe ser real porque lo es la funcin original.

Por la linealidad de las ecuaciones de Maxwell y de la mayora de las operaciones realizadas sobre los campos 8 es posible escribir, para la aplicacin de un operador lineal a la funcin en el dominio del tiempo: [F (r, t)]= (r,)eit d = [(r,)eit ]d

00

la aplicacin de un operador lineal a la funcin en el dominio del tiempo equivale a la superposicin de la aplicacin del operador a las armnicas de la representacin.

En el caso de una operacin lineal, la representacin de Fourier nos permite trabajar con cada armnica de la representacin por separado y al final recomponer por superposicin el resultado, lo que habitualmente simplifica notablemente los clculos.

Esto lleva a que el anlisis de las propiedades de las seales armnicas sea de inters y ser el tipo de seales que usaremos en el texto con mayor frecuencia.

En la electrotecnia se denomina fasores a las funciones armnicas, porque se las puede pensar como un cantidad cuya fase vara en el tiempo. Por ejemplo: g(t) = g0 cos( t +0 ) representaun fasor de amplitud g0 y fase inicial 0.

Podemos pensar que el fasor se mueve en un plano complejo, de modo que las proyecciones so-bre el eje real y el eje imaginario son, respectivamente:

i(t +0 )

~cos(t +0 )

~

Re[g (t)] = g0

g (t) = g0 e

~sen(t +0 )

Im[g (t)] = g0

= ~ Luego se ve que: g(t) Re[g(t)] .En muchas aplicaciones de los fasores se deben aplicar sobre ellos operadores lineales. Como para dos complejos cualesquiera, Re( z 1 + z2 ) = Re( z 1 ) + Re( z 2 ) se puede operar con los fasores

y tomar la parte real para reconstruir las funciones fsicamente significativas al final de la opera-cin. Como los fasores tiene exponenciales complejas, es ms fcil generalmente trabajar con

La suma algebraica, la derivacin y la integracin son operaciones lineales y en ellas se pueden usar fasores. El producto de dos funciones no es una ope-racin lineal, y por lo tanto se debe trabajar desde el principio con la forma real de las funciones.

ellas que con las operaciones trigonomtricas asociadas a las funciones originales. Sin embargo:

Promedio temporal

En muchas ocasiones la cantidad fsicamente significativa es el promedio temporal o valor

Existe la muy importante excepcin de los clculos que involucran potencia y energa, que son productos de cam-pos y por lo tanto operaciones no lineales.


medio de las magnitudes en estudio:

o Si f(t) es una funcin peridica de periodo T, definimos el valor medio como:< f >= T1 0Tf (t) dto Si f(t) es una funcin no peridica, definimos el valor medio como:< f >= Tlim T1 0Tf (t) dt

Se puede demostrar que, para dos funciones armnicas de igual frecuencia representadas por

fasores:f (t) = Re{f 0 e it } y g (t) = Re{g 0 e it}

el promedio temporal es:

< fg >=10Tf (t)g(t) dt =1[ f 0 g0* + f 0* g0 ]=1

Re{f 0 g0* }=1Re{f 0* g0 }

T4

2

2

Para demostrar esta propiedad consideremos dos funciones armnicas de igual frecuencia:

f (t) = Re{f 0 e it } y g(t) = Re{g 0 e it }

w~it~~0 eit, respectivamente, donde sobreen-

que expresamos por los fasores f(t) = f0 e

y g (t) = g

tendemos que se debe tomar la parte real. Las cantidades~

~

f0y g 0 son generalmente complejas a

fin de introducir un eventual ngulo de fase inicial.

Queremos calcular el valor medio temporal del productof (t)g(t) , que es:

1T

< fg >=

f (t)g(t) dtcon

T = 2/

T

0

(t) = Re{ f 0 eit }=1[ f 0 eit + f 0*e it ]

Podemos escribir la parte real de los fasores como:f

2

Luego:< fg >=10Tf (t)g(t) dt =10T[ f 0 eit+ f0*eit ][g 0eit + g0*eit ]dt

T

4T

y tenemos:< fg >=10T[ f 0 g0ei 2t+ f0 g0* + f0* g0 + f0* g0*ei 2t ]dt

4T

Las integrales que tienen los factores exponenciales tienen valor medio cero, y entonces:

< fg >= 14 [ f 0 g0* + f0* g0 ]= 12 Re{ f 0 g0* }= 12 Re{ f 0* g0 }

que es lo que queramos demostrar.

Ejemplo 1-1: La tensin sobre una carga tiene una dependencia temporal:

V (t) =V0 cos(2t / T ) con t en s. a) Calcular el valor medio de la tensin sobre la carga. b) Cal-cular el valor medio de la potencia disipada en la carga.

a) Para calcular el valor medio de la tensin dato usamos su definicin:

1T1T

=

0V (t) dt =

0V0cos(2t / T ) dt = 0

T

T

ya que la integral del coseno sobre un periodo completo es cero.

V 2(t)

V 2

b) La potencia instantnea disipada en la carga es: P(t) =

=

0cos2 (2t / T )

R

R

Y la potencia media puede calcularse mediante definicin o usando la notacin fasorial. Por definicin:

Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera

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1T

1

T V02

2

V02

T

2

< P >=

0P(t) dt =

0

cos

(2t / T ) dt =

0 cos

(2t/ T ) dt

T

T

R

RT

Si hacemos el cambio de variables: u = 2t/T

du = 2 dt/T

V 2

T

2

V 2

V2

Vef2

nos queda: < P >=

0

0cos2 (u) du =0

=

0=

RT 2

2R

R

2R

donde hemos definido la tensin eficaz: Vef=V0 /

2

Para usar la notacin fasorial, escribimos la tensin en forma fasorial:

V (t) = e{V0 ei 2ft }=V0 ei 2ft

donde sobreentendemos que debe tomarse la parte real. Usando esta notacin podemos escribir:< P > =1e{V V * }=1e{V 0 ei 2ft V0*e i 2ft }=1e{V 0

2 }=V02

2R

2R

2R

2R

ya que V0 es real. Se ve que obtenemos el mismo valor que antes, como debe ser.

Entornos de modelacin en el dominio de la frecuencia

Las ecuaciones de Maxwell y sus soluciones generales permiten describir cualquier problema electromagntico, pero la resolucin prctica de estas soluciones es difcil y habitualmente no es posible obtener soluciones analticas.

Por otra parte, el mismo nivel de generalidad de este anlisis esconde a veces las caractersticas fundamentales de los fenmenos que son las que habitualmente importan desde el punto de vista del anlisis y diseo en la ingeniera. Por ello se introducen, cuando es posible, modelos que lle-van a simplificar el tratamiento matemtico y a enfatizar las propiedades esenciales del compor-tamiento del fenmeno en estudio.

La modelacin en el dominio de la frecuencia es la tcnica ms usada por su sencillez conceptual y matemtica. El comportamiento de los sistemas en distintas frecuencias lleva a los paradigmas usuales en la ingeniera elctrica. Siempre debe tenerse en cuenta que el modelado en el dominio de la frecuencia describe el comportamiento dominante en un cierto ancho de banda, pero tal modelo no es universal y puede ser inaplicable si cambia la frecuencia de los fenmenos o se generan fenmenos no deseados por interferencia o inexactitudes del diseo.

Por ejemplo, un circuito cuyo objetivo es amplificar seales de audio se disear aplicando el modelo circuital cuasi-estacionario que describimos ms abajo, pero la eventual presencia de oscilaciones de alta frecuencia por caminos de realimentacin no puede describirse mediante este modelo.

Veremos a lo largo del texto tres entornos de modelado fundamentales de los fenmenos elec-tromagnticos: el modelo o entorno cuasi -esttico (bajas frecuencias), que puede describirse mo-delando al sistema mediante un circuito de parmetros concentrados, el modelo de parmetros distribuidos y finalmente el modelo de campos. A continuacin describimos las caractersticas esenciales de cada modelo.

Caso esttico

Consideramos primero como introduccin el caso esttico puro: los campos y sus fuentes no dependen del tiempo. Se trata de distribuciones de cargas en reposo9 y corrientes estacionarias o continuas.

Las ecuaciones de Maxwell se escriben en este caso:

9 En reposo en un sistema de referencia inercial.Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar


D(r) = (r)B(r) = 0E(r) = 0H(r) = j(r)

y se ve que los campos elctrico y magntico estn desacoplados. La mutua dependencia que surge de las leyes de Faraday y de Maxwell-Ampre slo opera cuando los campos dependen del tiempo. El campo elctrico (electrosttico) depende solamente de la distribucin de cargas y el campo magntico (magnetosttico) depende solamente de la distribucin de corrientes (estacio-narias o continuas). En el caso general estas distribuciones estn acopladas entre s por la ecua-cin de continuidad, pero en el caso esttico no:

j + t = 0 j = 0

En trminos de los potenciales electrodinmicos, los campos se pueden escribir como: E(r) = (r) B(r) = A(r)

y los potenciales electrodinmicos se convierten en los correspondientes potenciales estticos:

2

(r)

1

(r) =

(r) =

V

(r )dV

0

40

R

2 A(r) = 0 j(r) A(r) =0

Vj(r)dV

4

R

Obsrvese que toda referencia al tiempo se ha eliminado y ya no existe retardo entre la fuente y el campo. Existe una accin a distancia instantnea. Por otra parte, al estar desvinculadas las distribuciones de cargas y corrientes, estos potenciales estticos son independientes, como lo son los campos entre s.

De estas ecuaciones surgen las propiedades de los circuitos elctricos elementales de corriente continua, como veremos en el Captulo 2.

Modelo cuasi-esttico o cuasi-estacionario

La teora de circuitos es sencilla, fcil de visualizar y ha sido durante aos el paradigma bsico del anlisis de los equipos electrnicos. Pero slo es rigurosamente vlida para frecuencia cero (fenmenos estticos o estacionarios). Para fenmenos variables en el tiempo se requiere el anlisis de campos con los potenciales retardados, las corrientes dejan de ser estacionarias, y las reglas de Kirchhoff dejan de cumplirse. Sin embargo, podemos pensar que para frecuencias muy bajas el comportamiento de los sistemas no debe diferir demasiado del comportamiento a corriente continua, y que el pasaje de los fenmenos circuitales puros a los fenmenos de radia-cin debe ser gradual y paulatino a medida que aumenta la frecuencia.

Este razonamiento nos lleva a analizar el caso cuasi-esttico o cuasi-estacionario, donde la frecuencia es tan baja que podemos aproximar las ecuaciones de Maxwell a su formato estti-co/estacionario, pero conservando la dependencia temporal:

D(r, t) = (r, t)

B(r, t) = 0

E(r, t) 0

H(r, t) j(r, t)

j 0

E(r) = (r)B(r) = A(r)

2

(r, t)

1

(r, t)

(r, t)

V

(r , t)dV

0

40

R

0

2 A(r, t) 0 j(r, t) A(r, t) =

V

j(r , t)dV

4

R

Obsrvese que ha desaparecido la distincin entre tiempo fuente y tiempo campo, es decir que en la aproximacin cuasi-esttica los efectos son instantneos, como en el caso esttico.

Como las ecuaciones que dan lugar a la teora de circuitos se mantienen en esta aproximacin,


sigue siendo vlidas las reglas de Kirchhoff, aunque ahora los elementos de circuito incorporan reactancias. Este es el modelo de los circuitos de parmetros concentrados, que introducimos en el Captulo 5.

La aproximacin cuasi-esttica es vlida para bajas frecuencias, pero cun baja debe ser la fre-cuencia para que esta aproximacin sea vlida?

La clave para responder esta pregunta reside en analizar la validez del uso de potenciales elec-trodinmicos cuasi-estticos. Veamos el potencial escalar para variaciones armnicas de la fuen-te de frecuencia f = /2:

1

(r, t) =

V

(r , t )

dV

t = t R / ccon:

(r,t)

40

R

R1

it=

iteiR / c

(r , t ) = s(r ) e

s (r ) e

ikR

eit

(r1, t1)rEntonces: (r, t) =

V

s(r ) e

dV con k = /c

40

R

D2

Para pasar ala

descripcincuasi-estticase debera

V

eliminar el retardo t = R/c o lo que es lo mismo, el

(r2,t2)factor e-ikR. Una posible situacin donde esto ocurre es

cuando el punto de observacin (el punto campo) se

halla muy cerca del recinto de integracin, con lo que R

es pequeo. Sin embargo, an en este caso el retardo ser diferente para distintos puntos fuente. Se ve en la figura que: t1 = R1/c t2 = R2/c

Esta diferencia de retardo se traduce en una diferencia de fase k R1 - R2 , que, en general, pro-ducir interferencia. En el caso esttico no hay retardo ni interferencia.

Esta interferencia se vuelve despreciable cuando la separacin entre los puntos fuente ms aleja-dos es suficientemente pequea para que k R1 - R2 0 Fuente < 0 Sumidero = 0

Una carga elctrica produce un campo elctrico. A su vez, las lneas de campo producen flujo a travs de una superficie cerrada. Si la superficie encierra carga, el flujo es no nulo, y su signo coincide con el signo de la carga encerrada. Si la superficie no encierra carga, el flujo es cero.

Por lo tanto el flujo (y la divergencia) est asociado a existencia de carga o fuente de campo. En

general podemos demostrar que:Fuentes escalares del campo:div F(r) = F (r)

que significa que la divergencia del campo es proporcional a la densidad de fuentes escalares de campo punto a punto. La siguiente tabla presenta las expresiones de la divergencia en los dis-tintos sistemas coordenados bsicos:

CARTESIANASF =Fx+

Fy+Fz

y

z

x

CILINDRICASF =1 (F )+1

F

+Fz

z

ESFERICASF =1

(r 2 Ar )+

1

(sen A )+1

A

r2

r

r sen

r sen

Decimos que un campo es solenoidal si su divergencia es nula:

F = 0

En este caso no

existen fuentes escalares del campo, y como las lneas de campo no tienen fuentes o sumideros, deben ser cerradas. Un ejemplo de campo solenoidal es el campo magntico.

RotorTeorema de Stokes: F dl = (rot F) n dS = F n dS

CSS

n

S

C El teorema de Stokes lleva a la definicin del rotor de un campo vectorial cuando S 0. En esta expresin es impor-tante notar que:

La superficie S es abierta. Se apoya en la curva C

El sentido de circulacin y el sentido de la normal estn ligados entre s por la regla de la mano derecha.

Interpretacin fsica

As como la divergencia est asociada a las fuentes escalares del campo, el rotor est asociado a sus fuentes vectoriales:

Fuentes vectoriales del campo: rot F(r) = AF (r)


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campo escalar:Electromagnetismo 20041-23

En la siguiente tabla se presentan las expresiones del rotor en los sistemas coordenados bsicos:

CARTESIANAS

xyz

F

Fy

F

F

Fy

F

z

x

z

x

F =

=

x +

y+

z

xy z

z

z

x

y

y

x

FxFyFz

CILINDRICAS

z

1

1 Fz

F

F

Fz

1

(F )

F

F =

=

+

+

z

z

z

z

FFFz

ESFERICAS

r

1

rr sen

F =

r2 sen r

FrrFr sen F

1

(sen F)

F

1

1

Fr

(rF)

1

(rF )

Fr

=

r+

+

r sen

r

r

rr

sen

Decimos que un campo es irrotacional cuando su rotor se anula:

F = 0

En este caso no

existen fuentes vectoriales del campo. Un ejemplo de campo irrotacional es el campo elctrico. Por el teorema de Stokes un campo irrotacional da circulacin nula sobre una curva cerrada. En-tonces decir que un campo es irrotacional es lo mismo que decir que es conservativo.

Laplaciano

El laplaciano es el operador que resulta de tomar la divergencia del gradiente. Opera sobre un2 f (r) = div[grad( f (r))] = [f (r)]

El laplaciano es un operador fundamental delas ecuaciones del electromagnetismo.

La siguiente tabla presenta las expresiones del laplaciano en los sistemas de coordenadas bsi-cos

:

CARTESIANAS2 =2 +2 +2

x 2

y 2

z 2

2

1

1 2

2

CILINDRICAS =

+

2

2+

2

z

ESFERICAS2

1

2

1

1

2

=

rr

+

sen

+

r 2 r

r 2sen

r 2 sen2 2


Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arElectromagnetismo 20041-24

Ecuaciones de Poisson y Laplace

La ley de Gauss de la electrosttica y la relacin entre el campo y el potencial electrostticos lleva a la ecuacin de Poisson:E(r) =(r) [ (r )]=(r) 2(r )= (r)

La ecuacin de Poisson relaciona el potencial elctrico con sus fuentes escalares.

Para puntos del espacio sin fuentes, se obtiene la ecuacin de Laplace: 2(r )= 0Desde el punto de vista matemtico, la ecuacin de Poisson es una ecuacin diferencial lineal inhomognea. Su solucin general es la suma de la solucin general de la ecuacin homognea (ecuacin de Laplace) ms una solucin particular de la ecuacin inhomognea original:2 (r) = f (r)

2 h (r) = 0 (r) = h (r) + p (r) La solucin particular ms usada es la llamada integral de Poisson:

p (r) =1

f (r)dVcon R =

r r

4

R

V

donde el recinto de integracin debe contener por completo a las fuentes de campo cuya influencia se quiera determinar y se ha usado la notacin de punto fuente (donde estn distribuidas las fuentes) y punto campo (donde se desea calcular el efecto, o sea el potencial).

Teorema de Green

Las llamadas identidades de Green son expresiones matemticas derivadas del teorema de la divergencia que son de utilidad para analizar problemas de potencial y de radiacin.

Sea V una regin cerrada del espacio cuya frontera es S. Sean adems (r) y (r) dos campos escalares que junto con sus derivadas primeras y segundas son funciones continuas dentro de V.

Consideremos el teorema de la divergencia aplicado al campo vectorial : ( ) dV = ( ) n dS

VS

Como: ( )= +2se obtiene la llamada primera identidad deGreen:

dV + 2 dV = () n dS = dS

VVSSn

donde n es la derivada direccional normal a la superficie.

Consideremos ahora en esta expresin que = , y que sea solucin de la ecuacin de Laplace dentro de V, de manera que nos queda:( ) 2 dV = ( ) n dS = dSVSSnIntercambiamos los roles de los campos escalares, y escribimos ahora la primera identidad de Green al campo vectorial : dV + 2 dV = dSVVSnRestamos las dos expresiones de la primera identidad para obtener la segunda identidad o teo-rema de Green:22

( )dV =

dS

V

Sn

n



Fuentes del campo y teorema de Helmholtz

El teorema de Helmholtz, que presentamos sin demostracin16, relaciona a un campo vectorial con sus fuentes:

Si

y

F(r) = (r)

F(r) = k(r)

Entonces

F(r) = (r) + K(r)

con(r) =1 (r)dV

yK(r) =1k(r)dV

4

4R

R

3

dondeR = r r =(xi xi) 2

i=1

El teorema de Helmholtz muestra que todo campo vectorial est unvoca-mente definido si se conocen su divergencia (fuentes escalares) y su rotor (fuentes vectoriales).

Identidades vectoriales

A continuacin se presenta una tabla de identidades matemticas que surgen de la aplicacin de los operadores vectoriales vistos.

(f) = 0(F) = 0

r = 3r = 0r = r/r(1/r) = -r/r3

() = + (F) = F + F (F) = F - F

(FG) = G(F) - F(G)

(FG) = F(G) - G(F) + (G ) F - (F ) G

(FG) = F (G) + G (F) + (G ) F + (F ) G

2F = (F) - (F) (Laplaciano vectorial)

Expresiones integrales:

GaussF n dS = F dV

S f n dS = V f dV

SV

StokesCF dl = S( F) n dS

S (n F)dS = V F dV

16 Ver, por ejemplo, W.K.H.Panofsky & M.Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2nd. Ed., Addison-Wesley, Reading, Massachussets (1962), p.2-5.

Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arElectromagnetismo 20041-26

Sistemas lineales

Muchos fenmenos fsicos pueden describirse matemticamente mediante magnitudes funciones del espacio y del tiempo. En muchas situaciones podemos separar estas magnitudes como est-mulos (causas) y respuestas (efectos). Tambin en muchas situaciones de inters tecnolgico la relacin causal entre estmulos y respuestas es lineal, es decir, la respuesta a un conjunto de es-tmulos aplicados simultneamente es la suma de las respuestas obtenidas si cada estmulo opera-ra en solitario. Estas relaciones se pueden implementar matemticamente mediante mapeos li-neales entre el conjunto de funciones estmulo y el conjunto de funciones respuesta. Estos ma-peos son la representacin matemtica del fenmeno y se conocen como sistemas lineales.

La posibilidad de describir fenmenos de la naturaleza mediante sistemas lineales es ventajosa porque existe una amplia y relativamente sencilla doctrina matemtica para tratar a estos siste-mas, fundamentalmente mediante la representacin de las magnitudes como la suma de funcio-nes elementales cuyas respuestas son bien conocidas o pueden ser estimadas con facilidad.

Las magnitudes que representan el fenmeno pueden ser magnitudes descriptas mediante funcio-nes reales de sus argumentos o magnitudes descriptas mediante funciones complejas. En el pri-mer caso podemos sealar la ptica de procesos incoherentes, y en el segundo la ptica de proce-sos coherentes, donde es necesario usar campos con mdulo y fase. Como el tratamiento vecto-rial es ms general, lo usaremos en nuestra introduccin a los sistemas lineales.

Consideremos entonces un sistema definido por un mapeo S entre un conjunto de funciones es-tmulo17:f(r,t) = [f1(r,t), f2(r,t), , fN(r,t)]T

y un conjunto de funciones respuesta:g(r,t) = [g1(r,t), g2(r,t), , gM(r,t)]T

Todas estas funciones deben considerarse, en general, funciones complejas de sus argumentos reales.

Entonces, la relacin causal se escribe:g(r,t) = S { f(r,t)}

donde el operador matemtico S { } representa la relacin. Esta relacin entre ambos conjuntos de funciones es del tipo "muchas a una", es decir, diversos conjuntos estmulo pueden llevar al mismo conjunto repuesta.

En el caso de un sistema lineal: g(r,t) = { f(r,t)} el operador lineal { } satisface la propiedad bsica:

{ 1 f1 +2 f2 } = 1 {f 1 } + 2 {f 2 }

donde 1 y 2 son constantes (respecto de los argumentos de las funciones) generalmente complejas.

Autovalores y autofunciones

Consideremos una funcin estmulo que depende de sus variables y de un cierto parmetro : f(r,t). Decimos que esta funcin estmulo es una autofuncin de un cierto operador lineal si:{f (r, t)}= H ()f (r, t)

donde H() es un valor complejo dependiente de pero independiente de las variables r y t, llamado autovalor asociado con la autofuncin.

Como el autovalor es una constante compleja, se puede escribir en forma polar: H () = A() e i ( )

donde A() es la amplitud y () es la fase del complejo H(). Entonces:

{f (r, t)}= H ()f (r, t) {f (r, t)}= A() f (r, t) e i( )

17 Usamos la notacin vectorial para los conjuntos de funciones estmulo y respuesta porque es la ms natural. Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera


y se observa que la aplicacin de un operador lineal a una autofuncin tiene como resultado una versin escalada y eventualmente desfasada de esta misma autofuncin.

Otro aspecto fundamental de los sistemas lineales surge de la posibilidad de la representacin de estmulos y respuestas mediante superposicin de funciones ms sencillas. Consideremos que podemos expresar el estmulo como una suma o superposicin de funciones (ejemplificamos para una relacin estmulo-respuesta escalar):f (r,t) = k hk (r,t)k

Si g(r,t) = { f(r,t)} representa un sistema lineal, entonces podemos escribir:

g(r,t) = { f (r,t)} =

h (r,t)

=

{h (r,t)}

k

k k

k

k

k

Se ve entonces que:

La linealidad permite representar una funcin estmulo mediante una suma o superpo-sicin lineal de otras funciones elementales, calcular la respuesta para cada estmulo elemental y luego sumar los resultados para obtener la respuesta original.

Esto es sumamente conveniente desde el punto de vista del clculo ya que se puede elegir el con-junto de funciones elementales que representa a la funcin estmulo original de manera que sean sencillas las respuestas obtenidas al aplicar el operador.

Representacin de funciones por conjuntos completos de funciones ortogonales

Las representaciones ms tiles son las que utilizan conjuntos completos de funciones ortogo-nales.

En general, existen representaciones en el dominio del tiempo y representaciones en el dominio del espacio. Habitualmente, las funciones matemticas que se usan en la descripcin de sistemas de ingeniera son separables, es decir, podemos escribir para cualquiera de ellas:f(r,t) = fs(r) T(t)

donde el subndice "s" indica que la funcin describe el comportamiento espacial, y entonces la representacin de la funcin original como superposicin de funciones elementales resulta en un producto de dos series que pueden considerarse por separado.

Dado que es comn en los cursos de ingeniera la representacin en el dominio del tiempo (re-presentacin de Fourier) ejemplificaremos esta seccin con representaciones en el dominio del espacio, menos conocidas.

As tenemos, entonces la representacin:fs (r) = nhn (r)dentro de un recinto V del es-

n =0

pacio, donde todas las cantidades son generalmente complejas. Decimos que dos funciones 1(r) y 2(r) son ortogonales en V si:

(r)*(r)dV== 0si1(r) 2 (r)dentro de V

12

si1(r) = 2 (r)dentro de V

0

V

donde el asterisco simboliza el complejo conjugado.

Si adems la integral vale 1 cuando las dos funciones coinciden, se dice que las funciones son ortonormales.



Suponemos en lo que sigue que el conjunto de funciones {hn(r)} de la representacin son orto-gonales:hn (r)hm*= 0sin m

(r)dV =sin = m

= n

V

Entonces los coeficientes n del desarrollo se pueden calcular sencillamente:calculamoshk (r) fs (r) dV = hk (r)

nhn(r)dV = n hk (r)hn (r) dV = kk

VVn=0

n=0 V

de donde:

k=1

hk (r) fs (r) dV

k V

Definimos el error cuadrtico medio de la representacin como:

1

2

=

fs(r) nhn (r)dV

V

V

n =0

Si el conjunto de funciones {hn(r)} es completo, entonces el error cuadrtico medio tiende a cero para todo punto dentro de V para cualquier funcin fs(r) a representar.Tenemos entonces una prescripcin de cmo representar la funcin estmulo dentro de un dado recinto con error mnimo, cualquiera sea la funcin. Existen mltiples conjuntos completos de funciones ortogonales. Cul se elija para una aplicacin especfica depende del operador lineal que permite hallar la respuesta.

Delta de Dirac

La delta de Dirac es una funcional, es decir, es un objeto matemtico definido por un conjunto de propiedades. En el caso de la delta espacial en una dimensin (x), las propiedades son:

(x)

1/

( x x0 ) = 0parax x0

bf (x0 )si x0 [a, b]

f (x) (x x0 )dx =

si x0 [a, b]

a0

Por ejemplo, la funcin definida por intervalos:

1/ six [ x0 , x0 + ]

f(x)

( x x0 ) =six0 [ x0 , x0 + ]

0

se comporta como una delta de Dirac cuando 0. La

primera propiedad se cumple ya que en el lmite el ni-

co punto en que la funcin no es cero es x0. La segunda

xpropiedad se cumple por el teorema del valor medio del

b

x0x0+

clculo integral: (x) dx =() (b a) donde (a,b) .

a

bf ()si el intervalo [ x0 , x0 + ][a, b]

Luego:

f ( x)( x x0 ) dx =0si no

a

Tomando el lmite para 0 se llega a las propiedades de la delta.

La definicin de la delta ilustra la propiedad de muestreo: su aplicacin permite tener una muestra de la funcin en el punto de definicin de la delta.

En tres dimensiones espaciales se puede escribir:



(r r0 ) = 0parar r0

f(r )sirV

f (r) (r r0 ) dV =00r0

V0sir0

donde la notacin convencional de la delta significa, p.ej., en cartesianas:

(r r0 ) dV = ( x x0 ) ( y y0 ) (z z0 ) dx dy dz

Una operacin que lleva a una delta de Dirac en tres dimensiones es:

1

1

div grad

=

r r

r r

0

0

Demostramos esta propiedad usando por comodidad coordenadas cartesianas:

1

(x x0 ) x + ( y y0 ) y + (z z0 ) z

=

[( x x0 )2

2

23 / 2

1=

1

r r0

+ ( y y0 )

+(z z0 )

2

2

]

r r

2

1

0

(x x0 )

+ ( y y0 )

+ (z z0 )

r r

r r

=0

si

0

0

Si r = r0 la operacin no est definida. Luego se satisface la primera propiedad de la delta. Para probar la segunda, usamos el teorema de la divergencia:

1

1

(r r0 )n

n dS =

dS = dr0

r r

dV = r r

r r3

V

S

S

4

0

0

0

que indica que la integral es igual al ngulo slido medido desde el punto r0 .

Si el recinto de integracin incluye a este punto, el resultado de la ltima in-tegral vale 4 (figura de la izquierda).

Si el recinto de integracin no incluye

r0

a este punto, la integral es nula, lo que

se ve a partir del flujo de la anteltima

integral (figura de la derecha).

r0

Finalmente:

1

1

= 4 (r r )

= 2

r r

r r

0

0

0

En nuestro curso la funcional delta de Dirac se utiliza en la representacin de objetos puntuales, lineales o superficiales como objetos tridimensionales en las integrales de los campos.

En otras aplicaciones la funcional delta temporal (t - t0) tiene mucha utilidad en el anlisis de los circuitos y sistemas de control, como se muestra en la siguiente seccin.

Representacin Delta

De las propiedades de la Delta de Dirac podemos escribir:

t2

en el dominio del tiempo dentro del intervalo [t1, t2].

f (t) = f (t ) (t ,t) dt

t1

en el dominio del espacio dentro del recinto V.

f (r) = f (r ) (r ,r) dV

V



Estas ecuaciones representan la funcin como una superposicin de sus valores muestreados en los sucesivos puntos del recinto de integracin. Aunque esta representacin - la representacin delta - parece trivial, vemos a continuacin que su aplicacin a sistemas lineales nos da un me-canismo de estudio de este tipo de problemas.

Supongamos que estas funciones son estmulo de un cierto sistema lineal simbolizado por el ope-rador { }: g = { f }.

En el dominio del tiempo, la respuesta es:

t2

t2

g(t) = { f (t)} =

f (t ) (t ,t) dt

= f (t ) { ( t ,t)}dt

t1

t1

Obsrvese que el operador acta sobre el tiempo no primado.

Definimos la respuesta impulsiva del sistema como:

h(t ,t) = { ( t ,t)}

t2

Y entonces la respuesta del sistema ante el estmulo f(t) ser:

g(t) = { f (t)}= f (t ) h(t ,t) dt

En el dominio del espacio nos queda:

t1

g(r) = { f (r)}= f (r)h(r,r) dVcon

h(r,r) = { ( r,r)}

V

Las integrales de las representaciones delta, llamadas integrales de superposicin, definen completamente la respuesta del sistema en base a su respuesta impulsiva en todos los puntos del intervalo (recinto) de representacin. En la ptica, la respuesta al impulso se conoce como point spread function.

En el caso de un sistema fsico la representacin delta espacial tiene la interpretacin de que la respuesta (habitualmente los campos) est completamente definida especificando la posicin de puntos fuentes equivalentes a la distribucin de fuentes. De esta forma utilizamos un mtodo de superposicin (vlido porque las ecuaciones de Maxwell son lineales) para calcular los campos creados por distintas distribuciones de fuentes.

Esta metodologa de superposicin de los efectos creados por fuentes elementales se usa a lo largo del texto en todas las aplicaciones.

En la teora del potencial se conoce como mtodo de la funcin de Green, ya que la respuesta impulsiva del sistema se conoce como funcin de Green del mismo.Este esquema da lugar a distintos algoritmos numricos de clculo de campos en problemas del electromagnetismo.

Sistemas lineales invariantes

Decimos que un sistema lineal es invariante en el tiempo (en el espacio), si la respuesta al im-pulso en un instante t (en una posicin r) para un impulso excitador aplicado en el instante (en la posicin r) slo depende del intervalo [t - ] (de la distancia vectorial r - r). Esto significa que distintos intervalos de tiempo (distintas regiones del espacio) llevan al mismo comporta-miento siempre que los intervalos (distancias vectoriales) entre estmulo y respuesta sean iguales. El sistema no cambia a medida que pasa el tiempo o en distintas regiones del espacio.

Para sistemas lineales invariantes podemos entonces escribir:

t) = { (t t)}

r) = { (r r)}

h(t ,t) = h(t

h(r ,r) = h(r

y las integrales de superposicin resultan as:

t2

g(r) = {f (r)}= f (r) h(r r) dV = f h

g(t) = { f (t)}= f (t) h(t t) dt = f h

t1

V

Electromagnetismo 20041-31

que son productos convolucin entre la funcin estmulo y la respuesta impulsiva. Como vere-mos en las siguientes secciones, utilizando la transformacin de Fourier el producto convolucin de dos funciones del tiempo (del espacio) se transforma al producto directo de las respectivas transformadas. Esto permite trabajar sencillamente en el campo transformado con los sistemas lineales invariantes.

En el electromagnetismo la mayora de los sistemas son invariantes en espacio y tiempo.

Resumen de la representacin de Fourier en una dimensin

En el electromagnetismo la representacin ms usada es la de Fourier, por lo que centraremos nuestro anlisis en su uso. En esta seccin hacemos un breve resumen de las propiedades bsicas de la representacin de Fourier en una dimensin, tomando como ejemplo funciones del tiempo.

La transformada de Fourier de una funcin g(t) es:

G( f ) = [g (t)]= g(t) e j 2ft dt

y es una funcin generalmente compleja de la frecuencia f. Tambin definimos la transformada inversa de Fourier de una funcin de la frecuencia como:g(t) = 1 [G ( f )]= G( f ) e j 2ft df

g(t) y G(f) forman un par de transformacin segn Fourier: g(t) G(f).

g(t) se conoce como representacin en el dominio del tiempo y G(f) se conoce como represen-tacin en el dominio de la frecuencia.Existen reglas matemticas de existencia de esta transformacin que pueden consultarse en cual-quier texto matemtico dedicado a estos temas. En nuestro contexto basta decir que la funcin g(t) debe cumplir las siguientes propiedades para que exista su transformada: ser absolutamente integrable sobre su dominio:

f (t)

2 dt < M ,

slo se admite un nmero finito de discontinuidades finitas y extremos en cualquier intervalo finito del dominio,

no debe tener discontinuidades infinitas.

Propiedades bsicas

La transformada de Fourier es una representacin lineal, de manera que cumple propiedades de los sistemas lineales. Las siguientes son las propiedades bsicas ms importantes:

Linealidad. [g1(t) + g2 (t)] = [g1 (t)] + [ g2 (t)] donde y son constantes cualesquiera.

Similaridad. [g (t)]= 1 G( f )

donde es una constante cualquiera. Un estiramiento en la escala del tiempo implica una compresin en la escala de frecuencias y viceversa, adems de un cambio global en la am-plitud del espectro.

Corrimiento. SiG( f )= [g (t)]entonces: [g (t )]= G( f )e j 2f

donde es un real. Un corrimiento en el dominio del tiempo implica un cambio de fase en el dominio de la frecuencia.

Teorema de Rayleigh-Parseval. SiG(f )= [g (t)]entonces:

Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arElectromagnetismo 20041-32

g(t)

2 dt =

G( f )

2 df

estas integrales se interpretan como el contenido energtico de la seal.

Convolucin. Si G1(f )= [g1 (t)]

yG2 (f )= [g 2 (t)]entonces:

= [g1(t) g2 (t)]= G1( f )G2 ( f )

g1(t)g2 (t )d

es decir que la transformada de la convolucin en el dominio del tiempo es igual al producto de las transformadas individuales.

Autocorrelacin. Si tomamos en la convolucin: g1(t) = g(t) , g2 (t) = g(t)

= [g (t) g(t)]=

G( f )

2

g(t)g(t )d

y en forma similar:[ g (t)

2 ]= G( f )G ( f )d

Las propiedades de singularidad y corrimiento son fundamentales en el tratamiento de funciones por tramos, donde se utilizan "transformadas parciales" que representan a las funciones por par-tes, ya sea en el dominio temporal o el dominio espacial.



RESUMEN

En este Captulo se han presentado los modelos bsicos de los fenmenos electromagn-ticos y la notacin y las herramientas matemticas fundamentales que se requieren a lo largo del texto.

Ecuaciones de Maxwell

D(r,t)

= (r,t)

(ley de Gauss elctrica)

B(r,t)= 0

(ley de Gauss magntica)

E(r,t)+

B( t) = 0

(ley de Faraday)

t

H(r,t)

D(r,t= j(r,t)(ley de Maxwell-Ampre)

t

Campos

Fuentes

Los campos pueden expresarse a partir de los potenciales electrodinmicos vectorial A y escalar :E(r, t) = (r, t) A(r, t)B(r, t) = A(r, t)

t

que estn ligados entre s por la llamada calibracin de Lorentz: A +1= 0

00t

En el vaco, con el uso de estos potenciales, las ecuaciones de Maxwell llevan a ecuacio-nes de onda inhomogneas:

21 2

(r,t)2

12

(r,t)

(r,t) =

A(r,t)

A(r,t) = 0 j(r,t)

c2 t2

0

c2t2

con soluciones ( c =00 ):

1

0

(r, t) =

V

(r , t )dV

A(r, t) =

V

j(r , t )dV

40

R

4

R

Hay un retardo entre causa y efecto ( t = t R / c ), por lo que estos potenciales se llaman po-tenciales retardados.

Los campos pueden representarse en el dominio del tiempo:

En la representacin en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posicin y del tiempo: F = F (r,t) = F ( x, y, z,t)

o en el dominio de la frecuencia utilizando la tranformacin de Fourier:

D(r,) = (r,)

B(r,) = 0

F (r,t) (r,) F (r,t) = (r,) eitd

E(r,) + iB(r,) = 0

H(r,) - iD(r,) = j(r,)



que son las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

En esta representacin, es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolucin. Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen de la frecuencia:

D(r,) = E(r,) : permitividad (dielctrica)

j(r,) = E(r,) : conductividad

B(r,) = H(r,) : permeabilidad (magntica)

Tres entornos

Existen tres entornos de modelacin diferentes en el dominio de la frecuencia:

Las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeas frente a la mnima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. Este es el caso de la aproximacin cuasi-esttica. Vale la teora de circuitos y se modeliza el sistema mediante elementos de parmetros con-centrados (resistores, capacitores, inductores, etc.).

Dos de las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeas frente a la mnima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. En este caso se modela al sistema como una cascada de elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dimensin que no cumple la condicin cuasi-esttica. Como cada elemento infinitesimal de la cascada cumple esta con-dicin, se lo modela mediante un circuito equivalente. Se tiene entonces un modelo de par-metros distribuidos. El caso tpico es el de las lneas de transmisin.

Al menos dos de las tres dimensiones no cumplen la condicin cuasi-esttica. Se requiere usar el modelo de campo en toda su generalidad. Esto ocurre por ejemplo en antenas y circuitos de microondas.



PROBLEMAS

1.1) Expresar los siguientes vectores en coordenadas cilndricas y esfricas:

F = 3x x + 2z 2 yG = 2xy z + x 2 y

1.2)Calcular la masa de un cubo de arista a = 10 cm cuya densidad es: = 3(Kg/cm3) x y2 z1/2.1.3)Calcule la masa de una esfera de radioa = 5 cm cuya densidad es: = 3 (Kg/m3) r2.1.4)Calcule la carga de los siguientes sistemas:

a)dos esferas concntricas de densidades = cte para r < a y = A r2paraa

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1-Ecuaciones de Maxwell