Clase 6 ecuaciones de maxwell

Ecuaciones de MaxwellClase 06

Ley de Faraday

Faraday manifestó su creencia de que si una corriente podía producir un campo magnético, entonces un campo magnético debería ser capaz de producir una corriente.

El concepto de “campo” no existía en ese entonces y el éxito de Faraday consistió en demostrar que una corriente podía producirse por “magnetismo”

En términos del campo, ahora se puede decir que un campo magnético que varía con el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de producir una corriente en un circuito cerrado adecuado.

Ley de Faraday

Una fuerza electromotriz no es otra cosa que un voltaje procedente de los conductores que se mueven en un campo magnético o de campos magnéticos variantes, que serán definidos mas adelante. Se acostumbra expresar la ley de Faraday como

La ecuación anterior implica una trayectoria cerrada, aunque no necesariamente conductora; la trayectoria cerrada, por ejemplo puede incluir un capacitor o ser solamente una línea imaginaria en el espacio.

𝑓𝑒𝑚=𝑑∅𝑑𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠(𝑉 )

Ley de Faraday

El flujo magnético es el flujo que cruza a través de cualquier superficie cuyo perímetro sea una trayectoria cerrada y es la razón de cambio de dicho flujo con respecto al tiempo.

Un valor diferente de cero de puede ser el resultado de cualquiera de las siguientes situaciones

1. Un flujo que cambia con el tiempo circundando una trayectoria cerrada fija.2. El movimiento relativo entre un flujo estable y una trayectoria cerrada.3. Una combinación de las dos.

𝑓𝑒𝑚=𝑑∅𝑑𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠(𝑉 )

Ley de Faraday

El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal que produce una corriente, cuyo flujo si se suma al flujo original, reducirá la magnitud de la fem. Este enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para producir un flujo opuesto se conoce como la ley de Lenz.

Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas, por lo general es suficientemente preciso considerar las vueltas como coincidentes y hacer

Donde se interpreta como el flujo que pasa a través de cualquiera de las N trayectorias coincidentes.

𝑓𝑒𝑚=−𝑁 𝑑∅𝑑𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠(𝑉 )

Ley de Faraday

Además también la podemos definir de la siguientes manera a través de una trayectoria cerrada especifica

𝑓𝑒𝑚=−𝑁 𝑑∅𝑑𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠(𝑉 )

𝑓𝑒𝑚=∮𝐸 ∙𝑑𝐿=− 𝑑𝑑𝑡 ∫𝑆

❑

𝐵 ∙𝑑𝑆

Ley de Faraday

Ademas consideraremos el concepto de fem de movimiento. La fuerza sobre una carga que se mueve a la velocidad en el campo magnético es

Y la fuerza por unidad de carga, se llama intensidad del campo eléctrico móvil

𝐸𝑚=𝑣×𝐵

𝐹=𝑄𝑣×𝐵

Problema

Problema 0 Dado en el espacio libre, encontrar la fem desarrollada en la dirección

alrededor de la trayectoria cerrada que tiene sus esquinas en:

Problema

Solución Inciso a El flujo del campo magnético a través de una superficie se define:

Pero sabemos que la cantidad de flujo magnético es

∅𝑚=∫𝑆

❑

𝐻𝑑𝑠

∅𝑚=∫0

1

∫0

1

300𝜇0𝑐𝑜𝑠 (3×108 𝑡− 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦=300𝜇𝑜 𝑠𝑒𝑛 (3×108 𝑡−𝑦 )|10∅𝑚=300𝜇𝑜 [ 𝑠𝑒𝑛 (3×108𝑡−1 )−𝑠𝑒𝑛 (3×108 𝑡 ) ]𝑊𝑏

Problema

Solución Entonces la fem es la siguiente

𝑓𝑒𝑚=− 𝑑∅𝑑𝑡 =300 (3×108 ) (4𝜋 ×10− 7 ) [ 𝑠𝑒𝑛 (3×108 𝑡−1 )−𝑠𝑒𝑛 (3×108𝑡 ) ]

𝑓𝑒𝑚=−1.13×105 [𝑐𝑜𝑠 (3×108 𝑡−1 )−𝑐𝑜𝑠 (3×108 𝑡 ) ]𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

Problema

Solución Inciso b

Por lo tanto la fem es 0

∅𝑚=∫0

2𝜋

∫0

2 𝜋

300𝜇0𝑐𝑜𝑠 (3×108 𝑡− 𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦=2𝜋 ×300𝜇𝑜 𝑠𝑒𝑛 (3×108𝑡− 𝑦 )|2𝜋0

∅𝑚=0𝑊𝑏

Ecuaciones de Maxwell

El comportamiento de la intensidad del campo eléctrico y de la densidad de flujo eléctrico a través de dos materiales se examino que los campos eran estáticos. Un tratamiento similar se dará ahora a la intensidad del campo magnético y a la densidad de flujo magnético , de nuevo con campos estáticos.

También se trato el concepto de densidad de corriente de desplazamiento y se examino la ley de Faraday. Esas mismas ecuaciones y otras desarrolladas antes se agrupan para formar un conjunto conocido como las ecuaciones de Maxwell.

Estas ecuaciones son le fundamento de toda teoría de los campos electromagnéticos.


Un campo estático E puede existir en ausencia de un campo magnético . Un condensador con carga estática constituye un ejemplo. De la misma manera, un conductor con una corriente constante tiene un campo magnético sin que haya un campo . Sin embargo, cuando los campos son variables con el tiempo no puede existir sin ni puede existir sin .

En tanto que mucha valiosa información puede derivarse de la teoría de campos estáticos, la teoría completa de los campos electromagnéticos solo puede ser demostrada con campos variables en el tiempo.

Los experimentos de Faraday y Hertz y los análisis teóricos de Maxwell involucran todos los campos variables en el tiempo.


Las ecuaciones agrupadas abajo, llamadas ecuaciones de Maxwell, se presenta la forma mas general donde tanto cargas como corriente de conducción pueden estar presentes en la región.

Ecuaciones de MaxwellForma Puntual Forma Integral


Obsérvese que las formas puntual e integral de las primeras dos ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de Stokes, mientras que la forma mas puntual e integral de las ultimas dos ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de divergencia.

Para espacio vacío, donde no hay cargas y no hay corrientes las ecuaciones de Maxwell toman la forma siguiente:

Ecuaciones de MaxwellForma Puntual Forma Integral (sobre una

superficie y aplicando el Teorema de Stoke

A través de la ley de ampere

A través de la ley de Faraday, esta ecuación muestra que un campo variante en el tiempo produce un campo eléctrico.

Establece que la densidad de carga es una fuente (o sumidero) de líneas de flujo eléctrico.

Reconoce el hecho de que se desconoce la existencia de “cargas magnéticas” o polos.

Ecuaciones de Maxwell, conjunto de espacio libre


La primera y segunda ecuación de forma puntual en espacio pueden usarse para mostrar que los campos y variables con el tiempo no pueden existir independientemente.

La forma puntual de las ecuaciones de Maxwell se usa mas frecuentemente en los problemas. Sin embargo la forma integral es importante porque despliega las leyes físicas básicas.


Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en la frontera de , las cuales son necesarias para evaluar las constantes obtenidas al resolver las ecuaciones de Maxwell en forma de ecuaciones diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no cambian en general la forma que tienen para los campos estáticos o estables y se pueden utilizar los mismos métodos para obtenerlas.


Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética. Son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo magnético el campo eléctrico y el magnético entre sí y con sus fuentes, cargas y densidades de corriente.

Las ecuaciones auxiliares que relacionan 𝐷=𝜖 𝐸 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

𝐵=𝜇 𝐻 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎


Que define la densidad de corriente de conducción

Y que define la densidad de corriente de convección en términos de la densidad de carga volumétrica

Son necesarias para definir y relacionar las cantidades que aparecen en las ecuaciones de Maxwell

𝐽=𝜌𝑉 𝑉

𝐽=𝜎 𝐸


Problema 1 Dado en el espacio vacío, halle . Dibuje y en .


Solución

La ecuación de Maxwell da

|𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

0 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 0 |=−𝜕 𝐵𝜕𝑡


Solución


Solución

Donde la constante de integración, que es un campo estático, ha sido despreciada. Entonces

Densidad de flujo Magnético

𝐻 (𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜)=−𝛽 𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 ( 𝜔𝑡−𝛽 𝑧 ) 𝑎𝑥


Solución Obsérvese que son mutuamente perpendiculares. En . La figura muestra que los dos campos a lo largo del eje ,

suponiendo que son positivos.


Problemas 2 Demuestre que los campos del problema anterior constituyen una onda

que viaja en dirección . Verifique que la velocidad de la onda y dependen sólo de las propiedades del espacio vacío.


Solución varían ambos como . Un estado dado de se caracteriza entonces por

Pero ésta es la ecuación de un plano que se mueve con velocidad𝜔 𝑡−𝛽 𝑧=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒=𝜔𝑡 ó 𝑧=

𝜔𝛽 ( 𝑡−𝑡𝑜 )

𝑐=𝜔𝛽


Solución En la dirección de su normal, Se supone que tanto , como , son

positivos. Para negativo, la dirección del movimiento seria ). De esta manera el patrón completo de la figura anterior se mueve por el eje con velocidad .

La ecuación de maxwell da

|𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

− 𝛽 𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 0 0 |= 𝜕

𝜕𝑡 [𝜖𝑜 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑦 ]


Solución La ecuación de maxwell da

−𝑎𝑦| 𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕𝑧

− 𝛽 𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 0 |+𝑎𝑧| 𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕 𝑧− 𝛽 𝐸𝑚

𝜔 𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 0 |= 𝜕

𝜕𝑡 [𝜖𝑜 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 𝑎𝑦 ]


Solución

Por lo tanto

Mas aún


Problemas 3 S en el espacio vacío. Halle .


Solución

| 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

𝐻𝑚𝑒 𝑗 (𝜔𝑡+𝐵𝑧 ) 0 0 |=𝜕 𝐷𝜕𝑡 ⟹−𝑎𝑥| 𝜕

𝜕 𝑥𝜕

𝜕 𝑧𝐻𝑚𝑒 𝑗 (𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 |+𝑎𝑦| 𝜕

𝜕 𝑥𝜕

𝜕 𝑦𝐻𝑚𝑒 𝑗 (𝜔𝑡+𝐵𝑧 ) 0 |


Solución

| 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

𝐻𝑚𝑒 𝑗 (𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0 |=𝜕 𝐷𝜕𝑡


Solución Integramos Y por lo tanto


Problemas 4 Dado en el espacio vacío. Halle .


Problemas 4 Solución Esta es una onda plana, esencialmente la misma del problema 1

(excepto que allí estaba en la dirección de en la dirección de ). El resultado del problema 2 para cualquier onda como esa en el espacio vacío fue:

Por lo tanto dela primera ecuación despejamos


Problemas 4 Solución Para fijar el signo de , aplicamos :


Problemas 4 Lo que demuestra que debe ser negativo.

Potencia y Vector Poyting

Se escribe la primera ecuación de Maxwell para una región de conductividad y luego se toma el producto escalar de con cada término:

Donde, como es usual, . E utiliza la identidad vectorial para cambiar el lado izquierdo de la ecuación.

𝛻×𝐻=𝜎 𝐸+𝜖 𝜕 𝐸𝜕𝑡

𝐸 ∙ (𝛻×𝐻 )=𝜎 𝐸2+𝐸 ∙𝜖 𝜕 𝐸𝜕𝑡


Por la segunda ecuación de Maxwell, tenemos

Similarmente,

𝐻 ∙ (𝛻×𝐸 )−𝛻 ∙ ( 𝐸×𝐻 )=𝜎 𝐸2+𝐸 ∙𝜖 𝜕 𝐸𝜕𝑡

𝐻 ∙ (𝛻×𝐸 )=𝐻 ∙(−𝜇 𝜕 𝐸𝜕𝑡 )=− 𝜇

2𝜕 𝐻 2

𝜕𝑡

𝐸 ∙𝜖 𝜕 𝐸𝜕𝑡 =

𝜖2

𝜕 𝐸2

𝜕𝑡


Sustituyendo y reordenando términos,

Si esta igualdad es valida, entonces la integración de sus términos sobre un volumen general debe ser valida también

Donde el ultimo término ha sido convertido a una integral sobre la superficie de mediante el teorema de divergencia.

𝜎 𝐸2=− 𝜖 𝜕 𝐸2

𝜕𝑡 − 𝜇2

𝜕 𝐻 2

𝜕𝑡 −𝛻 ∙ ( 𝐸×𝐻 )

∫𝑣

❑

𝜎 𝐸2=−∫𝑣

❑ 𝜖𝜕 𝐸2

𝜕𝑡 − 𝜇2

𝜕 𝐻2

𝜕𝑡 −∮𝑆

❑

( 𝐸×𝐻 ) ∙𝑑𝑆


La integral de la izquierda tiene unidades watts y es el termino óhmico conocido para representar la energía disipada en calor por unidad de tiempo. Esta energía disipada tiene su fuente en las integrales de la derecha. Como son las densidades de energía almacenadas en los campos eléctrico y magnético respectivamente, las derivadas negativas respecto del tiempo pueden considerarse como una disminución en esta energía almacenada. Por consiguiente, la integral final (incluyendo el signo menos) debe ser la tasa de energía que penetra el volumen desde fuera. Un cambio de signo produce el valor instantáneo de energía que abandona el volumen:

𝑃 (𝑡 )=∮𝑆

❑

( 𝐸×𝐻 ) ∙𝑑𝑆=∮𝑆

❑

℘ ∙𝑑𝑆


Para ondas planas, la dirección del flujo de energía es la dirección de propagación. De esta manera, el vector Poynting ofrece una forma una forma útil y libre del sistema de coordenadas de hallar la dirección de propagación es conocida. Esto puede tener mucho valor cuando se examinan ondas incidentes, transmitidas y reflejadas.

℘𝑝𝑟𝑜𝑚=12 𝑅𝑒 ( 𝐸×𝐻∗ )


Donde es el vector de Poyting, tasa instantánea de flujo de energía por unidad de área en un punto.

En el producto vectorial que define el vector de Poyting, los campos se suponen reales. Pero si, se expresan en forman compleja y dependen en común del tiempo, entonces el promedio de tiempo de esta dado por

Donde es la conjugada compleja de H. De esto se sigue la potencia compleja del análisis de circuitos, , de la

que la potencia es la parte real,

℘𝑝𝑟𝑜𝑚=12 𝑅𝑒 ( 𝐸×𝐻∗ )


Problema 5 Una onda viajera está descrita por . Dibuje la onda en y en , cuando ha

avanzado , si la velocidad es de y si la frecuencia angular y el mismo tiempo


Solución La onda avanza en un periodo, . Por tanto


Solución

La onda se muestra en en la figura a. A una distancia de dos veces la frecuencia, la longitud de onda es la mitad y la constante de de fase es dos veces el valor anterior. En la figura b, en toda la onda avanzo también 236 m pero esta distancia es ahora

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