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FÍSICA II

VIBRACIONES MECÁNICAS

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ETSI MINAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A

LOS RECURSOS NATURALES

2 T1 Vibraciones mecánicas

– ÍNDICE

» 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.

» 1.2. Movimiento armónico simple.

» 1.3. Oscilador armónico amortiguado

» 1.4. Vibraciones forzadas. Resonancia.

» 1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad.

» 1.6. Aplicación a sistemas mecánicos simples.

– BIBLIOGRAFÍA:

» Alonso y Fin; Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. 1995

» Sears et al.; Física Universitaria, Vol.1. 2004

» Tipler; Física, Vol.1, Ed Reverté. 1988.

» A.P. French; Vibraciones y Ondas, Ed Reverté. 1993.

3 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.

– Introducción

Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto

material o de un cuerpo rígido en torno a su posición de

equilibrio.

x (t+T)=x(t) T=periodo

Existe un esquema de movimiento que se repite una y otra vez.

El esquema de la oscilación puede ser sencillo o

extremadamente complejo.


» Fenómenos relacionados con el movimiento ondulatorio:

• Terremotos.

• Cristales, átomos, moléculas.

• Estructuras.

• Tierra.

• Circuitos eléctricos.

• Péndulo oscilante.

• Movimiento de los pistones de un motor de coche


– ¿Por qué estudiar vibraciones?

» Seguridad y medio ambiente

» Análisis dinámico en ingeniería

• Esfuerzos, tensiones y pérdidas de energía

• Materiales más ligeros y mayores velocidades

• Posibilidad de modelización numérica

– Facilidad para modificar el diseño

– Validación de modelos

• Simplificar los modelos y posteriormente refinar

• Ruidos audibles (18 Hz - 20 kHz)

• Vibraciones

– Intensidad y frecuencia

– Tiempo de exposición y partes en contacto

– Aspectos psicológicos


» Mantenimiento predictivo

» Caracterización de materiales

• Constantes elásticas

• Estado de fatiga

• Medida de espesores

• Detección de defectos


– En general, en todo movimiento vibratorio se

producen tres fenómenos energéticos:

» Un almacenamiento de energía potencial en los elementos

elásticos.

» Un almacenamiento de energía cinética (en las masas e inercias).

» Una pérdida gradual de energía en los elementos disipativos

(amortiguadores).

Vibraciones

Libres Forzadas

No amortiguadas Amortiguadas No amortiguadas Amortiguadas


– Elementos de un sistema oscilatorio

» Elementos elásticos: k

• Si los elementos elásticos tienen un comportamiento lineal,

la fuerza recuperadora es proporcional a la deformación

• Los elementos elásticos representan aquellos fenómenos físicos susceptibles de almacenar energía (energía potencial elástica) y devolverla integramente al sistema.

F=kx k: constante del resorte o rigidez del elemento (N/m)

x: deformación


• Los elementos inercia (masas) son asumidos como sólidos

rígidos, que pueden ganar o perder energía cinética cuando

varía su velocidad. Según la segunda ley de Newton:

• La energía cinética almacenada es:

m

» Inercias (masas):


» Amortiguamiento:

• En los sistemas reales se producen pérdidas de energía

causadas por el rozamiento:

– Rozamiento viscoso: cuando los cuerpos se mueven a

través de fluidos viscosos. Producen una fuerza

opuesta al movimiento y proporcional a la velocidad

relativa entre los dos elementos.

Fv=cv

c: coeficiente de amortiguamiento (Ns/m)

– Rozamiento de fricción seca (Coulomb): cuando el

sólido se desliza a través de una superficie seca.

F=µN

c


– Ecuación general de un sistema masa-resorte » Grados de libertad: nº de coordenadas necesarias para

especificar la posición de un sistema en cualquier instante de tiempo.

» La selección de un modelo matemático adecuado permite reducir un sistema a un número discreto de grados de libertad e incluso solo a uno.

» 1 G.L. masa-resorte (traslación). Movimiento libre

12

» Forzado no amortiguado

» Forzado amortiguado

1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.


– Equivalencia entre los sistemas de rotación y traslación

M

kt

» Péndulo simple

mg

TL

» Péndulo compuesto » 1GL rotación

x

y

G

mg

l

14 Equivalente formal entre sistemas de rotación y traslación

L

M0sen t

1.2. Movimiento armónico simple.

• El movimiento vibratorio más sencillo es el movimiento armónico simple (m.a.s.). La variación que determina la

posición de la partícula o del sistema, respecto de la

posición de equilibrio, es función armónica del tiempo.

• Cualquier oscilación periódica se puede descomponer en

una suma algebraica de oscilaciones armónicas.

• Una partícula se mueve con movimiento armónico simple

cuando su posición está dada por una expresión del tipo:

15

» x: elongación.

» A: amplitud de oscilación.

» Fase: = t+0

» Fase inicial: 0

16 1.2. Movimiento armónico simple.

» Periodo, T, es el tiempo que tarda la partícula o sistema en pasar dos

veces por la misma posición:

» El nº de oscilaciones que la partícula realiza por unidad de tiempo

es la inversa del periodo y se denomina frecuencia, f :

» La cantidad se denomina frecuencia angular o pulsación del

movimiento:

17 1.2. Movimiento armónico simple.

» Significado de la fase inicial 0

p /2

0 t

p 3p /2 2p-f

x 1x 2

0

18 1.2. Movimiento armónico simple

– Sistema de un grado de libertad. Vibraciones libres sin amortiguamiento

» El modelo más sencillo para un sistema discreto de un grado de libertad está formado

por un resorte unido por uno de sus extremos

a una masa y por el otro a una referencia fija.

» Separamos la masa de su situación de reposo y la dejamos vibrar

libremente suponiendo que no existe ningún fenómeno disipativo.

» Si x representa el desplazamiento de la

masa, en dirección horizontal, medido desde

la posición de equilibrio de esta, la fuerza

con la que es atraída la masa al punto de equilibrio será de la forma: F=kx.


» Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del

movimiento:

» La solución de esta ecuación diferencial lineal homogénea de 2º

orden es del tipo:

» A = amplitud

» 0 = desfase inicial

» n = frecuencia angular

» Derivando dos veces:

» Sustituyendo en la ecuación del movimiento:


» Se define la frecuencia (angular) natural como:

» La frecuencia natural o propia solo depende de la rigidez k y

de la masa m.

» El periodo de la vibración propia o natural será:

» El número de ciclos que se repite el movimiento cada segundo

cuando el sistema vibra libremente es la frecuencia natural fn (Hz):


» Los valores de la amplitud A y del desfase inicial 0 se obtienen

a partir de la posición inicial x0 y la velocidad v0 en el instante t=0 (condiciones iniciales).

» La solución de la ecuación se puede expresar también como:

Condiciones iniciales:


» Conocida la solución de la ED para el desplazamiento, se puede determinar la velocidad y aceleración simplemente

derivando la expresión del desplazamiento:

• Desplazamiento:

• Velocidad:

• Aceleración:

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiempo (s)

Am

pli

tud

Desplazamiento Velocidad Aceleración


» Características:

• Se repite a intervalos regulares.

• El periodo de oscilación no depende de la amplitud.

• En las posiciones extremas la velocidad es nula.

• La velocidad es máxima en el punto medio de la

oscilación.

• La fuerza restauradora en cualquier punto del

movimiento es proporcional a su distancia al punto

central.


– Representación compleja del movimiento vibratorio

» El movimiento armónico puede

ser representado por un vector

giratorio o fasor de módulo A girando con velocidad angular

n cte:

» Si se proyecta el vector en los ejes horizontal y vertical se

obtiene el vector giratorio de componentes:

» La solución de la ecuación de un

movimiento vibratorio armónico simple se puede escribir en forma compleja como:




– Energía del movimiento armónico simple » La energía cinética de una partícula o sistema que realiza un m.a.s. es:

» El trabajo realizado por una fuerza para producir una deformación x:

que será igual a la energía potencial de deformación.

Ek es máxima en el centro (x=0) y cero en los extremos

de oscilación (x=A).


» Energía potencial de deformación:

EP es mínima (cero) en el centro (x=0), aumenta al aumentar la

elongación, siendo máxima en los extremos de oscilación (x=A).

» Energía total del movimiento

armónico simple:

-A +A

T=1/2 k(A2-x2)

Ox

T

U

U (x)U =1/2 kx2

E=1/2 kA2

P1 P2


O

E3

E1E2

x

v

ab

A-A

-

a=(2E/k)1/2=A

b=(2E/m)1/2=A=(k/m)1/2=b/a

– Espacio de estados (fases):

» Variables de estado: posición y velocidad


– Composición de dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y frecuencia

• Dados dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y frecuencia:

• El movimiento al que está sometido la partícula como resultado de

la superposición de estos dos movimientos es:

• Haciendo:


» Conclusión:

• El movimiento resultante de la superposición de dos

movimientos armónicos de igual dirección y frecuencia

es un movimiento armónico de igual frecuencia y

dirección, cuya amplitud y fase son las dadas por las

expresiones anteriores.

• Se obtiene:


» Utilizando vectores giratorios:


• En fase:

• En oposición de fase:

» Ejemplos

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