EKONOMETRIA IRAKASGAIAREN AZTERKETEN BILDUMAetporlij/recopilacion_de_examenes...ARIKETA EL 2003.3 (03eko urtarrila) 96 ARIKETA EL 2003.4 (03eko ekaina) 97 ARIKETA EL 2003.5 (03eko

EKONOMETRIAIRAKASGAIAREN

AZTERKETENBILDUMA

c© UPV/EHU 2011eko otsaila

Bilduma honen erreprodukzioa eta baita bere kopien banaketa egitea baimenik gabe, debekaturik dago.Halaber beste eskubide infrakzioak egitea ere. Publikatzeeskubide guztiak UPV/EHUko Ekonomia etaEnpresa Zientzia Fakultateko Ekonometria eta Estatistikaren Sailak ditu.

c©UPV/EHU 2011

Egileak:Alonso AuroraArteche JosuDı́az-Emparanza IgnacioEsteban M. VictoriaFernández AnaGoitisolo BeatrizGallastegui InmaculadaMariel PetrModroño Juan IMoral M.PazMurillo IñakiOguiza AinhoaOrbe SusanOrbe JesusRegúlez MartaVirto JorgeZubia Marian

Edukia

ARIKETA PZ-O.1 (93ko otsaila) 1


ARIKETA PZ-O.3 (93ko ekaina) 1


ARIKETA PZ-O.6 (93ko iraila) 2






















ARIKETA PZ-E.1 (93ko otsaila) 14




ARIKETA PZ-E.6 (93ko ekaina) 16


ARIKETA PZ-E.8 (93ko iraila) 17







ARIKETA PZ-E.18 (95eko otsaila) 20



ARIKETA PZ-E.21 (95eko ekaina) 22




ARIKETA PZ-E.26 (95eko iraila) 24

ARIKETA PZ-E.27 (95eko iraila) 24






















ARIKETA EL-1997.1 (97ko ekaina) 38



ARIKETA EL-1997.4 (97ko iraila) 39



ARIKETA EAZL 1997.1 (97ko ekaina) 40


ARIKETA EAZL 1997.3 (97ko iraila) 41



ARIKETA EL 1998.1 (98ko ekaina) 43




ARIKETA EL 1998.5 (98ko iraila) 45















ARIKETA LE/LADE-1999.1 (99ko iraila) 56




















ARIKETA EL 2001.1 (01eko ekaina) 70



ARIKETA EL 2001.4 (01eko iraila) 72




ARIKETA EAZL 2001.1 (01eko ekaina) 74



ARIKETA EAZL 2001.4 (01eko iraila) 78


















ARIKETA EAZL 2002.8 (02ko abendua) 93






ARIKETA EL 2003.1 (03eko urtarrila) 95








GALDEKETA EAZL-2003 (Ekai-2003) 102

GALDEKETA EAZL-2003 (Irai-2003) 117

ARIKETA EAZL-2004.1 (Ekaina-2004) 131




ARIKETA EAZL-2004.5 (Iraila-2004) 133
































PLANGINTZA ZAHARREKOARIKETAK

ARIKETA PZ-O.1 (93ko otsaila)

Enpresa baten inbertsioa (Yi) eta mozkinen (Zi) arteko erlazioa ezaguna da:

Yi = α + βZi + ui

nonui perturbazio aleatoria den. 100 enpsesetako aldagaien datuak izanik, eredukoα etaβ parametroakKarratu Txikienen Arrunten bitartez estimatu nahi dira.

1. Mozkin handia duten enpresen inbertsioa, mozkin txikia duten enpresena baino aldakorragoa delasusmatzen da, hau da bar(Yi|Zi), Zi-ren funtzio gorakor bat dela.

a) Erregresio lineal ereduaren zein hipotesi ez da betetzen?

b) Zeintzu ondorio dauzka honekα etaβren KTAko estimazioetan?

c) Zeintzu ondorio dauzkâαKTA eta β̂KTA-ren bariantzen estimatzaileen gain, hau daσ̂2(X ′X)−1

ren gain?

2. Eredu linealeko erregresioan oinarrizko hipotesi guztiak betetzen direlarik eta perturbazioak bana-ketazko funtzio normal baten bitartez banatzen ez direlarik:

a) Zer gertatzen dâαKTA etaβ̂KTA ren propietateekin ?

b) Ohiturazko t-estatistikoa erabilizH0 : β = 0 hipotesiaren kontrastean, zer esan dezakezubere baliogarritasunari buruz? Asintotikoki baliagarriada? Zergatik?


Esan ezazu, zergatia azalduz, ea hurrengo baieztapena egiazkoa edo faltsua den:

Yt = a + bYt−1 + cXt + ut

ut = 0, 5ut−1 + ǫt ǫt ∼ NI(0, σ2)

ereduan Karratu Txikien Arrunten metodoaren bitarteza, b etac-ren estimatzaile tinkoak lortzen dira.

ARIKETA PZ-O.3 (93ko ekaina)

Kontsidera ezazu ondorengo eredua:Yt = α + βXt + ut

nonXt erregresore ez estokastikoa den etaut ∼ N(0, σ2t )∀t.

1

1. Zeintzuk diraα etaβren KTAko estimatzaileen propietateak? Deriba ezazu bere banaketa.

2. Azal ezazu nola lortuko zenukeen KTAko estimatzaileen propietateak baino hobeagoak dituenα etaβ ren beste estimatzaile alternatiboren bat. Nolako arazoa sortzen daσ2t , t = 1, . . . , Tbalioak ezezagunak izanez gero? Nola konponduko zenuke arazo hau?

3. σ2t ∀t ezagunak direla suposatuz, azal ezazu zehatz-mehatzH0 : β = 1 hipotesia kontrastatzekoerabidea.


Kontsidera ezazu ondorengo eredua:Yt = α + βXt + ut

nonXt ondorengo pozedura estokastikoak sortutako erregresore aleatorioa den:

Xt = 0, 7Xt−1 + vt vt ∼ ibb(0, σ2v) ∀t

Azal itzazuα etaβ ren KTAko estimatzaileen propietateak ondorengo kasu bakoitzean eta baita propie-tate hobeagoak dituen beste estimatzaile alternatiboren bat proposatuko zenukeen ala ez ere.

1. ut etavt perturbazioak aldagai aleatorio independenteak dira etaut ∼ NIB(0, σ2u),∀t.

2. ut etavt aldagai aleatorio independenteak dira nonut = 0, 5ut−1 + ǫt etaǫt ∼ NIB(0, σ2ǫ ),∀t.

3. ut etavt aldagai aleatorioak dira, nonut ∼ NIB(0, σ2u) eta

E(utvs) =

{5 si t = s0 si t 6= s ∀t,∀s.

ARIKETA PZ-O.6 (93ko iraila)

Azal ezazu hurrengo ereduaren koefizienteen KTAko estimatzaileek nolako propietateak dituzten:

Yt = aYt−1 + bXt + Ut Ut ∼ ibb(0, σ2)

Zer gertatuko litzateke perturbazioek hurrengo jokaera balute: Ut = ρUt−1 + et, et ∼ N(0, σ2e )?


Kontsidera ezazu ondorengo eredu dinamikoa:

Yt = α + β1Yt−1 + β2Xt−1 + β3Xt−2 + Ut t = 1, . . . , T

2

nonUt = ρUt−1 + ǫt ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ) etaXt erregresore finkoa den∀t.

1. Aipatu eta azal itzazu KTAko estimatzaileen propietateak ondorengo kasu bakoitzean:

a) β1 = 0 denean.

b) ρ = 0 denean.

c) β1 = 0 etaρ = 0 direnean.

d) Parametro guztiak zerotik ezberdinak direnean.

2. Komenigarria diren kasuetan, proposa ezazu beste estimatzaile alternatiboaren bat, zure aukerarenzergatia azalduz.


Ikertzaile batek, nazio baten kontsumorako propentzio marginala estimatu nahi du serie denboralekourteroko datuekin eta KTAk erabiliz, ondorengo ereduan:

Kt = α + β1Ydt + β2Tt + Ut t = 1, . . . , T

nonUt ∼ ibb(0, σ2u), E(Y dt Ut) = 0 etaE(TtUt) = 0Kt : Kontsumoa den.Y dt : Errenta erabilgarria den.Tt : Zergen biltzea den.

Arazoa, errenta erabilgarria behagarria ez delako sortzenda, behatzen dena baterako errenta delarik,Yt,zeina errenta erabilgarriarekin ondorengo expresioaren bitartez erlazionatzen dela uste den:

Yt = Ydt + ǫt ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ )

E(Y dt ǫt) = 0 E(ǫtUt) = 0 E(Ttǫt) = 0

β1 etaβ2 KTAen bitartez estimatzeko orduan, eredua behagarriak diren aldagaiekin kontsideratzen ba-dugu,β1ren KTAko estimatzailea tinkoa izango al da? Zergatik? Etaβ2rena? Azal ezazu zure erantzuna.

3


Izan bedi:Yt = α + βXt + γYt−2 + ut

non Xt ∀t ez estokastikoa den etut lehen ordenako batezbesteko higikorren autokoerlazioa duen.

KTAko estimatzaileak tinkoak al dira? Efizienteak? Azal ezazu zehazki zure erantzunen zergatiak etaproposa ezazu estimazio metodo alternatiboren bat.


Izan bedi ondorengo eredua:

Yt = α + βXt + ut t = 1, . . . , T

non:E(u2t ) = σ2t

E(ut) = 0E(utus) = 0 baldint 6= s Xt ez estokastikoa

a) Lor ezazuα eta βren KTAko estimatzailea, alboragabea den ala ez frogatuz. Lor ezazu berebariantz-kobariantz matrizea.

b) Ereduko parametroen KTAko estimatzaileak erabiliz,H0 : β = 0 hipotesia kontrastatzeko behin-tzat asintotikoki baliagarria den estatistikoa zein izango litzateke? Zergatik?

c) σ2t = σ2X2t izanez, nola lor daitezkeα etaβren estimatzaile efizienteak? Arrazona ezazu zure

erantzuna.

d) Nola kontrastatu daitekeσ2t = σ2X2t dela? Azal ezazu erabiliko zenukeen kontrastearen prozedura

zehatz-mehatz, hipotesi hutsa eta alternatiboa adieraziz.


Herri bateko ardo eskariarentzat ondorengo zehazpena proposatu da:

Qt = β1Pt + ut

nonut ∼ ibb(0, 0,0921) den. Beste aldetik, prezioa (Pt) kantitatearekin,Qt, era berdinean determinat-zen denez,Pt utrekin koerlatuta egon daitekela susmatzen da. Gainera, gordeketa kostu indizearen,St,balioak dauzkagu, zeintzuk exogenoki determinatzen diren. Berazutrekiko independentea dela kontsi-deratu daiteke. 1955-1975 urtetako ondorengo hiruhilabeteko datuak emanik:

4

∑PtQt = 1, 78∑P 2t = 0, 507∑StQt = 2, 754

∑S2t = 2, 1417∑PtSt = 0, 50

a) Erabil ezazu Hausmanen kontrastea susmo hori kontrastatzeko, kontrastearen funtzionamenduaazalduz.(Laguntza: hipotesi hutsaren menpeanq̂′[Bar(q̂)]−1q̂ estatistikoak k askatasun gradu di-tuenX 2 batera banaketan konbergitzen du kasu honetan.)

b) Kontrastearen emaitzak emanik, zein estimatzaile aukeratuko zenuke? Zergatik?


Ikertzaile batek, Bizkaiko eta Arabako kontsumo funtzioa,errenta eta populazioaren funtzioan aztertze-ko, ondorengo eredua proposatzen du:

KBt = β1RBt + β2P

Bt + u

Bt t = 1, .., T

KAt = γ1RAt + γ2P

At + u

At t = 1, .., T

nonKBt , RBt etaP

Bt t uneko kontsumo, errenta eta populazioa diren Bizkaiarentzat, etaK

At , R

At etaP

At

Arabari dagozkionak.

Ondorengo ataletanazal ezazuereduko parametroak estimatzeko metodo efizienteren bat. Aipatu eza-zu kasu bakoitzean, eredua, perturbazioen bariantz-kobariantz matrizea eta ea estimatzeko metodorikbaliokideren bat existitzen den. Arrazona ezazu erantzuna.

a) uBt ∼ ibb(0, 2), uAt ∼ ibb(0, 4), kob(uBt , uAs ) = 0, edozein t,s.

b) uBt ∼ ibb(0, 2), uAt ∼ ibb(0, 4), kob(uBt , uAs ) = 3 edozein t=s eta 0 bestelako kasuan.

c) β1 = γ1, uBt ∼ ibb(0, 2), uAt ∼ ibb(0, 4), kob(uBt , uAs ) = 0, edozein t,s.

d) bar(uBt ) = 2PBt , bar(u

At ) = 4, kob(u

Bt , u

As ) = 0, edozein t,s.

e) bar(uBt ) = 2 etauAt = 0,5u

At−1 + ǫt, nonǫt ∼ ibb(0, 1), kob(uBt , uAs ) = 0 edozein t,s.


Arrazona ezazuhurrengo baieztapenak egiazkoak ala gezurrezkoak diren.

a) Ordezkako Aldagaien estimatzailea Karratu Txikienen Arruntetako estimatzailea baino orokorra-goa da, azken hau lehenengokoaren kasu berezi bat bezala ikusi daitekelako.

5

b) Erregresio eredu batetan, heterozedastizitatearen existentziak ez duinolako arazorik sorteraztenKarratu Txikienen Arruntetako estimazioan, baldin eta bariantz-kobariantz matrizearen estimatzai-le tinko bat erabiltzen bada koefizientei buruzko hipotesiak kontrastatzerakoan, adibidez Whitenestimatzailea.

c) Durbin-Watsonen kontrastea ez da egokia baldin eta aldagai endogenoaren atzerapenak badaude,ez da ere aldagai exogenoen atzerapenak agertzen badira.

d) Erregresio lineal orokorreko ereduan, erregresoreak estokastikoak baldin badira etaE(Xitut) =0 (i = 1, 2, ...K, t = 1, 2, ....T ) betetzen bada, orduan KTAko estimatzaileek dituzten pro-pietateak bai lagin txikietan, bai lagin handietan, erregresore finkoak kontsideratuko bagenituenkasuaren bezalakoak dira.


Zinemazale batek, nazio eta atzerritar filmek duten ikuslegoa eta funtzionamenduan dauden gela komer-tzialen arteko erlazioa analizatu nahi du. Ondorengo aldagaien urteroko datuak dauzka Bizkaiarentzat1980tik eta 1992rarte:

Y1t = nazio filmen ikusle kopurua milakoetan.

Y2t = atzerritar filmen ikusle kopurua milakoetan.

Xt = funtzionamenduan dauden merkatal gelen kopurua.

Filme mota bakoitzarentzat ekuazio bat estimatzerakoan KTAen bitartez, ondorengo emaitzak lortu ditu:

Ŷ1t = 1372, 44583(2,38)

− 43, 6473(-1,9869)

Xt + 0, 415071(2,7487)

X2t

R21 = 0, 9571 R̄21 = 0, 94858 HKB1 = 1699384, 61 DW1 = 2, 59

Ŷ2t = 8138, 47121(2,4812)

− 193, 3502(-2,2203)

Xt + 1, 694243(3,14984)

X2t

R22 = 0, 89693 R̄22 = 0, 876316 HKB2 = 2655102, 64 DW2 = 1, 6316

a) Kontrasta ezazu filme mota bakoitzarentzat eta%5eko esangura maila erabiliz, ea ikusle kopu-rua eta funtzionamenduan dauden gela kopuruaren arteko erlazioa kuadratikoa den. Zehaz itzazukontrastea oinarritzen den balizkoen gain, hipotesi hutsaeta alternatiboa ere.

b) Zertarako erabiltzen daDW estatistikoa? Definitu ezazu. Lortutako emaitzak emanik, arazorenbat dagoela esan al daiteke?

6

c) Filme bakoitzaren bariantzak denboran zehar konstanteak direla suposatuz, erabil ezazu Goldfeldeta Quandten kontrastea%5eko esangura mailarekin, nazio eta atzerritar filmei dagozkien ba-riantzak berdinak direla kontrastatzeko. Zehaz itzazu kontrastea oinarritzen den balizkoen gain,hipotesi hutsa eta alternatiboa ere.

Ondoren zinemazaleak hurrengo eredua estimatzen du Karratu Txikienen Arrunten bitartez:

Yit = β1 + β2Xt + β3X2t + Uit i = 1, 2 t = 1980, . . . , 1992

eta lortutako emaitzak hauek dira:

Ŷit = 4010, 51535(2,8097)

− 95, 52055(-2,5206)

Xt + 0, 837716(3,578875)

X2t

HKB3 = 58892726, 9

e) Kontrasta ezazu%5eko esangura mailarekin, ikusle kopurua eta funtzionamenduan dauden mer-katal gelak erlazionatzen dituen ekuazioaren parametroak, filme nazional eta atzerritarrentzat ber-dinak direlaren hipotesi hutsa.


Ondorengo eredua emanik:

Yt = βXt + Ut Ut ∼ ibb(0, σ2u)etaXt ez estokastikoa da. Ekonometrak ez duXt aldagaia behatzen, bainaXt-ri hurbiltzen zaionX∗tbeste aldagai baten behaketak dauzka :

X∗t = Xt + ǫt ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ )non

E(ǫtut) = 0 ∀t

a) Froga ezazuXt-ren ordezX∗t erabiltzeak, ondorengo eredukoβ̂KTA estimatzailea ez tinkoak dela.

Yt = βX∗t + vt t = 1, ..., T

b) Zein estimazio metodo erabili dezakezuβren estimatzaile tinko bat lortzeko? Idatz ezazu propo-satu duzun estimatzailearen formula eta baita tinkoa izateko behar dituzun baldintzak ere.


Kontsidera ezazu ondorengo eredua:

Yt = β1 + β2Xt + β3Yt−1 + Ut

nonUt = ρUt−1 + ǫt, | ρ |< 1 eta ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ )

7

a) β1, β2 etaβ3ren KTAko estimatzaileak linealak eta alboragabeak al dira? Zergatik? Arrazona ezazuerantzuna.

b) β1, β2 etaβ3ren KTAko estimatzaileak tinkoak al dira? Zergatik? Arrazona ezazu zure erantzuna.

c) Ordezko aldagaien estimatzailea erabili nahi baldin baduguβ1, β2 etaβ3 parametroen estimatzailetinkoak lortzeko,Yt−2, Yt−1ren ordezkako aldagai egokia al da? Zergatik?


Merkatari batek, 1960-1995 epeko oihal kontsumoa(Y ) aztertu nahi du errenta erabilgarriaren funtzioan(X). Urte hauentzat dauzkan behaketak populazio talde birenakdira: Emakumeak eta Gizonak. Propo-satzen duen eredua ondorengoa da:

Y Et = αE + βEXEt + U

Et U

Et ∼ NIB(0, σ2E) t = 1960, ..., 1995.

Y Gt = αG + βGXGt + U

Gt U

Gt ∼ NIB(0, σ2G) t = 1960, ..., 1995.

nonE goi-indizea emakumeazkoari dagokio etaG, gizonezkoari. Merkatari honek zehazpen hau propo-satzen du, zeren eta emakumeak gizonekiko kontsumo autonomo eta kontsumorako propentsio marginalaezberdina daukatela pentsatzen bait du.

a) Lagin biak independenteak etaσ2E = σ2G direla suposatzen bada, nola burutuko zenuke kontraste

bat, merkatariaren ustea baieztatzeko? Zehaz itzazu hipotesi nulua, alternatiboa, estatistikoa berebanaketarekin eta erabakitze araua.

b) Lagin biak independenteak suposatzen badira bainaσ2E 6= σ2G, aurreko atalean egindako kontrasteazuzena izango al litzateke? Erabil ahal dezakegu Whitek proposatutako KTAko estimatzailearenbariantz-kobariantz matrizearen estimatzailea arazo haukonpontzeko? Azal ezazu nola egingozenukeen kontrastea azken hau erabiliz.


Enpresa batek produktu baten laborazio kostu totalak estimatu nahi ditu, fabrikazioan erabilitako lehen-gaien funtzioan. Honetarako zehaztu duen eredua ondorengoa da:

Kt = β1 + β2LHt + Ut

a) 80 tamainuko lagin batekin, enpresako ekonomilariak eredua KTAn bitartez estimatzen du etaDurbin-Watson estatistikoaren balioaDW = 0, 8846 da. Zer adierazten du estatistiko honen ba-lioak?

8

b) Ekonomilari honek ereduaren zehazpena beharbada okerraizan daitekela uste du. Barnean daudenaldagaiekiko koerlatuta dagoen aldagairen bat kanpoan utzi duelakoan dago.Zt aldagai azaltzailebaten behaketak dauzka, zeinaUtrekiko independentea den etaLHtrekin oso koerlatuta dagoen.Kontrasta al daiteke arazo honen existentzia Hausmanen kontrastearen bitartez? Azal ezazu zehatz-mehatz nola burutuko zenukeen kontraste hau.

c) Zehazpen txarraren arazoa konpontzeko egokia izango al litzateke Cochranne-Orcutten metodoa?Zein soluzio proposatuko zenuke? Arrazona ezazu zure erantzuna.


1990. urtean, errenta per kapitak(RTA), turismo kostetan(K) duen eragina analizatu nahi da. Europako20 herrialdeen sekzio gurutzatutako datuak erabiliz ondorengo emaitzak lortu dira KTAk erabiltzerakoan:

K̂i = 0, 41556(0, 422)

+ 0, 06743(0, 0067)

RTAi R2 = 0, 87358 HKB = 262, 9587

Heterozedastizitate existentziaren susmoa dago, bariantza herrialde populazioarekin,(POPi), erlaziogorakor bat duela susmatzen da.

a) Kontrasta ezazu susmo hau ondoren ematen den informazioarekin. Arrazona ezazu zure erantzunaeta adieraz ezazu hipotesi hutsa eta alternatiboa.

Û2i = −2, 68901(4, 238)

+ 0, 152(0, 0732)

RTAi − 0, 000257(0, 000176)

RTA2i + ŵ1i R2 = 0, 4

Û2i13, 15

= α̂0 + α̂1POPi + ŵ2i R2 = 0, 871 HKB = 3, 1102181

b) Aurreko kontrastearen emaitzak kontutan harturik, zeinestimazio metodo erabiliko zenuke? Zer-gatik? Idatz ezazu nola lortuko zenukeen estimatzaile horieta izenda itzazu bere propietateak.


A etaB bi udal auzo, beraien kontsumo portaeraren ikerketa bat egin nahi dute. Horretarako ondorengoekuazioak zehazten dituzte:

KAt = α1RAt + α2P

At + U

At t = 1, .., T U

At ∼ NIB(0, σ2A)

KBt = β1RBt + β2P

Bt + U

Bt t = 1, .., T U

Bt ∼ NIB(0, σ2B)

nonKjt j udalaren kontsumoa dent unean,Rjt j udalaren familien batezbesteko errenta dent unean eta

P jt j udalaren populazioa dent unean nonj = A,B.

9

E(UAt UBs ) =

{σAB t = s baldin bada0 bestelako kasuan

Adieraz ezazu ondorengo kasu bakoitzarentzat nola kontrastatuko zenukeen hipotesi hutsa bakoitza. Azalezazu arrazonatuz, zein estimazio metodo aukeratzen duzun, kontrastearen estatistikoa eta kontrasteabaliogarria izateko behar diren balizkoak.

a) σAB = 1, σ2A = 2, σ2B = 2 baldin bada. Kontrasta ezazuH0 : α1 + α2 = 0 hipotesia.

b) σAB = 0, σ2A = 2, σ2B = 1 baldin bada. Kontrasta ezazuH0 : α2 = β2 hipotesia.


Enpresa bateko analista batek, enpresa horretako salmentak azaltzeko eredu bat proposatzearen aginduajaso du. Asko pentsatu ondoren, hurrengo eredua proposatzen du:

St = β0 + β1Ht + β2Pt + Ut (1)

non:St: t hilabeteko salmentak diren.Ht: t hilabetean lan egindako orduak diren.Pt: t hilabetean egindako produktuak duten prezioa den.

Aldagai hauen azken 24 hilabeteko datuak hartuz, eredua estimatzen du ondorengo emaitzak lortuz:(parentesi barnekoak desbiderazio estimatuak dira)

Ŝt = 1, 73(0,27)

+ 0, 77(1,03)

Ht + 1, 24(0,42)

Pt (2)

R2 = 0, 943 DW = 0, 14

eta bere nagusiari ematen dizkio. Honek, emaitzak begiratzen ditu eta ziklo ekonomikoa azaltzen duenaldagairen bat barneratzea agintzen dio.

a) Azal ezazu nagusiak emandako aginduaren zergatia.

b) Eredu berria estimatuz lortzen dituen emaitzak hauek dira:

Ŝt = 2, 14(1,2)

+ 0, 03(0,14)

Ht + 1, 22(0,14)

Pt + 0, 79(0,23)

Zt (3)

R2 = 0, 987 DW = 2, 01

10

non Zt t hilabeteko ziklo ekonomikoa neurtzen duen aldagaia den. Interpreta itzazu lortutakoemaitzak eta azal ezazu ea nagusiak arrazoia izan duen ala ez.

c) DemagunZt aldagaiak, ziklo ekonomikoa ez duela zehaztasun osoz neurtzen, baizik eta hurbilketabat dela. Zeintzu ondorio lekarzke egite honek (3) ekuazioko estimazioen gain?


Plangintza zaharreko, laugarren mailako Ekonomiako ikasleen ekonometriako notak,YZ , eta plangintzaberriko, hirugarren mailako Ekonomiako ikasleen ekonometriako notak,YB, aztertu nahi dira. Horreta-rako hurrengo eredua eraiki da:

Y Zi = α1 + β1XZi + γ1Z

Zi + u

Zi u

Zi ∼ NIB(0, σ2) (1)

Y Bi = α2 + β2XBi + γ2Z

Bi + u

Bi u

Bi ∼ NIB(0, σ2) (2)

nonuZi etauBi independenteak diren eta

Y si : i ikaslearen nota den.

Xsi : i ikaslearen ikasketa orduen kopurua den.

Zsi : i ikaslearen beste ikasgaien batezbesteko nota den.

(s = Z, ikaslea Plangintza Zaharrekoa bada etas = B, Plangintza Berrikoa bada).

1. Nola kontrastatuko zenuke bi ekuazioen koefizienteak berdinak direla?Idatz itzazu murriztu gabeko eta murriztutako ereduak eta zehaz itzazu hipotesi hutsa, alternatiboa,kontrastearen estatistikoa eta erabakitze araua.

2. Suposa ezazu aurreko kontrastea egiteko datuak dituzula, aurrera eramaten duzula eta lortzen du-zun ondorioa hipotesi hutsaez baztertzearenadela.

b.1) Nola estimatuko zenituzke ekuazioen parametroak?

b.2) Zehaz ezazu, hasierako Plangintza Zaharreko ereduan,ikasleen sexuak notengain eraginaduelaren egitea biltzen duen eredua.

b.3) Sexu aldagaia esanguratsua balitz Plan Zaharreko ikasleen notak aztertzerakoan, zein da ho-nek edukiko lukeen eragina 1) atalean egindako kontrastearengain?


Izan bedi hurrengo eredua:Yt = α + βXt + ut

11

Esan ezazu hurrengo baieztapenak egiazkoak ala gezurrezkoak diren eta zergatik (kontrakoa ez bada esa-ten ELEOeko hipotesiak betetzen dira). Azter ezazu baieztapen bakoitza bestearekiko independentikoki.

1. ut ∼ NIB(0, σ2) bada, eredu honen KTAko estimatzailea, KTZen kasu berezi bat da.

2. Xt estokastikoa bada, honen eta perturbazioaren arteko kobariantza zero izanik, KTAko estimat-zailearen propietateak ez dira aldatzen.

3. Perturbazioa heterozedastikoa bada eta ez badugu bere egitura ezagutzen, KTAn bidezko estima-zioan ez dago Ho:β = 0 hipotesi hutsa kontrastatzeko erarik, ez da asintotikoki ere.

4. Neurketa errore bat baldin badago aldagai azaltzailerenbatean, Durbin-Watson estatistikoa erabilidezakegu autokoerlazioaren existentzia kontrastatzeko.

5. Teoria Ekonomiko batek,X eta Z bi aldagaiek,Y aldagaiarengan eragin positiboa dutela dio.Hipotesi hau kontrastatzeko, ekonometra batek hurrengo erregresioak estimatzea eta koefizienteenseinua aztertzea erabakitzen du:

Yt = α1 + β1Xt + ut ut ∼ ibbN(0, σ2u)Yt = α2 + β2Zt + wt wt ∼ ibbN(0, σ2w)

β1 > 0 etaβ2 > 0 ez badira baztertzen, teoria ekonomikoa onartzen da.


Brasileko inflazioa (Y1) eta Argentinako inflazioa (Y2) aztertzeko, hurrengo eredua proposatzen da

Y1t = α1 + β1X1t + u1t u1t ∼ NIB(0, σ21)Y2t = α2 + β2X2t + u2t u2t ∼ NIB(0, σ22)

nonX1t etaX2t Brasileko eta Argentinako diru eskaintzaren hazkundeak dirent ilean, hurrenez hurren.Laginak tamainu ezberdinekoak dira, independenteak eta bariantza ezberdinekoak.

BRASIL ARGENTINA

X ′1X1 =

(50 2525 100

)X ′2X2 =

(150 2525 500

)

X ′1Y1 =

(40

160

)X ′2Y2 =

(60

300

)

T1 = 50 T2 = 150

Y ′1Y1 = 450 Y′2Y2 = 2700

12

1. Froga ezazu teorikokiKTAko parametroen estimatzailea herrialde bakoitzean etaKTZn estimat-zailea baterako ereduan baliokideak direla. Zein da emaitzhonen atzean dagoen ideia?

2. Lor itzazu estimazio hauen balioak eta baita dagozkien bariantz-kobariantz matrizeak.

3. Nola kontrastatuko zenuke bi herrialdeen parametroak berdinak direlaren hipotesia?

4. Suposa dezagun parametroen berdinketaez duzulabaztertzen. Azal eta baiezta ezazu nola estima-tuko zenukeen murriztutako eredua.


1997 urtean, Euskal Herriko produkzio industrialeko faktore eragintsuenak aztertu nahi ditugu. Horre-tarako, gehien erabiltzen den forma funtzionala aukeratzen dugu, hau da, Cobb-Douglasen produkziofuntzioa. Honek, produkzioa faktore produktiboen funtzioan adierazten du, hurrengo erlazioaren bitar-tez:

Yi = A · Lαi · Kβi · IDγi · eui

nonYi : produkzioa den. Li: okupatuen kopurua den.Ki : kapital pribatua den. IDi : Ikerketa eta Garapeneko inbertsioa (I+G) den.A : konstantea den. eui : perturbazio aleatorioa den.

Eredu honetan, normalean kontutan hartzen ditugun faktoreaz gain, okupatuen kopurua eta kapital pri-batuaren stocka, I+G-en egindako inbertsioa ere barneratzen dugu (IDi).

Nepertar logaritmoak hartzen ditugu funtzioa linealizatzeko, honela, estimatuko dugun erlazioa hurren-goa dugu:

ln Yi = a + α · ln Li + β · ln Ki + γ · ln IDi + ui

Industria sektoreari buruzko 350 enpresetako datuak ditugu. Badakigu lana eta kapitalari dagokionez,enpresa hauek nahiko homogeneoak direla beraien artean; baina nahiko heterogeneoak I+G faktorearidagokionez.

a) Nola kontrastatuko zenuke eskala errendimendu konstanteenHo, hau da,α + β + γ = 1? Zehazitzazu elementu guztiak: kontrastearen estatistikoa, banaketaH0 pean, noiz onartuko zenukenH0,eta idatz ezazu ereduaH0 suposiziopean eta baitaHa suposiziopean ere.

b) Ikertzaile batek, I+G aldagaiak heterozedastizitatea sorterazten duela pentsatzen du; zehazki,Bar(ui) =k(ln IDi), nonk > 0 den. Nola kontrastatuko zenuke arrazoia duen ala ez? Azal ezazu zehazki,kontrastearen prozesu osoa.

Suposa ezazu aurreko kontrastea egin ondoren, b) atalean emandako heterozedastizitatea dagoela onar-tzen duzula.

d) Ba al dago problemarik a) atalean egindako kontrastearekin?

13

e) Zein da,eredu zehatz honentzat, KTZ estimazio erizpidea? Idatz itzazu erizpide funtzioa etaestimatzailea. Azal ezazu zergatik kasu honetan KTZn estimatzailea KTAko estimatzailea bainoegokiagoa den.


Izan bedi hurrengo eredua:Yt = α + βXt + ut , t = 1, ..., T,

nonXt ez estokastikoa den,E(ut) = 0 eta

E[UU ′] =

σ21 0 · · · 00 σ22 · · · 0...

..... .

...0 0 · · · σ2T

1. Nola kontrastatuko zenukeσ2t = σ2X4t dela? Azal ezazu zehazki kontrastearen prozedura.

2. σ2t = σ2X4t bada, azal ezazu zehazki nola lortuko zenituzkeenα etaβren estimatzaile efizienteak.


Izan bedi hurrengo eredua:

Yt = β1Xt + β2Yt−1 + ut

ut = εt − θεt−1, εt ∼ ibb(0, σ2ε ),nonXt aldagai ez estokastikoa den.

1. Zein daut etaYt−1-ren arteko kobariantza?

2. Azal ezazu zeintzu ondorio dituen aurreko atalean eman duzun erantzunakβ1 etaβ2-ren KTAkoestimatzaileen propietateen gain.

3. Plantea ezazu, existitzen bada, KTAko estimatzaileak baino propietate hobeagoak dituen besteestimatzaileren bat. Arrazona ezazu zure erantzuna.

ARIKETA PZ-E.1 (93ko otsaila)

Burtsako inbertsore batek DC-ko errendimendua(DRAt) eta Madrileko Boltsaren batezbesteko erren-dimenduaren arteko erlazioa ikertu nahi du. Arrazoi honengatik, ondorengo erlazioa zehaztu du:

(1) (DRAt − AZt) = α + β(MERt − AZt) + ut

14

nonAZ aktibo zihur baten errendimendua den (6 hilabetetarako Tesoroko Letrak) etaMER esandakoburtsaren batezbesteko errendimendua. Aurreko (1) ekuazioa estimatzeko 1990eko Madrileko Burtsaren260 kotizazio eguneko erabili dira.

a) (MERt − AZt) aldagai aleatorioa dela kontutan harturik etaE[(MERt − AZt)ut] = 0 dela su-posatuz, zeintzuk dira KTAko estimatzaileen propietateak? Ezagutzen al duzu estimazio metodoegokiagorik? Azken honen erantzuna baiezkoa izatearen kasuan, zein da eta zergatik?

b) Nola erantzuko zenioke aurreko ataleko galderariut = ρut−1 + εt non εt ∼ NID(0, σ2)eta ρ < 1 balitz?


Gasolinaren kontsumoa eta enpresa baten prezioaren artekoerlazioa estimatu da urteroko datuekin etaKTAk erabiliz:

K̂t = 5278, 44 − 23, 36PtUrtea ût Urtea ût1980 -112,93 1986 58,551981 -74,53 1987 155,711982 9,46 1988 43,671983 33,75 1989 -19,901984 58,49 1990 -85,661985 59,33 1991 -125,96

1. Egin ezazu Durbin-Watsonen kontrastea. Interpreta ezazu emaitza eta azaldu ezazu zeintzuk direnbere ondorioak erabilitako estimazio metodoaren gain.

2. Suposa ezazu kontsumo eta prezioaren arteko benetako erlazioa

Kt = β1 + β2Pt + β3P2t + ut

dela eta 10 urteko hileroko datuak dituzula. Aurreko ataleko KTAko estimatzaileen konklusioakmantentzen al dira? Arrazona ezazu erantzuna.

3. Enpresak, oporrak direla eta, ia abuztu osoan itxi egitendu. Zehaz ezazu eredu bat, zeinetan aipa-tutako gertakaria biltzen den. Interpreta itzazu bere koefizienteak.


Ondorengo eredu biekuazionala emanik:

Y1t = α1 + α2X2t + α3X3t + u1t u1t ∼ N(0, σ21) t = 1, · · · , T

Y2t = β1 + β2Z2t + β3Z3t + u2t u2t ∼ N(0, σ22) t = 1, · · · , T

15

Zehaz ezazu estimagarria den eredua bat eta azal ezazu nola estimatuko zenukeen ondorengo hipotesienmenpe:

E(u1tu2s) = 0 ∀t, sα1 = β1

E(u1tu2s) =

{σ12 t = s bada0 t 6= s bada ∀t, s


DemagunYt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut ereduan,Bar(ut) = tX22t konklusiora iritsi zarela. Estimazioprozedura bat eraldatutako ereduan KTAk aplikatzean datza, non eraldatutako ereduan perturbazioakhomozedastikoak diren. Idatz ezazu baldintza hori betetzen duen eraldatutako eredua.

ARIKETA PZ-E.6 (93ko ekaina)

Demagun ondorengo eredua:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, 2, · · · , Tnon:

E(ut) = 0 ∀tE(u2t ) =

1

X23t∀t

E(utus) = 0 ∀t 6= s

1. Idatz ezazu eraldatutako eredua, zeinetan perturbazioak homozedastikoak diren. Bila ezazu eral-datutako perturbazio hauen banaketa.

2. Ondorengo lau datuak emanik, idatz ezazu eraldatutako ereduaren X erregresore matrizea.

t 1 2 3 4X2t 0 1 1 2X3t 3 0,5 1 1


1. Suposa ezazu ondorengo eredua estimatzen saiatzen garela:

Yt = βo + β1X1t + β2X2t + ut t = 1, 2, 3, . . . , T (1)

ut ∼ ibb(0, σ2u) E(X2t, ut) 6= 0 (2)

16

zein estimazio metodo proposatuko zenuke? Azal itzazu hartutako erabakiaren arrazoiak eta baitazure estimatzailearekin nolako ezaugarriak lortuko zenituzken ere.

2. Beste ikertzaile batek, aureko (1) eredua zuzena ez dela oharterazten du, zeren

Yt = βo + β1X1t + β2X2t + β3X2t−1 + vt t = 1, 2, 3, . . . , T (3)

vt ∼ ibb(0, σ2v) (4)

ereduanE(X ′tvt) = 0 Xt = [X1t X2t X2t−1] betetzen bait da eta ondorioz, eredua KTAn bidezestimatu beharko dela. Zuzena al da ikertzaile honek dioena?

3. Eredu bietatik, bat estimatu beharko baldin bazenu, erabaki ezazu zein aukeratuko zenukeen etaazal ezazu arrazionalki zertan oinarritzen zaren zure aukera egiterakoan.

ARIKETA PZ-E.8 (93ko iraila)

Izan bediYt = α + βXt + ut eredua non E(u2t ) = tX2t den.

1. Yt etaXt-ren hiru behaketa ezagutuz, lor itzazu aurreko ereduarenα etaβ parametroen KTAkoestimazioak matrizialki.

t 1 2 3Yt 1 1 0Xt 1 -1 1

2. Kalkula ezazu KTAko estimatzailearen bariantz-kobariantz matrizea, ondorengo informazioa kon-tutan harturik:

E(u1u3) = E(u3u1) = 1

E(u1u2) = E(u2u1) = E(u2u3) = E(u3u2) = 0

3. Aurreko informazioa emanik, zeintzu propietate ditu KTAko estimatzaileak?

4. Ezagutzen al duzu propietate hobeagoak dituen estimatzailerik? Zein? Zeintzu propietate ditu?Idatz ezazu bere bariantz-kobariantz matrizea (ez ezazu estimatu, idatz ezazu formula bakarrik,bere elementu bakoitza zer den adieraziz).

5. Demagun hasierako ereduan, lehenengoko hipotesia bakarrik betetzen dela, hau da:

E(u2t ) = tX2t eta E(ut, us) = 0 ∀t, s t 6= s

Idatz ezazu eredu hau zuzentzen duen eraldatutako eredua eta froga ezazu perturbazioek bariantzakonstantea daukatela.

6. Estima ezazu matrizialki, eraldatutako ereduaren parametroak KTAn metodoaren bitartez.

17


1958-1993 epean Espainiar interes tasa errealak azaltzekoondorengo ekuazioa zehaztu da:

rt = β1 + β2 △ Dt + β3 △ Mt + ut t = 1958, ..., 1993

non r : Interes tipo erreala den.△D : Zor Publiko Stokaren hazkunde tasa den.△M : Diru eskaintzaren hazkunde tasa den.

Perturbazioen bariantza denboraren funtzio gorakorra dela susmatzen da. Behean errazten den informa-zioarekin, kontrasta ezazu perturbazioen bariantza txikiagoa zela lehen petrolio krisiaren aurretik biga-rren petrolio krisiaren ondoren baino.

1958 − 1971 : r̂t = 0, 88 + 0, 41 △ Dt + 0, 97 △ Mt1971∑

t=1958

û2t = 437

1980 − 1993 : r̂t = 1, 04 + 0, 37 △ Dt + 0, 91 △ Mt1993∑

t=1980

û2t = 612


Yt = α + βXt + ut t = 1, . . . , 6 eredua estimatzeko, ondorengo datuak ditugu:

t 1 2 3 4 5 6

Yt 5 0 −3 0 4 9Xt 1 2 4 5 6 6

Eskatzen da:

1. Estima itzazuα etaβ KTAen bitartez. Estima ezazu baitaσ2u ere.

2. Kontrasta ezazu autokoerlazioezaren hipotesi hutsa Durbin-Watson estatistikoa erabiliz eta %5ekoesanguratasun mailarentzat. Adieraz ezazu zein den hipotesi hutsa eta zein alternatiboa.

3. Errepresenta ezazu(Y,X) grafika batetan laginako datuak. Marraztu ezazu laginaren erregresiozuzena. Komenta ezazu (b) ataleko kontrastearen emaitzaren kausa posibleren bat. Beste eredurenbat proposatuko al zenuke? Zein?


Izan bedi ondorengo eredua :Yt = β1 + β2X1t + β3X2t + ut

18

non Yt : janarian egindako famili gastua.X1t : errenta familiarra den.X2t : familia barneko pertsonen kopurua den, (famili tamainua).

1. Bar(ut) = α1+α2X1t+α3X2t delaren susmoa izanik, azal ezazu nola burutuko zenuke Breusch-Paganen kontrastea. (Adieraz itzazu emango zenituzkeen pausu guztiak, hipotesi nulutik hasita etaerabakitze arauera heldu arte).

2. Eraman ezazu lehen atalean proposatutako kontrastea, 38behaketekin egindako KTAko erregre-sioaren emaitza hauek kontutan izanik:(parentesi artekoak t-estatistikoak)

Ŷt = 2, 24(0,84)

+ 0, 16(4,64)

X1t + 1, 45(2,76)

X2t R2 = 0, 45 HKB = 644,35

û2t16,95 = 29, 16

(1,95)+ 0, 42

(2,12)X1t + 6, 04

(2,61)X2t R

2 = 0, 24 HKB = 200, 03


A ikertzaile batek, ikasleen gastuak azaldu nahi ditu ondorengo ereduarekin:

Yi = α + βXi + ui i : 1, . . . , N (1)

non Yi : i ikaslearen gastua den.Xi : i ikaslearen sarrera den.

(1) ereduan oinarrizko hipotesiak betetzen dira, bereziki: E(ui) = 0Bar(ui) = σ

2u ∀i

E(uius) = 0 ∀i 6= s

Beste ikertzaile batek,B, klase bakoitzeko datuak taldekatzea hobeagoa dela dio, horrela eragiketakerrazten direlako. Ikasleak, 8 taldeetan banatuta daude, klase bakoitzeko ikasleen kopuruan1, n2, . . . ,n8izanik. B ikertzaileak beraz, aldagai bakoitzatik 8 behaketa erabiliko ditu, behaketa bakoitza talde ezber-din bakoitzari dagokiolarik.

Y j =∑nj

k=1Yk

njXj =

∑njk=1

Xknj

j : 1, 2, . . . , 8

Eraikitzen den eredua ondorengoa da:

Y j = α + βXj + vj j : 1, 2, . . . , 8

1. Zein davj-ren batazbestekoa eta bariantza?

2. Ikertzaile biak, beraien ereduak Karratu Txikienen Arrunten bidez estimatu nahi dute. Zein metododa egokiena kasu bakoitzean? Zergatik?

3. Klase guztietako ikasleen kopurua berdina izango balitz, aurreko atalean ateratako ondorioak al-datuko lirateke?

19


Ikertzaile batek

Yt = α + βXt + ut t = 1, . . . , T (2)

eredua estimatu nahi du, non X eta Y aldagai teorikoak diren.Eredu linealeko oinarrizko hipotesi guztiakbetetzen direla suposatzen dugu. Hala ere,Yt aldagaiaren balioak ez dira zuzenean ezagutzen, errorebatekin behatzen dira: Y ∗t = Yt + εt, non ε ∼ N(0, σ2εI) den.εt etaut independenteak direlasuposatuko dugu. Horrela, ikertzaileak dituen behaketekin ondorengo eredua estima dezakegu:

Y ∗t = α∗ + β∗Xt + u

∗t (3)

1. Analiza ezazu behatutako ereduko parametroen eta eredu zuzeneko parametroen arteko erlazioa,hau da, (3) ereduaren eta (2) ereduaren arteko erlazioa.

2. Deriba itzazuu∗t perturbazio berriaren propietateak.

3. α̂∗ etaβ̂∗ Karratu Txikienen Arruntetako estimatzaileak,α etaβren estimatzaile alboragabeak aldira?Xt aldagai estokastikoa izango balitz, nola aldatuko litzateke zure erantzuna? Froga ezazuguztia. Erantsi itzazu behar dituzun hipotesiak.


Izan bedi ondorengo eredua:Y = Xβ + u

non X matrize ez estokastikoa den,ut = εt − θεt−1 ε ∼ N(0, σ2εI).

a) Nolakoa daut perturbazioaren bariantz-kobariantz matrizearen itxura? Lor ezazu matrize horiθetaσ2ε -ren funtzioan.

b) θ ezezaguna dela kontsideratuz,

b.1) βren Karratu Txikienen Arruntetako estimatzailea alboragabea al da? Froga ezazu zure eran-tzuna.

b.2) βren Karratu Txikienen Eginkorren estimatzailea lineala alda? Alboragabea? Froga ezazuzure erantzuna.

ARIKETA PZ-E.18 (95eko otsaila)

Izan bediYt = α + βXt + ut eredua non oinarrizko hipotesi guztiak betetzen diren. OrduanY ∗t =Yt − Yt−1 aldagaiari dagokion eredua

Y ∗t = β(Xt − Xt−1) + u∗t (1)da, nonu∗t = ut − ut−1 den.

20

Kalkula ezazuu∗t -ren batezbestekoa eta bariantz-kobariantz matrizea.

Zein daY ∗t -ren bariantza?

Deriba ezazu (1) ereduaren malda KTAn bidez.

Proposa ezazu (1) ereduan parte hartzen duten parametroarentzat estimatzaile efiziente bat. Justi-fika ezazu zure aukera.


Ikertzaile batek, ekonomiaren egoera orokorra burtsa errendimenduaren eragile garrantzitsua delaren us-tea dauka. Horregatik aktibo baten errendimendua, (rt), eta ekonomiaren egoera orokorraren, (E), artekoerlazioa analizatzea pentsatu du.Ekonomiaren egoera, zuzenean behatu daiteken aldagaia ez delaren on-dorioz, bere ordez (IPIt), industri produkzioaren indizea erabiltzea erabakitzendu. Horrela aktiboarenerrentabilitatea azaltzeko ondorengo eredua proposatzendu:

rt = δ0 + δ1IPIt + ut u ∼ N(0, σ2uI)

Ekonomiaren egoera orokorrari hurbiltzen zaion aldagaia erabiltzeak, zeintzu ondorio dakartza parame-troen KTAko estimatzaileen propietateen gain? Arrazonatu.


Izan bediYi = α + βXi + ui i = 1, . . . , N

eredua non Bar(ui)=P 2i σ2 den.

Erabaki ezazu ondorengo ereduetatik, zein eredu dagoen behar den bezala eraldatuta heterozedastizita-tearen arazoa zuzentzeko. Azal ezazu zergatik.

PiYi = α + βPiXi + Piui

YiPi

=α

Pi+ β

XiPi

+uiPi

PiYi = αPi + βPiXi + Piui

YiPi

= α + βXiPi

+uiPi

21

ARIKETA PZ-E.21 (95eko ekaina)

CARPANTA eraikitzaile elkarteak, Donostian kokatua, hirihonetako etxebizitzen salmenta prezioak fin-katzeko ondorengo erlazioa erabiltzen du:

YDt = α + βRDt + δSDt + ut, u ∼ N(0, σ2u I) eta σ2u = 2 (1)

non:

YDt, t urtean salgai jarritako etxebizitzen batezbesteko prezioa den.

RDt, t urtean udaleko batezbesteko errenta familiarra den.

SDt, t urtean udalean dagoen gainalde eraikigarria den.

ondorengo informazioa emanik:

t YDt RDt SDt1988 3 1 11989 3 3 41990 4 4 31991 1 3 21992 3 2 11993 4 3 11994 3 3 4

a) Estima ezazu (1) eredua.

b) Kontrasta ezazuHo : δ = 1 hipotesi hutsa.

c) Kontrasta ezazuβ + δ = 4 hipotesia hutsa.


Eraikitzaile berberak Sorian ere lan egiten du. Hiri horretan prezioak ondorengo ekuazioan oinarrituzfinkatzen direla uste du gerenteak:

YSt = η + γRSt + vt, vt ∼ NID(0, σ2v) (2)

nonYSt etaRSt (1) ekuazioan bezala interpretatzen diren baina Soria hiriarekiko. Estimazioaren emait-zakurte berdinentzat ondorengoak dira;

ŶSt = 10, 2 + 3RSt, R2 = 0, 80 DW = 0, 5 (3)

a) Kontrasta ezazu lehen ordenako autokoerlazioaren existentzia.

22

b) Errenta familiarra aldagai esanguratsua al daYSt azaltzeko?

c) Gerentea bere aurreko erabakiaz oso zihur ez dagoenez, ondoren, hurrengo eredua estimatzen du:

YSt = η + γRSt + λSSt + vt vt ∼ NIB(0, σ2v) (4)

DW=2,01 balioko Durbin-Watsonen estatistikoa lortuz. Autokoerlazioa dagoela baieztatu al daite-ke? Emaitz hau kontutan harturik, nola zuzenduko zenituzkeaurreko ataleetako arazoak?


Aurreko (1) eta (4) ekuazioek eratutako sisteman, lagin biak independenteak direla suposatuz etaσ2u etaσ2v ezezagunak baina berdinak direla suposatuz,

a) Ho :(

γβ

)=

(33

)hipotesia kontrastatu nahi da. Idatz ezazu hipotesi hau kontrastatzeko

eredu egokiren bat, estatistikoa, bere banaketa eta dagokion erabakitze araua.

b) Hipotesi hutsa ez bada baztertzen, ba al dago estimazio hobeagoren bat lortzeko erarik, bariantzatxikiagoa izatearen zentzuan? Kasu honetan, nola estimatubeharko lirateke ekuazioak? Azal ezazuzehazki prozedimendua.


Kontsidera ezazu ondorengo eredua Errioxako Komunitate Autonomoaren ur hertsien erreserbentzat:

Yt = β0 + β1Yt−1 + β2Xt + ut, ut = ρut−1 + ǫt, ǫt ∼ NIB(0, σ2ǫ ) (5)

non

Yt = t urtearen azkenean dagoen ur hertsien bolumena den.

Xt = t urtean bildutako ur euriaren bolumena den.

Azal ezazu zehatz-mehatz zein den eredua estimatzeko metodorik egokienea hurrengo balizkoen men-pean:

a) ρ = 0

b) ρ = 0, 9

c) ρren balioa ezezaguna denean eta−1 < ρ < 1.

23

ARIKETA PZ-E.26 (95eko iraila)

Ikertzaile batek, 1983-1994 epeko Espainiar azalera txikietako janari komertzioetako ikerketa ekonome-triko bat egiten du.Inbentario maila (Yt) azaltzeko eredu egoki bat ondorengoa dela erabakitzen du:

Yt = α + βXt + ut

non Xt salmenten bolumena den. Datuen estalketa arazoarengatik,ez duXt-ren benetako datuak eza-gutzen etaX∗t erabiltzen du bere ordez. Bere ustez aldagai hauXt-renhurbilketa bezala erabil daiteke,hau da, aldagai bat zeina ondorengoa betetzen duen:

X∗t = Xt + ǫt

nonǫt, utrekiko koerlatu gabea den etaǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ).

a) Zehaz ezazu, ikertzaileak bere ikerketan erabiliko dueneredua. Eredu lineal orokorreko oinarrizkohipotesi guztiak betetzen al ditu?

b) Aurreko atalean proposatutako eredua KTAen bitartez estimatzea egokia al da?

c) rX∗t X∗t−1 = 0, 998 dela jakinik, zein estimazio metodo proposatuko zenuke a) ataleko ereduaren-tzat?

d) Zer gertatuko litzateke errorekin neurtuta legokeen aldagaia, aldagai endogenoa,Yt, izango balitz?

ARIKETA PZ-E.27 (95eko iraila)

Izan bedi:

Yt = β0 + β1Xt + β2Yt−2 + ut (1)

nonXt aldagai ez estokastikoa den.

a) Zehaz ezazu koefizienteen KTAko estimatzaileen propietateak (6) ereduan, baldin etaut = ρut−1+ǫt bada, non|ρ| < 1 etaǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ). Existitzen al da propietate hobeagoak dituen estimatzai-leren bat? Froga ezazu zure erantzuna.

b) Nola aldatzen zaizkizu a) ataleko ondorioak baldin etaut = ǫt + θǫt−1 bada? (ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ))


Izan bedi ondorengo eredua:

24

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut non t = 1, . . . , T.

Zehaz ezazu zeintzu koefiziente edo koefizienteen konbinazioak estimatu daitezkeen kasu bakoitzean,erabiliko zenukeen estimazio metodoa zehaztuz. (Oharra: Besterik ez denean esaten, eredu linealekooinarrizko hipotesiak betetzen dira.)

a) X3t = 5X2t + 4

b) E(u2t ) = αX2t nonα parametro ezezagun bat den.

c) E(u2t ) = α1 + α2t2 nonα1 etaα2 parametro ezezagunak diren.

d) 2β2 + β3 = 6


Ikertzaile batek, Espainiar familien tratamendu fiskalaren ikerketa bat egin du. Horretarako, ordaindutakozerga bateratua, (Yt), eta familien errenta bateratu osoaren, (Xt), arteko erlazio lineala zehazten du.Baina familien aldeko datuen estalketaren arazoa dela eta,benetako errenta bateratuarekin lan egin ordez,deklaratutako errentarekin,X∗t , lan egin behar izan du. Estimatu duen eredua ondorengoa da:

Yt = β1 + β2X∗t + ut (1)

a) Emandako ereduak erregresio linealeko ereduaren oinarrizko hipotesi guztiak betetzen ditu?

b) Eredua KTAn bitartez estimatzerakoan, ondorengo emaitzak lortu ditu:

Yt = −1, 92(−1, 79)

+ 1, 53(53, 64)

X∗t + ût DW = 1, 86 R2 = 0, 839

Eztabaida ezazu KTAn erabileraren egokitasuna (1) ereduan. Zure ondorioetan oinarrituz, inter-preta itzazu lortutako emaitzak.

c) rX∗t X∗t−1 = 0, 899 dela jakinik, zein estimazio metodo proposatuko zenuke (1)ereduarentzat?Komenta ezazu zergatia.


Analista batek, Espainiako sektore bakoitzaren hazkundea, Amerikar hazkunde orokorraren funtzioanerrepresentatzen duen eredu bat proposatzen du:

25

It = β1 + β2Xt + U1t, U1t ∼ NIB(0, σ21)Zt = α1 + α2Xt + U2t, U2t ∼ NIB(0, σ22)

nonU1t etaU2s aldagai independenteak diren∀t, s = 1, . . . , T

It, t urtean dagoen industriako BPGren aldakuntz tasa da aurrekourtearekiko.

Zt, t urtean dagoen zerbitzu sektoreko BPGren aldakuntz tasa da aurreko urtearekiko.

Xt, t urtean dagoen EEBBko BPG orokorraren aldakuntz tasa da aurreko urtearekiko.

1971-1990 tarteko urteroko datuekin ekuazio biak estimatuditu KTAk erabiliz (parentesi arteko datuaestimatzailearen desbidazio estimatua da):

Ît = −1, 375(0, 564)

+ 1, 459(0, 141)

Xt HKB = 38, 12

Ẑt = 1, 5304(0, 251)

+ 0, 635(0, 063)

Xt HKB = 7, 57

a) Zeintzu propietate ditu eredu honetako KTAko estimatzaileak?

b) Analista honek, industri sektorea, Amerikar ekonomiakozerbitzu sektorea baino sentikorragoadela pentsatzen du. Baiezta ezazu bere ideia ondorengo bi kontrasteak eginez:

b.1) Industri sektorea, Amerikar produktibitate talde osoarekiko sentikorragoa da baldin etaβ2,unitatea baino handiagoa bada.

b.2) Zerbitzu sektoreak, industriarenak baino sentikortasun gutxiago du baldin etaα2, β2 bainohandiagoa bada.

c) Erlazio bakoitzaren perturbazioak elkarrekiko independenteak izango ez balira,E(u1tu2t) = 0, 5 ∀t izanez, nola estimatuko zenituzke ereduko parametroak? Arrazona ezazuerantzuna era egoki batean.


Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + Ut

erregresio ereduanY , X2 etaX3 aldagaiak aleatorioak dira. 180 behaketa erabiliz, emandako ekuazioaKTAn eta OAn bitartez estimatu da. Hausmanen estatistikoarentzat,m = 5, 2ko balioa kalkulatu da.

a) Idatz ezazu Hausmanen estatistikoaren formula, bere banaketa eta azal ezazu zertarako balio duen.

b) Kasu honetan zer adierazten digu estatistikoaren balioak? Komenta itzazûβKTA etaβ̂OA estimat-zaileek dituzten propietateak (ez itzazu lagin handietakopropietateak ahaztu).

26


Enpresa batek bi eraikin dauzka, bat Iruñan eta bestea Madrilen. Bakoitzaren kostu funtzioak ondoren-goak dira:

K1t = α1 + α2W1t + α3Rt + α4Y1t + U1t t = 1, . . . , 50. (1)

K2t = β1 + β2W2t + β3Rt + β4Y2t + U2t t = 1, . . . , 50. (2)

Non:

Ki: i eraikinaren kosteak diren, noni = 1, 2 (1=Iruña, 2=Madril).

Wi: i eraikinaren alokairua den.

R: interes tipoa den, eraikin bientzat berdina.

Yi: i eraikinaren produkzioa den.

Ekuazio biak oinarrizko hipotesiak betetzen dituztela suposatzen da, hauen artean:σ2U1 = σ

2U2

= σ2, eta gaineraKob(U1t, U2s) = 0 ∀t, s

a) Azal ezazu zehatz-mehatzestimazio metodo egokiren batσ2-rentzat.

b) Aurreko (1) eta (2) ekuazioak estimatu ondoren,∑

Û21t = 1155 eta∑

Û22t = 1400 lortu dira.Plantea ezazu, alokairuak eta interes tipoak eraikin bietako kostuei era berdinean eragiten dutelarenkontrastea. Jar itzazuH0, Ha, nola estimatuko zenituzkeen kostu funtzioak, zein izangolitzatekeenmurriztutako eredua, kontrastea burutzeko estatistikoa eta erabakitze araua.


Erantzun ezazu ea hurrengo kuestioak egiazkoak edo gezurrezkoak diren eta azal ezazu zergatia.

a) Erregresio linealeko eredu batean, zeinetanX datu matrizea estokastikoa den,X perturbazioekikoindependentea denean, ez dago inolako arazorik KTAko estimazioan zeren estimatzailea alboraga-bea eta tinkoa bait da.

b) Ordezkako aldagaien estimatzailea beti denez tinkoa, KTAk baino nahiagoak izango dira beti.

c) Baliteke, sektore elektrikozko enpresa biren produkziofuntzioak batera estimatzeak, estimazio ho-beagoak ematea, ekuazio bakoitza bere aldetik estimatzeakbaino. Baita, produkzio funtzio bietakoparametroak desberdinak direnean ere.

d) Erregresio lineal orokorreko ereduan, perturbazioak heterozedastizitatea edo autokoerlazioa dute-nean eta KTAn bitartez estimatzerakoan, ezin da kontrasterik egin, nahiz eta bariantz-kobariantzmatrizea,E(UU ′) ezaguna izan.

27


Izan bedi ondorengo erdua:

Yt = β1Xt + β2Zt + Ut

Ut = εt + θ1εt−1 + θ2εt−2 εt ∼ ibb(0, σ2ε )(3)

nonXt etaZt aldagai ez estokastikoak diren.

a) Zein daU perturbazioaren bariantz-kobariantz matrizea?

b) Ikertzaile batekYt, Zt−1ren menpean ere dagoela uste du, hau da, aldagai azaltzaile baten epebateko atzerapenaren menpean, ondorioz aldagai hori ereduan barneratzen du. Nola aldatzen diraKTAko estimatzaileen propietateak?

c) Bigarren ikertzaile batekYt, Zt−1ren menpekoa ez dela uste du baizik etaYt−1ren menpean da-goela, zein da (4) ereduko koefizienteak estimatzeko metodorik egokiena? Arrazona ezazu zureerantzuna.

Yt = β1Xt + β2Zt + β3Yt−1 + Ut

Ut = εt + θ1εt−1 + θ2εt−2 εt ∼ ibb(0, σ2ε )(4)


Kt = β1 + β2Rt + Ut (1)

kontsumo eredua estimatu egin da Euskal Herriko KomunitateElkartearentzat (EHKE) 1965etik eta1994rarte. KTAn bitartez bi estimazio egin dira, bat lehen hamar datuentzat eta beste bat azken hama-rrentzat.

1965 − 1974 : K̂t = 22,699, 0 + 0, 336RtKTB1 = 9,703,500, 0 R

21 = 0, 85

1985 − 1994 : K̂t = 38,767, 0 + 0, 6542RtKTB2 = 457,036,363, 0 R

22 = 0, 78

a) Erabil ezazu Goldfield eta Quandten kontrastea epe bien artean homozedastizitatea dagoela egiaz-tatzeko.

b) Epe osoaren datuak erabiliz, (1965-1994), KTAen bitartez lortutako emaitzak ondorengoak dira:

Kt = 35,205, 0 + 0, 586Rt + Ût R2 = 0, 82 (2)

28

etaRt-rekiko erregresioa:

û2tσ̂2

= 64,519, 0 + 0, 52Rt + v̂t R2 = 0, 71 σ̂2 =

û′û

20HKB = 1,500 (3)

Azken bi erregresio hauek ematen duten informazioa erabiliz, kontrasta ezazu a) ataleko hipotesihutsa.

c) Aurreko ataletan lortutako emaitzak kontutan harturik,zein estimazio metodo erabiliko zenukekontsumo eredua azaltzeko? Zergatik? Azal ezazu zure arrazoia zehaztasunez.


DemagunYt = α + βXt + Ut ereduanon Ut = ρUt−1 + εt ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ).

a) ρ = 0, 5 dela jakinik eta hurrengo datuak erabiliz, estima ezazu emandako eredua efizienteki.

Yt Xt3 13 24 33 42 52 6

b) ρ ezezaguna izango balitz, nola estimatuko zenuke eredua?


Euskal Herriko Komunitate Autonomoan, Kapitalaren Stockak, (K), Balio Erantsi Gordinarengain, (BEG),duen eragina aztertzeko, hurrengo datuak ditugu:

t BEG-EH K-EH1987 30 601988 36 601989 38 611990 42 621991 49 651992 50 66

Datu hauekin, hurrengo erlazioa estimatu nahi dugu:

BEGEHt = α1 + α2 KEHt + ut non ut ∼ NID (0, σ2u)

29

1. Estima itzazu ereduaren parametroak KTAn bidez eta kontrasta ezazu Kapital Stockaren esangu-ratasuna.

Bestaldetik, Nafarroako Komunitate Autonomoarentzat eredu bera dugu:

BEGNt = β1 + β2 KNt + vt non vt ∼ NID (0, σ2v) eta t : 1987, . . . , 1992.

2. E(ut vt) 6= 0 dela jakinik, nola estimatuko zenituzkeα2 etaβ2? Idatz ezazu zehaztasunez ereduaeta erabiliko zenukeen estimatzailea.

3. E (ut vt) = σuv, σ2u etaσ2v ezagunak izango balira, nola estimatuko zenituzkeα2 etaβ2? Komenta

itzazu estimatzaile honen eta aurreko atalean erabili duzunaren arteko ezberdintasunak.


Kotxe aseguratzaile SEGURCAR enpresak, azken urtean istripuren bat deklaratu duten bezeroen arriskuegitura aztertu nahi du. Horretarako

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui i = 1, . . . , N eredua erabiltzen du, non

N: istripuren bat deklaratu duten bezero kopurua den.

Yi: i bezeroak deklaratutako istripuen kostua den pezetatan.

X2i: i bezeroaren adina den.

X3i: i bezeroak gidatzeko baimena lortu zuenetik igarotako urteak diren.

Azal ezazu zeintzu arazo aurkituko zenituzke eta zeintzu soluziorik emango zenituzke (soluziorik bale-go), ondorengo egoera ezberdinetan. Azter ezazu egora bakoitza bere aldetik.

1. Aseguratu askok, beraien polizak kontratatzean datuak faltsutu zituzten. Honela, gidatzen dutenakez dira hauek, baizik eta esperientzia gutxiago duten familiarrak. Ondorioz,X3i erroreaz neurtutadago.

2. Deklaratutako istripuen larritasunek (Yi), adin gutxieneko pertsonekin aldakortasun handiagoa du-te,Bar(ui) = σ2/X22i izanik.

30


Madrileko burtsaren dependentzia New York eta Londreseko burtsekiko aztertu nahi da. Honetarakohurrengo eredua definitzen dugu

MADt = β0 + β1LONt−1 + β2NYt−1 + ut t : 2, . . . , 30.

KTAn bidezko estimazioak, hurrengo emaitza ematen digu:

M̂ADt(Desb. tipikoak →)

= 0, 0095(0, 0032)

+ 0, 4990(0, 1200)

LONt−1 + 0, 1800(0, 1900)

NYt−1 DW = 0, 82 R2 = 0, 88 (1)

1. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen banakako esanguratasuna.

2. Kontrasta ezazu AR(1) motako autokoerlazioaren exitentzia. Zehaz itzazu argi, hipotesi hutsa etaalternatiboa, kontrastearen estatistikoa eta erabakitzearaua.

Geroago,MADt−1 aldagai azaltzailea barneratzen dugu ereduan eta datu berdinekin estimatzenda hurrengo emaitza lortuz:

MADt = 0, 0031(0, 0012)

+ 0, 1910(0, 0800)

MADt−1 + 0, 8400(0, 2460)

LONt−1 + 0, 0600(0, 0120)

NYt−1 + v̂t (2)

DW = 1, 9 izanik eta

v̂t = 0, 0001(0, 002)

+ 0, 03(0, 09)

v̂t−1 + 0, 009(0, 3)

MADt−1 + 0, 04(0, 1)

LONt−1 + 0, 006(0, 03)

NYt−1 + êt R2 = 0, 09

3. Kontrasta ezazu AR(1) autokoerlazioaren existentziavt-an.

4. Aurreko b) eta d) atalen emaitzen ondorioak kontutan hartuz, zer esan dezakezu (1) eta (2) ereduenbaliogarritasunari buruz?


Izan bedi hurrengo eredua

Yt = α + βYt−2 + γXt + δWt + ut non ut = ρut−1 + ǫt ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ )

nonXt etaWt aldagai ez estokastikoak diren.

a) Zeintzu propietate izango dituzte KTAkoα, β, γ etaδ estimatzaileek?

b) Propietateak egokiak ez direla baderitzozu, zure ustez zein estimatzaile izango litzateke egokia-goa?

31


Hurrengo taulan enpresa batean lan egiten duten langileen alokairuei buruzko datuak (Y ) eta lan egin-dako orduei buruzko datuak (X) ditugu. Gainera, langilea gizonezkoa (G) ala emakumezkoa (E) den,ezagutzen da:

Y 170 180 165 165 105 95 100 90∑

Y 2i = 153900∑

Yi = 1070X 40 50 30 40 50 35 40 35

∑Xi = 320

∑X2i = 13150

Sexua G G G G E E E E∑

XiYi = 43075

Enpresako langileen alokairuak azaltzeko, ikertzaile batek hurrengo eredua proposatzen du

Yi = α + βXi + ui ui ∼ NIB(0, σ2u)

a) Estima itzazu ereduaren parametroak KTAn bidez eta kontrasta ezazuX aldagaiaren esangurata-suna.

b) AR(1) motako autokoerlaziorik existitzen al da ereduko perturbazioetan?

c) Beste ikertzaile batek, alokairua zehazterakoan sexua aldagai esanguratsua dela pentsatzen du.Proposa eta estima ezazu hipotesi hau kontutan hartzen dueneredu bat. Kontrasta ezazu aurrekohipotesia.

d) Durbin eta Watsonen estatistikoak eredu honetan hartzenduen balioad = 2, 2 dela kontutan izanik,existitzen al da AR(1) motako autokoerlaziorik eredu honenperturbazioetan? Nola erlazionatzenda emaitza hau b) atalean lortutakoarekin?

e) X aldagaia esanguratsua al da? Nola azaltzen da emaitza hau a)atalean aurkitutakoa kontutanizanik?


Suposa ezazuX etaY aldagaiak elkar erlazionatzen direla hurrengo ereduaren bidez:

Yt = (Xt)β · ut t : 1, . . . , T. (1)

X aldagai ez estokastikoa izanik etaut perturbazio aleatorioa.

a) Nola linealizatuko zenuke (2) ekuazioa hurrengo ekuaziomota lortzeko?

Y ∗t = β∗X∗t + u

∗t t : 1, . . . , T. (2)

Zehazki, zein erlazio dago (2) eta (3) ekuazioetako aldagaieta parametroen artean?

b) Suposa ezazuE(u∗t ) = 0, E(u∗t u

∗s) = 0 ∀t 6= s etaBar(u∗t ) = k(X∗t )2 direla, k ezezaguna

delarik. Nola eraldatu beharko genuke (3) eredua, KTAn aplikazioaren bidez, bariantza minimoaduten estimatzaileak lortzeko?

32


Izan bedi ondorengo eredu lineal bakuna:

Yt = α + βXt + ut ut ∼ ibb(0, σ2u) (3)

a) Suposa ezazuXt aldagai aleatorio bat dela. Froga ezazu,X etauren arteko aldibereko koerla-ziorik ezaren baldintzapean, KTAko estimatzaileak tinkoak baina alboratuak direla. Zehaz ezazuargi eta garbiX aldagaiari buruz behar dituzun baldintzak.

b) Suposa ezazuXt finkoa dela eta 150 behaketako lagin batentzat lortutako KTAko emaitzak hu-rrengoak direla:

Yt = 1, 39(0, 2236)

+ 0, 2(0, 0173)

Xt + ût ρ̂ =

∑ûtût−1∑

û2t= 0, 3 (4)

non parentesi artean koefiziente estimatuen desbidazio tipikoa agertzen diren.

Kontrasta ezazu AR(1) motako autokoerlazioaren existentzia perturbazioetan.

c) Lortutako emaitzetan oinarrituz, zein uste duzu dela (4)ekuazioa estimatzeko erarik egokiena?

d) Suposa ezazuXt finkoa dela etaYt dagoela erroreaz neurtuta, honelaYt-ren datuak ez ditugubehatzen baizik etaY ∗t = Yt + ǫt-renak,ut ∼ (0, σ2u), ǫt ∼ (0, σ2ǫ ) etaKob(ut, ǫt) = 0 direlarik.Idatz ezazu estimagarria den eredu bat eta aipatu itzazu eredu honetako perturbazioen propietateak.Zein estimazio metodo proposatuko zenuke? Arrazona ezazu zure erantzuna.


Ikertzaile batek bi probintziatarako (1 eta 2 probintziak)hurrengo eredua proposatu du kotxeen salmentaazaltzeko, prezio eta errenta erabilgarria per kapitaren funtzioan.

V1t = α1 + β1P1t + γ1R1t + u1t u1t ∼ ibb (0, σ21) (1)V2t = α2 + β2P2t + γ2R2t + u2t u2t ∼ ibb (0, σ22) (2)

non:

σ21 etaσ22 ezezagunak diren.

E(u1t u2s) = 0 ∀t 6= s.

Pit, i probintziakot uneko prezioa den.

Vit, i probintziakot uneko salmentak diren.

Rit, i probintziakot uneko errenta per kapita den.

33

INTERPRETA itzazu hurrengo balizkoak eta azal ezazu zehazki nola estimatuko zenukeen (1) eta (2)ekuazioz osaturiko eredua hurrengo kasuetan (idatz ezazu eredua eta perturbazioen bariantz eta koba-riantz matrizea):

1. E(u1t u2t) = 0 ∀t

2. E(u1t u2t) = σ12 ezezaguna ∀t

3. E(u1t u2t) = 0 ∀tβ1 = β2

4. E(u1t u2t) = 5 ∀t eta nonσ21 = σ22 = 25 diren.α1 = α2 β1 = β2 γ1 = γ2


Ikertzaile batek hurrengo eredua proposatzen du:

Ct = βCt−1 + ut t = 1, . . . , T u ∼ N(0, σ2uI)

Ct, t uneko kontsumoa izanik.

1. Kasu honetan̂βKTA estimatzailea alboragabea al da? Eta tinkoa?

Bigarren ikertzaile batek beste eredu bat proposatzen du:

Ct = β1Xt + β2Ct−1 + ut t = 1, . . . , T

X Nazio Errenta izanik.X aldagai hau ez da behagarria baina errenta erabilgarriarenX∗ hurbilketabezala erabiltzen da. Hau daX∗t = Xt + ǫt, nonǫ ∼ N(0, σ2ǫ I) etau-rekiko independentea den.

2. Kasu honetan̂βKTA estimatzailea tinkoa al da? Froga ezazu.

3. Zein metodo deritzozu egokia eredu honetako parametroakestimatzeko? Zergatik?


Ikertzaile batek, istripuen kopuruaren, (Yt), matrikulatutako autoen kopurua, (Mt), eta gidatzeko baimenkopuruaren, (Pt), funtzioan azaltzeko, ondorengo eredua proposatzen du bai Bizkaia (B) bai Arabaren-tzat (A) :

Y Bt = β1MBt + β2P

Bt + u

Bt t = 1, . . . , T.

Y At = α1MAt + α2P

At + u

At t = 1, . . . , T.

Erantzun itzazu ondoko atal biak independenteki:

34

1. bar(uBt )=t2MBt , bar(u

At )=t

2MAt eta kob(uBt , u

As )=0 ∀t ∀s suposatuz,

a) Adieraz ezazu bateratutako ereduaren perturbazioen bariantz-kobariantz matrizearen egitura.

b) Proposa ezazu ereduko parametroak efizienteki estimatzeko metodoren bat.

c) α2 = β2 baldin bada, aldatzen al zaizkizu zure konklusioak? Arrazona ezazu.

2. Suposa ezazuuBt ∼ ibb(0, σ2), uAt ∼ ibb(0, σ2), kob(uBt , uAt )=σ12 eta kob(uBt , uAs )=0 ∀ t 6=s direla. KTAk estimatzeko metodo efiziente bat dela uste duzu? Kontsidera ezazuσ2 etaσ12ezagunak.


Herri batean egindako tabako ikerketa batek, ondorengo eredua aurkeztu du:

St = β1 + β2Pt + β3Gt + ut (1)

non

St: tabako enpresa nagusien salmentak diren (milaka unitateetan).

Pt: prezioak diren (1960ko unitate monetarioetan).

Gt: telebistan, irratian eta prentsan egindako publizitate gastuak diren (1960ko unitate monetarioe-tan).

1960-1979 epearen urteroko datuak erabiliz, KTAko estimazioen emaitzak ondorengoak dira:

β̂ =

β̂1β̂2β̂3

=

192, 89−2, 45

6, 52

, (X ′X)−1 =

T∑

Pt∑

Gt∑P 2t

∑PtGt∑G2t

−1

=

38, 228 −0, 508 −0, 6920, 012 0, 005

0, 016

û′û = 829, 575

1. Interpreta itzazuβ1, β2 etaβ3. β̂ estimazioen ikurrak esperotakoak al dira?

2. Kontrasta ezazu eaβ2 = 0 den. Interpreta itzazu bai kontrastea eta bai lortutako emaitza ere.

3. (1) irudiak aurreko estimazioari dagozkion hondarrak aurkezten ditu. Irudi hau kontuan izanik, (1)ereduko perturbazioetan AR(1) tipoko autokoerlazio existentziaren susmoren bat edukiko al zenu?∑20

t=2(ût − ût−1)2 = 1689, 8 dela jakinik, egin ezazu aurreko autokoerlazio susmoa baieztatzekobeharrezkoa den kontrastea.

4. 1980. urtetik aurrera zigarroen salmentak jeitsi egin dira tabakoaren aurkako kanpainak eta telebis-tako publizitatearen galerazpenagatik. Aurreko laginari1980-1989 epeko behaketak gehituz, (1)eredua berestimatu da KTAn bitartez, lortutako emaitzak honakoak izanik:

β̂∗ =

β̂∗1β̂∗2β̂∗3

=

−221, 455, 76

10, 96

35

Figura 1: Hondarrak. 1960-1979ko lagina.

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 2: Hondarrak. 1960-1989ko lagina.

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

eta hondarrak, (2) irudian agertzen dira. Emaitz berri hauek kontutan izanik, zeintzu propietatedituzte azken estimatzaile hauek? Zeintzu aldaketa proposatuko zenituzke (1) ereduarentzat?


Enpresa bateko mozkina (Mt) eta bere salmenten (St) arteko erlazioa zehaztu nahi da. Honetarako, 1948-1997 epeko datuekin ondorengo bi erregresio egin dira:

1948-1964 M̂t = α̂1 + α̂2St HKB1 = 931, 281981-1997 M̂t = γ̂1 + γ̂2St HKB2 = 3936, 6

1. Kontrasta ezazu perturbazioen bariantza denboraren funtzio gorakor bat delaren hipotesia.

2. Prezio indizea, (Pt), aldagai berria ereduan barneratzerakoan ondorengo eredua lortzen da:

Mt = β1 + β2St + β3Pt + ut

Berriro bi erregresio egin dira: bat lehen 17 behaketekin eta bestea azken 17 behaketekin∑1964

1948 û2t =

932, 2∑1997

1981 û2t = 1950 lortuz. Egin ezazu aurreko kontrastea berriro.

3. Aurreko bi ataletako emaitzak kontutan harturik, zein da, zure ustez, lehen ereduak jasaten duenarazoa? Eredua Karratu Txikienen Zabalduen bitartez estimatzea egokia al da?

36

PLANGINTZA BERRIKOARIKETAKEL - EAZL

37

ARIKETA EL-1997.1 (97ko ekaina)

Ondorengo ereduko KTAko estimazioaren hondarrak hauek dira:

Yt = α + βXt + ut (1)

1 2 3 4 5 6ût -0.16 -1.02 1.12 3.26 2.4 4.54

1. Aurki ezazu Durbin-Watson estatistikoaren balioa.

2. Suposa ezazu aurreko DW estatistikoaren balioa 6 behaketekin lortu beharrean, 60 behaketekinlortu duzula. Eredua ondo zehaztuta dagoelaren suposiziopean menpean, zeintzu propietate izangodituzte KTAko parametroen estimatzaileek?

3. KTAko metodoa ez den eta propietateak hobeagotzen dituenestimatzailerik ezagutzen al duzu?

4. Nola erabiliko zenukee Cochrane eta Orcutt-en iterazio metodoa kasu honetan?


Jacinto Gómez jauna Espainian SACAIN S.A.-ko gerentea, esklusiboak diren objetuak saltzen ditu. Bereenpresaren salmentak estimatzekoindependenteakdiren bi lagin ditu:

Y1t = α1 + β1X1t + γ1X2t + u1t u1t ∼ N(0, σ21) (2)Y2t = α2 + β2X1t + γ2X2t + u2t u2t ∼ N(0, σ22) (3)

1. Azal ezazu gerente honi, parametroen multzoa estimatzeko erarik efizienteena zein den eta baitazergatik ere.

2. Azal ezazu arrazonatuz, nola kontrastatuko zenukeen hurrengo hipotesia:

H0 : β1 = β2

Idatz itzazu hipotesi hutsa eta alternatiboa, kontrastearen estatistikoa eta honen banaketa. Zehazezazubereziki, nola estimatuko zenituzkeenσ21 etaσ

22 bariantzak.

3. Aurreko hipotesi hutsa baztertzen ez dela suposatuz, zein izango litzateke parametro multzoa esti-matzeko erarik egokiena? Zergatik?


Izan bedi hurrengo eredua

Yt = α + βXt + ut (4)

38

nonut ∼ ibb(0, σ2u) etaXt ez estokastikoa den.

Ekonometrak, datuen estalketa dela eta, ez duXt aldagaia behatzen, baina beste aldagai baten behaketakditu, X∗t -renak zeinaXt-ri hurbiltzen zaion:

X∗t = Xt + ǫt ǫt ∼ iib(o, σ2ǫ )ǫt, ut-rekiko independentea.

1. Froga ezazuXt erabili beharrean,X∗t erabiltzerakoan,β parametroaren estimatzailea ez dela tin-koa. Kalkula ezazu bere probabilitatezko limitea.

2. α parametroaren estimatzailea tinkoa al da? Kalkula ezazu bere probabilitatezko limitea.

ARIKETA EL-1997.4 (97ko iraila)

Izan bedi hurrengo eredua:

Yi = βXi + ui ui ∼ N(0, σ2uX2i ) i = 1, 2....N (1)non β̂, βren KTAko estimazioa den etãβ KTZrena.

a) Bila itzazu estimatzaile bi hauen bariantzak, konpara itzazu biak eta froga ezazu KTZrena bietatikefizienteagoa dela.


Demagun ondorengo eredua

Yt = βXt + ut ut = 0,5ut−2 + ǫt ǫt ∼ N(0, σ2ǫ ) (2)

a) Bila itzazuutren batezbestekoa eta bariantza. (Oharra : Kobariantzan estazionarioa den prozedurabaten propietateak erabili ditzakezuz.)

b) Azal ezazu nola estimatuko zenukeenβ parametroa era efiziente batean.

c) ut−2ri laguntzen dionρ2 parametroa ezezaguna izango balitz, nola estimatuko zenuke parametrohau? eta ondoren, nola estimatuko zenukeβ parametroa?


Ikertzaile batek bi herrialde desberdinentzat ondorengo eredua proposatzen du,Y ren jokaeraX1 etaX2aldagaien funtzioan azaltzeko:

Y at = β0 + β1Xa1t + β2X

a2t + u

at (3)

39

Y bt = α0 + α1Xb1t + α2X

b2t + u

bt (4)

Erantzun ezazu atal bakoitzari bestearekiko independentikoki:

a) Suposa ezazu baiuat eta baiubt , biak N(0, σ

2) eta independenteak direla. Nola kontrastatuko ze-nukeβ2 = α2 hipotesia? Izan ezazu kontuanσ2 ezezaguna dela.

b) Suposa ezazu baiuat eta baiubt , biak N(0, σ

2) direla etakob(uat , ubs) = σ12 (t=s) dela. Nola

kontrastatuko zenukeβ2 = α2 hipotesia? Izan ezazu kontuanσ2 eta σ12 parametro ezagunakdirela.

c) Idatz ezazu perturbazioen bariantz-kobariantz matrizearen egitura opndorengoa beteko balitz:bar(uat ) =t2Xa1t, u

bt = 0,5u

bt−1 + ǫt, nonǫt ∼ N(0, σ2ǫ ).

ARIKETA EAZL 1997.1 (97ko ekaina)

Kontsidera ezazu ondorengo erregresio eredua:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, . . . , 100

nonX2 etaX3 aldagai finkoak diren etaut ∼ NIB(0, a + bt2).

a) Suposa ezazua = 2b dela jakina dela, non b parametro ezezagun bat den.

a.1) Lor ezazuY -ren bariantz-kobariantz matrizea.

a.2) Esan ezazu zein estimazio metodo den egokiena, erantzuna arrazonatuz.

b) Suposa ezazu oraina = 0 etab parametro ezezaguna dela. Eredua Karratu Txikienen Zabalduenbitartez estimatu da ondorengo emaitzak emanez:

β̂KTZ =

23

−1

B̂ar(β̂KTZ) =

3 −2 1−2 4 0

1 0 3

Kontrasta itzazu ondorengo hipotesiak:

b.1) β3 = 0

b.2) β3 = 0 etaβ1 + 2β2 = 5

ARIKETA EAZL 1997.2 (97ko ekaina)

Auto enpresa ezagun bat, auto berri baten merkaturatzean interesatuta dago. Hau dela eta, merkatu ho-nen ikerketa bat egitea agintzen dio enplegatu bati. Horretarako, ondorengo informazioa ematen diotemerkaturatuta dauden eta antzerako ezaugarriak dituen 20 auto ezberdinei buruz.

40

Si = azkeneko urtean egon direni autoaren salmentak estatuani = 1, . . . , 20 (miloi pezetetan).

Pi = i autoaren prezioa (mila pezetetan).

PBi = antzerako ezaugarriak dituzten eta beste enpresa ezberdinek produzitutako autoen batez-besteko prezioa (mila pezetetan).

Gainera, publizitate sailak merkatu desberdinei buruzko txostenak egin ditu. Bertan, Italian eta Espai-nian erosle gazteen, (JASP), proportzioa handia dela ondorioztatu da. Beste herrialdeetan berriz, gidarihelduen eskaria da nabarmenena. Ikerketaren arduradunak burugoei, italiar merkatuaren datuak eskatzeaerabaki du merkatu bien arteko erlazio posibleakkontutan hartzeko helburuarekin. Hauek, aipatutako 20autoentzat, italiar merkatuko salmenta eta prezioei buruzko informazio berbera eman diote.

a) Azal ezazu zeintzu izan daitezkeen Italia eta Espainia merkatuen auto salmenten arteko erlazio posi-bleak.

b) Aurreko atalean egin dituzun komentarioak kontutan hartuz, zehaz ezazu eredu bat zeinetan herrialdebietako prezioen eragina salmentetan desberdina den. Aipatu itzazu zeintzu balizko hartzea erabakiduzun.

c) Azal ezazu zein den ereduko parametroak estimatzeko erarikegokiena.

d) Azal ezazu nola kontrastatuko zenukeen prezioek (P etaPB) era berdinean eragiten dutela herrialdebietako auto salmenten gain.

ARIKETA EAZL 1997.3 (97ko iraila)

Ikertzaile batek, familien batezbesteko kontsumoa,Kt, analizatu nahi du familien batezbesteko errenta,Yt, eta kontsumorako prezio indizearen,Pt, funtzioan. Hau egiteko ondorengo eredua estimatzea erabakidu.

Kt = β1 + β2Yt + β3Pt + ut t = 1, . . . 50 (1)

KTA aplikatuz ondorengo emaitzak lortu ditu:

Ĉt(v̂ar)

= 51, 14(12, 3)

+ 0, 72(0, 00487)

Yt − 0, 31(0, 03)

Pt t = 1, ..., 50 R2 = 0, 98 DW = 1, 72 (2)

û2t1566

= 7139, 61 + 0, 10Y 2t + 1, 57P2t + êt SCR = 32563, 86 SCT = 50288, 26

a) Kontrasta ezazuH0 : β3 = 0 hipotesia (1) ereduan,ut ∼ NIB(0, σ2u) dela suposatuz. Interpretaezazu emaitza.

b) Perturbazioak autokoerlatuak egon daitezkela uste da, lehen ordenako prozedura autoerregresibobat jarrai ditzaketela uste da bereziki. Kontrasta ezazu susmo hori. Idatz ezazu hipotesi hutsa,hipotesi alternatiboa eta kontrastearen estatistikoa.

41

c) Era berean, errorean (ut) heterozedastizitate arazoak egon daitezkelaren susmoa dago. Kontras-ta ezazu hipotesi hau emandako datuak erabiliz. Jar ezazu hipotesi hutsa, hipotesi alternatiboa,estatistikoa, bere banaketa eta erabakitze araua.

Beranduago, ikertzaileak beste eredu bi estimatzen ditu ondorengo emaitzak lortuz:

̂(K/Y )t(b̂ar)

= 71, 76(15, 36)

(1/Yt) + 0, 78(0, 00328)

− 0, 60(0, 004)

(P/Y )t (3)

̂(KY )t(b̂ar)

= 40, 76(35, 36)

Yt + 1, 08(0, 0328)

Y 2t − 0, 40(0, 024)

(PY )t (4)

d) ut-ren bariantzaY aldagaiarekin erlazionatuta baldin badago,bar(ut) = σ2uYt2, aukera ezazu ha-

sierako ereduko aldagaien eraldakuntza egokiren bat, horrela, eraldatutako ereduan heterozadas-tizitatearen arazoa desagertu dadin. Froga ezazu eraldatutako ereduaren perturbazioek oinarrizkohipotesiak betetzen dituztela.

e) Egin ezazu eraldatutako ereduan a) ataleko kontraste berdina. Konpara eta komenta itzazu kontras-tearen emaitzak. Emaitz hauetan oinarrituz,Pt aldagaia esanguratsua al da?


Izan bedi ondorengo ereduaPt = α + β1Lt + β2Kt + ut t = 1, . . . , T non

Pt produkzioaren logaritmo nepertarra den.

Lt erabilitako lan kantitatearen logaritmo nepertarra den.

Kt erabilitako kapitalaren logaritmo nepertarra den.

a) Interpreta itzazuβ1 etaβ2 koefizienteak.

b) Lor ezazu perturbazioen bariantz-kobariantz matrizea baldin etaut = 0, 3εt−3 + εt, ε ∼ (0, 4I)bada.

c) ut = 0, 7ut−1 + εt ε ∼ (0, σ2εI) baldin bada

i) Azal ezazu nola estimatuko zenituzken ereduko parametroak. Aipatu itzazu proposatutakoestimatzailearen propietateak.

ii) Nola kontrastatuko zenuke eskala errendimendu konstantearen hipotesia,β1 + β2 = 1?

42


CURRO bidai agentziak, bere urteroko mozkinak,(Y ), publizitate gastuen,(X), eta aurreko urtekomozkinen menpean dagoela kontsideratzen du. Azken bost urteetan aldagai hauen arteko erlazioa zeinden jakiteko, ondorengo eredua estimatzea erabaki du

Yt = β1 + β2Xt + β3Yt−1 + ut, t = 1, 2, . . . , 5 (5)

Ondorengo datuekin:

t Yt Xt1 -5 22 8 83 1 34 2 35 -2 0

a) Estima itzazu (3) ereduaren parametroak Ordezko Aldagaien bitartez,Yt−1-ren ordezko aldagaibezalaXt−1 erabiliz. Jar itzazu nolakoak diren matrize guztiak azken emaitzera heldu arte.

b) Xt−1, Yt−1ren ordezko aldagai egoki bat al da? Zergatik?

c) Perturbazioen banaketa zehaztu ez dela kontutan harturik, propietate asintotiko hobeagoak dituenestimazio metodoren bat existitzea posiblea al da? Perturbazio banaketaren hipotesi desberdin bikontsideratuz, azal ezazu dagokion estimazio metodo egokia.

ARIKETA EL 1998.1 (98ko ekaina)

Madrileko burtsa eta Europear beste burtsa batzuen arteko erlazioa bilatu nahi da ondorengo ekuazioarenbitartez

MADt = β0 + β1LONt + β2FRAt + ut (1)

nonMADt, LONt etaFRAt Madril, Londres eta Frankfurteko burtsa indizeen logaritmoen lehen dife-rentziak diren hurrenez hurren. 60 behaketako lagin bat erabiliz, ondorengo emaitzak lortu dira KarratuTxikienen Arrunten bitartez:

M̂ADt(t estatistikoa)

= 0, 01(1, 12)

+ 0, 44(2, 75)

LONt + 0, 27(2, 35)

FRAt R2 = 0, 45 (2)

a) Ondorengo ekuazio laguntzailea emanik, kontrasta ezazuAR(1),ut = ρut−1 + ǫt, ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ),egituraren existentzia perturbazioetan.

ût(t estatistikoa)

= 0, 15(5, 19)

ût−1 − 0, 23(0, 88)

LONt + 0, 01(0, 58)

FRAt + ŵt R2 = 0, 09 (3)

b) Ezagutzen al duzu aurreko ataleko hipotesia kontrastatzeko beste prozeduraren bat? Definitu itzazuH0, Ha, estatistikoa eta erabakitze araua.

43

c) Benetan AR(1) prozedura existituko balitzut perturbazioetan, zeintzuk diraKTAko estimatzai-leen propietateak? Nolakoa da (2) ekuazioan aurkeztutakot estatistikoen baliogarritasuna?

d) Benetan AR(1) prozedura bat existitzen badaut perturbazioetan eta bere izatea datuetatik eratorriabalitz eta ez zehazpen errore batetik, nola estimatuko zenuke (1) ekuazioa? Nola kontrastatukozenukeLONt etaFRAt aldagaien multzoko esanguratasuna?


Suposa ezazu ondorengo erregresio lineal eredua estimatu nahi dela hiruhilabeteko datuak erabiliz

Yt = β0 + β1Xt + β2Yt−4 + ut, (4)

nonXt aldagaia ez estokastikoa suposatzen den.

a) Zein da (4) ekuazioa estimatzeko metodorik egokiena baldin etaut ∼ ibb(0, σ2) bada?

b) ut perturbazioakAR(1), ut = ρut−1 + ǫt, ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ), prozedura jarraitzen badu,β0, β1 etaβ2ren KTAko estimatzailea alboragabea eta tinkoa al da?

c) ut perturbazioakMA(1), ut = ǫt + θǫt−1, ǫt ∼ ibb(0, σ2ǫ ), prozedura jarraitzen badu,β0, β1 etaβ2ren KTAko estimatzailea alboragabea eta tinkoa al da?


Yt = β0 + β1X1t + β2X2t + ut, t = 1, 2, ..., T (5)

ereduan, nonX1t etaX2t aldagaiak ez estokastikoak diren, ondorengoa betetzen da:

E(ut) = 0 t = 1, 2, ..., T

E(utus) = 0 t 6= s, t, s = 1, 2, ..., T

E(u2t ) = t/X1t t = 1, 2, ..., T.

a) Nola eraldatuko zenuke hasierako eredua, perturbazio berriek oinarrizko hipotesiak bete ditzaten?Lor ezazu eraldatutako perturbazioen bariantz-kobariantz matrizea.

b) Zeintzu propietate ditu (5) ekuazioarenβ0, β1 eta β2ren KTAko estimatzaleak?ut-k banaketanormal independentea jarraitzen badu, zein da estimatzaile honen banaketa?

c) Yt aldagaiaren tartezko aurresana nahi izango bazenu, ohizkoa den tartea,(X ′pβ̂ ± t

α/2T−K σ̂u

√1 + X ′p(X

′X)−1Xp ), kalkulatuko al zenuke?

44


A probintziako auto marka zehatz baten salmentaren, (SA), ondorengo ekuazioa estimatu nahi da hiruhi-labeteko datuak erabiliz:

SAt = βA0 + β

A1 P

At + β

A2 A

At + β

A3 A

At−1 + u

At , u

At ∼ NI(0, σ2A) (6)

nonPAt autoen prezioa den etaAAt aipatutako autoaren marka bultzatzeko egindako publizitate gastua

dent hiruhilabetean.uAt etaB probintziakouBt perturbazioen arteko denbora bereko koerlazioa dagoe-

laren susmoa dago,E(uAt uBt ) = σ

2AB ∀t, non

SBt = βB0 + β

B1 P

Bt + β

B2 A

Bt + β

B3 A

Bt−1 + u

Bt u

Bt ∼ NI(0, σ2B) (7)

Prezioek salmentetan era berdinean eragiten dutela suposatuz, nola estimatuko zenituzke (6) eta (7) ekua-zioak? (σ2A, σ

2B etaσ

2AB ezezagunak dira)

ARIKETA EL 1998.5 (98ko iraila)

Elikadura sektoreko enpresa batek ondorengo alokairuen, (Wi), ekuazioa estimatu nahi du:

Wi = β1 + β2Oi + β3Ai + ui

nonOi lan egindako orduak diren etaAi langilearen antzinatasuna den. 25 langileko lagin bat erabiliz,ondorengo estimazioa lortu daKTAn bitartez:

Ŵi(t-estatistikoa)

= 49,906(2, 24)

+ 982, 14(4, 48)

Oi + 4,571, 60(2, 4)

Ai DW = 1,87 (1)

a) ui perturbazioaren oinarrizko hipotesiren bat betetzen ez delaren susmoa dago. Kontrasta ezazuAR(1) tipoko autokoerlazio existentziaren ahalbidea perturbazioetan. Sekzio gurutzatutako datuakdirela jakinez, zentzuzkoa al da kontrastearen emaitza?

b) Ondorengo erregresio laguntzailearen estimazioa emanik, kontrasta ezazu heterozedastizitatearenexistentziaui perturbazioetan:

û2iσ̂2

= −3, 75(2,08)

+ 0, 3(0, 17)

Oi − 0, 02(0, 01)

Ai + v̂i R2 = 0, 47

25∑

i=1

v̂2i = 61, 18 (2)

non ûi, (1) erregresioaren KTAko hondarrak diren etaσ̂2, ui perturbazioen bariantzaren EgiantzHandieneko estimatzailea den. Sekzio gurutzatutako datuak direla jakinez, zentzuzkoa al da kon-trastearen emaitza?

c) Aurreko kontrasteen emaitzak eta goian eskeintzen direngrafikak kontutan izanik, nola hobetukozenituzke (1) ekuazioan aurkezten diren estimazioak? Azalezazu zehaztasunez jarraituko zenu-keen estimazio prozedura.

45

Alo

ka

iru

ak

80 96 112 128 144 160 176 192

125000

150000

175000

200000

225000

250000

275000

300000

325000

350000

Alo

ka

iru

ak

0 2 4 6 8 10 12 14

125000

150000

175000

200000

225000

250000

275000

300000

325000

350000

ARIKETA EL 1998.6 (98ko iraila)

Ikertzaile batek, herri bateko perfume merkatua analisatunahi du prezioa, (P ), eta egindako publizitategastuen, (A), funtzioan.

St = β1 + β2Pt + β3A∗t + ut ut ∼ ibb(0, σ2) t = 1, . . . , 100 (3)

nonSt saldutako perfume kantitatea dent hiruhilabetean.

a) Enpresengandik dagoen datu estalketaren ondorioz, (4) ereduan erabilitako “publizitate gastua”renaldagaia,

Documents

EKONOMETRIA IRAKASGAIAREN AZTERKETEN BILDUMAetporlij/recopilacion_de_examenes...ARIKETA EL 2003.3 (03eko urtarrila) 96 ARIKETA EL 2003.4 (03eko ekaina) 97 ARIKETA EL 2003.5 (03eko